ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. С. ПУШКИНА

На правах рукописи

И. В. ДЖАШИАШВИЛИ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель: кандидат педагогических наук доцент М. Г. Кониашвили

ТБИЛИСИ-1962

Защита диссертации состоится в Тбилисском государственном пединституте им. А. С Пушкина

« — » марта 1962 года

Автореферат разослан ^ ff. 1962 года

Ученый секретарь

Диссертационная работа «Алгебраический метод решения геометрических задач на построение в средней школе» касается важного и, вместе с тем, сложного раздела школьной математики, имеющего огромное теоретическое и практическое значение.

При изучении систематического курса геометрии средней школы, бесспорно, большое значение придается геометрическим построениям. Несмотря на это, по действующей учебной программе преимущественное внимание уделяется усвоению теоретического материала и решению задач на вычисление и доказательство. Что же касается решения задач на построение, этому вопросу уделяется весьма малое внимание; В раннее изданной учебной литературе по геометрии задачи на построение или вовсе не внесены, или же внесены в весьма малом количестве. Помимо этого, наблюдается недостаточность в методической литературе, которая смогла бы оказать педагогам необходимое содействие в деле преподавания геометрических построений.

Как было отмечено, при изучении геометрии значительное, и вместе с тем, вполне обоснованное место принадлежит геометрическим построениям. Можно утверждать, что ни один из видов задач не дает учащимся столько в отношении выработки умения математического искания и логического рассуждения, как геометрические задачи на построение. Решение этих задач, в большинстве случаев, требует своеобразного подхода и особых приемов.

Зачастую задача на построение внешне выглядит весьма просто, однако ее решение требует большой сообразительности и умственной смекалки. К этому следует добавить также полную зависимость решения задачи на построение от средств построения.

Несмотря на многообразие задач на построение, существуют некоторые методы их решения, которым лается, опре-

деленное преимущество. К таковым методам решения задач на построение относятся:

1. Метод геометрических мест;

2. Метод геометрических преобразований;

3. Алгебраический метод.

Нашей задачей является подробное рассмотрение алгебраического способа решения геометрических задач па построение с указанием его значения при прохождении курса геометрии в средней школе и методики его преподавания.

Решению геометрических задач путем применения алгебраического метода в работе нашей школы должно быть уделено больше внимания, чем это имеет место в настоящее время. Алгебраический метод приучает учащихся к выражению зависимости между геометрическими величинами посредством формул, и, таким образом, геометрическим соотношениям придается алгебраический вид. Наряду с этим, геометрические задачи на построение, в большинстве случаев, допускают возможность решения алгебраическим методом, а потому в той же мере алгебраический метод можно считать универсальным методом. Кроме этого, полученный вид формулы, по которой происходит построение искомой фигуры, совершенно просто решает вопрос о решимости задачи посредством циркуля и линейки (впоследствии в нашей работе всегда подразумевается построение с помощью циркуля и линейки).

Мы разделяем мнение, по которому, задачам на построение вообще, и в том числе, решению задач путем применения алгебраического метода не должен быть уделен отдельный раздел в курсе геометрии средней школы, а только лишь этот способ должен быть определенным видом упражнения, содействующим прочному усвоению учащимися курса геометрии.

Известно, что содержание геометрических задач на построение заключается в следующем: построить какую-либо геометрическую фигуру посредством данных ее элементов. Как было отмечено, для построения этих фигур применяются различные способы; из числа этих способов преимущество мы даем алгебраическому методу решения задачи, так как имеются случаи, когда геометрическую задачу на построение можно решить только алгебраическим способом, вместе с тем применением этого метода почти всегда достигаем цели.

Алгебраический способ решения задач следует применять особенно в тех случаях, когда искомая фигура пред-

ставляет собой отрезок; если же это не так, тогда необходимо решение задачи довести к поискам такого отрезка, который даст возможность построить искомую фигуру. Наибольшее значение алгебраического метода вытекает также из того факта, что по полученному выражению для неизвестного можно судить о возможности его построения с помощью циркуля и линейки и, кроме того, найти пути его построения. Наряду с этим алгебраический метод дает возможность выполнить полностью исследование задачи.

Успешное применение алгебраического метода требует от решающего задачу знания решения уравнения (системы уравнений), исследования и построения наипростейших формул. В процессе решения геометрических задач на построение алгебраическим способом, при проведении алгебраических преобразований, часто происходит отдаление от геометрического содержания, из-за чего скрывается геометрический характер задачи. Для избежания указанного необходимо при исследовании решения (результата решения) часто прибегать к геометрической интерпретации.

Диссертационная работа состоит из следующих частей:

Глава 1. Геометрические построения в курсе геометрии средней школы.

§ 1. Роль и значение решения геометрических задач на построение .......стр. 1

§ 2. Краткие исторические сведения о задачах на построение .......стр. 10

§ 3. Алгебраический метод.....стр. 14

§ 4. О количестве решений геометрических задач на построение . . ..... стр. 25

Глава II. Некоторые сведения из алгебры.

§ 1. Однородность выражения .... стр. 29

§ 2. Нарушение и восстановление однородности . стр. 36

Глава III. Закон однородности в геометрии.

§ 1. Выражение геометрических величин числами и основные свойства этих чисел . . . стр. 15

§ 2. Однородность формул, выражающих длину отрезков ........ стр. 50

§ 3. Однородность формул, выражающих площади и объемы....... стр. 51

§ 4. Однородность формул, выражающих числа нулевого измерения . . . . . стр. 52

§ 5. Однородность геометрических уравнений . стр. 53

§ 6. Нарушение и восстановление однородности в формулах и уравнениях геометрии . . стр. 55

§ 7. Построение отрезков и углов.

