МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

В. П. ЕФИМОВ

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДИКА ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1954

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Возникновение учения об иррациональных алгебраических уравнениях.

§ 2. История иррациональных алгебраических уравнений и роль русской науки в её развитии.

§ 3. К вопросу о возникновении знака радикала.

§ 4. Развитие учения об иррациональных алгебраических уравнениях в русской учебной литературе.

ГЛАВА ВТОРАЯ. К ТЕОРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Классификация иррациональных алгебраических функций и некоторые теоремы о них.

§ 2. Иррациональные алгебраические уравнения и теория их решения.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ. ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ.

§ 1. Иррациональные алгебраические уравнения в программах математики гимназий и реальных училищ конца XIX и начала XX вв.

§ 2. Иррациональные алгебраические уравнения в программе математики советской средней школы.

§ 3. Иррациональные алгебраические уравнения в стабильном учебнике и задачнике для средней школы.

§ 4. Элементарная теория понятия радикала в школе.

§ 5. Элементарная теория равносильности уравнений.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЕ.

§ 1. Методика введения понятия радикала и его простейших свойств в школе.

§ 2. Методика изучения преобразований уравнения в равносильные и неравносильные исходному.

§ 3. К вопросу методики изучения равносильных и неравносильных преобразований уравнений в 8-м классе.

§ 4. Методика введения понятия иррационального алгебраического уравнения.

§ 5. К методике решения иррациональных алгебраических уравнений.

§ 6. Методика решения иррациональных алгебраических уравнений.

§ 7. Методика исследования иррациональных алгебраических уравнений.

§ 8. Задачи и вопросы из теории иррациональных алгебраических уравнений для кружковых занятий.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ. ПРАКТИКА ШКОЛЬНОГО ПРЕПОДАВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ЭКСПЕРИМЕНТ Ei СВЯЗИ С ИХ ИЗУЧЕНИЕМ.

§ 1. Иррациональные алгебраические уравнения в школьной практике.

§ 2. Эксперимент.

* * *

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе дана краткая история возникновения и развития учения об иррациональных алгебраических уравнениях.

В первой ее части проанализировано значительное число задач из сочинений Ариобхатта, Брамагупты, Мохаммеда аль-Хорезми, Бхаскары, Soga, Леонардо Фибоначчи, Н. Шюке, Луки Пачиоло и других, задач, сводящихся в современной терминологии к решению иррациональных алгебраических уравнений.

В результате анализа установлено, что:

1. Задача, сводящаяся к иррациональному уравнению У X -}- X — l7x = 2 и содержащаяся в несколько измененном виде в одной из старейших немецких рукописей, так называемой Мюнхенской рукописи 1461 года, принадлежит известному математику IX в. Мохаммеду аль-Хорезми, т. е. из г. Хорезма (ныне Хорезмской обл., Узбекской ССР). В интересах истории отечественной математики в качестве первоисточника этой задачи следует считать не Мюнхенскую рукопись, как это делают Г. Попов и А. Барсуков, а «Алгебру» нашего соотечественника Мохаммеда аль-Хорезми. (стр. 3 диссертации).

2. Целый ряд иррациональных алгебраических уравнений, приписываемых Леонарду Фибоначчи, например, уравнение

Зх + 4 1/У2-Зх =20,

и под этим именем включенных в некоторую учебную литературу по элементарной алгебре, на самом деле принадлежав египетскому математику Soga (Abu Kamil Soga ben Aslam, около 900 г.). (стр. 8).

3. Основным методом решения иррациональных уравнений был метод обратных действий, а иногда и подстановки (удачного выбора неизвестной), которыми, по существу, и ограничивались виды решаемых иррациональных уравнений.

Однако уже Н. Шюке в 1484 году на одном конкретном примере, видимо впервые, применил способ уединения радикала с последующим возведением в надлежащую степень обеих частей •уравнения в форме, весьма близкой к современному школьному изложению этого метода (стр. 10).

