ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ НИЗАМИ

На правах рукописи

К. Д. ЕРАСТОВ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ, СВЯЗАННЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЧЕРТЕЖНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

по специальности № 732 — методика преподавания математики

ТАШКЕНТ-1968 г.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Ташкентского государственного университета имени В. И. Ленина. Научный руководитель — кандидат физико-математических наук доцент Доморяд Александр Петрович.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук. Барбан М. Б.

2. Кандидат педагогических наук, доцент Атаджанов Р. К. Ведущее высшее учебное заведение:

Крымский государственный педагогический институт имени М. В. Фрунзе.

Автореферат разослан 1968 г.

Защита диссертации состоится "» ***** 1968 г.

на заседании Объединенного ученого совета по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при Ташкентском государственном педагогическом институте им. Низами.

Просим Вас принять участие в заседании Совета или прислать свой отзыв в 2-х экземплярах, заверенный печатью по адресу: Ташкент, 64, ул. Педагогическая № 103.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ташкентского государственного педагогического института.

Ученый секретарь (доц. Саматов М. С).

Диссертация принадлежит к числу работ по методике преподавания математики. В ней рассматриваются некоторые вопросы теории геометрических построений: исследуются конструктивные возможности отдельных чертежных инструментов; наряду с новыми результатами приводятся отличные от общеизвестных доказательства классических фактов.

Работа состоит из пяти глав. Первая глава является вводной. В ней приводятся (§ 1) некоторые сведения о развитии теории геометрических построений в целом. Особое внимание здесь уделено плодотворному проникновению в эту область алгебраических методов, позволивших доказать неразрешимость циркулем и линейкой знаменитых задач древности: «удвоение куба», «трисекция угла» и «квадратура круга». Отмечена также роль конических сечений в решении геометрических задач на построение третьей и четвертой степени.

Во втором параграфе исследуется понятие «неразрешимости» данной задачи на построение с помощью имеющихся чертежных инструментов. Разбирается, в частности, случай, когда «неразрешимость» геометрической задачи является всего лишь видимой.

Наконец, третий параграф содержит некоторые замечания, связанные с изучением «теории геометрических построений» в педагогических институтах.

Вторая и третья главы целиком посвящены графическому решению алгебраических уравнений при помощи различных чертежных инструментов. При этом для исследования конструктивных возможностей рассматриваемых чертежных средств используется широко известный приём: сначала относительно некоторой системы координат составляются с неопределёнными параметрами уравнения двух линий, которые возникают в результате применения выбранных чертежных инструментов (параметры определяют положения инструментов). Исключая затем из этих уравнений одно из переменных, приходят к уравнению с одним неизвестным с коэффициентами, зависящими от-

выбранных параметров. Последующее отождествление этих коэффициентов с коэффициентами данного уравнения дает систему уравнений для определения параметров.

Во второй главе подробно исследуется вопрос о графическом решении уравнений 3-й и 4-й степени с помощью циркуля и одного из приборов: эллипсографа, гиперболографа, угольника (или с помощью циркуля и какого-нибудь заранее начерченного конического сечения). При этом можно обойтись без линейки, так как всякая геометрическая задача на построение, разрешимая циркулем и линейкой, может быть конструктивно решена по методу Мора-Маскерони одним только циркулем.

В первом параграфе второй главы рассматриваются возможности эллипсографа и доказывается теорема о разрешимости с помощью циркуля и постоянно начерченного эллипса любого уравнения 3-й или 4-й степени. В конце параграфа приведены задачи, особенно просто решаемые при наличии только эллипсографа и циркуля.

Как следствие из предложений первого параграфа устанавливается (§ 2) возможность графического решения уравнений 3-й и 4-й степени при помощи циркуля и угольника.

Третий параграф посвящен применению гиперболографа или начерченной гиперболы для решения уравнений 3-й или 4-й степени и заканчивается задачами, легко решаемыми циркулем и гиперболографом.

