МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БССР

МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А.М.ГОРЬКОГО

На правах рукописи

В.С.ЕЛИН

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА КАК ОРГАНИЧЕСКАЯ СОСТАВНАЯ ЧАСТЬ КУРСА МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

732. Методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Минск, 1968

Работа выполнена на кафедре элементарной математики Минского государственного педагогического института имени А.У.Горького

Научный руководитель - кандидат педагогических наук, доцент В.Г.АШКИНУЗЕ

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор В.И. Левин

2. Кандидат педагогических наук, доцент В.Д.ЧИСТЯКОВ

Ведущее учебное заведение:

Гродненский государственный педагогический институт им.Я.Купалы, кафедра элементарной математики и методики математики

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Минского государственного педагогического института имени А.М.Горького.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СОВЕТА КАНДИДАТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК, ДОЦЕНТ КУРИЛЕНКО Т.М.

Автореферат разослан "_"_ 1968 г.

Защита диссертации состоится "_"__ 1968 г.

на заседании объединенного Совета по присуждению учёных степеней по педагогическим наукам при Минском государственном педагогическом институте им.А.М.Горького (Минск; ул.Советская, 18).

В связи с необходимостью дальнейшего совершенствования содержания школьного математического образования возникает ряд важных педагогических проблем, связанных с определением материала, подлежащего изучению в средней школе, и разработкой новых и усовершенствованием имеющихся методов преподавания.

Одной из таких проблем является проблеме включения в курс средней школы и преподавания элементов математического анализа, о котором Ф.Энгельс сказал, что "из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине ХУП века" ("Диалектика природы", M., 1948 г., стр. 216) и который в настоящее время по-прежнему находит себе все большие применения, начиная от точных наук и техники и кончая биологией, медициной, логикой, сельскохозяйственными и гуманитарными науками.

Преподавание элементов математического анализа в курсе средней школы не только позволит существенно повысить научно-теоретический уровень преподавания школьного курса математики, ознакомить учащихся с основными понятиями и методами математического анализе как фундаменте современной математической науки, но и будет способствовать повышению уровня политехнической подготовки учащихся, содействовать формированию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения и, таким образом, осуществлению коммунистического воспитания в процессе преподавания математики. Знание элементов анализа в значительной мере облегчит изложение других разделов школьного курса математики и позволит расширить его объем.

Проблема преподавания элементов математического анализа в средней школе исследовалась в диссертациях А.С.Шумова, Н.А.Столярова, О.И.Смирновой, Л.И.Миловановой, Г.А.Ососкова, В.К.Цатуряна, О.Принитса, С.А.Дадунашвили, И.М.Шапиро, Н.В.Покровского. Из указанных диссертаций, имеющих отношение к избранной нами теме исследования, только диссертация Н.В.Покровского посвящена обоснованию возможности более раннего введения элементов математического анализа в среднюю школу и изучения их в органической связи с курсом "элементарной математики" старших классов средней шкоды. Авторы других диссертаций после изложения историко-методического очерка по вопросу о введении элементов математического анализа в курс общеобразовательной средней школы обосновывают целесообразность и возможность изучения элементов анализа в курсе математики советской средней школы на заключительной стадии изучения школьного курса математики, т.е. в выпускном классе средней школы.

Изучение элементов математического анализа в конце школьного курса математики в виде обособленного разделе не дает возможности изменить характер изучения традиционного материала школьного курса математики, применить понятия и методы математического анализа при изучении других вопросов школьной математики.

В ходе движения 38 реформу преподавания математики в средней школе во второй половине XIX и первой половине XX столетий неоднократно отмечалось, что введение элементов математического анализа в курс средней школы на более ранней стадии изучения школьного курса математики и изучение их в связи с одновременным изучением алгебраического и геометрического материала программы по математике не только создает благоприятные условия для овладения понятиями и методами математического анализа, но и открывает широкие возможности для их применения при изучении других разделов школьного курса математики и в смежных дисциплинах. Следует подчеркнуть, что ни в одной из вышеуказанных диссертаций, посвященных преподаванию элементов математического анализа в средней школе, вопрос отношения движения за реформу преподавания математики в средней школе к целесообразности органического и более раннего введения элементов математического анализа в курс средней школы не исследовался.

Анализ работ, посвященных преподаванию элементов математического анализа в средней школе, приводит нас к выводам о том, что еще недостаточно исследована проблема органического и более раннего введения элементов математического анализа в курс математики средней школы, не определены принципы построения школьного курса математики, содержащего элементы анализа, не разработана методика преподавания элементов математического анализа в связи с преподаванием других разделов школьного курса математики.