1) Построение рациональных и иррациональных алгебраических выражений . стр. 57

2) Построение неоднородных выражений стр. fil

3) О построении однородных и неоднородных фомул стр. 63

4) Построение отрезков, которые выражаются формулами, содержащими- тригонометрические функции данного угла стр. 66

5) Построение углов, тригонометрические функции которых выражены данной формулой......стр. 74

6) Способ вспомогательного угла . . стр. 76

Глава IV. Обучение решению алгебраическим методом геометрических задач на построение в средней школе.

§ 1. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение в средней школе . стр. 30

§ 2. Обучение построению некоторых рациональных алгебраических выражений . . стр. 85

§ 3. Обучение построению иррационального алгебраического выражения .... стр. 102

§ 4, Обучение решению задач алгебраическим методом ........стр. 118

Глава V. Образцы решения алгебраическим методом геометрических задач на построение стр. 127

1. Задачи на составление уравнения первой степени с одним неизвестным . . : стр. 133

§ 2. Задачи на составление системы уравнения первой степени с двумя неизвестными . . стр. 150

§ 3. Задачи на составление квадратного уравнения с одним неизвестным ..... стр. 155

§ 4. Задачи на составление системы квадратных уравнений с двумя неизвестными . стр. 190

§ 5. Задачи на составление системы уравнений с тремя неизвестными .... стр. 205

§ 6. Задачи на составление биквадратного уравнения ....... стр. 209

§ 7. Исследование задач применением графических методов......; стр. 221

Литература ....... стр. 251

Глава I.

В первой главе указаны роль и значение решения геометрических задач на построение. Дан анализ имеющихся программ и методической литературы. По сей день в курсах и учебниках по геометрии развито мнение, по которому геометрические построения представляют собой часть курса геометрии. Это наблюдается в особенности в старых изданиях, в которых выделены определенные главы, касающиеся только задач на построение. В настоящее время этот путь нельзя признать нормальным. По этому поводу Д. Перепелкин пишет:

«Геометрические построения не являются просто частые курса геометрии. Они являются, напротив, одним из методов элементарной геометрии, применимым почти ко всем ее вопросам»*.

Почти для всех разделов элементарной геометрии можно подобрать богатый материал для упражнения в виде задач на построение. По этому поводу в объяснительной записке к программе математики на 1946 —47 учебный год читаем: «Задачи на построениев геометрии должны решаться систематически во всех классах в связи с изучением каждого отдельного раздела курса».

В этой же главе даны краткие исторические сведения о задачах на построение. Здесь рассмотрены классические задачи, не разрешимые с помощью циркуля и линейки. Например задачи: 1) о квадратуре круга, 2) о трисекций произвольного угла, 3) об удвоении куба. Задача на построение Неразрешима с применением циркуля и линейки во всех тех случаях, когда степень неприведенного алгебраического уравнения, полученного при решении задачи, не есть 2“ где п является произвольным целым числом.

При полном решении геометрических задач на построение соблюдают, известную классическую последовательность, состоящую из четырех частей: 1) анализ, 2) построение, 3) доказательство (синтез), 4 исследование. При решении же задачи алгебраическим методом предпочтительнее придерживаться следующей последовательности: 1) анализ, 2) исследование, 3) построение, 4) доказательство.

При такой последовательности решения, заранее, до по-

* Д. Перепелкин. Геометрические построения в средней школе 1953 г, стр. 7.

строения фигуры исключаются те значения параметров, при которых не существует искомой фигуры. Рассмотрим каждую часть последовательности в отдельности.

1) Анализ. При проведении анализа выясняем, каким путем, каким способом можно построить фигуру, (если таковая существует), которая удовлетворяет требуемым условиям, т. е. при анализе ищем пути решения задачи. При решении геометрической задачи аглебраическим методом к анализу относится составление уравнения (системы уравнений). В этом случае устанавливается та необходимая геометрическая зависимость, которая может существовать между данной в задаче и искомой величинами. Правильно проведенный анализ гарантирует возможность нахождения всех решений задачи.

Наиболее сложным моментом при решении геометрической задачи алгебраическим методом является составление уравнения, для чего не существует общего приема. При составлении уравнения лучше предпринять следующее: допустим, что задача имеет решения, составляем ориентировочный чертеж искомой фигуры, затем по этому чертежу выясняем, какие величины известны и какие неизвестны, причем известные величины обозначим начальными буквами латинского алфавита — а, Ь, с, а неизвестные величины — конечными буквами того же алфавита — х, у, z,... и установим зависимость между ними. В установлении этой зависимости окажут содействие, с одной стороны, условия и требования: задачи, с другой же стороны, — различные геометрические теоремы, соответствующие условиям и требованиям задачи,

На основе замеченной зависимости между различными частями фигуры, а также условий задачи составляется уравнение (система уравнений). Если нельзя установить непосредственной связи между данной и искомой фигурами, тогда следует провести вспомогательные линии, с помощью которых составим уравнение (систему уравнений).

Сложность составленного уравнения зависит от подбора отрезка, принятого за неизвестное. В зависимости от того, какой из отрезков обозначим в качестве неизвестного, получим уравнения различных степеней. В одном случае можно составить уравнение низшей степени, в другом же случае — уравнение высшей степени. Например, при решений задачи

№ 11 (диссертация, глава V, § 1) неизвестным обозначена образующая конуса, в результате чего было составлено уравнение первой степени; но если при решении той же задача неизвестным обозначим высоту, получим квадратное уравнение (глава V, § 3, № 2).

