МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Н. В. ЕЛИЗАВЕТИНА

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И ИХ РОЛЬ В ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук доцент В. Г. Прочухаев.

Казань — 1966

Современная математическая наука применяется почти во всех областях человеческого знания ; ее роль в нашем обществе возросла как никогда. Возрастают и требования, которые предъявляются к изучению математики в школе.

Главная задача преподавания математики состоит сейчас в повышении математического развития учащихся, в создании у учащихся прочных навыков мыслительной деятельности. Вместе с задачей повышения научного уровня обучения остается задача сближения школьного преподавания математики с практическими приложениями этой науки, привития учащимся навыков применения математики в практике. Эти две задачи взаимосвязаны. При правильной постановке преподавания практические приложения математики должны способствовать более глубокому усвоению математических понятий.

В решении задачи сближения школьного курса с современной математикой, с одной стороны, с практическими приложениями математики, — с другой, весьма значительную роль играют в школьном курсе вопросы вычислительной математики. Значение вычислительной математики все еще недостаточно оценивается.

Вычислительная математика имеет двоякое значение: во-первых, хорошие вычислительные навыки необходимы в различных областях практической деятельности, они необходимы каждому образованному человеку. Овладение хорошими вычислительными навыками должно являться необходимым элементом среднего образования. Во-вторых, изучение вопросов вычислительной математики и сама вычислительная работа содействуют более глубокому и конкретному уяснению многих принципиальных математических вопросов.

В процессе решения практических вычислительных задач возникают и развиваются математические понятия, математические методы. Приближенные вычисления подводят к пониманию важнейших теоретических положений математики, имеют большое значение для формирования основных понятий математики, таких, как понятие числа, предела, непрерывности и других, для установления связей между различными вопросами школьного курса.

Эта образовательная сторона вычислительной математики недооценивается в практике работы школ и недостаточно раскрыта в методической литературе.

В последние годы вопросам приближенных вычислений в средней школе посвящено немалое число методических исследований ; однако до сего времени эту проблему нельзя считать окончательно решенной. Об этом свидетельствуют материалы дискуссии, проведенной журналом «Математика в школе» в 1964 г.

Приближенные вычисления так, как они поставлены в существующем школьном преподавании, преследуют узко практическую цель — научить учащихся правильно и рационально вычислять. Значение приближенных вычислений для изучения других разделов математики, для улучшения общематематической подготовки учащихся в школьном преподавании и в методической литературе в должной мере не раскрывается.

Перед методикой преподавания математики все еще стоят задачи правильного отбора вопросов вычислительной математики для школы и разработка наилучшей системы изучения этого материала.

В нашем исследовании на первом месте стоит задача раскрытия именно образовательного значения приближенных вычислений в школе.

Целью нашей диссертации являются разработка и обоснование такой методики обучения приближенным вычислениям, при которой приближенные вычисления будут увязаны со всем процессом математического развития.

В диссертации использованы следующие методы исследования :

1. Изучение состояния вычислительной культуры учащихся, изучение стедени сознательности усвоения учащимися основных понятий математики, связанных с приближенными вычислениями, путем посещения уроков, собеседований с учащимися, просмотра их тетрадей и письменных работ.

2. Изучение и критический анализ школьной программы по математике, учебной и методической литературы по исследуемому вопросу.

3. Изучение передового опыта учителей математики, достижений педагогики и педагогической психологии. Личный опыт преподавания в средней школе и опыт руководства педагогической практикой студентов математического факультета.

4. Проведение педагогического эксперимента с целью проверки предлагаемой системы изучения приближенных вычислений в школе.

5. Обсуждение результатов исследования среди учите лей и методистов.

В 1960 году автор выступал с докладами по материалам диссертации на районных учительских совещаниях перед учителями Советского района гор. Москвы и Краматорского района Московской области. В 1963-1964 гг. результаты эксперимента, проведенного автором, обсуждались на районном и городском методических совещаниях с учителями г. Омска. В 1964 и в 1966 гг. на областных педагогических чтениях учителей Омской области по материалам эксперимента были прочитаны доклады:

1. Методика изучения темы «Действительные числа» в курсе IX класса средней школы.

2. Приближенные вычисления с учетом погрешностей в средней школе.

По исследуемой проблеме были так.;:с прочитаны доклады на научных конференциях математических кафедр педагогических институтов Поволжья:

1. Роль приближенных вычислений в формировании основных математических понятий (г Ульяновск. 1961 г.).

