МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

М. В. ЕРЕМЕЕВА

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика математики)

Научный руководитель—заслуженный деятель науки РСФСР, член-корреспондент АПН РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА- 1966

Наше социалистическое общество в эпоху развернутого строительства коммунизма развивается быстро и уверенно.

В области научной и технической мысли мы значительно опередили страны Западной Европы.

Успешное общественное и экономическое развитие нашей страны предъявляет повышенные требования к образованию молодежи и, в частности, к математическому образованию.

В настоящий момент стоит вопрос об усовершенствовании математического образования настолько, чтобы оно соответствовало высокому уровню советской культуры.

Передовой фронт реформистского движения в области педагогики математики ныне возглавляет один из авторитетных ученых страны Герой социалистического труда академик А. Н. Колмогоров. Под его руководством подготавливаются новые программы и новые учебные пособия по математике для средней школы.

Реконструкция математического образования средней школы идет по линии совершенствования методов обучения, с одной стороны, и в направлении обогащения идейного содержания математических курсов,— с другой.

Среди многих вопросов, возникающих в связи с определением содержания школьных курсов математики, поднят вопрос о включении в него элементов теории вероятностей и математической статистики. Так, новые проекты программ по математике* предусматривает изучение первых теоретико-вероятностных понятий и теорем.

Но в методике математики еще нет углубленных исследований, посвященных этому вопросу. Поэтому возникла необходимость специально изучить материалы, относящиеся к на-

*

1. Пограмма средней школы. Математика (проект). М., 1965.

2. Проект программы средней школы. Математика. М„ 1966.

званной проблеме, проследить за деятельностью учащихся при усвоении ими ряда вероятностных понятий и на этой основе определить наиболее рациональную, научно обоснованную методику изучения элементов теории вероятностей в пределах курса математики средней школы.

Автор диссертации ставит и делает попытку решить следующие задачи:

1) Определить место элементарного курса теории вероятностей в математической программе средней школы.

2) Отобрать в математический курс средней школы вопросы теории вероятностей, имеющие научную ценность и вместе с тем доступные учащимся.

3) Выработать рациональную методику изучения отобранных вопросов.

Поставленные задачи определили методику диссертационной работы, состоящую:

1) В изучении научной, учебной и методической литературы по теме исследования.

2) В создании системы развития курса теории вероятностей в школе.

3) В проверке этой системы путем наблюдения за работой учителя и учащихся при изучении элементов теории вероятностей.

4) В вынесении на обсуждение педагогической общественности результатов исследования.

Опытное преподавание, связанное с диссертационной темой, осуществлялось в 1962/63 уч. году в. кружке при школе № 18 г. Калининграда; в 1963/64 уч. году в 9-х классах школы № 1 г. Калининграда; в 1964/65 уч. году в 11-х классах школы № 320 г. Москвы и в «Школе юных математиков» при МОПИ им. Н. К. Крупской; в 1965/66 уч. году в 4-х классах школы № 10 и в 5, 6, 8 классах школы № 18 г. Калининграда.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.

I. Во введении раскрывается необходимость пересмотра сложившихся традиционных школьных программ с тем, чтобы они в определенной мере отвечали требованиям науки и практики современного уровня их развития. В связи с этим обосновывается необходимость обогащения школьных математических курсов элементами теоретико-вероятностной культуры.

Далее определяются задачи исследования и описываются организационные мероприятия, предпринятые диссертантом для решения поставленных задач.

II. Первая глава «Краткая история развития теории вероятностей» раскрывает историю этой науки от зарождения в сознании человека первых вероятностных представлений до ее современного состояния.

В истории развития теории вероятностей выделяется пять периодов. Начало и конец каждого периода определяются суммой накопленных знаний по теории вероятностей, что находится в тесной связи с практическими нуждами и уровнем развития науки в ту или иную историческую эпоху.

