ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. С. ПУШКИНА

На правах рукописи

С. А. ДАДУНАШВИЛИ

Элементы высшей математики в средних общеобразовательных школах и методика их обучения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики.

Тбилиси — 1965

Направляем Вам для ознакомления автореферат диссертационной работы тов. Дадунашвили С. А. на тему: «Элементы высшей математики в средних общеобразовательных школах и методика их обучения», представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики.

Защита диссертации состоится « » 1965 г.

на Ученом совете Тбилисского государственного педагогического института им. А. С. Пушкина.

Ваш отзыв на автореферат просим прислать по адресу: Тбилиси, пр. И. Чавчавадзе № 32.

Ученый секретарь:

ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ

Коммунистическая партия Советского Союза и Совет Министров СССР разработали и осуществили в нашей стране важнейшие мероприятия по укреплению связи школы с жизнью.

Принятый Верховным Советом Союза ССР от 24 декабря 1958 года «Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования», который опирается на единодушно одобренные при всенародном обсуждении тезисы Совета Министров СССР, знаменовал собою новый прогрессивный этап в истории развития советской школы.

Новый закон подсказывает нам необходимость и своевременность такой перестройки системы народного образования в нашей стране, чтобы советские средние, профтехнические и высшие школы могли обеспечить подготовку кадров, способных более активно выполнять ведущую роль в творческой деятельности советского народа.

Современное производство опирается на новейшие достижения науки и техники и требует от воспитанников средних школ высокого уровня теоретических знаний и умения их практического применения.

Перед математическим обществом нашей страны поставлена весьма важная и ответственная задача перестроить программу математики в средней школе как по содержанию, так и по методу обучения с таким расчетом, чтобы она была тесно связана с жизнью и производством.

Эта перестройка программы по математике и методов обучения в средней школе должна обеспечить прочное и сознательное усвоение предмета учащимися, умение приложить полученные знания к изучению смежных предметов и к решению практических вопросов. Для решения этой задачи необходимо пересмотреть существующую программу курса матема-

тики в средней школе и четко выделить из нее вопросы, имеющие общеобразовательное и практическое значение.

Курс математики в средней школе требует такой перестройки для того, чтобы в него входили не только отдельные математические факты, но чтобы учащиеся были ознакомлены с некоторыми общими научными идеями и методами, имеющими значение теоретического и практического характера.

В решении общей задачи перестроить программу по математике средней школы одним из главных, ведущих вопросов является вопрос о включении в нее элементов высшей математики и о методе обучения этим элементам.

Вопрос этот, а именно, вопрос о включении элементов аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений в курс математики средней школы, поднят давно. Из средних общеобразовательных школ впервые элементы высшей математики были введены в 1906 году в программу реальных училищ.

После победы Великой Октябрьской социалистической революции вопрос о включении элементов высшей математики з программу средних школ неоднократно поднимался.

Основную причину необходимой перестройки программы по математике средних школ следует искать в приближении математики к жизненным потребностям, в возможности приложения этого предмета к практической и технической деятельности человека и в выявлении его теоретического и практического значения, в возможности и необходимости установления связи между программами по математике в средней и высшей школах, а для этого необходимо, чтобы оканчивающий курс математического обучения по программе средней школы имел правильное представление о функциональной зависимости между величинами и об исследовании функции.

Для того, чтобы оканчивающий курс обучения в средней школе имел правильное представление о таких основных вопросах, как функция и ее исследование, необходимо для изучения ее, наряду со всем подлежащим обработке материалом, подобрать конкретный материал, отвечающий возможностям данного класса.

Функциональная зависимость и исследование функций, построение графика функций должны изучаться в процессе обучения не как один раздел школьного курса, но как главная ось, проходящая от арифметики до последней алгебраической темы, вокруг которой сосредотачивается все математическое обучение.

Навыки в исследовании функций должны вырабатывать-

ся не эпизодическими, отдельными упражнениями, но систематической, длительной работой, а представление о функциях должно вытекать из всех вопросов программы по математике.

В последнем классе средних школ необходимо дать учащимся обзор элементарных функций, различные формы их выражений и их исследования.

Основательное изучение функций требует от учащихся средних школ знания элементов математического анализа: производной и дифференциала.

