Министерство просвещения РСФСР

Ленинградский Ордена Трудового Красного Знамени государственный педагогический институт

На правах рукописи

А. В ДЕТТЕРЕР

ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЙ ПИСЬМЕННОГО ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ У УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

(732. Методика преподавания математики)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Издательство Томского университета

Томск—1969

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом институте имени Ленинского комсомола.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор 3. А. Скопец.

Официаьные оппоненты:

Член-корреспондент Академии педагогических наук СССР, доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Болтянский,

кандидат физико-математических наук, доцент М. А. Щукина.

Ведущее высшее учебное заведение: Луганский государственный педагогический институт.

Автореферат разослан « » 1969 г.

И. В. Баранова.

Роль науки, особенно математики, в жизни общества с каждым годом возрастает. В Программе КПСС математика названа первой в ряду ведущих отраслей естествознания. Математическое образование в средней и высшей школе становится одним из решающих факторов научного и технического прогресса, а проблемы методики обучения математике выдвигаются на первый план среди важнейших проблем педагогической науки.

Наше исследование относится к большой, но еще плохо изученной проблеме —проблеме единства научного развития и развития речи учащихся на уроках математики.

Общеизвестно, что учащиеся средней школы при выполнении письменных работ по математике испытывают большие трудности. Экзаменационные комиссии высших учебных заведений ежегодно отмечают как устойчивый недостаток письменных работ по математике — неумение оформить работу, связно и логично изложить результаты решения задачи, обосновать построения и т. д.

Этот недостаток нельзя считать незначительным, так как всякого рода неряшливость оформления свидетельствует, как показывают многочисленные факты, о неряшливости мышления.

Работ, констатирующих этот факт, написано немало, тем не менее, педагогически обоснованных рекомендаций по формированию умений и навыков письменного изложения математических знаний, анализа связи между развитием логического мышления и способностями письменного выражения своих мыслей в нашей методической литературе почти нет.

Рассматриваемая нами проблема становится все более актуальной, так как правильное накопление математических знаний невозможно без соответствующего развития устной и письменной речи, без формирования со школь-

ной скамьи соответствующих умений и навыков выполнения письменных работ по математике.

Корректность выполнения письменной работы по математике в школе понимается нами каз безупречность ее в научно-методическом отношении.

В своем исследовании мы ставили следующие основные задачи:

1) изучить научно-методическую литературу по вопросу выполнения математических работ учащимися средней школы;

2) установить основные недостатки школьных письменных работ по математике:

3) сформулировать основные научно-методические требования к выполнению письменных математических работ в школе:

4) обосновать целесообразность оценки качества школьных письменных работ по математике с учетом корректности их выполнения, то есть степени их соответствия научным и методическим требованиям;

5) предложить примерный перечень умений и навыков письменного оформления работ по математике по годам обучения;

6) разработать систему упражнений для обучения корректному выполнению письменных работ;

7) установить основные дидактические средства формирования у учащихся соответствующих умений и навыков.

В процессе исследования применялись следующие методы:

1. Анализ литературы, связанной с вопросами темы.

2. Анализ опыта работы учителей математики Томской области по формированию устной и письменной математической речи учащихся.

3. Анализ выполнения письменных работ учащимися средней школы.

4. Эксперимент в некоторых средних школах г. Томска и Томской .области.

Методические рекомендации, приводимые в диссертации, проверялись также автором в процессе его многолетней -педагогической работы в школе.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, указателя литературы и приложения в виде сборника задач.

В первой главе «Постановка вопроса и обзор литературы» устанавливается, что вопрос о том, как научить школьников правильно выполнять письменную работу по математике, какие умения и навыки должны быть сфор-

мированы, в педагогической литературе не получил должного освещения. До настоящего времени нет теоретического обоснования значения письменных работ по математике и их видов. Например, в БСЭ сказано:

«Письменные работы в школе проводятся но преимуществу на уроках родного языка». (БСЭ, т. 33, М., 1955 г., стр. 99).

