МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

КАЗАНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. И. Енакиева

ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ И РАЗВИТИЕ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ (НА МАТЕРИАЛЕ VI КЛАССА)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Казань, 1965 г.

Официальные оппоненты:

Доктор педагогических наук, профессор

Б. В. Болгарский

Кандидат педагогических наук (по методике математики) доцент

В. М. Беркутов

Защита состоится на Ученом Совете Казанского гос. педагогического института $6 jn 1965 г. Автореферат разослан 1965 г.

Введение

В практике обучения настойчиво ставится вопрос о путях совершенствования методов обучения и в особенности о повышении эффективности сообщения знаний по геометрии в VI — VII классах, однако упускается из виду важная сторона обучения — целенаправленное развитие мышления учащихся в процессе обучения.

Посещение нами уроков учителей, участие в различных учительских совещаниях, наблюдение за работой большого числа учащихся, специальные беседы с ними подтверждают это положение. Автором приводятся высказывания методистов о неудовлетворительном решении многими учителями задачи — развитие мышления учащихся в процессе обучения. Материалы наших исследований по выявлению особенностей усвоения знаний учащимися позволяют установить одну из главных причин такого явления — неразработанность проблемы об особенностях усвоения учащимися знаний. В методических пособиях, статьях эти особенности не раскрываются и способы обучения рекомендуются без опоры на анализ возможностей учащихся, а исходя только из логики учебного материала.

Из-за недостаточного понимания сути усвоения происходит, в частности, недооценка роли наглядности в обучении. Роль наглядности определяется и в дидактике и в методике в самом общем виде: наглядность рассматривается как средство, облегчающее усвоение учащимися знаний. Методика применения наглядных средств не обладает необходимой доказательностью, не является научно обоснованной. Учитель часто при сообщении знаний неправильно применяет наглядные средства и, естественно, что они не выполняют присущих им функций — служить эффективным методом развития мышления учащихся. Эти недостатки свойственны как методическим разработкам, так и учебникам, на которых строится преподавание геометрии в школах.

Какие пути преодоления указанных пробелов в обучении?

Исследования психологов оказывают помощь методике

обучения геометрии. Ценным является исследование В. И.Зыковой1), однако автор не определяет конкретно условий, при выполнении которых наглядность служит эффективным средством развития мышления учащихся. Выдвинув некоторые проблемы («какие формы сочетания объяснений учителя с наглядностью являются наиболее правильными», «какими конкретными путями необходимо подводить учащихся к овладению логическими рассуждениями»), В. И. Зыкова не ставит целью исследование их.

Мы полагали, что анализ знаний большого числа учащихся, обучавшихся по обычной традиционной методике, поможет нам более детально вскрыть недостатки сложившейся методики обучения геометрии, а также внести изменения в методику преподавания геометрии.

Автор формулирует задачи своего исследования:

1. Через анализ знаний большого числа учащихся выявить особенности усвоения знаний по геометрии учащимися, переходящими в VI класс.

2. Установить качество усвоенных знаний по геометрии учащихся, обучающихся в VI классе, когда знания сообщаются по распространенной методике — без строгого учета особенностей усвоения учащимися знаний.

3. Построение методики сообщения знаний по геометрии в VI классе с учетом выявленных особенностей усвоения учащимися знаний.

Наше исследование прошло следующие этапы:

1. Проведение массового обследования учащихся пятых и шестых классов в соответствии с первыми двумя задачами исследования.

2. Организация отдельных пробных уроков по геометрии с целью проверки некоторых возникших предположений о том, в каком направлении надо изменить методику обучения геометрии.

3. Организация экспериментального обучения по всему курсу геометрии VI класса в некоторых школах.

4. Проверка результатов исследования в школах, а затем с учетом этой проверки уточнение методики сообщения знаний.

Методика исследования:

1. Наблюдение за уроками в массовом опыте учителей.

1) Зыкова В. И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний. 1955.

2. Проведение индивидуальных бесед с учащимися, присутствовавшими на обычных уроках.

3. Экспериментальные уроки с небольшой группой учащихся в 7 — 8 чел.

4. Экспериментальные уроки со всем классом.

5. Индивидуальные беседы с учащимися экспериментальных групп и классов.

Анализ данных о состоянии знаний учащихся после экспериментальных уроков.

6. Внедрение результатов экспериментальных уроков в практику обучения и наблюдение за ходом обучения и процессом усвоения знаний учащимися.

Исследование проводилось на протяжении с 1954 по 1961 год в школах гор. Куйбышева (13, 15, 16, 44, 68) и в школах гор. Москвы (131, 169, 644). Затем были обработаны результаты исследования.

Было обследовано 230 учащихся пятых и шестых классов до и после проведения экспериментальных уроков. Проведено 46 уроков с небольшими группами учащихся в 6 — 8 чел., 288 экспериментальных уроков.

Практическая проверка методических рекомендаций, полученных в результате исследования, проводилась в школах гор. Куйбышева: был проведен весь курс геометрии по разработанной нами методике в течение года в трех шестых классах 13-й базовой школы, в двух шестых классах 31-й школы, в трех шестых классах 68-й школы (1960/61 и 19611/62 уч. год).