2. Об измерении площадей в средней школе (г. Ульяновск, 1961).

3. Действительные числа в средней школе (г. Волгоград, 1962).

4. Принцип Кантора и его роль в школьном курсе математики (г. Казань, 1964).

Диссертация состоит из введения и следующих четырех глав:

Глава I. Состояние вопроса о приближенных вычислениях в учебно-методической литературе и практика преподавания этого раздела в школе.

Глава II. Методика изучения вопросов приближенных вычислений в школе.

Глава III. Приближенные вычисления и формирование понятия действительного числа.

Глава IV. Приближенные вычисления и измерение величин в средней школе.

В приложении к диссертации даются протоколы некоторых уроков проведенного эксперимента.

В первой главе дается критический анализ школьных программ, учебников и методической литературы по исследуемому вопросу.

По программе 1960 г. содержание приближенных вычислений в восьмилетней школе составляют правила подсчета цифр, пользование таблицами и счетной линейкой. Хотя в программу и включены понятия абсолютной и относительной погрешностей, но они не используются для обоснования правил подсчета цифр и не получают затем дальнейшего применения и развития. Нельзя считать целесообразным введение определений понятий погрешностей до того, как учащиеся познакомятся с отрицательными числами, с абсолютной величиной числа. Не зная операций с рациональными числами, учащиеся даже не могут решить задачу нахождения одного из членов равенства х—а = \а по двум данным. (Здесь х - точное число, а — приближенное значение х, Да — истинная погрешность приближенного мисла а).

Приходится вводить специальное определение понятия абсолютной погрешности, отличное от принятого в математике.

Понятия границ абсолютной и относительной погрешностей (следуя терминологии В. М. Брадиса), с которыми и приходится оперировать в вычислительной практике, не включены в школьную программу. Поэтому з школьных учебниках и в практике работы школ эти понятия в должной мере не выясняются.

Программы восьмилетней и средней школы не содержат приближенных вычислений со строгим учетом погрешностей, не содержат этих вопросов и школьные учебники, совершенно недостаточно разработаны эти вопросы в методической литературе.

Вопросы приближенных вычислений, которые рассматриваются в курсе арифметики 6-го класса, недостаточно увязываются затем с изучением курса алгебры, геометрии, физики и других учебных предметов. Навыки вычислений по правилам подсчета цифр не получают дальнейшего применения и развития в последующих классах.

В учебниках и задачниках по алгебре, геометрии, физике недостаточно задач, в которых бы закреплялись навыки приближенных вычислений. Более того, в одинаковых по содержанию задачах, где данные должны быть числами

приближенными, ответы даются то как числа точные, то как числа приближенные. Подобные задачи дезориентируют учащихся в отношении применения правил приближенных вычислений.

В школьных учебниках и методической литературе изучение приближенных вычислений не связывается с изучением таких разделов, как неравенства, уравнения, измерение геометрических величин и т. д.

В диссертации подвергается критическому анализу изложение некоторых вопросов приближенных вычислений в учебнике арифметики И. Н. Шевченко в связи с задачей формирования понятия действительного числа.

Введение понятия бесконечной десятичной дроби в курсе арифметики V класса является весьма важным подготовительным этапом к введению понятия действительного числа. В учебнике арифметики И. Н. Шевченко понятие о приближенном частном рассматривается в связи с бесконечным процессом деления.

Изложение вопроса о бесконечной десятичной дроби проводится таким образом, что у учащихся создается неправильное представление о бесконечной десятичной дроби, как о каком-то неточном числе. Отсюда вытекает необходимость глубоко продуманного изложения этого вопроса, основанного на правильной взаимной связи между понятиями точного числа и его приближенного значения.

В I главе диссертации отмечается, что в школьных учебниках ГДР, Чехословакии, США приближенные вычисления рассматриваются в большем объеме, нежели в наших учебниках. Большое внимание в рассматриваемых зарубежных учебниках уделяется приближенным вычислениям с учетом погрешностей. Вопросы приближенных вычислений рассматриваются на протяжении длительного времени, в различных классах и связаны с содержанием не только математических, но и других предметов школьного курса.

В заключение 1 главы обосновывается необходимость существенной перестройки системы изучения приближенных вычислений в школе.

Основные моменты предлагаемой перестройки таковы :

1. Изучение приближенных вычислений должно происходить в глубокой связи с изучением всего школьного курса математики. Вся работа по приближенным вычислениям должна строиться так, чтобы она способствовала формированию понятий действительного числа, геометрической величины, предела и других понятий, способствовала созна-

тельному усвоению свойств чисел, усвоению операций с алгебраическими выражениями, усвоению уравнений и неравенств и других вопросов школьного курса математики.