В настоящее время в нашей стране, наряду с изменением системы среднего и высшего образования, вопрос о введении элементов высшей математики в программу средней школы разрешен сравнительно удовлетворительно.

В новых условиях целью изучения математики в средних школах является вооружение молодежи твердыми знаниями основ математической науки, развитие логического мышления и пространственного представления; задача обучения состоит в том, чтобы дать учащимся знания и навыки применения теоретического материала, усвоенного из курса математики, для углубленного познания смежных математике дисциплин (физики, химии, техники) и для разрешения различного рода задач, выдвигаемых производством и практикой жизни.

Усвоение элементов математического анализа учащимися стимулирует развитие и упрочение их диалектическо-материалистического мировоззрения.

Знание указанных элементов сближает школьную математику с жизнью.

Отныне изучение элементов математического анализа, включенных в программу по математике средних школ, в основном разрешает вопрос об освещении в школьном курсе идеи функциональной зависимости величин, что хотя бы частично даст возможность учащейся молодежи использовать мощный метод математического анализа для изучения явлений, возникающих в жизни.

Познакомив учащуюся молодежь с элементами математического анализа, мы дадим возможность ей иметь хоть представление о тех достижениях, которыми обогатилась математическая наука с XVII века.

Знание элементов высшей математики позволит понять учащимся, какую огромную теоретическую и практическую службу оказывает человечеству математическая наука.

В связи с перестройкой курса математики средней школы вопрос об обучении учащихся элементам математического анализа стал актуальным и программным.

Для правильной постановки обучения элементам математического анализа необходимо создать соответствующую учебно-методическую литературу, в которой должен быть подобран и представлен соответствующий материал и указаны пути и методы его освоения.

По нашим личным наблюдениям в течение ряда лет во время сдачи экзаменов на аттестат зрелости учащимися, во время вступительных экзаменов по математике в педагогический институт, при прохождении студентами института педагогической практики по математике, при прослушивании пробных уроков и во время работы со студентами первого курса физико-математического факультета замечено, что они весьма слабо разбирались в разных видах задания функциональных зависимостей между величинами, в нахождении области определения функции, в нахождении значения аргумента, при которой функция теряет смысл, в нахождении элементарным путем экстремального значения функции, в построении графика функций по основным данным, в исследовании функции элементарным методом и в решении практических задач с использованием экстремального значения функции.

Все перечисленные недостатки являются следствием того, что учащиеся не имеют полноценных руководств по отдельным дисциплинам математики, а библиотека преподавателя не обеспечена соответствующей методической литературой.

Такая оценка существующего положения не раз давалась на протяжении ряда лет преподавателями во время проводимых под нашим руководством семинаров, на конференциях и на курсах усовершенствования педагогов-математиков, во время лекций и практических занятий.

Для ликвидации перечисленных недостатков в средней школе в первую очередь необходимо усовершенствовать знания учителей математики, для чего необходимо удовлетворить их справедливое требование об обеспечении методической литературой. Для этой цели необходимо создать и выпустить труды методического характера, в которых в основном будут даны материалы для изучения указанных вопросов как в отношении объема, так и методов обучения, и показаны образцы разработанных по отдельным вопросам задач и упражнений практического характера.

Такое понимание вопроса на основании личных наблюдений и определило тему нашей диссертационной работы.

II.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО ТРУДА

Целью настоящего диссертационного труда является попытка автора дать нашему учительству такой труд методического характера, который окажет ему помощь в правильном разрешении задач, поставленных в настоящее время перед ними, а именно, научно обоснованно и методически оправдано обучить учащихся средних школ элементам высшей математики, для чего считаем необходимым:

1. Дать исторический обзор вопроса о введении элементов высшей математики в программу курса средних школ.

2. Обобщить опыт преподавания элементов высшей математики в реальных училищах Кавказского учебного округа и дать анализ его результатов.

3. Произвести анализ программы по элементам высшей математики в реальных училищах и созданных с этой целью учебных руководств, сборников задач и методическом литературы.

4. Изучить содержание тех программ, программ-проектов и учебников по математике, которые составлялись для советской школы и содержат в себе элементы высшей математики.

5. Выявить значение и возможность изучения и освоения: элементов высшей математики учащимися средних школ.

6. Рассмотреть элементы высшей математики, пути и приемы обучения им в средних общеобразовательных трудовых политехнических школах с производственным обучением.