- Проблема настоящей диссертации состояла в том, чтобы:

I. Исследовать возможность, целесообразность и эффективность построения школьного курса математики с элементами математического анализа, изучение которого не только обеспечивало бы овладение основными понятиями и методами математического анализа, но и создавало возможности для применения понятий и методов математического анализа при изложении других разделов школьного курса математики.

2. Определить принципы построения школьного курса математики с элементами математического анализа, содержание, объем и место элементов анализа в школьном курсе математики.

3. Разработать методику изложения элементов математического анализе в связи с изложением других разделов традиционного материала программы по математике.

Поставленная проблема решалась в направлении приближения школьного преподавания к научному изложению вопросов математического анализа с сохранением доступности их для понимания учащимися IX-X классов средней школы.

При работе над диссертацией использовались следующие методы исследования: изучалась история постановки вопросе о необходимости и целесообразности более раннего введения элементов математического анализа в курс сродней школы, в связи с этим били изучены труды совещаний, комиссий, математических съездов, на которых выдвигались идеи о необходимости и целесообразности изучения элементов математического анализа на более ранней стадии изучения курса математики общеобразовательной средней школы; изучались программы по математике для дореволюционной и советской общеобразовательной средней школы в их развитии и современном состоянии; изучались учебники по математическому анализу для вузов и средних учебных заведений, учебные и учебно-методические пособия по вопросам преподавания элементов математического анализа в курсе средней школы; проведен педагогический эксперимент.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка использованной литературы. В приложениях дается описание организации и проведения экспериментальной работы по преподаванию элементов математического анализа в IX-X классах средней школы и проект программы курса "Алгебра и элементы анализа" в IX- X классах средней школы.

В первой главе "Состояние преподавания элементов математического анализа в средней школе" показана необоснованность деления математической науки на "элементарную" и "высшую", которое продолжительное время оказывало влияние на построение школьного курса математики. В программы дореволюционной средней школы, кок и в программы советской средней школы включались элементы математического анализа к виде приложения элементов "высшей математики" к курсу "элементарной математики" и были не связаны с другими разделами школьного курса математики.

Программа по математике 1960 года хотя и позволяла сделать шаг вперед в развитии школьного преподавания математики, всё же она но решала проблемы включения в курс средней школы элементов математического анализа. Указанная программа, содержавшая темы "Функции и пределы", "Производная и её применение к исследованию функций", предполагала формирование многих функциональных понятий, имеющих важное значение для изучения производной, задолго до введения понятий про-

изводной. Однако при этом она избегала функциональной символики, поэтому формализованные определения большого числа понятий в соответствии с программой должны были даваться лишь в конце курса, перед самым введением понятия о производной. Это не давало возможности ввести в действие функциональный аппарат до изучения сведений о производной. При таких условиях изучение производной затруднялось в силу перегрузки учащихся как в отношении уяснения новых понятий, так и в отношении овладения новыми методами.

В программу не было включено такое важное в общеобразовательном и прикладном отношении понятие, как понятие дифференциала, не входило также понятие интеграла с его геометрическими и физическими приложениями.

Изучение элементов математического анализа в конце школьного курса математики могло отвлечь внимание учащихся в сторону совершенно новых идей вместо того, чтобы сосредоточить все внимание учащихся на закреплении и обобщении ранее изученного материала. Опыт древолюционной школы показал, что изучение элементов математического анализа в конце школьного курса математики не дает желаемых результатов.

Многочисленные эксперименты по перестройке преподавания математики в общеобразовательной средней школе, проводимые в Советском Союзе и за рубежом, новые данные советской психологии о возрастных особенностях детей, о связи между обучением и развитием по называют, что изучение элементов математического анализа можно начинать значительно раньше, чем это предусматривалось предшествующими программами по математике.

В диссертации показывается, что идеи о целесообразности и необходимости более раннего введения элементов математического анализа в программу средней школы и изучения их в органической связи с изучением традиционного материала программы неоднократно высказывались в ходе движения за реформу преподавания математики, начиная со второй половины XIX века и до нашего времени. Так, преподаватель Киевской 1-й гимназии К.М.Щербина в своей книге "Математика в русской средней школе", делая обзор трудов и мнений по вопросу об улучшении программы математики в средней школе за девять лет (1899-1907 г.г,), приходит к выводу о том, что улучшение преподавания математики в общеобразовательной средней школе может быть достигнуто только в случае перестройки курса элементарной математики так, "чтобы идея функциональной зависимости в связи с учением о бесконечно-малых и с понятием о координатах проникала весь курс

математики средней школы" ("Математика в русской средней школе", 1908 г., стр. 124). В помещенном в конце указанной книги проекте программы по математике для мужских гимназий, выработанном в 1906 году Киевским физико-математическим обществом при участии К.М. Щербины, предлагалось ввести понятие о функциональной зависимости в 1У классе гимназии, понятие о бесконечно-малой и пределе в У классе, производную функции, понятие об интеграле - в УП классе, начала аналитической геометрии в УШ классе. С подобными проектами программ по математике, содержавшими элементы математического анализа, вывтупали в 1908 году Варшавский кружок преподавателей физики и математики и Педагогический музей военно -учебных заведений. Общими чертами для этих и других проектов программы были: I. Стремление распространить реформу преподавания математики на основную массу средних учебных заведений; 2. Признание необходимости функциональной пропедевтики и построение школьного курса на функциональной основе; 3. Отказ от сосредоточения элементов математического анализа в последнем классе средней школы.