2. В школьный курс должны быть введены вычисления с учетом погрешностей. Начальное ознакомление учащихся с операциями над приближенными числами должно проводиться на основании метода границ.

3. Приближенные вычисления с учетом предельных погрешностей должны служить обоснованию правил подсчета цифр.

В главе II (§ 6—10) дается разработка методики преподавания приближенных вычислений в школе.

В § 6 рассматривается методика введения начальных понятий приближенных вычислений в V классе. Обосновывается, что понятие приближенной величины («приближенного числа») должно быть введено в связи с задачей измерения непрерывных величин. Приближенное число, как результат счета, не должно рассматриваться при первоначальном знакомстве с понятием приближенного числа. Ведь принципиально результат счета может быть только точным числом, а результат практического измерения — числом приближенным.

Это принципиальное различие должно быть постепенно усвоено учащимися. На основании эксперимента дается примерная схема проведения с учащимися занятий, на которых вводятся основные понятия приближенных вычислений. При изучении приближенных вычислении с учащимися постепенно должны быть выяснены две задачи измерения: теоретическая задача и практическая. В обучении мы начинаем с практической задачи измерения, но при этом учащиеся должны подготавливаться к пониманию и теоретической задачи. Теоретическая задача измерения непрерывной величины состоит в сопоставлении каждому значению такой величины определенного числа.

В VI классе в курсе геометрии должна быть рассмотрена уже и теоретическая задача измерения. Так, например, измерение длины отрезка на первых этапах обучения имеет своим результатом лишь получение приближенной длины отрезка. В процессе обучения должно формироваться понятие геометрического отрезка и понятие точной длины отрезка. В течение длительного времени учащиеся рассматривают приближенные длины отрезков, выполняют опера-

ции с ними. Это способствует формированию понятия длины геометрического отрезка, а на более позднем этапе обучения—приводит к понятию действительного числа и его представлению в виде бесконечной десятичной дроби.

В процессе практических измерений и приближенных вычислений у учащихся постепенно должно формироваться понятие действительного числа, как числа, которое является точным значением некоторой величины, в отличие от приближенных чисел, которые будут действительно приближениями к искомому точному числу; этих приближений к точному числу может быть сколько угодно, и все они на практике — числа рациональные.

При изучении десятичных дробей рассматривается понятие о точности измерения.

Точность измерения понимается как наименьшая десятичная доля выбранной единицы, которая учитывается при измерении. Учащиеся получают первое представление об истинной и предельной погрешностях приближенного числа. Определения этих понятий еще не водятся.

В VI классе понятие приближенного числа расширяется: приближенные числа получаются не только как результат непосредственного измерения или округления, но и в ином смысле (например, «приближение по вероятности»).

В § 7 главы II рассматриваются измерение геометрических величин и приближенные вычисления по методу границ.

По действующей программе в V классе в теме «Десятичные дроби» рассматриваются задачи геометрического содержания, данные для которых получаются путем непосредственных измерений и являются поэтому числами приближенными. Так как учащиеся к этому времени еще не умеют оперировать с приближенными числами, то вычисления производятся как с числами точными. При этом учащиеся не умеют оценить точность результата, действия над приближенными числами производятся учащимися недостаточно осмысленно.

Можно значительно повысить эффективность и сознательность работы в области приближенных вычислений, если рассмотреть с учащимися вычисления по методу границ.

Нами и обосновывается необходимость изучения в школе приближенных вычислений по методу границ. Метод границ имеет важное значение для сознательного усвоения правил приближенных вычислений.

Изучение и практическое применение метода границ способствуют более глубокому усвоению зависимостей результатов арифметических действий от компонентов, способствуют усвоению операций с неравенствами. Нами проведена экспериментальная работа по изучению метода границ в V классе. Эксперимент показал, что приближенные вычисления по методу границ вполне доступны учащимся V классов. Для изучения метода границ не нужно запоминания формальных правил, это не связано с нагрузкой памяти учащихся. Приближенные вычисления по методу границ не требуют введения каких-либо новых понятий. Все операции с приближенными числами основаны на понятиях приближенного значения величины с недостатком и с избытком и на знании свойств арифметических действий.

