АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

На правах рукописи

И. В. ДУБРОВИНА

АНАЛИЗ КОМПОНЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ В МЛАДШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук (по психологии) В. А. Крутецкий.

Москва—1967

Защита состоится в Научно-исследовательском институте психологии Академии педагогических наук СССР. (Москва, К-9, проспект К- Маркса, 20, корпус «В»).

« » 1967 г.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Н. А. Менчинская — доктор педагогических наук (то психологии)

М. Д. Громов — кандидат педагогических наук (по психологии)

Автореферат разослан « » 1967 г.

Проблема способностей—это проблема индивидуальных различий. Безусловно, каждый нормальный и здоровый школьник способен получить среднее образование, вполне способен овладеть учебным материалом по всем предметам в пределах школьной программы. Но то, чего одни дети достигают весьма легко, без видимых усилий, для других, в тех же самых условиях, оказывается довольно трудным делом, требующим большой работы, напряжения.

Это касается и усвоения такого школьного предмета, как математика, которая является одним из основных предметов школьного обучения и значение которой становится все большим благодаря возрастающему проникновению математических методов в самые разнообразные области человеческой деятельности.

Для того, чтобы в школе можно было «наилучшим образом развивать математические способности детей, необходимо исследование структуры математических способностей и ее возрастной динамики под влиянием школьного обучения.

Изучение компонентов математических способностей (способностей к изучению математики) в младшем школьном возрасте и представляет основную задачу автора данной работы.

Диссертация состоит из пяти глав, заключения и приложения, в котором представлены все экспериментальные задачи.

В первой главе изложены состояние вопроса и задачи исследования.

Зарубежные работы, посвященные изучению математических способностей, не дают более или менее ясного и четкого представления о структуре математических способностей. В ряде случаев изучение способностей подменяется изучением умений и навыков (Э. Торндайк).

Однако в некоторых работах есть указания на отдельные особенности математического мышления. Многие исследователи отмечают, что способные к математике дети отличаются

способностью к мышлению в сфере количественных категорий, стремлением проникнуть в суть вещей и явлений, способностью к математическому обобщению, способностью мыслить математическими понятиями, пониманием определенных принципов, которые лежат в основе определенных (математических действий (И. Верделин, Ф. Гросникль, В. Бетц и др.). Таким образом, обычно даются лишь самые общие характеристики математического мышления.

В исследованиях советских психологов, прямо или косвенно касающихся математических способностей, можно выделить два основных, тесно связанных друг с другом направления: 1) попытки проанализировать структуру математических способностей, выделить в их составе отдельные компоненты. Например, А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев выделяют некоторые «опорные пункты для определения особенностей психических процессов при математической деятельности»; и 2) попытки выявить особенности процесса рассуждения в связи с решением математических задач.

Так, для решения проблемы математических способностей весьма важное значение имеет анализ процессов рассуждения при решении задач, проведенный П. А. Шеваревым на алгебраическом, а Н. А. Менчинской на арифметическом материале.

Многие исследователе (Н. А. Менчинская, 3. И. Калмыкова, О. Т. Бочковская, М. Э. Боцманова, М. И. Кузьмицкая, И. М. Соловьев, Р. О. Серебрякова, Г. П. Антонова, В. Н. Куликов и др.) указывают на большое значение развитая у учащихся процессов анализа и синтеза, отмечают, что часто причины ошибок при самостоятельном решении арифметических задач в том, что у учащихся недостаточно развита аналитико-синтетическая мыслительная деятельность. Отмечается важность развития гибкости мышления для успешного усвоения математического материала (Н. А. Менчинская, В. А. Крутецкий, В. И. Зыкова, Е. Н. Кабанова-Меллер, 3. И. Калмыкова, Г. П. Антонова, Р. О. Серебрякова, Л. Н. Ланда и др.).

В связи с задачами данного исследования особый интерес представляют работы Н. А. Менчинской по психологии обучения арифметике, в которых даны основные свойства мыслительной работы учащихся в области арифметики (своего рода компоненты математических способностей в младшем школьном возрасте).

В работе, написанной совместно с М. И. Моро, Н. А. Менчинская пишет о двух типах учащихся—с высокой «и низкой

способностью к усвоению арифметики и дает описание этих типов. Первые характеризуются быстрым темпом усвоения, вторые—замедленным темпом. Быстрый темп усвоения связан с быстрым обобщением, более высоким уровнем аналитико-синтетических операций, гибкостью (подвижностью) мышления. Замедленный темп есть следствие слабости обобщения, инертности мышления.

