МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

А. А. ДЕЕВ

ПОВЫШЕНИЕ ИДЕЙНО-ТЕОРЕТИЧЕСКОГО УРОВНЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — профессор И. К. АНДРОНОВ

Москва — 1955

Во введении к диссертации указываются причины постановки темы «Повышение идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе» и раскрывается значение основных вопросов, которые в ней разрешаются.

Эта тема является актуальной, так как одной из основных причин того, что не все учителя обеспечивают высокое качество подготовки и хорошую успеваемость всех учащихся, является недостаточный идейно-теоретический уровень в преподавании всех дисциплин предмета математики.

Главное внимание в школьном преподавании математики нередко направляется на разучивание закономерностей математики на большом числе искусственных примеров, а теории придается формальный характер. При этом мало рассматривается жизненно важных задач, приводящих к необходимости изучения теории и слабо показывается ее преобразующая сила в применении к практике. Теоремы и формулы, выведенные один раз, используются затем без особой заботы о том, чтобы общее соединялось органически с частным и особенным. Идейно-научное содержание школьного курса математики остается затемненным, отчего известная часть учащихся не уясняет этой стороны дела и встает на путь формального изучения математики.

Решениями XIX съезда нашей партии в области народного образования поставлены задачи огромной важности.

«В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий, приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению»1.

При решении этих задач необходимо исключить возможности повторения тех ошибок, какие были в первые годы развития советской школы. Создание предпосылок для политехнического обучения должно сопровождаться не снижением роли теории, а ее уси-

1 Директивы XIX съезда партии по пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955 гг. Госполитиздат, 1952, стр. 28.

лением. Речь может итти о таком сближении школьного преподавания с жизнью и практикой, которое способствует уяснению сущности математической теории и широты ее применения. Главное внимание должно быть направлено на воспитание сознательного подхода учащихся к изучению математики, формированию у них научного метода изучения явлений окружающей действительности. А это требует отражения в школьном преподавании идей современной науки на основе методологии диалектического материализма.

Первая глава начинается с раскрытия педагогического эксперимента, проведенного для целей выявления основных недостатков в знаниях учащихся — основ школьной математики. Он состоял в том, что учащимся VII и X классов было предложено письменно ответить, что они знают об основных понятиях школьного курса математики (о числе, о геометрической фигуре, о прямой линии, о точке и т. д.). Учащимся X класса, кроме того, было предложено написать, как они понимают связь математических понятий с предметами и явлениями природы и отличительные особенности понятий в математике. В одной группе X класса учащимся была предложена еще специально подобранная задача в целях выявления их умений переходить от конкретного к абстрактному и применять теорию к практике.

Эти письменные работы были проведены в двух группах VII класса (десятой) семилетней и в трех группах X класса (девятнадцатой) средней школ г. Омска, а также в математическом кружке школьников при Омском пединституте. В их проведении принимали участие преподаватели математики соответствующих классов указанных школ и некоторые члены кафедры математики Омского пединститута. Все письменные работы были подвергнуты затем анализу.

В результате анализа этих письменных работ и последующих бесед с учащимися было установлено, что многие учащиеся слабо владеют основными понятиями математики и при попытках раскрыть содержание понятий допускают грубые ошибки. Они нечетко представляют характерные особенности понятий в математике, испытывают большие затруднения при переходе от конкретного к абстрактному и обратно и слабо ориентируются в вопросах применения теории к практике. В истолковании основных понятий нередко встречается своеобразная, путаная, стихийно созданная «ученическая философия».

Так, около половины всех учащихся отождествляют понятие числа с знаком, принятым для его обозначения. В большинстве работ содержатся лишь отрывочные сведения об известных учащимся видах чисел. Из них видно, что многие ученики не могут указать прообразы в природе и общественной практике для соответствующих абстрактных понятий о числе и действиях над ними, обнаруживают беспомощность в попытках раскрыть процесс обобщения понятия числа.

Вот один из характерных ответов: «Число есть форма выражения математической мысли. Определение числа можно Найти в работах величайших философов — Белинского, Чернышевского, Маркса, Энгельса. Понятие о числе может быть общим и оно может быть ограниченным в определенных рамках. Так, например, мы знаем, что существуют действительные числа и комплексные числа, но мы также знаем, что все действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Мы знаем еще и такие понятия о числе: 1) числа целые, 2) числа дробные, 3) числа смешанные, но в то же время мы знаем, что, например, дробные числа могут быть десятичными, рациональными, иррациональными и т. д. Вообще понятие числа огромно».