Первый период — от древнейших времен до XVII столетия — является подготовительным периодом в развитии практики вероятностей. В этот период происходит накопление фактического материала для будущих открытий и оценка вероятностей наблюдаемых человеком событий по здравому смыслу. Однако практика вероятностей того времени еще не осознается как наука, имеющая свой предмет и свои методы, а поэтому частные задачи, решаемые такими математиками как Пачиоли, Тарталья, Кардано не имеют должной научной обоснованности и, естественно, иногда содержат ошибочные ответы. В этот период формируется постановка некоторых вероятностных задач, связанных с азартными играми и страхованием.

Второй период в развитии теории вероятностей связан с XVII веком — веком крупных достижений во всех областях естествознания и столь же успешным для теории вероятностей. Работы Паскаля и Ферма, заложившие научные основы теории вероятностей, увенчались в конце века результатом принципиальной важности — открытием простейшей формы закона больших чисел — закона Я. Бернулли. Тем самым были установлены новые возможности и новые направления в развитии теории вероятностей. В этот период теория вероятностей не стала еще наукой в полном смысле слова, но тем не менее получила свои первые научные принципы и начала научных достижений.

Результаты, полученные в теории вероятностей XVIII и первой половины XIX веков объединяются в третий период развития этой науки, связанный с именами Муавра, Эйлера, Д. Бернулли, Лапласа, Гаусса, Пуассона, Буняковского, Лобачевского. Подлинно научные достижения теории вероятностей этого периода обусловлены применением в ней открытых в предыдущем столетии аналитических методов исследования—дифференциального и интегрального исчислений. К третьему периоду относится доказательство первых предельных теорем и создание способа наименьших квадратов. Теория вероятностей в это время находит ряд актуальных приложений в естествознании, в теории стрельбы, в теории ошибок наблюдений.

Следующий, четвертый период в развитии теории вероятностей ознаменовался крупнейшими достижениями трех корифеев русской математики: П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В Западной Европе можно отметить Кетле, Бьенэме, Гальтона, Пирсона и Пуанкаре. В этот пе-

риод были найдены широкие условия приложимости закона больших чисел к последовательности независимых случайных величин; сформулирована и доказана центральная предельная теорема теории вероятностей; начаты исследования зависимых случайных величин; создано два мощных метода: метод моментов и метод характеристических функций.

Совокупностью работ четвертого периода классическая теория вероятностей получила свое завершение.

Пятый период в развитии теории вероятностей — период создания ее аксиоматики и открытий, происшедших в ней в XX веке, период, подготовленный трудами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова и обусловленный применением в теории вероятностей теоретико-множественных методов. Этот период выдвинул замечательных представителей советской науки С. Н. Бернштейна, В. И. Романовского, А. Я. Хинчина, Е. Е. Слуцкого. Мировую известность получили теоретико-вероятностные исследования А. Н. Колмогорова и его талантливых учеников Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнова и др. Нельзя не отметить некоторых зарубежных математиков, таких как П. Леви, Р. Мизес, В. Феллер, Г. Крамер, которые также сделали значительный вклад в теорию вероятностей.

Достижения современной теории вероятностей обеспечили ей успех во всех областях науки и практики.

Первая глава диссертации заканчивается рассмотрением вопроса о формировании теории вероятностей как учебного предмета в Петербургском и Московском университетах.

III. Вторая глава диссертации носит название «Движение за введение теоретико-вероятностной культуры в среднюю общеобразовательную школу (с конца XIX- начала XX веков и до современного периода)».

Здесь прежде всего исследуется движение за введение комбинаторных и вероятностных идей в программы зарубежных и отечественных средних школ в конце XIX и начале XX веков.

Развитие теории вероятностей как науки и расширение сферы ее приложений оказывает воздействие на формирование учебного предмета теории вероятностей средней общеобразовательной школы. Так, к концу ХIХ и началу XX веков программы и учебники основных стран Западной Европы (за исключением Французской) включают в небольшом объеме элементы теории вероятностей. Ценность этого раздела в общем образовании того времени определяется практическим значением теории вероятностей, ее влиянием на развитие умственных способностей учащихся и ее воспитательным значением. Но практическое значение теории вероятностей авторы учебников и программ того времени видят, главным образом,

в применении теории вероятностей к решению задач из области азартных игр и страхования.