Но вопрос о специфичности способностей к усвоению арифметики в этих работах специально не ставился.

Большой интерес представляют в плане изучения математических способностей исследования Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, Л. В. Занкова, А. В. Скрипченко, которые свидетельствуют о гораздо больших, чем считалось до сих пор, умственных возможностях младших школьников в процессе обучения.

Специальное исследование структуры математических способностей провел В. А. Крутецкий. Изучение математических способностей учащихся, в основном, среднего школьного возраста позволило В. А. Крутецкому выделить в структуре математических способностей следующие основные компоненты: 1) формализованное восприятие математического материала. Под формализацией автор понимает быстрое «схватывание» в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры; 2) быстрое и широкое обобщение математических объектов, отношений и действий; 3) «свертывание» процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий; 4) гибкость мыслительных процессов при решении математических задач; 5) быстрое переключение с прямого на обратный ход мысли; 6) стремление к своеобразной экономии умственных усилий—к ясности, простоте (рациональности) решения математических задач; 7) математическая память.

Естественно предположить, что те компоненты математических способностей, которые обнаружены у способных к математике учеников 5—7 классов, должны иметь какие-то свои «истоки» в младшем школьном возрасте. Отсюда и основные задачи, поставленные перед нашим исследованием:

1. Выявить, какие компоненты (из установленных по отношению к среднему школьному возрасту) математических способностей свойственны способным к математике учащимся младшего школьного возраста.

2. Установить особенности проявления этих компонентов в младшем школьном возрасте, выявить, в каком направлении и как они развиваются от второго к четвертому классу.

3. Попытаться в предварительном порядке (на материале изучения обобщающей способности) ответить на вопрос: можно ли уже в этом возрасте рассматривать формирующиеся компоненты математических способностей как специфическое образование, или речь может идти только об общей способности к обучению.

Под математическими способностями в данной работе (в отношении к указанному возрасту) будут пониматься способности к усвоению арифметики, выражающиеся в относительно легком, свободном, быстром и глубоком овладении соответствующим школьным предметом.

Во второй главе изложены методика и организация исследования.

Для целей нашего исследования необходимо было выявить индивидуальные различия в умственной деятельности школьников в процессе решения ими арифметических задач. Отсюда основным методом исследования является анализ процесса решения учащимися экспериментальных задач констатирующего и обучающего характера, направленных на выявление индивидуально-психологических особенностей этих учащихся, проявляющихся в математической (арифметической) деятельности.

Мы отдавали себе отчет, что при решении учащимися задач невозможно совершенно устранить влияние прошлого опыта, знаний, умений. Поэтому при подборе экспериментальных задач мы стремились не «снять» влияние знаний, умений и навыков, а в каком-то смысле уравнять всех испытуемых в этом отношении.

Задачи были подобраны различной (малой, средней, повышенной) степени трудности. Они располагались внутри каждой серии в порядке их усложнения, от самой простой до наиболее сложной (в среднем, в каждой серии было по 9 задач). Методика была построена таким образом, что эксперименты по каждой серии носили не только констатирующий, но и обучающий характер. Выяснялась быстрота продвижения ученика по «лестнице» задач от наиболее простой до наиболее сложной: а) самостоятельно; б) с небольшой помощью экспериментатора (зона ближайшего развития — Л. С. Выготский).

Нас интересовал не только конечный результат выполнения испытуемым того или иного задания, но, прежде всего, сам процесс его выполнения. Чтобы раскрыть качественные стороны этого сложного интеллектуального процесса, необходимо, насколько это возможно, выявить внешне реальный процесс

мышления при решении детьми экспериментальных задач. Для этого испытуемым предлагалось производить решение вслух. Мысли «вслух» тщательно фиксировались. В случае надобности .испытуемому ставились дополнительные вопросы, направленные на выявление отдельных сторон мыслительного процесса. Для исследования было составлено 15 серий экспериментальных задач математического характера различного типа. В диссертации дается подробное описание всех серий.

В данном исследовании сделана также попытка выяснить вопрос о специфичности математических способностей.

Почему при исследовании вопроса о специфичности компонентов математических способностей мы остановились на соответствующем анализе обобщающей способности? Дело в том, что важную, пожалуй, решающую роль обобщающей способности в развитии математического мышления отмечают все исследователи, работающие в области мышления, в области психологии усвоения математических знаний, психологии способностей (С. Л. Рубинштейн, Н. А. Менчинская, В. А. Крутецкий, А. А. Бодалев, 3. И. Калмыкова, А. В. Скрипченко и др.). Поэтому мы и решили ограничиться в данном исследовании изучением только этого компонента в структуре математических способностей — способности к обобщению — с точки зрения его специфики.

С этой целью учащимся давались специальные серии задач на обобщение разнообразного наглядного и словесно-логического материала нематематического характера. Всего было составлено 6 серий экспериментальных задач нематематического характера.

Организация исследования. Для решения вопросов, связанных с изучением математических способностей младших школьников, в течение двух с половиной лет (1964— 1966 гг.) проводились экспериментальные занятия с отдельными учащимися II—III—IV классов ряда школ Москвы (№ 440, 358, 80, 91, 707, 434). Экспериментальные занятиям предшествовало довольно продолжительное знакомство с учащимися с целью получить предварительные данные о характере их способностей к обучению арифметике. Проводились систематические наблюдения за детьми на уроках арифметики и других уроках, индивидуальные беседы с ними с целью выяснить их отношение к различным учебным предметам, их интересы. Учитывалась характеристика ученика, данная учителем. В некоторых случаях имели место беседы с родителями. С детьми были проведены пробные экспериментальные за-

нятая, которые заключались в решении задач так называемой общеориентировочной серии. Результаты решения задач этой серии сопоставлялись с оценками и характеристиками учащихся, которые давали им учителя и которые составлялись экспериментатором в результате наблюдения за учениками.

Все это позволило предварительно более или менее уверенно выделить группы сравнительно «способных», «средних» и «малоспособных» к математике учеников, всего 42 человека, в том числе:

21 «способных» к математике. Это те дети, которые легко и без усилий овладевали предметом арифметики, сразу понимали объяснение учителя, быстрее других решали примеры и задачи, часто давали оригинальные решения нестандартных задач, свободно производили в уме вычисления (устный счет), из всех предметов предпочтение отдавали арифметике, меньше всего утомлялись на уроках арифметики и т. д.

9 «средних». Эти учащиеся успевали по арифметике, но тратили гораздо больше сил и времени на решение задач, чем способные ученики. Обычно новый материал усваивали не сразу, а после соответствующих многочисленных упражнений. Наибольшие трудности такие школьники испытывали при переходе к решению задач нового типа. Но, овладев методами их решения, они в дальнейшем неплохо справлялись с аналогичными заданиями.

12 «малоспособных». Эти учащиеся с большим трудом понимали объяснение учителя, испытывали серьезные трудности в решении задач, примеров. Учителям приходилось на дополнительных занятиях много раз объяснять им пройденный в классе материал, разбирать по несколько раз одну и ту же задачу. В классе они почти не участвовали в устном счете, так как не успевали за другими детьми. На уроках арифметики у них проявлялась наибольшая утомляемость.

В экспериментальную группу мы отобрали только тех детей, которые не пропускали занятий по болезни, не ленились.

Особенно надо отметить, что критерии отбора испытуемых лежали вне тех конкретных психологических особенностей, которые гипотетически намечались для изучения. Испытуемых отбирали по признаку успешности и неуспешности в овладении арифметикой. Это делалось для того, чтобы в дальнейшем определить, наличие каких индивидуально-психологических особенностей помогает одним и отсутствие каких особенностей мешает другим овладевать арифметикой.

Из группы «способных» учеников уже в ходе экспериментальных занятий были выделены 8 человек наиболее способных. Таким образом, образовались четыре группы учащихся, которым мы дали соответствующие условные обозначения: ОС—очень способные к математике дети (8 чел.), С — способные (13 чел.), СР — средние (9 чел.), МС — малоспособные (12 чел.). Мальчиков и девочек в каждой группе оказалось примерно поровну.

Экспериментальные занятия проводились в естественных условиях, в индивидуальном порядке во внеурочное время, после отдыха детей. Эксперимент продолжался не более часа. Все выделенные нами ученики—и способные, и малоспособные—«проявляли большой интерес к экспериментальным занятиям, посещали их с удовольствием. При малейших признаках утомления, рассеянности, плохого самочувствия и пр. экспериментальные занятия прекращались. Все 42 учащихся были проведены через все серии экспериментальных задач.

