АДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

Н. А. ДРОЗДОВА

ИЗЛОЖЕНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ВОПРОСОВ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель—член-корреспондент АПН РСФСР, доктор физико-математических наук, профессор Д. И. ПЕРЕПЕЛКИН

МОСКВА — 1955

В настоящее время нашей школой решается задача осуществления всеобщего политехнического обучения.

Осуществление политехнического обучения необходимо проводить в полном соответствии с руководящими указаниями ЦК ВКП (б), данными в постановлении «О начальной и средней школе» от 5 сентября 1931 года:

«Всякая попытка оторвать политехнизацию школы от систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики, представляет собой грубейшее извращение идей политехнической школы».

В связи с этим особое значение приобретает задача улучшения преподавания основ наук, в частности, основ геометрии в средней школе.

Изучение качества знаний учащихся по стереометрии говорит о наличии серьезных недостатков в знаниях, в том числе по материалу раздела «Прямые и плоскости». Учащиеся обнаруживают слабое знание фактического материала этого раздела; приводят недостаточно обоснованные доказательства теорем и не понимают необходимости строгих обоснований; не связывают изученные свойства прямых и плоскостей в пространстве с действительными отношениями предметов материального мира; не умеют строить правильные изображения пространственных фигур на плоском чертеже.

Общеизвестно, что усвоение материала стереометрии в IX классе представляет для учащихся большие трудности.

Одной из основных причин перечисленных недостатков в знаниях учащихся, а также трудностей в усвоении материала, является несовершенство принятой в настоящее время в средней школе системы изложения раздела «Прямые и плоскости».

Так, фактический материал раздела сообщается учащимся как набор не связанных общей идеей фактов; сведения об опытном происхождении понятия геометрической фигуры и аксиом не сообщаются; не вскрывается сущность геометрии как науки о свойствах предметов материального мира; логическая структура геометрии, роль аксиом и определений остаются невыясненными; не сообщаются правила построения изображений пространственных фигур.

Имеющая место практика изложения раздела «Прямые и плоскости», как и всякого другого раздела школьной программы, обычно определяется требованиями программы по математике для средней школы, содержанием стабильного учебника и задачника.

Как показывает анализ, изложение материала раздела «Прямые и плоскости» в стабильном учебнике имеет ряд недочетов с

точки зрения объема, содержания и характера изложения. Например, расположение материала об угле между двумя скрещивающимися прямыми не соответствует порядку, определяемому программой, что приводит к невозможности рассмотрения теорем о перпендикулярности прямой и плоскости в обобщенном виде; некоторые требуемые программой факты в учебнике не освещены.

Последовательность рассмотрения перпендикулярности и параллельности в задачнике не соответствует расположению материала в учебнике, что затрудняет, а часто делает невозможным, решение задач из стабильного задачника.

Вопросы изучения раздела «Прямые и плоскости» в современных методиках освещены недостаточно, причем некоторые из них не рассматриваются.

Проблема построения целесообразной системы изложения рассматриваемого раздела стереометрии подверглась исследованию в диссертациях Е. В. Зеленина «Первые главы стереометрии», 1940 г. и А. А. Столяра «Воспитание логического мышления учащихся на уроках геометрии», 1950 г. Однако ряд положений, высказанных в этих диссертациях и отраженных в предложенных диссертациями системах изложения, вызывает возражения. Кроме того, некоторые стороны проблемы остаются невыясненными. Система изложения, предлагаемая в диссертации А. А. Столяра, в целом чрезмерно трудна для учащихся; она раскрывает лишь логическую структуру геометрии, оставляя в стороне вопрос о предмете геометрии и др.

Стремление предложить систему, которая была бы свободна от недостатков, имеющих место при изучении раздела «Прямые и плоскости» в средней школе, и обусловило выбор темы настоящей диссертации.

Целью диссертации явилась разработка содержания раздела «Прямые и плоскости» в курсе стереометрии IX класса и методики его изложения.

При этом были исследованы следующие основные проблемы:

1) использование материала раздела для привития учащимся диалектико-материалистического взгляда на предмет геометрии, на понятие геометрической фигуры, на происхождение аксиом;

2) выяснение возможностей и разработка путей ознакомления учащихся с дедуктивным построением геометрии;

3) выяснение возможности ознакомления учащихся с аксиоматическим методом геометрии и выработка системы аксиом для курса стереометрии IX класса.

