МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

КАФЕДРА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

В. П. ДРЕГУНАС

КРУГЛЫЕ ТЕЛА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике преподавания математики)

Научный руководитель—профессор И. Я. Депман

Ленинград- 1965

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор 3. А. Скопец кандидат тех. наук (по начертательной геометрии), доцент Н. К. Иодковская

Защита состоится в Ленинградском Государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград, Д-88, Мойка, 48.

Автореферат разослан апреля 1965 г.

Ответственный редактор профессор И. Я. Депман.

В условиях проникновения науки и внедрения сложнейшей техники во все отрасли народного хозяйства труд рабочих и колхозников по существу приближается к труду техников, инженеров и других специалистов. От тружеников народного хозяйства требуется умение обращаться с точными инструментами, аппаратами и механизмами, знание сложных технических расчетов и умение читать технические чертежи, творческий подход к своему труду, умение соединять «работу рук с работой головы». В деле подготовки таких тружеников большую роль играет математическое образование.

За последние годы накоплен большой опыт, проделана большая исследовательская работа по улучшению преподавания математики. Но перестройка преподавания математики все еще не осуществлена полностью. Еще имеется ряд вопросов, которые требуют неотложного рассмотрения и разрешения. В частности, это касается раздела школьного курса геометрии «Круглые тела».

Согласно новым программам по математике круглые тела изучаются как в восьмилетней школе, так и в старших классах средней школы.

В курсе геометрии VII—VIII классов при изучении пропедевтического курса стереометрии даются элементарные сведения о круглых телах, учащиеся знакомятся с вычислением площадей поверхностей и объемов цилиндра, конуса и шара по готовым данным и данным, полученным путем непосредственного измерения. На изучение этих вопросов выделяется приблизительно 12 часов.

В систематическом курсе стереометрии круглые тела рассматриваются при изучении двух тем. В теме «Круглые тела», на прохождение которой отводится 24 часа, изучаются основные свойства, изображение и теория измерения площадей поверхностей круглых тел. В теме «Измерение объемов» (26 часов) рассматривается теория измерения объемов всех геометрических тел, в том числе и круглых тел.

Раздел «Круглые тела» имеет большое образовательное и практическое значение. С круглыми телами люди встречаются в весьма различных сферах производства. Трудно

представить себе такую техническую специальность, в которой не были бы нужны знания этого раздела.

Однако, многолетняя практика работы в школе, изучение работы учителей математики, систематическая проверка знаний и умений учащихся дают нам право утверждать, что в преподавании раздела «Круглые тела» имеется ряд существенных недостатков и упущений. Главными из них являются следующие:

1. При изложении теории измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел в школьном курсе геометрии нарушается принцип научности. Эта теория не имеет общего приема и принципа изложения, не вооружает учащихся методом, с помощью которого они сумели бы найти площади поверхностей и объемы тел, не рассматриваемых в учебнике.

2. В практике преподавания раздела «Круглые тела» недостаточно обращается внимания на политехническую подготовку учащихся.

а. До настоящего времени в школьной практике еще допускаются грубые ошибки при изображении круглых тел и их комбинаций с многогранниками. Старшеклассникам часто неизвестны основные правила построения таких изображений, многие из них не знают какая проекция применяется для этой цели, каковы ее свойства.

б. Плохо обстоит дело с моделированием круглых тел. В школьных математических кабинетах имеется очень мало наглядных пособий по этому разделу. Моделирование круглых тел силами учащихся почти не проводится, а если и проводится, то оно в большинстве случаев превращается в простое копирование уже имеющихся моделей.

Основной причиной такого положения следует считать то, что методика преподавания раздела «Круглые тела» разработана недостаточно. Некоторые вопросы преподавания данного раздела находят освещение в методической литературе. Однако, имеется ряд спорных и нерешенных вопросов, по которым необходимо продолжать исследования. Эти причины обусловили выбор темы диссертации «Круглые тела в курсе математики средней политехнической школы».

