МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

ФАМ ВАН ХОАН

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В СТАРШИХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ ДЕМОКРАТИЧЕСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ВЬЕТНАМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук Е. С. Березанская

Москва — 1963

Защита диссертации состоится в МГПИ имени В. И. Ленина

« » 1963 г.

Автореферат разослан

« » 1963 г.

В величественной Программе КПСС говорится: «Развитие социалистических государств в составе единой мировой системы социализма, использование закономерностей и преимуществ этой системы обеспечивают им возможность сократить сроки строительства социализма, открывают перспективу их более или менее одновременного, в пределах одной исторической эпохи, перехода к коммунизму.

...Строительство коммунизма в СССР отвечает интересам каждой страны социалистического содружества, так как... создает все более благоприятные возможности для углубления экономического и культурного сотрудничества СССР с другими социалистическими странами, для оказания этим странам помощи и поддержки»1.

«Исходя из этого, — сказал тов. Хо Ши Мин в своем выступлении на XXII съезде КПСС, — мы глубоко верим, что, когда в Советском Союзе будет в основном построен коммунизм, в нашей стране также будет завершено строительство социализма и мы пойдем к коммунизму»2.

Это значит, что мы можем и должны более быстрыми темпами строить социализм. Для этого, как отметил III съезд Партии Трудящихся Вьетнама (1960 г.), нам необходимо осуществить социалистическую революцию в области экономики, а также и в области идеологии, культуры и техники. Одним из условий завершения этой революции является усиление работы в области народного просвещения. В свете указаний III съезда нашей партии необходимо пересмотреть школьную систему, содержание образования и методы обучения и воспитания вообще, содержание и методику обучения математике в частности. В связи с этим возникает важный для старших

1 «Программа КПСС», Госполитиздат, 1961, стр. 132, 133.

2 Газета «Правда», 22 октября 1961 г., № 296, стр. 9.

классов вьетнамской школы вопрос: какие элементы аналитической геометрии и математического анализа надо изучать и как надо их преподавать?

Такой вопрос ставится по следующим причинам:

1) Аналитическая геометрия и математический анализ имеют огромное воспитательное и общеобразовательное значение. Они весьма богаты идейным содержанием. Изучение их способствует воспитанию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения. Без знакомства с основами аналитической геометрии и математического анализа нельзя достаточно глубоко изучить ни одной области естественных наук и техники.

2) В связи с прогрессом в области науки и техники, с потребностями современной жизни, ныне ставится вопрос о «модернизации» обучения математике в средней школе. Включение элементов аналитической геометрии и математического анализа в программу по математике для средней школы, несомненно, является шагом вперед в деле отражения современной математики в школьном курсе математики.

3) В старших классах вьетнамской общеобразовательной школы в настоящее время изучаются элементы аналитической геометрии и математического анализа. Однако, на наш взгляд, преподавание этих элементов еще. не достигает необходимого научного уровня: оно носит еще формальный характер.

Исходя из всего вышесказанного, мы решили избрать темой нашей диссертации «Элементы аналитической геометрии и математического анализа в старших классах общеобразовательной школы Демократической Республики Вьетнам». Цель диссертации состоит в том, чтобы ответить на вопрос, какие элементы аналитической геометрии и математического анализа надо изучать и как надо их преподавать в старших классах вьетнамской общеобразовательной школы в настоящее время.

Чтобы дать ответ на этот вопрос, нами прежде всего был изучен опыт Советского Союза, потому что «богатый опыт советского образования — самого передового образования в мире нашего времени — нам очень много помогает, особенно на настоящем этапе построения социалистического образования»1.

1 Из выступления Министра просвещения ДРВ тов. Нгуен Ван Хуена на Международном семинаре по вопросу о «Роли студентов и студенческих организаций в деле развития народного образования», состоявшемся в Ханое в августе 1961 г. Журнал «Народный учитель» (на вьетнамском языке), 1961 г., № 43, стр. 15.

При решении же вопроса мы исходили из конкретных особенностей и условий ДРВ.

