МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

И. С. ЕВСТИГНЕЕВА

ЗНАЧЕНИЕ И ПОСТАНОВКА КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ АРИФМЕТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — член-корреспондент АПН профессор И. К. АНДРОНОВ.

МОСКВА—1964 г

Официальные оппоненты:

1. Профессор ДЕПМАН И. Я.

2. доцент ОКУНЕВ А. К.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10а )

Автореферат разослан

Ученый секретарь

ХОЛОДОВА И. Л,

Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР, принятый в 1959 г., поставил перед советской школой ответственную задачу по осуществлению связи обучения с жизнью, с производственным трудом, с практикой коммунистического строительства.

Одной из мер, направленных на выполнение этой задачи,является повышение математических знаний учащихся средних школ.

В процессе работы преподавателем педагогического института, юношеской математической школы, а также в процессе руководства педагогической практикой студентов, нам приходится убеждаться в непрочности математических знаний у учащихся средних школ п. в частности, у поступающих в педагогический институт.

Существует много причин этого временного неприятного явления, заключающегося в пониженной подготовке учащихся средней школы, в их слабой общематематической и вычислительной культуре.

Одной из причин слабой подготовки выпускников средней школы мы считаем отсутствие прочной основной базы, на которой строятся все обобщения, связанные с понятиями алгебры, метрической геометрии, тригонометрии. А именно: идея обоснования понятия числа в последовательном его обобщении и действий над числами не усваивается значительной частью школьников.

Учение о числе начинается в начальной школе, продолжается в курсе арифметики 5—6 классов и далее проходит через весь курс алгебры.

До сих пор в преподавании арифметики и алгебры в школе имеются существенные недостатки. Важнейшим из них является недооценка умственных способностей учащихся, что ведет к заниженному теоретическому уровню преподавания этих дисциплин и в особенности вопроса о расширении понятия числа. А это не способствует сознательному и глубокому изучению основных тем алгебры, геометрии, тригонометрии (например, «Степени и корни». «Показательные и логарифмические функции». «Соизмеримые и несоизмеримые отрезки». «Измерение длин, площадей, объемов». «Радианное измерение дуг и углов» и др.). Учащиеся старших классов формально воспринимают целый ряд основных понятий.

опираясь только на интуицию, на память, не вдаваясь в существо дела. Это ведет к тому, что уровень вычислительной и общематематической культуры учащихся продолжает оставаться низким. Об этом можно судить по официальным документам Министерства просвещения РСФСР, статьям, отражающим материалы обследования школ, по результатам приемных экзаменов в вузы и техникумы.

Все сказанное ставит перед необходимостью повышения роли теоретических элементов в курсе арифметики 5—6 классов и в особенности при изучении вопросов расширения и обоснования понятия числа в старших классах средней школы.

В конце XIX—начале XX вв. предмет, включающий учение в числе, носил название теоретической арифметики. Это название было распространено не только в России, но и на Западе, особенно во Франции (см. например, труды Ж. Бертрана, Ж. Таннери (Франция). А. Н. Глаголева. С. Будаевского, К. Тура. А. Жбиковского, Н. П. Шмулевича и др. (Россия). Такого же названия придерживались многие современные западные и советские математики и педагоги. Например, И. В. Арнольд, П. Д.Белоновский, В. М. Брадис и др. (СССР), Вацлав Серпинский (Польша и др.).

В настоящее время предмет, включающий учение о числе, называют по-разному: арифметика рациональных чисел, основания арифметики, теоретическая арифметика, специальный курс арифметики. Мы сочли наиболее удобным в своей диссертации сохранить прежнее название курса—теоретическая арифметика.

Важность изучения элементов теоретической арифметики в средней школе, а в связи с этим и при подготовке учителей математики начальных и средних школ, заставила нас выбрать тему «Значение и постановка курса теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях».

Диссертация имеет целью раскрыть взаимосвязи курса теоретической арифметики в педагогических учебных заведениях с курсом арифметики и алгебры средней школы, а также проследить взаимосвязь этих курсов с практикой вычислений, с практикой решения задач.

Автор стремится установить роль теоретической арифметики в педагогических учебных заведениях в воспитании общей математической и вычислительной культуры студентов, значение её в подготовке их к будущей педагогической деятельности, выяснить причины, мешающие наилучшей профессиональной подготовке студентов при изучении этого курса. В задачу автора входит

также наметить меры дальнейшего улучшении постановки преподавания теоретической арифметики в педагогических учебных заведениях и средних школах.