В небольшом объеме элементы теории вероятностей излагаются также и в русских учебниках алгебры XIX века, например, в учебниках Н. Т. Щеглова и К. Д. Краевича. При этом круг приложений теории вероятностей у нас ограничен так же, как и за рубежом.

В начале XX века в России в связи с начавшимся движением за реформу среднего математического образования поднимается вопрос о внесении в школьные программы некоторых понятий теории вероятностей. П. А. Некрасов и П. С. Флоров разрабатывают проект такого внесения. Проект вызывает оживленную полемику. Вопрос дебатируется на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики. Академия наук создает специальную комиссию, которой поручается вынести решение по проекту. Министерством народного просвещения проект принят не был, но для нас он представляет ценность как первый исторический документ, отражающий борьбу взглядов крупных ученых и преподавателей за включение в программу средней школы такого раздела, который при передовой постановке его преподавания способствует формированию материалистического мировоззрения, обогащает знаниями из области математики случайных явлений, развивает способности к логическому мышлению. При устремлениях же реакционно мыслящего Некрасова, пытавшегося придать курсу теории вероятностей несвойственную науке идеалистическую окраску, могли бы быть получены противоположные результаты. Этого опасались такие прогрессивно настроенные ученые, как А. А. Марков, К. А. Поссе и др. Разумеется, что они решительно отмежевались от пронизанного духом идеализма проекта Некрасова.

Однако правильная мысль о введении элементов теории вероятностей на ее научных основах получает признание передового учительства. Поэтому, естественно, что 17 мая 1914 г. Министерство торговли и промышленности утверждает созданную при Министерстве программу по теории вероятностей для коммерческих училищ, а в 1915 г. появляются два учебника элементов теории вероятностей, предназначенные для этих училищ.

Следующие по времени попытки введения теории вероятностей в русскую среднюю школу происходит уже в советский период. Некоторые вопросы теории вероятностей и статистики включает проект программы единой трудовой школы в 1919 г.

Заметная волна движения за внесение элементов теоретико-вероятностной культуры в советскую школу наблюдается в 1925 г.

Но любая отмеченная нами попытка включения элементов

теории вероятностей в программы средней школы по существу носила эпизодический характер. Систематического внедрения и развития этого курса до настоящего времени в нашей стране не было.

Далее во второй главе диссертации анализируется современное международное движение за реформу среднего математического образования с точки зрения отношения передовой общественности к вопросу о введении теории вероятностей в общеобразовательную школу. Отмечается, что современная реформа оценивает элементы теории вероятностей и статистики как необходимое звено в школьных математических курсах. Объем вопросов, предлагаемых для включения в программы по этим разделам, разнообразен и колеблется от первоначальных понятий до курсов, сравнительно больших по объему. Разнообразен и методологический подход к построению курса элементов теории вероятностей. Это легко проследить по приведенным в главе проектам программ и программам американских, английских, французских и др. школ, учебникам и учебным пособиям для школ этих стран, а также по материалам международных конференций и симпозиумов.

Представленные материалы показывают, что в последнее десятилетие в Америке довольно интенсивно развернулось движение за введение теоретико-вероятностных понятий в систему математического образования средней школы. В этом возглавляемом наиболее прогрессивными учеными и педагогами движении имеет место стремление изложить элементы теории вероятностей на основе теоретико-множественных идей. Отсюда, наряду с классическим определением вероятности в некоторых американских учебниках и программах фигурирует и аксиоматическое определение. Другая особенность американских программ состоит в попытке отразить связь между теорией вероятностей и статистикой, но при изложении статистического материала американские авторы чаще идут по пути чистого практицизма, уделяя значительно меньше внимания теории.

Английская средняя школа, как и в начале XX века, обращает внимание на преподавание элементов теории вероятностей и статистики. Об этом свидетельствует, например, программа, рекомендованная конференцией учителей математики в Саутгемптоне в 1961 г., а также учебники английской средней школы.

