ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

М. И. ДОБРОВОЛЬСКИЙ

Ст. преподаватель кафедры математики

На правах рукописи

ПРОПЕДЕВТИКА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ И АЛГЕБРЫ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат дисертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Львов 1951

ПРОПЕДЕВТИКА ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ НА УРОКАХ АРИФМЕТИКИ И АЛГЕБРЫ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ.

1. Наша советская школа должна не только давать своим учащимся определенный запас общеобразовательных сведений по математике, но и содействовать развитию у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения. В большой степени может способствовать этому развитию своевременное знакомство учащихся на уроках математики с идеею функции.

2. Однако внедрение в сознание учащихся идеи функциональной зависимости в массовой школе еще не проводится в достаточной мере, и лишь отдельные преподаватели уделяют ей должное внимание, о чем свидетельствует целый ряд статей, напечатанных на страницах журналов «Математика в школе» и «Радянська школа».

Настоящая работа рассматривает один из способов внедрения в сознание учащихся понятия о функциональной зависимости.

3. Работа состоит из следующих глав:

I. Краткий исторический очерк развития понятия функции.

II. Место пропедевтического изучения функциональной зависимости в средней школе и характер ее проведения.

III. Пропедевтика функциональной зависимости на уроках арифметики.

IV. Пропедевтика функциональной зависимости на уроках алгебры в семилетней школе. (Возможность широкого использования в геометрии идеи функциональной зависимости и так очевидна).

4. В первой главе настоящей работы излагается история возникновения и развития понятия функции. Здесь подчеркнуто, что развитие понятия функции тесно звязано с общим развитием науки и техники, которые, в свою очередь, связаны с социальными формами жизни, с развитием производительных сил и отношений.

Развитие понятия функции можно разделить на три периода:

I период начиная с XVII столетия до Н. И. Лобачевского.

II. период от Н. И. Лобачевского до XX столетия.

III. период — с начала XX столетия.

Под влиянием роста промышленности и торговли в XVII—XVIII веках перед наукой возник ряд проблем, разрешение которых потребовало применения новых математических приемов по сравнению с приемами, разработанными древними математиками. Стало необходимым изучение переменных величин и зависимости между ними. Понятия функции сделалось основным аппаратом изучения природных явлений и технических процессов. Все определения функции в этом периоде были связаны с аналитическим изображением функции.

Н. И. Лобачевский дал более расширенное определение понятия функции, при помощи которого возможно было охватить более сложные проблемы математики, естествознания и техники.

В последнем периоде в основе понятия функции лежат два первоначальных понятия: множество и соответствие.

Переменная у называется функцией от переменной х в области ее изменений Ху если по некоторому правилу или закону каждому значению х из X ставится в соответствие одно определенное значение у (из У).

Заканчивается первая глава рассмотрением способов изображения функции (табличного, аналитического и графического).

5. Во второй главе рассматривается вопрос о месте и характере проведения пропедевтического изучения функциональной зависимости на уроках математики в семилетней школе.

Здесь приведены соображения о необходимости одновременно с изучением постоянной величины систематически вводить элементарное понятие о переменной величине. Такая подготовка учащихся к восприятию функций

на уроках математики должна носить не эпизодический характер, а должна органически увязываться с излагаемым курсом математики в средней школе.

В этой же главе приведены высказывания по этому поводу наших видных методистов: действительного члена АПН РСФСР член кор. АН СССР А. Я. Хинчина, членов-корреспондентов АПН РСФСР профессора В. Л. Гончарова и И. В. Арнольда, професора М. К. Гребенча и др.

В конце главы приведены обоснования того, что пропедевтическое знакомство учащихся с функциональной зависимостью может начинаться уже со второго класса средней школы. С целью успешного проведения подготовки учащихся к восприятию идеи функции в старших классах необходимо оказать учителю массовой школы методическую помощь, которая давала бы ему возможность самостоятельно разобраться в вопросе внедрения понятия функциональной зависимости в сознание учащихся.