В результате решения составленного уравнения (системы уравнений) получим необходимую формулу для неизвестной величины. Эта формула выражает зависимость длины искомого отрезка от длины известных отрезков. Наряду с составленным уравнением (системой уравнений) необходимо рассмотреть те условия, которым должны удовлетворять искомые величины. Порою запись этих условий возможна в виде неравенства, для чего следует установить границы, верхнюю или нижнюю, или же обе совместно, между которыми находится искомая величина.

В установлении верхней и нижней границ окажет содействие, с одной стороны, условие задачи, с другой же стороны, геометрическое содержание искомой величины.

В том случае, когда невозможна запись необходимых условий в виде неравенства, тогда ей придается словесная формулировка.

Своеобразие анализа заключается в том, что в нем частично происходит и исследование.

2. Исследование. Наиболее интересной и значительной частью решения задачи является исследование. При решении задачи, особое внимание мы уделяем исследованию решения (результата решения). Выясняем, какая зависимость должна существовать между данными в задаче параметрами, чтобы задача имела бы решение. Совместно с решением уравнения необходимо выполнить его исследование.

Элементарное исследование должно составлять существенную и необходимую часть решения геометрической задачи. Вопрос об исследовании мало разработан как в учебной, тзк и в методической литературе. По мнению некоторых педагогов, исследование решения задачи следует выполнить лишь в том случае, когда это предусмотрено условием задачи. Однако, для любой задачи, какой бы простой она не была, необходимо установить множество допустимых значений параметров; в противном случае решение задачи не может иметь законченного вида.

Установление множества допустимых значений параметров не превышает возможностей учащихся, вместе с тем это последнее обстоятельство развивает у школьников простран-

ственные представления. Поэтому необходимо внесение в школьную практику элементов наипростейшего исследования. При исследовании следует рассмотреть все случаи, имеющие существенное значение. Необходимо установить, имеет ли задача решения для всякого рода значений параметров; если же задача не имеет решения для всех значений параметров, в таком случае следует узнать, — для каких именно значений параметров имеет задача решение.

Для того, чтобы получить указанную зависимость между параметрами, в большинстве случаев берется составленное неравенство, следует подставить в это неравенство значение неизвестного и после упрощения полученного выражения, получим необходимую зависимость между параметрами.

Особое значение исследованию придается в том случае, когда определяющая неизвестное формула содержит действия вычитания, или деления, или же извлечения квадратного корня. В таком случае в результате выполнения над данными величинами этих действий можем получить: нулевое, положительное, отрицательное, мнимое, бесконечное или неопределенное решения.

При исследовании решения следует установить не только условие действительности и положительности решения, по и те условия, при которых решение должно быть годным для вытекающего из задачи геометрического смысла.

3. Построение. При построении получаем точное, или, как это принято говорить в последнее время, эффективное изображение искомой фигуры. Вообще, при решении геометрической задачи алгебраическим методом, величина неизвестного определяется формулой, для построения которой обычно применяются только циркуль и линейка. В процессе построения надо использовать данные и построенные в задаче элементы, из-за чего сокращается количество по-, строений и упрощается само построение (подробно об этом изложено в § 1 5-й главы диссертационной работы).

Вообще при выполнении построения получаем или искомую фигуру, или же отрезок, с помощью которого мы сможем построить требуемую в задаче фигуру. Момент построения решения задачи более легкий, по сравнению с другими моментами, так как из полученного выражения легко можно заметить элементарные построения и последовательность их выполнения.

При построении следует попытаться, чтобы последнее построение на том месте определило бы обозначенный неиз-

местным отрезок, где это предусмотрено условием задачи, Примеры для иллюстрации изложенного даны в 5-й главе диссертационного труда.

4. Доказательство (синтез). По содержанию доказательство протекает обратным, по сравнению с анализом, путем. При анализе ищем путь построения искомой фигуры, а при доказательстве же — наоборот. Если какая либо фигура получена на основе данных элементов и посредством того или иного построения, следует показать, что она действительно удовлетворяет всем требуемым в задаче условиям. Нет необходимости в выполнении момента доказательства при решении простой задачи, так как данные в задаче условия непосредственно применяются при построении фигуры. При решении же сложной задачи названные условия в процессе построения фигуры непосредственно не применяются, а потому необходимо выполнение доказательства.

В этой же главе, после изложенного, в качестве образца, дано решение следующего вида задачи: из точки А, вне окружности О построить секущую так, чтобы часть секущей внутри окружности равнялась данному отрезку т. При решении этой задачи проведены все четыре процесса: 1) анализ, 2) исследование, 3) построение и 4) доказательство.

Глава II

Во второй главе изложены некоторые сведения из алгебры. В частности, здесь мы касаемся однородности выражения. Приведено определение степени одночлена и однородного многочлена. На конкретных примерах показано характерное для однородного многочлена свойство, а затем для общего случая доказано это свойство.

Для различных случаев определяем измерение дробного, рационального выражения, измерение иррационального выражения.

Как в конкретных, так и в общих случаях показано, что каждое выражение нулевого измерения можно заменить таким выражением, куда войдет только отношение аргументов данного выражения с одним из них. Здесь же приведены результаты, вытекающие из определения однородного выражения и основного свойства алгебраического действия.

Приведены сведения о нарушении и восстановлении однородности в однородных выражениях. Если дано однород-

нос выражение и в нем заменим какую либо букву единицей, тогда получим выражение, в котором нарушена однородность. Полученное в результате, нарушения однородности выражение может остаться однородным (при чем степень однородности изменится) или же можем получить выражение, которое не будет однородным. Нахождение выражения сооответствующим измерением из данного выражения мы называем восстановлением измерения.