Во Франции в официальных программах теоретико-вероятностные идеи отражаются крайне осторожно, но прогрессивные деятели французского народного образования определенно высказываются за их включение в среднюю школу. Мнение этих деятелей по данному вопросу отражено в многочисленных проектах программ для экспериментального и фи-

лософского отделений средней школы, в статьях и пособиях, адресованных школе. Некоторые проекты французских программ заслуживают внимания, ибо в них соблюдена мера в отборе материала, доступного учащимся средней школы. Элементы комбинаторики и первые понятия о вероятностях содержат математические программы, действующие в Испании, Швеции, Югославии, Японии. Экспериментальное преподавание теории вероятностей осуществляется в Скандинавских странах.

В главе представлены материалы Раймонтского двухнедельного семинара «Новые мысли преподавания математики» в 1959 г., Международного симпозиума в Будапеште в 1962 г., Международного математического конгресса в Стокгольме в 1962 г., Международной сессии в Афинах в 1963 г., имеющие отношение к диссертационной теме. В этой же главе рассматривается состояние вопроса о введении элементов теоретико-вероятностной культуры в среднюю школу в нашей стране.

Глава заканчивается выводами, к которым приходит автор в результате анализа и сравнения современных программ, учебников и учебных пособий по элементарному курсу теории вероятностей для средней школы с аналогичными материалами, но написанными ранее.

IV. В третьей главе диссертации, названной «Построение курса элементов теории вероятностей в средней школе», диссертант ставит задачу показать возможность обогащения школьной математики вероятностно-статистическими идеями таким образом, чтобы при этом не был нанесен ущерб усвоению основных вопросов курса, сложившегося в процессе исторического развития. Выдвигается мысль, что уже на ранних ступенях обучения в школе может быть разработана система задач, которые подготавливали бы учащихся к сознательному усвоению вероятностно-статистических понятий в старших классах. В качестве примера приводится ряд задач комбинаторного характера, которые могут быть решены уже в 4-м классе.

Отражение комбинаторных идей, начатое в арифметике, может быть продолжено в алгебре 8-летней школы. Так, используя эти идеи, можно познакомить учащихся 6-го класса с формулой бинома Ньютона с натуральным показателем. Обоснование формулы, доступное учащимся 6-го класса, принадлежит автору. Графические упражнения, предлагаемые после вывода формулы, знакомят учащихся с формой графиков биноминального распределения вероятностей.

Интересные задачи комбинаторного содержания возникают при бросании кубиков с обозначенными на их гранях очками. Эти задачи подготавливают учащихся к усвоению понятий равновозможности, несовместности и единственной возможности событий.

Целесообразно подобранные упражнения и задачи позволяют в курсе математики 8-летней школы выдвигать статистические вопросы.

Нельзя не отметить, что статистическую грамотность высоко ценили В. И. Ленин и Н. К. Крупская. Отмечая главное, на что надо обратить внимание в преподавании математики, Н. К. Крупская писала: «Совершенно особое внимание надо обратить на статистику, на чем настаивал Ленин и что играет особо большое значение, когда массы все больше и больше втягиваются в дело строительства социализма, когда осуществляется плановое хозяйство»*.

Педагогический эксперимент, проведенный автором диссертации, показал, что, начиная с 4-го класса, имеются реальные возможности увязывать формирование ряда статистических понятий с основным содержанием математических программ. Эти возможности увеличиваются в 8-м классе в связи с изучением темы «Графики и функции». В диссертации показано, какие статистические задачи предлагались автором диссертации в 8-м классе; отмечено пропедевтическое значение этих задач для систематического курса элементов теории вероятностей.

Комбинаторные, статистические и вероятностные идеи, весьма успешно увязываемые с рядом программных вопросов 8-летней школы, находят заключительное оформление в старших классах в виде небольшого раздела, систематически излагающего ряд понятий комбинаторики и первых предложений теории вероятностей.

Теоретическое и практическое исследования позволили автору диссертации уяснить ряд принципов, которые целесообразно положить в основу построения такого систематического курса элементов теории вероятностей, целью которого было бы формирование первых научных теоретико-вероятностных понятий. Приведем эти принципы:

1) логическую основу курса составляет классическое определение вероятности, обеспечивающее в учебном предмете органическое соединение интуиции учащихся, эксперимента и логики;

2) курс ограничивается преимущественным изучением той части теории вероятностей, которую принято называть дискретной, но рассмотрение отдельных понятий, связанных с непрерывными величинами, возможно;

3) изучение курса иллюстрируется содержательно интересными примерами, задачами и расчетами;

4) при изложении курса проводится экспериментальная проверка основных вероятностных закономерностей, имеющая важное мировоззренческое и методическое значение;

* Н. К. Крупская. Избранные педагогические произведения. М., 1955, стр. 674.