В третьей главе после замечания о том, что пропедевтика функциональной зависимости может проводиться разными путями на уроках математики в средней школе, рассмотрено пропедевтическое изучение функциональной зависимости путем составления учащимися таблиц, формул и вычерчивания графиков.

Особенное внимание обращается здесь на составление таблиц, ибо общераспространенным способом изображения функции является именно табличный способ: он имеет широкое применение в технике и науке. Тематического материала для составления таблиц можно найти достаточно и в стабильных задачниках и в окружающей действительности учащихся. Пользование таблицами не требует специальной подготовки. Эта примитивность табличного способа изображения функции позволяет использовать его сравнительно рано.

Параллельно с изучением действий над числами необходимо приучать учащихся к установлению того или иного соответствия между этими числами там, где учащиеся это ясно будут видеть и понимать.

7. Во втором классе пропедевтическое знакомство учащихся с функциональной зависимостью начинается с сопоставления двух чисел для установления соответствия. С этой целью часть работы над «столбиками» переносится на составление таблиц. Кроме того, часть задач решается путем составления таблиц, например, задача

№ 63 стабильного задачника: «Один трактор заменяет 20 лошадей. Сколько лошадей заменят 2 трактора? 3 трактора? 4 трактора? 5 тракторов? Количество тракторов 12 3 4 5

Количество лошадей,

заменяющих трактор 20 40 60 80 100

Составление таблиц не вызовет затруднений у учащихся, а внесет разнообразие в их работу и создаст некоторую заинтересованность. Такая таблица сосредоточивает Внимание учащихся на соответствии между количеством тракторов и количеством лошадей, могущих заменить трактор.

Здесь же приведены таблицы, которые встречались в работе учителей массовой школы с учащимися.

8. Начатая во втором классе работа продолжается и в третьем классе. Учащиеся составляют таблицы подобно той, какая приведена в задаче № 14 стабильного задачника: «Вычислить на сколько увеличилось поголовье скота в колхозе (по данным таблицы)».

Какой скот

Сколько голов было в прошлом году

Сколько голов в нынешнем году

Сколько голов прибывших

Пощади

105

180

Жеребята

77

125

Коровы

160

212

Телята

138

208

Свини

85

143

Поросята

151

341

В этой таблице следует обратить внимание учащихся на то, что последняя колонка дает возможность составить представление о росте количества скота в рассматриваемом в задаче колхозе, и числа помогут учащимся зафиксировать этот рост. Если для составления таблицы в качестве числового материала использовать данные ближайшего колхоза и полученные числа сопоставить с пятилетним планом хозяйственного развития этого же колхоза, то сравнение приобретает особую ценность для учащихся: оно освещает близкий для детей факт из окружающей их действительности.

Благодаря таким таблицам, числа в глазах учащихся приобретают определенный смысл. В качестве примера

приведены решения задач из тетради одной ученицы третьего класса 21 школы г. Львова.

9. Работа, начатая в предыдущих классах, продолжается и в четвертом классе, но здесь уже можно на соответствующих ярких примерах дать учащимся в доступной для них форме понятие о величинах постоянных и переменных, независимых переменных и зависимых переменных. С этой целью можно использовать задачи на изменения результатов в зависимости от изменения компонентов. Как, например, задача № 166 стабильного задачника: «Даны два прямоугольника. Длина одного прямоугольника 3 см, ширина 2 см; длина другого прямоугольника вдвое больше длины первого, а ширина его равна ширине первого». Изменяем «вдвое» на «втрое», «вчетверо» и так далее, ставим вопрос о вычислении площадей каждого прямоугольника путем составления таблицы.

3x2=6 9x2=18 15x2=30

6x2—12 12x2=21 18x2=36

Далее выясняем, какие величины в данных условиях переменные, какие постоянные, а затем обращаем внимание учащихся на то, что изменение сомножителя (длины прямоугольника) повлекло изменение произведения (величины площади прямоугольника). После этого учащиеся вычерчивают все прямоугольники в одном и: том же масштабе.

В четвертом классе знакомим учащихся с понятием прямой и обратной пропорциональности, вычерчиванием диаграмм и использованием прямой линии при решении задач на движение.