Диссертация написана на основе:

1) анализа научной и методической литературы по теме исследования;

2) анализа учебников, руководств и задачников но теоретической арифметике и смежным дисциплинам, изданных в конце XIX—начале XX вв., а также в советский период, (Преимущественно русских, частично западных);

3) анализа программ и учебных планов средних школ и педагогических учебных заведений (конец XIX в.—наши дни):

4) использования личного двадцатилетнего опыта работы в Ивановском государственном педагогическом институте им. Д. А. Фурманова:

5) наблюдения над работой учителей и учащихся на уроках математики во время педагогической практики студентов;

6) использования личного опыта работы с учащимися в юношеской математической школе при НГПИ;

7) использования опыта работы с учителями—заочниками, проверки их курсовых и контрольных работ и опыта работы с учителями в институте усовершенствования учителей и на учительских конференциях:

8) исследования результатов вступительных экзаменов в педагогический институт, проводимых автором в течение ряда лет:

9) проведения педагогического эксперимента, состоящего в выборочном обследовании учащихся 9, 10, 11 классов, выпускников педагогических учебных заведений и небольшого числа учителей с помощью анкетного метода с целью выяснения степени усвоения ими идеи развития понятия числа в последовательном его обобщении от натурального числа к целому, рациональному,действительному и комплексному;

10) бесед с преподавателями некоторых педагогических институтов, ведущих курсы арифметики рациональных чисел, теории чисел, оснований арифметики и с учителями средних школ (по намеченным вопросам);

11) варьирования содержания. системы и методов изложения вопросов теоретической арифметики в процессе работы в педагогическом институте,в юношеской математической школе, в институте усовершенствования учителей, что делалось с целью получения большего эффекта, в усвоении этих вопросов.

Материалы диссертации обсуждались;

1) На заседании кафедры высшей алгебры и элементарной математики с методикой преподавания математики в Ивановском педагогическом институте в 1962 г.

2) На заседаний кафедры высшей алгебры и элементарной математики с мотодикой преподавания математики Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской в1963г.

Диссертация состоит из 4-х глав.

В первой проведены теоретические исследования, связанные с генезисом и развитием курса теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях России в конце XIX—начале XX вв. Здесь проведена работа по исследованию учебных планов и программ по теоретической арифметике в указанных учебных заведениях. Даны критический анализ и оценка учебных пособий и руководств к курсу, изданных в это время как русских так и иностранных (переводных и оригинальных). В частности, нами рассмотрены некоторые редкие и малоизвестные пособия по теоретической арифметике. Например, литографированные издания конспектов лекций, прочитанных по основаниям арифметики профессором Харьковского университета А. П. Пшеборский в 1907 г. («Конспект лекций по основаниям арифметики». 1 изд. 1908 г.»).

Рассмотренные нами первоисточники, пособия и руководства, в которых реализовалась теоретическая арифметика, были расклассифицированы по внутренней их структуре. За основу бралось развитие учения о числе.

В результате установлено, что в развитии курса теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях в конце XIX—начале XX вв. можно выделить три основных направления.

Представители первого из них строили курсы, обобщающие арифметику младших классов. Эти курсы отличались довольно узким содержанием и сравнительно легкими методами изложения материала. Характерной особенностью пособий, отражающих это направление является то, что в них строилась арифметика натуральных и дробных чисел, где в общем виде излагалось учение о числе, о действиях над числами, техника производства действий. Рассматривалось учение о делимости чисел, о простых числах и некоторые вопросы, связанные с периодическими дробями. Учение о числе развивалось на основе соответствующих определений. Иногда вводились отдельные аксиомы. В целом курс способствовал обобщенному повторению арифметики, более прочному и сознательному усвоению её основных положений.

Первое направление характерно для теоретической арифметики в средней школе. К представителям его мы относим авторов пособий по теоретической арифметике Н. Билибина. А. Глаголева. А. Воинова. П. К. Шмулевича, В. Г. Фридмана и др.

В начале XX в. курс теоретической арифметики в средней школе подвергся критике. Передовые преподаватели математики стали изыскивать иное содержание курса, иные методы изложения и, главное, поставили иную цель курса. Они выступали за то, чтобы основной частью содержания теоретической арифметики явилось развитие понятия числа от натурального к целому, к рациональному, действительному и. в некоторых случаях, комплексному. Вопрос о содержании и методах изучения теоретической арифметики широко обсуждался на известном Всероссийском съезде преподавателей математики (27 декабря 1911 г.—3 января 1912 г.)

В дальнейшем изменение содержания курса теоретической арифметики в направлении, связанном с изучением понятия числа в его последовательном расширении, стало осуществляться не столько в средних школах, сколько при подготовке учителей математики. 2-е и 3-е направления в развитии теоретической арифметики были присущи в основном высшим педагогическим учебным заведениям.

Второе направление является отражением научного движения средины XIX века, связанного с обоснованием арифметики, когда встал вопрос о выделении аксиоматики натуральных чисел, когда появились работы Ганкеля и Грассмана, связанные с развитием теоретической арифметики на основе принципа математической индукции.