В «Педагогической энциклопедии» проводится та же мысль и указывается: «По форме и технике выполнения можно различить следующие письменные работы: отчеты по результатам лабораторных и практических работ, решение примеров и задач». («Педагогическая энциклопедия», т. 3, М., 1966 г., стр. 406).

Между тем, виды письменных работ по математике очень разнообразны по форме, содержанию, объему (мы приводим схемы их возможной классификации).

Школьные письменные работы по математике в нашей стране начали получать признание с последней четверги XIX столетия. В 1871 г. в средних учебных заведениях России был принят новый порядок выпускных экзаменов, в частности введены письменные экзамены по алгебре, по применению алгебры к геометрии и по геометрии с применением тригонометрии. Письменные работы выпускников гимназий и реальных училищ, а также экстернов проверялись местными экзаменационными комиссиями. Кроме того, они тщательно просматривались особо назначенными управлением учебного округа лицами, обычно профессорами или доцентами высших учебных заведений того же округа. По отчетам А. Ю. Давидова, Б. Я. Букреева, Л. К. Лахтина. Д. М. Синцова, Ф. М. Суворова, А. П. Полякова и др., дошедшим до нас, мы имеем возможность судить о характере школьных письменных работ в царской России.

Советская школа использовала лучшие традиции дореволюционной школы и создала свою систему работы. В статьях В. Падучева, Г. Сталькова, М. Иванова, С. Кипниса, Г. Машкова, Н. Несторовича и др., опубликованных в 30 — 40-е годы, был поднят вопрос о том, как учащиеся должны выражать свои знания по математике, каким требованиям должны удовлетворять письменные работы и их оформление.

После введения экзаменов на аттестат зрелости (1945 г.) повысились требования к знаниям учащихся по математике. Требования к оформлению письменных экзаменационных работ по математике были высказаны Ю. О. Гурвицем и С. В. Филичевым в журнале «Матема-

тика в школе» № 1 1947 г. Статья вызвала дискуссию, и на страницах журнала выступили со статьями Я. С. Дубнов, С. И. Новоселов. П. А. Ларичев, И. И. Смирнов. К. С. Богушевский и др.

Одновременно (1947 — 1956 гг.) опыт выполнения письменных экзаменационных работ по математике освещался в изданных различными институтами усовершенствования учителей методических письмах, а также книгах, авторами которых были Ф. А. Бартенев, Н. И. Власенко, С. Н. Воскресенский, И. И. Гайдуков, 3. Клищенко, А. И. Сандлер, Л. М. Фридман. М. И. Ягодовский и др.

О работе над математической речью учащихся, о культуре математической речи писали также Б. Н. Крельштейн, В. М. Розентуллер, И. А. Тимофеева, Я. М. Черняков и др.

Внимание авторов сосредоточилось на анализе выполнения и оформления письменных экзаменационных работ, а вопросы методики обучения корректному выполнению письменных работ в целом не освещались. Отмена письменных экзаменов по математике за курс средней школы привела к ослаблению внимания к этому вопросу, а отсутствие единых требований к качеству выполнения письменных заданий приводило и приводит еще к разнобою в оценке знаний учащихся, и, следовательно, причиняет вред делу их обучения.

Проводимое в определенной системе обучение корректному выполнению (письменных работ по математике поможет учителям повысить качество математических знаний учащихся средней школы.

Во II главе «Основные требования к письменным работам по математике», три параграфа.

§1. Основные недостатки письменных работ по математике учащихся.

§2. Научно-методические требования к школьным математическим работам.

§3. Графические требования к письменным работам учащихся по математике.

В первом параграфе изложены результаты констатирующего эксперимента, проведенного в разных классах средней школы, факты неудовлетворительного обоснования учащимися письменных решений, доказательств, неумения правильно с научно-методической точки зрения оформлять письменные упражнения классных и внеклассных заданий.

