АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. И. ДЫРЧЕНКО

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. И. ФЕТИСОВ

Москва — 1963

В тезисах ЦК КПСС и Совета Министров СССР «Об укреплении связи школы с жизнью» ставится конкретная задача перед школой: «уделять больше внимания развитию способностей и задатков всех детей как в области искусства, так и в математике, физике, биологии и других отраслях наук».

Актуальность проблемы еще более возрастает в связи с введением 8-летнего обязательного обучения: важно, чтобы учащиеся, окончив восемь классов, знали к чему они способны и шли в жизнь или трехлетнюю школу с определенными стремлениями и сформировавшимися способностями.

Следовательно, в общем плане математического образования школьников задача развития математических способностей должна занимать одно из существенных мест. Развитие математических способностей повлечет за собой стремление к более глубоким знаниям, к повышению математической культуры, приведет к увеличению числа любителей математики — будущих специалистов, ученых, исследователей.

Несколько лет назад вопрос о развитии способностей и воспитании особо одаренных детей был предметом широкой дискуссии, в которой приняли участие виднейшие ученые, педагоги, родители. В ходе дискуссии выявились и основные тенденции в развитии вопроса. Некоторые видели решение проблемы в введении фуркации в старших классах средней школы, другие полагали, что следует открыть специальные школы для одаренных, в том числе математические, и, наконец, третьи изыскивали возможности для развития способностей и выращивания талантов внутри самой школы в процессе обучения и воспитания.

В своем исследовании мы исходим из того, что в условиях обыкновенной общеобразовательной школы имеется достаточно возможностей для своевременного выявления и успешного развития математических способностей у детей, интересующихся математикой. Особенно благоприятные педагогические

условия для развития математических способностей учащихся могут быть созданы на внеклассных занятиях, где имеются самые широкие возможности привлечения необходимого материала и использования многогранных форм внеклассной работы.*

Но для того, чтобы построить систему внеклассных занятий и методику, способствующих развитию 'математических способностей, надо, прежде всего, четко представлять, что такое математические способности и как они проявляются у учащихся в школьных условиях. В этом смысле имеющиеся методические исследования имеют серьезный пробел. Указания на необходимость развития математических способностей у учащихся, имеющиеся в отдельных диссертациях, носят весьма расплывчатый характер, так как сами способности авторами не определены и выступают скорее в общежитейском, чем в научном понимании. Ни в одной из известных нам диссертаций, где рекомендуется развивать математические способности, нет даже и попытки дать расшифровку этого понятия на основе данных психологической науки.

Однако из этого не следует, что вообще ничего не сделано в части решения проблемы развития математических способностей. Можно с уверенностью сказать, что все диссертации по внеклассной работе по математике безусловно способствуют решению этой проблемы, независимо от того, сформулирована ли она явно или нет. Но такая постановка вопроса не может удовлетворить нас, так как решение проблемы не может быть полным и считаться обоснованным, если с достаточной ясностью не определен сам объект исследования, в данном случае понятие «математические способности». Поэтому первой задачей на пути решения поставленной проблемы является вопрос о самой природе математических способностей, т. е. о тех психологических особенностях личности, которые обеспечивают возможность успешного занятия тем или иным видом математической деятельности.

Мы считаем, что понятие «математические способности» можно охарактеризовать следующими признаками:

1) Умение производить анализ и синтез и делать обобщения.

2) Умение управлять своим вниманием: отвлекаться от частностей и выделить главное, находить связи, сопоставлять и сравнивать.

* Выбрав в качестве «педагогических условий» для развития способностей внеклассные занятия, мы не отвергаем возможности их развития на уроке — основной форме обучения, а лишь ограничиваем область своего исследования.

3) Умение управлять своими мыслями: находить обоснования и делать правильные выводы, критически оценивать свои и чужие высказывания.

II. Основное содержание работы

Приступая к своему исследованию, мы выдвинули следующую гипотезу:

1) математические способности возможно развить у учащихся в процессе внеклассных занятий при условии активного и творческого выполнения учащимися специально подобранных упражнений, требующих проявления и напряжения определенного вида способностей (математических способностей).