III.

При выполнении диссертационной работы были использованы следующие источники:

1. Труды классиков марксизма-ленинизма.

2. Постановления Партии и Правительства о перестройке учебной работы в средних школах.

3. Материалы первого (1912 г.) и второго (1914 г.) Всероссийских съездов преподавателей математики.

4. Отчет о письменных работах по математике, выполненных учениками реальных училищ на окончательных испытаниях по Кавказскому учебному Округу в 1908— 1915 гг.

5. Анализ тех руководств и сборников задач, по которым

велось обучение элементам высшей математики в реальных училищах.

6. Анализ тех пособий и сборников задач, которые были подготовлены для советской школы и которые содержат в себе элементы высшей математики.

7. Статьи и труды отдельных видных представителей советской математики.

8. Статьи и доклады практических работников советской школы.

9. Анализ математических программ и стабильных учебников средней школы.

10. Работа на курсах повышения квалификации учителей математики, которую автор ежегодно проводит в республиканском институте усовершенствования учителей.

11. Результаты личного опыта и продолжительных наблюдений автора в Батумских средних школах в процессе педагогической работы.

12. Анализы и выводы, полученные от руководимых математических секций ежегодных «Республиканских педагогических чтений», организованных Министерством просвещения Аджарской АССР.

13. Педагогический эксперимент, проведенный автором в Батумской средней школе № 1 имени Ленина.

14. Проспект настоящей диссертационной работы, который рассмотрен и утвержден на заседании сектора преподавания математики Института методов обучения Академии педагогических наук РСФСР от 16 декабря 1958 года.

15. Диссертации, связанные с данной темой и прошедшие защиту.

IV.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ И ЕЕ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Диссертационная работа состоит из вступления и двух частей.

Первая часть на 156 страницах посвящена историческому обзору вопроса о включении элементов высшей математики в программу курса средних школ.

Вторая часть на 254 страницах (от 156 до 410) трактует о методике преподавания элементов высшей математики, введенных .в программу средних общеобразовательных трудовых политехнических школ с производственным обучением.

I часть состоит из двух глав.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, под названием: «Обзор предложений сторонников изменения курса математики в средней школе до Великой Октябрьской социалистической революции», - - дается краткое изложение высказываний сторонников изменения программы по математике в средней школе.

Борьба мнений за проведение изменений в школьном курсе математики имеет длительную историю. В разное время были высказаны различные мнения по вопросу об изменении содержания школьного курса математики. Эта борьба отражалась и на программах. Как указывает проф. A.B. Ланков, «Основы высшей математики входили в программу русских гимназий по уставу 1804 г. Под давлением реакции в 1819 г. вводится «Уваровский план», и из курса гимназий исключаются начала дифференциального и интегрального исчисления». Преподавание основ высшей математики восстанавливается в реальных училищах по новым программам 1906 г.1 Военное ведомство в 1911 г. вводит этот курс в кадетских корпусах.2 Еще в 1858 г. великий русский математик П. Л. Чебышев составил проект программы обучения математике в гимназии. В проекте П. Л. Чебышева, наряду с другими вопросами, были предусмотрены некоторые разделы анализа. В 1895 г. была опубликована статья передового русского математика В. П. Шереметьевского «Математика как наука и ее школьные суррогаты», где автор подчеркивает то обстоятельство, что центральная идея математики остается за пределами программы гимназии, что молодежь начала 20-го века искусственно задерживается на уровне средневекового математического мышления. Мысли Шереметьевского далеко опередили взгляды многих зарубежных педагогов и ученых. Он предложил сократить некоторые традиционные вопросы и включить в школьную программу по математике элементы аналитической геометрии и математического анализа. Подобная мысль несколько позже была высказана Ф. Клейном.

В начале XX в. в России широко развертывается работа по методике математики. Доклады научно-педагогических кружков математического отделения три педагогическом му-

1 Журнал Министерства народного просвещения, 1906, сентябрь Циркуляр от 30.6.1906 г. за № 12414 об учебных планах и программах предметов, входящих в курс реальных училищ, стр. 36— 62.

2 Проф. А. В. Ланков, «К истории развития передовых идеи в русской методике математики», Учпедгиз, 1951 г, стр. 139.