Главной идеей курсов этого направления было развитие понятия числа и действий над числами на основе некоторой группы основных положений—аксиом. Ранее всего такие курсы появились в Германии.

На базе аксиоматической теории натурального числа были построены пособия по арифметике Грассманом и Штольцем.

В России первым сочинением, построенным на этих началах, явилось сочинение М. С. Волкова «Эволюция понятия о числе». На аксиоматической основе была построена также арифметика натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел профессором Казанского университета А. В. Васильевым в сочинении «Введение в анализ».

Третье направление также связано с научным движением

середины XIX. в., когда школой Кантора была построена теория множеств, на основе которой раскрывалось понятие натурального числа. Хотя второе и третье направления имели общую цель, состоящую в строгом обосновании понятия натурального числа, в постепенном расширении понятия числа с обоснованием необходимости этого расширения, но представители второго направления строили арифметику на понятии ординального или порядкового натурального числа, а представители третьего направления за основу всех построений принимали понятие количественного или координального числа.

Во Франции наиболее ярко третье направление выявилось в труде известного педагога и математика Ж. Таннери «Теоретическая и практическая арифметика». В Германии к представителям третьего направления можно отнести Вебера, автора первой книги «Арифметика» энциклопедии элементарной математики и анализа, в России—профессора Харьковского университета, замечательного педагога А. П. Пшеборского.

Вторая глава посвящена исследованиям, связанным с развитием теоретической арифметики в средних школах и педагогических учебных заведениях в советский период, с одной стороны, и с современной постановкой преподавания этого предмета в указанных учебных заведениях с другой.

В этой главе нами проведены следующие исследования: 1) Проанализированы учебные планы и программы по математике, дан критический анализ учебных пособий и руководств по арифметике и алгебре для средних школ, изданных в советский период. Установлено место некоторых вопросов теоретической арифметики в основном курсе арифметики и алгебры средней школы в различные периоды времени и обоснована необходимость усиления роли элементов теоретической арифметики в указанных курсах.

2) Определено значение курса теоретической арифметики при подготовке учителя советской начальной школы, а также учителя математики средней школы. Рассмотрены этапы развития этого курса в советский период. С этой целью сделан критический анализ программ, учебных планов и руководств к курсу, изданных в это время.

Проведенные исследования позволили выяснить обстоятельства, обусловливающие этапы постепенного развития теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных

заведениях, и наметить некоторые меры по дальнейшему развитию курса.

Автором установлено: 1) С 1917—18 годов происходит революционный перелом во всей русской жизни и культуре. Наступил перелом и в жизни школы. Начались поиски новых форм работы, обновление программ, освобождение от устаревших и непередовых традиций в преподавании всей математики и в частности теоретической арифметики.

Идея обоснования основных понятий не только, в арифметике, но и во всех разделах математики стала играть ведущую роль. Алгебра, освобождаясь от традиционного формализма, потребовала необходимости изучения развития понятия числа.

В это время вместо создания отдельного курса теоретической арифметики в средней школе началось движение за внесение основных положений теоретической арифметики в курс алгебры, что особенно сильно выявилось в старших классах средней школы.

Это движение нашло отражение в руководствах по алгебре К. Ф. Лебединского, В. Г. Фридмана, А. П. Киселева.

Основной частью содержания курса алгебры стал вопрос о расширении понятия числа и действий над числами, о тождествах, выражающих основные свойства арифметических действии.

Глубокое понимание большинства вопросов школьного курса математики и идей современной математической науки основано прежде всего на основательном усвоении понятия числа в последовательном его расширении. Однако до сих иор в методической литературе ставится вопрос о наличии существенных недостатков в учение о числе в средней школе. К изучению этого вопроса наблюдается формальный подход, результатом чего является отсутствие у выпускников средних школ строгих и глубоких знаний, касающихся развития понятия числа. Об этом говорит также проведенный нами во второй главе эксперимент, состоящий в выборочном обследовании учащихся 9, 10, 11 классов.

Формальное усвоение идеи расширении понятия числа учащимися средних школ является во-первых, следствием того, что сама программа до последних лет не акцентировала внимания учителей на необходимости доводить до сознания учащихся идею постепенного развития понятия числа, не отводила на изучение этого вопроса достаточного времени. Во-вторых, школа не имеет

удовлетворительного учебника, где этот вопрос был бы изложен с достаточной строгостью и отчетливостью. В-третьих, еще имеет место недостаточно высокая математическая культура отдельных учителей. В-четвертых, курс арифметики 5—6 классов в настоящее время излагается еще не на достаточно высоком теоретическом уровне и не может обеспечить базы для усвоения идеи постепенного расширения понятия числа в старших классах.