Перечисленные проблемы решаются в диссертации в свете общих задач обучения в средней школе. Основой этих решений служила марксистско-ленинская теория познания и данные психолого-педагогических исследований о характере мышления учащихся старшего школьного возраста.

При работе над диссертацией автором был использован опыт передовых учителей школ, личный опыт, изучена соответствующая учебная и методическая литература, материалы обследований ка-

чества знаний и состояния преподавания, проведенных сектором методики математики ИМО АПН РСФСР. По некоторым вопросам о качестве знаний и состоянии преподавания стереометрии в IX классе средней школы диссертантом проводилось дополнительное исследование в IX классах ряда школ г. Москвы. Известное влияние на совершенствование предлагаемой системы изложения оказали лекции старшего научного сотрудника сектора методики математики ИМО АПН РСФСР А. И. Фетисова о преподавании стереометрии в IX классе, прослушанные автором в 1953/54 учебном году в Московском Городском ИУУ.

Полученные в процессе работы над диссертацией результаты ставились на широкое обсуждение учителей.

Предлагаемая в диссертации система изложения раздела «Прямые и плоскости» была подвергнута экспериментальной проверке в школах г. Москвы в 1953/54 и 1954/55 уч. годах.

Диссертация состоит из следующих глав:

Вводная глава.

Глава I. Освещение некоторых проблем изложения стереометрии в учебниках второй половины XIX и первой половины XX вв.

Глава II. Опыт передовых учителей в преподавании стереометрии в IX классе средней школы.

Глава III. Некоторые проблемы изложения раздела «Прямые и плоскости».

Глава IV. Предлагаемая система изложения раздела о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.

Глава V. Результаты опытной проверки предлагаемой системы изложения,

Глава I.

ОСВЕЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ ИЗЛОЖЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ В УЧЕБНИКАХ ВТОРОЙ ПОЛОВИНЫ XIX И ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ XX ВВ.

Данная глава содержит обзор учебников геометрии второй половины XIX и первой половины XX вв. Основное внимание при этом уделено оригинальным русским учебникам указанного периода.

Проведенный обзор позволил установить следующее.

В целом ряде учебников (Н. М. Душина, П. А. Долгушина, А. М. Горста, А. Н. Глаголева, С. И. Шохор-Троцкого, М. Е. Ващенко-Захарченко, М. В. Остроградского) выражено стремление их авторов отразить успехи, достигнутые в вопросах обоснования геометрии.

Так, уже в «Руководстве начальной геометрии» М. В. Остроградского (1855) имеет место стремление к «развитию основных начал», по выражению автора. Некоторые понятия принимаются за первоначальные, некоторые предложения — без доказательства.

Учебник M. Е. Ващенко-Захарченко «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» (1889) представляет выдающееся для этого времени изложение основ геометрической науки. Автор не только высказывает общие положения об аксиоматическом построении геометрии, но и предпринимает попытку осуществить такое построение, дополнив список евклидовых постулатов некоторыми «геометрическими аксиомами».

В предисловии к «Систематическому курсу геометрии» П. А. Долгушина (1912) отмечается, что невозможно не отразить в элементарном курсе геометрии то огромное достижение, которое получило учение об основах геометрии за последние десятилетия. Исходя из этого, автор в своем учебнике 1) дает строгое подразделение предложений геометрии на аксиомы определения и теоремы; 2) изложение материала строит в последовательности, которая подчеркивает место и роль аксиомы параллельности; 3) дает систему аксиом для школьного курса. Дается правильное определение аксиомам как предложениям, принимаемым без доказательства.

В «Курсе элементарной геометрии» H. М. Душина (1923) основные свойства прямой линии, плоскости, а также основные свойства движения, выражены аксиомами. Только в этом учебнике имеет место четкое выделение основных геометрических понятий, формально-логические определения которым не даются. Аксиома характеризуется как предложение, принимаемое без доказательства.

В некоторых учебниках высказывается ряд методических положений относительно отражения аксиоматического метода в школьном курсе геометрии. Так, высказывается мысль о нежелательности излишнего нагромождения аксиом в школьном курсе геометрии; выражается предостережение от принятия для школьного курса системы аксиом Гильберта.