В процессе работы над диссертацией мы ставили следующие задачи:

1. Из всех методических приемов и видов работ, способствующих осуществлению политехнического обучения в преподавании раздела «Круглые тела», рассмотреть изображение круглых тел и моделирование круглых тел. Для этого:

а) проанализировать всевозможные варианты выбора проекций для изображения круглых тел; на основе проведенного анализа и экспериментальной проверки выбрать наиболее рациональную проекцию для применения в школе

и разработать методику ознакомления учащихся с изображением круглых тел в выбранной проекции;

б) разработать методику моделирования круглых тел, соответствующую задачам современной политехнической школы и рассмотреть технику такого моделирования из наиболее пригодных для этой цели материалов (гипса, бумаги, картона).

2. Рассмотреть недостатки, имеющиеся в традиционном изложении теории измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел, проанализировать предлагаемые разными авторами способы улучшения этой теории.

Построить приемлемую для средней политехнической школы теорию измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел, более соответствующую современному развитию науки и требованиям жизни, дать методическую разработку изложения этой теории.

Поставленные задачи решались нами дифференцированно по отношению к восьмилетней школе и старшим классам средней школы. Кроме того, мы учитывали особенности И программы национальной средней школы Литовской ССР, в которой, главным образом, проводилась наша исследовательская работа.

При подготовке настоящей работы мы использовали научную, методическую и учебную литературу по проблеме, опыт передовых учителей математики, собственный опыт и специально организованный педагогический эксперимент (см. стр. 14).

* * *

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии.

В введении обосновывается тема исследования.

Первая глава посвящена вопросам изображения круглых тел в средней политехнической школе.

Анализ научно-методической литературы по вопросам изображения круглых тел показывает, что до настоящего времени нет единого мнения и между методистами ведется дискуссия о том, в какой проекции следует изображать круглые тела. Имеются четыре варианта выбора метода проектирования:

I. Все круглые тела изображать в кабинетной проекции (Г. А. Назаревский, В. Е. Назаретский).

II. Все круглые тела изображать в ортогональной проекции (А. К. Артемов, Ф. М. Клычников, П. С. Орехов, А. К. Тимофеев и др.)-

III. Цилиндр и конус изображать в специальной косоугольной проекции, а шар в ортогональной проекции (Д. Ф. Изаак, Г. А. Владимирский и С. Ю. Калецкий, П. Г. Казаков).

IV. Все круглые тела изображать в специальной косоугольной проекции (Е. А. Дышинский).

Специальной косоугольной проекцией цилиндра и конуса принято называть такую параллельную проекцию этих тел, в которой проектирующая плоскость, проходящая через оси цилиндра и конуса, перпендикулярна к плоскости чертежа (проектирующие лучи не обязательно перпендикулярны к плоскости чертежа).

Специальной косоугольной проекцией шара называется параллельная проекция шара, в которой ось шара параллельна плоскости чертежа, а проектирующая плоскость, проходящая через ось шара, перпендикулярна к плоскости чертежа (проектирующие лучи не обязательно перпендикулярны к плоскости чертежа).

Очевидно, что ортогональная проекция является частным случаем специальной косоугольной проекции.

Указанные выше варианты подвергались сравнению в смысле следующих трех требований: 1) наглядности изображений, 2) простоты выполнения изображений и 3) единого метода проектирования для всех круглых тел. При этом, под требованием простоты выполнения изображений подразумевалось не только требование минимума дополнительных построений, но и требование относительной простоты обоснования сущности этих построений.

Первое и второе требования — требования наглядности и простоты выполнения — общеизвестны. Что касается третьего требования, то введение его объясняется тем, что разнобой в выборе метода проектирования в школьной практике является нежелательным: изучение свойств разных проекций требует много времени, дезорганизует учащихся.

Сравнивая рассматриваемые четыре варианта в отношении этих трех требований, мы сразу отбросили первый вариант, относительно плохо удовлетворяющий требованиям наглядности и простоты выполнения, и третий вариант, как не удовлетворяющий требованию единого метода проектирования для всех круглых тел.