При построении курса теоретической арифметики в педагогических учебных заведениях в советский период авторы обычно Придерживались одного из трех направлений, присущих курсам теоретической арифметики дореволюционной школы. Так например, авторы пособий по арифметике для педагогических училищ Б. А. Тулинов и Я. Ф. Чекмарев могут быть отнесены К представителям первого направления. Комаров В. Н.. автор пособия «Теоретические основы арифметики и алгебры» для педагогических институтов—к представителям второго направления. Ко -второму направлению можно отнести также М. К. Драбкину (автора пособия «Основания арифметики», Минск. 1962 г.). Е. Г. Гонина («Теоретическая арифметика», Москва, 1959 г.). В этих пособиях основой для построения различных числовых систем служит множество натуральных чисел. Затем строятся системы целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, так. чтобы последующая числовая система включала предыдущую, т. е. служила бы ее расширением. После определение каждой новой числовой системы посредством аксиом, которым она должна удовлетворять,показывается существование конкретных множеств которые могут служить интерпретацией этого определения и доказывается изоморфизм построенных интерпретаций. Указанные пособия отличаются большой степенью абстракции.

Третье направление развивается в книгах И. В. Арнольда «Теоретическая арифметика», 1938 г.. П. Д. Белоновского. И. Я. Баркова («Основания арифметики действительных чисел». 1960 г.), и наиболее обстоятельно в учебных пособиях для средних школ и педагогических учебных заведений И. К. Андронова и В. М. Брадиса.

Необходимо заметить, что пособия М. Е. Драбкиной, И. Я. Баркова и К. Г. Гонина в диссертации не рассматривались, но в афтореферате мы считаем необходимым указать на эти пособия.

Отличительной чертой в развитии теоретической арифметики в педагогических учебных заведениях в советский период является резко выразившаяся тенденция перехода от самостоятель-

ных курсов теоретической арифметики, отличающихся крайней оторванностью от основного курса арифметики, от практики решения задач, к курсам, объединяющим теоретическую арифметику с основным ее курсом, способным обеспечить наилучшую связь теории арифметики с практикой вычислений и повысить вычислительно культуру будущего учителя.

Примером курсов, отличающихся большой абстракцией и но вскрывающих зависимостей между теорией арифметики и школьным курсом математики, не связанных с решением задач, могут служить курсы теоретической арифметики В. П. Комарова, И. В. Арнольда. П. Д. Белоновского. В, А. Тулинова и Я. Ф. Чекмарева. Е. Г. Гонина и др.

Первым советским автором, пытавшимся изложить теоретическую арифметику в единстве с основным ее курсом, был М. К. Гребенча. Однако опыт создания такого курса оказался мало удачным. Особенно это относится к вопросу о введении понятия натурального числа, нумерации чисел и действий над ними. В дальнейшем это пособие было переработано С. Е. Ляпиным, который, с целью увязать теоретические положении с решением задач, снабдил его небольшим числом задач теоретического характера.

Первым пособием, удовлетворительно решающим вопрос о сближении, курса теоретической арифметики с основным курсом, явилось руководство И.К.Андронова «Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами». В нем курс арифметики построен на идее развития понятия числа и действий над числами. Арифметика натуральных чисел развивается на основе понятия конечных множеств и их численности, что удачно связывает теорию с принятой методикой обучения детей в курсе арифметики начальной школы. Кроме того, теоретический материал в этом пособии легко увязать с практикой решения задач, с практикой рациональных устных, письменных и инструментальных вычислений. К сожалению, в руководстве И. К. Андронов ограничился только построением арифметики натуральных чисел, нуля и дробных чисел.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА. При изучении теоретической арифметики, как и любого математического предмета, устанавливается некоторое единство теории и практики, которое требует наличие учебника, включающего вопросы теории и задачника, содержащего упражнения и задачи, освещающие эту теорию. В этой главе нами выделен вопрос о задачах по теоретической арифметике и сборниках задач.

В теоретической арифметике рассматриваются: а) задачи, в которых требуется найти ту или иную закономерность.

Например:

1. Когда сумма двух дробей ость дробь несократимая?

2. Вывести правило для определения длины периода чистой периодической систематической дроби, записанной в шестиричной системе счисления.

в) Задачи—теоремы. Например:

1. Доказать, что но существует действительного числа, квадрат которого равен 5.

2. Доказать, что наименьшее общее кратное двух чисел делится на их наибольший общий делитель.

с) Задачи вычислительного характера. Например:

1. Найти два числа, у которых по 18 делителей и простые делители которых 3 и 7.

2. Наименьшее общее кратное двух чисел 4680. их сумма 750. Найти эти числа.

Структура сборников задач по теоретической арифметике подчиняется Системе самого курса. При изучении той или иной темы подбирается совокупность задач, решения которых вытекают из основных предложений теории. Так например, при изучении теории общего наибольшего делителя и наименьшего общего кратного можно ставить следующие задачи:

1. Доказать, что НОД чисел А и В равен наибольшему общему делителю их разности и одного из данных чисел. Как использовать эту теорему при решении задач?