4. Нулевые, а также отрицательные решения иррациональных уравнений во внимание не принимались.

Наличие значительного числа разнообразных символов, употреблявшихся для обозначения понятия радикала вплоть до XVIII века, побудило автора к исследованию истории возникновения и развития современного знака радикала (]/ а). Этому вопросу посвящен специальный параграф диссертации (стр. 47—58). Основные его положения сводятся к следующему:

В истории математики нет единого установившегося взгляда на историю возникновения этого знака.

Л. Эйлер и др. полагают, что знак ]/ есть измененная буква г от латинского слова radix (корень). Уже Леонардо Фибоначчи, Н. Шюке и другие употребляли знак R или R для обозначения радикала.

Это же утверждение, видимо, впервые, ввел в русскую учебную литературу по алгебре А. Давидов в своей «Начальной алгебре» (1861), после которого оно в тех или иных вариациях вошло во многие школьные учебники по алгебре (см., например, А. Малинин и К. Буренин, Руководство алгебры; Н. Маракуев, Элементарная алгебра; Д. Граве, Начало алгебры и др.), вплоть до стабильного учебника «Алгебры» А. Киселева.

Вилейтнер, Тропфке и др. утверждают, что знак радикала возник из точки.

Основанием для такого заключения служат четыре рукописи: Латинская рукопись, относящаяся к 1481 году и являющаяся одной из частей Дрезденского собрания математических рукописей (С. 80); Венская рукопись (Regule-Cose—uel—Algebra, около 1500 г.); Initius Algebra (вероятно написана до 1524 года), хранящаяся в библиотеке Геттингенского университета, и «Косе» Адама Ризе (1524).

В Латинской рукописи точка фактически употребляется для обозначения знака радикала, тогда как в Венской рукописи, хотя «под точкой понимается радикал», сам знак точки в ней нигде не употребляется.

В третьей и четвертой рукописях для обозначения квадратного радикала употребляются знаки и / попрежнему называемые «точкой».

Последний из указанных знаков (* —. «точка с наклонной чертой») встречается и в «Кссс» (1525) Рудольфа, после которого этот знак получил довольно широкое распространение во Франции (Scheubel, 1551), в Испании (Marco Aurel, 1552), в Англии (Record, 1557 и Dee, 1570), в Италии (Glavius, 1606) и с последующими улучшениями дошел до нашего времени.

Эта точка зрения была отражена в русской учебной литературе по элементарной алгебре К. Рашевским в его «Элементар-

ной алгебре» (Госиздат, без указания года издания), а затем встречается в книге проф. И. Я. Депмана, Из истории математики (Детгиз, 1950). Однако вполне вероятно, что знаки радикала в Initius Algebra и «Косе» А. Ризе, а также в «Косс» Рудольфа, вовсе не являются точками, а являются искажениями, линеализацией буквы г (от radix), а термин «точка» — техническим термином, тем более, что многие математики XVI в. рассматривали эти символы именно в таком толковании.

Дальнейшее развитие знака / не подвергается сомнениям. В диссертации на основании первоисточников показано, что его первое значительное усовершенствование содержится во «Всеобщей арифметике» (1544) М. Штифеля, который придал знаку Y вид V; распространил и обобщил систему обозначения степеней коссистов на радикалы, изложив это в обработанной и изданной им «Косе» Рудольфа в 1553 году.

Дальнейшее улучшение этого знака содержится в «Арифметике» (1585) С. Стевина, который для обозначения показателей радикала стал использовать числа. Так V (з)? V У него означало У , Y •• Форма радикала. V, V и т. д. введена Альб. Жираром в 1639 г. и в таком виде встречается у Л. Эйлера, Л. Магницкого и в первом русском учебнике по алгебре — «Начальных основаниях математики» (1752) Н. Муравьева.

Р. Декарт ввел в 1629 г. горизонтальную объединительную черту и неоднократно употреблял ее в своей «Геометрии» (1637).