Вопросы преподавания элементов математического анализа в средней школе подробно обсуждались на Всероссийских съездах преподавателей математики. "Учение о функциях, - говорил на 1-м съезде Ф.В.Филипович, - есть центральное учение всей математики, потому что функциональная зависимость есть математическое выражение великого закона изменяемости соотношения всех явлений; установление ее есть сущность и коночная цель всей науки. Поэтому мы, сторонники реформы, требуем, чтобы весь курс математики был сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и расширен первоначальными понятиями анализа бесконечно малых. Стало быть, начала дифференциального и интегрального исчислений не должны составлять самостоятельного отдела - "учения о функциях" - и являться какой-то "надстройкой" над школьным курсом так называемой элементарной математики. Практика показала, что такая метода (надстройка) преподавания анализа бесконечно-малых теряет свою воспитательную и общеобразовательную ценность. Анализ бесконечно -малых в таком роде не только не возбуждает и не поддерживает интерес к математико у учащихся, но даже и усваивается очень трудно" (Ф.В.Филипович, "Постановка преподавания начал анализа в средней школе", Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, т.I., 1913 г., стр. 104).

Известный методист-математик К.Ф.Лебединцев, принимавший

деятельное участие в работе Московского математического общества, на заседаниях которого обсуждались вопросы введения элементов анализа в курс средней школы, говорил: "Нельзя считать целесообразным, чтобы элементы высшего анализа изучались в виде совершенно обособленного отдела, хотя бы и завершающего собой курс математики в средней школе. При таком условии та пропасть, которая теперь существует между содержанием и методом так называемой элементарной математики и высшего анализа, не исчезает, а только переносится внутрь курса средней школы, и самые идеи высшего анализа не могут принести надлежащей пользы... Необходимо поэтому так перестроить программу, чтобы элементы высшего анализа вошли в нее не как механическая пристройка, а как органическая составная часть и чтобы между ними и другими частями курса математики существовала тесная связь и простой и естественный переход" ("Педагогический сборник", сентябрь, 1910 г., стр. 245).

Первые советские программы по математике содержали разделы, имевшие первостепенное значение для решения жизненных вопросов. В этих программах идее функциональной зависимости и элементам математического анализа уделялось особое внимание. Однако первые программы оказались перегруженными учебным материалом вообще, элементами математического анализа, в частности. В условиях отсутствия надлежащих учебников и подготовленных педагогических кадров реализация таких программ не представлялась возможной. Учителя продолжали творческие поиски новых путей преподавания математики. Передовые из учителей математики, работники отделов народного образования составляли свои программы по математике, в которых развивали прогрессивные идеи предшествующих программ. Заслуживает внимания программа по математике для трудовой школы П ступени, разработанная математической комиссией учебно-педагогической секции Ленинградского Губ.отдела народного образования в 1925 году. Эта программа исходила из того, что "преподавание математики в трудовой школе 2-й ступени не должно рассматриваться лишь как средство формального развития" учащихся и подготовки их к высшей школе, но должно обогатить учащихся томи математическими понятиями, методами и навыками, которые являются в настоящее время совершенно необходимыми для понимания окружающей жизни и для разрешения практических задач, выдвигаемых техникой различных отраслей труда" (Объяснительная записка к программе, Математика в школе, сборник Ш, Л., 1925 , стр. 22). Понятие о функциональной зависимости, выражение этой зависимости уравнением и графиком, методы исследования этой зависи-

мости занимают в программе центральное место: около этих вопросов группируется зесь материал указанной программы. Элементы математического анализа не выделены в особый отдел, завершающий курс, а введены в программу в органической связи с материалом программы или, как говорится в объяснительной записке к программе, "ими пропитана вся программа". Понятие предела и производной функции вводилось на восьмом году обучения (III класс). Но девятом году обучения (1У класс) понятие производной применялось к исследованию функций на возрастание и убывание, нахождение максимума и минимуме, точек перегиба. Вводилось понятие первообразной, которое применялось к вычислению площадей и объёмов тел вращения, в связи с изучением тригонометрических функций рассматривались производные этих функций и их применения.

Начиная с 1934 года элементы математического анализа в советской средней школе не изучались, однако работа по совершенствованию содержания школьного математического образования была проведена большая. Элементы математического анализа входили в проекты программ по математике 1947 г., 1951 г., 1953 г., 1955 г., включались в программу выпускного класса.

