ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

На правах рукописи

Л. П. ДОБЛАЕВ

МЫСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Москва — 1951

I. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

Важнейшей задачей психологии обучения является психологический анализ тех умственных процессов, которые протекают у учащихся при выполнении ими различных школьных заданий. Этот анализ должен быть направлен на выявление таких фактов и закономерностей, опираясь на которые можно было бы внести существенные улучшения и в учебники и в методики школьных дисциплин.

Советские психологи уже выполнили ряд работ, вскрывающих мыслительные процессы при решении арифметических примеров и задач (Н. А. Менчинская и сотрудники), алгебраических примеров и геометрических задач (П. А. Шеварев и сотрудники). Но мыслительные процессы при составлении уравнений (т. е. при решении алгебраических задач на составление уравнений) исследованием еще не были затронуты. А между тем исследование этих процессов важно в теоретическом отношении и может иметь большое значение для практики обучения.

Теоретическая важность исследования этих процессов определяется тем фактом, что для составления уравнения не существует каких-либо строгих правил, которыми обучающиеся могли бы руководствоваться в практике решения этих задач. Поэтому процессы составления уравнений могут служить моделью тех умений, формирование которых начинается не от изучения правил (общих положений), строго определяющих действия в определенных условиях.

Практическое значение изучения этих процессов определяется тем, что, по общему признанию учителей и методистов, решение задач методом уравнений представляет собой а) важнейший раздел курса алгебры в средней школе; б) «наиболее слабое место в знаниях учащихся»1 и в) методически мало разработанный раздел курса элементарной алгебры.

Основное положение созданного И. П. Павловым учения о высшей нервной деятельности гласит: «...Временная нервная связь есть универсальнейшее физиологическое явление в животном мире и в нас самих. А вместе с тем оно же и психическое...»2. Это положение ставит перед советской психологией обширную и важнейшую задачу установить, какие же именно временные связи определяют состав и течение всех — в том числе и самых сложных —

1 А. Н. Барсуков. Уравнения первой степени в средней школе. 1948.

2 И. П. Павлов. Полное собрание трудов, т. III, 1949 г., стр. 561.

психических процессов. Реферируемая работа является попыткой дать некоторый частичный материал для разрешения этой задачи.

В решении той или иной математической задачи можно различать процессы двух порядков: а) сознавание того действия, которое нужно выполнить. («надо х помножить на 2») и б) выполнение этого действия (записывание выражения 2х).

С точки зрения логики при решении математической задачи всякое сознавание того, что нужно выполнить определенное действие, есть вывод (заключение) соответствующего умозаключения. Это можно показать на примере решения следующей задачи. «Пешеход прошел в течение пяти часов 26 километров. С какой средней скоростью он шел?» Первый этап решения этой задачи логически сводится к следующему силлогизму:

Большая посылка: Если известны путь и время движения тела и требуется найти скорость, надо путь разделить на время.

Меньшая посылка: В задаче указаны путь и время движения тела и требуется найти его скорость.

Заключение: Надо указанный в задаче путь тела разделить на указанное в задаче время движения.

Нетрудно видеть, что большая посылка есть не что иное, как правило, общее положение, в согласии с которым происходит решение данной задачи. Содержание меньшей посылки характеризует в общем виде условия данной задачи, а заключение указывает, какого рода математическое действие надо в данном случае выполнить.

Логический анализ мыслительного процесса есть нечто отличное от психологического анализа, и результаты этик двух анализов, могут, вообще говоря, не совпадать. Поэтому необходимо поставить такой вопрос: намечая план решения определенной арифметической или алгебраической задачи, сознаем ли мы все те посылки, которые входят в логический состав этого процесса? Для простоты рассуждения можно иметь в виду приведенную выше простую задачу.

Несомненно, что содержание меньшей посылки всегда так или иначе мыслится при решении задачи, так как оно характеризует эту задачу.

Содержание заключения также, несомненно, отражается в голове решающего, так как в противном случае он не решил бы задачи.

Иначе обстоит дело с большей посылкой. В ряде исследований, выполненных в Институте психологии, уже показано, что в очень многих случаях сознавание большей посылки отсутствует и тем не менее сознавание меньшей посылки влечет за собой сознавание заключения (вывода).