Благодаря обобщению показателя радикала, т. е. введению буквенного показателя, осуществленного Валлисом в его «Маthesis universalis» (1657), и благодаря трудам Ньютона и Эйлера, современный знак радикала te) только в XVIII в. получил всеобщее признание и распространение.

Во второй части первой главы рассмотрены работы П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона, Л. Эйлера, Г. Крамера, М. Остроградского и И. Сомова, связанные с возникновением и развитием теории исключения, исторически непосредственно связанной с задачей приведения выражений, содержащих радикалы, к рациональному виду. Особо рассмотрена роль Эйлера и Остроградского в развитии этой теории.

В заключении первой главы дана краткая история развития учения об иррацональных алгебраических уравнениях в русской учебной литературе.

Здесь рассмотрены такие учебники и учебные пособия как «Начальные основания математики» (1752) Н. Муравьева,

«Универсальная арифметика» (1757) H. Курганова («Киселева 18 века», как его называет проф. А. Юшкевич), «Универсальная арифметика» (1767) Л. Эйлера, «Гимназический курс чистой математики» (1837) Д. Перевозчикова, «Начальная алгебра» А. Тихомандрицкого (1837), И. Сомова (1860), А. Давидова (1861), вплоть до «Начал алгебры» (1915) Д. Граве.

В этой части диссертации показана роль Л. Эйлера «...как русского ученого, оказавшего большие услуги русской науке» (акад. С. Вавилов) и русскому математическому просвещению. Его «Универсальная арифметика» в значительной мере предопределила дальнейшее развитие русской учебной литературы по алгебре, ее содержание и методы изложения, порядок следования материала, а также терминологию и алгебраическую символику.

Анализ учебников по элементарной алгебре свидетельствует о высоком научно-теоретическом уровне изложения теории иррациональных уравнений в русской учебной литературе. Так, например, в «Начальной алгебре» (1860) И. Сомова утверждается, на основе ряда рассмотренных конкретных примеров, что всякое иррациональное уравнение можно преобразовать в рациональное, а в 4-м издании (1875) учебника это положение доказывается. Здесь также, впервые в русской учебной литературе, высказывается и иллюстрируется двумя примерами предложение о том, что всякое уравнение вида

можно преобразовать в рациональное уравнение методом последовательного возведения обеих частей его в квадрат.

Это недоказанное здесь И. Сомовым утверждение в дальнейшей учебной литературе вновь появилось в форме исключающих друг друга утверждений.

А. Давидов, а позднее и Н. Шапошников, утверждали, что «...когда уравнение содержит более трех радикалов, то вообще его нельзя сделать рациональным, хотя в некоторых частных случаях это и возможно»1.

Ошибочность этого утверждения показал А. Гольденберг, изложив метод решения уравнений вида (1) с помощью построения симметрических функций2.

1 А. Давидов, Начальная алгебра. 15-е изд., М., 1905, стр. 209.

2 А. И. Гольденберг, Заметка об уравнениях, содержащих неизвестное под знаком квадратного корня. «Математический листок» № 2, 1881, стр. 140.

Нами дано обобщение этого метода на случай

где Ti (z) — рациональные алгебраические функции от z (стр. 124 и далее).

Н. Маракуев сформулировал это предложение в форме теоремы «Всякое уравнение можно освободить от радикалов второй степени, каково бы ни было их число, возвышением в квадрат обеих частей несколько раз»1 и дал не совсем строгое его доказательство, которое, по существу, ничем не отличается от приема Сомова, изложенного им при решении конкретных примеров. Надлежащее уточнение доказательства дано нами в диссертации (стр. 104 и 225—227).

* * *

Вторая глава диссертации посвящена некоторым вопросам теории иррациональных алгебраических уравнений. В ней дана классификация алгебраических выражений по виду их аналитической записи в духе М. Остроградского и И. Сомова. Поставлена задача о решении иррациональных уравнений в поле комплексных чисел. Дан метод решения иррациональных алгебраических уравнений вида (2), сущность которого сводится к следующему:

Строим nm_I вспомогательных уравнений вида

где а, в, с,..., m соответственно одна из ветвей функций

целые числа, принимающие значения 0, 1, 2, . . . , п— 1.