2) Активному и творческому выполнению упражнений должна способствовать специально разработанная методика организации и проведения внеклассных занятий, в основу которой должны быть положены следующе принципы:

а) соединение интеллектуальной деятелньости с практической, б) занимательность, в) коллективный труд, г) самодеятельность.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Глава I. Психологические основы учения о способностях. Глава II. Содержание внеклассных занятий по математике.

Глава III. Методика организации и проведения отдельных видов внеклассной работы.

Глава IV. Итоги эксперимента и выводы.

III. Обзор содержания работы

В I главе дается краткий анализ психологических и отчасти педагогических исследований по проблеме способностей буржуазных авторов, русских дореволюционного периода, советских.

На основании критического анализа содержания работ буржуазных психологов (Ф. Гальтон, Э. Тордайк и др.) делается вывод: проблема способностей в буржуазной психологии не получила удовлетворительного разрешения.

Русские психологи дореволюционного периода и первых годов советской власти также не смогли сдвинуть проблему способностей с мертвой точки, хотя прогрессивные взгляды отдельных психологов (В. М. Экземплярский, А. Ф. Лазурский) и развернутая ими критика метода текстов сыграла свою положительную роль в дальнейшем развитии проблемы.

Лишь после исторического постановления ЦК ВКП (б) о лженаучности педологии советская психология смогла занять подлинно научную позицию в этом вопросе. Исследования советских психологов — Б. М. Теплова, С. Л. Рубинштейна, В. И. Кириенко, Н. С. Лейтеса заложили научные основы учения о способностях.

В более поздних исследованиях советских психолотов — Б. М. Теплова, С. Л. Рубинштейна, А. Н. Леонтьева, Ю. А. Самарина, Б. Г. Ананьева, А. Г. Ковалева, В. Н. Мясищева, Н. Д. Левитова — получили дальнейшее развитие отдельные проблемы, связанные с психологией способностей: о физиологической основе, структуре способностей, их формировании, об экспериментальном исследовании способностей, о взаимоотношении способностей со знаниями, умениями, навыками, о неспособности и др.

Проблема математических способностей в ее чистом виде до самого последнего времени не ставилась в психологии ни в буржуазной, ни в советской.

Отдельные работы известных буржуазных математиков (А. Пуанкаре, Д. Пойа) о математическом творчестве представляют собой попытки умозрительно объяснить особенности мыслительной деятельности в процессе математического творчества, основанные исключительно на субъективных переживаниях авторов.

Не дали высоких результатов и работы такого же характера русских математиков (Д. Д. Мордухай-Болтовский, М. Д. Осиновский).

Лишь специальные научно-экспериментальные исследования, проведенные под руководством советских психолотов — Н. А. Менчинской, П. А. Шеварева, А. Н. Леонтьева, В. А. Крутецкого, пролили свет на природу математических способностей и пути их развития.

В советской психологии проблема математических способностей рассматривается как комплексная проблема. Отдельные ее стороны связываются с другими проблемами или рассматриваются как самостоятельные вопросы так, что в некоторых работах можно даже и не встретить слова «способности», хотя, по существу, авторы их решают вопросы, имеющие прямое отношение к проблеме математических способностей.

В диссертации освещаются исследования советских психологов, направленные на решение отдельных проблем, прямо или косвенно связанных с проблемой математических способностей.

В результате анализа психологических (и педагогических)

исследований по проблеме математических способностей, в диссертации дано указанное в начале определение математических способностей.

IV. Развитие математических способностей

3. Проблему развития математических способностей следует рассматривать как комплексную проблему, включающую в себя ряд учебно-воспитательных задач, из которых важнейшими являются следующие: развитие логического мышления, развитие пространственных представлений и пространственного воображения.

Но кроме этих задач, в процессе воспитания способностей перед педагогом неизменно возникают и другие задачи, влияющие на успешность овладения математической деятельностью школьниками, это: развитие математических интересов, воспитание трудолюбия, настойчивости, воли. Для решения этих задач требуется создание специальных педагогических условий.