В этих исследованиях показано, что в тех случаях, когда испытуемые при решении задач не сознавали общих положений, в соответствии с которыми они действовали, мыслительный процесс у

них осуществлялся посредством актуализации особых временных связей, имеющих обобщенный и правилосообразный характер и различающихся по некоторым другим особенностям.

Основной задачей реферируемого исследования являлась характеристика временных связей, имеющих существенное значение в процессах составления уравнений.

II. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Экспериментальный материал. Всего экспериментальных задач было 31. Они разделяются на следующие четыре группы.

Первая группа. Обычные простые задачи на составление отдельных выражений. Пример: «Куплено X кг. яблок по 5 руб. за килограмм. Сколько стоила вся покупка?»1. Таких задач было 12. Они охватывают все типы математической зависимости, которые содержатся в задачах на составление уравнения.

Вторая группа. Подобные же задачи на составление отдельного выражения, но без формулированного вопроса. Пример: «У одного ученика было 2х книг, а у другого в 1,5 раза больше». Задач без вопроса было шесть.

Третья группа. Сюда вошли простые задачи на составление равенства. Пример: «В одном ящике 108 яблок, а в другом 12х яблок, причем в первом на Зх штук меньше, чем во втором. Написать равенство, выражающее зависимость этих величин». Таких задач было три.

Четвертая группа. Задачи на составление уравнения (сложные). Таких задач было десять. Эти задачи отвечают определенным требованиям, главные из которых такие: а) они содержат в себе различные математические зависимости; б) они соответствуют тем задачам, которые испытуемые — ученики решали в классе и дома.

Эксперименты с решением первых трех групп задач (простых) составили первую серию, а эксперименты с решением задач на составление уравнения — вторую серию экспериментов.

Испытуемые. Всего в экспериментах приняло участие 25 учащихся двух московских школ. Из них было 15 семиклассников (различной успеваемости по математике) и 10 учеников 9-го класса (успевающих). Семиклассники были взяты у двух учителей, по-разному учивших составлению уравнений: один из них приучал учеников составлять уравнение, начиная с выяснения, что с чем следует уравнять, тогда как второй предлагал прежде всего выбрать основную неизвестную и обозначить ее буквой х.

Проведение эксперимента. Исследование проводилось

1 Чтобы приблизить составление отдельных выражений к составлению выражений при решении сложной задачи на составление уравнений, в условия простых задач были введены в качестве данных величины, обозначенные буквой x.

в порядке индивидуального эксперимента. Вначале испытуемому давалась инструкция, в которой, в частности, содержалось предупреждение, что испытуемый должен будет рассказать о всех тех мыслях, которые приходили ему в голову в процессе решения задачи. Перед тем, как испытуемый приступал к составлению уравнения на бумаге, затем — после записи полученного уравнения, а иногда и в процессе составления уравнения экспериментатор задавал испытуемому вопросы, направленные главным образом на выяснение следующих моментов: а) сознавал испытуемый или нет в том или ином случае и как именно сознавал то общее положение, в соответствии с которым он действовал; б) с чего начал рассуждать.

III. РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ И РАВЕНСТВ

(первая серия экспериментов)

1. Согласно показаниям испытуемых, при решении задач на составление выражений и равенств в 28 случаях из 189 в процесс решения входило сознавание общего положения, в соответствии с которым испытуемые действовали, а в 161 случае сознавание таких положений отсутствовало. Показания, о которых идет речь, следует считать надежными.

2. Из числа 28 случаев, когда испытуемые сознавали общее положение, они сознавали в одних случаях заученные ими ранее общие положения (т. е. вспоминали их — 21 случай), а в других самостоятельно выводили общие положения, «изобретали» их (7 случаев); о таких положениях они ни от кого не слыхали и их не учили.

3. Во всех случаях сознавания общего положения испытуемые выполняли полное дедуктивное умозаключение, в котором большую посылку составляет это общее положение, а меньшая посылка и заключение соответствуют тексту задачи и сознаванию того, что ну но выполнить определенное действие.

4. Всякое общее положение, в соответствии с которым испытуемые решали простую задачу, если его полностью формулировать, включает три компонента, один из которых содержит указание «что дано», другой — «что найти» и третий — «как надо действовать» (оперативная часть общего положения). Пример: «Если известно расстояние, которое прошло колесо и длина его окружности, а требуется найти число оборотов, следует расстояние, пройденное колесом, разделить на длину его окружности». Здесь вертикальными чертами отделены компоненты: «что дано», «что найти» и «как найти» («как надо действовать»).