Составим произведение из левых частей уравнений (3). Полученный многочлен относительно а, Ь, с, ... , m назовем разрешающим многочленом для уравнения (2) и обозначим его через

M (а, Ь, с, .... m) (4)

Очевидно, что корни разрешающего многочлена (4) будут корнями уравнения (2). Затем показывается, что

1 Н. Маракуев. Элементарная алгебра,'т. 1, М„ 1903, стр. 552.

1. Разрешающий многочлен (4) есть симметрическая функция n т~ '-й степени относительно а, Ь, с, . .*., гл.

2. Разрешающий многочлен (4) содержит в себе только такие степени а, Ь, с, . . . •> m показатели которых кратны п.

Пользуясь этим свойством и подставляя вместо а" , в",... m"

соответственно

хг(г\ r2(z}f..., гщ(г), получим симметрический многочлен относительно rj(z), r2(z),...,rra(z) степени nm~2

который уже не содержит радикалов. Затем доказывается теорема: Всякое иррациональное уравнение вида

где

— многочлены от z и к — наивысшая степень этих многочленов, имеет в поле комплексных чисел не более knm_'z корней.

3. В разрешающем многочлене (4) имеются члены, не содержащие m (т. е. значений последнего радикала). Для нахождения таких членов необходимо составить разрешающий многочлен для уравнения с m—1 радикалов и возвести его в п-ю степень.

Это свойство разрешающего многочлена в сочетании со свойством (1) позволяет значительно упростить его вычисление. Это облегчает решение иррациональных уравнений этим способом, основная трудность которого состоит именно в составлении разрешающего многочлена. Эта трудность возрастает с увеличением числа радикалов и их степеней.

Изложенный метод допускает обобщения на случай алгебраической суммы в уравнении (3), наличия в нем рациональных слагаемых и радикалов с различными показателями.

Теория иллюстрирована достаточным числом разнообразных примеров.

Глава третья диссертации, основная глава, посвящена методике преподавания иррациональных алгебраических уравнений в средней школе.

В разделе первом изложены вопросы общей методики, как-то: иррациональные алгебраические уравнения в программах по математике гимназий, реальных училищ и советской средней школы, а также в ее стабильном учебнике и задачнике по алгебре.

В результате исследования этих вопросов приходим к заключению, что учение об иррациональных уравнениях в ныне действующей программе находится не на месте. Оно логически не связано с темой, в которую оно включено («Квадратные уравнения и уравнения высших степеней, приводимые к квадратным»). Его место в этой теме не определяется как интересами всего предшествующего, так и непосредственно следующего за ним учебного материала.

В диссертации мотивируется целесообразность изучения иррациональных уравнений после изучения темы «Функции и их графики». От такой перестановки только выигрывает одно из основных понятий курса алгебры средней школы, понятие функции, так как представляется возможность рассмотреть еще один вид функций (иррациональные функции). От этого не менее выиграет и теория уравнений, ибо при решении иррациональных уравнений представляется возможность установить более тесную связь между уравнением и функцией, дать графическое решение простейших иррациональных уравнений, что позволит придать трудным теоретическим вопросам, какими, например, являются вопросы существования решения уравнения и числа их, ясный, ощутимый для учащихся смысл.

Такая перестановка диктуется и интересами физики. Учащиеся 8-х классов знакомятся с табличным и графическим способами задания функции в курсе физики раньше, чем в курсе алгебры. Это нельзя считать нормальным как для курса физики, так и для курса алгебры, (стр. 139—145),

Не на месте стоит учение об иррациональных уравнениях и в стабильном учебнике алгебры А. Киселева. Поэтому о нем в этом вопросе можно повторить все сказанное о программе.