зее военно-учебных заведений Петербурга, а также отдельных педагогов и научных работников содержат ряд важных, заслуживающих самого серьезного внимания предложений об изменениях в школьной программе по математике. В 1912— 1914 годах на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики был выдвинут вопрос о радикальной перестройке программы. Основное требование шло по линии включения в программу элементов аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчисления.

На I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1912 г. с докладами по данному вопросу выступили передовые преподаватели математики средней школы Ф. В. Филиппович («Постановка преподавания начал анализа в средней школе»), М. Г. Попруженко («Об анализе бесконечно-малых в средней школе»), А. Г. Пичугин («Содержание курса школьной математики») и др.

Доклады на ту же тему были прочитаны также профессорами Б. Кояловичем, А. Васильевым, Н. Сониным, А. Богомоловым. С обстоятельными докладами выступили также профессор К. А. Поссе («О согласовании программ в средней и высшей школах»), В. В. Струве («К вопросу о согласовании программ математики в средней и высшей школах»), Д. М. Синцов («О согласовании программ средней и высшей школ») и др.

На II Всероссийском съезде преподавателей математики в 1914 году проф. Б. К. Млодзеевский отметил, что достижения в области естествознания и техники создали необходимость внесения в школьный курс таких вопросов, которые обычно сейчас изучаются в высшем учебном заведении. В современную эпоху понятия основ математического анализа, аналитической геометрии и теории вероятностей долж.ны быть известны каждому образованному человеку.

В этой главе диссертации сделан также анализ объема, структуры и методики обучения элементам высшей математики, включенным в программу по математике реальных училищ в 1906 году.

Здесь же детально разобраны и проанализированы тематика и полученные результаты всех письменных работ по элементам высшей математики на аттестат зрелости б последних классах реальных училищ Кавказского учебного округа с 1907 до 1917 года.

В труде дан широкий анализ тех программ, руководств, учебных пособий и сборников задач досоветской школы, которые содержат в себе элементы высшей математики.

Вторая глава первой части диссертации состоит из пяти параграфов и посвящена рассмотрению материалов, относящихся к вопросу о включении (уже в советское время) элементов высшей математики в программу средних школ.

Как известно, после Великой Октябрьской социалистической революции, когда была создана новая советская школа, вопросы преподавания математики стали активно разрабатываться. Несмотря на это, в 1920—1924 годах школам приходилось работать по временным программам, в которых предусматривался ряд вопросов из высшей математики. В 1924—1925 учебном году школы получили программы, составленные «ГУС»-ом. Названные программы как по объему, так и по содержанию не были составлены удовлетворительно и вызвали путаницу. Центральный Комитет ВКП (б) обратил снимание на неудовлетворительное положение учебной работы в школах и 5 сентября 1931 года принял известное постановление, по которому с января 1932 года занятия в школах начались по новым переработанным программам.

Переработанные программы, в основном, были признаны удовлетворительными, хотя и они имели ряд недочетов, на которые указал Центральный Комитет ВКП (б) в своем постановлении от 25 августа 1932 года.

В 1934 году программы вновь были пересмотрены Народным Комиссариатом просвещения с целью уточнения объема знаний по отдельным ступеням.

На совещании преподавателей математики средней школы в 1935 году проф. П. С. Александров, охарактеризовав ряд основных направлений в развитии математики, отметил, что преподаватель средней школы должен быть знаком с основными идеями современной геометрии, должен разбираться в основных направлениях развития математики. Проф. Александров требует не расширения программы, а углубленного, научного обучения программному материалу.

В статье проф. А. И. Маркушевича «О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе» («Математика в школе», 1950, № 1) раскрыты главнейшие положения сторонников реформы преподавания математики в советской средней школе. А. И. Маркушевич отмечает, что методы и объем обучения математике в школах разработаны и собраны многими поколениями педагогов и научных работников нашей родины. Методы обучения и объем преподавания математики относительно устойчивы. Эти методы и объем наглядно проявляются в дореволюционной учебной и методической литературе. Но развитие науки и

практики преподавания требует соответствующего изменения содержания и методов обучения. Дореволюционные учебники и методические пособия уже не отвечают современным требованиям, и только в руках опытных преподавателей возможно их использование с соответствующими коррективами для подготовки учащихся к практической деятельности или продолжения обучения ими в высшей школе.