Надо было учитывать и то, что французская педагогика оказала сильное влияние на нашу вьетнамскую среднюю школу, так как наша страна много лет жила под господством французских колонизаторов. Поэтому были «изучены программа и учебники по высшей математике французской средней школы, были отобраны те элементы, которые полезно использовать в новой вьетнамской школе на данном этапе, и опущено то, что неприемлемо в социалистической вьетнамской школе.

После разработки содержания школьного курса аналитической геометрии и математического анализа необходимо было его проверить практикой;

В связи со всем вышесказанным представленная диссертация состоит из трех частей:

1) В первой части диссертации дается краткий анализ программ и учебников по аналитической геометрии и математическому анализу советской, французской и вьетнамской школ.

2) Во второй части диссертации мы излагаем те элементы аналитической геометрии и математического анализа, которые мы считаем необходимыми и доступными учащимся вьетнамской общеобразовательной школы на современном этапе.

3) В третьей части диссертации речь идет о проведенном нами эксперименте и о наших выводах.

В основу нашей диссертации положено:

1) Изучение математической и методической литературы, опубликованной в СССР, в ДРВ и во Франции.

2) Непосредственное наблюдение учебной работы по математике, проводимой 'в московских средних школах № 27, № 310 и особенно в средних школах № 160 и № 425 для подготовки программистов; изучение опыта работы советских учителей этих школ.

3) Тесная связь с сотрудниками Министерства просвещения ДРВ и учителями некоторых школ в Ханое.

4) Эксперимент, проведенный в течение трех месяцев в двух школах Ханоя.

5) Наш собственный опыт преподавания математики в средней школе и работы в Министерстве просвещения ДРВ.

Глава I первой части диссертации посвящена элементам аналитической геометрии и математического анализа в современной советской средней школе.

После опубликования в печати записки тов. Н. С. Хрущева и тезисов ЦК КПСС и Совета Министров СССР о школе и

утверждения Верховным Советом СССР Закона о школе в 1958 году открылась новая страница в развитии советской школы.

Программа по математике для старших классов современной советской одиннадцатилетней школы, утвержденная МП РСФСР в октябре 1960 года, предусматривает изучение понятия вектора и действия над векторами (сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, скалярного произведения векторов) в курсе геометрии IX класса. По этой программе аналитическая геометрия изучается в средней школе в форме графического решения уравнений и систем уравнений, а математический анализ вводится в курс математики XI класса изучением предела функции и производной функции.

С 1959—60 учебного года в СССР начали работу юношеские математические школы. Юношеская математическая школа (ЮМШ) имеет целью повышение уровня знаний по математике и рассчитана на учащихся средней школы, имеющих интерес к изучению математики. Предметы и их программы для ЮМШ зависят от конкретных условий каждой такой школы. Вообще элементы аналитической геометрии изучаются в IX классе ЮМШ, а элементы математического анализа — в X классе.

В 1959—60 учебном году было организовано опытное обучение в одном из IX классов 425-й школы города Москвы по специальности программистов. Этот опыт подготовки программистов в редней школе стал распространяться; число школ для подготовки программистов из года в год возрастает.

Для того, чтобы удовлетворять запросам подготовки специальности программистов, необходимо значительно расширить обычный школьный курс математики и включить в него элементы высшей математики. Например, в курс геометрии и тригонометрии для IX класса включаются понятие вектора и действия над векторами (10 часов), метод координат, уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы (42 часа). В курс «алгебры и элементарных функций» для IX класса включаются элементы дифференциального исчисления (пределы, общее понятие о функции, производная и ее приложения, всего— 88 часов), а для X класса — элементы интегрального исчисления (неопределенный интеграл, простейшие дифференциальные уравнения, определенный интеграл, ряды, всего — 100 часов). Опыт школ для подготовки программистов показывает, что учащиеся с большим интересом занимаются элементами высшей математики и хорошо овладевают ими, что продемонстрировали, например, экзамены в конце 1961—62

учебного года в IX и X классах школы № 425 города Москвы: все 33 ученика X класса «Г» сдали экзамен на «отлично»; из 34 учеников IX класса «Д» 28 сдали экзамен на «отлично», 5 на «хорошо», и лишь одна ученица не сдала экзамена.