5) как средство повышения интереса к элементарному курсу теории вероятностей серьезного внимания заслуживает внедрение в курс исторических элементов.

Исходя из принципов, положенных в основу курса элементов теории вероятностей, диссертантом составлена и неоднократно экспериментально проверена следующая программа курса:

I. Введение (1 час)

Опыты, подтверждающие закономерности, объективно существующие в массовых случайных явлениях. Предмет теории вероятностей. Краткая справка по истории развития основных понятий теории вероятностей.

II. Основные понятия (10 часов)

Испытание. Событие. Классическое определение вероятности. Особые виды вероятности: достоверность, невозможность, малая вероятность, практическая достоверность.

Относительная частота события. Связь относительной частоты с вероятностью*.

Элементы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания без повторяющихся элементов. Вывод основных формул.

Непосредственный подсчет вероятностей. Комбинаторный метод при подсчете вероятностей. Геометрические вероятности на примерах отдельных задач.

III. Логические операции над событиями (2 часа)

Сумма событий. Произведение событий. Противоположные события. Символика, применяемая для обозначения операций над событиями.

IV. Арифметические операции над вероятностями (6 часов)

Теорема сложения для несовместных событий. Зависимые и независимые события. Теорема умножения для независимых и зависимых событий. Теорема сложения для совместных событий.

V. Испытания Я. Бернулли (6 часов)

Разложение бинома Ньютона с натуральным показателем в строку. Вероятность появления события m раз в п испытаниях Бернулли. Наиболее вероятное событие Биноминальное распределение вероятностей.

* Имеется в виду сообщение теоремы Я. Бернулли без доказательства.

Программу сопровождает объяснительная записка. Часы в программе установлены в результате педагогического эксперимента.

Автор считает, что предложенная им программа может быть расширена и углублена путем организации факультативного курса по теории вероятностей для учащихся, интересующихся математикой. Рекомендуется программа такого курса.

Анализ учебной литературы по теории вероятностей показал, что учебника для средней школы по этой дисциплине, удовлетворяющего основным дидактическим требованиям, у нас нет. Следовательно, такой учебник необходимо создать. Диссертант считает, что изложение основ теории вероятностей допустимо внутри учебника по математике соответствующего года обучения. Необходимо также написание курса теории вероятностей для учителей средней школы.

V. Четвертая глава диссертации называется «Методика постановки и развития элементарного курса теории вероятностей в средней школе».

В главе представлена методика изучения основных тем элементарного курса теории вероятностей. Большое значение для развития этого курса, для привлечения внимания и интереса учащихся к нему, имеют первые занятия, на которых разъясняются такие понятия, как случайное явление, объективный характер случайных явлений, закономерности в массовых случайных явлениях.

Учащиеся средней школы представление о случайном явлении имеют из повседневной жизни и полагают, что к случайным явлениям относятся крайне редкие явления или явления, не подчиняющиеся закономерностям. Такое представление весьма далеко от научного понимания случайного и чуждо теории вероятностей. В связи с этим одной из задач первых занятий по теории вероятностей является формирование у учащихся научного понимания случайного явления. Решение указанной задачи вызывает определенные методические трудности, обусловленные в значительной мере научной трудностью рассматриваемых вопросов.

Благодаря доступным для учащихся задачам, примерам, графическим иллюстрациям и наглядным опытам удается в определенной мере снять трудности, связанные с усвоением первых вероятностных понятий.

В качестве примера опыта, проходившего с большим педагогическим эффектом в проводимом экспериментальном преподавании, автор диссертации описывает разработанный им опыт с записками.

Яркое и запоминающееся представление о существовании закономерностей в массовых случайных явлениях учащиеся

получают, когда перед ними 2—3 раза повторяется опыт с распределением дроби в приборе Гальтона.