В связи с принятием Верховным Советом СССР в 1959 году Закона об укреплении связи школы с жизнью был составлен новый проект программы по математике для трехлетней школы, содержавший элементы математического анализа. При обсуждении этого проекта программы В.Г.Ашкинузе, В.И.Левин, А. Д.Семушин высказали правильные замечания по проекту. В "Математическом просвещении", № 5 за 1960 год они писали: "Введенные в среднюю школу элементы дифференциального исчисления должны быть не инородным придатком к курсу элементарной математики, а органической частью всего школьного курсе. Это было бы достигнуто в гораздо большей степени, если бы изучение элементов дифференциального исчисления не было сосредоточено лишь в выпускном классе, а проводилось постепенно, на протяжении всего курса старших трех классов параллельно с изучением конкретных элементарных функций. Такое построение курса "Алгебра и элементарные функции" не только создавало бы наиболее благоприятные условия для овладения понятием производной, но и открыло бы широкие возможности для его использования в смежных дисциплинах"("Математическое просвщение", вып. 5, 1960 г., стр. 130). Авторы статьи приводили примерную программу, предусматривающую введение понятия производной в IX классе. При изучении следующих разделов школьного курса идеи диференциального исчисления получали дальнейшее развитие.

Таким образом, в первой главе диссертации показывается, что идея более раннего введения элементов математического анализа в школьный курс математики и изучения их в связи с изучением других разделов школьного курса - это не новая идея, возникшая в наше время. Целесообразность и необходимость более раннего введения элементов анализе в школьный курс неоднократно подчеркивалась в связи с движением за перестройку школьного математического образования.

Глава II. "Принципы построения единого школьного курса математики с элементами математического анализа". Математический анализ как область науки математики появился и продолжал развиваться под влиянием материальных потребностей общества. Развитие производительных сил общества, становление новой экономики выдвигали каждый раз новые требования к образованию подрастающего поколения. А это требовало совершенствования содержания математического образования подрастающего поколения в общеобразовательной средней шкоде.

Новая Программа КПСС, принятая на ХХП съезде, выдвинула перед советским народом ряд серьёзнейших проблем, которые требуют быстрейшего решения. Эта Программа справедливо называет математику первой в ряду ведущих отраслей естествознания, развитие которых определяет дальнейшие перспективы научно-технического прогрессе.

В связи с этим возникает настоятельная необходимость приведения содержания школьного математического образования в соответствие с современным уровнем развития математической науки. Для этого необходимо изменение структуры школьного курса математики и повышение научно теоретического уровня школьной программы по математике в соответствии с современными научными воззрениями.

Осуществлению .указанных задач в значительной мере способствует введение в курс средней школы элементов математического анализа на более ранней стадии изучения школьной математики и изучения их в связи с изучением традиционного материала программы. Это позволит изменить характер изучения традиционного алгебраического и геометрического материала программы, повысить научный уровень его изложения. В диссертации сформулированы принципы построения школьного курса математики, содержащего элементы математического анализа, следование которым позволяет усвоить но только основные понятия и методы математического анализе, но и традиционный материал школьного курса математики.

I. Основу содержания курса математики старших классов средней школы составляет учение о функциях, вокруг которого группируется все школьное математическое преподавание. Эффективное изуче-

нив свойств конкретных функций, являющихся математическим выражением закономерностей или процессов, совершающихся в природе или осуществляемых в технике, возможно методами математического анализе.

2. Изучение элементов математического анализа в конце школьного курсе математики затрудняет усвоение понятий и методов математического анализа учащимися. Более раннее введение элементов математического анализа, а именно в IX классе, и постепенное изучение их в старших классах средней школы дает возможность глубже раскрыть идеи математического анализа, лучше овладеть понятиями и методами математического анализа и, таким образом, добиться их хорошего усвоения всеми учащимися общеобразовательной средней школы.

3. Более раннее введение элементов математического анализа в курс средней школы и изучение их на протяжении всего курса старших классов параллельно с изучением алгебраического и геометрического материала программы позволяет изменить характер изучения традиционного материала программы по математике, применить понятия и методы математического анализа при изучении других вопросов школьного курса математики и в смежных дисциплинах.

4. Построение единого школьного курса математики с элементами математического анализа, введенными на более ранней стадии обучения, дает возможность повысить логический и научно-теоретический уровень изложения программного материала школьного курса математики. Представляется возможным при помощи производной достаточно строго и проще выполнять исследование функций и построение их графиков, решать задачи на максимум и минимум; при помощи понятия дифференциала функции обосновать приближенные вычисления; при помощи интеграла изложить вопросы, связанные с вычислением площадей поверхностей и объёмов геометрических тел и др.