2. Доказать, что каждый из остатков, получаемых при отыскании НОД двух чисел с помощью алгорифма Евклида, меньше половины второго предшествующего остатка и т. д.

Задачи теоретического характера имеют огромное значение в деле обучения, в деле формирования математического мышления учащихся. Они помогают усвоению учебного материала и методов его изучения, возбуждают у учащихся интерес к предмету, развивают логику мышления. На это указывали еще видные математики и педагоги прошлого столетия. Так. французские математики Ж. Бертран. Л. Серре, Ж. Таннери, русские— А. Н. Глаголев, Бельский и др., в созданные ими пособия но теоретической арифметике, включали и задачи теоретического характера.

Однако, несмотря на то, что значение задач теорететического характера в деле изучения теоретической арифметики и воспитания общематематической культуры учащихся очевидно, на протяжении всего исследуемого нами периода при изучении этого предмета в различных учебных заведениях на теорию всегда обращалось больше внимания, чем на её практические приложения.

Дореволюционные курсы теоретической арифметики часто строились в отрыве от вычислительной практики, от практики решения задач. Это особенно относится к курсам, изучавшимся в высших педагогических учебных заведениях. В силу этого задачников но теоретической арифметике для высших педагогических учебных заведений в дореволюционной России создано не было.

Первые сборники задач теоретического характера для средних школ стали появляться значительно позднее, чем теоретические курсы. Причём, сначала появились переводные учебники с французких (пособия по теоретической арифметике Ж. Бертрана, А. Серре, Ж. Таннери, которые содержали небольшие списки задач теоретического характера).

Первым русским руководством по теоретической арифметике, содержащим задачи явился «Курс теоретической арифметики и Сборник теоретических упражнений» А. Н. Глаголева (1900г.). Оно имело значительное влияние на развитие задачника к курсу как в дореволюционный, так и в советский период. Большинство задач этого сборника стало включаться во все задачники по теоретической арифметике, вышедшие впоследствии.

Задачники по теоретической арифметике, изданные в конце XIX—начале XX вв, имели много общих черт. Задачи составлялись на одни и те же темы, различным было лишь количество их. Для всех сборников в большей или меньшей мере была характерна несистематичность в подборе задач.

В сборники не включались задачи, вскрывающие теоретические основы первоначальных понятий арифметики и также задачи, отражающие основные свойства множества натуральных, целых, дробных чисел.

В советский период развитие задачника по теоретической арифметике также определялось этапами развития теоретического курса.

В средней общеобразовательной школе теоретическая арифметика как самостоятельный учебный предмет никогда не изу-

чалась и вопрос о задачниках по этому предмету для средней школы не ставился.

В педагогических училищах за 1941 год теоретическая арифметика изучалась как самостоятельный предмет. По в это время курс был близок к дореволюционному курсу средней школы и отличался крайней оторванностью от основного курса арифметики, от вычислительной практики. Специального задачника к нему создано не было, но отдельные задачи теоретического характера были включены в «Сборник задач для педучилищ», составленный Я. Ф. Чекмарёвым и С. В. Филичевым. В третьем издании его задачи теоретического характера были выделены в специальную главу, структура которой была близка к структуре задачников, созданных для дореволюционных средних школ.

Дальнейшее развитие теоретической арифметики в педагогических училищах шло по линии соединения её с основным курсом арифметики, но в первое время это соединение произошло с понижением теоретического уровня курса и задачи из сборника Чекмарева и Филичева были исключены. В последнее. 6-е издание сборника такие задачи снова были включены, но в незначительном объеме.

Таким образом, до сих иор не создано удовлетворительного задачника по теоретической и практической арифметике, которая изучается в педагогических училищах.

При подготовке учителей математики в педагогических институтах теоретическая арифметика до 1950 г. изучалась или как отдельный предмет, или была представлена некоторыми вопросами в специальном курсе элементарной математики или теории чисел. Эти курсы не предполагали решения задач, и поэтому, в это время был составлен целый ряд пособий по теоретической арифметике, но задачника создано не было.

Начиная с 1950 г.. на математических отделениях педагогических институтов стала изучаться «Арифметика рациональных чисел». Она представляла собой несколько измененный курс теоретической арифметики, сближенный с основным курсом арифметики и призванный дать обоснование основным его положениям. Курс предполагал лекционные и практические занятия. В связи с этим появился «Сборник задач по элементарной математике» для педагогических институтов (арифметика, алгебра) С. Е. Ляпина и И. В. Барановой.

Наряду с положительными качествами, сборник имеет и существенные недостатки. Он не отражает передовых идей в пост-

роении курса, не включает задач, вскрывающих теорию обоснования основных понятий арифметики (понятия натурального числа и нуля, действия над числами). Кроме того, в нем не нашла отражения идея постепенног9 развития понятия числа.

