ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра методики преподавания математики

М. В. ДАНИЛОВА

(ст. преподаватель Калининского Государственного педагогического института)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель профессор Брадис В. М.

ЛЕНИНГРАД 1955

JM51043 27-Х-55 .г Тип. «Сталинец» зак, 4297 т. 100

В общей системе нашего народного хозяйства вычислительные процессы играют очень большую роль. Ни одна отрасль промышленных и сельскохозяйственных предприятий не может обойтись без планирования, учета и различных производственных расчетов, связанных с вычислительной техникой. Употреблявшиеся с давних пор различные вспомогательные средства вычислений с каждым годом улучшаются и совершенствуются. Среди вспомогательных средств вычислений одно из важных мест занимают математические таблицы; их значение не снижается распространением счетных приборов, вычислительных машин, номограмм и поэтому общеобразовательная средняя школа должна выработать у учащихся навыки сознательного использования математических таблиц при всякого рода вычислениях.

Математические таблицы в школе могут рассматриваться не только как прекрасное вспомогательное средство вычислений, но и как замечательное средство для формирования и закрепления многих математических понятий (например, делителя, кратного, прямой и обратной пропорциональности и многих других), причем здесь большую роль играют не столько готовые таблицы, сколько таблицы, составленные самими учащимися, так как весьма поучителен самый процесс составления таблиц. Например, знакомство с готовыми таблицами и процесс составления таблиц способствуют развитию идеи функциональной зависимости еще задолго до того, как будет дано ученику определение понятия функции, что очень важно при обучении.

Кроме того, составляя таблицы, ученик приучается рассматривать процесс табулирования, как метод решения наиболее трудных задач, аналитическое решение которых его затрудняет. Табличный метод является универсальным методом; его можно применять при решении арифметических задач любого типа, при решении многих задач алгебры, геометрии и триго-

нометрии. Он помогает также учащимся устанавливать зависимости между данными и искомыми величинами и выяснять пути для аналитического решения задач.

Систематическое употребление различных таблиц и критическое отношение к их использованию способствует выработке у учащихся стремления находить наиболее рациональные способы всякого рода вычислений, повышает вычислительную культуру учащихся.

Использование математических таблиц в преподавании является одним из важных средств повышения интереса к предмету и положительно сказывается на улучшении успеваемости учащихся.

Однако анализ существующего положения с преподаванием математики в средних школах и результаты экзаменов в техникумы и ВУЗы страны говорят о том, что до настоящего времени одним из крупных недостатков преподавания математики является очень низкая вычислительная культура учащихся. Особенно плохо знакомы учащиеся с различными вспомогательными средствами вычислений, в том числе и с таблицами. Многие вычисления, которые легко и быстро можно провести при помощи таблиц соответствующих функций (таблиц квадратов, кубов, извлечения корней, обратных значений и т. и.), выполняются учащимися непосредственно или при помощи таблиц логарифмов. Вследствие этого часто усложняются все расчеты и записи и получается потеря точности результата вычисления.

Настоящая диссертация ставит своей целью показать, каким образом можно организовать ознакомление учащихся с различными математическими таблицами в процессе преподавания математики в средней школе. Для достижения поставленной цели автором рассмотрена история и теория таблиц, дан обзор таблиц и классификация таблиц, изложен вопрос о внедрении таблиц в практику преподавания математики средней школы, проведен анализ существующего положения с вычислительной культурой учащихся, дана методическая разработка по вопросу ознакомления учащихся с таблицами в преподавании арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии.

Диссертация возникла как результат многолетнего опыта автора, который в своем преподавании математики в средней школе и курса теории и практики вычислений в Калининском педагогическом институте широко использовал всевозможные математические таблицы в указанных выше целях.

В основу диссертации также положены:

1) изучение и критический анализ литературы и документов, имеющих то или иное отношение к теме диссертации;

2) результаты изучения постановки преподавания математики в средних школах города Калинина и некоторых школах Калининской области по вопросу внедрения таблиц и других вспомогательных средств вычислений в практику преподавания;

3) опыт работы отдельных учителей математики города Калинина и Калининской области, работавших по рекомендациям автора.

Диссертация состоит из 12 глав.

ГЛАВА I.