Эти выводы позволили наметить дальнейшие конкретные задачи нашего исследования:

1) Разработка системы упражнений, способствующих развитию логического мышления, пространственных представлений и пространственного воображения.

2) Разработка методики внеклассных занятий, способствующей максимальному повышению интереса, активности и творческой самодеятельности учащихся в процессе выполнения ими этих упражнений.

V. Содержание внеклассных занятий по математике

Развитие математических способностей может осуществляться лишь в процессе изучения конкретного учебного материала. Поэтому вопрос о содержании внеклассных занятий имеет принципиальное значение. В имеющихся исследованиях по внеклассной работе этот вопрос получил то или иное разрешение в зависимости от тех целей и задач, какие ставились авторами перед внеклассной работой. В настоящем исследовании принята система углубленного целенаправленнного изучения отдельных, комплексов теоретических и практических вопросов, связанных с основными идеями математики (система, предложенная А. И. Фетисовым), которая, как показало исследование, наиболее близко отвечает цели воспитания математических способностей. При подборе тематики для внеклассных занятий мы исходили из того, чтобы изучение затрагиваемых вопросов способствовало:

1) более глубокому пониманию основных идей математики; 2) овладению основными методами математики; 3) правильному пониманию исторического хода развития математики; 4) знакомству с новейшими открытиями в области математики и ее приложений; 5) пониманию связи между математикой и другими науками.

Не менее важным является вопрос о подборе и систематизации упражнений, направленных на формирование отдельных способностей и приемов математического мышления. В сборник упражнений, составивших основное содержание II главы диссертации вошли пять серий упражнений, направленных на развитие: 1) логического мышления; 2) пространственных представлений и пространственного воображения; 3) вычислительной или алгоритмической способности; 4) геометрической интуиции, 5) способности к обобщению.

Упражнения подбирались и составлялись на основании данных 'психологических и методических исследований, где была доказана полезность того или иного вида упражнений для развития отдельных сторон математических способностей и логического мышления.

Другой аспект подобранных упражнений направлен на творческую сторону мыслительного процесса. В этом плане разработаны отдельные комплексы задач нарастающей сложности, рассчитанные на индуктивный подход к их решению, включен ряд задач на соображение повышенной трудности, «задачи-проблемы» и другие виды творческих задач.

В этом плане задачи не выделены в особые группы, а рассосредоточены по отдельным видам задач первоначально принятой классификации.

VI. Методика организации и проведения отдельных видов внеклассной работы

Из высказываний советских психологов по вопросу о взаимосвязи и взаимозависимости способностей и творчества следует следующий непреложный вывод: вопрос о развитии специальных способностей немыслимо рассматривать вне связи с творчеством, — это две стороны одного процесса формирования одаренности человека к определенному виду деятельности. Такая тесная связь и взаимное проникновение этих двух психологических категорий — способностей и творчества — заставляет нас искать пути развития специальных способностей человека в процессе творческого овладения им специфическими приемами данной деятельности. Это, как мы полагаем, и есть основной путь развития способностей челове-

ка. Таким образом, основной задачей методики воспитания 'математических способностей является развитие творческой самодеятельности на базе их математических занятий во всех доступных ее видах.

Особенности педагогических условий в системе внеклассных занятий позволяют в значительной мере расширить формы творческой самодеятельности учащихся. Эти особенности выражаются в следующем:

1) в возможности организовать более глубокое изучение отдельных вопросов математической теории или ее практических приложений;

2) в возможности использовать занимательность в широких масштабах, коллективный труд;

3) в возможности соединения мыслительных операций с практическими действиями в единый процесс творческой самодеятельности (моделирование, изготовление измерительных и счетных приборов и др.);

4) в возможности организовать исследовательскую работу учащихся и направить их творческую инициативу на «открытие открытого», «изобретательство» и другие виды творческой самодеятельности.

В качестве исходных: моментов при разработке методики организации и проведения отдельных видов внеклассных занятий использованы естественные склонности детей подросткового возраста, выражающиеся в любознательности и в общей склонности к труду (в частности к ручному), в стремлении к коллективизму и тяге к развлечениям.