Остались два варианта: второй вариант, который предлагает все круглые тела изображать в ортогональной проекции, и четвертый вариант, предлагающий все круглые тела изображать в специальной косоугольной проекции. Эти оба варианта удовлетворяют требованию единого метода проектирования для всех круглых тел. Чтобы установить, какая проекция — ортогональная или специальная косоугольная — лучше удовлетворяет требованиям наглядности и простоты

выполнения, в §§ 2, 3 и 4 настоящей главы проведено исследование изображений окружности, конуса (цилиндра) и шара, выполненных в обеих сравниваемых проекциях.

В ортогональной и специальной косоугольной проекции изображение конуса дается одним и тем же чертежом, на котором высота конуса изображается отрезком, лежащим на одной прямой с малой осью эллипса, изображающего основание конуса. Поэтому в работе исследовано именно такое изображение конуса и установлено в какой степени это изображение конуса определяет оригинал, если оно получено ортогональным и специальным косоугольным проектированием.

Результаты этого исследования могут быть сформулированы в виде следующих выводов:

1. Рассматриваемое изображение конуса является метрически неопределенным, если на оригинал не накладывать никаких условий.

2. Если считать, что рассматриваемое изображение получено ортогональным проектированием оригинала, то оно метрически определенное.

3. Если считать, что это изображение получено специальным косоугольным проектированием оригинала, то оно может быть метрически определенным (когда высота конуса--оригинала параллельна плоскости чертежа) и метрически неопределенным (когда высота конуса-оригинала не параллельна плоскости чертежа).

В работе впервые дано исследование изображения шара, полученное специальным косоугольным проектированием, установлены все свойства такого изображения, указаны практические способы его построения.

Нами установлены аналитические выражения отношений осей эллипса, изображающего экватор шара, и эллипса, изображающего видимый контур шара, через угол проектирования. Также установлена зависимость между упомянутыми выше отношениями. Эта зависимость выражается формулой:

где а — большая полуось эллипса, изображающего экватор, или же малая полуось эллипса, изображающего видимый контур шара; b — малая полуось эллипса, изображающего экватор; m — большая полуось эллипса, изображающего видимый контур шара.

Кроме того, мы установили пределы значений угла проектирования, при которых изображение шара в специальной косоугольной проекции является наиболее наглядным.

Изображения круглых тел, полученные ортогональным и специальным косоугольным проектированием, в смысле

простоты выполнения сравнивались следующим образом: сначала процессы построения какого-нибудь изображения в обеих рассматриваемых проекциях делились на элементарные (по возможности одинаковые) построения; затем отдельные элементарные построения сравнивались между собой по трудности построения и трудности обоснования сущности этих построений; наконец, процессы построения сравнивались по числу элементарных построений.

Результаты детального сравнения, проведенного указанным выше образом, в диссертации сводятся к следующим выводам:

1. Изображение конуса с данным отношением высоты к диаметру основания, а также изображения комбинаций конуса с другими телами в специальной косоугольной проекции выполняются легче, чем в ортогональной проекции. Возможность рассматривать изображение конуса в специальной косоугольной проекции, как метрически неопределенное с одним свободным параметром может лишь облегчить построение изображений. Если отношение высоты к диаметру основания не дано, то построение изображения конуса в обеих проекциях выполняется одинаково.

2. В обеих рассматриваемых проекциях построение изображения шара с полюсами и экватором выполняется почти одинаково, но зато построение изображений тел, вписанных в сферу и описанных около сферы, выполняется значительно легче в специальной косоугольной проекции, чем в ортогональной проекции. Построение изображений комбинаций шара с другими телами в ортогональной проекции часто бывает довольно трудной задачей. Это является одной из причин того, что большинство учащихся не усваивают построения изображений круглых тел в ортогональной проекции.

При сравнении изображений круглых тел, полученных ортогональным и специальным косоугольным проектированием, в смысле требования наглядности мы учитывали то, что акт восприятия изображения пространственной фигуры является весьма сложным процессом. Оформление зрительных восприятий происходит в пределах головного мозга, где они взаимосвязываются с другими нашими ощущениями и контролируются на основании заранее приобретенного человеком опыта, и только после этого начальное раздражение превращается в законченный пространственный образ. Когда мы смотрим на изображение какой-либо пространственной фигуры, то представляем себе эту фигуру не только определенной формы и размеров, но и вполне определенным образом расположенную в пространстве относительно плоскости чертежа. Чтобы изображение дало более четкое представление об оригинале, необходимо получить его путем проектирования оригинала в таком положении, в котором мы его

представляем себе, глядя на чертеж. Это способствует более быстрой ассоциации изображения с оригиналом. Итак, для наглядности изображения существенное значение имеет положение оригинала в пространстве относительно плоскости чертежа.