В отличие от программы в стабильном учебнике нет связи теории иррациональных уравнений с теорией равносильности уравнений, и в этой части курса учебник не удовлетворяет требованиям школы.

В учебнике совершенно не освещен вопрос решения и исследования иррациональных уравнений, содержащих параметры.

В учебнике принижена теория вопроса. В нем не решен и даже не поставлен вопрос о том, всякое ли иррациональное алгебраическое уравнение может быть сведено к решению рационального уравнения и какими методами, хотя бы для простейших случаев. Нет законченности в изучении вопроса, хотя бы для уравнений вида (2).

Не используются графические методы при решении и исследовании иррациональных уравнений.

Со стабильным задачником по алгебре дело обстоит еще хуже. Отсутствие задач, приводящихся к решению иррациональных уравнений и их систем, однообразие примеров и способов их решения, сложность проверки найденных значений неизвестного, отсутствие ограничений на значения параметров, наконец, отсутствие примеров иррациональных уравнений, не имеющих решений в поле действительных чисел, или имеющих их бесконечное множество, значительно тормозит развитие теории и практики преподавания этого раздела курса.

В этом же разделе рассмотрена элементарная теория понятия радикала, тесно связанная с темой диссертации.

Ныне, как в учебной литературе, так и в практике школьного преподавания, понятие радикала, уже при первом знакомстве с ним, вводится в самой общей форме, а именно: радикалом n-й степени из числа а называется число Ь, удовлетворяющее условию ЬЛ=а. Причиной появления этого определения в учебниках, начиная с А. Давидова и кончая новейшим учебником алгебры Д. Фаддеева и И. Соминского, является, повидимому, желание соблюсти принцип равносильности уравнений

Так у С. Новоселова читаем: «Двучленные уравнения решаются непосредственно извлечением корня степени п из

числа а: х = |/а. "1

Правомерно в курсе алгебры средней школы в педагогических целях отказаться от этого принципа, а следовательно, и

1 С. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, Советская наука, 1951, стр. 328.

от ничем невызванного столь общего определения радикала заменить это общее определение рядом частных определений, устраняющих многозначность радикала из действительного числа (стр. 151—156).

В связи с этим желательно введение двух знаков: для обозначения единственного положительного (отрицательного) числа, являющегося радикалом n-й степени из а>о (а<Ъ

при нечетном п / сохранить знак Ya- Для обозначения же всех п различных значений радикала n-й степени из комплексного числа z (в поле комплексных чисел) ввести знак Употребление этих знаков в другом понимании, а также иные знаки, как, например, Y'à, употребляемый для обозначения арифметического радикала проф. А. Маркушевичем, \Ç а (С. Новоселов), ]/ * а (Г. Пеано), как менее удобные, отвергаются (стр. 157—158).

Второй отдел третьей главы посвящен вопросам частной методики изучения иррациональных алгебраических уравнений в школе. Поскольку они программой, да и по существу, поставлены в тесную связь с теорией равносильности уравнений, нами дана её методика раздельно для 7-го и 8-го классов. При этом учитывались изменения в программе 1948 года.1

Эта методика построена с учётом кратных корней, что отразилось как на самом определении равносильности уравнений, так и на формулировках и доказательствах теорем о равносильности их. Сделанная здесь попытка введения понятия кратности корня в курс средней школы обуславливается не только удобствами формулировки следствия из основной теоремы высшей алгебры (целое рациональное алгебраическое уравнение в поле комплексных чисел имеет столько корней, какова его степень), но и качественной стороной дела (стр. 182—184).

Наличие различных видов неравносильностей, получающихся в результате преобразований уравнения побудили автора к классификации их. Уравнения f(x) = 0 (8) и преобразованное из него

_ F(x)=0 (9)

1 П. Ларичев. К изменениям в программе по математике для 5—10 классов сред, шк., изд. 1949, журнал «Математика в школе» № 6.

называются неравносильными 1-го рода, если все корни уравнения (8) являются корнями уравнения (9), но уравнение (9) имеет хотя бы один корень (или корень высшей кратности), не принадлежащий уравнению (8).