В каждом из рассмотренных учебников (за исключением учебников H. М. Душина и А. М. Горста) излагаются сведения о логической структуре геометрии, сведения о роли аксиом, определений и теорем, сведения о соотношениях между прямой, обратной, противоположной и обратной противоположной теорем, раскрывается сущность процесса доказательства. В некоторых учебниках ставится вопрос о необходимости доказательства существования определяемых понятий.

Однако, изложение этих сведений дается большей частью во вводной главе учебника, без учета возрастных особенностей учащихся и при отсутствии у них знания фактического материала геометрии, служащего необходимой базой для усвоения логической структуры геометрии.

При изложении вопроса о происхождении геометрических понятий и вопроса о предмете геометрии в большинстве из рассмотренных учебников ярко выразилась материалистическая сущность мировоззрения русской математической школы, нашедшая свое вы-

ражение в величайшем открытии Н. И. Лобачевского и его гениальных трудах.

Однако ни в одном из рассмотренных учебников не удалось найти освещения вопроса об опытном происхождении аксиом. Кроме того, большинство учебников, характеризуя понятие геометрического тела как результат абстракции конкретных свойств реальных предметов, аналогичного толкования понятиям точки, прямой и плоскости не дает.

В ряде учебников (А. Ф. Малинина и Ф. Егорова, А. Н. Глаголева, К. Н. Рашевского, Н. К. Зверева) материал раздела «Прямые и плоскости» изложен применительно к различным случаям взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Имеют место два основных направления: 1) перпендикулярность прямой и плоскости излагается ранее параллельности, 2) параллельность прямой и плоскости излагается ранее перпендикулярности.

Первый подход имеет место в учебниках А. Ф. Малинина и Ф. Егорова, А. Ю. Давидова, А. П. Киселева, М. Е. Ващенко-Захарченко, К. Н. Рашевского и др. В учебниках С. И. Шохор-Троцкого, А. Н. Глаголева, П. А. Долгушина, Н. А. Извольского, H. М. Душина и Н. К. Зверева принят порядок «параллельность-перпендикулярность».

Первый подход к изложению вопросов перпендикулярности и параллельности был наиболее распространен, он вел свое начало от Евклида и считался традиционным. Авторы учебников, в которых эта последовательность изложения изменена, не дают четких указаний о причинах ее изменения.

Вышеизложенное дает основание заключить, что многие авторы учебников геометрии считали целесообразным отражение в школьном курсе новейших достижений науки геометрии, а также стремились к усовершенствованию методики изложения раздела «Прямые и плоскости».

Глава II.

ОПЫТ ПЕРЕДОВЫХ УЧИТЕЛЕЙ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ В IX КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Изучение опыта учителей в преподавании стереометрии в IX классе средней школы позволило установить, что передовые учителя проявляют ценную инициативу по улучшению преподавания раздела «Прямые и плоскости». Это выражается как во внесении ими дополнений и изменений в содержание материала стабильного учебника по рассматриваемому разделу, так и в использовании ряда ценных методических приемов при изложении этого материала.

Эти учителя уделяют внимание выяснению логической структуры геометрии и роли аксиом и определений, привитию учащимся правильных представлений о понятиях: аксиома, определение и

теорема, а также выяснению сущности процесса доказательства теорем и опытного характера происхождения аксиом. Некоторые учителя сообщают учащимся сведения о проблеме V постулата и геометрии Лобачевского. Уделяется внимание сообщению учащимся правил построения изображений пространственных фигур на плоском чертеже и решению задач на проекционном чертеже. Теоремы о перпендикулярных прямой и плоскости рассматриваются с использованием обобщенного понятия перпендикулярных прямых. В формулировки и доказательства теорем вносятся изменения, способствующие уточнению их в логическом отношении и лучшему усвоению их учащимися.

В главе II приводится описание отдельных этапов и сторон преподавания стереометрии в IX классе учителями 130 школы Советского района Москвы И. Б. Вейцманом и П. Н. Смарагдовым и учительницей 113 школы Советского района Москвы Л. В. Федорович.

Глава III.

НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗЛОЖЕНИЯ РАЗДЕЛА «ПРЯМЫЕ и ПЛОСКОСТИ»

1. Изучение опыта учителей в преподавании геометрии и методической литературы последних лет позволяет сделать заключение о возможности и целесообразности ознакомления учащихся с аксиоматическим методом геометрии при переходе к изучению стереометрии в IX классе. Подтверждением этому служат данные психолого-педагогических исследований1 о характере мышления учащихся старшего школьного возраста, говорящие о возрастающей способности учащихся к абстрактному мышлению и увязыванию нового материала с прошлыми знаниями.

Ознакомление учащихся с аксиоматическим методом построения геометрии является в то же время целесообразным с точки зрения возможности осознания в полной мере логической структуры геометрии и возможности уяснения существа открытия Н. И. Лобачевского.

Наиболее удобной представляется следующая последовательность ознакомления учащихся с аксиоматическим методом геометрии: 1) на фактическом материале планиметрии обрисовывается идея аксиоматического метода, 2) дается система аксиом для курса стереометрии IX класса, 3) разъясняется значение аксиоматического метода как средства познания действительности.

На конкретном материале планиметрии выясняется, что необходимость принятия понятий каких-либо геометрических фигур без определения объясняется невозможностью бесконечного продолжения сведения определений понятий геометрических фигур к понятиям других, более простых, геометрических фигур.

1 М. Н. Шардаков «Очерки психологии учения», 1951.

Известные из планиметрии аксиомы рассматриваются как описания некоторых отношений основных понятий и характеризуются как предложения, принимаемые без доказательства. Выясняется необходимость введения некоторых предложений в качестве исходных, взятых без доказательства — на конкретных примерах вскрывается невозможность бесконечного сведения доказательства теорем к ранее доказанным предложениям. Раскрытие перед учащимися причины принятия некоторых предложений в качестве аксиом дает возможность довести до сознания учащихся правильное научное понятие аксиомы, дает возможность вскрыть ошибочность весьма распространенного определения «Аксиома—это истина, не требующая доказательства по своей очевидности».

Строгое аксиоматическое построение курса геометрии IX класса невозможно в связи с недостаточно развитым абстрактным мышлением учащихся.

Для учащихся IX класса представляется возможным построение курса стереометрии в следующем плане. В качестве основных понятий принимаются понятия точки, прямой и плоскости. Эти понятия рассматриваются как понятия простейших геометрических фигур, определения которым не даются.

Вводятся три группы аксиом: аксиомы принадлежности, аксиомы порядка и аксиома параллельности1.

Исходными при выборе системы аксиом являются следующие соображения:

1) материал IX класса позволяет ограничиться принятием аксиом указанных трех групп, при этом а) оговаривается сохранение в силе известных из планиметрии понятий равенства отрезков и равенства треугольников для случая расположения их в разных плоскостях, б) аксиоматически принимается бесчисленность точек, прямых и плоскостей в пространстве, а также бесчисленность точек между двумя любыми точками прямой и бесконечность прямой;

2) требование независимости для принимаемой системы аксиом не соблюдается, т. е. в число аксиом включаются такие предложения, которые в научном курсе являются теоремами. Это позволяет избежать необходимости доказательства многих достаточно очевидных для учащихся теорем. Тем самым значительно сокращается объем изучаемого в IX классе материала;

3) при выборе того или иного предложения в качестве аксиомы учитывается роль этого предложения в дальнейшем изложении;

4) аксиомы формулируются в доступной для учащихся форме.

Формулируется ряд теорем, являющихся следствиями каждой принимаемой группы аксиом. Доказательства этих теорем позволяют более ярко оттенить роль каждой группы аксиом в геометрии.

1 Это предполагает, что для курса X класса принятая система аксиом должна быть дополнена группами аксиомы конгруентности (или движения) и непрерывности.

Это является исходным моментом для выяснения места и роли V постулата в геометрии.

При сообщении учащимся сведений о величайшем открытии Н. И. Лобачевского более целесообразным представляется не приведение примеров «доказательств» V постулата и не сообщение слишком большого числа фактов геометрии Лобачевского, а показ и разъяснение того, что аксиоматический метод в открытии Н. И. Лобачевского сыграл роль средства для более полного и всестороннего познания реальной действительности.

2. Воспитание логического мышления учащихся возможно только при условии понимания учащимися того, что познается. Необходимой основой воспитания логического мышления является вскрытие общих черт, связей и взаимоотношений в излагаемом материале.