Перейдем к изложению результатов, полученных в процессе исследования.

В главе I автор излагает вскрытые им особенности усвоения геометрических знаний учащимися, переходящими в VI класс.

В § 1 вначале дается критический анализ изложения материала в учебнике1) по теме: «Геометрическое тело». Это понятие дается учащимся путем сообщения им словесных знаний о том, что, если рассматривается форма и размеры предмета, то в этом случае предмет рассматривается как «геометрическое тело». В методике дается определение понятия геометрического тела как части пространства, ограниченной со всех сторон.2)

1) Никитин Н. Н. Геометрия. Учебник для 6—8 классов. 1961.

2) Репьев В. В. Общая методика преподавания математики. 1958, стр. 31.

За словесным знанием определения геометрического тела должны стоять подвижные представления о самых разнообразных геометрических телах, знания об их признаках, а именно о признаках их формы: о признаках прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, призмы и др. Однако, в качестве конкретизации понятия «геометрическое тело» в учебнике приводятся в виде иллюстрации лишь такие геометрические тела, как куб и шар. Никакой работы по осмысливанию признаков отдельных геометрических тел проводить не рекомендуется.

Если понятие существует в голове ученика только в словесной форме и связывается у него с каким-то нерасчлененным, глобальным представлением о конкретном геометрическом теле, то оно является формальным знанием. Этот вывод делается на основании наблюдений за усвоением геометрических знаний в школе как наших собственных, так и наблюдений других авторов.

Эти факты характеризуют очень типичную сторону состояния знаний учащихся, когда словесное знание, имеющееся в голове ученика, не является орудием его самостоятельного подхода к рассмотрению нужных вопросов; наоборот, оно тормозит, сковывает мышление.

Автором приводятся данные обследования знаний (о конкретных геометрических телах) учащихся, переходящих в VI класс.

Учащимся предлагалось несколько групп вопросов, например, укажем одну из них.

Первая группа вопросов

1. (Ученику дается коробка для посылки — предмет, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда). Какую форму имеет этот предмет? Как ты узнаешь такую форму?

2. Назови предметы, имеющие такую же форму, и скажи, почему ты считаешь, что эти предметы имеют такую же форму?

3. Расскажи, как ты представляешь себе прямоугольный параллелепипед? Что ты понимаешь под словами «прямоугольный параллелепипед»?

Обнаружены следующие уровни умения определять форму различных геометрических тел:

1. Ошибочное выделение учащимися каких-то «своих» признаков формы какого-то геометрического тела, в частности, прямоугольного параллелепипеда. Например, ученица Нонна Ч. дает такое описание формы прямоугольного параллелепипеда: «Коробка прямоугольная потому, что две длинные стороны, а две короткие» (выделяет одну грань и показывает стороны прямоугольника).

2. При определении формы конкретного предмета учащиеся излагают «свои» признаки, а отбирают предметы, обобщая их по существенным признакам формы рассматриваемого предмета.

Так, к прямоугольному параллелепипеду относятся разнообразные предметы, имеющие эту форму, а при характеристике признаков формы говорят:

«Это — прямоугольный параллелепипед, потому что длина больше, чем высота, и он имеет объем, т. е. объемный», или «коробка параллелепипедная — одна линия больше другой» и т. д.

3. При словесном определении формы предмета учащиеся описывают существенные признаки формы предмета. При оперировании с предметами они подводят под данное ими определение те предметы, у которых наглядное выражение признаков совпадает с пониманием учащимися существенных признаков. В наглядном представлении ученика зафиксирован второстепенный признак, который, однако, отсутствует в словесном описании ученика.

Например, ученица Оля Н. описывала существенные признаки прямоугольного параллелепипеда, рассматривая коробку для посылки. При определении же формы предметов — пенала, аквариума, шкафа, ящика, коробки (каждый предмет имеет форму прямоугольного параллелепипеда) ученица сказала, что пенал и шкаф имеют форму прямоугольного параллелепипеда, а остальные предметы имеют форму прямоугольника. Ученица подводит под данное ею определение только предметы, у которых можно найти грань, имеющую «удлиненную форму».

4. Ученик и правильно определяет форму предмета, и правильно подводит под понятие определенной формы предметы, у которых самая разнообразная вариантность несущественных признаков.

Например, ученик Коля Г. говорит: «Форма прямоугольного параллелепипеда. Одна сторона его равняется прямо-

угольнику... нет, все стороны — прямоугольники. У коробки шесть сторон» (показывает грани).

Таковы знания учащихся о прямоугольном параллелепипеде, о форме геометрического тела, которые они вынесли из рассмотрения геометрического материала в предшествующих классах. Только у небольшой части учащихся имеются хорошие знания.

Встают вопросы: в какой связи эти недостаточные знания стоят с развитием мышления? Влияют ли они на характер дальнейшего усвоения материла? Учащимся были предложены задания по определению формы предметов, рассматриваемых как геометрические тела, которые ими не изучались: цилиндра, правильной четырехугольной усеченной пирамиды. При предъявлении второй группы вопросов ученику дается железная коробка от какао — предмет, имеющий форму цилиндра, и предлагается два вопроса, аналогичные первым двум вопросам первого задания. Учащимся предлагается третье задание — определить форму цветочника (имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды) и рассказать, как он узнает эту форму.