Весь процесс сравнения в смысле требования наглядности сводится к следующим выводам:

1. Так как изображение конуса в ортогональной и специальной косоугольной проекциях дается одним и тем же чертежом, то требование наглядности в обеих проекциях выполняется одинаково. Если предложить, что высота конуса параллельна плоскости чертежа (что чаще всего и делается в практике), то изображение конуса в специальной косоугольной проекции по сказанному выше будет более наглядным, чем изображение конуса в ортогональной проекции, в которой высота конуса наклонена к плоскости чертежа.

2. Изображение шара в ортогональной проекции имеет преимущество перед изображением шара в специальной косоугольной проекции с точки зрения наглядности. Это объясняется тем, что при рассмотрении шара с любого положения человеческим глазом, лучи, касающиеся его поверхности, образуют конус вращения. Поверхность сетчатки глаза пересекает этот конус перпендикулярно к его оси и дает в сечении окружность, что и соответствует ортогональной проекции шара. В специальной косоугольной проекции видимый контур шара изображается эллипсом. Однако, в защиту наглядности изображения шара в специальной косоугольной проекции выступают два существенных обстоятельства:

а. Если при специальном косоугольном проектировании угол наклона проектирующих лучей к плоскости чертежа будет соответственно выбран (нами установлены пределы значений наилучшего угла проектирования), то видимый контур шара изображается незначительно вытянутым в вертикальном направлении эллипсом, построенным по осям. При этом наше зрение почти не улавливает разницы между осями эллипса, и мы получаем восприятие вполне реального шара.

б. Положение шара-оригинала в пространстве относительно плоскости чертежа при специальном косоугольном проектировании увеличивает наглядность изображения шара.

Учитывая сказанное выше в адрес наглядности изображения шара в специальной косоугольной проекции и то, что требование наглядности и требование простоты выполнения относительны и связаны между собой, мы сделали следующий вывод:

Потеря наглядности при изображения шара в специальной косоугольной проекции очень незначительна, но зато такое изображение является наиболее простым по выполне-

нию, особенно при изображении комбинации шара с другими телами.

На основе проведенного сравнения в диссертации рекомендуется специальная косоугольная проекция для изображения всех круглых тел в средней школе.

В последнем пятом параграфе главы I описана разработанная нами методика ознакомления учащихся с изображением круглых тел в специальной косоугольной проекции.

Во второй главе изложены вопросы моделирования круглых тел.

Анализ методической литературы, проведенный в первом параграфе этой главы, показывает, что техника и методика изготовления наглядных пособий к разделу «Круглые тела» освещены недостаточно. Почти все авторы, рассматривающие моделирование круглых тел, описывают технику изготовления демонстрационных наглядных пособий. К таким моделям обычно не предъявляются требования метрического характера, а изготовление их часто сводится к простому копированию уже имеющихся моделей. Потребность изготовления демонстрационных моделей силами учащихся является временной, так как выпуск таких моделей фабричного изготовления увеличивается из года в год.

Политехническое обучение требует, чтобы главным в моделировании были не столько изготовляемые наглядные пособия, сколько воспитательное и образовательное значение самого процесса труда. Чтобы моделирование наглядных пособий развивало у учащихся математические знания, подготовляло их к практической деятельности, следует добиваться того, чтобы всякая изготовленная модель удовлетворяла определенным метрическим требованиям, т. е. была определена в математическом смысле этого слова. Обычно эти метрические требования формулируются в условиях задач. Для изготовления таких моделей необходимо предварительно построить соответствующий чертеж и решить геометрическую задачу, т. е. определить все те элементы, по которым можно изготовить модель. Такое моделирование будем называть точным моделированием.