Глава II первой части диссертации посвящена элементам аналитической геометрии и математического анализа в современной французской средней школе.

Остановимся на некоторых особенностях программ и учебников по аналитической геометрии и математическому анализу для старших классов французской средней школы.

1) Элементы аналитической геометрии и математического анализа изучаются во всех старших классах французской средней школы. Действующая программа по математике для X года обучения французской школы предусматривает изучение вектора, сложения и вычитания векторов, ортогональной проекции вектора на плоскость, умножения вектора на число, аффинной и прямоугольной системы координат, уравнения прямой. В курс математики для XI года обучения включаются скалярное произведение векторов, уравнение окружности, сведения о параболе и гиперболе, предел функции, производная функции. В заключительном классе (на XII году обучения) математического отделения изучаются канонические уравнения конических сечений, элементы аналитической геометрии в пространстве, предел и непрерывность функции, производная, первообразная, простейшие дифференциальные уравнения.

2) Некоторые теоремы, например, теоремы о пределах и непрерывности функций, о связи между ходом изменения функции и знаком ее производной и др., принимаются без доказательства.

3) Во французской средней школе изучается и аффинная и прямоугольная система координат. При графическом изображении функций и при изучении некоторых вопросов используется и афинная система координат и прямоугольная. Это, на наш взгляд, не оправдано с педагогической точки зрения: такое тонкое, сложное изложение курса математики, несомненно, вызывает большие затруднения у учащихся, которые первый раз знакомятся с элементами аналитической геометрии и математического анализа.

4) Во французской средней школе стараются «модернизировать» изложение школьного курса аналитической геометрии и математического анализа: например, с помощью векторов излагается ряд вопросов аналитической геометрии, с помощью понятия множества определяется функция от аргумента и т. п. Явно выражается тенденция «модернизировать» изложе-

ние школьного курса высшей математики в новых учебниках по математике для французской средней школы, автором которых является С. Breard. Однако изложение элементов аналитической геометрии и математического анализа по этим учебникам, хотя современное и интересное, но крайне абстрактное. Мало примеров, мало чертежей, мало геометрических иллюстраций, и вряд ли можно считать само изложение доступным для учащихся средней школы.

Глава III первой части диссертации посвящена анализу программ и учебников по элементам аналитической геометрии и математического анализа средней школы ДРВ.

Школа ДРВ в процессе своего развития прошла три основных этапа.

1) С 1945—46 учебного года по 1949—50 учебный год существовала двенадцатилетняя школа. Она включала начальную школу (5 лет), среднюю школу 1-й ступени (4 года) и среднюю школу 2-й ступени (3 года). В средней школе 2-й ступени осуществлялась фуркация по трем отделениям: отделение «математики», отделение «естествознания» и отделение «литературы». На всех отделениях изучалась математика, но на отделении «математики» уделялось этому предмету больше внимания, чем на других отделениях.

2) С 1950—51 учебного года по 1955—56 учебный год существовала единая общеобразовательная девятилетняя школа. Она включала общеобразовательную школу 1-й ступени (4 года), 2-й ступени (3 года) и 3-й ступени (2 года).

3) С 1956—57 учебного года по настоящее время — единая общеобразовательная десятилетняя школа. Она включает общеобразовательную школу 1-й ступени (4 года), 2-й ступени (3 года) и 3-ей ступени (3 года).

На всех этапах в старших классах вьетнамской средней школы изучались элементы аналитической геометрии и математического анализа.

Элементы аналитической геометрии изучаются в форме графиков функций и графического решения уравнений и систем уравнений. Математический анализ включен в программу по математике для X класса в следующем объеме:

1) Функции. Предел функции (10 часов).

Повторение и дополнение имеющихся сведений о функции. Понятие о пределе функции. Формы -jj- и ~ Непрерывная функция.

2) Производная (30 часов).