Неясностей в истолковании геометрических понятий встречается еще больше. Встречается много попыток определить первоначальные понятия, причем допускаются грубые логические ошибки. Учащиеся совсем мало приводят задач из окружающей действительности, чтобы указать на прообразы геометрических понятий. В некоторой части работ придается большое значение «условности» в математике, которая иногда выдвигается как характерная особенность математических понятий.

Приведем один из характерных ответов. «Точка — величина, не имеющая размеров, величина бесконечно малая. Линия — это бесконечное скопление точек, расположенных так, что каждая точка соприкасается только с двумя соседними и это соприкосновение не прерывается. Прямая же линия — это такая линия, между двумя точками которой, удаленных на значительное расстояние друг от друга, находится наименьшее количество точек. Прямая линия — это бесконечная линия, проходящая в мировом пространстве...».

* * *

В первой главе нашей работы подробно раскрываются выявленные характерные недостатки знаний учащихся и приводятся для их иллюстрации много примеров, взятых из письменных работ.

В диссертации ставится вопрос о причинах этих недостатков. При конкретном исследовании оказывается, что их надо рассматривать, в первую очередь, в зависимости от характера преподавания и методологической направленности учителя, а также в тех средствах, которые используются как учителем в процессе преподавания, так и учащимися в процессе изучения математики. Последующие беседы автора с учащимися показали, что они значительно лучше могут уяснить трудные вопросы школьного курса, но для этого надо преподавателю учесть недостатки стабильных учебников и восполнить те пробелы, которые для них характерны.

Большую роль в этом отношении может сыграть система повторительно-обобщающих уроков, которые позволяют своевременно поправлять, уточнять, обобщать и совершенствовать знания учащихся, чтобы усвоение математической теории было вполне сознательным и убежденным. Но такие уроки, к сожалению, не прово-

дятся в практике преподавания в том виде, в каком это необходимо при существующих стабильных учебниках и задачниках.

В последнем параграфе этой главы рассматривается вопрос о «формализме» в знаниях учащихся. В понимании этого дефекта математических знаний школьников в методике выявляются две крайние точки зрения, одна из которых понимает «формальные знания» слишком широко, а другая — узко.

Так, проф. В. М. Брадис считает одним из распространенных видов формализма так называемый «словесный формализм», когда ученик употребляет терминологию, значение которой он или не знает, или понимает искаженно1. С этим нельзя согласиться, так как это является характерным проявлением незнания.

Другую крайнюю точку зрения выявляет проф. А. Я. Хинчин, который не считает отрыв математической теории от практики, имеющийся у учащихся за существенный признак формальных знаний2. Практика есть источник и цель всякого знания и ее нельзя исключить из познавательного процесса в математике.

В работе подробно рассматриваются обе эти точки зрения вместе с примерами разнообразных проявлений формализма и делается вывод, что формальные знания — это безидейные, поверхностные знания, в которых внешняя форма превалирует над содержанием. Если здесь и имеется система понятий, то она не является столь живой, чтобы из одного органически развивалось другое и удерживается только памятью. Такие знания страдают односторонностью; они не подготавливают ученика к творческому пониманию предмета математики и ее роли в общественной практике. Намеченная в диссертации система преодоления выявленных недостатков в знаниях учащихся одновременно разрешает вопрос и о борьбе с формализмом.

* * *

Вторая глава содержит критическое рассмотрение школьной программы, стабильных учебников и задачников, а также основных курсов методики преподавания математики с точки зрения их идейно-научного уровня. Здесь устанавливается, что основные недостатки в математических знаниях учащихся являются следствием школьного преподавания, полностью опирающегося на эту методическую систему с присущими ей серьезными пробелами в идейном отношении.

На основе анализа характерных недостатков этой системы указываются пути, ведущие к изживанию названных недостатков.

В программе, по которой школа работала до 1954 г. (а VII—X классы работают и сейчас), предусматривается изложение вопросов школьного курса в таком виде, в каком оно дано в стабильных учебниках. В них же учебный процесс в математике представлен

1 В. М. Брадис. Методика преподавания математики в средней школе, 1951, стр. 96.