В диссертации обосновано значение такого моделирования для глубокого изучения теоретического материала и для политехнического образования учащихся. Отмечаются следующие трудности проведения занятий по точному моделированию круглых тел в школе:

1. Не все круглые тела могут быть изготовлены по разверткам их поверхностей, так как поверхности не всех круглых тел развертываются в плоские фигуры.

2. Для изготовления моделей круглых тел в школе можно применять только весьма ограниченные материалы (дерево, проволоку, железо). Для вытачивания таких моделей из

дерева или железа необходимо применение токарного станка, которого многие школы не имеют.

3. Точное моделирование круглых тел почти не рассматривалось в методической литературе. Правда, одна глава диссертации Н. Д. Буренина* посвящена этому вопросу; но для изготовления предлагаемых проволочных моделей круглых тел требуется очень много времени и поэтому теряется эффективность самого процесса моделирования: учащиеся при изготовлении какой-либо модели затрачивают много труда, а математических знаний при этом получают мало.

Учитывая большое значение точного моделирования для глубокого изучения раздела «Круглые тела» и указанные выше трудности мы в настоящей главе основное внимание уделяли именно такому моделированию.

Практика показывает, что наилучшими материалами для точного моделирования круглых тел служат гипс, бумага и картон. Моделирование круглых тел из этих материалов имеет свои особенности и требует специальной подготовки. Между тем, в методической литературе этот вопрос почти не рассматривался**. В связи с этим мы придавали большое значение описанию техники и методики такого моделирования.

Во втором параграфе главы II рассматривается точное моделирование круглых тел из гипса. Здесь описаны следующие способы моделирования:

1) отливка демонстрационных моделей при помощи гипсовых и жестяных форм;

2) изготовление гипсовых моделей способом вращения;

3) отливка гипсовых моделей при помощи бумажных форм.

Для точного моделирования особое значение имеет третий способ, при котором формы для отливки гипсовых моделей изготовляются из плотной чертежной бумаги. Для изготовления бумажных форм рекомендуется использовать возможность объединения отдельных конических поверхностей в одну общую развертку. Доказывается такое свойство:

Для того, чтобы две конические поверхности, образуемые вращением плоской ломаной линии, состоящей из двух отрезков, вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии, можно было объединить в одну развертку в виде сплошного кругового сектора (или части его), необходимо и достаточно, чтобы биссектриса угла, образованного отрезками ломаной, была параллельна оси вращения.

* Н. Д. Буренин. Методы конструктивной геометрии в школьном геометрическом моделировании. Диссертация. Л., 1957.

** Единственной статьей на эту тему является статья С. М. Петрова «Моделирование круглых тел из гипса», помещенная в журнале «Математика в школе», 1957, № 3, стр. 53—57.

В практике изготовления форм мы чаще всего пользовались этим свойством, обобщенным для поверхности, образуемой вращением плоской ломаной линии, состоящей из п отрезков (п — натуральное число), соединенных в виде зигзага попарно под углом а, вокруг оси, лежащей в плоскости данной ломаной и параллельной биссектрисе угла а.

Применение этого свойства дает возможность простым изгибанием плоскости бумажного круга изготовлять формы для отливки сложных моделей тел вращения.

В работе приводится система заданий для проведения занятий по точному моделированию на тему «Тела вращения». Этими заданиями послужили задачи, отобранные нами из задачников стереометрии Н. Рыбкина, 3. Я. Квасниковой и А. И. Поспелова. Каждой из задач указываются способы изготовления форм и отливки моделей.

В третьем параграфе этой глафы описываются техника и методика точного моделирования круглых тел из бумаги и картона. Такое моделирование рекомендуется проводить по двум темам: а) изготовление моделей тел, полученных вращением многоугольников, б) изготовление моделей комбинаций шара с многогранниками.

В третьей главе рассматривается теория измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел в средней школе.

В первом параграфе анализируется состояние вопроса в теории и на практике. Указывается, что в традиционном изложении рассматриваемой теории имеются два недостатка:

I. Эта теория не имеет общей идеи и общего принципа изложения. Выделение каждой отдельной формулы этой теории имеет свои специфические особенности и производится довольно сложным путем. Учащиеся, изучившие эту теорию, не могут самостоятельно вывести формулы площадей поверхностей или объемов других тел, не рассматриваемых Б школьном учебнике.