Определение, механический и геометрический смысл производной. Производные постоянной, аргумента, степенной функции с натуральным показателем. Производные суммы, произведения и частного функций. Производная функция у = |/u; производная сложной функции.

Предел —— при х, стремящемся к нулю. Производные тригонометрических функций.

Производная второго порядка. Ее механический смысл.

Связь между возрастанием и убыванием функции и знаком ее производной. Максимум и минумум функции.

Исследование функций у = ах2 + bx2 + сх + d и у = ах2 + bх2 + с. Задачи на максимум и минимум.

Асимптоты. Исследование функций

В ханойской общеобразовательной школе с производственным обучением (пробной школе для подготовки слесарей, токарей, электротехников и радиотехников), начиная с 1962—63 учебного года, кроме вышеупомянутых элементов аналитической геометрии и математического анализа, имеющихся в обычных общеобразовательных школах, в курс математики для IX классов введены метод координат, уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы (22 часа).

В течение 1956—57 учебного года были созданы учебники по математике для вьетнамской общеобразовательной школы.

Главное достоинство вьетнамских учебников по элементам аналитической геометрии и математического анализа для общеобразовательной школы состоит в том, что в рамках программ авторы учебников стараются дать учащимся как можно больше знаний, при этом эти знания изложены наглядно при помощи таблиц, геометрических интерпретаций, числовых примеров и т. п. Основным недостатком учебников является то, что они не достигают необходимого научного уровня: неудовлетворительно освещаются основные понятия и методы аналитической геометрии и математического анализа, существуют неудачные примеры, неточные утверждения и т. п.

* * *

Изучив программы и учебники по математике нашей вьетнамской школы, учитывая опыт советской и французской школ, а также имея в виду требования нашей школы на современном

этапе ее развития, в представленной диссертации предлагается включить в курс математики IX класса понятие вектора и изложить курс аналитической геометрии с помощью векторов. В X классе наряду с производной функции необходимо поставить изучение первообразной функции.

Изучение вектора необходимо потому, что:

1) вектор широко применяется в физике, о нем учащиеся уже получили некоторое представление в процессе изучения физики в VIII классе;

2) при изучении вектора учащиеся имеют возможность расширить свой математический кругозор, познакомиться с действиями над объектами, не являющимися числами;

3) с помощью вектора можно упростить изложение ряда вопросов тригонометрии и аналитической геометрии, можно решать ряд геометрических задач более совершенным методом, чем способы, обычно используемые в элементарной геометрии;

4) опыт французской школы показывает, что векторное изложение основ аналитической геометрии допустимо в средней школе.

Введение понятия первообразной целесообразно, потому что:

1) оно завершит курс математического анализа в средней школе;

2) оно имеет большое воспитательное и практическое значение;

3) с помощью первообразной можно крайне просто и с большой экономией времени изучить приемы вычисления объемов тел;

4) тема «первообразная» была включена в курс математики для прежних вьетнамских двенадцатилетней и девятилетней школ, и опыт этих школ во время войны Сопротивления (1946—1954 гг.) показал, что понятие первообразной вполне доступно для учащихся X класса.

При изучении элементов аналитической геометрии и математического анализа во вьетнамской средней школе, по нашему мнению, следует руководствоваться такими положениями.

1) Изложение материала должно быть на таком уровне, который соответствовал бы современным концепциям математики, с одной стороны, а с другой стороны, — полной доступности учащимся. Нельзя излагать материал так, чтобы школьный курс основ аналитической геометрии и математического анализа стал копией вузовского курса, но надо решительно

бороться с формальным, вульгарным преподаванием этих предметов в школе.

Школьный курс аналитической геометрии и математического анализа целесообразно рассматривать лишь как пропедевтический курс, поэтому следует освободить его от строгих определений (например, строгого определения предела функции...), от трудных доказательств некоторых теорем (например, теорем о пределах функций и др.). Однако надо, чтобы учащиеся как можно яснее и точнее усвоили основные понятия и теоремы.

2) Следует широко использовать конкретные примеры перед введением новых трудных понятий и теорем. Надо также приводить разнообразные примеры применения изученных понятий и теорем.