Поскольку для эксперимента были привлечены учащиеся одной школы, возникла необходимость расширения границы изучения письменных работ учащихся по математике. С этой целью были проанализированы контрольные работы, проведенные по арифметике, алгебре и геометрии в школах Томской области, результаты вступительных экзаменов на физико-математический факультет Томского пединститута и использованы официальные данные инспекторских проверок школ Министерства просвещения РСФСР.

Сравнение .этих данных с нашими позволило выделить общие недостатки письменных работ учащихся средней школы, сформулировать основные научно-методические требования к качеству выполнения письменных работ, а также предложить рекомендации по предупреждению и устранению ошибок.

Во втором параграфе выделены с учетом ранее проведенного анализа недостатков, имевшихся в оформлении письменных работ, три основные группы умений, которые должны быть сформированы у учащихся:

1) умения, относящиеся к математической грамотности, т. е. умения связно и рационально излагать решения задач, доказательства теорем: умения правильно употреблять математические знаки, термины, выражения;

2) умения, касающиеся орфографической грамотности, т. е. умения безошибочно записывать не только математические термины, но и другие слова и выражения, умения стилистически верно строить предложения:

3) умения графического оформления, т. е. умения чисто и аккуратно оформлять свою работу, рационально располагать записи, правильно и аккуратно выполнять чертежи геометрических фигур при решении задач и др.

Для формирования указанных умений необходим критерий корректности выполнения письменных работ по математике. Поэтому мы сформулировали основные научно-методические требования, выполнение которых позволяет, на наш взгляд, правильно оценить качество школьной математической работы:

1) обоснованность (аргументированность) решения, доказательства, т. е. использование в математических суждениях условий доказываемой теоремы, первичных понятий, определений, ранее доказанных теорем (с учетом возрастных особенностей школьников методика допускает в школьных математических работах некоторые логические пробелы в виде неявных ссылок на наглядность чертежа или на интуитивно ясные предложения);

2) рациональность решения, т. е. выполнения решения возможно более простым способом или способом с меньшим числом действий;

3) содержательность языка решения, т. е. рациональности в обозначениях, выборе неизвестного, правильном и полном использовании математических знаков; возможности восстановления по записям хода рассуждений;

4) безошибочность решения, т. е. окончательный ответ должен быть записан только после проверки и исследования.

В § 3 приводятся основные положения о графической стороне оформления письменных работ по математике. Значение важности культуры математической записи, правильного выполнения чертежей и др. определяется результатами письменных работ, точностью вычислении, возможностью предупреждения вычислительных и других ошибок.

Учащимся должно быть понятно, что использование при доказательстве геометрически наглядного представления не гарантирует истинность вывода. С другой стороны, учащиеся должны осознать необходимость верных построений, гарантирующих более быстрое и правильное доказательство или решение.

В трех параграфах III главы «Основные дидактические средства для формирования у учащихся умений и навыков письменного выполнения работ по математике» - рассмотрены отдельные дидактические средства и методические приемы, а также условия их применения на различных этапах обучения математике в средней школе:

§ 4. О влиянии учебных пособий на формирование математической речи учащихся (на примере геометрии);

§ 5. Упражнения для формирования письменной математической речи учащихся;

§ 6. Формирование умений корректного выполнения письменных работ, на классно-урочных и внеурочных занятиях по математике.

В четвертом параграфе на примере геометрии показано значение учебников и учебных пособий в формировании математических знаний учащихся, развитии их устной и письменной речи.

Учебник геометрии должен давать учащимся образцы записи доказательства теорем и решений задач. Риторическая (словесная) форма изложения учебного материала в учебниках геометрии А. П. Киселева, Н. Н. Никитина и др. не удовлетворяет этому требованию. Предложенная в 1929 году Н. Несторовичем школьная геометрическая

идеография не нашла должного распространения. В учебнике Н. Н. Никитина больше, чем в учебнике А. П. Киселева, используются формулы и символы. Сочетание риторической формы доказательства с идеографической записью его вполне доступна учащимся, позволяет им лучше усвоить геометрию.