В третьей главе диссертации дан анализ компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте.

1. Прежде всего изучались различия в восприятии условий задач очень способными (ОС), способными (С), средними (СР) и малоспособными (МС) учащимися. (Под восприятием условия задачи подразумевается «умственное» восприятие, понимание, осмысливание учащимися существа задачи, ее отношений, «схватывание» комплекса взаимосвязанных величин).

Были установлены четыре уровня восприятия в зависимости от развития способности воспринимать в задаче систему взаимосвязанных отношений: 1 уровень. Воспринимает в задаче лишь разрозненные данные, не связанные друг с другом, даже после объяснений экспериментатора и многих упражнений. 2 уровень. Может вычленить самостоятельно комплекс математических величин, составляющих содержание задачи, после объяснений экспериментатора и тренировочных упражнений. 3 уровень. Самостоятельно воспринимает комплекс величин, но только после начала решения задачи, постепенно осознает данные ib задаче соотношения. 4 уровень. Сразу «схватывает» комплекс взаимосвязанных величин.

В таблице 1 представлены результаты опытов по четырем экспериментальным сериям (в среднем), специально направленным на изучение особенностей восприятия условий задач (количество учащихся дается в % от общего количества их в каждой группе).

Таблица 1

Группы учащихся

Уровни восприятия

I

II

III

IV

МС

67

33

СР

56

44

С

38

62

ОС

100

Таким образом, малоспособные к математике учащиеся обычно воспринимают разрозненные данные задач, с трудом оправляются со специальной работой по «связыванию» этих данных в систему. Помощь экспериментатора, объяснения, тренировочные упражнения являются действенными лишь тогда, когда они носят настойчивый и продолжительный характер. Не воспринимая комплекса отношений, эти учащиеся обычно не могут определить, каких данных в задаче недостает или какие являются излишними.

У учащихся групп ОС и С довольно четко проявляется своеобразная установка воспринимать в условии задачи не просто отдельные величины, а именно отношения представленных в них величин. Это дает им возможность легко вычленять именно те данные, которые необходимы для решения задачи, четко осознавать, каких величин Недостает для этого, какие являются лишними, ненужными. У способных к математике детей младшего школьного возраста наблюдается ясно выраженная тенденция к формализованному восприятию условий задач. И эта тенденция явно усиливается от второго к четвертому классу. Причем, это формализованное восприятие часто происходит «с места», сразу, без дополнительного разбора задачи и длительного, постепенного сопоставления данных друг с другом. В этом смысле можно сказать, что способные к обучению математике дети воспринимают не только единичные элементы, а и своеобразные «смысловые математические структуры», комплексы взаимосвязанных величин и категорий.

2. Изучались различия в способности к обобщению математического материала. Были установлены пять Уровней обобщения.

На основании проведенных экспериментов можно сделать вывод: способность к обобщению математического материала, как и следовало ожидать, уже довольно четко проявляется у способных к математике учащихся младшего школьного возраста и очень слабо представлена у учащихся, которые не проявляют способностей к математике: чем способнее к математике ученики начальной школы, тем, при прочих равных условиях, быстрее, шире и увереннее они обобщают математический материал. Поэтому способность к обобщению математического материала, по-видимому, является одним из основных компонентов математических способностей, в частности, и у младших школьников.

Малоспособные учащиеся обычно при самостоятельной работе обобщают математический материал по внешним, случайным, несущественным признакам, и помощь экспериментатора здесь далеко не всегда оказывается эффективной. Учащиеся со средними способностями к математике могут придти к тем же знаниям, что и способные дети. Но добиваются они этого путем большого количества упражнений.

Материалы наших экспериментов подтверждают предположение, выдвинутое В. А. Крутецким, что путь постепенного обобщения на основе однотипных упражнений не является единственным. Чем способнее к математике учащиеся, тем меньше специальных упражнений им для этого нужно, часто обобщение математического материала наблюдается у них «с места», после анализа лишь одного явления в ряду сходных явлений.

3. Исследовалась способность к «свертыванию» рассуждений и системы соответствующих действий в процессе решения задач.