3) Очень важно поднять идейный уровень преподавания элементов аналитической геометрии и математического анализа в школе. Надо заботиться о том, чтобы познакомить учащихся с методами и понятиями, соответствующими современным их концепциям.

Надо показать учащимся могущество методов аналитической геометрии и математического анализа в решении ряда задач элементарной математики,

4) Элементы аналитической геометрии и математического анализа в школе надо органически слить со школьным курсом математики. Следует также установить тесную связь между ними и другими школьными предметами, особенно с физикой.

5) При обучении элементам аналитической геометрии и математического анализа надо заботиться о том, чтобы учащиеся приобретали необходимые навыки, вычислительную технику и умение применять их к решению практических задач. Необходимо при этом и развивать логическое мышление учащихся. Поэтому наряду с целесообразным изложением теоретической части курса, надо умело выбирать задачи, способствующие реализации указанных целей.

Исходя из всего вышесказанного, в диссертации разработаны варианты изложения школьных курсов аналитической геометрии и математического анализа. По сути дела они представляют собой учебные пособия для девятого и десятого классов общеобразовательной школы ДРВ.

Представляемое учебное пособие (II часть диссертации, глава I) по аналитической геометрии для IX класса вьетнамской общеобразовательной школы включает следующие вопросы.

§ 1 — Понятие вектора. Действия над векторами.

§ 2 — Геометрия на прямой.

§ 3 — Метод координат на плоскости.

§ 4 —Прямая линия.

§ 5 — Окружность.

§ 6 — Эллипс.

§ 7 — Гипербола.

§ 8 — Парабола.

§ 9 — Понятие о конических сечениях.

Такой материал охватывает основы аналитической геометрии и богат идейным содержанием. Он позволяет учащимся осознать сущность аналитической геометрии как связывающего звена между учениями о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Он устанавливает тесную связь между алгеброй, геометрией и тригонометрией.

В § 1 излагаются понятие вектора, равенство векторов, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, ортогональная проекция вектора на ось. Эти вопросы подготовят почву для изучения аналитической геометрии на векторной основе в дальнейшем. Изложение проводится в основном на базе имеющихся представлений из курса физики, геометрии и др. Много внимания уделяется показу аналогии между алгеброй скаляров и векторной алгеброй.

В §§ 2—3 излагаются способы определения точки и вектора на оси и на плоскости, рассматриваются основные задачи на прямой и на плоскости. При изложении этих вопросов учащиеся должны с исчерпывающей ясностью усвоить основную идею аналитической геометрии, а именно взаимнооднозначное соответствие между точкой на плоскости и парой действительных чисел — ее координатами. Надо также, чтобы они хорошо понимали соответствие между геометрическими образами и алгебраическими формулами и умели применять метод координат к решению ряда задач по физике и по элементарной геометрии.

В § 4 излагаются уравнения прямой и простейшие задачи на уравнения прямой. Даются три формы уравнения прямой: общее уравнение, уравнение в коэффициентах направления, уравнение с угловым коэффициентом, при этом подчеркивается значение параметров, входящих в эти уравнения. Рассматривается второе основное понятие аналитической геометрии, а именно понятие уравнения линии, на конкретном примере уравнения прямой. Устанавливается взаимнооднозначное соответствие между прямой линией и уравнением 1-й степени

с двумя переменными. С помощью векторов крайне просто выводятся уравнения прямой, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Формула расстояния точки M (х, у) от прямой также просто устанавливается путем рассмотрения пересечения двух прямых, перпендикулярных друг другу.

В §§ 5—8 для окружности, эллипса, гиперболы и параболы рассматриваются две основные задачи аналитической геометрии, уже решенные в случае прямой линии:

1) Дана линия, определенная своими геометрическими свойствами. Найти ее уравнение.

2) Зная уравнение линии, изучить ее геометрические свойства.