5. Изучение элементов математического анализа в органической связи с изучением традиционного программного материала создает благоприятные условия для развития математического мышления учащихся, формирования у них диалектико-материалистического мировоззрения и таким образом осуществления коммунистического воспитания в процессе обучения математике.

Осуществление указанных принципов ориентировано на следующий вариант программы курса "Алгебра и элементы анализа", определяющей объём, содержание и место элементов математического анализа в школьном курсе (расшифровка программы дается в приложении):

Алгебра и элементы анализа.

IX класс.

(4 чеса в неделю, всего 140 часов)

1. Функции - 20 час.

2. Пределы - 25 час.

3. Производная и её применения - 30 час.

4. Тригонометрические функции - 40 час

5. Показательная и логарифмическая функции - 25 час.

X класс.

(3 часа в неделю, всего 105 часов)

1. Показательная и логарифмическая функции (продолжение) - 12 час.

2. Интеграл и его приложения - 14 час.

3. Тригонометрические функции (продолжение) - 25 час.

4. Элементы теории вероятностей и статистики - 20 час.

5. Расширение понятия о числе. Комплексные числа. - 12 час.

6. Автоматизированные вычисления (автоматы и полуавтоматы, суммирующие машины, счетно-аналитические машины перфорационные, электронно-вычислительные машины) - 4 час.

7. Повторение и решение задач - 18 час.

Указанная программа содержит все вопросы традиционного материала по математике. Главное внимание программа уделяет изучению функциональной зависимости между величинами. Изучение уравнений , неравенств, тождественных преобразований связывается с изучением функций. Понятия предела функций, производной функции вводятся в первом полугодии в IX классе. При изучении следующих тем курса IX-X классов идеи дифференциального исчисления получают дальнейшее развитие и применение. В X классе предусматривается изучение и применение элементов интегрального исчисления. В диссертации дается обоснование предлагаемой программы по математике.

Глава III. "Методика преподавания элементов математического анализа в связи с традиционным содержанием школьного курса математики". В диссертации подчеркивается, что для успешного изучения элементов математического анализа и их приложений в старших классах необходима целенаправленная систематическая подготовительная работа на уроках математики в восьмилетней школе. При этом главное внимание следует уделить сознательному усвоению учащимися понятия

функциональной зависимости, так как усвоение понятий предела функции, производной, интеграла и их приложений в значительной мере зависит от того, насколько твердо и полно усвоили учащиеся понятие функциональной зависимости. Развитие функциональных представлений, ведущих к образованию понятия функциональной зависимости, следует начинать в курсе арифметики и продолжать при изучении алгебры в восьмилетней школе. Известный математик и методист В.Л.Гончаров рассматривал школьный учебный предмет начальной алгебры "как первую подготовительную ступень к изучению математического анализа, издавна и поныне являющегося действенным орудием в руках физика, инженера, техника, исследователя и практика в любой области точного анализа" ("Начальная алгебра", М., 1955г., стр. 4).

Подчеркивая важное значение упражнений па нахождение числовых значений алгебраических выражений для развития функциональных представлений учащихся, В.Л.Гончаров писал: "Операция подстановки числовых значений - первый шаг, направленный в сторону анализа, -обязательно должна быть прочно воспринята вслед за введением буквенных обозначений..." (Там же, стр. 4).

Одновременно с усвоением понятия функциональной зависимости между величинами при изучении первых разделов курса алгебры восьмилетней школы выполняются упражнения, подготавливающие учащихся к введению таких понятий, как области определения и значений функции, области положительных и отрицательных значений функции, нули функции, чётности и нечётности функции, областей возрастания и убывания функции.

Понятие функции определяется как соответствие между значениями двух переменных величин. При этом подчеркивается, что способ установления этого соответствия, называемый способом задания функции, принципиального значения не имеет и никакого влияния на функциональную зависимость не оказывает. Указывается, что исторически первым способом задания функции был способ аналитический - при помощи формулы. Этот способ задания функции оказался столь удобным средством исследования, что функцию стали отождествлять с её аналитическим выражением, т.е. содержание понятия стали смешивать с формальным аппаратом. Как это следует из определений функции, для её задания необходимо указать два множества чисел (значений аргумента и функции) и закон соответствия между ними. Это может быть сделано таблицей, формулой, графически и словесно. В связи с изучением линейной, квадратичной и степенной функций определяются отмеченные выше основные функциональные понятия, которые затем при-

меняются для установления свойств изучаемых функций и лучшего уяснения практической применимости этих функций. Методика введения Понятия функции и понятий области определения и изменения функции, областей положительных и отрицательных значений, нулей функции, областей возрастания и убывания функция, чётности и нечётности, ограниченности и неограниченности функции в диссертация не рассматривается, так как ока достаточно полно разработана в диссертациях В.К.Цатуряна и М.Сахасва (Изучение функций в курсе алгебры У1-1Х классов общеобразовательной средней школы,М.,1958г.) и др.работах.