Анализ решения этих и других задач приводится в § 2 дайной главы. Мы проследили, как ведут себя учащиеся различных групп, определяя форму цветочника (имеет форму правильной четырехугольной усеченной пирамиды). Учащиеся 4-й группы применяют тот же подход, какой они применяли при определении формы прямоугольного параллелепипеда (4-й уровень). Например, ученица Света О сказала: «Верхняя часть имеет форму квадрата, снизу тоже имеет форму квадрата, только меньше, чем верхняя, и они соединяются (показывает боковые ребра). С боков имеются 4 плоскости, но не прямоугольные».

Совсем по-иному ведут себя учащиеся первой группы. Например, ученица Нонна Ч., получив задание определить форму цветочника, рассматривает только одну грань, как и при характеристике прямоугольного параллелепипеда. Нонна Ч. сказала: «У нее (у коробки) две стороны длинные, а верх и низ неодинаковые, верх длиннее, а низ короче» (показывает стороны боковой грани). Другие учащиеся этой, группы также применяют «свои» признаки. «Свои» признаки не исчезают, а тянутся в новые условия.

Почти то же самое наблюдается у учащихся 2-й и 3-й групп. Например, ученица Оля Г., рассматривая цветочник, сказала: «Все боковые грани не имеют прямых углов, а нижняя и верхняя грани имеют прямые углы». Ученица применяет «свои» при-

анаки. Такой же подход отмечался у ученицы и при определении ею признаков прямоугольного параллелепипеда.

Эти учащиеся 2-й и 3-й групп способны освоить ступеньку, на которой происходит правильный подход к определению признаков формы предмета, но при условии более постепенного наведения их на решение задачи дополнительными заданиями, вопросами. Обследование учащихся при помощи 2-й и 3-й групп вопросов показывает, что плохие предшествующие знания плохи не только сами по себе, они сказываются на дальнейших знаниях — не являются орудием дальнейшего их расширения. Наоборот, самостоятельное мышление учащихся, опирающееся на дефектные знания, оказывается непродуктивным, приводит учащихся к ошибкам.

При сообщении каких-то знаний надо, следовательно, очень тщательно отработать те предшествующие знания, на которые опирается это новое знание. При формировании знаний о геометрических телах важно научить учащихся приемам определения формы предмета, соответствующим четвертому уровню, т. с. приемам анализа и синтеза. Этот уровень характеризуется тем, что при определении формы геометрического тела учащиеся рассматривают границы предмета со всех сторон, определяют форму границ, устанавливают связи между отдельными границами, дают словесное изложение признаков геометрического тела. При построении пробных экспериментальных уроков мы и исходили из этих предположений.

В § 3 излагается краткое содержание экспериментальных уроков по теме о формировании понятия «геометрическое тело».

Учащиеся обучались приемам выделения границ предмета со всех сторон, определения формы каждой границы. Приемы определения формы, выработанные на прямоугольном параллелепипеде, переносились в измененные условия.

В результате проведенных с учащимися после уроков индивидуальных бесед были определены некоторые особенности усвоения учащимися знаний. Отмечается сильное изменение в подходе учащихся к определению признаков формы предмета.

Формирование у учащихся нужной системы приемов при определении формы, перенос ее в измененные условия обеспечивал высокую эффективность мыслительного процесса.

Отмечены и недостатки экспериментальных уроков. Некоторые учащиеся вышли с урока с дефектами знаний, «свои» признаки оказались живучими. Автором показаны условия, которые не были обеспечены на уроке: не было хорошо продумано число рассматриваемых предметов, недостаточно обеспечивалась по.

следовательность предъявления объектов, не обращалось нужного внимания на необходимость словесной характеристики несущественных варьирующих признаков каждой формы.

Автором отмечается, что принцип варьирования несущественных признаков хорошо разработан В. И. Зыковой, но опыт практической работы в школе показывает, что само варьирование надо тщательно продумывать. Определяя число предметов с варьирующими признаками, следует осуществлять постепенность в степени отличия несущественных признаков. Затем показаны условия, обеспечивающие повышение качества процесса сообщения знаний, выявленные в результате проведения последующей серии экспериментальных уроков.

На основании результатов исследования автором излагаются общие принципы методики сообщения знаний о признаках любых геометрических тел.

1. Ознакомление учащихся с системой приемов определения признаков геометрического тела на первоначально данном предмете. Приемы следующие:

а) выделение всех границ предмета; б) уточнение формы границ предмета и установление связи между ними; в) словесное изложение результатов примененных приемов в виде существенных признаков геометрического тела, т. е. признаков его формы.

2. Применение этих приемов в несильно измененных условиях.

3. Применение этих приемов в сильно измененных условиях.

4. Многократное самостоятельное применение учащимися этих приемов в различных сильно измененных условиях.

В диссертации определены еще условия, которые необходимо учитывать при формировании понятия «геометрическое тело». Укажем некоторые из них.