Наподобие этому определяется восстановление однородности. Если имеется, какое либо выражение, в котором формально имеет место нарушение однородности и необходимо найти то однородное выражение, из которого путем замены какой либо буквы единицей получено данное выражение, тогда нахождение искомого однородного выражения называется восстановлением однородности.

Ясно, для восстановления однородности необходимо восстановить соответствующее измерение в каждом члене данного выражения. Для этого каждый член умножаем на соответствующую степень того аргумента, который был заменен единицей. Из рассмотренных примеров делаем следующие выводы:

1) если из данного выражения с измерением р, путем замены С единицей, получено выражение с измерением q и желаем восстановить его выражение, необходимо данное выражение умножить на CF~?.

2) для того, чтобы восстановить в алгебраической сумме однородность с желаемым измерением, необходимо восстановить то же самое измерение в каждом слагаемом этой суммы;

3) чтобы восстановить выражение с измерением р в произведении двух сомножителей, необходимо в одном множителе восстановить однородность с измерением q, а во втором множителе — однородность с измерением р—q {q — произвольное число);

4) для того, чтобы восстановить в данной дроби выражение с измерением р, необходимо восстановить в числителе однородность с измерением p+q, а в знаменателе — однородность с измерением q (q—произвольное число);

б) чтобы получить из данного корня выражение с измерением р, необходимо восстановить выражение с измерением пр в подкоренном выражении, где п является показателем корня.

После этого дается общий вывод: в том случае, когда в данном выражении нарушено измерение, формально (внешне)

и хотим восстановить его измерение, необходимо вновь внести ту букву, числовое значение которой было принято равным единице. Наряду с этим следует знать показатель измерения р первоначального выражения данного выражения.

Восстановление измерения в выражении можно выполнить также и другим способом. В частности, для того, чтобы получить искомое выражение с измерением /; из данного выражения, необходимо входящие в данное выражение буквы а, &, /, заменить соответственно отношениями

и полученное выражение умножить на cf. После упрощения получим искомое выражение.

Здесь доказано, что если р является показателем однородности искомого F (а, Ь, Л, k) однородного выражения, из которого (при к=1), получено ф (а, Ь, h) выражение, то имеет место

В заключении приводим различные примеры, в которых в качестве образца выполнено восстановление измерения различного порядка.

Глава III

В третьей главе дано выражение геометрических величин числами и основные свойства этих чисел. При решении геометрических задач с помощью алгебры известные отрезки обозначаем буквами я, 5, It а неизвестные отрезки буквами *>У>..■.»•?• Буквы а,/>»е, выражают длины соответствующих отрезков, т. е. эти числа выражают отношение данного отрезка со взятым за единицу отрезком.

Таким образом, в каждой букве, обозначающей геометрическую величину, которые встречаются при доказательстве теорем и решении задач, следует подразумевать отвлеченные числовые значения.

Основной величиной в геометрии принята длина отрезка. С помощью этой величины и соответствующих формул выра-

* П. Некрасов, Приложение алгебры к геометрии, 1896 г. стр. 19.

жаем остальные геометрические величины. Например: с помощью основной величины и формул выражаем площадь, объем и др.

Каждая формула в геометрии, выражающая отрезок, содержит только один буквенный сомножитель. Поэтому они являются числами первого измерения. Если величину первого измерения умножим на отвлеченное число, полученная величина также будет величиной первого измерения, так как умножение отрезка на отвлеченное число означает нахождение суммы, каждое слагаемое которой равно данному отрезку или его части.

Числовое значение величины первого измерения зависит не только от величины отрезка, но и от величины взятого за единицу отрезка. Например, уменьшение единицы измерения вызывает увеличение числа, выражающего величину отрезка, а увеличение — уменьшение. Если единицу измерения длины уменьшим (увеличим) в m раз, тогда значение соответствующего величине отрезка отвлеченного числа увеличится (уменьшится) в m раз.

Аналогичное положение имеет место для формул, выражающих площадь плоской фигуры и поверхность тела. Известные в геометрии формулы, выражающие площадь плоской фигуры и поверхность тела, содержат два буквенных сомножителя. Поэтому они являются величинами второго измерения.

Всегда предполагается, что единицей измерения площади принята площадь такого квадрата, сторона которого равна единице измерения длины. Зависимость между числом, выражающим площадь, и единицей длины выражается так: если уменьшим (увеличим) единицу измерения длины в m раз, тогда число, выражающее площадь, увеличится (уменьшится) в m2 раз.

Формулы для вычисления объемов геометрических тел содержат три линейных сомножителя, из которых два или же все три могут быть равными. Поэтому можно сказать, что выражение, содержащее три линейных сомножителя, обозначает объем какого либо тела. Так как тело является величиной с тремя измерениями, поэтому выражение, содержащее три линейных сомножителя будет третьего измерения. Уменьшение (увеличение) единицы измерения длимы в m раз, вызывает увеличение (уменьшение) в т3 раз значения отвлеченного числа, выражающего объем.

Невозможна геометрическая интерпретация тех выражений, которые содержат более трех линейных сомножителей;

однако, эти выражения по аналогии мы называем выражениями четвертого измерения, пятого измерения и т. д. п измерения.

Известные в геометрии формулы, выражающие длину отрезков, площади плоских фигур, объемы тел, являются однородными формулами. В подтверждение этого приводим доказательсво следующих теорем.