II. Определения понятий площадей поверхностей и объемов круглых тел, положенные в основу рассматриваемой теории, не являются вполне научными, так как в них ряд положений, требующих доказательства, принимаются как очевидные. Такие определения устанавливают понятие величины для данной фигуры и не могут быть распространены на другие фигуры или на их части. Они являются чисто условными и искусственными.

На указанные выше два недостатка теории измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел математики-методисты уже давно обратили внимание. Были сделаны многочисленные попытки изменить изложение этой теории, привести новые определения, свободные от указанных недостатков.

В диссертации анализируются предлагаемые разными авторами способы улучшения теории измерения площадей поверхностей и объемов круглых тел, указываются их положительные и отрицательные стороны.

Чтобы ликвидировать недостатки рассматриваемой теории, по мнению автора, следует ввести общие определения понятий площади кривой поверхности и объема любого тела, в том числе и круглого.

Новая программа по математике предусматривает выведение всех формул объемов геометрических тел при помощи формулы Симпсона или принципа Кавальери. Это дает возможность, во-первых, изложить теорию измерения объемов на более высоком теоретическом уровне, заменив ранее практиковавшийся способ выведения каждой отдельной формулы общим приемом вычисления объемов всех тел, изучаемых в средней школе, и, во-вторых, дать общее определение понятия объема взамен старых дефектных определений объемов каждого отдельного круглого тела.

Привести же доступное для учащихся определение площади кривой поверхности — весьма сложная методологическая и методическая задача.

Знаменитый французский математик А. Лебег в своей книге «Об измерении величин» предлагает площадь кривой поверхности определить «.. .как предел, к которому стремится при г->0 отношение где V(r) обозначает объем тела, состоящего из отрезков длины 2г, нормальных к поверхностям, серединами которых являются все точки рассматриваемой поверхности» (А. Лебег. Об измерении величин. М., Учпедгиз, 1960, стр. 145). При этом предполагается существование объема V(r) и существование рассматриваемого предела. А. Лебег показал, что для достаточно широкого класса поверхностей, в том числе и поверхностей круглых тел, изучаемых в средней школе, предел-^г всегда существует, и его вычисление сводится к вычислению двойного интеграла.

В работе предлагается применить это лебеговское определение и, исходя из него, элементарными способами изложить всю теорию измерения площадей поверхностей круглых тел.

Применение лебеговского определения дает возможность ликвидировать указанных выше два недостатка в теории измерения площадей поверхностей круглых тел и изложить эту теорию тем же методом, каким изложена теория измерения объемов. В результате этого вся теория измерения объемов и площадей поверхностей круглых тел будет иметь общий принцип изложения.

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются вопросы измерения площадей поверхностей и объемов круг-

лых тел при изучении пропедевтического курса стереометрии в восьмилетней школе. Рекомендуется все формулы площадей поверхностей и объемов круглых тел, а также длины окружности, площади круга и объема пирамиды разъяснять экспериментальным способом, широко применяя принцип наглядности. Экспериментальные способы проверки каждой отдельной формулы изложены автором в статье «О преподавании стереометрического материала в восьмилетней школе»*, и поэтому в работе не рассматриваются.

В третьем параграфе дается методическая разработка изложения предлагаемого автором варианта теории измерения объемов и площадей поверхностей круглых тел в старших классах средней школы (материал дается в таком виде, в каком предполагается изложение его в школьном учебнике геометрии). Здесь указываются преимущества предлагаемого варианта, даются методические рекомендации для изложения его в рамках новой программы. Основной вычислительной формулой для выведения формул объемов геометрических тел принимается формула Симпсона. Обосновывается предпочтение, отдаваемое формуле Симпсона перед принципом Кавальери.

В целом предлагаемый вариант является оригинальным и отличным от имеющихся в учебно-методической литературе. Он имеет некоторое сходство с вариантом, описанным П. А. Буданцевым**, в котором также приводятся общие определения понятий объема и площади кривой поверхности. Однако методы изложения теории измерения объемов, предложенные П. А. Буданцевым не являются, на взгляд диссертанта, наиболее рациональными.