Среди задачников по геометрии, изданных в последние годы, мы обращаем внимание на такие, в которых кроме традиционных упражнений встречаются и новые — по развитию речи.

К ним относим «Сборник задач по геометрии для 7 — 3 классов школ рабочей молодежи» К. С. Барыбина, И. Н. Добрынина (Учпедгиз, 1961 г.), «Сборник задач по геометрии для восьмилетней школы» П. Я. Великиной (изд. «Просвещение», 1965 г.), «Основные принципы построения задачника по геометрии» В. А. Жарова (Ярославль. 1960 г.), «Вопросы и задачи по геометрии» В. А. Жарова, П. С. Марголите, 3. А. Скопеца (изд. «Просвещение», 1965 г.).

Чтобы иметь ясность о содержании и структуре различных задачников по геометрии, применяемых сейчас в школе, проведен их сравнительный анализ. Он показал изменения, наметившиеся в их структуре. Специальные упражнения по развитию математической речи занимали в задачнике Н. Н. Никитина и Г. Г. Масловой 0,2 проц., в задачнике К. С. Барыбина, И. Н. Добрынина — 0,5 проц., а у П. Я. Великиной — 9,7 проц. (вместе с упражнениями по формулированию текстов задач по чертежу — 12,3 проц.). В задачнике П. Я. Великиной имеется достаточное количество задач разных типов, предусмотрены упражнения по развитию логического мышления и математической речи. Эти упражнения вместе с другими составляют единую взаимосвязанную систему.

Сознательное изучение математики возможно при свободном владении учащимися математическими терминами. Правильному написанию и произношению терминов, пониманию их значения способствуют специальные словари Сравнительный анализ их позволяет установить некоторые недостатки и внести предложения об издании достаточно полного и хорошо оформленного школьного словаря математических терминов с постановкой ударения над словами, а также о дополнении школьного орфографического словаря.

Пятый параграф содержит примеры упражнений, которые, развивая логическое и математическое мышление,

способствуют формированию умений и навыков письменного оформления математических паданий.

Мы обращаем внимание на следующие виды упражнений:

I. Составление и запись текстов задач:

а) арифметических (по аналогии, по неполным данным, по числовым данным из окружающей жизни и др.):

б) алгебраических (по простейшим уравнениям и системам уравнений):

в) геометрических (по аналогии, по чертежу и краткой символической записи условия, по символической записи и др.);

II. Выполнение чертежа и символической записи по заданию;

III. Заполнение математических текстов с пропущенными словами (тесты по дополнению):

IV. Математические диктанты:

V. Формулирование и запись теорем, обратных данным:

VI. Установление избыточных или недостаточных условий в математических текстах: в формулировках определений и теорем: формулирование и запись верных математических высказываний;

VII. Редактирование записей решения задач; приведение к лаконичной форме заданных математических текстов;

VIII. Математические сочинения (рефераты, доклады, простые математические исследования).

Упражнения по развитию письменной математической речи должны проводиться в комплексе с другими упражнениями (по развитию логического мышления, по созданию вычислительных умений и навыков и др.) и не противопоставляться им.

Упражнения следует разнообразить и проводить систематически с учетом уже имеющихся умений и навыком учащихся.

Это подробно изложено в шестом параграфе на примерах из опыта работы томских учителей.

Данный по годам обучения примерный перечень умении дает представление о том, какие умения должны приобрести учащиеся на классно-урочных и внеурочных занятиях.

Глава IV «Эксперименты и выводы» также содержит три параграфа:

§ 7. Эксперимент программированного обучения письменному выполнению математических работ;

§8. Обучающий эксперимент по теме «Метрические соотношения в треугольнике»;

§ 9. Эксперимент составления текстов геометрических задач по готовым чертежам.

Поиски возможных эффективных методов и средств обучения привели нас к программированному обучению. При проведении эксперимента, описанного в § 7, были поставлены следующие цели:

1) Отбор и конструирование таких технических средств, с помощью которых можно бы было формировать умения и навыки письменного выполнения математических работ:

2) создание и подбор соответствующих программированных упражнений и обучающих алгоритмов;

3) разработка методики проведения программированных занятий по отдельным темам школьного курса математики.