История таблиц

Стремление механизировать вычислительные процессы было присуще каждому народу, и потому на очень ранней ступени развития человечества встречается применение различных вспомогательных средств вычислений, из них самое широкое распространение имели математические таблицы.

В главе I рассматривается история возникновения некоторых таблиц, улучшение и совершенствование их с течением времени. Особенно большое место отводится таблицам тригонометрических функций. Эти таблицы возникли в древней Греции из потребностей астрономии, затем дополнялись, уточнялись каждым народом и до открытия логарифмов были почти единственным средством упрощения различных вычислений. Таблицы тригонометрических функций и до настоящего времени занимают важное место в вычислительной технике и потому при изучении математики в средней школе истории этих таблиц следует уделять большее внимание, чем это делается до сих пор.

Сообщение учащимся истории возникновения и развитая математических понятий вызывает большой интерес и любовь к предмету и потому должно практиковаться в нашей школе.

ГЛАВА II. Теория математических таблиц

В главе II рассматривается та часть теории конечных разностей, которая имеет непосредственное отношение к построению таблиц: понятие об интерполяции в узком и в широком

смысле слова, свойства конечных разностей и их применение к построению, контролю и исправлению математических таблиц, различные интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона, Гаусса, Стирлинга, Бесселя и возможности их применения к вычислению частных значений некоторых функций.

2. Наиболее подробно рассматривается линейная интерполяция и условия ее допустимости.

Для равномерно изменяющихся функций погрешность значения, полученного при помощи линейной интерполяции, может приближаться к единице разряда последней цифры, но никогда не превосходит это предельное значение, так как эта погрешность складывается на погрешности табличного значения функции, которое не превосходит половины единицы разряда последней цифры, и погрешности поправки, которая тоже не превосходит половины единицы того же разряда. Если же ведется работа при помощи таблицы, выражающей функцию с почти равномерным изменением, то при использовании линейной интерполяции встречается уже три источника погрешностей:

1) Погрешность табличных значений.

2) Погрешность от округления поправки.

3) Погрешность от неравномерности изменения функции.

Полная табличная погрешность интерполированного значения функции при неблагоприятных обстоятельствах может приближаться к 2-м единицам разряда последней цифры. Однако в большинстве случаев действительные погрешности интерполированных значений далеко не достигают этой границы.

Проведенная мною экспериментальная проверка показала, что чаще встречаются погрешности, не превышающие 0,5 единицы последнего разряда, и значительно реже погрешности, большие 0,5. Из 1000 случаев, вычисленных мною при помощи интерполяции четырехзначных логарифмов для интервала (1000, 2000), число отклонений, не превышающих 0,5, составляет 87, а превышающих 0,5—113.

Отклонения найденных мною значений от более точных пятизначных значений логарифмов, взятых по таблице Пржевальского, выражаются так:

Отклонения в

ед. 4 разр. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Число

случаев 107 180 182 174 135 109 51 36 21 5 0

В интервале (1000, 2000) нет ни одного случая отклонения, достигающего 1 последнего разряда.

3. Для определения поправок при линейной интерполяции используют различные вспомогательные средства: табличные разности, пропорциональные части, готовые поправки.

Наиболее приемлемым вспомогательным средством являются готовые поправки, они дают большую экономию во времени, чем другие средства. Интерполяция как прямая, так и обратная выполняется при этом в уме. Для миллионов «учащихся средних школ экономия во времени при работе с таблицами, имеющими ютовые поправки, получается довольно ощутимая, хотя до настоящего времени раздаются голоса против применения в средней школе таблиц с готовыми поправками.

Мотивируются эти выступления, во-первых, тем, что учащиеся не приучаются в школе выполнять интерполяцию, во-вторых, тем, что будто бы готовые поправки дают большие погрешности в интерполированных значениях функций, чем пропорциональные части; высказываются пожелания заменить таблицу с готовыми поправками таблицей с пропорциональными частями.

Проведенная мною экспериментальная проверка некоторых интервалов таблицы логарифмов школьного сборника показала, что применение готовых поправок дает почти такой же результат, как и применение пропорциональных частей, а выигрыш во времени получается настолько большой, что возвращаться к таблицам с пропорциональными частями не имеет никакого смысла.