Основные проблемы естествознания - физики, механики, астрономии и техники - приводят нас к двум основным задачам, одной из которых является вычисление скоростей, ускорений, плотностей (скорость изменения массы) изменения переменных величин. На математическом языке вычисление скоростей, ускорений, плотностей сводится к вычислению скорости изменения функции или производной функции, являющейся математическим выражением того или иного процессе, совершающегося в природе или осуществляемого в технике.

Геометрически отыскание скорости, ускорения, плотности или скорости изменении функции сводится к отысканию касательных к соответствующим графикам функций. Точное говоря, для отыскания скорости изменения функции мы должны уметь находить тангенс угле наклона касательной к линии у= 4 (х) с осью Ох. Таким образом, понятие скорости изменения функции - одно из важнейших функциональных понятий, при помощи которого учащиеся могут быть хорошо подготовлены к восприятию понятия производной функции. В диссертации излагается методике формирования и развития понятия скорости изменения функции в связи с изучением линейной, квадратичной и степенной функций. При этом автор руководствуется методикой введения понятия скорости изменения квадратичной функции, разработанной И.А.Гибшем в его пособии для учителей "Алгебра" (Учпедгиз, 1960 г., стр. 219)

В первой теме курса "Алгебра и элементы анализа" в IX классе вводится больше сведений из теории множеств, определяются понятия таких числовых множеств, как интервал, сегмент, окрестность точки, рассматриваются свойства абсолютных величин числа, углубляются представления о функциях и графиках, полученных учащимися в восьмилетней школе. Учащиеся знакомятся с такими функциями, как Дирихле, у=Е(х), У=[х], у»54смХ9 выполняются более сложные упражнения на установление областей определения и изменения функций, на построение графиков функций, заданных различными выражениями в различных промежутках области определения функции, а также упражнения

на нахождение уравнения функции по её графику. Для построения графиков функций посредством геометрических преобразований рассматриваются такие геометрические преобразования, как осевая симметрия относительно осей Ох и Oy, центральная симметрия относительно начала координат; сдвиги и сжатие по направлению осей Ох и Oy.Выполняются преобразования, возникающие как результат последовательного выполнения нескольких геометрических преобразований при построении графика заданной функции. Повторяются сведения о линейной, квадратичной, степенной функции. Степенная функция рассматривается в общем виде -£(х)=а(х - в)г + с, где t - любое рациональное число, решаются уравнения вида а(х-в)* + с= О и неравенства а(х-в)** с*0. В этой же теме учащиеся знакомятся с понятиями обратной и сложной функций. Изучение свойств сложной функции дает возможность проще исследовать различные функции, строить их графики, решать уравнения и неравенства. В заключение этой темы выполняется исследование и построение графиков сложных функций, решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, исследование систем уравнений, решение задач с помощью уравнений, неравенств и систем уравнений.

Понятие пределе, наряду с понятием функциональной зависимости является одним из важнейших понятий математического анализа, в диссертации сначала рассматриваются различные точки зренеия на введение определения понятия предела, а затем излагается методика введения понятия предела числовой последовательности и его применений.

После введения понятия бесконечно малой величины и выяснения свойств бесконечно малых доказываются теоремы о пределах последовательностей. Доказательство теорем о пределах дает возможность поднять изложение этого раздела программы на более высокий теоретический уровень, что и соответствует целям перестройки преподавания математики в средней школе.

Введение понятия предела функции непрерывного аргумента начинается с предела функции на бесконечности как с прямого обощения известного учащимся предела последовательности. Такой подход к введению понятия предела функции непрерывного аргумента является наиболее целесообразным, так как при введении понятия предела функции на бесконечности по существу повторяются все те рассуждения, которые были сделаны при введении предела числовой последовательности.

Понятия предела функции на бесконечности и в точке вводятся в форме Коши.

Так пек к функциям непрерывного аргумента применимы все теоремы о пределах числовых последовательностей, доказательство большинства теорем о функциях непрерывного аргумента рекомендовано учащимся для самостоятельного выполнения. Обращается внимание учащихся на усвоение теорем:

1) "Если значения функции ~(х) заключены между значениями двух функций, имеющих общий предел А при х, стремящемся к а, то функция |Ч>0 имеет тот же предел А при х, стремящемся к aw и

2) "Если для значении х, достаточно близких к числу а, /(х) принимает только положительные (отрицательные) значения и

Указанные теоремы существенным образом используются при построении теории об исследовании функций с помощью производной.