Классическое определение вероятности события также вводится на основе рассмотрения конкретной задачи, причем этому предшествует тщательная работа, связанная с введением определений таких понятий, как испытание, событие, равновозможные, единственно возможные и несовместные события. Отмечаются трудности, испытываемые учащимися при усвоении этих понятий, а также пути их преодоления.

Чтобы иметь возможность осуществлять экспериментальную проверку тех или иных вероятностных закономерностей, весьма важную для элементарного курса теории вероятностей, диссертант считает необходимым раннее выявление связи между частотой события и его вероятностью. Поэтому вслед за введением понятия вероятности предлагается знакомить учащихся с понятием частоты события и сущностью закона больших чисел Я. Бернулли, используя при этом чисто эвристический метод. Здесь описывается поставленный автором диссертации опыт с многочисленным бросанием монеты и сообщаются результаты опытов Бюффона, Кетле и В. И. Романовского, проведенных ими в связи с проверкой закона больших чисел Я. Бернулли. Ряд примеров иллюстрируют важное практическое значение этого закона.

Учитывая методологическое значение понятия геометрической вероятности, классическое определение вероятности в развиваемом диссертантом курсе расширяется путем введения в него задач, решаемых на основе представления о геометрической вероятности. Тем самым учащиеся убеждаются, что вероятность есть число, принадлежащее сегменту [0, 1]. Таким образом, рассмотрение геометрических вероятностей расценивается как первый шаг к логически совершенному обобщению понятия вероятности — ее аксиоматическому определению.

Следующим вопросом, которому уделено внимания в данной диссертационной работе, является вопрос о методике изучения логических операций над событиями.

Операции над событиями соответствуют аналогичным операциям над высказываниями в математической логике, а также операциям над множествами. Но математическая логика, равно как и учение о множествах — это фундаментальные разделы современной математики, богатые многими объединяющими идеями, с точки зрения которых может быть истолковано основное содержание классической школьной математики.

Учитывая сказанное и считая любую доступную и оправданную целями преподавания модернизацию курса математики средней школы явлением положительным, автор дис-

сертации выделяет вопрос об операциях над событиями в особуют тему и разрабатывает методику изучения этой темы.

Далее в IV главе представляется методика арифметических операций над событиями. Определяя объем материала по названной теме, диссертант стремился включить лишь те вопросы, которых в дальнейшем было бы достаточно для рассмотрения проблем, важных как для развития самого курса теории вероятностей, так и ее приложений. В связи с этим уделяется внимание методике изучения лишь первых основных теорем: теореме сложения и теореме умножения вероятностей. Что же касается таких вопросов, как формула полной вероятности и формула Бейеса, то автор диссертации считает, что они являются хорошим материалом для факультативного курса, читаемого учащимся, интересующимся математикой.

Большую помощь при усвоении содержания и доказательства первых теорем теории вероятностей, как показал опыт преподавания, оказывает рассмотрение некоторых традиционных задач с бросаниями костей или монет.

В опыте преподавания была установлена педагогическая ценность простых точечных схем, применяемых диссертантом при доказательстве теорем сложения и умножения вероятностей.

Изучение рассматриваемой темы, равно как и других, в опытном преподавании сопровождалось решением содержательных задач в достаточно большом числе. Внимание диссертанта к задачам и примерам объясняется тем, что в теории вероятностей на задачах и примерах учащиеся учатся не только применять, но и понимать теорию.

Надо заметить, что не всегда учащиеся легко справлялись с задачами. В связи с этим диссертантом были введены два основных правила, названные правилами «или» и «и» соответственно для нахождения вероятностей суммы или произведения событий. Правила оформлялись в виде демонстрационной таблицы.

Основные типы задач, решаемых с помощью теорем сложения и умножения, вероятностей, также были оформлены в виде таблицы.

Тема «Биноминальное распределение вероятностей» позволяет демонстрировать ряд разнообразных приложений теории вероятностей. Автор диссертации стремится возможно полнее показать эти приложения в физике, технике, медицине и т. д., так как в опыте преподавания показ приложений всегда вызывал внимание и интерес учащихся к изучаемой ими теории.