При вычислении готовых поправок возникает вопрос: вычислять ли их для цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, или ограничиться вычислением поправок для 1, 2, 3, 4, 5 с тем, чтобы поправки по 6, 7, 8, 9 заменить поправками на 4, 3, 2, 1.

При вычислении четырехзначных логарифмов чисел интервала (1000, 2000) я установила, что результат получался лучший при использовании поправок на 5, 6, 7, 8, 9 (на «избыток»), чем при использовании поправок на 5, 4, 3, 2, 1 (на «недостаток»).

В первом случае число отклонений, превышающих 0,5 единицы четвертого знака, составляет 64, во втором случае 135, причем в первом не было отклонений, превышающих 0,9, а во втором случае было десять отклонений в 1, два отклонения в 1,1 и два отклонения в 1,2.

Результат этого эксперимента можно представить таблицей: Отклонен, от

бол. точ. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

1 сл. 43 97 98 87 66 46 28 21 11 4 0 0 0

2 сл. 33 77 85 62 60 48 34 46 20 21 10 2 2

Конечно, эта экспериментальная проверка не дает гарантии, что такая зависимость будет иметь место и в другой таблице, однако, полученные данные ставят под сомнение целесообразность пользоваться только поправками до 5. Если бы поправки до 9 и давали когда-нибудь некоторый проигрыш в точности, то и тогда все-таки удобнее было бы в школьной практике использовать таблицы с поправками до 9, так как это создает единообразие в обращении с таблицами: для возрастающих функций поправки только прибавляются, для убывающих поправки только вычитаются. Аналогичные высказывания могут быть сделаны в пользу поправок на Г, 2Y3', 4', 5' вместо поправок только на Г, 2', 3' при ступени таблицы в 6 минут.

ГЛАВА III. Классификация математических таблиц

Находящиеся в настоящее время в употреблении математические таблицы имеют самый разнообразный характер. Они различаются и по виду функций, и по числу аргументов, от которых зависит функция, ими выраженная, и по принципу их устройства — по числу входов, и по точности значений функции, представленной той или иной таблицей.

1. По характеру функций, которые они выражают, все имеющиеся таблицы можно разделить на два больших класса: класс общих таблиц и класс таблиц специальных. К числу общих таблиц можно отнести таблицы элементарных функций, наиболее часто встречающихся при различных вычислениях. Это таблицы умножения, деления, квадратов, кубов, обратных значений, извлечения корней, таблицы логарифмов и антилогарифмов чисел и тригонометрических функций и многие другие.

К числу таблиц специальных можно отнести такие таблицы, которые применяются в одной какой-нибудь области науки или техники. Группа специальных таблиц является наиболее обширной группой таблиц. Нет ни одной области хозяйства,

где бы не применялись те или иные специальные математические таблицы. Все специальные таблицы можно, в свою очередь, разделить на две категории. Это специальные таблицы узкопрактического характера и таблицы специальных функций. К таблицам первого вида можно, например, отнести таблицы эквивалентных процентных такс, таблицы начисления пени, таблицы начисления трудодней колхозникам и многие другие. К таблицам специальных функций можно отнесли таблицы эллиптических интегралов, таблицы бесселевых функций и многие другие.

2. По числу аргументов таблицы могут различаться как таблицы, функций одного, двух, трех и большего числа аргументов. Наиболее простыми, а в силу этого наиболее употребительными, являются таблицы функций одного аргумента. Таблицы функций, зависящих от двух аргументов, употребляются также довольно часто. По мере увеличения числа аргументов, таблицы настолько усложняются, что практически редко встречаются таблицы функций, зависящих от трех, четырех и большего числа аргументов. А если и встречается необходимость табулировать функцию, например, трех аргументов, то обычно некоторые из аргументов полагают постоянными и потому эта функция трех аргументов превращается в функцию одного или двух аргументов.

3. Большим достоинством таблицы является её компактность и простота устройства, но часто бывает так, что в погоне за компактностью авторы таблиц настолько усложняют их устройство, что трудно бывает производить подыскания или выборку.

В зависимости от числа аргументов и от ступени таблицы её построение может быть самым разнообразным: встречаются таблицы в один, в два, в три и большее число входов.