В геометрии именно знание логической структуры с ее аксиоматическим методом вскрывает перед учащимися общие черты, связи и отношения между отдельными фактами, выраженными в предложениях геометрии — аксиомах, определениях, теоремах.

Кроме того, знание логической структуры вскрывает новые стороны, новые связи в известном уже учащимся предмете геометрии, что также является важным средством развития логического мышления. Знание логической структуры геометрии дает учащимся возможность осознать сущность процесса доказательства, осознать необходимость логического доказательства высказанной теоремы. Тем самым в процесс обучения вносится элемент сознательности, что является необходимой чертой процесса усвоения знаний.

Переход в IX классе к изучению стереометрии после того, как изучена планиметрия, является удобным моментом как для уточнения понятий теоремы, аксиомы, определения, так и для раскрытия дедуктивного построения геометрии.

В предлагаемой системе изложения раздела «Прямые и плоскости» намечен следующий прием ознакомления учащихся с дедуктивным построением геометрии и с необходимыми понятиями.

Прежде всего, при проведении обзорного урока по планиметрии перед учащимися вскрывается на известном им материале планиметрии логическая структура геометрии.

При изложении фактического материала рассматриваемого раздела в самом начале дается классификация предложений геометрии на три основных вида: аксиома, определение, теорема. Устанавливается сущность доказательства всякой теоремы как процесса, в котором путем ряда логических умозаключений выявляется связь этой теоремы с ранее доказанными теоремами, принятыми определениями и аксиомами. Показывается, что правильно построенное доказательство не допускает ссылок на очевидность. Выявляется роль аксиом и определений как фундамента всего здания геометрической системы.

В расположении теорем предложенной системы изложения соблюдается принцип: каждая высказанная теорема является след-

ствием ранее доказанных теорем, принятых аксиом и определений. Тем самым сама структура построения курса стереометрии IX класса закрепляет в сознании учащихся понимание дедуктивного построения геометрии, которое при точном соблюдении правил вывода дает нам знание о пространственных формах материального мира.

При рассмотрении вопроса о возможности и целесообразности раскрытия перед учащимися IX класса логической структуры геометрии учитывалось, что именно в старшем школьном возрасте мышление учащихся достигает достаточной степени развития с точки зрения сохранения смыслового содержания материала. Имелось в виду также, что восприятие старших школьников совершенствуется осмысливанием воспринимаемого, его систематизацией и установлением взаимосвязей. Совершенствуется речь учащихся, развивается связное, свободное воспроизведение. Вместе со всем этим изменяется и характер памяти учащихся, постепенно переходя от наглядно-образною у младших школьников к преимущественно словесно-смысловому у старших.

Отмеченные особенности мышления учащихся старшего школьного возраста, в том числе и учащихся IX класса, приводят ко все более совершенному овладению изучаемым. Это создает необходимые предпосылки для уяснения учащимися IX класса дедуктивного построения геометрии.

Материал раздела «Прямые и плоскости» представляет большие возможности для выяснения на конкретных примерах содержания понятий прямой и обратной теорем и понятия о необходимых и достаточных условиях, для ознакомления с необходимостью и способами доказательства существования определяемых понятий. Предлагаемая в диссертации система изложения строится с использованием этих возможностей.

3. Результаты предложенной учащимся ряда IX классов письменной работы показали, что учащиеся, приступая к изучению стереометрии, не связывают понятие геометрической фигуры с предметами материального мира. Часть учащихся механически воспроизводит определение геометрической фигуры, данное в стабильном учебнике, другая часть подменяет понятие геометрической фигуры ее изображением.

Раскрывая перед учащимися особенности нового раздела геометрии — стереометрии — как части геометрии, рассматривающей свойства пространственных геометрических фигур, надо остановиться на выяснении понятия пространственной геометрической фигуры, а тем самым — на понятии геометрической фигуры вообще. При этом необходимо основываться на известных положениях марксизма-ленинизма о природе и сущности понятий.

Следуя этим указаниям, необходимо разъяснить учащимся, что понятие геометрической фигуры есть отражение объективного мира в сознании человека, есть отражение некоторых свойств, присущих предметам материального мира; что понятие есть результат опыта,

практической деятельности человека. Разъяснение этого в предлагаемой диссертацией системе дается на конкретном примере образования понятия цилиндра.