2 А. Я. Хинчин. О формализме в школьном преподавании математики. «Известия АПН РСФСР», № 4, 1946, стр. 10 и след.

без его органического начала и без его конца: даются сразу понятая с помощью определений и сейчас же формально доказываются соответствующие теоремы; не имеется предварительных предложенных задач, приводящих к необходимости рассмотреть эти понятия и их свойства, не выясняется цель изучения теории и не показывается ее практическое применение в производственной деятельности людей.

Необходимо внести в школьный курс изменения в отношении сближения школьного преподавания с жизнью и современным состоянием науки, имея в виду, в первую очередь, надлежащее развитие того, что уже входит в школьный курс, но употребляется в преподавании случайно или искусственно обходится. В частности, понятие множества вполне созрело, чтобы на нем, как на базе, можно было развивать математические понятия; это позволит поднять идейно-теоретический уровень школьного курса и изложить его в более интересной и доступной форме.

С 1954—65 учебного года в школах осуществляется переход на новую программу. В диссертации показывается, что новая программа является значительным шагом вперед по пути повышения идейного уровня школьного преподавания. В ней, в частности, предусмотрено значительное расширение учения о функциях (включено понятие о производной и ее простейшие применения), уделено значительное внимание применению математической теории к практике, отводится место для систематического повторения изученного материала.

Новая программа во многом способствует сближению школьного преподавания математики с жизнью и практикой и создает условия для успешного решения задач, поставленных перед школой XIX съездом нашей партии в отношении создания предпосылок для всеобщего политехнического обучения.

В стабильных учебниках еще сохранился в значительной степени традиционный недостаток преподавания математики в старой школе в отношении оторванности его от живой действительности. В них почти не выясняется объективный характер математических закономерностей и они нередко выступают как «условные соглашения» в отношении определенных символов или понятий, заданных сразу определениями. Нередко сами определения, аксиомы, теоремы и т. д. истолковываются с позиций устаревших взглядов. На достаточном числе рассмотренных вопросов в стабильных учебниках показывается, что все они в идейном отношении не отвечают во многом возросшим требованиям советской школы.

В диссертации отмечается, что в последнее время проводится энергичная работа по составлению новых учебников. Рассмотрение двух макетов нового учебника арифметики (№ 1 и № 5) приводит к выводу, что их авторы провели значительную работу в направлении преодоления недостатков стабильного учебника арифметики А. П. Киселева, которые отмечаются в диссертации. Степень .преодоления отмеченных недостатков в этих книгах различна, но в

каждой из них выражена тенденция к повышению идейного уровня школьного преподавания математики и в этом отношении взгляды авторов этих книг в значительной мере совпадают со взглядами автора диссертации.

Аналогичное положение имеет место с стабильными задачниками по математике. Существующие задачники нуждаются в переработке. В них представлены почти исключительно задачи тренировочного характера, служащие лишь для целей закрепления материала учебников, и совсем мало задач с жизненным содержанием, которые помогают уяснить сущность математической теории и ее применение к живой действительности. На примерах, взятых из задачников, показывается, как далеки бывают эти задачи от настоящей практики в условиях советской действительности, а во многих случаях дают ее в исаженном виде.

Иное содержание имеет задачник по арифметике С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева, который введен в школе с 1954—56 учебного года, где недостатки прежнею задачника по арифметике Е. С. Березанской в значительной степени преодолены.

Для полного преодоления отмеченных недостатков в задачниках развиваются основные положения, выдвинутые в статье проф. И. К. Андронова1.

Основным недочетом курсов методики преподавания математики является то, что в них еще нет последовательного применения марксистско-ленинской методологии для решения методических проблем, поэтому основные вопросы преподавания рассматриваются нередко односторонне, а иногда и ошибочно. Как, например, решается вопрос об отношении методики и истории математики в курсе методики проф. В. М. Брадиса?

Автор, следуя за акад. А. Н. Колмогоровым, делит всю историю развития математики на три этапа2. Говоря о первом этапе в развитии математики (с ее зарождения до XVII в.) проф. В. М. Брадис пишет: «Первый основной этап развития мировой математической науки имеет для учителя математики в средней школе большой интерес, так как здесь дело идет преимущественно об элементах математики, о той базе всего дальнейшего развития математики, которая под названием «Элементарная математика» является объектом изучения в школе (начальной и средней)»3.

После рассмотрения второго этапа развития математики автор говорит только о понятии функции, которое «должно прочно войти в круг вопросов, изучаемых в средней школе»4.

В результате рассмотрения третьего этапа развития математики для учителя не сделано никаких выводов.

1 Эта статья напечатана в «Учительской газете» 24 декабря 1952 г.

2 Имеется в виду статья акад. А. Н. Колмогорова «Математика», напечатанная в БСЭ.

3 В. М. Брадис. Методика преподавания математики в средней школе, 1951. стр. 7.

4 Там же, стр. 10.

Такое решение вопроса о школьной математике, когда учитель ориентируется только на начальные стадии в историческом развитии математической науки, не может считаться удовлетворительным, так как оно не учитывает диалектического процесса развития науки с присущими ему качественными изменениями. Получается резкое противопоставление школьного, курса математики и математической науки, при котором его нельзя рассматривать как основы математики.

В книге имеется чрезмерное противопоставление различных видов определений понятий, индукции и дедукции, анализа и синтеза и т. п. Задача формирования основ марксистско-ленинского мировоззрения учащихся в связи с изучением математики ставится автором недостаточно определенно и четко и слабо учитывается при решении вопросов методики.

Однако это руководство является, по нашему мнению, и в идейном отношении более совершенным в сравнении с другими курсами методики.

В некоторых курсах методики встречаются установки совсем не приемлемые для советского учителя. Так, например, в учебнике методики геометрии H. М. Бескина отчетливо высказывается мысль, что методика математики не должна заниматься выяснением философской стороны математики и совсем не предусматривается задача формирования основ марксистско-ленинского мировоззрения учащихся в процессе школьного преподавания1. Такая позиция фактически приводит автора к путаной философии, выражающей большей частью взгляды метафизиков и формалистов.

Противопоставление учебного предмета математической науки здесь доведено до крайних пределов. «Учитель геометрии, входящий на первый урок в VI классе, должен рассматривать сидящих перед ним учеников как древних египтян, а себя — как древнего грека (IV—III в. до н. э.), который должен в течение нескольких лет довести учеников в методологическом отношении до греческого уровня»2.

Такая установка для учителя не может, конечно, принести пользы делу обучения. Нет никакой нужды игнорировать те методологические завоевания, которые вносят существенные упрощения в уяснение подлинного смысла научных понятий.

В диссертации приводится много примеров неправильного подхода автора к решению важнейших вопросов методики и делается вывод, что книга эта является характерным образцом философского эклектизма в методике математики.

В нашей работе выясняется также, что в методике математики намечаются определенные сдвиги в направлении последовательного применения марксистско-ленинской методологии при разработке вопросов методики школьного преподавания, но они еще недостаточны. Особенно характерны в этом отношении некоторые книги,

1 Н. М. Бескин. Методика геометрии, 1947, стр. 55, 37, 3 и др.

2 Там же, стр. 81.

появившиеся в последнее время. Так, в курсе методики проф. В. М. Брадиса, вышедшем третьим изданием, констатируется, что в постановке школьного преподавания математики имеются существенные пробелы в идейном отношении и учитель уже более определенно (чем в прежних изданиях) ориентируется на вопросы марксистско-ленинской методологии1.

Хорошие примеры творческого применения методологии марксизма к некоторым вопросам методики геометрии даны в брошюре действительного члена АПН РСФСР Н. Ф. Четверухина2.

В диссертации сравнительно подробно рассматривается также книга В. В. Репьева по общей методике математики3. В результате её рассмотрения делается вывод, что книга эта характерна в отношении методологической выдержанности в постановке основных вопросов методики математики, но, к сожалению, во многих случаях кратко рассматривает эти вопросы и нередко не доводит решение их до? желательного конца.

***

В третьей главе рассматриваются вопросы повышения идейно-научной направленности преподавания математики в VI классе на основе повторения с учениками арифметики, изучения с ними начал алгебры и геометрии и дается методическая система, преодолевающая выше рассмотренные недостатки в сложившемся преподавании математики.

Вначале излагаются предпосылки для преодоления формального» подхода к понятиям при изучении математики.

Ф. Энгельс писал, что диалектическое мышление имеет своей предпосылкой исследование природы понятий и замечал при этом, что все учение о понятии движется в трех категориях: единичность, особенность и всеобщность4.

Значит, содержательный подход к понятиям требует от школьного преподавания выяснения происхождения математических абстракций, их особенностей и свойств, раскрытия широты применения математической теории и её практического значения. В этих целях решающее значение для изучения математики придаётся развитию учебного процесса в соответствии с основным положением В. И. Ленина о сущности процесса познания5. Ценные указания на правильное понимание закономерностей науки и особенностей их в отдельных науках, в частности, в математике, имеются в работах И. В. Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР» и «Марксизм и вопросы языкознания».

Чтобы лучше выяснить процесс абстракции в математике и не-

1 В. М. Брадис. Методика преподавания математики в средней школе, 1954, стр. 54—55.

2 Н. Ф. Четверухин. О некоторых методологических вопросах преподавания геометрии, 1955.

3 В. В. Репьев. Очерки по общей методике математики, Горьковское книжное издательство, 1955.

4 Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1949, стр. 176 и 179.

5 В. И. Ленин. Философские тетради. 1936 , стр. 166.

сколько уточнить понимание общих, частных и особенных свойств объектов, целесообразно воспользоваться простейшими сведениями о множествах. Это позволит всегда рассматривать содержание понятии вместе с его объёмом.

В диссертации описываются три занятия, проведенные с учащимися VI класса, в которых рассматривались жизненные явления, где выделялись различные конечные множества и учащиеся приучались к немногим терминам, связанным с более сознательным и осмысленным употреблением понятия множества и его простейших свойств. Понятие множества использовалось также для логического развития учащихся, причем имелась в виду не формальная, а содержательная логика. Здесь в первую очередь раскрывались общие и особенные свойства предметов, которые выделяются при их сравнении. Общие свойства отдельного предмета—элемента множества -рассматривались как такие его свойства, которые имеются также у всех других элементов этого множества. К особенным свойствам предмета были отнесены такие его свойства, которые имеются только у данного предмета и которые отличают его от всех других предметов—элементов множества. Все прочие свойства отдельного предмета назывались частными свойствами.

Из проведенных уроков и других наблюдений автор пришел к заключению, что элементарную математику возможно развивать с систематическим использованием понятия множества. Благодаря этому можно наглядно, раскрывая методологическую основу, доступно и интересно для учащихся излагать общий курс элементарной математики и ту его часть, которая проходится в VI классе. При этом эффективно выясняется процесс образования понятий и учащиеся получают возможность глубоко уяснить их содержание, усмотреть логическую взаимосвязь в понятиях. Теперь это особенно важно в связи с отменой в средней школе преподавания логики.

Задача развития логического мышления учащихся должна разрешаться теперь всеми преподавателями и в особенности преподавателем математики при формировании понятий. Особенно легко на этой основе выясняется объективный характер математической абстракции и общий характер математических понятий и предложении. В диссертации далее и показывается, как с учетом этого можно изложить программный материал по математике для VI класса, обеспечивая при этом выяснение цели изучения математической теории и необходимое единство теории с практикой.

При повторении арифметики рекомендуется на конкретных примерах подвести учащихся к тому, что любое натуральное число характеризует не одно конкретное множество, а класс конечных множеств, связанных между собой равночисленностью. В связи с этим действия с натуральными числами получают более ощутимую реальную основу как абстрактное выражение соответствующих действий над конкретными конечными множествами, когда не принимается в расчет природа элементов. При этом основные законы действий в арифметике натуральных чисел принимают доказательный харак-

тер. После выделения общих свойств натуральных чисел процесс дальнейшего обобщения и развития понятия числа, в связи с разрешением вопроса об измерении величин, выступает яснее и доступнее.

Буквенные выражения в алгебре рекомендуется рассматривать в связи с числовыми множествами, по отношению к которым та или иная буква выступает в роли произвольного элемента, т. е. как число, где абстрагировались от его особенных свойств и где учитываются только общие свойства. На этой основе устанавливаются все действия с буквенными выражениями.

При формировании абстрактных понятий геометрии важно показать, что они возникают из таких задач, когда требуется учитывать не все свойства предметов, а только их пространственную форму. Например, в некоторых задачах то или иное поле при известной абстракции от его неровностей и предметов, находящихся на нем, рассматривается как кусок плоскости, а его граница—как геометрическая линия. Подобно этому при измерении расстояния между предметами, находящимися на границе поля, например, между двумя столбиками, их размеры не принимаются в расчет и они рассматриваются как геометрические точки, определяющие отрезок прямой, подлежащий измерению. Объективный характер геометрических абстракций легко уясняется при решении задач с измерением на местности в связи с рассмотрением границ видимых предметов.

Если натуральное число связывается надлежащим образом с конечными множествами, то общий характер правил арифметики вскрывается без особого труда.

Что касается законов алгебры и теорем в геометрии, то для раскрытия их общего характера рекомендуется один общий прием. Он состоит в следующем. При доказательстве теоремы берется произвольная фигура из данного множества фигур и фиксируется со всеми ее свойствами. Проводится доказательство теоремы для этой фиксированной фигуры, а потом устанавливается, что при доказательстве теоремы не использовались особенные свойства фигуры (ее положение на доске, численные размеры отрзков и углов и пр.), а использовались только общие свойства, которые присущи всем другим фигурам данного множества. Такой прием является особенно характерным в аналитической геометрии, а также в анализе. Поэтому важно уже в школе постепенно приучать учащихся к анализу доказательств с точки зрения их общности. В нашей работе подробно разъясняется применение этого анализа при решении вопросов геометрии и алгебры. Имея в виду связь понятий сих объемом, легко раскрыть характер определений, уяснить состав и сущность различного рода теорем и пояснить все это с помощью логических кругов Эйлера.

Необходимость теории в глазах учащихся чаще должна мотивироваться соображениями практического характера. Рассматривая какой-нибудь вопрос или задачу практического характера, приводя-

щие к необходимости изучения соответствующих понятий, можно показать вместе с тем недостаточность теории и необходимость ее развития. Для арифметики такие конкретные задачи всегда можно указать, поскольку для арифметики характерна первая ступень абстракции в математике. Алегебра же, в основном, характеризуется второй ступенью абстракции, когда приходится абстрагироваться не только от природы элементов конечных множеств или конкретных величин, но и от их особенностей. Поэтому при изучении ал.тебры следует всячески укреплять ее связь с арифметикой; связь алгебры с жизнью и практикой реализуется в значительной мере через арифметику.

Важно также учесть связь алгебры с геометрией и физикой. Взаимная связь между основными физическими величинами и производными от них выражается соответствующей размерностью. Эти размерности выступают в тех формах, с которыми учащиеся в алгебре воспринимают общие свойства чисел. Так, например, вес тела в связи с его плотностью и объемом выражается числом, взаимная связь выделяется в форме алгебраического выражения: Р=-=У(1[г], где V — объем в кубических см., ad — удельный вес в —g-. Для тела кубической формы отсюда получается: Р=аМ[г], цилиндрической формы •— Р=п R2hd[a] и т. д. Мы видим, что здесь все время приходится иметь дело с алгебраическими выражениями и для правильного понимания физической закономерности нужно эти выражения иметь в виду, так как входящие единицы имеют разное происхождение.

Цель изучения геометрии естественнее всего мотивировать необходимостью исследования разнообразных пространственных форм, которые встречаются в предметах и явлениях природы и техники. Сравнивая разнообразные конкретные предметы, можно заметить, что каждый предмет имеет определенную форму, размеры и занимает известное положение среди других предметов. Геометрия кладет в основу изучения эти свойства, присущие всем предметам, абстрагируясь от всех других свойств как от частных и особенных свойств конкретных предметов. Значит, говоря о геометрическом теле, мысленно отделяют форму и размеры тела от всех остальных его свойств, считая их как бы несуществующими. Поэтому геометрическое тело выступает как пространственная форма физического тела, как место, которое занимает физическое тело.

Всякое физическое тело отделяется от прилегающих к нему других физических тел своей границей, называемой поверхностью тела, которая является общей для данного тела и тела, прилегающего к нему. Важнейшим свойством поверхности служит то, что она мыслится без толщины. Если понимать поверхность как нечто, имеющее толщину, то она потеряла бы свою специфику служить общей границей для двух тел. На простейшем примере с водой, находящейся в сосуде (например, в стакане) нетрудно выяснить, что одну и ту же

поверхность тела можно рассматривать и как нечто целое и как состоящее из некоторых частей.

Поскольку поверхность тела можно мыслить отделенной от тела, то можно мыслить и часть поверхности, отделенной от других ее частей. Так в примере со стаканом воды одна часть поверхности отделяется от другой уже тем, что одна часть является общей границей воды и стенок стакана, а другая является общей границей воды и частиц воздуха. Эти части поверхности отделяются друг от друга общей границей, называемой линией. Важнейшим свойством линии является то, что она не имеет ширины. Если бы линию понимали как нечто имеющее ширину, то она потеряла бы свою специфику служить общей границей для двух частей поверхности.

Подобно этому выделяется и точка как общая граница двух частей линии. Важнейшим свойством точки является то, что она мыслится как не имеющая измерений; без этого она теряет свою специфику служить общей границей двух частей линии. Связь точки, линии и поверхности проявляется не только статически, но и динамически, что наглядно поясняется на примерах падающих ночью звезд, движения нагретой до красна проволоки и т. п.

После того как выяснены простейшие элементы, из которых состоят границы, и показано большое разнообразие их связей, ставится задача изучения этих связей, начиная от наиболее простых и переходя к все более сложным. При этом можно выяснить, что простота свойств плоскости и прямой обуславливается физическими свойствами предметов.

Когда уясняется возможность мысленного выделения основных геометрических абстракций и устанавливаются основные их свойства, тогда прямая выделяется как особая линия, все точки которой определяются заданием только трex из них, не лежащих на одной прямой. Можно, в зависимости от обстоятельств, выделять здесь отдельные прямые и отдельные точки, тогда будем иметь различные геометрические фигуры на плоскости, как отражение различного рода границ, встречающихся в предметах.

В диссертации подробно выясняется, как с таких позиций можно лучше, чем это обычно бывает в преподавании, подойти к изложению программного материала VI класса, используя примеры и задачи с жизненным содержанием при формировании новых понятий и показывая применение теории к некоторым задачам, взятым из практики.

Заключительный параграф третьей главы посвящается вопросу о том, как в связи с таким подходом к преподаванию математики закладываются основы марксистско-ленинского мировоззрения у учащихся и что особенно способствует этому. Здесь показывается, что формальный подход к понятиям, который имеет еще значительное место в стабильных учебниках, не способствует формированию научного мировоззрения. В них нередко раскрываются понятия вне всякой связи с природой и техникой, связь между понятиями устанавливается иногда искусственно в форме условных соглашений.

Необходимо значительно больше насыщать школьные занятия по математике разбором жизненных задач, на которых можно «выяснять и развивать математические понятия. Особенно важно показывать учащимся большую преобразующую силу математической теории. В самых простых случаях, например, с классной комнатой и находящимися в ней предметами, можно выяснить, что люди придают предметам форму целесообразную и удобную для нас, причем это обуславливается геометрическими свойствами этих форм.

Пол имеет форму куска горизонтальной плоскости чаще в виде прямоугольника, что обеспечивает устойчивое расположение на нем предметов, удобство перемещения по нему людей и т. д. В формах стен, потолка, окон и предметов, находящихся в комнате, мы тоже находим много прямолинейных и прямоугольных форм. Это объясняется тем, что предметы могут совпадать по прямолинейным отрезкам, по прямым углам и т. д. и примыкать друг к другу без зазоров, а это позволяет при минимальных размерах помещения разместить в нем наибольшее число предметов. Не трудно показать практическую целесообразность геометрических форм в деталях машин и других предметах, обусловленную соответствующими запросами людей.

Укрепление связи школьного преподавания математики с жизнью с соблюдением основных положений марксистско-ленинской методологии придает целенаправленный характер изучению математики.

Тот педагогический эксперимент, который удалось провести во всех классах, где на нескольких уроках, в порядке повторения и обобщения пройденного, были рассмотрены некоторые методологические вопросы из того, что "было изложено в третьей главе, приводит к выводу, что преподавая математику надо одновременно заботиться о формировании основ диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. При умелом преподавании это дает возможность учащимся глубже уяснить логическую сторону предмета и повысить качество получаемых знаний.

* * *

Четвертая глава диссертации посвящается вопросам повышения уровня преподавания математики в X классе в связи с повторительно-обобщающей работой по пройденному курсу математики.

Сначала описываются семь уроков, проведенных автором диссертации в одной группе X класса Омской (девятнадцатой) средней школе; в другой группе такие же уроки проводил преподаватель этой школы.