Из таблиц с тремя входами для школьной практики можно рекомендовать таблицы с готовыми поправками и таблицы умножения О'Рурка. Что же касается таблиц с четырьмя входами, то надо сказать, что уменьшение объема в этом случае достигается очень дорогой ценой. Степень трудности в использовании таблицы настолько возрастает, что рекомендовать такие таблицы для средней школы нет никакого смысла.

4. По степени точности значений табулируемых функций разнообразие таблиц также велико. Встречаются таблицы двух, трех, четырех, пяти, шести, семи, десяти, даже шестидесятизначные. Вычислитель должен заботиться о том, чтобы получить верный результат с минимальной затратой времени,

и потому он должен выбирать такое средство вычислений, которое по точности соответствует приближенным данным. К сожалению, до настоящего времени бывают случаи, когда вычисления производятся или средствами, превосходящими по точности те приближенные данные, которыми вычислитель располагает, или, оперируя с довольно точными данными, вычислитель использует средства, снижающие точность приближенных данных. На соответствие между приближенными данными и средствами вычислений следует обращать внимание в практике преподавания в средней школе.

ГЛАВА IV. Обзор таблиц

Осветить содержание всех находящихся в употреблении математических таблиц невозможно.

В главе IV рассматриваются наиболее употребительные таблицы произведений и сборники таблиц. Обращается внимание на способ построения таблиц и на то, как производить выборку табличного материала.

Из таблиц произведений анализируются таблицы Крелля, Петерса, Циммермана, Нумерова, О'Рурка, Нейшуллера, Асатиани, Галанина, Подтягина, Богомольного, Чудова, Гутермана, Беленького, Яковкина, Купарадзе. Наиболее компактной из всех таблиц произведений является таблица Яковкина М. В. «Таблицы умножения и деления многозначных чисел на двузначные». Наиболее же удобной для употребления в младших классах средней школы является таблица О'Рурка.

Из сборников таблиц рассматриваются таблицы Барлоу, Пржевальского Е., Глазенапа С, Брадиса В. М., Райнова А. В., Сегала Б. Н. и Семендяева К. А., Попова Н. Г.

ГЛАВА V.

История внедрения математических таблиц в преподавание

1. Различные рукописные математические таблицы имели в России широкое распространение еще задолго до начала книгопечатания и до организации государственных школ.

Очень подробно о таких таблицах говорит В. В. Бобынин в своей работе «Очерки истории развития физико-математических знаний в России».

На математические таблицы был большой спрос. Поэтому не случайно первой печатной математической книгой в России были таблица умножения до 100 и на 100, напечатанная в Москве в 1682 году под названием «Считание удобное».

2. Первый русский учебник по математике «Арифметика сиречь наука числительная» Л. Ф. Магницкого, изданный в 1703 году, большое место отводил математическим таблицам. В учебнике рассматривались таблицы сложения, умножения, целых степеней натуральных чисел, большое число астрономических таблиц.

В книгах ученика Л. Магницкого Курганова «Универсальная арифметика» и «Арифметика или числовник» также приводится много различных математических таблиц.

В дальнейшем в школьной практике стали употребляться, главным образом, таблицы логарифмов. Они затмили собой все остальные таблицы. Если в технических учебных заведениях использовались и другие таблицы, общие и специальные, то в средних учебных заведениях вычисления проводились или непосредственно или при помощи таблицы логарифмов.

3. В настоящее время употребляются в средних школах четырехзначные таблицы с готовыми поправками. Интересно отметить, что такие таблицы в России были изданы в первый раз 100 лет тому назад, в 1855 году, в Москве. Составлены таблицы были астрономом Б. Я. Швейцером (директор Московской обсерватории).

В 1921 году появляются четырехзначные таблицы с готовыми поправками профессора Брадиса В. М., изданные Тверским Государственным издательством, которые отличались от таблиц Швейцера более дифференцированными поправками. G 1928 года четырехзначные таблицы с готовыми поправками вошли в жизнь учащейся советской молодежи.

ГЛАВА VI.