При выводе канонических уравнений эллипса и гиперболы необходимо избегать иррациональных уравнений, чтобы доказательство того, что уравнению эллипса (гиперболы) удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только этой линии, было доступно учащимся. Эта цель достигнута при помощи вычисления фокальных радиусов точки эллипса (гиперболы). Много внимания уделяется установлению связи свойств кривых 2-го порядка со сведениями об этих кривых, изученными в предыдущих классах, а также с вопросами элементарной геометрии (геометрическое место точек, касательные к окружности и параболе) и практического характера (траектории планет вокруг солнца, эллиптический циркуль, оптическое свойство параболы и др.).

В § 9 рассматриваются (без доказательства) кривые второго порядка как конические сечения, а также как траектории космической ракеты при .определенной начальной скорости для того, чтобы подчеркнуть единую точку зрения на эти кривые.

Глава II второй части диссертации содержит подготовленное учебное пособие по математическому анализу для X класса вьетнамской общеобразовательной школы. Излагаются следующие вопросы:

§ 1 — Повторение и дополнения имеющихся сведений о функции.

§ 2 — Понятие о пределе и непрерывности функции.

§ 3 — Понятие о производной. Геометрический смысл производной.

§ 4 — Основные формулы и правила дифференцирования.

§ 5 — Приложение производной к изучению хода изменения функции, максимума и минимума функции.

§ 6 — Исследование функций.

§ 7 — Понятие о первообразной. Применение первообразной к вычислению площадей и объемов.

Такой материал охватывает основные понятия и методы математического анализа и богат идейным содержанием. Он позволяет раскрыть существенную связь между фактами, внешне кажущимися различными: проблема определения скорости движения и проблема построения касательной к кривой сводятся к задаче определения производной функции. Он позволяет также установить, что неодинаковые проблемы построения; касательной к кривой и вычисления площади фигуры, ограниченной этой кривой, осью абсцисс и двумя параллелями оси ординат, являются, по сути дела, взаимно связанными: вторая —это задача, обратная первой.

В § 1 излагаются определение функции, область определения функции, четная и нечетная функции, возрастание и убывание функции, приращение аргумента и функции. Дается определение функции как соответствия между элементами двух множеств чисел. При этом указывается, что закон соответствия может быть выражен каким угодно способом: важно лишь, чтобы принятый закон ставил в соответствие каждому значению аргумента единственное определенное значение функции. Для иллюстрации этого приводятся разнообразные примеры, некоторые из которых будут использоваться в дальнейшем при изучении предела и непрерывности функции. Рассматривается несколько примеров определения возрастания и убывания простейших функций элементарным -способом.

В § 2 на основе конкретных, доступных и разнообразных примеров разъясняются основные понятия и теоремы о пределе и непрерывности функции, необходимые для изучения производной и для исследования функций в дальнейшем. Материал этого параграфа свободен от строгих определений и трудных доказательств, но надо, чтобы учащиеся точно понимали неравенство (у-b)<е (е>о), символ «бесконечности» и т. п., и сознательно применяли изученные теоремы к решению задач.

В § 3 излагается понятие производной при помощи рассмотрения скорости, ускорения прямолинейного движения, теплоемкости тела при данной температуре, силы переменного тока. Подчеркивается, что производная функция сама является функцией. Рассматриваются примеры непосредственного вычисления производных функций у = x2 и у = 1/x , а также примеры проведения касательных к графикам этих функ-

ций. Связь между дифференцируемостью функции и непрерывностью ее показывается конкретным и наглядным примером.

В § 4 рассматривается вопрос о вычислении производных постоянной у = 0, функции у = х, суммы функций, произведения функций, степенной функции с натуральным показателем, частного функций, при этом подчеркивается процесс нахождения производной. Доказывается, что lim — = 1 и lim = 1, где выражен в радианах. Отмечается, что для малых углов; измеренных в радианах, имеет место приближенная формула: sinx^ kgx^x. Даются формулы производных тригонометрических функций. Вычисляются скорость и ускорение гармонического колебания.

В § 5 дается приложение производной к изучению хода изменения функции, максимума и минимума функции. Подчеркивается преимущество производной, дающей общий, стандартный и простой способ решения задач на исследование хода изменения, максимума и минимума функции. Приводятся разнообразные примеры, таблицы и геометрические интерпретации, которые позволяют учащимся всесторонне понимать содержание курса.