На этой основе в III главе диссертации разработана методика организации и проведения отдельных видов внеклассной работы: 1) первых занятий кружка; 2) коллективных форм труда; 3) решения задач; 4) математической газеты; 5) докладов учащихся; 6) математических вечеров.

VII. Методика организации и проведения первых занятий кружка

Первые занятия кружка имеют свою специфику, обусловленную особыми задачами, стоящими в начале организационного периода. Вот эти задачи:

1) Привлечение любителей математики к кружковой работе и возбуждение интереса к математическим занятиям.

2) Выявление индивидуальных склонностей и способностей у учащихся, вступивших в кружок.

3) Сплочение коллектива кружковцов.

Эти задачи, прежде всего, предъявляют определенные требования к содержанию и тематике первых занятий кружка.

1) Доступность изучаемого материала. На первых занятиях кружка следует излагать такие вопросы, для понимания которых не требуется большой математической подготовки. Соответственно должны быть составлены и упражнения по принципу: «минимум знаний — максимум смекалки», способствующие выявлению индивидуальных склонностей и способностей учащихся.

2) Перспективность тематики. Тематика первых занятий кружка не должна носить случайный характер. Разрабатывая тематику первых занятий кружка, учитель должен ясно представлять себе дальнейшие перспективы изучения того или иного вопроса.

3) Жизненность тематики. Раскрываемые на первых занятиях кружка вопросы должны быть тесно связаны с программой и должны иметь практическое значение для учащихся. Слишком отвлеченные и далекие от программы вопросы могут оттолкнуть от кружковой работы известную часть учащихся, не имеющих большого тяготения к абстрактным математическим рассуждениям (при данном уровне их математического развития), но, возможно, имеющих большой интерес и склонность к прикладным вопросам математики (например, к вычислительной технике), на базе которых можно поднять интерес и к теоретическим вопросам математики.

В диссертации приводится примерная тематика первых занятий кружка, удовлетворяющая этим требованиям.

В организационный период особенно важно заинтересовать учащихся кружковой работой и вызвать активную деятельность в выполнении поручаемых работ. Отсюда особое значение в организационный период приобретают такие моменты в характере кружковой работы как соединение интеллектуальной деятельности с физическим трудом, творческая самодеятельность, коллективный труд, занимательность.

В диссертации на конкретных примерах показано, как можно организовать работу кружка, привлекая в качестве «основных стимулов»: занимательность, некоторые виды ручного труда (резание, склеивание, выпиливание и др.), коллективный труд, элементы исследования и творческую самодеятельность.

VIII. Коллективный труд учащихся на занятиях математического кружка

Трудно переоценить воспитательное значение коллективных форм труда, когда каждый учащийся выполняет лишь часть общей работы, порученную ему, а в результате же получается нечто цельное, подчас неожиданное и очень эффективное.

Принимая участия в коллективном труде, ученик чувствует большую ответственность, так как постоянно испытывает контроль, — ему приходится все время помнить, что от качества выполняемой им работы зависит общий результат, коллективный труд активизирует учащихся, пробуждает их творческие силы, развивает индивидуальные способности.

В диссертации на конкретных примерах раскрываются возможности организации коллективных форм труда на внеклассных занятиях: 1) при построении графиков функций; 2) при изготовлении моделей некоторых геометрических фигур; 3) при изготовлении настенных таблиц; 4) при изготовлении измерительных и счетных приборов и др.

IX. Методика воспитания творческого подхода к решению задач

Решение задач на кружковых занятиях преследует двоякую цель: во-первых, развитие той или иной математической способности — этому способствует само содержание задач, и, во-вторых, воспитание творческой инициативы и творческого подхода к решению задач, — на это направлена специальная методика.