В результате было сконструировано контрольно-обучающее устройство КОУ-1, основанное на выборочном методе ответов (удостоверение на рационализаторское предложение № 1405, выданное БРИЗом МП РСФСР от 25 мая 1966 г.), а также использовалось устройство индивидуального пользования со свободным конструированием ответов — УСКО. Процесс формирования умений пись менного выполнения работ по математике протекал в наших экспериментах как процесс самообучения с текущей или итоговой корректировкой.

Обучающие алгоритмы по разным разделам школьного курса математики позволяют не только научить правильно выполнять вычислительные операции для решения определенного класса задач, они могут одновременно указывать последовательность записи при решении задач. В связи с этим мы приводим примеры следующих алгоритмов: «Сложение и вычитание обыкновенных дробей», «Решение дробно-рациональных уравнений», «Решение неравенств 2-й степени с одним неизвестным».

Методика проведения программированных занятий различна в зависимости от цели занятия, его содержания и степени насыщенности техническими средствами.

Формирование умений корректного выполнения письменных работ происходит при соответствующем развитии устной математической речи учащихся. Проведение эксперимента по теме «Метрические соотношения в треугольнике» позволило исследовать применение разнообразных приемов обучения, сочетания устных и письменных упражнений (§8). В тетрадях наряду с вычислениями и доказательствами записывались формулировки теорем, словес-

ные выражения математических формул. Устно учащиеся формулировали теоремы по чертежам-плакатам, устно и письменно проводили их доказательство. Большое количество прямых и обратных упражнений, чтение формул и запись их под диктовку, образцы записи на плакатах развивали учащихся, позволяли им правильно выполнять письменные задания. Качество знаний в экспериментальном классе было лучше, чем в контрольном.

В § 9 описан эксперимент составления текстов геометрических задач по чертежам и краткой записи условия.

Основные цели эксперимента:

1) научить учащихся формулировать тексты геометрических задач по готовому чертежу;

2) установить влияние этой работы на формирование умений корректной записи решений геометрических задач.

Формулирование текста задач по чертежу и краткой записи является хорошим упражнением для создания умения декодирования символических записей, учит учащихся правильно читать и произносить слова и знаки математического языка.

Внимание к вопросу правильного формулирования текста задач заставило учащихся критически относиться к ответам своих товарищей, вносить исправления. После проведения упражнений они лучше решали задачи, лучше понимали их смысл. Эти упражнения активизировали деятельность учащихся на уроках.

Мы пришли к выводу, что упражнения с готовым чертежом имеют следующие основные достоинства:

1) развивают одновременно логическое мышление учащихся и их математическую речь;

2) оказывают большую помощь при подготовке к доказательству теорем;

3) дают возможность проведения подготовительной работы к решению и записи решений геометрических задач.

Основываясь на опыте работы учителей математики Томской области, мы составили сборник упражнений по геометрии на готовых чертежах (пособие для учителей восьмилетней школы), приведенный в приложении к диссертации.

В сборнике 250 задач, для каждой из которых дан чертеж и краткая запись условия или некоторой его части. Учащийся обязан восстановить и письменно сформулировать условие задачи и дать полное ее решение.

В некоторых упражнениях приведены краткие записи, выделены, только основные данные, а все дополнительные

условия учащиеся должны усмотреть из чертежа. Особую группу составляют упражнения, где по чертежам следует изготовить развертки и склеить модели, а также сформулировать задачи, которые можно решать по этим моделям. Такие же задания в других упражнениях учащиеся выполняют по наглядным изображениям пространственных фигур или по ортогональной проекции и наглядному изображению.

Упражнения по формулированию текстов задач по чертежу, по модели, по символической записи с использованием зрительного анализа предметов и зрительно-двигательных ассоциаций, а также определенного круга геометрических знаний, навыков измерения и построения явились основой для формирования умений и навыков письменного решения геометрических задач.