Теорема 1. Каждая формула, которая при взятом за единицу отрезке произвольной длины выражает длину ХХЬ отрезка посредством длины отрезков AAi, ВВЬ ККь представляет собой однородную формулу первого измерения.*).

Теорема 2. Каждая формула, которая при взятом за единицу отрезке произвольной длины выражает площадь S посредством длины отрезков а, Ь, с, /?, представляет собой однородную формулу второго измерения.

Теорема 3. Каждая формула, которая при взятом за единицу отрезке произвольной длины выражает объем v посредством длины отрезков а, Ь, су k, представляет собой однородную формулу третьего измерения.

При решении геометрических задач следует иметь ввиду так называемый закон однородности в геометрии, заключающийся в следующем: уравнение, которое получаем с помощью условий задачи и известных зависимостей, должно быть однородным, т. е. обе стороны полученного уравнения должны представлять однородное выражение с одним и тем же измерением, если только из данных отрезков ни один не равен взятому за единицу отрезку.

При выведении геометрических формул приходится выполнять действие над однородными величинами, а потому и результат получается однородным. Если только полученный результат неоднороден, это следует считать подтверждением того, что допущена ошибка.

Как было сказано, имеются случаи, когда при выведении геометрических формул происходит нарушение однородности. Это бывает тогда, когда из данных величин одна принята за единицу. А это происходит потому, что любая степень единицы равна единице и единица, как множитель и как делитель, не пишется. Заметим, что если необходимо полученной формулой вычислить числовое значение искомой величины, то тогда применение неоднородных формул не может вызвать каких либо неудобств. Однако, когда дело

* Там же, стр. 24

касается построения, в таком случае неудобно применение неоднородного выражения, так как входящие в выражение отрезки, которые не равны единице, примут участие в построении, тогда как отрезок, равный единице в нем не будет участвовать.

Таким образом, когда в полученной формуле нарушена однородность и необходимо построить фигуру, в таком случае предварительно следует восстановить однородность соответствующего измерения. Ясно, что однородность легко можно восстановить в том случае, когда известен отрезок, вызвавший нарушение однородности. Для построения неоднородного выражения, как уже отмечалось, следует восстановить однородность, в результате чего зависимое от п параметра выражение превратится в выражение, зависимое от л-И параметра.

Для иллюстрации изложенного приводятся определенные примеры. Здесь же рассматривается случай, когда восстановление однородности производится посредством отрезка произвольной длины.

При изучении курса геометрии средней школы школьники обучаются построению отрезков, выраженных простыми формулами:

Известный способ построения четвертого пропорционального отрезка дает возможность построения выражений более сложного вида. Например: х= -, ос— - и др.

Для построения отрезка х в первом случае приходится дважды строить четвертый пропорциональный.

Помимо этого, выполнение построения производим на одном и том же чертеже, чем и уменьшается число отдельных построений.

Аналогично следует построить формулы-^-; iL; Эти формулы возможно построить еще более упрощенно, если предварительно произведем преобразование определенного порядка. Отметим, что увеличение показателя степени не вызывает соответственно увеличения числа построений. Здесь.

же дается построение некоторых квадратных корней, а также тех корней, которые могут быть сведены к квадратным.

При построении однородной формулы первого измерения не обращаем внимания на то, какой величины отрезок взят за единицу. Показано, как изменяется величина отрезка, выраженного однородной и неоднородной формулами, когда заменяем величину взятого за единицу отрезка, после чегo дается следующий вывод: при построении отрезка, выраженного однородной формулой первого измерения, получаем определенное значение искомого отрезка, которое не зависит от величины взятого за единицу отрезка. А при построении отрезка, выраженного неоднородной формулой, получаем различные значения величины искомого отрезка, что зависит от величины отрезка, взятого за единицу измерения.

Затем рассматривается построение тех отрезков, которые выражены формулами, содержащими тригонометрические функции данного угла. Вначале, с целью упрощения тригонометрические функции тупого угла (если таковые существуют) сводим к тригонометрическим функциям строго угла. Затем производим преобразование полученного выражения с целью устранения тригонометрических функций. Подобное преобразование можно произвести двояким способом:

1) посредством построения прямоугольных треугольников;

2) заменой тригонометрических функций соответствующими отношениями.

Например, выражение

(1)

преобразовано посредством применения как первого, так и второго способа и путем сравнения полученных результатов

(2) (3)

получаем: 1 способ более легкий, так как полученное выражение (2), по сравнению с (3) не является сложным. При первом способе величина измерения как данного, так и полученного выражения остается неизменной, а при втором способе величина измерений увеличилась. Это последнее вызывает усложнение выражения и его построения.

Если при изменении тригонометрических функций вторым способом возьмем различные радиусы, тогда полученное выражение

будет более простым, чем (3), однако подбор радиуса не легко дается учащимся.

Затем мы рассматриваем построение таких углов, тригонометрическая функция которых выражена данной формулой. В частности, строим выражения

вместе с тем рассматриваем

и построения выражений других видов.

При решении геометрических задач на построение алгебраическим методом в частных случаях тригонометрические функции вовсе не применяются; однако, имеются случае, когда применение этих функций в значительной мере упрощает построение искомой по условиям задачи величины. В частности, скажем, получено алгебраическое выражение вида

в таком случае, если возмем обычный путь построения этого отрезка, тогда придется выполнить достаточно большое количество и сложного вида построений. С применением же способа вспомогательного угла легко можно добиться цели. Способ вспомогательного угла успешно применяется и в тех случаях, когда необходимо построение угла.

Глава IV.