При поставленной цели воспитания творческого подхода к решению задач, вопросы, задаваемые учителем, должны носить не стандартный характер, а сугубо индивидуализированный для каждого случая, для каждой задачи в отдельности. Эта индвидуализация вопросов определяется, во-первых, теми идеями, которые возникнут в процессе решения у самих учащихся, и, во-вторых, теми идеями и методами, которыми располагает сам учитель в отношении решения данной задачи. При этом, не к конкретному решению нужно подводить учащихся наводящими вопросами, а к общей идее решения. В этом мы видим основу методики обучения творческому подходу к решению задач. Но, чтобы возникла живая оригинальная мысль, необходимо вызвать активность мыслительной деятельности, направленной на поиски решения.

Мы выделяем три узловых момента в процессе обдумывания задачи, когда мысль ученика наиболее глубоко проникает в содержание задачи и активность мыслительной деятельности достигает наибольшего напряжения, это: анализ условия задачи, предварительное исследование задачи и исследование возможностей применить знакомый метод.

Анализ условия задачи заключается в сопоставлении данных задачи и искомого с целью выявления связи между числовыми значениями входящих в условие задачи величин (если задачи вычислительного характера) или с целью выявления связей между положениями отдельных элементов геометрических фигур (если задача на построение) и установлении зависимости между величинами. В результате анализа задача должна восприниматься как единое целое с одновременным выделением существенных деталей (например, инвариантных свойств геометрической фигуры и др.).

Предварительное исследование задачи заключается в варьировании данными задачи, то есть в произвольном изменении некоторых данных при сохранении постоянства других и установлении закономерности в этом процессе.

Варьирование данными способствует установлению взгляда на данную задачу как на частный случай более общей задачи и уяснению ее характерных особенностей.

Исследование возможностей применить знакомый метод является как бы «обозрением» задачи с определенной точки зрения, что способствует выявлению специфических связей между данными и искомыми задачи, характерных для испытываемого метода.

Наведение на определенный образ мышления, соответствующий одному из этих моментов, осуществляется путем наводящих вопросов, характер и форма которых не устанавливается заранее, а определяется по ходу решения в зависимости от возникающих ситуаций. Раскрывая перед учащимися возможности изучения задачи с различных точек зрения, мы тем самым создаем условия для приложения индивидуальных способностей учащихся.

Из рассмотрения различных решений задач, найденных кружковцами, делается вывод, что наиболее правильной оценкой качества решения задачи была бы оценка, учитывающая три фактора: математическую базу ученика (объем знаний, степень математической подготовленности, математический кругозор), ход решения (проявленная сообразительность, творческие приемы, способности), полученный результат (логическая структура, простота, естественность, оригинальность решения).

В диссертации особо рассматриваются методы решения «творческих» задач или «задач-проблем». Под творческой задачей следует понимать такую задачу, решение которой предполагает образование новых способов действия и приемов мышления или своеобразное использование уже имеющихся способов, приводящие к их модификации и возникновению новых знаний. Творческая задача определяется соотношением объекта и субъекта. Так, одна и та же задача может оказаться «творческой» и «нетворческой», в зависимости от того, владеет или нет ученик способом решения ее, возникнут иди нет у него новые знания в результате ее решения.

Решение творческой задачи не может быть получено путем логического вывода из имеющихся посылок — знаний, так как для получения выводного следствия этих знаний недостаточно; их надо сформировать. Процесс решения творческой задачи представляет собой как бы модель подлинного творческого процесса мышления математика-исследователя, работающего в области математической теории.

В качестве основных методов решения творческих задач в диссертации рассматриваются:

1) индукция или «наведение», то есть предварительное рассмотрение более легких задач, являющихся частными случаями проблемной, «наводящих» на идею решения и помогающих выработке новой методики решения основной задачи;

2) метод «проб и ошибок», где основное место принадлежит анализу ситуации или положения;

3) предварительное решение вспомогательных задач, адекватных проблемной, но из другой, более знакомой образующей области.

В диссертации уделяется большое внимание вопросу о развитии творческой самодеятельности учащихся, направленной на «открытие открытого», то есть на изыскание новых способов доказательства известных теорем школьного курса, изобретение новых методов решения задач и др. Пытливый ум ученика должен пытаться «открывать». Не беда, если попытки приведут к открытию уже известных истин, важно, чтобы для ученика «его открытие» явилось откровением.