Во всех школьных предметах находят отражения новые достижения в соответствующих науках, кроме математики.

Новейшие достижения в методологии, развитие содержания и усовершенствование в методах биологии, физики, химии, языкознания и других наук находят отражение в программах и учебниках средней школы.

Однако программы и учебники по математике в основном остались почти без изменений. Это давало основание Чебышеву, Шереметьевскому, Клейну и другим утверждать, что содержание школьного курса математики и формы его изложения зачастую сохранили характер и отпечаток начала 17-го века, т. е. эпохи Ньютона. Весь период бурного расцвета математики после Ньютона, т. е. с 17-го века до нашей эпохи, фактически не находит своего отражения ни в .программах математики средней школы, ни в преподавании данного предмета.

В работе проф. Н. Ф. Четверухина («Математика в школе», 1950, № 1) «О научных принципах преподавания геометрии в советской школе» показаны трудности обучения геометрии и рассмотрен ряд основных моментов ее изучения в школе.

Эта глава диссертации посвящена попытке критического рассмотрения некоторых предложений сторонников изменения курса математики в средней школе.

Анализ этих предложений показывает, что они сводятся к следующим основным требованиям:

1. Сблизить математику с современной математической наукой.

2. Включить в курс школьной математики элементы аналитической геометрии и математического анализа.

3. Расширить понятие числа и строго разработать действия над ним.

4. Расширить роль приближенных вычислений.

5. Включить в программу вопросы теории вероятностей.

6. Ограничить элементы анализа, вносимые в школьный курс, лишь исследованием функций элементарными способами (область определения, ограниченность, неограничен-

ность, монотонность, периодичность, понятие об обратной функции, изучение метода пределов, приближенное вычисление площадей и т. д.), отказавшись от пропедевтического курса дифференциального и интегрального исчисления в средней школе.

7. Значительно повысить идейно-теоретический уровень преподавания. Включить в программу вопросы истории .математики и биографии передовых отечественных педагогов.

8. Не расширять программы, а обеспечить глубокое и научное обучение программным вопросам.

9. Изъять .из курса элементарной математики вопросы, не имеющие общеобразовательного значения.

Проф. А. И. Маркушевич отмечает необходимость создания опытных школ, в которых работа по математике будет вестись по новым программам и учебникам, которые после соответствующей проверки результатов дадут, по его мнению, возможность их использования в общеобразовательной массовой школе.

Проф. С. И. Новоселов («Математика в школе», 1950, № 2) отмечает, что «прежде чем перейти к дифференциальному исчислению, учащиеся должны получить понятие о комплексе вопросов, составляющих предмет исследования функций. Учащийся должен уметь производить несложные исследования элементарными средствами, прежде чем он получит в руки мощные средства выполнения этого исследования».

Мы полностью придерживаемся этой мысли; таким путем мы выработаем у учащихся необходимые навыки, повысим уровень математического образования и преодолеем формализм в преподавании.

Проф. А. И. Хинчин считает, что «почти все современные методисты в той или иной степени придерживаются взгляда, согласно которому понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется все математическое .преподавание».

Эти соображения А. И. Хинчина о роли комплекса вопросов по исследованию функций элементарными способами мы считаем вполне обоснованными и целесообразными, так как окончившие курс средней школы в настоящее время имеют о функции поверхностное представление, зная, лишь, что по точкам можно построить прямую или кривую; глубокое усвоение математики предполагает, безусловно, сознательное

усвоение приемов исследования функций и понимание того, что графическое построение — это лишь условный способ геометрического изображения функции. Исследование функций должно производиться не после завершения построения ее графика, а само построение должно исходить из исследования функции.

Правильность мнения А. И. Хинчина по данному вопросу поддерживается А. И. Маркушевичем, по мнению которого, трактовке понятия функции в школе должно предшествовать выявление более элементарного понятия множества, «которому пора, наконец, «объявиться» в школьном преподавании и начать называться своим настоящим именем». И мы придерживаемся этого положения и считаем, что при этом особое внимание надо обратить на множество натуральных, четных, нечетных и простых чисел; из геометрии — на множество точек, на понятие соответствия элементов двух множеств, откуда и получим понятие функции в полном ее объеме.