В четвертой главе дана методика преподавания решения геометрических задач на построение алгебраическим методом в средней школе. Посещение уроков в школах и опыт работы на республиканских курсах усовершенствования учителей; убедили нас в том, что на сегодняшний день некоторые учителя математики уделяют мало внимания решению геометрических задач на построение (за исключением тех элементарных задач, которые даны в учебниках), или же вовсе забывают о

них. Это обстоятельство нельзя считать нормальным явлением.

Как было отмечено, из числа различных способов решения конструктивных задач одно из значительных мест принадлежит алгебраическому методу. Этот способ дает возможность решения почти всех разрешимых геометрических задач на построение и, помимо этого, выполнить гораздо легче исследование решения, чем это можно было бы выполнить при решении той же задачи другим способом.

Несмотря на такое преимущество алгебраического метода, в некоторых школах все еще обходят этот метод. Это обстоятельство вызвано, с одной стороны, тем, что учителя в недостаточной степени овладели умением применения этого способа, с другой же стороны, и тем, что по сей день не разработана методика преподавания алгебраического метода построения, несмотря на то, что издана многочисленная литература по вопросу о решении геометрических задач на построение.

Также мало разработаны решения задач на построение алгебраическим методом во многих учебниках по методике преподавания математики. Авторы учебников отмечают необходимость решения задач на построение алгебраическим методом для развития конструктивной способности учащихся; несмотря на это все еще не разработана методика преподавания указанного вопроса.

Исключение составляют некоторые из них, например: в учебнике по «Методике преподавания математики», (под общей редакцией С. Е. Ляпина, 1956 г.) кратко дано построение, исследование формул и решение задач путем применения алгебраического метода.

Алгебраический метод и построение формул даны Н. Глаголевым в своем учебнике «Элементарная геометрия» (планиметрия) 1954 г.

Обучение различным способам, в том числе алгебраическому методу, решения задач на построение постоянно предусматривается в программах математики средней школы, однако роль и значение указанного способа четко, не выделены, в результате чего педагоги уделяют ему мало внимания.

Проведенные нами собеседования с учащимися средней школы, а также опыт работы с. абитуриентами, поступающими на математический факультет Телавского государственного педагогического института им. Як. Гогебашвили, показали

нам, что учащиеся проявляют низкий уровень подготовки в знании построения элементарных алгебраических формул и их исследования. Они все еще в малой степени обладают знанием и умением решения геометрических задач на построение путем применения различных способов, впрочем еще меньше обладают они алгебраическим методом решения этих задач.

Можно сказать, что несмотря на преимущество решения алгебраическим методом задач на построение, у них нет умения выполнить решение задач на построение этим способом. Необходимо своевременно исправить указанное обстоятельство. Окончивший курс средней школы должен знать построение и исследование элементарных алгебраических формул. Кроме того, он должен уметь решать геометрические задачи на построение применением алгебраического метода. А для этого необходимо: 1) четко выделить в программах математики средней школы указанный вопрос; 2) следует иметь разработанную методику обучения этому вопросу, которая окажет требуемое содействие педагогам в их дальнейшей деятельности; 3) учитель математики средней школы в процессе преподавания геометрических вопросов должен производить решение соответствующих задач на построение путем применения различных способов, а чаще всего применением алгебраического метода.

В этой главе нами дается методическая разработка построения алгебраического выражения и решения геометрических задач на построение алгебраическим методом в том плане, как это, по нашему мнению, должно быть в курсе геометрии средней школы.

По программе математики средней школы на 1958—59 учебный год в курсе геометрии VIII класса теме «Метрические соотношения в треугольнике и круге» уделено 36 часов. Опыт работы убедил нас в том, что построению посредством циркуля и линейки некоторых алгебраических выражений, а также решению геометрических задач на построение применением алгебраического метода следует уделить 10 часов. Из указанного количества часов для изучения построения алгебраического выражения достаточно 4 часа, а на изучение решения, алгебраическим методом геометрических задач построение достаточно 6 часов.

Нами произведено распределение указанного материала по отдельным урокам и выполнена его методическая разработка.

В диссертационной работе результаты даны в виде образцов некоторых уроков, проведенных нами в порядке эксперимента в 8-ми классах II и III средней школ г. Телави.

Урок 1. Тема урока: построение некоторых рациональных алгебраических выражений.

Цель урока: построение отрезков, выраженных формулой.

Дидактический материал: циркуль и линейка.*) На -первом уроке изучается: построение формул

Отмечаем, что построение формулы х=— было выполнено двумя способами.

Урок 2. Продолжение первого урока. Повторение построения четвертого пропорционального отрезка и его запись в виде формулы. Построение формул

Необходимо отметить, что существуют различные способы построения среднего пропорционального отрезка, однако на уроке следует удовлетвориться ознакомлением только рассмотренного в учебнике способа (§ 185). Остальные же способы желательно разработать в математических кружках учащихся.

Здесь даны примеры с различной трудностью, которые педагогом могут быть использованы в необходимых случаях по своему усмотрению.

Урок 3. Тема урока: построение некоторых иррациональных алгебраических выражений. Производим построение отрезков, выраженных формулами

* Дидактический материал на всех уроках один и тот же.

Урок 4. Продолжение третьего урока: построим

последнюю формулу построим двумя способами: с применением формул

после этого нами даются примеры для упражнения.

Урок 5. Тема урока: решение задач путем составления уравнения первой степени с одним неизвестным.

Прежде чем приступить к решению задачи, педагог проводит следующую беседу: мы изучили различные способы решения геометрических задач на построение, например, способ геометрического места точек, способ подобия и др. Сегодня нашей целью является ознакомиться еще с одним способом решения геометрических задач на построение, называемым алгебраическим методом.