В § 6 исследование функций у = ах3 + bх2 + сх + d проводится на конкретных числовых примерах. Подчеркивается план, которого следует придерживаться при исследовании функций. Указывается, как построить график функции, опираясь на таблицу, показывающую ход изменения этой функции. Даются простые способы нахождения асимптот к графикам функции у = ——г- и у = —г—. Применяются графики функции к решению некоторых уравнений и неравенств.

В § 7 понятие первообразной вводится рассмотрением операции, обратной дифференцированию. На базе интуитивного представления о площади плоской фигуры излагается вопрос о геометрическом смысле первообразной. Рассматриваются приложения первообразной функции к вычислению площади криволинейной трапеции и объемов тел.

* * *

Предлагаемый вариант изложения элементов аналитической геометрии и математического анализа был проверен на 22 уроках класса IX Д «ханойской общеобразовательной школы с производственным обучением» и на 11 кружковых заня-

тиях по два часа каждое как с девятиклассниками, так и с десятиклассниками ханойской школы III В в течение трех месяцев с октября по декабрь 1962 года. На урочных и кружковых занятиях были пройдены: весь предлагаемый курс аналитической геометрии и значительная часть предлагаемого курса математического анализа.

Результаты эксперимента показывают, что излагаемый материал:

1) в целом доступен пониманию учащихся;

2) вызвал у учащихся большой интерес;

3) отвечает актуальным требованиям вьетнамской общеобразовательной школы.

Об этом свидетельствуют устная и письменная контрольная проверка, письменные отзывы учителей и учащихся, а также сотрудников Ханойского Гороно и Министерства просвещения ДРВ.

Исходя из всего вышесказанного, мы приходим к таким выводам:

1) Необходимо изучать в курсе математики вьетнамской средней школы элементы аналитической геометрии и математического анализа, так как они:

1) имеют огромное воспитательное и общеобразовательное значение;

2) вполне доступны учащимся;

3) вызывают у учащихся большой интерес;

4) необходимы для изучения других наук;

5) полезны как лицам, идущим на работу после окончания средней школы, так и лицам, продолжающим учебу в вузах.

II) Предлагаемый курс аналитической геометрии целесообразно изучить в IX классе за 48 часов. Его желательно включить в курс математики для вьетнамской общеобразовательной школы при перестройке программы. В настоящее время, до перестройки программы, он может быть изучен частью обязательно, частью факультативно в IX классах общеобразовательных школ с производственным обучением, а в IX классах обычных общеобразовательных школ он может быть введен в качестве факультативного курса.

III) Предлагаемый курс математического анализа целесообразно изучить в X классе за 56 часов. Время, отводимое на изучение функций и производной, уже предусматривается в действующей программе школ ДРВ. Что касается времени, отводимого на изучение первообразной, то такое время

могло бы быть получено за счет сокращения раздела стереометрии, относящегося к объемам тел.

IV) Для успешного изучения элементов аналитической геометрии и математического анализа во вьетнамской общеобразовательной школе необходимо:

— срочно переработать действующие учебники;

— перевести на вьетнамский язык некоторые советские учебники, задачники, методические руководства по элементам аналитической геометрии и математического анализа для средней школы и техникумов;

— организовать научную и методическую переподготовку учителей: перестроить программу по методике математики, педагогическую практику в педагогических институтах; обеспечить периодическое прохождение учителями краткосрочных курсов повышения их научной квалификации.

Выполненная работа является первым шагом на пути успешного решения задачи дальнейшего развития математического образования во вьетнамской средней школе. В дальнейшем надо приступить к созданию совместным трудом коллектива учителей школ, преподавателей вузов, сотрудников Министерства просвещения ДРВ, новых вьетнамских учебников, задачников и методических руководств по элементам аналитической геометрии и математического анализа для средней школы.

A 81396 от 9.5-63 г. Объем 1 п. л. Тир. 250 Зак. 2951

Типография «Красная звезда», Хорошевское шоссе, 38—40.