При проведении этих уроков, прежде всего, имелось в виду преодолеть те существенные недостатки в знаниях учащихся, которые были выявлены письменными работами и о которых говорилось в первой главе. На простых примерах и задачах, взятых из жизни и учебного материала, хорошо известного учащимся, они были ознакомлены с простейшими сведениями о множествах, а потом на этой базе была раскрыта методологическая основа арифметики, алгеб-

ры и геометрии. Главное внимание учащихся было сосредоточено на выяснении объективного характера основных понятий школьного курса математики, логической структуры определений и теорем, на раскрытии общего характера доказательств в математике. Последний из этих уроков был посвящен предмету математики.

После всех этих уроков была проведена письменная работа по вопросам, которые предлагались учащимся ранее в целях выявления недостатков в их знаниях. Мы сравнили ответы учащихся одной группы, где были проведены дополнительные уроки, с их прежними ответами и с ответами учащихся контрольной группы, где таких уроков не проводилось.

В результате такого /сравнения было установлено, что несмотря на небольшое число проведенных уроков, где раскрывались методологические элементы, ответы учащихся этой группы существенно отличались от их прежних ответов и ответов учащихся контрольной группы. Проведенные уроки значительно помогли учащимся глубже уяснить содержание школьной математики. Теперь в их ответах уже не встречалось отождествления понятия числа с его обозначением, попыток определения первоначальных понятий и стихийных «философских» истолкований.

Что касается ответов учащихся из контрольной группы, то они ничем существенным не отличались от прежних ответов и попрежнему содержали много грубых ошибок.

Проведенный опыт показал, что необходимо расширить вид работы в школе — повторительно-обобщающего характера, так как это существенно помогает учащимся углубить и систематизировать изученное. При этом для такой повторительно обобщающей работы иногда не надо целого урока, а достаточно уделить некоторое время в ходе обычного урока, где ставится новая тема или проводится закрепление материала; и здесь можно ставить вопросы и задачи, которые обобщают изученный материал. Так почти все вопросы, которые были рассмотрены нами в проведенных уроках, можно выяснить раньше в процессе преподавания математики в других классах. Из них только один урок о предмете математики особенно интересно провести именно в X классе после изучения всего курса школьной математики, выделив предварительно в порядке повторения и обобщения вопросы школьного курса наиболее важные в идейном отношении.

В связи с этим мы в четвертой главе диссертации, кроме беседы о предмете математики, даем еще в разработанном виде четыре беседы о развитии понятия числа, одну беседу о развитии понятия функции и одно занятие, посвященное разбору практически важных задач, связанных с возникновением понятия предельного перехода.

В этих беседах сосредоточивается главное внимание на выяснении идейной стороны школьного курса математики. Много внимания уделяется выяснению основных факторов развития математической теории, анализу практических задач, приводящих к соответст-

вующим понятиям математики, характеристике противоречий и их преодолению при обобщении понятия числа и функции. В беседах эти вопросы выясняются на тщательно подобранных примерах с соблюдением принципа перехода от простого к сложному.

В беседе о предмете математики раскрывается определение предмета математики, данное Ф. Энгельсом, выясняются характерные особенности абстракций математики и применяемых в ней методов, а также отношение математики к другим наукам. Во всех беседах даются необходимые сведения из истории математики, выясняется роль знаменитных математиков, попутно выделяются вопросы для изучения в математическом кружке и указывается литература посильная для учащихся в целях развития их математических знаний, полученных в школе. На примере разработки этих бесед показывается какой характер должны иметь повторительно-обобщающие уроки в старших классах.

В итоге, автором обнаружены характерные недостатки в математических знаниях учащихся и установлены основные причины таких недостатков. Надо во многом изменить традиционную систему преподавания, опирающуюся на стабильные школьные пособия, оставшиеся от дореволюционного времени без коренной переработки в идейном отношении, с характерной для них недооценкой связи преподавания математики с жизнью и практикой.

В соответствии с этим автор разработал систему мероприятий, помогающих преодолеть встречающиеся отрицательные традиции в школьном преподавании математики и провел педагогический эксперимент, который показывает, что эта система приводит к положительным результатам.

Л 41528 Подп. к печ. 22/IX-55 г. Объем 1 п. л. Тир. 100 Зак. 6630 Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73