Условия обычной математической задачи состоят из данных и вопроса и поэтому содержат в себе только конкретные факты, со-

ответствующие двум первым компонентам правила; соответствие выражается в том, что эти компоненты представлены в задаче, но не в общей (как в правиле), а в конкретной форме. Третий компонент («как надо действовать») в задаче никак не представлен.

5. Анализ сознавания общих положений показал своеобразие этих процессов. Оперативный компонент правила, никак не представленный в задаче, испытуемые всегда сознавали отдельно от содержания задачи посредством особой словесной формулировки, отличной от словесной формулировки задачи. Компонент правила, характеризующий «что дано», испытуемые в одних случаях также сознавали отдельно от словесной формулировки задачи (такое сознавание установлено точно для четырех случаев решения одной задачи), а в других случаях они либо сознавали его посредством словесной формулировки определенной части условий данной задачи, обобщая ее до соответствующей части общего положения, либо вовсе не сознавали. Из анализа фактов следует, что третий компонент правила («что найти») испытуемые либо сознавали только через посредство соответствующей части текста задачи, либо вовсе не сознавали как часть правила.

6. Сознавание компонента правила через посредство словесной формулировки определенной части условий, конечно, отличается от сознавания его посредством особой словесной формулировки. Оно не является сознаванием части правила в строгом смысле этого слова, поскольку правило есть общее положение, взятое отдельно от частных случаев. Это некоторый переходный случай между сознаванием части правила, как такового, и несознаванием ее.

7. Во всех случаях, когда испытуемые сознавали хотя бы часть правила, они всегда сознавали оперативную часть правила (общего положения). Этот факт имеет, вероятно, общее значение. Его можно формулировать так: при переходе от развернутого процесса решения задачи к максимально свернутому дольше всего удерживается в составе процесса решения сознавание оперативной части правила.

8. Анализ решения простых задач, когда испытуемые не сознавали тех общих положений, в согласии с которыми они действовали, показывает, что при этом у них имело место закономерное следование двух мыслительных процессов, из которых один соответствует по содержанию меньшей посылке, а второй — выводу определенного умозаключения.

При этом первый процесс, являясь отражением данной простой задачи, т. е. вообще говоря отражением «внешнего предмета», вызывает второй, содержание которого не дано в условиях задачи. Таким образом, эти два процесса образуют временную связь. Например, при решении простой задачи первой группы «На двух складах было 3800 куб. м. дров, а на одном из них X куб. м. Выразить количество дров на другом складе» у испытуемых актуали-

зировалась связь, первым членом которой было сознавание того, что известны сумма двух величин и одна из них и что требуется найти другую величину, а вторым членом являлось сознавание того, что нужно вычесть из суммы двух величин известную величину. При решении задачи второй группы «На расстоянии 900 метров колесо проделало 7х оборотов» у испытуемых вначале актуализировалась временная связь между а) сознаванием того, что известны путь, пройденный колесом, и количество оборотов и б) постановкой вопроса: «какова окружность этого колеса?» Затем актуализировалась связь, лежащая в основе решения соответствующей простой задачи первого типа.

9. Все временные связи, лежащие в основе решения простых задач указанного типа, обладают общими, присущими всем им особенностями.

Во-первых, это связи обобщенные, поскольку они актуализируются в целом ряде случаев, отличающихся по своим конкретным признакам.

Во-вторых, они имеют правилосообразный характер: действие, которое является результатом актуализации этих временных связей, соответствует вполне определенному правилу.

В-третьих, процессы, находящиеся во временной связи, по содержанию соответствуют меньшей посылке и выводу определенного умозаключения.

В силу этого, в-четвертых, актуализация такой временной связи замещает собой развернутое умозаключение и приводит к тому же результату, что и само это умозаключение. Поэтому можно назвать актуализацию временной связи своеобразным свернутым умозаключением — тем, что в логике называют энтимемой.

Наконец, в-пятых, в процессе актуализации этих связей происходит обобщение конкретного содержания задачи до содержания первого члена связи (в виде подведения конкретной задачи под типичную) и конкретизация общего содержания второго члена связи (в виде намерения выполнить действие над конкретными величинами, указанными в задаче).