Обобщения изложенных ранее положений позволили нам сделать следующие выводы:

1. В школьных программах по математике следует указывать какие умения и навыки должны получить учащиеся по годам обучения, в том числе, какие умения и навыки они должны обнаружить при выполнении письменных работ.

2. Чтобы корректировать деятельность учащихся по математике, необходимо в конце каждого учебного года проводить контрольные письменные работы.

3. Письменные работы по математике следует оценивать не только по плану решения и ответу, но и по корректности выполнения работы в целом.

4. Упражнения для развития устной и письменной математической речи не должны противопоставляться решению задач и доказательству теорем. Комплексное изпользование упражнений позволяет добиваться лучшего качества знаний и умений учащихся но математике.

5. Изложение фактического материала в школьных учебниках математики должно быть образцом письменного выражения математических истин, а в задачниках должны предусматриваться упражнения для развития устной и письменной речи учащихся.

6. Необходимы программированные пособия для формирования умений корректного выполнения письменных математических работ.

7. В педагогических институтах при изучении курсов элементарной математики и методики преподавания математики необходимо проводить письменные контрольные работы с последующим анализом содержания и корректности выполнения таких работ. Привлечение к рецензиро-

ванию контрольных письменных работ студентов поможет им понять и прочнее овладеть научно-методическими требованиями к письменным работам по математике.

Следует широко практиковать аналогичные упражнения в институтах усовершенствования учителей при переподготовке кадров.

По вопросам исследования, итогом которого явилась диссертация, автор выступал на протяжении многих лет перед учителями математики на городских и районных секциях, на курсах повышения квалификации учителей Томской области, на областных «Педагогических чтениях», а также сделал доклады и сообщения на различных конференциях: на второй Сибирской конференции по математике и механике в 1962 году, на Томской областной научно-практической конференции по вопросам эффективности преподавания (1963 г.). на 1-й Московской конференции по программированному обучению (1964 г.), на третьей Сибирской конференции по математике и механике (1964 г.), на Центральных Педагогических чтениях в г. Иркутске (1965 г.), на 1-й Всесоюзной конференции по пограммированному обучению (1966 г.).

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. «О некоторых видах упражнений для выработки у учащихся умений письменного изложения работ по математике».

Доклады второй Сибирской конференции по математике и механике, изд. Томского университета, Томск, 1962.

2. «Составление учащимися текстов геометрических задач по чертежу». Сборник «Вопросы совершенствования преподавания в средней школе», Ярославль, 1963.

3. «Из опыта применения обучающих устройств в школьном преподавании геометрии». Доклады третьей Сибирской конференции но математике и механике, изд. Томского университета, Томск, 1964.

4. «О применении некоторых простейших технических средств при обучении математике». Сборник «Технические средства и программированое обучение при подготовке производственных профессий», Москва, 1965.

5. «Упражнения к некоторым темам школьного курса математики с применением перфокарт». Сборник «Применение технических средств и программированного обучения в средней школе», редакционно-издательский совет СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

6. «Что такое программированное обучение». Сборник «В помощь студенту-первокурснику», изд. Томского университета, 1966.

7. «Исследование возможностей программированного обучения в различных отраслях знания» — в соавторстве с Б. Г. Иоганзеном. Н. И. Кувшиновым. В. М. Скрипченко, Л. А. Стукановым (Материалы к Всесоюзной конференции по программированному обучению). Изд. Томского университета, Томск, 1966.

8. «Методические требования к письменным работам учащихся по математике». Сборник «Материалы к XXVI конференции математических кафедр педагогических институтов Урала», г Киров. 1968

К301251 Сдано в набор 8/V-fiQ г. Подписано к печати 10/V-69 г Формат 84хЮ8*/з2; печ. л. 0,6; (уел. л. 1.). Уч.-изд. л. 0,9; бум. л.0,5. Заказ № 2346. Тираж 200 экз.

Томски, тип. № 2 «Красное знамя*