О возможности выяснения с учащимися природы и сущности понятий геометрической фигуры говорит тот факт, что изучаемый в IX классе средней школы курс психологии включает рассмотрение таких вопросов, как «Восприятие», «Представление», «Понятие».

Выяснение сущности понятия геометрической фигуры как отражения свойств предметов материального мира дает возможность сформулировать новое определение геометрии как науки о пространственных свойствах предметов материального мира.

Ознакомление учащихся с опытным происхождением аксиом имеет первостепенное значение для выработки правильного взгляда на геометрию как науку об объективной реальности. Однако, ни в рассмотренных в главе I учебниках, ни в современном стабильном учебнике нет никаких сведений по этому вопросу. Как справедливо отмечено в статье Н. Ф. Четверухина «О некоторых методологических вопросах в преподавании геометрии»,1 до сих пор этот вопрос остается неразрешенным в методическом отношении.

Выяснение логической структуры геометрии и роли аксиом, уточнение понятия аксиомы и принятие системы аксиом в предлагаемой диссертацией системе изложения стереометрии в IX классе делает возможным и необходимым освещение опытного происхождения аксиом.

Следуя высказанным в указанной статье проф. Н. Ф. Четверухина положениям, освещение опытного происхождения аксиом необходимо основывать как на приведении примеров, показывающих выработку аксиом из опыта, из наблюдения природы, так и на приведении примеров из окружающей обстановки, являющихся результатом практической деятельности человека.

Такой подход к выяснению происхождения аксиом дает возможность более полно раскрыть сущность аксиом как положений, отражающих закономерные, объективные связи предметов материального мира, существующие вне и независимо от человеческого сознания, и принимаемых за истинные только по этой причине.

4. При построении системы изложения раздела «Прямые и плоскости» представилось целесообразным выделить общую идею, связывающую отдельные факты этого раздела — идею взаимного расположения. В связи с этим был принят следующий порядок изложения:

1) взаимное расположение двух прямых в пространстве (пересечение, параллельность, совпадение, скрещивание и его частный случай перпендикулярность);

2) взаимное расположение прямой и плоскости (параллельность, принадлежность прямой плоскости, пересечение) ;

1 Журнал «Математика в школе», № 2, 1955.

3) взаимное расположение двух плоскостей (параллельность, совпадение, пересечение) ;

4) перпендикулярность прямой и плоскости;

5) перпендикулярность двух плоскостей.

Как видно, параллельность прямых и плоскостей рассматривается ранее перпендикулярности. Известно, что такой порядок в изучении параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, введенный в стабильный учебник проф. Н. А. Глаголевым, представляет отход от традиционного порядка, где перпендикулярность рассматривается ранее параллельности. Вопрос о преимуществах той или иной последовательности изложения параллельности и перпендикулярности подвергался исследованию, но окончательно решен не был.

При решении вопроса о последовательности расположения материала в предлагаемой диссертацией системе представлялось необходимым исходить прежде всего из тех возможностей, которые дает тот или иной порядок изложения для решения общих задач преподавания стереометрии — задач развития пространственного воображения и воспитания логического мышления учащихся.

В диссертации рассмотрение параллельности предшествует рассмотрению перпендикулярности, так как это дает возможность:

1) быстрее ознакомить учащихся с правилами построения изображений пространственных фигур на плоском чертеже,

2) теоремы о перпендикулярных прямой и плоскости рассматривать в обобщенном виде,

3) применить при решении задач на построение метод решения на проекционном чертеже.

Все это служит средством развития пространственного воображения, воспитания логического мышления учащихся, способствует сознательному усвоению изучаемого материала (в том числе теорем о перпендикулярных прямой и плоскости), а также играет большую роль в осуществлении политехнического обучения.

Глава IV.

ПРЕДЛАГАЕМАЯ СИСТЕМА ИЗЛОЖЕНИЯ РАЗДЕЛА О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Система изложения раздела «Прямые и плоскости», предлагаемая в диссертации, была выработана на основании изучения и анализа учебной и методической литературы, изучения и обобщения опыта передовых учителей; в ней нашли отражение основные положения, высказанные автором в главе III диссертации по вопросу содержания и методики изложения раздела «Прямые и плоскости». Учтено было содержание соответствующего раздела проекта новой программы по математике.