10. Временные связи, вскрытые на материале решения простых алгебраических задач, относятся к тому же типу, что и связи, вскрытые ранее при исследовании других процессов. Однако они представляют собой новые два вида связей этого типа. Первый вид связей (связи, лежащие в основе решения задач первой и третьей группы) отличается от уже известных тем, что в первый их член входят не только общие особенности данных, но и общие особенности вопроса, относящегося к этим данным. Второй вид связей (связи, лежащие в основе решения второй группы задач) отличается совершенно новым качеством: во второй член, их входит вопрос.

IV. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ (вторая серия экспериментов)

а) Анализ отдельных операций

1. В состав сложного процесса составления уравнения входят следующие операции: а) обозначение основных неизвестных1; б) составление выражений и в) составление равенства. Во многих случаях в процессе составления уравнения, кроме указанных, включается еще одна операция — выяснение компонентов и схемы равенства, которая предшествует остальным.

2. Указанные операции не у всех испытуемых и не всегда одинаковы. В исследовании вскрыто два типа обозначения основных неизвестных и два типа составления выражений. Все эти операции представляют собой актуализацию различного рода временных связей.

3. Выяснение компонентов и схемы равенства является актуализацией временной связи таких двух процессов: а) сознавание указанных в задаче двух или трех (или более) величин,— одной известной и двух (и более) неизвестных,— взаимоотношение которых можно записать в виде равенства («в колхозе было 1400 гектаров пашни и луга»; здесь известная величина — всего пашни и луга 1400 га, неизвестные величины — количество пашни и луга в отдельности); б) сознавание того, что нужно выразить неизвестные величины (количество пашни и количество луга) и представление схемы будущего равенства (в словесной или буквенной форме: количество пашни + количество луга = 1400 или А + В = С, где одна буква, например, С, обозначает известный компонент равенства, а две другие — неизвестные).

Этот процесс возникает у испытуемых в некоторых случаях не непосредственно перед тем, как они выполнят соответствующие действия, а в самом начале — до обозначения основных неизвестных.

4. Обозначение основных неизвестных (двух) по первому типу протекает следующим образом.

При обозначении первой неизвестной актуализируется временная связь между а) сознаванием того факта, что такая-то величина является искомой, т. е. величиной, о которой идет речь в вопросе задачи («количество хлопка первого сорта» есть величина искомая) и б) сознаванием того, что нужно обозначить ее буквой X. В результате актуализации такой связи образуется новая связь между представлением или словесным обозначением конкретного предмета (количеством хлопка первого сорта) и буквой х.

Такого рода временные связи резко отличаются от связей уже известных типов. Они обладают следующими особенностями.

1 Основными неизвестными условно названы: а) та величина, которую решающий обозначает х-ом; б) другая неизвестная величина того же наименования (если такая имеется), которую он обозначает через х и указанную в задаче величину.

а) Эти связи не являются правилосообразными и обобщенными: члены каждой из них имеют конкретный и единичный характер.

б) Такая связь действует в течение ограниченного и вполне определенного срока — пока решается данная конкретная задача; по окончании решения данной задачи она исчезает. При решении других задач образуются все новые связи этого типа.

в) Своеобразно и возникновение такой «срочной» связи: испытуемый принимает для себя условно: «пусть количество хлопка первого сорта будет х» — и в результате этого процесса количество хлопка первого сорта и х на протяжении всего решения задачи оказываются связанными друг с другом «срочной» временной связью.

При обозначении второй основной неизвестной актуализируются две обобщенные правилосообразные связи. Первая связь — между: а) сознаванием того, что одна из двух искомых величин обозначена буквой X и что требуется обозначить вторую искомую, о которой идет речь в вопросе задачи (количество хлопка первого сорта есть х; надо узнать количество хлопка второго сорта) и б) намерением найти (выделить) в условиях задачи данное, которое вместе с величиной, обозначенной буквой х, дало бы возможность выразить вторую искомую величину (выделение данного: всего хлопка первого и второго сорта 50 кг.). Вторая связь — та же, которая актуализируется при решении простых задач первой группы.