Уравнения (8) и (9) называются неравносильными 2-го рода, если все корни уравнения (9) являются корнями уравнения (8), но последнее имеет хотя бы один корень (или корень высшей кратности), не принадлежащий уравнению (9).

Если же каждое из уравнений (8) и (9) имеет хотя бы по одному корню, не принадлежащему другому, то они называются неравносильными 3-го рода.

Затем показывается, что умножение обеих частей уравнения на функцию от неизвестного может привести к равносильному уравнению или неравносильному любого рода (стр. 210—212).

Понятие иррационального алгебраического уравнения вводится в результате решения ряда практических задач, которым в диссертации уделяется большое внимание и которые приобретают особое значение в свете указаний XIX съезда КПСС о политехническом обучении. Однако подбор таких задач оказался делом весьма трудным и поэтому нашу работу следует рассматривать как первые шаги в этом направлении.

В диссертации обосновывается, что целесообразно начинать изложение простейших методов решения иррациональных уравнений не с метода возведения его частей в одну и ту же степень, как это обычно делается, а с метода сопряженных множителей. Он позволяет не только вскрыть наиболее доступным для учащихся образом причины появления посторонних решений на базе уже изученной теории, но и указать те. уравнения, которым принадлежат посторонние решения. Эта целесообразность подтверждена экспериментом.

На ряде конкретных примеров иллюстрируются технические преимущества метода возведения в степень. Он, как и метод сопряженных множителей, может привести только к неравносильности 1-го рода, т. е. к лучшей из видов неравносильностей.

На конкретных примерах также показывается, что посторонние корни могут быть получены и в результате применения правил действий над радикалами, (которые верны при определенных условиях), замены одной части уравнения другой и использования свойств пропорций.

Так уравнения

неравносильны, хотя второе получено из первого только в результате умножения радикалов. Уравнение

и полученное из него

уравнение

равносильны. Заменив в (11)

единицей

получим уравнение

неравносильное уравнениям (11) и (10).

Посторонний корень х = 0 появился в результате замены левой части уравнения (10) его правой частью. Аналогично уравнения

неравносильны. Применение свойства пропорции, с помощью которого совершен переход от уравнения (13) к (14), может привести к неравносильности 3-го рода, что здесь и имеет

место. (Корень уравнения (13) х = — а при а>0 утерян, а X = 0 является для него посторонним). Поэтому в педагогических целях ори решении иррациональных уравнений желательно избегать применения этих свойств.

Затем предлагается одна из возможных систем расположения иррациональных уравнений по степени их трудности с учетом числа радикалов и их степеней.

Особо рассмотрены иррациональные уравнения, иногда неправильно называемые «дробными иррациональными уравнениями», содержащие радикалы в знаменателях.

Для них также дана система упражнений.

Всюду решение иррациональных уравнений сопровождается элементами исследований на предмет равносильности уравнений и на предмет установления совокупности значений неизвестного, при которых обе части уравнения являются действительными числами, необязательно, конечно, равными. В ИССЛЕДОВАНИИ заключается ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ЦЕННОСТЬ ИЗУЧЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.

В этом плане особую роль приобретают иррациональные уравнения, имеющие бесчисленное множество решений, и уравнения с параметрами, для которых дана доступная для учащихся методика исследования.

Эти вопросы весьма полезны и достаточно интересны для кружковых занятий.

К этим же вопросам отнесено решение иррациональных уравнений с использованием производных пропорций, ибо число уравнений, решаемых этим приемом в стабильном сборнике алгебраических задач, весьма значительно. Исследование этой операции на предмет равносильности уравнений дано в общем виде и иллюстрировано примерами.

Л 71208 Сдано в набор 8/ХП—53 г. Подписано к печати 3/1—54 г. Объем 1 п. л. Тир. 100 Бесплатно Зак. Б9Я7

Типография газеты «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73.