Глава IV состоит из двух частей. Первую часть представляет собственно система изложения раздела «Прямые и плоскости», во

второй части даны методические указания к предложенной системе.

При изложении было обращено внимание на связь и сопоставление материала рассматриваемого раздела с материалом планиметрии и использование символической записи. При формулировании и доказывании теорем автор стремился найти формы, облегчающие усвоение материала учащимися.

Изложение начинается рассмотрением вопросов о предмете геометрии, о понятии геометрической фигуры и его происхождении. Дается классификация предложений геометрии, выясняется их роль в логической структуре геометрии.

Система аксиом содержит три группы: аксиомы принадлежности (семь аксиом), аксиомы порядка (три аксиомы) и аксиому параллельности.

Доказываются непосредственные следствия из аксиом принадлежности и порядка, выясняется их независимость от аксиомы параллельности. Затем кратко излагаются сведения о «Началах» Евклида и об истории V постулата; раскрывается история и существо открытия Н. И. Лобачевского.

При доказательстве следствий о единственности плоскости, определяемой прямой и точкой вне ее, двумя пересекающимися прямыми и двумя параллельными прямыми, обращается внимание на выяснение закономерности постановки вопроса о доказательстве единственности.

Рассмотрение свойств прямых и плоскостей дается в указанном выше (стр. 10—11) порядке.

Для параллельных прямых формулируется и доказывается теорема о транзитивном свойстве, не являющаяся следствием теорем о признаке параллельности прямой и плоскости. Углы с соответственно параллельными сторонами рассматриваются вне связи с параллельностью плоскостей. Для скрещивающихся прямых доказывается теорема существования: «В пространстве существуют прямые, не лежащие в одной плоскости»; вводится определение: «Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися» и выводится следствие: «Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек». Введение понятия угла между двумя скрещивающимися прямыми сразу вслед за этим дает возможность ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве. Здесь доказывается теорема: «Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой», имеющая большое применение в дальнейшем, но отсутствующая в современном стабильном учебнике.

Обратная теорема о признаке параллельности прямой и плоскости дается в формулировке: «Если прямая а параллельна плоскости öl , то любая плоскость, проходящая через прямую а, и пересекающая плоскость я, пересекает ее по прямой, параллельной а»; в процессе доказательства выясняется построение такой плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей дается теоремой: «Если плоскость проходит через две пересекающиеся прямые, параллельные данной плоскости, то она параллельна этой плоскости». Кроме теоремы об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями рассматривается также теорема об отрезках скрещивающихся прямых между параллельными плоскостями.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости рассматриваются в теоремах:

1. Если прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости, то она пересекает эту плоскость.

2. В пространстве существует прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым.

3. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости)

4. Через каждую точку пространства, лежащую в данной плоскости или вне ее, проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная этой плоскости.

Теорему о единственности плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой, оказалось целесообразным (с точки зрения краткости и простоты доказательства) рассмотреть после теорем о зависимости перпендикулярности и параллельности. Однако в диссертации приводится доказательство этой теоремы и для случая формулирования ее вслед за теоремой 4.

Понятие прямоугольной проекции вводится как частный случай понятия произвольной параллельной проекции.

Теорема о трех перпендикулярах формулируется в общем виде; доказательство ее основано на теореме о признаке перпендикулярности прямой и плоскости. Теоремы «Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к той же плоскости» и «Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой» доказываются в обобщенном виде.

Линейный угол двугранного угла определяется как плоский угол, образованный лучами, полученными при пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла; доказывается теорема о равенстве между собой линейных углов одного и того же двугранного угла. Вводится определение равенства двугранных углов. Доказывается существование плоскости, делящей данный двугранный угол пополам; рассматривается геометрическое место точек, равноудаленных от граней двугранного угла.

В последнем § 7 этой главы изложен материал, необходимый для обоснования построения изображений пространственных фигур на плоском чертеже. При этом автор придерживается основных положений, высказанных по этому вопросу в трудах проф. Н. Ф. Четверухина и в ряде диссертаций, разрабатывающих эти положения.

Изучение этого материала рекомендуется после рассмотрения свойств параллельных плоскостей.