Затем рассмотрен (§ 4) способ графического решения уравнений 3-й и 4-й степени с помощью циркуля и имеющейся на чертеже параболы 2-го порядка. В конце параграфа приведены задачи, сводящиеся к определению точек пересечения каких-нибудь двух конических сечений.

Результаты второй главы были доложены на научной конференции аспирантов ТашГУ в 1966 г. и опубликованы [7].

Следует заметить, что вопрос о графическом решении уравнений 3-й и 4-й степени с помощью циркуля и какого-нибудь конического сечения был подробно изучен методами проективной геометрии еще в прошлом столетии (см. [1]).

Из современной литературы отметим книгу Л. Бибербаха [3], где даётся конструктивное изложение этого вопроса. Например, представив уравнение эллипса в параметрической форме:

автор показывает, что можно подобрать параметры окружности так, чтобы значения параметра t, отвечающие точкам пересечения эллипса с окружностью, были бы корнями того уравнения 4-и степени, для которого ищется графическое решение.

Приведенный в диссертации анализ конструктивных возможностей циркуля и приборов для вычерчивания конических сечений опирается на известный способ решения уравнений четвертой степени с помощью циркуля и параболы.

Третья глава посвящена в основном изучению конструктивных возможностей линейки с двумя метками («h — линейка»).

При решении задач на построение с помощью такого инструмента конструктивными считаются прямые, проходящие через произвольно выбранную на плоскости точку Р и пересекающие две заданные линии Ь и Ь соответственно в таких точках Li и L2 расстояние между которыми равно данному отрезку h. Кроме того, предполагается, что «h — линейка» может быть использована и в случае, когда точка Р совпадает с точкой M пересечения кривых Ь и Ь. Это означает, что считаются конструктивными точки линий Ь и Ь, находящиеся от точки M на расстоянии h.

Такую линейку для решения отдельных геометрических задач на построение 3-й степени в качестве дополнительного чертежного инструмента довольно широко использовали уже древнегреческие математики.

Упомянем здесь известный способ Архимеда для деления угла на три равные части с помощью циркуля и «h — линейки».

В книге Бибербаха [3] дано обоснование возможности решения всякой геометрической задачи на построение первой и второй степени с помощью «h — линейки».

В начале главы (§ 1) даётся иное изложение того же вопроса: доказательство проводится по схеме, которую применяет И. И. Александров [2] при рассмотрении построений Штейнера, и отличается, на наш взгляд, от доказательства Бибербаха большей простотой и краткостью.

Во втором параграфе третьей главы описан общий способ, позволяющий графически решить любое уравнение 3-й и 4-й степени при помощи одной только «h — линейки».

Заметим, что этот вопрос в известной нам литературе рассмотрен недостаточно обстоятельно.

Приводимое в работе доказательство разрешимости уравнений 3-й и 4-й степени с помощью «h — линейки» не предполагает наличие циркуля и отличается от известных нам изло-

жений данного вопроса большей общностью и единообразием используемого при этом метода.

В конце второго параграфа приводится ряд задач, легко разрешимых при помощи «h — линейки».

Результаты второго параграфа изложены в работе [9].

Далее (§ 3) разбирается вопрос о том, как с помощью эллипсографа и «h — линейки» может быть графически решено любое уравнение 5-й и 6-й степени.

Содержание этого параграфа отражено в статье [8].

Наконец, в последнем параграфе 3-й главы даётся графическое решение уравнений 3-й и 4-й степени с помощью циркуля и «прямого угла».

Этот вопрос рассмотрен также в статье Н. А. Никулина [4].

Наше изложение, основанное на «методе отождествления коэффициентов», позволяет указать путь решения задачи в зависимости от коэффициентов данного уравнения.

В четвертой главе исследуются вопросы о неразрешимости некоторых алгебраических уравнений с помощью выбранных заранее чертежных инструментов.