Как показывают наблюдения, нерешенная сразу задача, на решение которой было затрачено немало творческих усилий, надолго остается в фокусе внимания учащегося. Время от времени он возвращается к ее решению, делает новые попытки на новой математической основе, испытывает новые приемы и методы, и в конце концов, при известной настойчивости, решает ее. Но даже если ученик и не решит задачу, то сами попытки решить ее, вызвавшие столь усиленную кон-

центрацию его умственных способностей, принесут несомненную пользу.

Из этих наблюдений сделан следующий педагогический вывод: следует специально оставлять некоторые задачи без решения в качестве проблемы «дальнего прицела» с тем, чтобы учащиеся в домашних условиях, не связывая себя с временем, смогли бы всесторонне изучить и проанализировать задачу и организовать поиски ее решения в полном соответствии со своими знаниями и способностями.

В диссертации описывается, как можно «ввести» учащихся в решение такого вида задач и проблем.

Множественное наблюдение за процессом решения «задач-проблем» учащимися приводит нас к следующим выводам:

1) Отыскание хода решения задач есть сугубо индивидуальный процесс, зависящий от особенностей мышления, способностей, воображения.

2) Подход ученика к решению задачи, то есть та манера мыслить, которая сопровождает и направляет процесс обдумывания задач и те приемы мысли, коими пользуются ученик в процессе анализа задачи и поисков решения, более или менее стабильны для данного индивида.

3) Успешность в продвижении решения задачи зависит от многих факторов, но важную роль в этом процессе принадлежит способностям, от характера и степени развития которых зависит качественная сторона решения задачи.

X. Стенная математическая газета

В диссертации подвергнулись исследованию следующие вопросы, связанные с организацией, выпуском и популяризацией математической газеты в школе: 1) содержание газеты; 2) работа с корреспондентами; 3) оформление газеты; 4) организующая роль газеты.

Математическая газета является одним из звеньев в общей системе внеклассной работы по математике в школе и ее содержание определяется общими задачами, поставленными перед внеклассной работой. Развитие математических способностей с помощью газеты осуществляется путем вовлечения учащихся в решения задач, публикуемых в каждом номере газеты.

Весьма существенным является вопрос о харктере и форме изложения газетных заметок и статей. Когда ученик знакомится с содержанием газеты, то между ним и газетой нет посредника-учителя, к направляющим советам которого он

так привык. Ученик должен сам разобраться в газетном материале и сделать надлежащий для себя выбор. Отсюда вытекает следующее специфическое требование к газетным заметкам (и другим видам корреспонденции): заметка «сама должна говорить за себя». Это требование следует понимать так: заметка должна быть составлена и оформлена таким образом, чтобы ее математическое содержание преподносилось читателю не в обычной учебной, а в более жизненной увлекательной и доходчивой форме. Тем более это требование относится к задачам. Задача, помещенная в газете, должна чем-то привлечь внимание ученика, заинтересовать и даже удивить его, — только при этих условиях он возьмется за ее решение.

В диссертации на примерах из эксперимента приводится возможное содержание различного вида математических газет и раскрываются характерные особенности заметок и задач, помещаемых в газете.

Наиболее трудным моментом в деле организации и выпуска математической газеты является работа с корреспондентами.

«О чем писать?» и «Как писать»? — вот два вопроса, которые всегда являются камнем преткновения при привлечении учащихся к корреспондентской работе.

В диссертации дается ряд советов (на основе проведенного эксперимента) по руководству работой корреспондентов. Рекомендуются следующие виды работ корреспондентов с учетом их общего и математического развития: а) Выписывание из популярных математических книг и журналов интересных математических фактов, исторических сведений, задач без какой-либо обработки книжного текста и оформления собранных материалов в виде отдельных заметок; б) Сокращение книжного текста. Учащимся рекомендуется литература, где вопрос изложен распространенно и требуется сократить текст до размеров газетной заметки; в) Компиляция. Дается задание собрать из рекомендованных книг сведения об одном каком-нибудь вопросе и изложить в виде заметки или статьи для газеты; г) Отзыв о прочитанной математической книге; д) Описание выполненной работы; е) Оригинальное решение задачи или новое доказательство теоремы и др.

Вопрос об оформлении газеты и газетных заметок — существенный вопрос. В результате многократно проведенного эксперимента, мы пришли к следующим выводам по вопросу об оформлении газеты: иллюстрации к отдельным заметкам и задачам, а также само написание текста следует поручать самим авторам этих корреспонденции на листах определенного образа — «форматах», из которых потом монтируется га-

зета; заголовок к газете, как наиболее ответственная часть оформления, должен выполняться в порядке конкурса, в котором могут принять участие все желающие из данного и параллельных классов.

Такой, казалось бы, весьма элементарный подход к оформлению газеты и газетных заметок, как показал эксперимент, оказался весьма плодотворным.

Математическая газета является органом математического кружка. Однако организующая роль газеты настолько велика, что и, наоборот, организация и выпуск математической газеты могут послужить поводом для организации работы математического кружка.

В диссертации описывается, как учащиеся 7-го класса «Б» в Ташкентской школе № 108 выпустили свою первую газету «Математика и жизнь» и как на этой основе был создан устойчивый и весьма деятельный математический кружок.

XI. Доклады учащихся на внеклассных занятиях по математике

Доклады учащихся на внеклассных занятиях по математике имеют целью расширение математического кругозора учащихся и привитие навыков самостоятельной работы с книгой. В процессе подготовки к докладам вырабатываются волевые качества: настойчивость, усидчивость, дисциплинированность.

При правильной организации этого вида работы можно добиться такого положения, что доклады учащихся войдут в практику кружковых занятий как одна из основных форм работы кружка, то есть примут массовый характер, а это значит, что большое число учащихся будет вовлечено в работу кружка и примет в нем активное участие.

В диссертации разработана примерная тематика докладов, прямо или косвенно способствующая развитию математических способностей учащихся, выделены отдельные виды докладов в зависимости от их назначения, даны методические разработки отдельных тем.

XII. Математические вечера

Основная цель математического вечера — популяризация математических знаний и возбуждение интереса у учащихся к математике. Изучить глубоко тот или иной вопрос на вечере вряд ли возможно. Такая цель и не ставится. Задача математического вечера заключается главным образом в том, чтобы осветить как можно ярче наиболее характерные стороны зат-

ронутого вопроса и вызвать у учащихся наряду с определенными эмоциями интерес к самой математической сущности вопроса и желание более основательно заняться математикой. Хорошо организованный математический вечер является прекрасной агитацией за внеклассную работу и может послужить поводом для массового вступления учащихся в математический кружок. Нередки случаи, когда после математического вечера целые группы учащихся начинают посещать занятия кружка и многие из них становятся активными кружковцами.

Подготовка к вечеру — это творческая работа целого коллектива учащихся, обычно членов математического кружка или просто любителей математики, пожелавших принять участие в проведении вечера. В процессе подготовки к вечеру устанавливаются товарищеские отношения и крепнет дружба между учащимися, укрепляется дисциплина, растет и крепнет математический кружок.

В плане решения проблемы развития математических способностей организация математического вечера способствует развитию творческой самодеятельности учащихся, которая может быть проявлена в различных формах, в зависимости от характера работы, выполняемой участником вечера.

Организуемые на вечере различного рода математические соревнования и конкурсы непосредственно способствуют развитию математических способностей учащихся.

В диссертации приводится примерная тематика школьных математических вечеров; собран и систематизирован большой материал по каждому виду выступлений учащихся на вечере (доклады, инсценировки, стихи, аттракционы, игры); подобраны и разработаны наиболее подходящие формы для каждого вида выступлений.

В качестве иллюстрациии применяемой методики организации математических вечеров в школе, в диссертации описывается, как в результате творческой работы целого коллектива учащихся Ташкентской школы № 108, определилось содержание и оформление вечера «Замечательные кривые». В заключение раскрывается воспитательное значение математических вечеров.