5. Обозначение основных неизвестных (двух) по второму типу осуществляется посредством актуализации двух связей. Первая связь — между а) сознаванием указанных в задаче трех (не более и не менее) величин,— одной известной и двух неизвестных, находящихся в определенном соотношении («один рабочий получил на 75 руб. больше, чем второй») и б) сознаванием того, что нужно обозначить одну из неизвестных буквой х, а вторую посредством некоторой функции от х и известной величины. Вторая связь, посредством которой происходит обозначение второй неизвестной — та же самая, что актуализируется при решении простых задач первой группы. Кроме актуализации двух указанных связей, процесс обозначения основных неизвестных по второму типу включает образование и действие «срочной» связи (здесь — между количеством денег, полученных первым рабочим, и х).

6. Составление выражения при решении сложных задач представляет собой более сложный процесс, чем составление отдельного выражения при решении простой задачи. Этот процесс включает в себя: а) выделение из условия задачи величины, отвечающей определенным требованиям и б) собственно составление выражения.

7. Собственно составление выражения и составление равенства в условиях решения сложной задачи не отличается существенным образом от составления выражения и равенства при решении простой задачи первой или третьей группы.

8. Выделение данного в процессе составления выражения по первому типу осуществляется посредством актуализации правилосообразной временной связи, члены которой таковы: а) сознавание того, что обозначены такие-то величины (количество хлопка первого сорта X, количество хлопка второго сорта — 50-х); б) намерение выделить из условий задачи такое данное, которое вместе с одной из обозначенных величин дало бы возможность выразить какую-нибудь — безразлично какую — новую величину.

9. Выделение данного при составлении выражения по второму типу осуществляется посредством актуализации правилосообразной временной связи между: а) сознаванием того, что обозначены такие-то величины (количество хлопка первого сорта есть х, количество хлопка второго сорта — 50-х) и что надо выразить в качестве компонента равенства такую-то величину (надо рыразить стоимость хлопка первого сорта) и б) сознаванием того, что нужно выделить из условия задачи данное, которое вместе с одной из обозначенных величин дало бы возможность выразить этот неизвестный компонент равенства.

Таким образом, при составлении выражения по второму типу испытуемый исходит из намерения выразить определенную, словесно уже охарактеризованную, величину; при составлении выражения по первому типу такого намерения у испытуемого нет.

10. Обобщенные и правилосообразные связи, вскрытые на материале решения алгебраических задач, отличаются от временных связей того же типа, вскрытых ранее на другом материале, следующей особенностью: два члена каждой связи выражают одно и то же в различной форме (в первом члене содержание выражается словесно, во втором—символически, посредством определенных букв и знаков).

б) Качественный и количественный анализ составления уравнения в целом

1. Существует два типа процессов составления уравнений. Основным отличием типов является то, что процессы первого типа начинаются с обозначения основных (основной) неизвестных (тип А), тогда как процессы второго типа начинаются с выяснения компонентов и схемы будущего равенства (тип Б). Имеются основания полагать, что существуют и другие типы составления уравнения.

2. В результате того, что задачи на составление уравнения, решенные нашими испытуемыми в ходе обучения, недостаточно вариировались, у многих из них в первый член связи вошла некоторая лишняя, несущественная особенность данных. Эксперименты с решением «необычной» задачи показали, что это обстоятельство приводит многих испытуемых к ошибкам и затруднениям.

3. Тип составления уравнения находится в определенной зависимости от следующих факторов:

а) от характера самих задач (некоторые задачи решаются преимущественно одним из двух методов, а некоторые даже только одним) ;

б) от общего уровня математической подготовки (получены разные результаты для испытуемых — семиклассников и для испытуемых— учеников 9 класса: вторые решают преимущественно по типу Б, тогда как первые преимущественно по типу А);

в) от успеваемости (сильные решают задачи значительно чаще по типу Б, слабые — по типу А);

г) от метода, которым пользовался учитель при обучении своих учеников составлению уравнений.

4. Тип составления уравнения Б является более совершенным по сравнению с типом А. Следовательно, метод составления уравнения, по которому ученики выясняют в задаче прежде всего, какие величины должны быть уравнены, является более предпочтительным по сравнению с тем, согласно которому решение задачи нужно начинать с обозначения основной неизвестной.

А03876 29/V 1951 г. Объем 3/4 п. л. Зак. 1108 Тир. 100

Типография издательства МГУ, Моховая, 9.