В 1961 г. был издан «Сборник задач и упражнений но курсу арифметики рациональных чисел» Р. А. Архонтовой (17 выпуск «Ученых записок» Великолукского педагогического института). Но опыт создания этого сборника оказался мало удачным.

Существует рукописный «Сборник упражнений и задач по арифметике рациональных чисел» А.К. Окунева (МОПИ им. Н. К. Крупской). Он в значительной мере удовлетворяет требованиям к построению современного курса теоретической арифметики, отраженным в руководстве И. К. Андронова «Арифметика. Развитие понятия числами действий над числами».(1962 г. 2 изд.) Указанный задачник построен в предположении, что теория натурального числа излагается на базе понятия конечного множества и его численности, а в основу определения действий над числами положены действия над множествами. В соответствии с этим в сборник включены задали, поясняющие понятии множества, мощности множества, натурального числа, действий над числами. На протяжении всего сборника осуществляется воплощение идеи постепенного расширения понятия числа. Издание этого сборника может принести пользу в деле преподавании арифметики рациональных чисел в педагогических учебных заведениях

Известно, что хороший задачник при, изучении теоретической арифметики не менее важен, чем учебник. Но рассмотрев небольшое число задачников по теоретической арифметике, которыми располагала как отечественная, так и западная переводная учебная литература XIX в., и задачники, созданные в советский пориод, мы констатируем в целом слабый рост задачника по теоретической арифметике.

Нто обстоятельство выдвигает требование дальнейшего совершенствования сборника задач, к курсу. В связи с этим в диссертации мы обращаем особое внимание на создание задачника но арифметике рациональных чисел.

Нами сформулированы принципы, по линии развития которых должно идти дальнейшее совершенствование сборника. Эти принципы сводятся к следующему:

1. В сборник целесообразно включать задачи, вскрывающие основные понятия теории конечных множеств, понятия натуральных, целых, рациональных чисел и их свойств. Задачи должны отражать идею постепенного развития числа от натурального к целому и рациональному.

2. В сборник полезно включить задачи, на которых можно показать, как те или иные теоретические положения арифметики можно использовать для устных и письменных изящных вычислений, как их применять при инструментальных и машинных вычислениях. Задачник должен служить повышению вычислительной культуры студента, следовательно, в него полезно включать задачи, на приближенные вычисления.

3. При подготовке учителей математики нужно обращать внимание на воспитание у студента интереса к предмету и умение решать сложные задачи. Для этого в сборник необходимо включать исторические задачи и задачи олимпиадного характера.

4. Сборник должен строиться так, чтобы задачи и теоретический материал курса выступали в логическом единстве, способном выработать у студентов законченную систему мышления.

Нами предложены:

1. Сборник задач по арифметике рациональных чисел для педагогических учебных заведений.

2. Задачник-практикум по арифметике рациональных чисел (для заочной системы обучения).

3. Сборник задач по приближённым вычислениям. Для педагогических учебных заведений.

Эти сборники могут быть использованы для работы в педагогических институтах, педагогических училищах, в юношеских математических школах, для внеклассной работы средних школах.

Четвертая глава является заключительной. В ней нами ставились следующие задачи:

1. Раскрыть связь между постановкой преподавания теоретической арифметики при подготовке учителей математики с воспитанием общематематической и вычислительной культуры учащихся средних школ. Выяснить роль курсов «Арифметика рациональных чисел» и «Основания арифметики», которыми в последние годы была представлена теоретическая арифметика в педагогических институтах, в подготовке студентов к педагогической деятельности.

3). Вскрыть причины, мешающие повышению профессиональной подготовки студентов при изучении теоретической арифметики в педагогических институтах.

4). Провести работу, направленную на улучшение постановки преподавания теоретической арифметики в педагогических институтах, и дать некоторые рекомендации по перестройке курса.

В процессе решения поставленных нами задач было установлено:

1). Низкая общематематическая и вычислительная культура учащихся средних школ является результатом недостаточно высокой общематематической и вычислительной культуры учителя.

Эксперимент, поставленный нами в этой главе, заключающийся в выборочном обследовании небольшого числа учителей средних школ и анализ результатов обследования, а также наши личные наблюдения показывают, что иногда учителя не имеют отчетливых и ясных представлений об идее расширения понятия числа и действий над числами и твердых вычислительных навыков. Это во многом зависит от той подготовки, которую они получили в педагогических институтах:

2). Основной целью математических отделений педагогических институтов является подготовка высококвалифицированных преподавателей средней школы, хорошо владеющих элементарной математикой, обладающих широким математическим кругозором и умеющих передать свои знания учащимся. Профессиональная подготовка учителя во многом зависит от содержания дисциплин, включенных в учебный план педагогических учебных заведений. Теоретическая арифметика играет важную роль в подготовке учителя математики. Она дает обоснование основным положениям арифметики, расширяет кругозор студентов, готовит к слушанию методики и к преподаванию математики в школе на высоком теоретическом уровне.