В первом параграфе этой главы даётся новое доказательство широко известной теоремы о неразрешимости с помощью циркуля и линейки общих уравнений выше второй степени. Оно проводится по индукции и опирается лишь на свойства делимости многочленов.

Следует отметить, что частный случай этой теоремы при п = 3, весьма обстоятельно разобран, например, в книге Адлера [1]. К сожалению, метод, которым пользуется Адлер в своих рассуждениях, по-видимому, непригоден для доказательства теоремы в общем виде. В книге А. Школьника [6] имеется элементарное обоснование этой теоремы в общем случае. Но у Школьника она вытекает как следствие из более общей теоремы «О разрешимости уравнений в радикалах», доказательство которой предъявляет значительные требования к математической подготовке читателя; поэтому мы сочли целесообразным дать доказательство теоремы, которое не выходило бы за рамки предварительных сведений, использованных Адлером при рассмотрении её частного случая.

В § 2 приводится теорема о неразрешимости в общем случае двучленных уравнений при наличии линейки, циркуля и «m — сектора» — инструмента, делящего данный угол на п равных частей.

В конце четвертой главы (§ 3) доказываются теоремы с неразрешимости общих уравнений 5-й и 7-й степени при помощи одной только «h — линейки». Они опираются на лемму,

гласящую, что использование «h — линейки» может привести только к расширениям 2-й или 3-й степени числового поля.

Следует отметить, что справедливость упомянутых теорем при использовании доказанной нами леммы сразу вытекает из теоремы теории Галуа о неразрешимости неприводимых уравнений 5-й или 7-й степени в радикалах 2-й и 3-й степени [5].

Приведённое нами доказательство этих теорем использует лишь свойство делимости многочленов и понятия расширений 2-й и 3-й степени числовых полей и предъявляет поэтому значительно меньшие требования к математической подготовке читателя.

Пятая глава содержит различные геометрические задачи на построение.

В первом параграфе подобраны задачи «псевдо-высокой» степени, основанные на использовании свойств взаимного расположения различных конических сечений; при этом конические сечения определяются директрисой, фокусом и эксцентриситетом.

Во втором параграфе решаются аналогичные задачи в трехмерном пространстве.

Наконец, в третьем параграфе пятой главы приводится несколько задач на построение выше четвертой степени.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [9] и доложены на конференции аспирантов ТашГУ 1966 г. и на VI научной конференции работников математических кафедр ВУЗов Узбекистана в Нукусе в мае 1967 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. АДЛЕР. Теория геометрических построений, М., Учпедгиз, 1940.

2. И. И. АЛЕКСАНДРОВ. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Учпедгиз, М., 1954.

3. L. Bieberbach, Theorie der geometrische Konstruktionen, Basel, 1952.

4. Н. А. НИКУЛИН. О геометрических построениях с помощью циркуля и произвольного угла. Крымиздат, Симферополь, 1950.

5. Л. Я. ОКУНЕВ. Основы современной алгебры. Учпедгиз, М., 1941.

6. А. Г. ШКОЛЬНИК. Двучленные уравнения и задачи деления круга. М., Учпедгиз, 1940.

7. К. Д. ЕРАСТОВ. К вопросу о решении уравнений 3-й и 4-й степени с помощью конических сечений, Статья «Материалы научной конференции аспирантов ТашГУ» Апрель — 1966 г.

8. К. Д. ЕРАСТОВ. К вопросу о графическом решении уравнений 5-й и 6-й степени, Статья «Материалы научной конференции ТашГУ», апрель — 1967.

9. К. Д. ЕРАСТОВ. К вопросу о решении задач на построение третьей и четвертой степени, Некоторые вопросы математики, ТашГУ, Научные труды, вып. 276, 1966.

Р-03804. Подписано в печать 6.-V-68 г. Объем 0,5 п. л. Тир. 200. Зак. 390

Таш. тип. УзОС, ул. С. Рахимова, 70—68 г.