В работе указаны учителя г. Львова, учащиеся у которых составляют таблицы и анализируют их.

10. В пятом классе продолжаем составлять таблицы и закрепляем у учащихся все введенные ранее понятия (постоянная, переменная, зависимая переменная и т. д.). Кроме того, в пятом классе учащиеся закрепляют навыки в определении точки на плоскости. При выполнении действий первой ступени над десятичными дробями используют числовую полуось, решают графически задачи на перевод из одной школы на другую, а в конце года—и несложные задачи на движение.

11. Последний раздел арифметики — пропорции и пропорциональное деление — изучается в шестом классе. Здесь учащиеся вплотную подходят к идее функциональной зависимости. Иллюстрацией этого может служить решение задачи № 1789: «Поезд проходит в 1 час — 40 км. Сколько километров пройдет поезд за 2 часа ? За Зчаса? и т. д. Результат записать в таблицу (t- время, s — путь в километрах). Какая зависимость между временем и расстоянием, проходимым поездом?

t 1 час 2 часа 3 часа s 40 о ? ?

Из условия задачи вытекает необходимость не только составления таблицы, но и анализа этой таблицы. После составления таблицы вычерчивают график расматриваемого в задаче движения. На этом графике учащиеся должны исследовать как характер расположения точек, так и то, что непрерывность равномерного движения поезда от точки к точке графически изображается прямой линией. В конце главы приведены фамилии преподавателей, внедряющих в сознание учащихся идею функциональной зависимости изложенным способом.

12. В четвертой главе рассматривается пропедевтическое изучение функциональной зависимости на уроках алгебры в VI и VII классах. В этой главе поданы образцы составления таблиц, формул и вычерчивание графиков.

Введение буквенной символики можно провести путем изменения данных в одной и той же фабуле задачи. Все решения подписываем одно под другим, получаем таблицу, в которой одна и та же величина представлена разными числами. Таким образом, работа, начатая на уроках арифметики, продолжается на уроках алгебры. Здесь помещены примеры составления таблиц и нанесения точек на плоскости учащимися некоторых массовых школ.

Давая различные числовые значения коэфициенту и показателю степени, учащиеся составляют таблицы для того, чтобы получить ясную картину влияния числового значения коэфициента и показателя степени на числовые значения всего выражения. Окончательно закрепляют это путем определения положения соответствующих точек на плоскости.

Большой материал для составления таких таблиц дает вычисление числового значения алгебраического выражения. При изучении отрицательных и положительных чисел учащиеся знакомятся с термином «числовая ось» и окончательно усваивают возможность использования горизонтальной и вертикальной числовых осей при отметке точки на плоскости, что дает возможность при умножении относительных чисел представить все четыре возможные комбинации со знаками двух сомножителей разными точками на плоскости.

Точка А соответствует (+40) х ( + 3)= +120; точка В —(—40) х (—3)= +120; точка С —( + 40) х (—3)= —120 и точка Е —(—40) X ( + 3)=—120.

Действия с отрицательными и положительными числами приводят к составлению таблиц, на которых учащиеся изучают изменения результатов в зависимости от изменения компонентов и для положительных и для отрицательных чисел.

Действия с одночленами и многочленами приводят к таблицам несколько отличными от таблиц, составляемых учащимися на предшествовавших уроках: в них фигурируют буквы, коэфициенты и показатели.

В этом же разделе учащиеся закрепляют умение изображать функции аналитическим и графическим способами, пользуясь при этом сведениями о равномерном движении, приобретенными на уроках физики и арифметики.

13. Во второй части главы рассматривается пропедевтика функциональной зависимости во время изучения уравнений в VII классе.

Уравнение с одним неизвестным можно представить в виде:

F(x)=f(x)

На основании определения равенства предыдущее выражение можно записать так:

F(x)-f(x) = 0

или, если

F(x)-f(x)=(j)(x), то окончательно получим: Ф(х)= О

К такому пониманию уравнений и надо приводить учащихся.

В начале второго раздела алгебры учащиеся согласно программе должны читать и чертить графики функций.