Вам известно, что при решении геометрических задач на построение мы строим непосредственно неизвестную фигуру или же такую фигуру, с помощью которой строим искомую. Скажем, дана геометрическая задача на построение. Данные в задаче числовые значения отрезков обозначим буквами а, Ь, с, а искомого отрезка буквой х. Ставится вопрос: возможно ли при решении геометрической задачи на построение составить такое уравнение, решение которого определяет числовое значение искомой неизвестной величины. Если только сможем составить такое уравнение, тогда после его решения легко построим искомую фигуру.

Таким образом, и здесь, при решении геометрической задачи на построение, на основе зависимости искомых и известных элементов задачи, мы составляем уравнение подобно тому, как это Мы делали в алгебре при решении задачи. Поэтому решение геометрической задачи на построение путем составления уравнения называют решением геометрической задачи на построение алгебраическим методом.

Рассмотрим геометрическую задачу на построение и произведем ее решение применением алгебраического метода, т. е. посредством составления уравнения и его решения.

Задача: в треугольнике ABC построим прямую MN параллельно основанию так, чтобы точки M и N делили периметр 2Р этого треугольника пополам.

Учащийся повторит содержание задачи, после чего ставим следующие вопросы: 1) что дано в задаче?

2) что означает — дан треугольник ABC?

3) о чем спрашивают в задаче?

После этого переходим к составлению уравнения. Педагог проводит следующую беседу: скажем, дан треугольник ABC, в котором построена параллельно основанию АС прямая MN, так что периметр треугольника делится пополам точками M и N. Мы легко можем выполнить построение прямой MN, если будем знать отрезок BN. Представим, что задача заключается в построении не отрезка BN, а в определении его величины, для чего попытаемся, на основе данных в задаче числовых величин отрезков и известных теорем, составить уравнение, которое установит зависимость между данным и искомым отрезками. Если нам удастся составить соответствующее уравнение, то этим сведем решение задачи к решению такого уравнения, которое требует применения алгебраических правил и т. д.

Для исследования ставим следующие, вопросы:

1) что мы обозначили через букву х?

2) какой величины должен быть х?

3) чего не должен превышать отрезок, соответственный величине х?

4) Между какими величинами изменяется значение х? и т. д.

Потом произведем построение полученной формулы

с помощью известных построений. В первое время построение следует выполнить на доске с соответствующими разъяснениями, а в дальнейшем можно удовлетвориться только лишь описанием построения чертежа.

Для выполнения доказательства покажем, что имеет место равенство:

Решенная задача представляет удобный Момент для иллюстрации уравнения первой степени различного вида. После

решения задачи рассматриваем еще три возможных случая, В результате получаем следующие выражения для х:

Учащиеся сами приходят к соответствующим выводам. В качестве домашнего задания дается рассмотрение частного случая той же задачи: в треугольнике ABC построим прямую MN параллельно основанию (точка M находится на стороне AB, а А' — на ВС) так, чтобы AM=MN

Уроки 6 и 7. Продолжение пятого урока. На этих уроках производится решение новых задач, в которых учащиеся встречаются с упрощением неравенств, содержащих квадратную иррациональность.

Урок 8. Тема: решение задач на составление системы уравнений первой степени с двумя неизвестными. На уроке учащимися решаются задачи, для которых составление соответствующей им системы уравнений первой степени с двумя неизвестными и исследование решения (результата решения) легко выполнимы.

Уроки 9 и 10. Тема: задачи на составление квадратного уравнения с одним неизвестным. Здесь нами приведены уроки, в основном, для иллюстрации распределения материала. В труде все уроки рассмотрены детально, приблизительный образец которых здесь дан в виде 5-го урока.

В заключение следует отметить, что вообще решение геометрических задач на построение применением различных способов и вместе с тем применением алгебраического метода только в том случае может иметь успех, если его преподавание не носит сезонного характера. Недостаточно производить решение задач этим способом только в 8-ом классе. Успех, может проявиться лишь в том случае, если решение задач этого вида будем широко производить в связи с прохождением соответствующего материала также и в последующих классах.

Например, при прохождении в 9-м классе тем: правильные многоугольники, длина окружности, площадь круга и др. имеется возможность подбора в огромном количестве задач в связи с указанными вопросами, которые могут быть решены алгебраическим методом. Как это было неоднократно отмечено, этот способ решения задач содействует как прочному усвоению курса геометрии, так и изучению уравнения и системы уравнений. Из числа задач, решенных нами в

качестве образца, в 9-м классе успешно могут быть решены, например, задачи §3, № 18, §4, № 1, 2, 5 §5 № 1 и др.

Аналогично положение и в 10-м классе. Учащиеся X класса лучше знают решение как уравнения, так и системы уравнений. Поэтому решение геометрических задач применением алгебраического метода в этом классе сталкивается с меньшими трудностями. Когда учащиеся изучат боковые и полные поверхности многогранников и вращающихся тел, тогда можно дать на решение, например, задачи § 3 № 2, № 3, §6 № 2, № 4 и др. алгебраическим методом. В таком же порядке, когда учащимися будут изучены объемы названных тел, то тогда они легко смогут решить задачи § 3 № 9 и др.

Как известно, в X классе изучается исследование квадратного трехчлена и решение квадратного неравенства с одним неизвестным. После прохождения учащимися этих вопросов было бы хорошо, если им дать для решения задачи §3 № 14, № 15, № 18, §4 № 6, § 6 № 1, §7 № 1 и др.

Глава V.