В последние годы в педагогических институтах теоретическая арифметика была представлена двумя курсами: «Арифметика рациональных чисел» и «Основания арифметики».Арифметика рациональных чисел представляет собой расширенный систематический курс арифметики, построенный на более высоком теоретическом уровне, чем школьный.

В «Основаниях арифметики» дается углубленное изложение понятия числа. Курс строится по плану последовательного расширения числа. Отправным пунктом последовательных обобщений является построение множества натуральных чисел на основе принятой системы аксиом. Аксиоматически же вводятся целые, рациональные и действительные числа, а также определяются арифметические действия над числами и устанавливаются основные законы действия. Заканчивается этот курс построением поля комплексных чисел и введением понятия о гиперкомплексных числах и о дальнейших обобщениях понятия числа. Основания арифметики—это чисто логическая дисциплина, способствующая повышению общематематической культуры студента и знакомящая с современными методами математических исследований. Но в деле непосредственной подготовки студентов к их будущей педагогической деятельности она имеет меньшее значение, чем арифметика рациональных чисел, дающая обоснование курсу арифметики средней школы.

В педагогических институтах курс «Основания арифметики» обычно мало удается, так как не сопровождается решением задач и не вызывает в силу этого интереса у студентов. Кроме того, его трудно связать со школьным курсом математики.

Таким образом, структура курса теоретической арифметики, которая существовала до последнего времени в педагогических институтах, не способствовала наилучшей профессиональной подготовке студентов. Отсутствие удовлетворительных учебных пособий и тем более задачников к курсу явилось второй причиной недостаточно хорошей подготовки студентов к будущей педагогической деятельности учителя математики.

Это положение усугубилось тем, что с 1963—64 года, в связи с переходом педагогических институтов на четырехлетний срок обучения, .курс арифметики рациональных чисел из учебного плана исключен. Часть его разделов, а именно: теорию делимости и конечных цепных дробей—рекомендуется теперь включать в теорию чисел; а такие важные для учителя разделы как арифметика дробрых чисел, системы счисления и систематические числа, совсем исключены из программы педагогических институтов. Таким образом теоретическая арифметика в педагогических институтатах в настоящее время не стоит на должной высоте и нто обстоятельство заставило поставить вопрос о перестройке этого курса.

Вторую часть 4-й главы составляют сборники задач, о которых мы говорили выше.

В итоге исследований, проведенных в диссертации, нами даются методические рекомендации по улучшению содержания, системы и методов изучения теоретической арифметики в трех типах школ:

а) в средней школе (5—11 кл.);

о) при подготовке учителей начальных классов в педагогических училищах и институтах;

в) при подготовке учителей средних школ в педагогических институтах.

Рекомендации сводятся к следующему:

1). Переход восьмилетней школы на новую программу может обеспечить преодоление основных недостатков в знаниях учащихся, заключающихся в отрыве теории от практики, в медленном росте вычислительной культуры учащихся, если: а| в курсе арифметики средней школы будет повышена роль теории, причем теория будет выступать в единстве с практикой и, в частности, с практикой рациональных устных, письменных, инструментальных точных и приближенных вычислений. Курс арифметики полезно строить на основе понятий теории конечных множеств, так как множественная концепция натуральных чисел и нуля играет ведущую роль в формировании числовых понятий у детей. Известно, что первые числовые представления у детей возникают в младшем дошкольном возрасте на основе общения с конкретными множествами. Изучение курса арифметики в начальной школе так же начинаются с рассмотрения конкретных множеств.

Возможность построения такого курса арифметики подтверждается, во-первых, наличием учебника И. К. Андронова и В. М. Брадиса «Арифметика» (1957 г.), в котором показано, как, используя понятия конечных множеств, можно наглядно и строго в доступной для учащихся форме прийти во всем понятиям арифметики. Во-вторых, опытом работы в 5—6 классах по этому руководству, поставленным Ю. М. Калягиным (МОПИ) в 1960—62 г.г. в 352 школе гг Москвы. В—третьих, опытом построения курса арифметики на основе теории множеств в румынской и французской школах. И, наконец, нашим двухгодичным опытом работы в Юношеской математической школе при ИГПИ.

Целесообразность такого построения арифметики в школе заключается в том. что учащиеся могут обосновать свои эмпирические знания, полученные в начальной школе, не переучиваясь, а лишь углубляя их. Кроме того, такая постановка курса арифметики 5—6 кл. сможет обеспечить теоретическую базу для усвоения идеи постепенного развития понятия числа и действий над числами в старших классах средней школы.