Навыки приближенных вычислений по методу границ, полученные учащимися в V классе, должны получить затем свое дальнейшее развитие и закрепление в последующих классах, где рассматриваются задачи на измерение площадей, объемов, длин кривых.

Проведенная экспериментальная работа показала, что учащиеся, знакомые с методом границ, более сознательно усваивают все вопросы измерения геометрических величин, понимают идейную сторону этих вопросов и их практическое решение.

В § 8 главы II рассматривается методика изучения приближенных вычислений с учетом погрешностей

Нами обосновывается необходимость расширения сведений по приближенным вычислениям, предусмотренных программой 1960 г., и включение вопросов приближенных вычислений с учетом погрешностей в различные разделы курса алгебры.

Понятия погрешностей приближенного числа целесообразно рассмотреть при изучении множества рациональных чисел. Хотя в практических вычислениях приходится оперировать лишь с предельными погрешностями, в диссертации обосновывается необходимость разграничения понятий.

Мы рекомендуем в школьные программы и учебники ввести понятие истинной погрешности, как разности между точным числом и его приближенным значением х—а=\а, понятие абсолютной погрешности I Да I и предельной абсолютной погрешности \а . Точно так же мы рекомендуем

ввести понятия истинной относительной погрешности

относительной погрешности

и предельной относительной погрешности

Изучение теорем об истинных погрешностях результатов арифметических действий должно проводиться в связи с изучением целых и дробных алгебраических выражений, уравнений и быть органически связанным с этими вопроса ми. Проведенный эксперимент показал, что при такой методике изучения этих вопросов не требуется выделения специального времени.

Теоремы об истинных погрешностях результатов арифметических действий над приближенными числами необходимо рассмотреть с учащимися по следующим причинам:

1. Операции с равенствами, тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений значительно проще, чем операции с неравенствами в теоремах о предельных погрешностях.

2. Рассматривая теоремы об истинных погрешностях, учащиеся усваивают символику приближенных вычислений.

3. То обстоятельство, что каждая теорема может быть иллюстрирована любым конкретным примером, в котором известны точные числа, их приближенные значения и погрешности, помогает учащимся в сознательном усвоении теорем.

4. Изучение теорем об истинных погрешностях арифметических действий, с одной стороны, позволяет закрепить навыки операций с десятичными дробями, навыки тождественных преобразований, навыки решения уравнении, с другой стороны, — подготавливает учащихся к усвоению более трудных вопросов приближенных вычислений.

5. Теоремы об истинных погрешностях важны также и для того, чтобы затем показать учащимся, что теоремы о предельных погрешностях определяют предельные погрешности с «большим запасом», т. е. значительно превосходящими истинные погрешности.

При изучении теорем об истинных погрешностях мы рекомендуем дать первое предварительное обоснование правилам подсчета цифр. Эта работа должна быть продолжена затем при изучении теорем о предельных погрешностях.

Изучение теорем о предельных погрешностях арифметических действий проводится в связи с изучением неравенств. Так как в настоящее время неравенства рассматриваются лишь в курсе IX класса, то теоремы о предельных погрешностях мы рассматривали с учащимися IX класса.

Одновременно в диссертации высказывается целесообразность изучения числовых неравенств и их свойств в курсе восьмилетней школы. При этом условии правила подсчета цифр получат должное обоснование уже в восьмилетней школе.

В § 9 главы II рассматривается связь приближенных вычислений с изучением функциональной зависимости. Дается методика изучения простейших приближенных формул как в классных, так и в кружковых занятиях с учащимися различных классов, начиная с шестого. Ознакомление учащихся с приближенными формулами проводится вместе с изучением формул сокращенного умножения, тождественных преобразований и операций с рациональными и иррациональными выражениями. Эти формулы находят затем свое применение в геометрии и физике.

Работа с приближенными формулами увязывается с изучением различных таблиц. С учащимися Х-х классов рассматривается применение дифференциала к приближенному вычислению значений функций. Дается обоснование изученным ранее приближенным формулам. Понятие дифференциала используется для оценки погрешности значения функции по известной погрешности значения аргумента.

Показываются целесообразность и возможность изучения линейного интерполирования в восьмилетней школе.

В результате проведенного исследования в заключение главы II предлагается система изучения приближенных вычислений в школе.

Основные положения этой системы таковы:

1. Изучение операций с приближенными числами начинается с вычислений по методу границ. Метод границ изучается на основании свойств арифметических действий в курсе V класса при рассмотрении практических задач на измерение величин.