Существующее положение с использованием таблиц в преподавании математики

1. Значение математических таблиц как средства вычислений для многообразного нашего хозяйства настолько велико, что трудно его переоценить. При помощи таблиц можно механизировать любое математическое вычисление. В каждой отрасли хозяйства используются свои специальные таблицы. В лесном хозяйстве «кубатурники», в торговом деле — таблицы процентных такс, в финансовом деле — таблицы процент-

ных начислений, таблицы пени и т. д., в сельском хозяйстве — таблицы начисления трудодней, таблицы по животноводству, по полеводству и т. п.

2. Однако до настоящего времени в средней школе мало уделяется внимания математическим таблицам. Таблицы не используются ни как средство вычислений, ни как средство формирования и закрепления новых понятий, ни как способ решения задач. Это отрицательно сказывается вообще на вычислительной культуре учащихся. Многочисленные выступления на страницах журнала «Математика в школе» о результатах вступительных экзаменов в техникумы и ВУЗы говорят о низкой вычислительной культуре учащихся. Тов. Субботин С. Г. (№ 2, 1954 год) отмечает, что вообще окончившие среднюю школу считают вычислительную работу второстепенной, относятся к ней с недопустимым пренебрежением.

3. Основными причинами низкой вычислительной культуры учащихся средних школ являются:

1) отсутствие преемственности между требованиями учителей начальной школы и учителей математики V—VI классов;

2) формальное изучение законов арифметических действий в V классе средней школы;

3) недостаточно чёткая постановка письменных вычислений;

4) отсутствие должного внимания к технике вычислений со стороны преподавателей алгебры, геометрии, тригонометрии;

5) неконкретность требований программы по технике вычислений;

6) недостаточное внимание к технике вычислений со стороны учебников и задачников по математике;

7) нет достаточной мобилизации учителя на выработку более чётких требований к технике вычислений со стороны методической литературы. Журнал «Математика в школе» мало популяризирует хороший опыт преподавания по технике вычислений;

8) неудовлетворительна подготовка оканчивающих педагогические ВУЗы по технике вычислений;

9) нет должного внимания со стороны институтов усовершенствования учителей к переподготовке учителей по технике вычислений;

10) в школе почти полностью отсутствуют вычисления при помощи вспомогательных средств.

На устранение указанных недостатков должно быть направлено внимание школы и советской общественности.

ГЛАВА VII. Математические таблицы в курсе арифметики

1. В преподавании темы 1 «Повторение пройденного в начальной школе» с большим успехом может быть использована таблица умножения. Наиболее подходящей для школы является «Таблица умножения» О'Рурка. Она проста по своему устройству и доступна учащимся. Но знакомство учащихся с таблицами не следует начинать с готовых таблиц. Гораздо полезнее сначала заставить учащихся составить небольшую таблицу умножения, хотя бы до 20 X 20, и при помощи этой таблицы решить ряд примеров и задач. Опыт работы учителей 5-х классов показывает, что учащиеся с большим трудом осваивают законы арифметических действий, поэтому таблицу, составленную самими учащимися, следует использовать для закрепления таких понятий, как переместительный закон умножения, распределительный закон умножения (относительно сложения) и других.

2. При изучении темы «Делимость чисел» очень полезно использовать таблицы для формирования и закрепления математических понятий делителя, кратного, общего делителя, общего кратного, наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного и других. При проведении вступительных экзаменов в Калининский педагогический институт не раз приходилось наблюдать, что знания этих вопросов у окончивших средние школы весьма формальные (не помнят, где «то, которое», а где «то, на которое»). Поступающие не знают, какие числа называются простыми, какие составными, не могут указать разницы между числами простыми и взаимно простыми, не знают, как можно установить, к какому разряду чисел относится некоторое данное натуральное число.

3. При изучении темы «Проценты» таблицы можно использовать и как средство вычислений и как способ решения наиболее трудных задач.

4. В большой степени можно использовать процесс составления таблиц при формировании понятий прямой и обратной пропорциональности, как это делает Н. И. Сырнев («Математика в школе» № 3, 1952 год). При изучении этой темы учащиеся впервые близко знакомятся с элементами функциональной зависимости, с идеей переменности, чтобы эта важная

тема была изучена не формально, а осознанно, чтобы понятия, которые формируются в сознании учащихся в связи с этой темой, соответствовали реальной действительности, а не входили бы с ней в противоречия.

При изучении этой темы очень полезно познакомить учащихся с таблицами, употребляющимися в сельском хозяйстве: таблицами начисления трудодней колхозникам, таблицами по животноводству и другими. В диссертации приводится ряд задач, которые можно решать при помощи таких таблиц.

В этой же главе рассматривается решение табличным способом ряда задач, аналитическое решение которых обычно затрудняет учащихся.

ГЛАВА VIII. Математические таблицы в алгебре

Так же как и в других предметах школьного преподавания, математические таблицы в алгебре могут служить и хорошим вспомогательным средством вычисления — это готовые таблицы, и прекрасным средством обучения математической теории и методом для решения наиболее трудных задач — это таблицы, составленные самими учащимися.

Использование готовых таблиц квадратов, кубов, обратных значений, извлечения корней, логарифмов, антилогарифмов и других дает возможность рационализировать вычисления, увеличить число задач, решаемых учащимися, усилить связь между алгебраической теорией и практикой, что особенно важно в преподавании алгебры.

Составление таблиц самими учащимися имеет большое общеобразовательное значение: способствует развитию математического мышления, самостоятельности, инициативы, успеваемости, а также повышает их интерес к предмету. Влияние изменений компонентов арифметических действий на результат действий нагляднее всего можно показать при составлении таблицы изменения результата в зависимости от изменений компонентов. Понятия коэффициента, степени, показателя степени и т. п. лучше всего усваиваются учащимися в процессе составления ими соответствующих таблиц и их использования.

В развитии идеи функциональной зависимости, особенно в V, VI, VII классах, когда понятие функции еще не определено, большое значение надо отвести математическим таблицам. Таблица может служить и способом задания функции и средством для конкретного выражения зависимости между

переменными величинами. Программа и учебник мало внимания уделяют математическим таблицам в алгебре.

В главе VIII рассматривается методическая разработка введения таблиц квадратов, кубов, обратных значений, извлечения корней, таблицы логарифмов; приводятся примеры и задачи, при решении которых с успехом могут быть использованы таблицы.

Большое внимание обращается на применение связно-функциональных таблиц, которые употребляются очень редко, могут быть использованы очень эффективно. Пусть, например, требуется составить таблицу значений функции: у = - для значений аргумента х, изменяющихся на сегменте [0,1] через 0,1.

Если при составлении этой таблицы использовать таблицы квадратов, извлечения корней, обратных значений произведений, то на вычисление уходит минут 6—7.

Если же положить х = tg« , тогда у = Sin« и тогда значения у находятся сразу по таблице натуральных тригонометрических функций.

На вычисление таким способом уходит в шесть раз меньше времени и значения функции получаются более точными.

ГЛАВА IX. Математические таблицы в геометрии

При решении геометрических задач на вычисление следует заботиться о том, чтобы техническая сторона вычислений не заслоняла собой стройности геометрических рассуждений, и потому необходимо использовать все способы рационализации вычислений. Большое место при этом должны занимать математические таблицы. Многочисленные наблюдения над работой средней школы показали, что и при решении геометрических задач в настоящее время используются главным образом только таблицы логарифмов. При решении же задач геометрического характера в VI, VII, VIII, IX классах обычно не используется никаких вспомогательных средств вычислений. Правда, стабильный задачник составлен так, что он и не требует применения вспомогательных средств вычислений, но зато и не приучает учащихся к решению реальных задач.

В диссертации излагается, каким образом могут быть использованы таблицы длины окружности, площади круга,

радианной меры угла и другие в решении задач геометрического характера.

Кроме того, в этой главе рассматривается вопрос, который почти не используется в практике школьного преподавания, а имеет большое образовательное значение — это составление калибровочных таблиц для различных форм сосудов. Такие таблицы широко распространены во всех предприятиях, имеющих дело с получением и отпуском жидких веществ, и поэтому должны быть изучены в школе. Их назначение давать объем жидкости, находящейся в сосуде любой формы, замером только одной высоты уровня жидкости. Составление таких таблиц следует практиковать.

ГЛАВА X.

Математические таблицы курсе тригонометрии

В преподавании курса тригонометрии математические таблицы играют значительно большую роль, чем в преподавании всех других математических предметов. Если выполнение действий умножения, деления, возведения в квадрат, в куб, извлечение квадратного корня затруднительно без применения таблиц, но возможно, то вычисление тригонометрических функций на первых порах изучения тригонометрии невозможно, и потому при решении различных задач мы пользуемся готовыми таблицами натуральных тригонометрических функций. Хотя при объяснении понятия тригонометрической функции в VIII классе мы и пользуемся графическим методом вычисления тригонометрических функций, но рекомендовать его при решении любой задачи нельзя (и потому, что требует много времени, и потому, что дает недостаточную точность).

Действующая в настоящее время программа по математике предусматривает знакомство с таблицами натуральных тригонометрических функций в 8-м классе, в курсе геометрии, при изучении темы «Тригонометрические функции острого угла» и с 4-значными логарифмами тригонометрических функций, в 9-м классе, в курсе тригонометрии. И программой и учебником отдается явное предпочтение таблицам логарифмов тригонометрических функций, поэтому и учителя воспитывают у учащихся такое представление, будто в любом случае жизни наиболее мощным средством вычисления являются таблицы логарифмов чисел или логарифмов тригонометрических функций.

В самом деле это далеко не так. Можно указать много примеров, когда значительно выгоднее использовать таблицы натуральных тригонометрических величин или таблицы радианной меры угла, а не таблицы логарифмов тригонометрических функций. Автор приводит ряд примеров, где значительно целесообразнее использовать одни таблицы и менее выгодно другие, и подчеркивает необходимость воспитывать у учащихся стремление пользоваться наиболее рациональными вспомогательными средствами при различного рода вычислениях.

ГЛАВА XI.

Подготовка учителя в педагогическом ВУЗе

1. Существующее положение с подготовкой учителя по технике вычислений нельзя считать удовлетворительным. Действующая в настоящее время программа по элементарной математике мало места отводит технике вычислений, особенно это относится к таблицам. В практике преподавания, некоторые преподаватели вопросам техники вычислений отводят еще меньше места, чем сама программа. Приходилось наблюдать случаи, когда знакомству с таблицами отводилось от получаса до часа времени.

Другие математические курсы пединститутов почти совсем не уделяют внимания технике вычислений. Математические таблицы и другие вспомогательные средства вычислений мало используются в практике преподавания математических предметов в педагогическом ВУЗе. Отсюда понятно то пренебрежительное отношение к вычислениям у учащихся, о котором говорил С. Г. Субботин («Математика в школе» № 2, 1954 г.). Сами учителя мало подготовлены по технике вычислений и потому не воспитывают у учащихся интереса к ним. Представляется совершенно очевидным, что такое положение с подготовкой учителя по технике вычислений не может быть терпимым в настоящее время.

2. В данной главе рассматривается, как следует поставить подготовку учителя в педагогическом ВУЗе в области техники вычислений.

Обращается внимание на постановку отдельных курсов и на оборудование математических кабинетов.

Дается план проведения экскурсии студентов в цех механизированного учета крупного предприятия, по которому проводились экскурсии студентов в Калининском педагогическом институте.

Дается тематика курсовых работ по технике вычислений, которая предлагалась автором студентам Калининского педагогического института.

ГЛАВА XII.

Описание опыта учебной и внеклассной работы с математическими таблицами и другими вспомогательными средствами вычислений

Экспериментальная работа по проверке основных положений диссертации проводилась автором в течение ряда лет.

В задачу этой работы входило выяснение отношений учителей и учащихся к вопросам вычислительной техники и установление наиболее приемлемых форм работы с учащимися и учителями. Автором проводились и систематические занятия по математике в школе с внедрением вспомогательных средств вычислений и эпизодические выступления перед учителями и учащимися.

В средней школе № 6 города Калинина проводились занятия математического кружка по теме: «Вспомогательные средства вычислений» для учащихся 9-х классов. В средней школе № 4 проводились занятия математического кружка для учащихся 6-х классов по теме: «Математические таблицы и арифмометр». В средней школе № 3 рабочей молодежи по рекомендации автора проводила занятия по математике с учащимися 5-х, 6-х, 7-х классов учительница Н. Н. Политова. В средней школе № 13 под руководством автора проводили занятия с учащимися 8-х и 10-х классов студенты физико-математического факультета КГПИ. Кроме того, автором в течение ряда лет проводились занятия по вычислительной технике в Калининском Пединституте, в Военной Академии, в институте усовершенствования учителей.

Все это дало автору возможность убедиться в приемлемости выводов и осуществимости предложений диссертации.

Занятия с учителями показали, что многие учителя с большим интересом относятся к рекомендациям диссертации и если до сих пор не проводили этого в школе, то только потому, что не знали, что можно так увлечь учащихся счётными приборами и таблицами. Учителя же, которые начали уделять большее внимание счётным таблицам и приборам, убедились сами, что это мероприятие очень положительно сказывается на успеваемости учащихся. Например, учительница 9-х классов средней школы № 6 гор. Калинина М. А. Федорова рассказывает, что

ранее тему «Логарифмы» у неё учащиеся усваивали с трудом, в результате чего в классе было много неуспевающих учащихся «именно по этой теме. После работы математических кружков, где были рассмотрены различные таблицы и счётные приборы, таблицы логарифмов усваивались безо всякого труда всеми учащимися и сама теория логарифмов не затрудняла учащихся. Впоследствии М. А. Федорова стала практиковать для всех учащихся рассмотрение таблиц и различных счётных приборов. Учительница средней школы № 4 Н. С. Истомина также изменила свое отношение к вопросам счётной техники и стала значительно больше уделять внимания вспомогательным средствам вычислений. И по ее наблюдениям это мероприятие повысило интерес к предмету не только со стороны хорошо успевающих учащихся, но и со стороны средних и даже слабо успевающих учеников и повлияло вообще на улучшение успеваемости по математике.

Учительница средней школы рабочей молодежи № 3 г. Калинина Н. Н. Политова на совещании преподавателей школ рабочей молодежи г. Калинина поделилась своим опытом внедрения вспомогательных средств вычислений в практику преподавания в целях повышения успеваемости и получила одобрение всех присутствующих.

В главе XII настоящей диссертации излагается опыт работы автора и некоторых преподавателей г. Калинина по внедрению вспомогательных средств вычисления в практику преподавания.

Заключение

Резюмируя ранее сказанное, приходим к следующим основным выводам:

1. Среди вспомогательных средств вычислений математические таблицы занимают одно из важных мест и их значение не снижается распространением счётных приборов, вычислительных машин, номограмм, поэтому средняя школа должна привить учащимся навыки сознательного использования математических таблиц при всякого рода вычислениях.

2. Математические таблицы в школе следует рассматривать, в первую очередь, как прекрасное вспомогательное средство вычислений. Поэтому желательно применять готовые таблицы на каждом году обучения, выясняя, какую экономию во времени они дают.

3. Кроме того, математические таблицы в школе могут быть использованы для формирования и закрепления очень многих

математических понятий, причем здесь большую роль играют не готовые таблицы, а таблицы, составленные самими учащимися, так как весьма поучителен самый процесс составления таблиц.

4. Некоторое место следует отвести табличному методу в решении задач, аналитическое решение которых затрудняет учащихся.

5. Знакомство с готовыми таблицами и процесс составления таблиц способствует развитию идеи функциональной зависимости.

6. Применение математических таблиц на каждом году обучения освобождает много времени, которое можно употребить на лучшее уяснение математической теории и на решение практически необходимых задач.

7. Систематическое употребление таблиц способствует выработке у учащихся стремления находить наиболее экономные способы всякого рода вычислений.

8. Использование математических таблиц является одним из важных средств повышения интереса к предмету и потому влияет на улучшение успеваемости учащихся.

9. Учитывая большое значение таблиц в математическом образовании учащихся, программа и учебники по математике должны уделить больше внимания математическим таблицам.

10. Для лучшей организации работы в школе соответствующим образом должен быть подготовлен учитель и потому крайне желательно включение в планы физико-математических факультетов пединститутов специальных вычислительных практикумов, в частности, усиление внимания вопросам параболической интерполяции.

11. Через институты усовершенствования учителей следует провести переподготовку учителей по вопросам техники вычислений.

12. Усиление внимания вопросам счётной техники полностью соответствует целям политехнического обучения.