В четвертой главе приводятся некоторые результаты экспериментальной проверки.

При подготовке настоящей работы мы использовали:

1. Изучение и критический анализ отечественной и иностранной научной, учебной и методической литературы, имеющей то или иное отношение к теме диссертации.

2. Опыт работы передовых учителей математики средних школ ряда городов Литовской ССР (Вильнюс, Каунас, Капсукас, Плунге, Утена, Неменчине, Швенченеляй) и г. Ленинграда (средняя школа № 85 и восьмилетняя школа № 357).

3. Личный более чем десятилетний опыт работы учителем математики средней школы, пятилетний опыт работы преподавателем в Вильнюсском педагогическом институте и Республиканском ИУУ; многолетний опыт руководства школь-

* См. список литературы.

** П. А. Буданцев. О методике изложения теории измерения поверхностей тел вращения.— Ученые записки Чкаловского пединститута. Вып. 9. Чкалов, 1956, стр. 427—445.

ным математическим кружком по моделированию, практикумом по моделированию со студентами физико-математического факультета педагогического института и с учителями математики Литовской ССР.

4. Детальный сравнительный анализ построения изображений круглых тел и комбинаций их с многогранниками к различным более чем 560 задачам из раздела «Круглые тела».

5. Экспериментальную проверку выдвинутых нами положений, которая проводилась:

а) в средней школе г. Плунге в 1955—56 учебном году и в средней школе № 2 г. Капсукас в 1956—58 гг. с целью выяснения наиболее рациональной проекции для изображения круглых тел;

б) в восьмилетней школе № 357 г. Ленинграда в 1961 — 63 гг. (учителя Н. Н. Лютина, Д. И. Иванова, автор) и в средней школе № 22 г. Каунас в 1960—63 гг. (учительница Б. П. Щербавичене) с целью проверки методики преподавания пропедевтического курса стереометрии;

в) в средних школах № 15 (учительница М. А. Норейкайте) и № 23 (учитель И. И. Петкевичюс) г. Вильнюс, в средней школе № 22 г. Каунас (учительница Б. П. Щербавичене) и в средней школе № 85 г. Ленинграда (учительница О. П. Савицкая), в которых для проверки основных положений диссертации в 1962—64 гг. были организованы математические кружки из учащихся X и XI классов.

Результаты проведенного исследования получили одобрение учителей математики и преподавателей высшей школы, перед которыми автор выступал с докладами. Автором были сделаны доклады:

1) на курсах усовершенствования учителей математики при Республиканском ИУУ (Вильнюс, 1958—64 гг.);

2) перед учителями математики, обучающимися заочно в Вильнюсском ГПИ (1958—64 гг.);

3) на районных семинарах учителей математики в городах Неменчине, Швенченеляй, Утена (Литовская ССР);

4) на пятом республиканском совещании математиков Литвы (1964 г.);

5) на семинарских занятиях преподавателей кафедры высшей алгебры и элементарной математики Вильнюсского ГПИ (1964 г.);

6) на научно-методической конференции Вильнюсского ГПИ и учителей Алитусского района (Алитус, 1965 г.);

7) на шестом совещании республиканского математического общества (Вильнюс, 1965).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих статьях:

1. В. П. Дрегунас. О преподавании стереометрического материала в восьмилетней школе. Научные труды высших учебных заведений Литовской ССР. Педагогика и психология. T. VI. Вильнюс, 1964, стр. 5—19.

2. В. П. Дрегунас. О некоторых вопросах теории измерения объемов и площадей поверхностей круглых тел в средней политехнической школе. Журнал «Тарибине мокикла». Вильнюс, 1964, № 12, стр. 34—37 (на литовском языке).

3. В. П. Дрегунас. Изображение круглых тел в средней школе.— Ученые записки Ленинградского гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена. Вопросы алгебры и анализа. Т. 274, 1965 (в печати).

4. В. П. Дрегунас. Из опыта моделирования круглых тел из гипса.— Ученые записки Ленинградского гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена. Т. 260, 1965, стр. 347—372 (в печати).