В связи с рассмотренном пределов функций показывается как при помощи вычисления пределов находятся асимптоты графиков функций,

С понятием предела функции теснейшим образом связано такое важное понятие математического анализа, как понятие непрерывности функции. Это понятие лежит в основе или является теоретической предпосылкой многих предложений математического анализа. В диссертации рассматриваются различные формы определения непрерывности , которыми пользуются в курсах математического анализа. Диссертант считает, что наиболее целесообразным определением непрерывности Функции в точке является такое: "Функция называется непрерывной в точке а, если продел этой функции при стремлении х к а равен значению Функции в точке п". От этого определения нетрудно перейти к определению непрерывности функции в точке в такой форме: "Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и приращение функции лу в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента ах стремится к нулю". Определение непрерывности в последней форме удобно применять при исследовании функций на непрерывность в произвольной точке. В связи с изучением непрерывности функции важно обратить внимание учащихся на то, что отличительной особенностью многих процессов природы является непрерывность их протекания и что таким образом математическое понятие непрерывности заимствовано непосредственно из представлений о движениях, совершающихся в природе.

В диссертации приводится поурочная разработка темы "Производная и её приложения". Понятие производной функции вводится на основе понятия скорости изменения функции, сформированном при изучении разделов, предшествующих введению понятия производной. Понятие скорости изменения функции отражено и в определении производной функ-

ции: "Производной от заданной функции называется функция, выражающая скорость изменения заданной функции и равная пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю". Понятие производной функции сразу же после его введения применяется к исследованию функций. Для этого на первых уроках изучения производной устанавливаются условия возрастания и убывания функции. Доказывается теорема, выражающая необходимое условие монотонности функции в промежутке. Затем выясняется геометрический смысл теоремы Лангранжа "Если функция ^-(х) имеет производную на некотором промежутке и х, и хх (х,< х, ) - любые значения аргумента х из этого промежутка, то в интервале (х, , х# ) найдется, по крайней мере, одно число . с такое.что выполняется неравенство:

При помощи теоремы Лангранжа доказывается теорема, выражающая достаточные условия монотонности функции в промежутке, после чего рассматриваются необходимые и достаточные условия существования экстремума функции в точке. Исследование функций на максимум и минимум проводится как с помощью первой производной, так и с помощью второй производной. Понятие производной функции применяется к приближенному решению уравнений. Аналитический способ отделения корней основан на теореме: "Если непрерывная функция |(х) изменяет знак на отрезке Г а,в], а её производная знака не меняет на этом отрезке, тогда уравнение |(х) = 0 имеет один и только один действительный корень". В диссертации рассматриваются способы уточнения корней методом хорд и методом касательных.

В заключение темы "Производная и её приложения" рассматриваемся понятие дифференциала функции и его применение к приближенным вычислениям. Дифференциал функции определяется как такое приращение функции, которое она получила бы при изменении аргумента от значения х до значения х t лх, если бы изменялась в этом промежутке равномерно и с той скоростью, которую она имела в точке х. Такое определение понятия дифференциала функции дает возможность видеть непосредственную связь понятия дифференциала функции с понятием производной функции. Устанавливается, что приращение функции отличается от её дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка малости по сравнению с дифференциалом функции. В связи с этим дифференциал функции часто называют главной частью приращения функции. В диссертации приводятся примеры применения дифференциала функции к приближенным вычислениям.

В диссертации не излагается методика преподавания темы "Тригонометрические функции", но указывается, что изложение теореии

тригонометрических функций должно быть построено на векторной основе, Векторный способ изложения теории тригонометрических функций, являющийся более современным в научном отношении, значительно расширяет и упрощает применение тригонометрических функций при решении многих теоретических и практических задач геометрии, физики, астрономии и других наук. В работе рассматриваются только производные тригонометрических функций и их применение к исследованию этих функций.

Не излагается также и методика преподавания темы "Показательная и логарифмическая функции". Эти вопросы достаточно полно разработаны в других исследованиях. Автор диссертации останавливается на вопросах, связанных с введением производных этих функций и их применением.

Изложению методики преподавания элементов интегрального исчисления предшествует анализ различных точек зрения на вопрос о том, в коком порядке следует начинать изучение элементов интегрального исчисления. Автор приходит к выводу, что в педагогическом отношении является более целесообразной такая последовательность в изложении элементов интегрального исчисления, когда сначала вводится понятие неопределенного интеграла. Начиная изложение вопросов интегрального исчисления с понятия неопределенного интеграла, мы не вводим много новых понятий, а концентрируем внимание учащихся лишь на одном новом понятии, делаем естественный переход от диференциального исчисления к обратным операциям - интегральному исчислению. При введении понятия первообразной функции и неопределенного интегралу на основе задачи восстановления функции по её производной приходится опираться на известные учащимся понятия и факты, а именно, на понятие производной функции, формул производных, понятие дифференциала функции и др., а это способствует лучшему пониманию учащимися основных вопросов, относящихся к понятию об интеграле. В диссертации излагается методика изучения элементов интегрального исчисления в такой последовательности: вводится понятие о первообразной функции и неопределенном интеграле, досматриваются свойства неопределенного интеграла и выполняются упражнения на вычисление неопределенного интеграла. Понятие определенного интеграла вводится на основе понятия продела интегральной суммы. Далее устанавливается связь между неопределенным и определенным интегралами, после чего рассматриваются вопросы применения интеграла. При этом предполагается, что понятие интеграла используется непосредственно на уроках геометрии при изучении поверхностей и объёмов тел и на уроках физики при решении соответствующих

физических задач.