1. На первом уроке по теме «Геометрическое тело» целесообразно рассматривать только предметы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда. Сначала следует рассмотреть предмет, более часто встречающийся в жизни, когда длина, ширина, высота различны (например, коробка для посылки). Затем берется предмет, в котором две противоположные грани — равные квадраты, а остальные четыре грани — равные прямоугольники. После этого можно рассмотреть проволочную модель, изображающую форму и размеры какого-либо хорошо знакомого учащимся предмета (например, пенала, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда). И, наконец, рассматриваются предметы, в которых различается совокупность частей, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда (модель приспособле-

ния, встречающегося в киосках, буфетах, столовых). При определении формы каждого предмета учащиеся переносят систему приемов (приемы а, б, в) в различные измененные условия.

2. Необходимо давать словесную характеристику всем варьирующим признакам.

Выдвигая общие принципы методики сообщения знаний по геометрии в VI классе, мы опираемся на положения павловской физиологии о важности постепенности анализа раздражителей. И. И. Павлов раскрывает сущность процесса постепенности анализа: «Относительно факта постепенного усиления условного эффекта при процессе его образования нужно сказать, что при этом дело идет о постепенном устранении посторонних раздражителей, мешающих образованию рефлекса»1). И. И. Павлов придавал большое значение тормозному процессу, когда осуществляется постепенное дифференцирование (различение) раздражителей, «путем задерживающего процесса, как бы заглушения остальных частей анализатора, кроме определенной. Постепенное развитие этого процесса и есть основание постепенного анализа». В то же самое время осуществление общих принципов методики сообщения знаний обеспечивает высокую подвижность умственной деятельности, приводит к свободному владению знаниями.

В работе проведен анализ выявленных нами общих принципов (четырех), применяемых при сообщении знаний, с позиций учения И. П. Павлова о закономерностях коры больших полушарий головного мозга, а также с учетом результатов исследований психологов, развивающих учение И. П. Павлова о высшей нервной деятельности.

На выводах об общих принципах методики сообщения знаний основываются приводимые ниже методические разработки уроков по различным темам курса геометрии шестого класса.

Глава II. «Формирование понятия «геометрическое тело» и других понятий с учетом особенностей усвоения учащимися знаний».

В § 1 излагается содержание подготовительной работы с учащимися, предшествующей формированию знаний о конкретных геометрических телах. В § 2 излагается содержание уроков по теме: «Геометрические тела». Тема первого урока: «Признаки прямоугольного параллелепипеда».

Содержание учебных задач первого урока.

1. Формирование у учащихся умения различать свойства

1) Павлов И. И. Избранные произведения. 1951, стр. 369, 190.

предмета: физические свойства, назначение предмета, форму и размеры предмета. Первоначальное знакомство учащихся с понятием о геометрическом теле.

2. Расширение понятия о плоских границах предмета и формирование умения определять формы плоских границ.

3. Обучение учащихся выделению границ прямоугольною параллелепипеда.

4. Формирование умения самостоятельно определять форму границ предмета, уточнять связи между границами.

5. Обучение умению давать словесную характеристику существенных признаков понятия формы прямоугольного параллелепипеда.

6. Обучение учащихся умению самостоятельно применять систему приемов определения формы прямоугольного параллелепипеда в измененных условиях. Примеры измененных условий: а) рассматривается предмет, отличающийся от ранее рассмотренного (ящика для посылки) физическими свойствами, например — железная коробка. У нее две противоположные грани — равные квадраты, один из них представлен своим контуром (открытый верх); б) из предметов различной формы учащиеся должны отобрать прямоугольные параллелепипеды, причем эти предметы сильно отличаются друг от друга размерами. Учащиеся обосновывают отбор, применяя признаки прямоугольного параллелепипеда; в) рассматривается предмет в измененном положении, например, когда опорой является одна из его вершин.

В § 2 дается также анализ характера сочетаний словесных и наглядных средств, применяемых в ходе разрешения учителем указанных учебных задач. Используя данные исследований по проблеме взаимодействия слова и наглядности в обучении, проводившихся под руководством действительного члена АПН Л. В. Занкова, мы при проведении уроков использовали такую форму сочетания, когда учитель своим словом руководит рассматриванием учащимися наглядных объектов, их практическими действиями, а учащиеся самостоятельно извлекают знания из наглядных объектов.

Указано содержание домашнего задания, которым завершается данный урок.

1. Отыскать дома два предмета, каждый из которых можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед. Предметы должны отличаться физическими свойствами, размерами, назначением. Ученик должен обосновать отбор предметов.

2. С помощью четырех прямоугольников, начерченных на плотной бумаге, изготовить модель, изображающую форму и

размеры спичечной коробки. Какое геометрическое тело изображает эта модель? Что сходное у спичечной коробки и модели, если их рассматривать как геометрические тела?