2. В курсе алгебры VI, а затем VII класса рассматриваются понятия погрешностей приближенного числа и теоремы об истинных погрешностях.

3. Изучение теорем об истинных погрешностях связывается с изучением рациональных чисел и уравнений. Вме-

сте с этим проводится подготовительная работа к введению правил подсчета цифр.

4. Изучение теорем о предельных погрешностях связызается с изучением неравенств и служит затем обоснованию правил подсчета цифр.

5. Изучение приближенных вычислений связывается также с изучением функциональной зависимости между величинами. Начиная с VI класса, учащиеся знакомятся с приближенными формулами. В X классе с помощью понятия дифференциала дается обоснование приближенным формулам, известным ранее, и учащиеся знакомятся с новыми формулами. Работа с приближенными формулами увязывается с изучением таблиц. В связи с изучением линейной функции рассматривается задача линейного интерполирования.

6. В старших классах закрепляются навыки приближенных вычислений по правилам подсчета цифр и с учетом предельных погрешностей.

7. Приближенные вычисления по методу границ служат для определения действий над действительными числами, для определения понятия площади произвольной фигуры, для определения понятия предела и других математических понятий.

Таким образом, вычислительная работа строится в трех направлениях :

1. Приближенные вычисления по методу границ, которые рассматриваются сначала на основании свойств арифметических действий, а затем — на основании свойств неравенств, служат задаче формирования математических понятий, и вместе с тем метод границ позволяет оценить результат измерения или вычисления.

2. В приближенных вычислениях со строгим учетом предельных погрешностей ставится задача овладения на ьыками приближенных вычислений, которые применяются б технике и вычислительной практике

3. Правила подсчета цифр, которые получают должное обоснование, применяются затем в вычислениях, где не требуется строгой оценки результата.

В третьей главе диссертации (§ 11 —14) рассматриваются формирование понятия действительного числа и роль в этом процессе приближенных вычислений.

В § 11 излагаются основные методологические принципы формирования математических понятий. Далее подробно рассматриваются методологические принципы формирования понятия действительного числа. Из общих методологических принципов следует, что в процессе обучения формирование понятия действительного числа должно проводиться в связи с задачей измерения непрерывных величин.

В диссертации показывается, что в связи с наличием недочетов, имеющихся в школьных учебниках, у учащихся не складывается правильного представления о действительном числе, об иррациональном числе.

Понятие действительного числа в явном виде в программу восьмилетней школы не включено. Это может быть объяснено тем, что при сложившемся традиционном преподавании понятие о действительном числе вводится в чрезвычайно абстрактном виде и поэтому является трудным для учащихся восьмилетней школы. В то же время из общих методологических принципов развития понятия числа и из задач школьного обучения следует необходимость и возможность введения понятия действительного числа на более раннем этапе обучения (в восьмилетней школе) с помощью наглядных представлений, связанных с измерением непрерывной величины.

В диссертации и обосновывается необходимость введения понятия действительного числа в восьмилетней школе. При этом сначала должны вводиться действительные числа, а затем из множества действительных чисел должно выделяться множество чисел иррациональных

Вычислительная работа и, прежде всего, вычисления по методу границ подводят учащихся к изображению действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби. Вместе с тем, введение понятия действительного числа является естественным завершением практической вычислительной работы, которая проводится с учащимися на протяжении длительного времени.

В § 13 главы III дается описание эксперимента по теме «Действительные числа», проведенного нами в IХ классе школы № 125 г. Омска. Излагается краткое содержание восьми уроков, проведенных по этой теме. На основании эксперимента устанавливается объем сведений для учащихся о действительном числе. Показывается, что в рамках существующей программы можно рассмотреть с учащимися свойство непрерывности системы действительных чисел.

В § 14 рассматриваются вопросы пропедевтики к изучению понятия предела в связи с изучением понятий и методов приближенных вычислений. Так, уже в V классе (без определения) вводится понятие последовательности из рассмотрения последовательных приближенных значений частного. Переменная разность между точным частным и его десятичными приближенными значениями для учащихся V класса является первым примером бесконечно-малой величины. В VI классе снова рассматриваются подобные примеры; и указанные разности, и их абсолютные величины рассматриваются соответственно как истинные и абсолютные погрешности приближенных значений частного.

Эта работа продолжается затем при изучении действительных чисел и операций над ними.