Работе над диссертацией включала в себя продолжительное экспериментальное исследование.

Преподавание элементов математического анализа и соответствии с предлагаемой в диссертации методикой проводилось в 1959-1963 годах в Бостынской средней школе Брестской области, в 1961-1963 годах в школе № 2 города Минска, в 1965-1967 годах в школе юных математиков при Брестском пединституте им. А.С.Пушкина.

Проведенное по теме диссертации исследование, итоги экспериментальной работы позволяют сделать следующие выводы:

1. Для существенного усовершенствования содержания школьного математического образования в направлении сближения школьного преподавания со строением математической науки и потребностями смежных наук и техники, для повышения логического уровня преподавания школьной математики необходимо более раннее введение в курс средней школы элементов математического анализа.

2. Введение элементов математического анализа на более ранней стадии изучения школьного курса и изучение их в органической связи с другими разделами школьной математики создает наиболее благоприятные условия для изучения как самих элементов математического анализа, так и их применения при изучении других разделов школьной математики. При таком построении школьного курса математики учащиеся постепенно знакомятся с основными понятиями и методами математического анализа, применяют их при исследовании функций и в других приложениях. Использование элементов анализе позволяет повысить уровень изложения учения о функциях и других тем алгебраического и геометрического содержания.

3. Разработанная в диссертации методика изложения элементов математического анализа обеспечивает усвоение учащимися IX-X классов как элементов математического анализа, так и традиционного программного материала по математике. Предлагаемая методика исходит из необходимости соединения повышения логического уровня школьного преподавания с его возможно большей наглядностью и ориентацией на органическую связь с содержательной естественно научной интерпретацией математических фактов.

4. Изучение элементов математического анализа в старших классах средней школы не должно преследовать только утилитарные цели. При таком подходе к изучению элементов математического анализа в школьном курсе значительно уменьшается образовательная и воспитательная ценность, связанная с пониманием сущности понятий

и методов математического анализа. Прочное и сознательное усвоение учащимися идейного содержания элементов математического анализа должно являться главной целью из изучения в школьной математике.

5. Изучение элементов математического анализа в органической связи с традиционным материалом программы школьного курса содействует формированию и развитию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения и таким образом осуществлению коммунистического воспитания учащихся в процессе преподавания математики.

6. изложение элементов математического анализа в едином школьном курсе математики дает возможность более рациоиально использовать учебное время и за счет сэкономленного времени изучить такие важные в образовательном отношении вопросы, как комплексные числа, элементы теории вероятности и статистики, элементы математической логики и др.

Содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора:

1. О функциональной пропедевтике в курсах математики и физики восьмилетней школы. Сборник "Из опыта преподавания математики и физики в школе", Народна асвета, Минск, 1964 г.

2. Функции натурального аргумента и числовые последовательности в курсе алгебры средней школы. Там же.

3. Элементы математического анализа как органическая составная часть курса математики средней школы. Тезисы докладов на Первой научно-практической конференции математических кафедр педагогических вузов Северо-Западной зоны РСФСР, Петрозаводск, 1964 г.

4. К изучению элементов математического анализа в средной школе. Тезисы докладов на Первой Белорусской математической конференции 25-28 января 1964 г., Минск, 1964 г.

5. О подготовке к изучению элементов математического анализа в курсе средней школы. Труды Первой Белорусской математической конференции, Минск, 1965 г.

6. Об изучении элементов дифференциального исчисления в IX классе средней школы. Конференция математиков Белоруссии, Минск, БГУ, 1967 г.

7. Элементы математического анализа в школьном курсе математики. Тезисы научно-тооретической конференции Брестского пединститута, Брест, 1968 г.

8. Опыт изучения элементов дифференциального исчисления в IX классе средней школы. Труды Второй Белорусской математической конференции, Минск, БГУ (в печати).

9. Методика изложения начал математического анализа в школе. Доклады научно-теоретической конференции Витебского пединстиута, Витебск (в печати).

AT 17600. Подписано к печати 28.УШ.1966 :. Зак. 50. Объем I п.л. Тираж 200 экз.

Отпечатано на ротапринте МНИ им. AГорького, г. Минск, ул. Советская, 18.