Тема второго урока: «Дальнейшая работа над понятием прямоугольный параллелепипед. Цилиндр». На предшествующем уроке проведена достаточно глубокая работа над понятием «прямоугольный параллелепипед». Однако, очень важно научить учащихся более эффективно отвлекаться от физических свойств. Застревание учащихся на физических свойствах часто является помехой в понимании того, что геометрическое тело не обладает никакими физическими свойствами. Отсюда на втором уроке мы практиковали проведение следующих приемов: наблюдение и сравнение предметов, которые можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед, но изготовленных в данном случае в виде проволочного каркаса или в виде трех стенок металлических или деревянных, а трех граней, не имеющих никакого материального оформления. Учащиеся сформулировали такое описание: прямоугольным параллелепипедом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон прямоугольниками, всего прямоугольников шесть, противоположно расположенные прямоугольники попарно равны между собою.

Во второй части урока учитель переходит к формированию понятия о цилиндре. Содержанием учебных задач является закрепление системы приемов определения формы предмета и подведение учащихся к тому, что цилиндр есть также часть пространства, ограниченная со всех сторон. Здесь также осуществляется работа с проволочными моделями, с моделями, у которых часть границ сделана из какого-то материала, а часть границ материально не представлена. Дается также анализ сочетания слова и наглядных средств, применяемых учителем при решении указанных задач. Излагается содержание домашнего задания: дать определение прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, указать сходное и отличное у комнаты и спичечной коробки, решить задачу с применением знаний о прямоугольном параллелепипеде. Из плотной бумаги изготовить модель, изображающую форму и размеры катушки с нитками. Какое геометрическое тело изображает эта модель?

Тема третьего урока: «Геометрические тела: призма, пирамида». Излагается содержание учебных задач.

1. Ознакомление учащихся с формами границ призмы шестиугольной, восьмиугольной (правильных).

2. Самостоятельное выделение учащимися признаков шестиугольной призмы (правильной), согласно плану определения при-

знаков геометрических тел, выработанному на втором уроке.

3. Расширение у учащихся наглядных представлений о призме: ознакомление с разновидностью призмы, основания которой не являются правильными многоугольниками.

4. Самостоятельное применение учащимися плана определения признаков формы геометрического тела в связи с определением признаков пирамиды.

Приемы, выработанные при формировании понятия о прямоугольном параллелепипеде и цилиндре, применяются в новых условиях — при ознакомлении с призмой и пирамидой. Учащиеся дают описание пирамиды: пирамидой называется часть пространства, ограниченная с одной стороны многоугольником, который называется основанием, а со всех остальных сторон — треугольниками, имеющими общую вершину.

Следовательно, весь характер работы на уроках геометрии таков, что у учащихся при изучении учебного материала постепенно вырабатывается умение применять полученные знания в различных измененных условиях. Указывается содержание домашнего задания.

Тема четвертого урока: «Геометрические тела: усеченная пирамида, конус, усеченный конус».

Излагается содержание учебных задач урока.

Анализ материала показал, что такая задача, как самостоятельное определение признаков таких мало знакомых для учащихся геометрических тел, как усеченная пирамида, конус, усеченный конус является посильной для учащихся, поскольку выполнение ее подготовлено предшествующей тщательной обработкой общих приемов определения признаков геометрических тел.

В результате мы в экспериментальных уроках имели возможность подтвердить, что учащиеся могли самостоятельно излагать признаки геометрических тел. Изложение 4-го урока заканчивается указанием содержания домашнего задания. Приводим его полностью:

1. Рассмотрите, как геометрические тела 4 предмета различной формы и дайте определение каждого из них.

2. Карандаш, который можно рассматривать как шестиугольную призму, мысленно разрежьте на три части так, чтобы одну из них можно было рассмотреть как прямоугольный параллелепипед. Измерьте, запишите длину сторон его граней и начертите эти грани. Дайте определение геометрического тела, которое вы различаете, рассматривая каждую из остальных частей карандаша. В § 2 излагаются также примерные практические задачи о геометрических телах, которые целесообразно да-

вать для решения учащимся на последующих уроках с целью более глубокой дифференцировки знаний о геометрических телах.

Проводится анализ выполнения учителем учебных задач. Заканчивается параграф изложением фактических данных, свидетельствующих об успешном овладении учащимися знаниями, относящимися к разделу «Геометрические тела».

В § 3 главы II даются методические разработки уроков по формированию понятий: о смежных углах, о высоте треугольника. И в данном случае применяются те же принципы (четыре), которые нами указаны в I главе. Они являются закономерностью процесса сообщения любого знания.

В главе III автором излагается методика обучения доказательству теорем при изучении разделов: «Признаки параллельности прямых», «Зависимость между углами, образованными двумя параллельными прямыми и секущей», «Сумма внутренних углов треугольника». Существенными знаниями при изучении этих разделов являются знания об углах, образованных двумя прямыми, пересеченными третьей прямой.

Параллельность прямых доказывается с помощью рассмотрения углов, образованных двумя прямыми и секущей, если эти углы равны между собой или их сумма равна 2d. В свою очередь эта характеристика углов должна относиться не к любым углам, а к строго определенным (внутренние накрест лежащие, соответственные и др.). Отсюда мы заключаем, что в голове ученика должны быть отражены знания о том, какие углы являются соответственными, какие — внутренними накрест лежащими и т. д. Эти знания должны быть очень подвижными, т. е. ученик должен узнавать все эти углы в любых условиях.