у = кх у = кх + b

На этих графиках знакомим учащихся с понятием углового коэфициента, свободного члена и содержанием этих понятий, а также рассматриваем случай параллельности и перпендикулярности графиков функций.

Далее, расматривая уравнение первой степени с одним неизвестным, закрепляем у учащихся навыки в аналитическом и графическом изображении функций.

Изучая свойства уравнений, вычерчиваем с учащимися графики эквивалентных уравнений. При этом обращаем внимание учащихся, что первое свойство изменяет начальную ординату, второе — изменяет угол наклона графика функции к оси абсцисс.

14. Изучение решений системы уравнений первой степени дает возможность ознакомить учащихся с неявной функцией или уравнением первой степени с двумя неизвестными и термином «уравнение прямой в общем виде». После этого переходим к понятию явной функции и тут же закрепляем у учащихся сведения об угловом коэфициенте и останавливаемся на рассмотрении графиков функций с угловыми коэфициентами 1 и 0.

Решение систем уравнений приводит учащихся к определению точек пересечения графиков функций. Попутно обращаем внимание на направление графика функции по угловому коэфициенту.

Заканчивается второй раздел графическим решением задач путем определения координат точек из условия

задач, а также рассматриванием графиков эмпирических функций и графиков движения железнодорожных поездов.

15. Извлечение квадратного корня из чисел в VII классе большею частью излагается догматически, а между тем в этой теме можно исследовать определение корня уравнения, когда на значение корня наложены определенные ограничения, и познакомить учащихся с соответствием между множеством натуральных чисел и множеством квадратов натуральных чисел.

Заканчивается эта тема графическим извлечением квадратного корня вначале при помощи одной параболы, а затем двух:

У = Х* У = 0,1 X*

из чисел любой величины (рациональных).

ВЫВОДЫ:

I. Семилетняя школа может и должна воспитать у детей материалистическое мировоззрение, соответствующее их возрасту (см. цитату из сочинен. Ушинского К. Д.).

На уроках математики одним из способов для осуществления этого является проникновение всего курса средней школы, начиная со второго класса, идеей функциональной зависимости в процессе активной деятельности самых учащихся.

II. Необходимость и возможность такого обучения математике подчеркивались и подчеркиваются на страницах методической литературы не один раз.

III. Пропедевтика функциональной зависимости на уроках арифметики и алгебры в изложенном в работе виде осуществляется в школах:

1. Школа № 4, г. Львов, преподавательница Зинич Н. Е.

2. Школа № 11, г. Львова, учительница Машенко Т. М. и преподаватель математики Нерец Н. М.

3. Школа № 27, г. Львова, учительницы Путилина Л. Н., Самойленко М. М., Рудникова Л. Я., преподаватель математики Чумак В. П.

4. Школа № 13, г. Львова, учительница Коропова Е. Г. и преподаватель математики заслуженный учитель Мосендз Ф. Е.

5. Ивано-Франковская школа, Львовской области, преподаватель математики Боженко Н. А.

6. Рудновская школа, Львовской области, преподаватели математики Овчаров В. А. и Пацанивская М. Е.

7. Шпановская школа, Ровенской области, преподаватель математики Максимюк Л. А.

8. Житовская школа, Львовской области, Пустомытовского района — преподаватель математики Овчарова Т. В. и во многих других.

2. Доклады по работе заслушены на научной сессии Украинского Научно-Исследовательского Института педагогики, Львовского Института усовершенствования квалификации учителей, на Совете институтов усовершенствования квалификации учителей (Ровно, Проскуров), на областных, городских, районных и кустовых совещаниях учителей, в целом ряде школ. Мнение участников совещений сводится к тому, что такое пропедевтическое изучение функциональной зависимости в массовой семилетней школе возможно. Оно создает предпосылки для ознакомления учащихся в старших классах с диференциалом и интегралом, а также с их элементарным практическим применением в науке и технике, а это в свою очередь приведет к повышению идейно-теоретического уровня преподавания математики в нашей советской средней школе.

БГ 00918.

Зак. 598. Т. 1 СО, 16 типография