XIII. Результаты эксперимента

Эксперимент и наблюдения проводились с 1953 г. по 1961 г. в основном в двух ташкентских школах — № 108 и № 94, где функционировали основные кружки. Отдельные моменты (некоторые виды упражнений, методические приемы, отдельные

формы внеклассных занятий и др.), в порядке сравнения, дублировались и уточнялись в общегородском математическом кружке при САГУ, где диссертант в течение ряда лет руководил секцией 7—8 классов, а также в школе № 204 г. Москвы. На фоне такого сравнения оказалось возможным дать наиболее объективную оценку эффективности применяемой методики.

Результаты эксперимента показали, что двухлетнее пребывание в математическом кружке и систематическое и активное участие в его работе, обеспечивает заметный рост уровня математических способностей у всех кружковцов. В плане качественного роста способностей наиболее типичными и часто встречающимися комбинациями способностей являются такие, которые характеризуют школьников, обладающих ими, как «счетчиков», «алгебраистов», «геометров», «логистов».

Не у всех испытуемых способности развивались одинаково успешно. В грубом приближении можно выделить три уровня способностей, наблюдаемых нами у наших кружковцов: «способные», «средние», «малоспособные».

В диссертации дается характеристика каждого уровня способностей и их качественного своеобразия с соответствующими примерами из проведенного эксперимента.

XIV. Выводы

1. Проведенное исследование подтвердило наше предположение о возможности успешного развития математических способностей школьников в условии обыкновенной общеобразовательной школы в системе внеклассных занятий по математике.

2. Из сравнения математических успехов кружковцев с успехами некружковцев (из тех же и параллельных классов) мы пришли к следующему выводу: развитие математических способностей у учащихся не совершается само собой на уроках математики без соответствующего целенаправленного их воспитания. Для успешного развития математических способностей требуется создание педагогических условий, специально направленных на развитие математических способностей.

3. Как показал проведенный эксперимент, применение разработанной нами системы упражнений в сочетании с методикой внеклассных занятий дает положительный результат в развитии математических способностей учащихся.

4. Мы считаем, что нам удалось построить определенную систему методических средств, составляющую первое приближение методики воспитания способностей, в основу которой мы положили новейшие результаты психологических и педа-

гогических исследований математических способностей и творческого математического мышления.

5. Свою работу мы расцениваем лишь как первую попытку решения более широкой проблемы развития математических способностей школьников в классной и внеклассной обстановке в процессе осуществления общего и политехнического образования в одиннадцатилетней школе.

6. Есть все основания полагать, что система упражнений и основные методические приемы, давшие положительный результат в обстановке внеклассных занятий, оправдают себя и в практике классного преподавания. Однако этот вопрос требует дополнительных исследований.

Материалы исследования по мере их получения доводились до широкой массы учителей математики. Два раза диссертант выступал с докладами по теме диссертации на Республиканских педагогических чтениях, проходимых в г. Ташкенте в 1958 и 1961 годах.

Прочитан был цикл лекций преподавателям математики школ Узбекской республики через Республиканский институт усовершенствования учителей по вопросам методики организации и проведения отдельных видов внеклассных занятий. Под руководством диссертанта студенты 3—4 курсов Ташкентского пединститута провели ряд исследований по отдельным проблемам, связанным с проблемой развития математических способностей учащихся и оформили их в виде курсовых работ.

Основное содержание диссертации изложено в следующих печатных работах:

1. Составление уравнений по условиям задач. Журнал «Математика в школе» № 1, 1954 г.

2. Об использовании специальной литературы на занятиях математического кружка. Журнал «Совет мактаби» № 1, 1955 г.

3. Методика организации математического кружка в школе. Журнал «За политехническую школу» (приложение к № 3 журнала «Совет Мактаби», 1959 г.).

4. Математические вечера в средней школе. Сборник «Доклады на республиканских педагогических чтениях» № 3, 1959 г.

5. Коллективный труд учащихся на внеклассных занятиях по литературе. Журнал «Совет мактаби» № 6, 1960 г.

6. О воспитании творческого подхода к решению задач. Журнал «Математика в школе» № 2, 1961 г.

Л 62292 10/IV 1963 г. Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 580, тир. 200