Мы последовательно освещаем и стараемся обосновать проблему внесения соответствующих изменений в ныне действующие программы с учетом высказываний, которые нами были рассмотрены при включении элементов высшей математики в курс математики средней общеобразовательной школы.

Все соображения, высказанные при включении в программу общеобразовательных школ элементов высшей математики, а также такие вопросы, как структура программы, пособия и сборники задач по элементам высшей математики в реальных училищах за время с 1906 по 1917 годы, доклады экзаменационных комиссий в выпускных классах реальных училищ, тематика исполнения письменных работ по элементам высшей математики, представленные оценки работ и материалы рецензентов о качестве проведенных в училищах экзаменов и правильные оценки работ учащихся, — позволяют нам сделать следующие выводы:

1. В реальных училищах учебный материал по курсу высшей математики был доступен лишь небольшому контингенту учащихся.

2. Специальный курс по элементам высшей математики для седьмых классов реальных училищ являлся добавлением к школьной программе по математике и не имел органической связи с материалом программы младших классов.

3. Количество отведенных учебных часов для усвоения этого объемистого специального курса элементов высшей математики было более чем недостаточно.

4. Недостаточное внимание уделялось в младших клас-

сах освещению идеи функциональной зависимости между величинами, графическому изображению функций и их исследованию.

5. Не имелось единой полноценной программы по математике, в которой эти элементы высшей математики были бы связаны между собой.

6. Указанная программа по курсу высшей математики и ее прохождение недостаточно было связано с требованием практики и техники.

7. Несмотря на то, что с 1906 по 1917 годы для обучения элементам высшей математики в реальных училищах были созданы пособия и методическая литература и был накоплен некоторый опыт обучения этому курсу, все же это не могло своим содержанием удовлетворить имеющиеся потребности.

Необходимо было создать как единую цельную программу обучения математике, так и полный курс математических дисциплин и сборники задач для средней школы.

В советский период, с 1917 по 1932 гг., из-за необдуманно составленных программ, неполноценных планов и указаний, произошло снижение уровня учебно-воспитательной работы в школах, падение авторитета педагогов, в результате чего понизился уровень подготовки учащихся.

Программы по математике, составленные в 1932 году, приблизили школьный курс к математической науке: в нем частично получила отражение идея функциональной зависимости между величинами.

Практическое проведение в жизнь данной программы вызвало появление методической литературы.

Накопился опыт методики обучения и разработки отдельных вопросов программы. Уточнились и определились объемы изучения отдельных вопросов и пути их практического применения. Вместе с этим, движение вперед науки и техники, бурные темпы развития математики, необходимость приближения школы к практической жизни, мероприятия, намеченные для разрешения задач политехнического обучения, анализ мнений педагогов поставили вопрос о перестройке программы по математике средней школы, об уточнении и обогащении ее необходимыми для современных условий элементами высшей математики.

В настоящее время новая программа математики сформирована на основе всех взглядов и соображений о характере и перестройке математической программы средних школ, накопленных за последние годы. Программа по математике предусматривает такую подготовку выпускников 8 класса.

которая необходима как для общего развития, так и для практической работы и продолжения образования.

Новая программа по математике средних общеобразовательных трудовых политехнических школ с производственным обучением уже содержит элементы высшей математики. Эти элементы не являются добавлением к прежней программе математики, а расширяют и углубляют ее.

По структуре этой программы учащиеся должны быть знакомы с общими идеями и методами математики, каковыми являются, например, учение о числах, функциональная зависимость между величинами, геометрические преобразования, графический метод, исследование функций, рассмотрение задач из техники и практики, для решения которых требуется нахождение экстремального значения функции.

В настоящее время не имеется ни руководств, ни методической литературы, ни отдельных трудов по математике, которые могли бы служить делу преподавания этих новых идей по-новому, в силу чего необходимо немедленно развернуть работу методического характера.

Необходимо подобрать и уточнить теоретический и практический материалы для разработки указанных тем в отдельных классах.

Для правильной постановки дела изучения указанных тем должны быть созданы труды методического характера.

II часть диссертации состоит из десяти глав.

Первая глава II части содержит шесть параграфов, в которых показаны, какими упражнениями и в какой последовательности должны изучаться следующие вопросы: примеры функциональных зависимостей, способы задания функций, область определения функций, возрастание и убывание функций, четные и нечетные функции, периодические функции, график функций, максимум и минимум функций.