В диссертации отмечается, что такая подготовительная работа значительно облегчает учащимся задачу сознательного усвоения понятия предела. При этом отмечается, что включение таких подготовительных упражнений в различные разделы курса математики не требует дополнительного времени. Так, например, нахождение последовательных разностей между точным частным и его десятичными приближениями можно рассмотреть при изучении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями в курсе арифметики V класса. При этом простое вычисление разностей 2 9—0,2; 2 9—0,22 и т. д. делается более содержательным. Нахождение последовательных уменьшающихся абсолютных погрешностей или нахождение истинных погрешностей связываются с вычитанием рациональных чисел и понятием абсолютной величины.

В главе IV (§ 15—21) раскрывается связь приближенных вычислений с измерением геометрических величин.

Устанавливается, что приближенные вычисления по методу границ являются основой для решения задачи измерения величин. На примере измерения площадей показывается, что традиционная постановка преподавания одного из основных разделов математики «Измерение геометрических величин» страдает рядом существенных недостатков. Главными из них являются отсутствие общего определения площади и методов приближенного вычисления площадей в программах и учебниках для средней школы.

В § 16 излагаются применительно к плоским множествам основные положения мероопределения Жордана. На основании меры Жордана нами обосновывается логически Гюлее строгая и законченная система изложения вопросов измерения площадей, которая отличается от традиционной следующими моментами:

1. Обучение строится так, что у учащихся постепенно формируется понятие площади произвольной фигуры.

2. В восьмилетней школе рассматривается задача о вычислении площади произвольной фигуры. Даются приближенные методы вычисления площадей, доступные учащимся.

3. На заключительном этапе обучения, в курсе геометрии IX класса, учащиеся знакомятся и с определением понятия площади произвольной плоской фигуры.

На протяжении длительного времени обучения понятие площади не определяется, остается для учащихся первоначальным. Задача измерения заключается лишь в нахождении числа, характеризующего данное конкретное значение величины. В преподавании важно различать понятие площади, которое постепенно развивается, определение этого понятия и методы вычисления площадей различных фигур. Эти три стороны вопроса должны рассматриваться в процессе обучения в глубокой взаимной связи.

Приближенные вычисления по методу границ и должны служить задаче формирования понятия площади, подготовить учащихся к введению определения этого понятия.

В § 19 главы IV дается описание эксперимента, проведенного нами в школе № 94 г. Омска по изложению вопросов измерения площадей. Изложение проводилось по следующему плану. После того, как с учащимися были выяснены свойства (аксиомы) площади, с помощью наложения сетки Жордана по методу границ, приближенно вычислялась площадь криволинейной фигуры: практически с ограниченной степенью точности, теоретически — с любой степенью точности. После рассмотрения площадей многоугольников и круга, устанавливалось, что роль входящих и выходящих фигур Жордана могут играть многоугольники, целиком содержащиеся з данной фигуре и целиком содержащие данную фигуру. Рассматривался второй способ вычисления площади круга.

Для приближенного вычисления площадей произвольных фигур с учащимися рассматривалась приближенная формула трапеций. Затем с учащимися проводились прак-

тические работы по приближенному вычислению площадей различных фигур с оценкой погрешности полученного результата.

В § 20 главы IV проводится описание внеклассной работы по ознакомлению учащихся старших классов с приближенными формулами для вычисления площадей, объемов, длин кривых.

Проведенное исследование показало, что изложение вопросов измерения величин на основе и в связи с приближенными вычислениями позволяет рассмотреть эти вопросы более глубоко и более доступно для учащихся.

Вместе с тем, такая система изложения не требует увеличения учебного времени, так как включение некоторых дополнительных вопросов, органически связанных с программным материалом, способствует его сознательному усвоению.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. К вопросу о приближенных формулах в средней школе. «Вопросы преподавания математики в средней школе». Ученые записки, издание МГПИ им. В. И. Ленина, Москва, 1960.

2. Роль приближенных вычислений в формировании основных математических понятий. «Труды второй научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья», выпуск II. Доклады по методике преподавания математики в средней школе. Куйбышев, 1962.

3. Об измерении площадей в средней школе. «Труды второй научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья», выпуск II. Доклады по методике преподавания математики в средней школе. Куйбышев, 1962.

4. О приближенных вычислениях с учетом погрешностей в курсе математики средней школы. Омск, 1966.

ПД00090. Сдано в набор 26/Х—06 г. Подписано к печати 26/Х—66 г. Объем 1 Vie п. л. Типография Омского института инженеров ж, д. транспорта 1066 г, Заказ 2204. Тираж 200.