В этой главе даны образцы решения геометрических задач на построение алгебраическим методом. Количество задач, данных в IV главе, возможно, не будет достаточным при учете академической успеваемости класса. Приведенный нами перечень задач даст возможность педагогу подобрать задачи соответствующей трудности, исходя из того, какой степени уравнение и со сколькими неизвестными он хочет составить. Здесь же следует отметить, что недостаточность времени не дает возможности все задачи безисключения решить в классе. Поэтому желательно одну часть этих задач использовать в качестве материала для домашних заданий, другую же часть разработать в математических кружках с особо заинтересованными математикой учащимися.

По нашему мнению, образцы решенных задач окажут достаточную помощь учителям, в особенности же начинающим, в широком уяснении и углублении знания по данному вопросу.

В IV—V главах всего рассмотрено 57 задач, из которых 33 задачи, например, § 1 № 12, § 2 № 2, § 3 №7, 9, 13 и др. составлены автором диссертационного труда, остальные же задачи взяты из различных сборников задач по геометрии.

Для каждой рассмотренной в качестве образца задачи, в результате исследования, установлены количество решений и

те условия, при которых задача имеет решение. В частных случаях, где имеется на это возможность, решение задач производим для одного определенного положения данной точки, отрезка и других элементов, вместе с тем указываем на другие возможные положения этих элементов.

Сообразно этому меняются данные задачи. Для примера пригодны задачи §1 № 2, 3, 6; § 2, № 2; §3 № 7, § 4 № 5 и др. В таких случаях мы не производим решения задач, а приписываем только ответы. Проведение же решения и исследования поручаем учащимся.

Исследование задач определенного количества производим применением свойств квадратного трехчлена. Здесь нами приведены результаты (без доказательства)*, вытекают :е из известных теорем о свойствах квадратного трехчлена. По нашему, мнению, это последнее, в случае необходимости, окажет серьезное содействие читателю при исследовании решения (результата решения) задачи, в особенности в тех случаях, когда имеется необходимость выяснить положение данных чисел по отношению корней квадратного трехчлена. В качестве образца нами рассмотрены задачи § 3 № 10, 11, 12, 15, § 6 № 1 и др.

Построение корней квадратного уравнения производим применением различных способов. Построение корней нами выполнено, например, в задачах § 3 № 10, 11 и др. Иногда построение решения задачи, если итти по прямому пути построения, представляет собой довольно сложный процесс. Однако, возможно в отдельных случаях найти приемы для упрощения. Подобные упрощенные пути построения показаны в § 3 5-й главы.

Исследование задач графическими приемами в основном рассмотрено в 7 параграфе. Исключение составляют две задачи, исследование которых произведено раньше. Таковы задачи № 4 и № 6 § 4.

При решении задач составлением биквадратного уравнения вообще для X получается достаточно сложное выражение. Его построение и исследование требуют много времени. Для избежания этого исследование решений (результатов решений) задач № 1 и № 4 § 6 выполнено обычным путем, применением неравенств. А для построения л, его выражение пред-

* И. А. Гибш, Исследование решений задач с параметрическими данными, стр. 69, 1952 г.

варительно преобразовали путем применения формулы «сложного» квадратного радикала.

Следует отметить, что там, где это возможно, т. е. когда J8—Б представляет собой полный квадрат, гораздо лучше предварительно преобразовать полученное выражение для х с помощью формулы «сложного» квадратного радикала и после этого произвести как исследование, так и построение.

Ясно, что этим намного облегчится дело, а получается гот же результат.

Иногда при выполнении исследования задач выясняем также, когда является площадь искомой фигуры максимальной или минимальной; например, задача № 6 § 3, задача № 1 § 6 и другие задачи.

После решения и исследования задачи № 3 §6 нами проведено упражнение, в результате чего, полагаем, учащийся получит четкое представление о том, как может меняться сумма площадей квадратов, построенных на внешней и внутренней частях проведенной секущей из взятой вне крута точки.

Таким образом, в диссертационной работе, на основе общепедагогических принципов, разработана общая методика преподавания алгебраического метода решения геометрических задач на построение в средней школе, наряду с этим дана также разработка отдельных вопросов с указаниями, правилами и способами изучения каждого отдельного момента.

При решении стоящих перед нами задач, мы опирались, как было выше указано, на обобщение опыта работы передовых преподавателей Грузинской ССР, а также на личный опыт работы, впоследствии разработанные и изложенные нами в прочитанных лекциях в течение ряда лет на республиканских курсах усовершенствования учителей математики.

Основная часть диссертационного труда опубликована в виде тезисов, отпечатана в журналах и трудах.

1. К вопросу об однородных выражениях (Тезисы XIV научней сессии проф. преподавательского состава Телавского гос. пед. института им. Я. С. Гогебашвили, 1957 г.).

2. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение в средней школе (Труды Телавского гос. пед. института им. Я. С. Гогебашвили, т. 3, 1959 г.).

3. Алгебраический метод решения геометрических задач (журнал «Комунистури агзрдисатвис», ежемесячный журнал Министерства просвещения Грузинской ССР, № 3,. 1959 г.).

4. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение (прочитано на республиканской конференции профессоров и преподавателей математики педагогических институтов Грузинской ССР в г. Батуми в 1960 г.).

5. Образцы решения геометрических задач на построение алгебраическим методом (Тезисы научной сессии проф. преподавательского состава Телавского гос. пед. института им. Я. С. Гогебашвили, посвященной 40-летию со дня установления советской власти в Грузии).

Типография Академии наук Грузинской ССР

Заказ № 130 УЭ 02816 Тираж 200