Во второй главе, охватывающей семь параграфов, рассмотрена углубленная методика обучения основным элементарным функциям и их графикам в следующей последовательности: линейная функция, квадратичная функция, степенная функция, показательная функция, обратная функция и логарифмическая функция.

В третьей главе, состоящей из семи параграфов, подробно представлена методика обучения теории пределов при помощи соответствующих упражнений и геометрических иллюстраций в следующей последовательности: дискретные и непрерывные переменные, ограниченные и неограниченные переменные, понятие о пределе переменной, существование преде-

ла монотонной переменной, предел постоянной величины,теоремы о пределе суммы, разности, произведения и отношения (без доказательства), понятие о пределе функции, рассмотрение предела -» когда х->0.

В четвертой главе, которая состоит из пяти параграфов, говорится о непрерывности функции и ее исследовании элементарным способом. После ознакомления с понятием непрерывности функции, даем типичные примеры исследования функции, а именно зафиксированы и методически разработаны исследования всех видов функций у=ах* + Ьх+с с построением их графиков.

Разобраны образцы решений практических задач на квадратичные функции с нахождением экстремума.

Глава пятая, состоящая из четырех параграфов, касается методики преподавания производной в средней школе; здесь обосновывается необходимость введения производной на основе понятия средней и мгновенной скоростей движения. Приводятся примеры, где определяется скорость движущегося тела в данный момент, после чего возможно определить производную функции в точке и объяснить ее геометрическое значение.

В одиннадцати параграфах шестой главы рассмотрены основные свойства производной и методика изучения производных элементарных функций в следующей (последовательности: производная постоянной, производная суммы и разности двух функций, производная произведения двух функций, производная дроби, производная независимой переменной по той же переменной, производная степенной функции, производная многочлена, производные тригонометрических функций, производная сложной функции, производная второго порядка.

В седьмой главе, состоящей из шести параграфов, дается методическая разработка раздела «применение производной», куда входят: понятия максимума и минимума функции, признаки существования экстремума, правила нахождения точек «максимум» и «минимум», признаки постоянства, возрастания и убывания функции, исследование функций и построение их графиков. В этой главе показаны решения типичных практических задач с применением производной.

Восьмая глава состоит из одного параграфа, в котором изложено описание экспериментальной работы по темам:

«Систематизация и углубление знаний учащихся о функциях» и «Производная функции».

С 12 января 1959 года нами проведены в порядке эксперимента сорокачасовые занятия с семнадцатью учащимися X класса Батумской средней школы № 1 на темы: «Систематизация знаний учащихся о функциях и их углубление», «Производная функции».

Эти и последние уроки (результативные) систематически посещались находящимися на педагогической практике и заинтересовавшимися экспериментом студентами-отличникам-и пятого курса Батумского педагогического института: Б. Георгадзе, Т. Аскурава, Ц. Георгадзе, Л. Качейшвили, а также преподавателем математики Батумской школы № 9 Ш. Кобалава, методистом отдела народного образования Батумского городского Совета депутатов трудящихся М. Киласониа, заместителем министра народного образования (по специальности математик) Аджарской АССР Г. Катамидзе и доцентом математической кафедры Батумского педагогического института деканом физико-математического факультета Г. Хухунашвили.

Путем анализа проведенных уроков и итогов заключительной работы было установлено: углубление знаний по отдельным вопросам, исследование функции посредством производной и решение практических задач (путем применения способа нахождения экстремального значения функций) возбудили у учащихся большой интерес.

Признано вполне закономерным и нормальным включение рассмотренного материала в программу по математике средних школ и выделение сорока уроков для его прохождения.

Глава IX посвящена выводам.

При выработке необходимых мероприятий по повышению уровня знаний учащихся о функциях нами использованы следующие материалы:

1. Непосредственные наблюдения, проведенные нами в школах в процессе практической работы в качестве преподавателя математики с 1930 года.

2. Наши наблюдения как над учителями математики и над уровнем подготовки учащихся в процессе работы в Батумском педагогическом институте с 1938 года и по настоящее время при проведении в школах педагогической практики студентов физико-математического факультета.

3. Анализ проведенных нами на протяжении ряда лет

лекций и практических занятий на курсах по повышению квалификации преподавателей математики.