Рассмотрение закона нормального распределения вероятностей диссертантом не включается в обязательную программу, так как курс теории вероятностей для средней школы может быть ограничен в основном изучением дискретных

величин. Однако, в связи с тем, что в «Школе юных математиков» при МОПИ им. Н. К. Крупской возникла необходимость познакомить учащихся с этим законом, в диссертации разработана методика его изучения, основой которой является связь биноминального распределения с нормальным при увеличении числа испытаний. Здесь же представилась возможность познакомить учащихся с содержанием локальной и интегральной теорем Лапласа и, используя таблицы значений функций

решить ряд практических задач.

Следующее исследование автора диссертации связано с отысканием наиболее рационального способа введения случайной величины. Опыт показал, что к этому понятию легко подвести учащихся, опираясь на уже известное понятие частоты. При повторении серий из одного и того же числа однотипных испытаний частота определенного события является случайной величиной.

Определив понятие дискретной случайной величины и выяснив способы ее задания, автор диссертации переходит к рассмотрению математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины. При доказательстве теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин возникла трудность главным образом из-за символики, применяемой обычно в доказательстве. Поэтому появилась необходимость найти наиболее рациональные формы записи и наиболее удобные обозначения, облегчающие понимание доказательства.

До формального определения дисперсии на примерах конкретной задачи вскрывается ее практическое значение. Такой подход к введению нового понятия оправдывает его изучение и способствует пробуждению познавательного интереса учащихся.

Теоретическое значение понятий математического ожидания и дисперсии случайной величины учащиеся, занимавшиеся в кружках и в «Школе юных математиков», оценили при рассмотрении закона больших чисел П. Л. Чебышева. В диссертации представлена методика изучения и практические приложения этого закона, а также законов Пуассона и Я. Бернулли как следствий из закона П. Л. Чебышева.

Стремясь расширить приложения теории вероятностей, диссертант включает в курс один из вопросов математической статистики — выборочный метод и разрабатывает методику его изучения.

Четвертая глава заканчивается описанием организации, целей и результатов опыта по преподаванию теории вероятностей в школе и сообщением следующих выводов из проведенного диссертантом исследования:

1. Опытное преподавание элементарного курса теории вероятностей показало, что при правильной постановке преподавания, сочетающей интуицию учащихся с разумной долей логики и эксперимента, первые понятия и первые теоремы теории вероятностей вполне доступны учащимся средней школы, а изучение их проходит при большом интересе с их стороны.

Статистическая обработка итогов изучения тем «Элементы теории вероятностей» и «Показательная и логарифмическая функции» наглядно продемонстрировала, что качество знаний учащихся по первой из названных тем не хуже, чем по второй теме, всегда включаемой в традиционные курсы математики средней школы.

2. Теоретическое исследование привело автора диссертации к заключению, что курс теории вероятностей, опирающийся на классическое определение вероятности, можно поставить в 9-м классе. Экспериментальное преподавание курса в выпускном 11-м классе и в 9-м классе показало, что учащиеся 9-го класса проявляют и большую заинтересованность к изучаемому материалу и показывают более высокое качество знаний. Вследствие этого целесообразнее поставить элементарный курс теории вероятностей в 9-м классе общеобразовательной средней школы. При этом курс может входить как самостоятельная тема в программу по алгебре.

3. В опыте преподавания диссертант убедился в целесообразности применения индуктивно-дедуктивного метода изучения материала. Пример или эксперимент, как правило, предшествовавшие определению или обобщению, играли важную роль в процессе усвоения темы учащимися. Традиционные задачи с выниманиями шаров, бросанием игральных костей или монет, не имея практической ценности, являлись лучшей (в дидактическом отношении) моделью изучаемых основных понятий и теорем. В обучении большую помощь оказывали наглядные схемы и таблицы, а также рассматриваемые конкретные задачи, имевшие определенную теоретическую ценность.

4. Положительное значение имеют экспериментальные проверки вероятностных закономерностей, так как они пробуждают у учащихся интерес и желание познавать теорию, оправдываемую опытом. Опытная проверка теоретико-вероятностных законов должна проходить через весь курс теории вероятностей в средней школе.