Кроме уже отмеченных доказательств существования скрещивающихся прямых и биссектральной плоскости, даются доказательства существования параллельных прямой и плоскости, параллельных плоскостей, перпендикулярных прямой и плоскости, пересекающихся плоскостей.

При рассмотрении ряда вопросов осуществляется пропедевтика идеи геометрического преобразования (например, при рассмотрении теорем о плоскостях, проходящих через одну и ту же прямую, и о сравнительной величине перпендикуляра и наклонных — вращение; при рассмотрении задачи «Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть плоскость, перпендикулярная к прямой, проходящей через данные точки» — симметрия; при рассмотрении совпадающих прямых, совпадающих плоскостей и прямой, лежащей в плоскости — параллельное перенесение).

Глава V.

РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТНОЙ ПРОВЕРКИ ПРЕДЛАГАЕМОЙ СИСТЕМЫ ИЗЛОЖЕНИЯ

В течение 1953/54 уч. года в четырех IX классах 130 школы Советского р-на Москвы (учителя В. М. Максимов и О. И. Дудина) и двух IX классах 328 школы Красногвардейского р-на Москвы (учитель Б. С. Эппель), а в 1954/55 уч. году в одном IX классе 314 школы Куйбышевского р-на Москвы (учитель К. И. Нешков) и трех IX классах 125 школы Советского р-на Москвы (учительница Г. Г. Козлова) была организована опытная проверка предлагаемой системы изложения в форме экспериментального обучения.

В процессе экспериментального обучения проводилась проверка эффективности отдельных методических приемов изложения материала предложенной системы; данные проверки использовались для уточнения методических указаний.

Как свидетельствуют изложенные в главе V диссертации данные (наблюдения экспериментатора, ответы учащихся, высказывания учителей и учащихся, результаты письменных работ учащихся), изучение материала стереометрии по предложенной системе не вызвало ни в одном из классов затруднений, связанных с усвоением содержания в целом.

Специальное исследование, проведенное с целью выяснения понимания учащимися содержания аксиом, их опытного происхождения и происхождения понятия геометрической фигуры показало, что форма, в которой проводится ознакомление с этими вопросами, доступна для учащихся; учащиеся понимают содержание аксиом, правильно используют их при решении задач и доказательстве теорем; приводят правильные примеры, подтверждающие опытное происхождение аксиом и понятия геометрической фигуры.

Учителя экспериментальных классов в процессе обучения стереометрии по предложенной системе отмечали, что изучение материала в порядке рассмотрения случаев взаимного расположения прямых и плоскостей значительно облегчает учащимся его запоминание. По ответам учащихся можно было заключить, что предложенные доказательства теорем о единственности плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые и через прямую и точку вне ее, о транзитивном свойстве параллельных прямых, о параллельных плоскостях и ряд других, отличных от имеющихся в стабильном учебнике доказательств, были восприняты с интересом; эти доказательства оказались доступнее.

Учителя экспериментальных классов отмечают, что при изучении стереометрии по предложенной системе наблюдается сознательное усвоение учащимися материала раздела «Прямые и плоскости», повышается интерес и возрастает активность учащихся. Это в свою очередь повышает эффективность использования изученного материала.

Наблюдения на уроках и анализ работ учащихся дали основание заключить, что выполнение учащимися упражнений на составление логических схем доказательства теорем способствует уяснению ими роли аксиом и, особенно, определений в геометрии.

Результатом исследования явилась отличающаяся от имевших ранее место по своему содержанию и методике изложения система раздела «Прямые и плоскости».

В ней выяснены возможности и намечены пути ознакомления учащихся с аксиоматическим методом и дедуктивным построением геометрии, с опытным происхождением аксиом и понятия геометрической фигуры.

Отобран необходимый теоретический материал для более глубокого и по возможности полного (в рамках отводимого программой времени) рассмотрения свойств прямых и плоскостей в пространстве; намечена рациональная в логическом и методическом отношении последовательность в расположении материала и доступная для учащихся IX класса форма его изложения.

Разработанная в диссертации система изложения раздела «Прямые и плоскости» способствует облегчению восприятия и сознательному усвоению материала этого раздела, улучшению его запоминания. Это создает необходимые предпосылки для более эффективного использования получаемых знаний на практике.

Л 40722. Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 3113

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР