МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

Е. Ф. ДАНИЛОВА (учительница средней школы № 1 города Калинина)

КАК ПОМОЧЬ УЧАЩИМСЯ НАХОДИТЬ ПУТЬ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ—ЧЛЕН-КОРРЕСПОНДЕНТ АПН РСФСР, ПРОФЕССОР В. М. БРАДИС

г. Ленинград 1959 год

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: Профессор И. Я. ДЕПМАН

Кандидат педагогических наук А. И. ПОСПЕЛОВ

Защита состоится в Ленинградском государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград, Мойка 48-1959 года

Автореферат разослан „-а_1959 года

Ответственный редактор—В. М. БРАДИС.

Значение обучения учащихся решению задач. В любой отрасли народного хозяйства многим работникам приходится ежедневно решать различные математические задачи. Но умение решать задачи имеет не только практическое значение. Решение задач школьного курса математики является средством обучения, помогает усвоению курса, способствует развитию логического мышления и воспитанию таких полезных качеств мысли и ее выражения, как логичность, точность, краткость, ясность. Все это говорит о том, что обучение учащихся решению задач имеет большое практическое, воспитательное и образовательное значение.

Положение в школе с самостоятельным решением задач. Навыки в решении задач приобретаются, начиная с первого класса школы, и роль школы в обучении учащихся решению задач является ведущей. Однако, в этой области в работе школы имеются серьёзные пробелы, так как навыки самостоятельного отыскания решений задач у учащихся продолжают оставаться недостаточными. Об этом говорят многочисленные факты, на которые указывает Министерство просвещения РСФСР, например, в сборнике приказов и инструкций №№ 12—18, 1957 г.*) Кроме того, неблагополучие с решением задач отмечают лица, проводящие экзамены в техникумах и в вузах страны. Этот материал имеется в статьях, регулярно помещаемых в журнале «Математика в школе»**). особенно плохо учащиеся решают задачи по геометрии. При этом речь идет не о тех учащихся, которые являются неуспевающими в силу запущенности ими материала и недобросовестного отношения к заданиям, а о той части школьников, которая систематически и добросовестно учит материал, внимательна на уроках и имеет желание овладеть техникой самостоятельного отыскания решений задач. Безусловно, на знаниях учащихся, на глубине и прочности их отражается все ещё имеющаяся перегрузка программ и чрезмерная занятость учащихся. Но не это является решающим. Главная причина в том, что вопрос обучения учащихся самостоятельному отысканию решений задач не получил должного разрешения в методической литературе. В этой части в методической науке имеется пробел. Наш учащийся часто не знает;как приняться за решение той или другой задачи, и тратит много времени на поиски пути решения. Без сомнения, самостоятельное отыскание решений задач не является легким делом для учащих-

*) Сборник приказов и инструкций Министерства просвещения РСФСР, №№ 12—18, 1957 г., Развитие логического мышления учащихся в процессе преподавания математики в средней школе.

**) С. М. Чуканцов, О математической подготовке оканчивающих среднюю школу. Математика в школе, 1955 г., № 2.

И. Ф. Суворов, О знаниях по математике выпускников средней школы. Математика в школе, 1956 г., № 2,

ся, но опыт отдельных учителей, добивающихся хороших результатов, убедительно говорит о том, что трудности, которые встречают на своем пути учащиеся, преодолимы. И неудовлетворительное положение с решением задач, говоря словами Н. И. Лобачевского, «по справедливости должно преписать недостаткам в искусстве и способе преподавания».*)

Создавшееся положение с решением задач вызывает законную тревогу преподавателей математики. Это подтверждается обилием литературы, посвященной рассмотрению вопроса о путях улучшения самостоятельной работы учащихся по решению задач. Ярким выражением стремления вскрыть причины этого положения, коренным образом улучшить методику обучения учащихся решению задач, оказать помощь учителю в достижении хороших результатов являются работы Пойа (Полиа): статья на немецком языке «Как находят решения математических задач?»**) и книга, недавно появившаяся в русском переводе: «Математика и правдоподобные рассуждения»***). В этих работах Д. Пойа показывает роль индукции, аналогии, наблюдения, гипотезы и эксперимента в деле отыскания решений задач; он говорит (в книге), что обучая математике, надо учить и доказывать и догадываться: «Сначала догадайтесь, потом докажите V (стр. 108). Большое значение придается владению общими методами доказательства, и в частности, аналитическими. Кроме того, приводятся правила, советы и указания, постоянное применение которых облегчит отыскание путей решения задач.

Цель и содержание диссертации. Приведенные соображения указывают на серьёзную необходимость разработки методики обучения учащихся решению задач. С этой целью и была написана настоящая диссертация. Учитывая, что особенно плохо обстоит дело с решением геометрических задач, я ограничила рамки диссертации исследованием возможности улучшения методики обучения учащихся решению геометрических задач. Считая, что самостоятельное отыскание доказательств теорем школьного курса геометрии несравненно полезнее, чем заучивание готовых доказательств, я отождествляю понятия «теорема» и «задача на доказательство», и при отыскании доказательств теорем рассматриваю их как задачи на доказательство.

Для достижения цели, поставленной в диссертации, потребовалось:

1. Изучить состояние с навыками решения различного рода геометрических задач у учащихся средних школ. Результаты этого изучения освещены в диссертации в § 3 Введения.

2. Изучить состояние обучения учащихся доказательству теорем и решению другого рода геометрических задач. С этой целью я ознакомилась с работой ряда учителей города и области путём посещения их уроков

*) Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, том IV, стр. 369, ГИТТЛ, 1948 г.

**) Г. Полиа, Как находят решения математических задач? Цайтшрифт фюр математишен унд натурвитгеншафтлихен унторихт аллер шульгаттунген, ярганг, 1932, 4 хефт.

***) Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения. ИИЛ, 1957 г.

как коллег по работе и по поручению Гороно. а также путём беседы с учителями, состоящими студентами-заочниками педагогического института.

3. Изучить литературу, отражающую опыт передовых учителей по обучению учащихся решать задачи. Обзор всей изученной литературы дан в Приложении.

4. Установить нормальные требования, которые должны быть предъявлены к решению задач, и, самое главное, выявить воможность такого обучения учащихся геометрии, которое обеспечит творческую работу учащихся на уроках, и во многих случаях позволит им самостоятельно обнаружить то или иное свойство фигуры.

Результаты этого изучения изложены в I и II главах диссертации, а обзор литературы дан в Приложении.

5. Привести в систему аналитико-синтетические методы, дедуктивного обоснования решений задач, обеспечивающие сознательное отыскание решений задач учащимися. Этому посвящена III глава диссертации.

6. Привести в систему частные методы, приёмы, правила, знание которых поможет учащимся отыскивать решения задач. Этому посвящены IV и V главы диссертации.

7. Выяснить практическую возможность наглядно-индуктивного введения теорем и широкого применения аналитических методов для отыскания дедуктивного обоснования решений задач любого рода. Освещение этих вопросов дается в VI и VII главах диссертации.

В результате проведённого исследования была разработана серия предложений, направленных к улучшению существующего положения.

ГЛАВА I. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В этой главе я останавливаюсь на тех требованиях, которые должны быть предъявлены к решению любой геометрической задачи: на доказательство, построение, вычисление и на разыскание геометрических мест.

Я различаю два смысла термина «решение» задачи. Решением задачи в узком смысле слова я называю ее ответ, т. е. искомое число, если речь идет о задаче на вычисление, искомую фигуру, если речь идет о задаче на построение и т.д. В широком смысле слова решением задачи называется весь процесс перехода от данных к искомым. Этот процесс состоит из нескольких этапов. Обычно в методической литературе говорится об этапах решения задач на построение и указываются четыре этапа его: анализ, построение, доказательство и исследование. Этапы решения задач другого рода не рассматриваются. Однако в решении любой геометрической задачи следует различать шесть этапов. Первый этап состоит в том, что нужно ясно понять сущность задачи. Для этого надо выяснить смысл терминов, встречающихся в тексте задачи, заменяя понятия их определениями, выделить данные и искомые задачи, сделать чертёж, удовлетворяющий условию задачи, произвести соответствующие записи, желательно с применением идеограмм (символов), расчленить задачу на части, если она содержит несколько вопросов, изменить формулировку задачи, придав ей наиболее удобную форму. Первый этап является очень важным и обя-

зательным при решений любой задачи. От качества его проведения зависит успех дальнейшего хода решения. Иногда этот этап является единственным, если задача проста, и при достаточно ясном представлении её сущности легко обнаруживается логический переход от данных к искомым. В том случае, когда искомую величину непосредственно найти не удаётся, вторым этапом решения задачи будет составление плана перехода от данных к искомым путём сведения данной задачи к другой, второй — к третьей и т. д., до тех пор, пока задача не будет сведена к непосредственно решаемой. Составление плана решения является самым главным этапом при решении сложных задач. Составление плана решения конструктивной задачи происходит путём получения следствий в предположении, что искомая фигура построена. В случае задач на доказательство составление плана легче всего осуществить путём отыскания достаточных признаков справедливости заключения, а при решении задач на вычисление — с помощью составления формулы для отыскания неизвестной величины. Третий этап состоит в выполнении намеченного плана. При этом фактически выполняются построения и расчёты, что даёт возможность получить искомое в действительности. Третий этап не всегда выделяется при решении задач на доказательство. Четвертым этапом решения задачи является доказательство. Этот этап в задачах на построение, на доказательство и на геометрические места выделяется в самостоятельную часть. В задачах на вычисление доказательство как самостоятельный этап не выделяется, но он является органической частью составления плана. Ниодин вывод при решении этих задач не может быть сделан без соответствующего дедуктивного обоснования. Пятым этапом решения является исследование решения. Этим обеспечивается исчерпывающий характер решения. Исследование является обязательным этапом при решении любой задачи и характер его зависит от рода задачи. Шестым этапом является проверка. Этот этап особенно необходим, так как неверное решение обесценивает работу. Проверка должна быть, во-первых, интуитивной, когда каждый шаг решения проверяется с точки зрения реальности результатов. Во-вторых, проверка должна быть логической. При этом нужно убедиться, что решение является обоснованным.

Решение задачи, понимаемое в широком смысле слова, должно удовлетворять ряду обязательных требований, выдвинутых профессором В. М. Брадисом.*) Оно должно быть: 1) правильным, т. е. иметь ответ, удовлетворяющий всем требованиям задачи; 2) обоснованным и 3) исчерпывающим. Невыполнение первых двух требований обесценивает работу, невыполнение третьего требования делает решение неполноценным. Кроме того, желательно, чтобы решение задачи удовлетворяло следующим дополнительным требованиям: было по возможности рациональным и простым, надлежащим образом оформлено, чтобы был ясен путь решения, чтобы было сделано обобщение решённой задачи.

В этой главе приведены идеограммы, позволяющие выразительно и экономно, с помощью символов, записывать различные суждения. Среди

*) В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, стр. 60. Учпедгиз, 1951 г.

рекомендуемых идеограмм, помимо общепринятых, указаны новые, например, обозначение центральной и осевой симметрии, углов со взаимно-перпендикулярными и параллельными сторонами, сегмента, построенного на данном отрезке и вмещающего данный угол, гомотетии с центром в некоторой точке и данным коэффициентом гомотетии, изображение плоскости, определяемой некоторыми элементами, и другие. Приведены примеры оформления решений задач с помощью идеографической записи.

ГЛАВА II. ВВЕДЕНИЕ ТЕОРЕМ И ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ЧЕРЕЗ ОПЫТ И НАБЛЮДЕНИЯ.

Умение решать задачи в значительной степени зависит от понимания и сознательного усвоения теорем. Учитывая трудности изучения геометрии учащимися 12—17 лет по стабильному учебнику, учитель должен так строить классные занятия, чтобы создать тот мост, который подведёт учащихся к пониманию теорем и доказательств, приведенных в учебнике. Рекомендуется следующий порядок изучения геометрических фактов. Первым этапом при введении новой теоремы должен являться эксперимент, как это делается на уроках физики, химии, биологии. Он проводится непосредственно на уроке или дома. С этой целью применяются подвижные модели,решаются задачи с числовыми данными,проводятся измерения, сравниваются фигуры путем наложения, перегибания их, выполняются чертежи, соответствующие условию задачи. Проведённый опыт, наблюдение частного случая наводит учащихся на догадку о существовании той или иной зависимости между элементами фигуры. Замеченная закономерность самостоятельно формулируется учащимися в виде некоторой догадки, гипотезы. Второй этап изучения состоит в творческих поисках дедуктивного обоснования высказанной гипотезы, и третий—в проверке полученных выводов на ряде частных случаев. При помощи конкретно-индуктивного метода учащиеся могут быть подведены ко всем теоремам, изучаемым в курсе геометрии.В книге «Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач», в которой отражено основное содержание диссертации, рассмотрены различные приемы индуктивного введения теорем в 6—10 классах, а в некоторых случаях и отыскание их доказательств и решений задач.

Во II главе диссертации показано применение подвижных моделей, некоторые из которых были созданы в период проведения эксперимента. Например, модель для наблюдения пересечения трех медиан любого треугольника, для изучения свойства углов с соответственно перпендикулярными сторонами, для установления признака перпендикулярности прямой к плоскости, для выяснения свойства прямой, перпендикулярной к проекции наклонной или к наклонной, модель, помогающая найти решение задачи о пересечении призмы, в основании которой лежит ромб, плоскостью так, чтобы в сечении получился квадрат, и другие.

В этой главе я показываю, что не меньшее значение, чем эксперимент, имеют (применяемые перед введением теоремы) решения целесообразно подобранных задач и использование аналогий. Они во многих случаях позволяют подвести учащихся к переоткрытию теоремы, сознательному

восприятию сущности её и к самостоятельному отысканию способа доказательства.

Такое введение теорем, при котором учащийся творчески участвует в переоткрытии её, имеет большое педагогическое значение, так как обеспечивается лучшее понимание теоремы, связанное с конкретными образами, прочное и сознательное усвоение её, создаётся возможность избежать главного недостатка в преподавании геометрии — догматизма и формализма, позволяет учащемуся перейти от рассказа учителя к работе над учебником. Опасения некоторых учителей, что применение моделей требует дополнительного времени, неосновательны. Демонстрация модели, наблюдение, измерение или сравнение фигур ( если проводятся не дома, а в классе), получение выводов занимают от 2 до 5 минут. Зато дальнейшая работа по отысканию пути дедуктивного обоснования высказанной гипотезы идет в быстром темпе, при полном понимании сущности теоремы учащимися и при активном участии их.

ГЛАВА III. ПОИСКИ ДЕДУКТИВНОГО ОБОСНОВАНИЯ

Отыскание решений задач идёт двумя путями, неразрывно связанными друг с другом: индуктивным и дедуктивным. Очень важно, во-первых, подвести учащихся к пониманию того, что всякий вывод, полученный при помощи индукции и интуиции, как бы ни был он очевиден, является спорным, условным, ненадежным. Этот вывод становится надежным, неоспоримым и достоверным только после строгого дедуктивного доказательства. Полезно на примерах показать учащимся, что результаты измерений неточны, а выводы, полученные путем рассуждений, надежны и убедительны. Во-вторых, чтобы научить учащихся самостоятельно отыскивать доказательства теорем и решения задач другого рода, необходимо вооружить учащихся знанием общих методов отыскания решений задач и дедуктивного обоснования выводов. Для успешного решения этого вопроса надо, чтобы сами учителя имели ясное представление о методах, что, к сожалению, не всегда имеет место. Вопрос об общих методах является самым заброшенным в методике математики.

Мною рассмотрены общие аналитико-синтетические методы отыскания истины, указана сущность каждого метода, его достоинства и недостатки, условия наиболее эффективного применения каждого к отысканию решений задач разного рода. Приведены правила, к которым сводится практическое применение методов.

Процесс отыскания решения задачи состоит из анализа и синтеза, которые выступают в диалектическом единстве, поэтому и методы решения задач называются аналатико-синтетическими. В зависимости от того, что является исходным моментом решения задачи: данные, искомые или попеременно то данные, то искомые, различают соответственно три вида аналитико-синтетических методов: синтетический, аналитический и метод попеременного движения с обоих концов. Принятые в литературе названия — синтетический и аналитический — не являются удачными, так как не отражают суть метода. Аналитический метод проявляется в четырёх формах; 1) восходящий анализ, 2) алгебраический анализ,

3) нисходящий анализ, 4) математическая индукция. Нисходящий анализ имеет две разновидности: а) несовершенный анализ и в) метод доказательства от противного. Метод попеременного движения с обоих концов предполагает преобразование данных путем получения из них следствий и преобразование искомых. Возможны следующие пути преобразования искомых. В случае решения задач на доказательство: а) отыскивать достаточные условия справедливости заключения, б) предположить, что заключение ложно, а верно противоречащее ему заключение, из которого получать следствия, в) допустить, что заключение верно, и получать вытекающие отсюда следствия. В случае решения задач на построение допустить, что фигура построена, и получать вытекающие отсюда следствия, или составить формулу для отыскания искомой величины и преобразовывать её. Последнее преобразование применяется и при решении задач на вычисление.

Для отыскания решений задач на доказательство наиболее приемлемым является метод восходящего анализа, схема применения которого очень проста. Единственную трудность составляет отыскание достаточных условий справедливости заключения. Чтобы облегчить учащимся отыскание их, следует составлять перечни доказанных предложений, известных аксиом и определений, собирая в одном перечне те предложения, с помощью которых доказывается, например, равенство отрезков, во втором— те, с помощью которых доказывается равенство углов и т. д. Для решения задач на вычисление следует применять алгебраический анализ, а для составления плана решения конструктивных задач — несовершенный анализ или алгебраический анализ. Для отыскания пути решения некоторых задач на доказательство следует применять несовершенный анализ. Большое применение в школе должен иметь метод доказательства от противного. Для решения наиболее грудных задач должен применяться метод попеременного движения. Метод математической индукции имеет небольшое применение. Синтетический метод в силу его особенностей не является методом отыскания решений. Он должен иметь весьма ограниченное применение и служить для изложения решений, найденных с помощью одного из аналитических методов, применяться при повторении теорем и для отыскания решений простейших задач. В книге «Как помочь учащимся...» показано применение этих методов к решение различных задач в 6—10 классах.

В этой III главе обращается внимание читателя на то,что полезно обучать учащихся находить решения задач на вычисление не только алгебраическим методом, но и с помощью построений на чертеже. В этом случае численные решения задач получаются путём графических построений. На ряде примеров показаны достоинства графического метода: его простота,доступность; применение его требует меньших знаний по теории, поэтому многие задачи 8—10 классов графическим методом могут быть решены учащимися 6—8 классов; дает достаточную точность. Он представляет большую образовательную ценность, как средство, способствующее лучшему пониманию и усвоению теории; он имеет практическую ценность, так как очень часто инженер, техник, топограф и другие решают задачи на вычисление графическим методом.

ГЛАВА IV. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ.

Знание общих аналитических методов решения задач значительно помогает учащимся в самостоятельных поисках решений. Но имеются задачи, отыскание решений которых представляет большие трудности, если ограничиться применением общих методов, и оно значительно облегчается, если воспользоваться специальными методами: геометрическими преобразованиями и методом геометрических мест. Чаще всего эти методы применяются при решении конструктивных задач, но их целесообразно применять и при решении задач другого рода. В диссертации и в книге «Как помочь учащимся...» для иллюстрации приведены соответствующие примеры.

Чтобы помочь учащимся самостоятельно решать вопрос о выборе наиболее пригодного преобразования, полезно сообщать им те мотивы, которыми следует при этом руководствоваться. Например, метод симметрии целесообразно применять к решению задач, в которых говорится о биссектрисе угла или о другой прямой, которую можно принять за ось симметрии; его полезно применять при решении задач на отыскание наименьших значений величин. Метод спрямления удобно применять к решению тех задач, в которых говорится о сумме или разности некоторых отрезков; в этом случае обязательно надо ввести эту сумму или разность в чертёж, а потом отыскивать решение. Параллельный перенос применяется, главным образом, в том случае, когда отыскание решения задачи становится затруднительным вследствие разобщенности или отсутствия части данных или искомых на чертеже, или такого расположения их, при-котором они частично входят в рассматриваемую фигуру. В этом случае следует совмещать равные линии и углы, вводить в фигуру данные и искомые суммы или разности сторон, углов, располагать данные части так, чтобы они образовали фигуру, обладающую наибольшим числом известных элементов.

Применение метода подобия и геометрических мест к решению задач различного рода общеизвестно. Следует иметь в виду, что необходимо знание всех методов, указанных в этой главе, так как стремление пользоваться одним методом при решении различных задач создаёт лишние трудности и искусственность. Они легко устраняются, если применить к решению задачи тот метод, который является наиболее подходящим в данном случае.

ГЛАВА V. ПРАВИЛА, СОВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И НАПОМИНАНИЯ.

Успешное решение задач в значительной степени зависит от знания общих и частных методов и умения применять их. Но этого недостаточно. Каждый учитель в своей практике имел возможность неоднократно убедиться, что при самостоятельном решении задач учащиеся нуждаются в более конкретной помощи. Она должна выражаться в сообщении учащимся различных приёмов отыскания решений задач, частных правил, технических советов, предостережений, напоминаний и других указаний, которые в затруднительных случаях помогут направить мысль учащихся по

верному пути. В этой главе изложены такие правила. Они представляют собой перечисление главных установок, которые должны быть усвоены учащимися. Они полезны и учителю. Сконцентрированные и систематизированные определенным образом, они являются методическим пособием, своеобразной памяткой для учителя. Отдельными правилами и меткими советами учитель должен пользоваться, чтобы постоянно давать учащимся стереотипные указания, предупреждения, вырабатывая, таким образом, твердые навыки отыскания решений задач. Правила вытекают из сущности решения геометрических задач, как логического перехода от данных к искомым; они разработаны с учётом психологии восприятия геометрических знаний учащимися, в соответствии с требованиями методики обучения и учётом ошибок, допускаемых учащимися. Отмечу основные причины, которые препятствуют отысканию решений элементарных задач.

1) Учащиеся слишком поспешно приступают к доказательству, построению и расчёту, не осознав содержания задачи, не выделив данные и искомые не осмыслив математической сущности вопроса задачи, не уяснив себе, чем они располагают, чтобы осуществить логический переход от данных к искомым.

2) Часто учащиеся приступают к выполнению чертежа и решению, не проверив себя, знают ли они точный смысл тех слов и понятий, о которых говорится в задаче: медиана, высота, квадрат и т. д.

3) Делают чертёж, соответствующий частному случаю, не указанному в задаче.

4) Не полностью используют данные задачи, особенно, если они представляют собой суммы или разности отрезков, углов и др. величин.

5) Делают необоснованные выводы.

Допускают и другие ошибки, о которых сказано в диссертации.

Предлагаемые правила разбиты на шесть групп в соответствии с шестью этапами решения задачи: I Усвоение условия задачи. II Составление плана. III Выполнение плана. IV Обоснование решения. V Исследование решения. VI Проверка.

Выполнение правил I группы обеспечивает ясное понимание сущности задачи. Отмечу три основных правила этой группы: 1) Заменить понятия, встречающиеся в тексте задачи, их определениями. Это знаменитое правило Паскаля. Оно является самым важным для ясного понимания задачи. Очень часто учащиеся говорят, что задача непонятная, а при проверке оказывается, что они не понимают значений некоторых слов. Замену понятий их определениями надо требовать от учащихся постоянно. Расхода времени на это не следует бояться, так как в дальнейшем, уяснив смысл всех встречающихся понятий, учащиеся легче справляются с решением задачи.

2) Чётко выделить и записать данные и искомые задачи, включая в запись не понятия, а суждения о них, например, не писать АЕ-^биссектриса угла ABC, АН—высота треугольника ABC, а исходя из определения биссектрисы, написать равенство углов, исходя из определения высоты, написать перпендикулярность отрезков. Такая запись целесообразна, так как она непосредственно может быть использована при решении задачи.

Выделение данных и искомых даёт возможность учащимся ясно видеть, чем они располагают, чтобы обеспечить логический переход от данных к искомым. Кроме того, выделение данных напоминает учащимся о полном использовании их при отыскании решения задачи. Большое внимание должно быть уделено записи искомого. Р. Декарт рекомендует искомое обозначить настолько ясно, чтобы для нас было совершенно очевидным, что искать надо именно эту вещь, а не какую-либо другую.

3) Сделать чертёж, удовлетворяющий условию задачи; не брать частных случаев, если они прямо не указаны. Отметить равные части, прямые углы.

Правила II группы напоминают, какими приёмами следует воспользоваться, чтобы составить план перехода от данных к искомым: расчленить задачу на части, если она содержит несколько вопросов; выяснить, не является ли задача непосредственно решаемой; выяснить, введены ли все данные и искомые элементы в чертёж; искать идею решения путём эксперимента, рассмотрения чертежа, путём проведения вспомогательных линий, связанных с определениями понятий, упоминаемых в задаче. Нельзя ли преобразовать данные, искомые? Ряд правил напоминает о применении общих и специальных геометрических методов к отысканию решений задач.

Следование правилам III группы помогает учащимся правильно выполнять намеченный план. Отмечу два правила: 1) употреблять точные формулировки определений и математических предложений, используемых при решении; 2) выяснять, нельзя ли упростить решение, например, через применение тригонометрии.

Выполнение правил IV группы помогает учащимся дать обоснованное решение. Отмечу четыре правила: 1) необходимо полностью использовать определение каждого понятия и данных задачи; 2) каждое утверждение, высказанное при доказательстве, должно быть обосновано ссылкой на аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы; 3) если чертёж не вполне соответствует теореме, выбранной в ходе решения задачи, то всегда следует выяснить, нельзя ли чертёж переделать, чтобы наступило полное соответствие. Например, справедливость пропорции можно доказать, применяя теоремы о подобии треугольников. Если на чертеже нет треугольников, то их следует образовать. 4) Нельзя ли равенство двух величин доказать путём замены одной из них или каждой из них им равными или представить в виде суммы, разности и т. д., и доказать равенство последних?

Правила V группы помогают учащимся дать исчерпывающее решение. Они требуют: 1) установить множество допустимых значений параметров и искомых величин; 2) выяснить взаимное расположение элементов фигуры, существенно влияющих на решение; 3) установить число решений.

Правила VI группы требуют тщательной проверки решения: 1) нет ли технических ошибок, описок, неверно сформулированных теорем? 2) правдоподобен ли результат, какого измерения результат? 3) нельзя ли сделать проверку путем непосредственных измерений, решая другим способом?

*) Р. Декарт, Правила для руководства ума, стр. 135, ГИПЛ, Т950 г.

В диссертации приведены примеры, иллюстрирующие целесообразность каждого правила.

Предложенные правила, советы и указания не должны пугать учителей и учащихся своим количеством. Во-первых, они не предназначены для механического заучивания. Во-вторых, они вводятся постепенно, по мере возникновения надобности. Очень важно, сообщая правило, дать почувствовать учащимся, что следование ему облегчает поиски решения задачи: помогает понять задачу, выполнить вспомогательное построение, применить геометрическое преобразование, заменить искомую величину ей равной, которую проще найти, и т. д. В-третьих, часть правил должна быть подмечена самими учащимися, конечно, с помощью учителя. Правила, возникшие из опыта, понятнее учащимся, приобретают в их глазах большую практическую ценность, лучше запоминаются и сознательно применяются при решении задач. Наиболее частое применение имеют 15 перечисленных правил из I, III, IV, V, VI групп, которые рекомендуется запомнить.

ГЛАВА VI. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ

В этой главе показано, как в различных классах средней школы можно реализовать идеи, высказанные в предыдущих главах.

В VI классе следует решать задачи разного рода; но преобладать должны задачи на доказательство, так как доказательство является обязательным этапом решения любой задачи и, кроме того, это поможет учащемуся самостоятельно находить доказательства теорем. Решение первых задач полезно проводить на готовых чертежах, содержащих краткую запись условия и заключения задачи на доказательство. Такой приём особенно необходим в VI классе, где учащиеся не владеют техникой выполнения чертежа, затрудняются выделить условие и заключение, вести записи. Устное решение задач даёт возможность решить на уроке до трёх задач, тем самым: 1) воспитывает и закрепляет у учащихся навыки правильно строить умозаключения, обосновывать выводы; 2) способствует развитию математической речи и овладению специальными оборотами; 3) закрепляет знание теории и способствует усвоению метода решения задач; 4) является хорошей подготовкой учащихся к решению сложных задач.

Устное решение задач рекомендуется проводить и в последующих классах, и в особенности в IX, когда учащиеся приступают к изучению стереометрии.

Первые задачи на доказательство следует предлагать учащимся в виде задачи с вопросом, т. е. в форме, более знакомой им. Например, верно ли, что АВ=СЕ? Сложность задач должна постепенно возрастать. В VI главе указаны возможные виды задач и приведены примеры устного и письменного решения их в различных классах. Здесь же показано, как следует работать над усвоением условия задачи, как воспитывать навык обосновывать свои выводы, практически пользоваться методом восходящего анализа, алгебраическим методом и другими, как вводить и применять правила, помогающие отыскивать решения задач.

Для каждого года обучения приведены задачи, возникающие в практической деятельности человека. Решение подобных задач, требующих знаний по геометрии, повышает в глазах учащихся ценность теории и возбуждает интерес к предмету.

По 6—10 классам приведены примеры индуктивного введения теорем и отыскание доказательств их с помощью аналитических методов, использованием геометрических преобразований, правил и советов.

ГЛАВА VII. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

Все предложения, выдвинутые в диссертации, проверялись мною в течение ряда лет в 6—10 классах средней школы № 1 г. Калинина, в Калининском государственном педагогическом институте им. М. И. Калинина и в Калининском областном институте усовершенствования учителей. С освещением отдельных мероприятий я выступала несколько раз перед учителями на Калининских областных педагогических чтениях, на городских методических объединениях в секции математиков, на предметной комиссии учителей математики средней школы № 1 г. Калинина, на заседаниях кафедры алгебры и геометрии Калининского педагогического института. В 1956 году была принята для напечатания в ученых записках Калининского педагогического института статья: «Как помочь учащимся находить путь к решению задач на доказательство», которая является частью диссертации. В 1958 году Учпедгизом была выпущена книга: «Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач», в которой нашло отражение основное содержание II, III, IV и V глав диссертации.

Результаты эксперимента, проводимого в школе, положительные. Знание учащимися сущности методов значительно помогает им при отыскании решений задач. Они правильно отбирают нужный метод для решения предложенной задачи, и, пользуясь им, дают чёткое изложение решения. Слушающий их легко следит за ходом мысли. Это особенно бросается в глаза, когда наблюдаешь, как подходят к решению задач учащиеся, не знакомые с методами. Методы, правила и приёмы успешно применяются учащимися для решения задач в смежных дисциплинах.

Студенты педагогического института с большим интересом изучали методы решений задач, особенно студенты-заочники.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Желательно, чтобы в объяснительной записке к программам по математике были сделаны конкретные указания на то, какие именно общие и частные методы решения задач следует изучать в различных классах средней школы.

2. Желательно, чтобы учебник геометрии содержал соответствующие пояснения о сущности общих и частных методов отыскания решений задач и те указания, правила и советы, которыми полезно воспользоваться

Желательно, чтобы в учебнике были приведены образцы отыскания приведены в учебнике Ж. Адамара,*) в сборнике задач К. Барыбина**), при отыскании доказательств и решений задач другого рода. Такие правила решений задач, с использованием общих методов решения, частных приёмов, правил и советов.

Желательно, чтобы учебник геометрии активизировал работу учащихся с книгой. С этой целью следует включать неполные решения задач на доказательство, в которых отсутствуют обоснования выводов. Например, чтобы доказать равенство углов 1 и 2, достаточно доказать равенство углов айв (почему?); а—в (почему?). Учащийся должен самостоятельно выяснить и обосновать это.

Желательно, чтобы в конце курса геометрии каждого года обучения или в конце каждого раздела были помещены перечни основных теорем, с помощью которых доказывается то или иное предложение. Они будут являться сводкой знаний, приобретённых за истекший период.

3. В сборники задач по геометрии желательно внести следующие изменения: 1) сборники должны содержать задачи-дубликаты; 2) задачи, требующие для своего решения применения особого приёма, целесообразно объединить в одну группу и снабдить указанием, поместив его перед этой группой задач; 3) дополнить каждый раздел сборника небольшим количеством практических задач; 4) включить конкретные задачи, для решения которых учащийся должен предварительно собрать нужные данные путём непосредственных измерений; 5) включить задачи, в которых по данному описанию производственных операций требуется найти математическое обоснование их.

4. Желательно централизованное изготовление наглядных пособий и обеспечение стандартным набором пособий по геометрии каждой школы.

5. Желательно, чтобы Учпедгиз организовал: 1) выпуск плакатов, содержащих перечни теорем и формулы для доказательства различных предложений, 2) выпуск плакатов, содержащих основные правила, советы и указания, следование которым помогает учащимся найти путь решения задачи.

6. В педагогических институтах в курсах элементарной математики (геометрии) и методики геометрии необходимо изучать общие методы решения задач. Внимание студентов должно фиксироваться на тех правилах и советах, которыми полезно пользоваться при отыскании решений.

7. В помощь учителю должны систематически выпускаться методические пособия, посвященные, например, методике обучения учащихся решению задач определённого рода, отысканию доказательств теорем, методике введения теорем и т. д.

8. Желательно издание специального пособия, содержащего методические указания к преподаванию геометрии. Его цель — помочь учителю строить так урок, чтобы обеспечить творческое участие учащихся в переоткрытии теоремы и в отыскании доказательства. Оно должно содержать методические разработки ряда типичных уроков, описание раз-

*) Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. 1. Учпедгиз, 1948 г.

**) К. Барыбин, Сб. геометрических задач на доказательство. Учпедгиз, 1952 г.

личных экспериментов, подвижных моделей и их использование, целесообразно подобранные задачи, указания о практических работах и прочее, что обеспечивает творческую работу учащихся на уроках геометрии.

Перечень научных работ, в которых отражено содержание диссертации.

1) Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач. 96 стр. Учпедгиз, 1958.

2) Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач на доказательство. (Статья принята для напечатания в Ученых записках Калининского гос. пед. института).

ЕА05008

Тираж 150 экз.

Лихославльская типография

За к. 2220—9/V11-59