В существующем учебнике дело так и понимается, — разделу о признаках параллельности прямых предпосылается параграф, в котором сообщаются знания об углах, образованных двумя прямыми, пересеченными третьей прямой. Однако, подобно тому, что имело место в разделе «Геометрические тела», эти знания даются без учета особенностей усвоения учащимися знаний. Мы провели обследование того, как учащиеся применяют знания об углах, образованных двумя прямыми, пересеченными третьей прямой, когда прямые параллельны, причем это обследование проводилось после того, как учащимся были сообщены знания по темам «Признаки параллельности прямых», «Зависимость между углами, образованными параллельными прямыми и секущей».

В диссертации указаны предложенные учащимся задачи. Укажем некоторые из них.

MP II DA. Найти на чертеже равные углы, образованные параллельными прямыми и секущей и указать, почему углы равны.

CD II MB. Найти на чертеже угол, равный углу M и угол, равный углу В, и указать, почему углы равны.

Дан AADM. Построить углы с вершиной в точке D и с вершиной в точке М, равные углу А, как соответственные при параллельных и секущей, как внутренние накрест лежащие.

Многие учащиеся затруднялись выделить нужные углы, т. к. они опирались на «свои» признаки углов, образованных двумя параллельными прямыми, пересеченными третьей прямой.

Например, ученица указывает такой признак соответственных углов «один угол внутри, а другой — в другую сторону», и исходя из этого, «своего» признака, считает равным углы ALP и LKC или углы DAL и PLC (см. черт. 1). Ученица усвоила, что

соответственные углы расположены в разные стороны от какой-то прямой, пересекаемой другой прямой, и усвоила также, что соответственные углы бывают равны.

Учащиеся второй группы правильно практически выделяют различные пары углов, но это выделение происходит только в мало измененных по сравнению с привычными условиями. Например, учащиеся не решают вторую задачу. У них имеются словесные характеристики признаков углов, однако они неполные.

Учащиеся третьей группы могут дать и правильное определение признаков углов, и могут практически выделить эти углы в достаточно измененных условиях, однако и они могут столкнуться со случаем, как, например, в задаче 3-й, когда дается чертеж с сильно варьирующими условиями.

Ученик дает такое решение. Он строит прямую ВС, параллельную AM, но не продолжив секущую, к которой должен прилегать угол 2, он указывает угол, образованный одной из параллельных прямых, но прилежащий к другой секущей. Учащиеся 4-й группы выделяют две прямые, пересеченные 3-й прямой (в данном случае параллельные прямые), уточняют расположение отдельных пар углов относительно секущей и двух других прямых, уточняют стороны углов, излагают существенные признаки углов.

Из анализа знаний учащихся об углах, образованных двумя прямыми, пересеченными третьей прямой, очевидно, что для того, чтобы они могли применять эти знания при решении задач успешно усваивали дальнейшие теоретические разделы, эти знания должны быть очень дифференцированные, подвижные. Отсюда в наших пробных экспериментальных уроках мы обучили учащихся практическим приемам построения равных соответственных углов, внутренних накрест лежащих углов. В работе изложен процесс этого обучения.

После пробных уроков обследование учащихся показало, что они уже справляются с нахождением указанных углов в любых условиях, излагают существенные признаки углов.

В процессе индивидуальных бесед, проведенных после экспериментальных уроков, учащимся задавался вопрос: как ты находишь равные соответственные углы? Приведем один из типичных ответов учащихся: «Рассматриваю параллельные и секущую, остальные линии, какие не нужны, не принимаю во внимание. Эти углы должны находиться: один между параллельными, а другой вне параллельных, по одну сторону от секущей и около разных параллельных прямых».

Автором предлагаются следующие методические приемы сообщения знаний об углах, образованных двумя прямыми и секущей:

1) Выделение двух прямых и их секущей; подчеркивание, что мы не занимаемся углами, образованными двумя пересекающимися прямыми. Вся суть данной темы в том, что мы соотносим каждый из углов, образованных прямой и секущей, с углами, образованными другой прямой и секущей.

2) Уточнение принадлежности какой-то одной пары углов внутренней или внешней областям, расположения углов относительно секущей, а также двух других прямых с обязательным изложением существенных признаков данной пары углов как по ходу выделения каждого признака, так и в виде обобщения.

3) Самостоятельное выделение учащимися на том же чертеже аналогичных углов, а потом других пар углов и характеристика их путем сформированной системы приемов.

4) Самостоятельное применение учащимися системы приемов при выделении таких же пар углов на сильно измененных чертежах, когда варьируют несущественные для углов признаки, расположение прямых и секущей, ограниченность секущей, когда даны пересекающиеся прямые и т. д.

В § 2 главы III излагается полностью урок об углах, образованных двумя прямыми, пересеченными 3-й прямой, методическая разработка которого основывается на вышеуказанных методических приемах. Проводится так же анализ урока с точки зрения сочетания слова учителя и наглядных средств.

В § 3 рассматривается методика изучения темы: «Признаки параллельности прямых». Излагается содержание двух уроков. На первом уроке учащимся сообщаются знания о первом признаке параллельности прямых: если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство этой теоремы тогда будет происходить успешно и осознано учащимся, если учитель проведет тщательно

ту работу, которую мы рекомендовали в предшествующем параграфе.

После проведения подготовительной работы ставится проблемный вопрос: «Если две прямые, не перпендикулярны к 3-й их пересекающей, то могут ли они быть параллельными?». Приводятся жизненные примеры (тетради в две линии с косыми и др.). Ответом на этот вопрос является решение задачи:

Дано: |_ 1 = 40°; [_2 = 40°; СМ = МО; MD _[_ АЕ; Являются ли прямые АЕ и PB параллельными?

Ставятся вопросы:

В каком случае можно утверждать, что прямые параллельны? О перпендикулярности каких прямых говорится в условии задачи?

Чего не хватает, чтобы утверждать, что прямые АЕ и PB параллельны? Надо доказать, что DL _L PB. Как еще можно это сформулировать? Что надо сделать для того, чтобы перейти к доказательству равенства углов ODM и MLG. Этот аналитический разбор направляет учащихся на самостоятельное выявление того, какие отдельные знания следует применить к доказательству новой теоремы и почему? После этого учащиеся подводятся к конкретному решению задачи. Составляется план решения задачи:

1. Доказать равенство треугольников.

2. Применить зависимость между сторонами и углами в равных треугольниках.

3. Применить свойство: два перпендикуляра к одной прямой параллельны.

Согласно плану, учащиеся проводят все рассуждения. Так у учащихся формируется не только умение в применении каждого отдельного знания, но и умение применять в определенном плане все три последовательных рассуждения.

Учитель делает обобщение: «Дополнительное построение (деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра из точки на прямую) мы всегда сможем сделать сами, следовательно, в условии достаточно только указать, что внутренние накрест лежащие углы равны, причем углы могут быть любой величины».

Обращается внимание учащихся на то, что при ограниченном числе данных — внутренние накрест лежащие углы равны при любой их величине — всегда можно применить указанные знания, значит всегда можно доказать, что прямые параллельны. В геометрии принято считать, что в этом случае доказывается теорема. Учащиеся сами формулируют теорему и на измененном чертеже доказывают ее, предварительно сформулировав план доказательства. Таким образом, учащиеся переносят как отдельные рассуждения, так и систему всех рассуждений в измененные условия.

В двух рассмотренных случаях углы были острыми, затем учащиеся проводят все рассуждения, когда внутренние накрест лежащие углы тупые.

Далее в § 3 излагается содержание урока, на котором рассматривается второй признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых третьей, соответственные углы равны, то прямые параллельны. Аналогично первому уроку учитель направляет на самостоятельное применение учащимися ранее известных знаний. Учитель обучает учащихся тому, как применить первый признак параллельности для вывода нового признака. С этой целью он предлагает показать на чертеже внутренние накрест лежащие углы и доказать их равенство.

Учащиеся затем применяют всю систему рассуждений, когда даны равные соответственные углы 4 и 5. Особого внимания заслуживает предъявление учащимся сильно измененного чертежа для доказательства той же теоремы.

3. LI и L 3 — внутренние накрест лежащие, [_1=1_35 значит DC II РА. Учащиеся самостоятельно выполняют дополнительное построение, составляют план доказательства:

1) Применить свойство вертикальных углов.

2) Применить свойство: если две величины порознь равны одной и той же третьей, то они равны между собой.

3) Применить 1-й признак параллельности прямых.

В соответствии с каждым вопросом плана учащиеся проводят рассуждения. Все рассуждения учитель кратко записывает на доске, а учащиеся в тетрадях (пункты 1, 2, 3), причем запись каждого пункта соответствует определенному применяемому знанию.

Сочетания слова учителя и наглядных средств были направлены на выработку у учащихся умения самостоятельно применять знания (система приемов), а также систему знаний, приводящую к новому выводу.

На втором уроке после вывода признака параллельности прямых учащимся была предложена задача на плакате (устно):

Дано: !_1 = [__2; \_3=\_4г DP = РМ: Показать: 1) Какие прямые параллельны?

2) Какие треугольники равны?

Учащиеся предложили различные подходы к решению задачи.

В § 4 проводится анализ контрольных работ. Учащимся были розданы билеты с указанием трех вопросов: доказательство двух теорем о признаках параллельности и задача на доказательство. Для каждой теоремы и задачи был дан чертеж, указано, что дано и что требуется доказать. Было составлено 8 вариантов контрольных работ. Для выполнения работы был отведен один академический час.

Проводится подробный анализ работ одного класса VI«в» 68 школы (г. Куйбышев). Писали работу 38 учащихся. Оценки: 11 чел. — «5», 15 чел. — «4», 10 чел. — «3», 2 чел. — «2».

Отмечаются некоторые особенности работ, оцененных баллами «5» и «4», а также баллами «3» и «2».

В § 5 данной главы рассматривается методика изучения темы «Сумма внутренних углов треугольника» с предварительным анализом характера усвоения знаний учащимися по данной теме. Проводится анализ самостоятельной работы учащихся по этой теме.

В диссертации излагаются выводы, сделанные в результате проведенного исследования. Эти выводы содержат новое в методике обучения геометрии.

1. Построение методики обучения геометрии осуществляется на основании психологического анализа особенностей усвоения учащимися знаний по геометрии. Указываются уровни осмысливания учащимися знаний.

2. Особенностью этой методики является обучение учащихся приемам анализа и синтеза на первоначальном этапе сообщения любого знания. Это требование выражается в ознакомлении учащихся с общей системой трех приемов, являющейся средством, предупреждающим образование «своих» ошибочных знаний. Излагается содержание этих приемов.

3. Учитывая особенности усвоения учащимися знаний, выдвигается требование постепенного подведения учащихся к усвоению того или иного знания, а также требование создания условий, обеспечивающих высокую подвижность мыслительной деятельности учащихся при сообщении новых знаний. Эти требования находят выражение в формулировании общих принципов методики сообщения знаний (четырех). Излагается содержание этих принципов.

4. Наглядность в сочетании со словом учителя является эффективным средством развития мышления учащихся. В работе на конкретном материале показано, какие функции в мыслительной деятельности выполняет каждое сочетание слова учителя и наглядных средств. Это стало возможным потому, что в основе сочетаний лежат общие принципы методики сообщения любого знания. Важным назначением наглядности является то, что она выполняет роль измененных условий, когда при решении посильных проблемных задач учащиеся, применяя общую систему приемов, многократно осуществляют анализ и синтез, а это характеризует совершенствование мыслительной деятельности. Показаны условия, когда наглядность выполняет отрицательную роль в мыслительной деятельности ученика. Недостаточный учет особенностей усвоения учащимися знаний приводит к неправильному применению учителем наглядных средств.

5. Определено дидактическое содержание учебных задач. Учителем намечается последовательность этапов сообщения

знаний, когда на каждом этапе учащиеся обучаются какому-то определенному умению, т. е. на каждом этапе достигается определенное продвижению ученика в развитии его мышления. Эти этапы мы назвали учебными задачами.

6. Определены некоторые особенности логического мышления на основании психологического анализа усвоения учащимися знаний по геометрии. Дедуктивное умозаключение является наиболее естественной формой мышления учащихся VI класса, однако в логике она указывается без учета особенностей ее формирования в соответствии с возрастом ученика. На фактическом материале показано, что у учащихся очень постепенно развивается умение в применении этой формы мышления. Показано соответствие общей системы приемов дедуктивному умозаключению. Вскрыто особое значение отработки второго приема общей системы, соответствующего второму суждению дедуктивного умозаключения. Психологической основой развития логического мышления учащихся является выполнение указанных нами общих принципов методики сообщения знаний.

7. В работе указан ряд положений по методике доказательства теорем, являющихся новыми в методике сообщения знаний.

8. Вскрыто несоответствие изложения большой части геометрического материала в учебнике1) психологическим требованиям к полноценному усвоению того или иного знания учащимися.

9. Исследован вопрос о критерии качества усвоения учащимися знаний. Показан новый подход к оценке усвоения учащимися знаний.

На основании материалов исследования нами проведена методическая работа с учителями:

1) Семинар по всему курсу геометрии VI класса с учителями Самарского района при ИУУ г. Куйбышева.

2) Доклады: на областном съезде учителей Куйбышевской области, на районных августовских совещаниях учителей математики Кировского и Сергиевского районов, на общегородском совещании учителей математики г. Куйбышева.

3) Учительница А. В. Михеева поделилась опытом применения нашей методической системы на августовском совещании учителей математики в г. Куйбышеве.

Результаты исследования были доложены на научно-методической конференции в гор. Оренбурге (1960), на научных конференциях математических кафедр педагогических институтов

1) Никитин Н. Н. Геометрия. Учебник для 6—8 классов. 1961.

Поволжья: на 1-й конференции в г. Куйбышеве (1961), на 3-й в г. Саратове (1963), на 4-й в г. Казани (1964).

Основные положения диссертации опубликованы в работах автора:

1. Метод, целесообразного сочетания слова учителя и наглядных средств а обучении геометрии, Куйбышев (5 печ. л., 1960).

2. О некоторых вопросах активизации методов обучения при формировании математических понятий в V кл., сборн. «Совершенствовать методы преподавания математики», г. Куйбышев, 1960.

3. Метод целесообразного сочетания слова учителя и наглядных средств в обучении геометрии, Труды 1-й научной конференции матем. кафедр пединстит. Поволжья, 1961. (Аннотация).

4. Обучение геометрии и развитие мышления учащихся (на материале VI класса). Статья печатается в сборнике «Труды 2-й и 3-й научных конференций матем. кафедр пединститутов Поволжья», 1964.

Сдано в набор 6-Ы965 г. Подписано к печати 6-1-1965 г. ЕО05401. Формат 60Х84Ц/16> Физ. печ. л. У,'2. Усл. печ. л. И/2. Тираж 120.

г. Куйбышев, типография УЭЗ КПтИ. Заказ № б.