На основании полученных материалов можно сделать выводы: у способных к математике младших школьников в процессе решения задач обнаруживается и такой компонент математических способностей, как свернутость рассуждений и системы соответствующих действий. Но эта особенность мыслительной деятельности способных к математике детей в младшем школьном возрасте проявляется в сравнительно элементарной форме. «Свертывание» отчетливо наблюдается при решении простых задач. Как только задача чуть сложнее, она обдумывается и решается шаг за шагом, рассуждение раз-

вернуто и даже излишне детализировано. Наблюдается нарастание тенденции к «свертыванию» от второго к четвертому классу: у учеников III, IV классов этот процесс выражен уже гораздо яснее, особенно после решения ряда однотипных задач и примеров.

У всех детей групп С и особенно ОС значительно быстрее образуются «свертывания» при решении однотипных задач, чем у учащихся групп СР и МС. У 67% учащихся групп СР наблюдались «свертывания» отдельных рассуждений в процессе решения задачи, но только после многократных упражнений в решении однотипных задач. Ни у одного учащегося группы МС не было обнаружено «свертывания» рассуждений даже после многократных упражнений в решении однотипных задач.

4. Исследовалась гибкость мыслительных процессов у младших школьников в процессе решения задач.

В результате анализа процесса решения задач учащимися групп МС, СР, С, ОС наметились четыре уровня гибкости мышления (1-й уровень—самый низкий уровень развития гибкости мышления).

В таблице 2 представлены результаты опытов по трем экспериментальным сериям (в среднем), специально направленным на исследование гибкости мыслительных процессов у младших школьников (проценты, как и во всех таблицах, даны округленно).

Таблица 2

Группы учащихся

Уровни гибкости

I

II

III

IV

МС

G7

33

СР

67

33

С

31

69

ОС

100

Малоспособные к математике учащиеся с трудом переключаются (а в ряде случаев вообще не могут переключиться) с одной умственной операции на другую, качественно иную. Они скованы первоначальным способом решения задачи, склонны

к шаблонным и привычным ходам мысли. Первоначально найденное ими решение задачи или закрепленные в результате повторений определенные способы действия тормозят, не дают возможности увидеть в задаче иной способ решения, переключиться на другие способы действия.

Учащиеся групп С и ОС уже демонстрируют известную гибкость мыслительных процессов, выражающуюся в многообразии подходов к решению задач, к свободе от сковывающего влияния шаблонных способов решения, в относительно легком переключении с одной умственной операции на другую, качественно иную.

5. Выяснялось, имеется ли у младших школьников стремление к простоте, экономности (рациональности) решения задач.

Анализ материалов показал, что тенденция к оценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного, простого, экономного в младшем школьном возрасте еще не выражена четко. Только 75% учащихся группы ОС и 54% группы С решают задачу сразу более простым, экономным способом, видя при этом и другие способы. Многие способные дети находили более экономные способы решения только после того, как решали задачу менее экономным способом или после наводящих вопросов, подсказок экспериментатора. Однако способные дети всегда могли объяснить, какой способ решения лучше (или хуже) и почему. В оценке способов решения они ориентировались не только на количество действий (более низкий уровень оценки), но и на качество действий (более высокий уровень оценки).

Дети групп СР и МС часто испытывали затруднения в оценке способов решения, причем ориентировались всегда только на количество действий. Малоспособные учащиеся видели в задаче лишь один способ решения—тот, который первым бросается в глаза,—чаще всего (так были построены экспериментальные задачи) наиболее громоздкий, нерациональный способ решения.

6. Изучались особенности запоминания математического материала учащимися групп МС, СР, С, ОС. Нас интересовало, насколько обобщенной является математическая память у детей младшего школьного возраста, т. е. насколько успешно запоминают они математические отношения, схемы рассуждений, принципы решения задач и т. п.

В результате исследования можно сказать, что у младших школьников нами не наблюдалось обобщенной математиче-

ской памяти в развитых ее формах, когда помнились бы в основном только отношения и схемы рассуждений. Способные ученики в этом возрасте обычно запоминают и конкретные данные и отношения. Здесь выражены и возрастные различия—от второго к четвертому классу все большее значение приобретает запоминание структур, все меньшее — запоминание конкретных данных. Однако у учащихся группы ОС ясно обнаруживаются признаки обобщенной математической памяти— для них главное — запоминание принципа решения задачи, отношений данных в ней величин. Если они что-то забудут, то это чаще всего не отношения, а числа, конкретные данные.

Ученики группы СР и особенно группы МС в условиях эксперимента запоминали лишь отдельные числа, конкретные данные, в частности, названия предметов, фигурирующих в задаче.

В четвертой главе ставится вопрос о специфичности математических способностей.

Для исследования вопроса о специфичности способности к обобщению была сделана попытка выяснить, как у каждого из исследованных нами учеников осуществляется процесс обобщения некоторого материала нематематического характера, и сопоставляли его с процессом обобщения тем же самым учеником математического материала. Так как довольно трудно приравнять друг к другу в отношении сложности обобщения задачи математических и нематематических серий, мы особое значение придавали тому, насколько быстро сказывается обучаемость обобщению того и другого материала.

В результате исследования способности к обобщению наметились следующие уровни обобщения математического и нематематического материала учениками указанных выше групп (даем схематическое описание: от низшего уровня к высшему): 1 уровень. Учащиеся не могут самостоятельно обобщить материал по существенному признаку даже после многочисленных однотипных тренировочных упражнений. 2 уровень. Учащиеся обобщают материал после многочисленных тренировочных упражнений, но допускают при этом отдельные неточности и ошибки. 3 уровень. Обобщают материал самостоятельно и без ошибок по существенным признакам, но только после нескольких тренировочных упражнений. 4 уровень. Обобщение происходит после очень небольшого количества тренировочных упражнений. Иногда для правильного обобщения достаточны одна или несколько незначительных подсказок или наводящих вопросов. 5 уро-

вень. Сразу выделяют существенные признаки, обобщают материал «с места» без малейших затруднений.

Материал исследования позволяет сформулировать выводы:

I. У наиболее способных к математике детей младшего школьного возраста математическое обобщение может заметно превалировать над нематематическим (но при достаточно удовлетворительном развитии последнего). Это выражается в следующем: а) Математический материал они обобщают сразу, «с места», без малейших затруднений. При обобщении другого материала они же часто обнаруживают неуверенность, тратят гораздо больше времени, иногда нуждаются в наводящих, дополнительных вопросах, б) Если для обобщения математического материала им чаще всего не нужно никаких специальных предварительных упражнений, то, обобщая нематематический материал, они испытывают потребность в тренировочных упражнениях и часто даже после этих упражнений допускают отдельные ошибки и неточности, в) Если при обобщении математического материала они сразу выделяют существенные признаки, то при обобщении другого материала они не сразу отыскивают это существенное, иногда задерживают свое внимание на несущественных признаках.

II. У наиболее неспособных к математике детей отмечается чрезвычайно слабое развитие способности к обобщению математического материала. Но нематематический материал при определенной тренировке многие из них обобщать могут. Если для обобщения математического материала им требуются многочисленные тренировочные упражнения (а часто и они не помогают), то для обобщения нематематического материала требуется упражнений значительно меньше, в результате упражнений почти половина детей группы МС справляется с заданиями на обобщение нематематического материала. Если в математическом материале эти дети не могут самостоятельно уловить существенное общее, то, работая над нематематическим материалом, они часто самостоятельно выделяют то основное общее, что объединяет слова, картинки и прочее. Способность к обобщению нематематического материала у них хоть и не ярко выражена, но отчетливо видна, поддается заметному развитию (в результате проводившихся упражнений).

III. В таблице 3 представлены результаты опытов по всем экспериментальным сериям (в среднем) на обобщение математического и нематематического материала.

Таблица 3

Группа учащихся

Серии

Уровни обобщения

I

II

III

IV

V

МС

математ.

83

17

пематемат.

34

17

41

8

С

математ.

46

54

нематемат.

8

38

54

ОС

математ.

100

нематемат.

25

50

25

Если мы сравним результаты обобщения математического и нематематическою материалов учащимися двух крайних групп—ОС и МС, то увидим, что все дети группы ОС обобщают математический материал на V уровне, а при обобщении нематематического материала нередко опускаются до III уровня. Дети группы МС производят обобщение математического материала на самом низком, 1 уровне, а при обобщении нематематического материала могут подниматься до IV уровня.

Очевидно, можно с известной степенью уверенности предполагать, что способность к обобщению уже в младшем школьном возрасте может выступать как специфическая способность к обобщению именно математических объектов.

В пятой главе представлены характеристики отдельных учащихся—наиболее типичных представителей различных групп. Всего даны восемь характеристик учащихся: 4—группы ОС, 1—группы С и 3—группы МС.

Заключение и выводы. Изучение способностей к математике в младшем школьном возрасте было проведено в соотнесении со средним школьным возрастом, так как одним из отправных положений нашего исследования было положение о том, что компоненты, составляющие структуру математических способностей и обнаруженные в более или менее сформированном виде у способных к математике детей средне-

го школьного возраста, должны иметь специфические, элементарные формы проявления и в более младшем возрасте, а именно—в младшем школьном возрасте.

Таким образом, в данной работе были исследованы не отдельные особенности мыслительной деятельности способных и малоспособных к математике школьников, а система основных компонентов, играющих существенную роль в структуре математических способностей.

Мы не ограничивались констатацией уровня развития у учащихся компонентов математических способностей, а специально исследовали обучаемость учащихся, то есть их быстрое или медленное продвижение по «лестнице» задач экспериментальных серий, в результате обучения, тренировки, упражнений.

В данной работе сделана попытка до некоторой степени исследовать вопрос о специфичности математических способностей в младшем школьном возрасте на примере сравнения особенностей обобщения математического и нематематического материалов одними и теми же учащимися.

Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы:

1. У весьма способных к математике учащихся младшего школьного возраста уже представлены в более или менее сформированном виде (но, конечно, на относительно элементарном уровне) все основные компоненты, составляющие структуру математических способностей.

2. Все компоненты имеют определенную специфику своего проявления в младшем школьном возрасте. Одни из них развиты в этом возрасте в большей, другие—в (меньшей степени. Более развиты компоненты: формализованное восприятие арифметического материала; способность к обобщению арифметического материала; гибкость мыслительных процессов в процессе решения задач. Менее развит такой компонент, как обобщенная математическая память. И, по-существу, лишь в начале своего развития находятся компоненты: способность к «сокращению» умозаключений и системы соответствующих действий; стремление к наиболее рациональному, экономному способу решения задач.

Все компоненты интенсивно развиваются с возрастом у способных к математике учащихся младшего школьного возраста. У учащихся IV класса эти компоненты выражены уже на более высоком уровне, чем у учащихся III класса (и тем более— II класса).

3. Способные к математике учащиеся легко и быстро продвигались по «лестнице» задач всех экспериментальных математических серий; их «обучаемость» математике (арифметике) представлена на довольно высоком уровне.

4. У наиболее способных к математике детей младшего школьного возраста математическое обобщение и способность к его развитию может заметно превалировать над нематематическим (но при достаточно удовлетворительном развитии последнего). В результате проведенного исследования можно с известной степенью уверенности предположить, что способность к обобщению уже в младшем школьном возрасте может выступать как специфическая способность к обобщению именно математических объектов.

5. У малоспособных к математике учащихся все указанные выше компоненты математических способностей находятся на чрезвычайно низком уровне развития.

6. Малоспособные к математике учащиеся с большим трудом и только в результате многочисленных упражнений продвигались по «лестнице» задач всех экспериментальных математических серий; их «обучаемость» математике представлена на весьма низком уровне: решая задачи, усваивая новое арифметическое правило, они достигают успеха только в результате длительной тренировки в решении однотипных задач. Но это не значит, что они не могут усвоить программный материал по арифметике.

Целенаправленно развивая компоненты математических способностей, можно добиться удовлетворительного усвоения этими детьми программного школьного материала по арифметике.

7. У многих малоспособных к математике учащихся довольно отчетливо выражена способность к обобщению нематематического материала, которая поддается заметному развитию в результате проводившихся упражнений. Важным вопросом дальнейшего исследования является вопрос о том, насколько тренировка обобщающей способности на нематематическом материале может сказаться на развитии обобщающей способности в области математики.

Основное содержание диссертации изложено в следующих статьях:

1. Индивидуальные различия в способности к обобщению у детей младшего школьного возраста. «Вопросы психологии», № 5, 1966.

2. Анализ некоторых компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте. Сообщение первое: Различия в восприятии условия задачи способными и малоспособными учениками младшего школьного возраста. «Новые исследования в педагогических науках», вып. X, М., изд. «Просвещение», 1967.

3. Анализ некоторых компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте. Сообщение второе: Индивидуальные различия в способности к быстрому переключению мыслительной деятельности в процессе решения арифметических задач. «Новые исследования в педагогических науках», вып. XI, М., изд. «Просвещение», 1967 (принята к печати).

Л-94255. Подписано к печати 10.4.67 г. Объем \XU печ. листа. Зак. 477

Типография курсов «Выстрел», г. Солнечногорск