2). Переход 9—11 классов средней школы на новую программу (1961 г.) является шагом к улучшению постановки преподавания курса алгебры и. в частности, вопроса, касающегося идеи расширения понятия числа. Программа 11 классов включает раздел «Обобщение понятия числа». Однако не нужно думать, что вопрос о расширении понятия числа должен решаться только в 11 классе. Для того, чтобы выпускники средней школы имели твердые и глубокие знания но этому вопросу необходимо.

а) преподавание алгебры во всех классах второй ступени строить на прочных теоретических основах. Перед введением каждого нового вида чисел должна проводиться подготовительная работа, направленная на осознание необходимости введения новых чисел, подсказанной требованиями практики. Нужно доводить до сознания учащихся, что ранее известные числа включаются во вновь построенную расширенную числовую область. Определяя действия над элементами расширенного множества чисел, нужно акцентировать внимание учащихся на том, что эти определения не находятся в противоречии с определениями действий лад ранее введенными числами, а являются их обобщением.

в) Раздел «Обобщение понятия числа» должен явиться лишь обобщающим разделом, приводящим в систему знания о числе, накопленные за все предыдущие годы обучения. При изучении этой темы учащиеся должны знакомиться с историей развития понятия числа, с практическими задачами, приведшими к необходимости введения различного вида чисел. Для более эффективного изучения этого раздела нужно рассматривать свойства множества натуральных чисел, рациональных, действительных, комплексных чисел (бесконечность, дискретность, плотность, непрерывность). Теоретический материал по мере возможности должен сопровождаться решением задач;

сI Одним из глазных условий, необходимых для улучшения постановки преподавания алгебры и элементарных функций, является создание учебника, удовлетворяющего требованиям современной школы, учебника, в котором идея расширения понятия числа нашла бы четкое и ясное освещение. В задачник до алгебре и элементарными функциями необходимо включать задачи теоретического характера, связанные с идеей расширения понятия числа.

3). При подготовке учителя начальных классов в педагогических училищах и институтах целесообразно ставить обобщенный курс теоретической и практической арифметики по особой программе и ограниченного содержания. Здесь достаточно ограничиться изучением арифметики целых чисел, нуля и дробных положительных чисел. Содержание, система и методы такого курса во многом могут определиться книгой И. К. Андронова «Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами» [1962 г.]. Но это пособие необходимо дополнить соответствующим сборником задач, который обеспечил бы наилучшую связь теории с практикой решения задач, с практикой вычислений.

4). При подготовке учителей математики средней школы необходим основательный курс теоретической арифметики, где учение о числе развивалось бы от натуральных чисел к целым, рациональным, действительным и комплексным числам. Наш опыт убеждает нас в необходимости введения в педагогический институт вместо курсов арифметики рациональных чисел и оснований арифметики, единого курса теоретической арифметики, куда наряду с арифметикой рациональных чисел входила бы и арифметика действительных и комплексных чисел. Она должна явиться естественным продолжением арифметики рациональных чисел, где излагалась бы полная теория действительных чисел и давалось бы обоснование понятия комплексного числа.

Учение о числе в этом курсе целесообразно развивать на генетических основах, а не аксиоматически, с тем. чтобы его можно было использовать в работе средней школы для лучшей ориентировки в вопросах алгебры, элементарных функций, геометрии, где используются понятия числа и действия над числами. Такое построение курса теоретической арифметики исключит неизбежные повторения, которые имели место при изучении арифметики рациональных чисел и оснований арифметики и обеспе-

чит изложение теории действительного числа в том аспекте, который осветит целый ряд вопросов школьной математики и будет способствовать повышению профессиональной подготовки студентов. Нам представляется, что было бы верней поставить этот курс на 1—2 годах обучения, чтобы на нем в дальнейшем базировались специальные курсы элементарной математики.

Работу по перестройке курса теоретической арифметики в педагогических институтах необходимо продолжать. Экспериментальным путем должен решиться вопрос о содержании этого курса и о том. даст ли он будущему учителю основательную базу, па которой он будет развивать понятие числа и действий над числами в средней школе.

ВЫВОДЫ:

1). В настоящей диссертации мы дали анализ и оценку основых и наиболее интересных пособий и руководств по теоретической арифметике, изданных за период с конца XIX в. и до наших дней;

2). Наметили этапы развития этого курса в средней школе, в педагогических училищах и институтах;

3). Дали некоторые рекомендации но улучшению преподавания этого курса в средней школе и педагогических учебных заведениях;

4). Провели работу по созданию сборника задач по арифметике рациональных чисел и приближенным вычислениям.

Материалы диссертации опубликованы в статье «К вопросу истории и современного состояния предмета теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях». (Ученые записки Ивановского государственного института им. Фурманова, том XXXIV. Иваново. 1963 г.. стр. 103—129).

KB 00874. Лежневская типогр. Облуправления по печати, з. 1086, т. 250