5. Целесообразно, а в ряде случаев необходимо, привлекать тот или иной исторически важный факт, связанный с

теоретическим материалом. Этот методический прием повышает интерес и привлекает внимание учащихся к изучаемому ими вопросу, а также в определенной мере способствует расширению их кругозора.

6. Сознательное усвоение элементарного курса теории вероятностей обеспечивается, а также и проверяется решением учащимися конкретных задач в достаточном количестве. Предлагаемые учащимся задачи заставляют их глубоко анализировать рассматриваемые в них события, определять виды этих событий и в соответствии с этим выбирать нужное для решения правило: либо «или», либо «и». Задачи по теории вероятностей имели большое воспитательное значение, приучая учащихся к тонкому анализу, развивая внимание и настойчивость в достижении результата. Особенный интерес проявляли учащиеся к содержательным задачам, показывавшим связь теории вероятностей с другими науками и с практикой.

7. В ходе экспериментального преподавания выяснилось, что качество усвоения материала по элементарному курсу теории вероятностей, а также время, затрачиваемое на изучение этого курса, в определенной мере зависят от последовательности изучения вопросов, составляющих содержание курса. Так, оказалось, что логические операции над событиями целесообразно выделить в отдельную тему, изучение которой должно предшествовать изучению теорем сложения и умножения вероятностей; это повышает качество знаний учащихся. Элементы же комбинаторики целесообразнее рассматривать после классического определения вероятности, т. к. в этом случае происходит параллельное усвоение двух вопросов (комбинаторных понятий и понятий вероятности) без отягчающего воздействия их друг на друга. Такое расположение материала приводит к значительной экономии времени, обычно затрачиваемого на изучение комбинаторных понятий.

8. Вполне преодолимы возникающие в процессе преподавания логические, психологические и методические трудности, связанные с усвоением таких понятий, как несовместные, единственно возможные и равновозможные события, а также таких, как сумма или произведение событий или событие, противоположное данному. Разъяснения учителя, сопровождаемые тщательно подобранными примерами, выполнение наглядного эксперимента, решение достаточного числа задач учащимися — все это позволяет максимально уменьшить, а в. ряде случаев и ликвидировать трудности в восприятии материала учащимися, а также число ошибок, допускаемых ими.

9. Усвоение систематического курса элементов теории вероятностей, очевидно, значительно облегчится, если этому курсу в пропедевтическом плане будет предшествовать рассмот-

рение конкретных задач комбинаторного, статистического и вероятностного содержания в 8-летней школе.

10. Успешное изучение элементов теории вероятностей в кружках и в «Школе юных математиков» утвердило диссертанта в мнении о целесообразности постановки факультативного курса теории вероятностей для учащихся, интересующихся математикой. Факультативный курс может представлять продолжение и углубление обязательного, предусмотренного программой, но может быть и самостоятельным курсом, охватывающим материал от первых понятий теории вероятностей до учения о случайных величинах и некоторых законах их распределения.

VI. К диссертации даны приложения:

1) Задачник по теории вероятностей для 9-го класса.

2) Программы курсов теории вероятностей, читаемых П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым.

3) Контрольные работы по теории вероятностей, выполненные учащимися 9-го класса.

4) Доклады, сделанные учащимися, посещавшими Школу юных математиков при МОПИ им. Н. К. Крупской.

5) Список литературы, на которую имеются ссылки в диссертации.

Материалы диссертации освещены в следующих публикациях:

1. М. В. Еремеева. Движение за введение элементов теории вероятностей и математической статистики в программу средней школы на современном этапе. Ученые записки Новгородского головного государственного педагогического института, том IV, выпуск 2. Новгород, 1965, стр. 27—51.

2. М. В. Еремеева. О преподавании элементов теории вероятностей в средней школе. Ученые записки Новгородского головного государственного педагогического института, том IV, выпуск 2. Новгород, 1965, стр. 52—80.

Л-28402 Подп. к печ. 24.2. 1966 г. Объем 1 печ. л. Тираж 200 экз.

Типография ВАХЗ Зак. 232