4. Анализ проводимых под нашим руководством в 1952, 1953, 1954 и в 1963 и 1964 годах работ математических секций ежегодных республиканских «Педагогических чтений», организуемых Министерством народного просвещения Аджарской АССР.

В результате «вышенаименованных анализов и наблюдений мы пришли к выводу, что необходимо в последних классах средней школы провести систематизацию знаний учащихся о функциях и их углубление, а также исследование функции при помощи производной.

На основе проведенных нами исследований по основным вопросам, рассмотренных в данной диссертационной работе, нами сделаны следующие доклады и публикации:

1. На научных сессиях Батумского государственного педагогического института им. Ш. Руставели — 6 докладов, тезисы которых напечатаны типографским способом.

2. На республиканских конференциях педагогических институтов Грузии — 2 доклада; тезисы одного доклада отпечатаны типографским способом.

3. На республиканских конференциях и «Педагогических чтениях» — 16 докладов, общий план которых отпечатан типографским способом.

4. Нами опубликовано в местной прессе десять статей по вопросам школьной работы и общей методике в следующих газетах- «Сабчота масцавлебели» (Советский учитель) 1941 г. 14/VI № 47 (819), «Сабчота Аджара» (Советская Аджария) 1946, 26/Х № 210 (7406), там же 1947 г. 8/IV № 70 (7521), там же 1947 г. 30 XII, № 255 (7706), там же 1948 г. 3I/IH № 65 (7771), там же 1948 г. 18/VIII № 164 (7870), там же 1948 г. 29/IX № 194 (7900), «Батумский рабочий» 1947 г. 24/VIII № 167 (5906), там же 1948 г. 27 I № 19 (6014), там же 1949 г. 8/XII № 240 (6675).

5. Одна наша работа на тему «Плановая работа в школах» напечатана в сборнике № 1 методических писем, Аджарское государственное издательство, 1938 г.

6. Наша работа на тему: «Квадратное неравенство с одним неизвестным и методика его обучения» издана отдельной брошюрой.

7. 1 часть настоящего труда в виде сокращенной статьи под заглавием «Элементы высшей математики в средней школе» нами напечатана в журнале «Скола да Цховреба» («Школа и жизнь») № 12, 1964.

На основании наших соображений по отдельным рассмотренным в настоящем труде вопросам и выводам, полученным по отдельным его главам, а также по результатам анализа проведенного нами эксперимента, можно прийти к следующему заключению:

1. В V—VII классах необходимо углубить и расширить пропедевтическое обучение функции так, чтобы правильное освещение идеи функциональной зависимости и развитие представления о переменной величине составляли главное содержание обучения на уроках арифметики, алгебры и геометрии.

2. Изучение систематического курса функций следует начать с VIII класса и ознакомить учащихся с определением функции, данным Лобачевским-Дирихле. Углубленным изучением элементарных функций учащимся надо дать понять теоретическое, практическое и прикладное значение изучения функций вообще.

3. В основу элементарного исследования функции элементарным способом следует положить отысканные области определения функции, определение точек разрыва (если таковые имеются), установление постоянства, убывания и возрастания функции, нахождение ее экстремальных значений, выяснение четности и нечетности и периодичности функции, построение графиков функций по соответствующим табличным данным.

4. Для исследования элементарных функций и их основательного изучения необходимо пользоваться предварительно точно выполненным графиком (в виде плаката) изучаемой функции, для чего необходимо массовое изготовление (в форме плакатов) графиков основных элементарных функций.

5. Надо обратить внимание на то обстоятельство, что изучение элементарного исследования функций должно подготовить базу для основательного, продуманного усвоения элементов математического анализа в средней школе.

6. Для практического обучения элементам высшей математики в средних школах необходимо пересмотреть ныне существующую программу, и на базе этой программы создать в ближайшее время учебники и надлежащую методическую литературу.

7. Включение в курс средней школы элементов высшей математики признать своевременным и целесообразным. При разборе элементов математического анализа должна быть соблюдена логическая последовательность: указанные элементы должны быть органически связаны со всем курсом ма-

тематики средней школы, для чего до обучения элементам математического анализа значительное место надо отвести основательному изучению функций.

Необходимо, чтобы обучение элементам математического анализа составляло естественное продолжение традиционного материала школьной математики.

8. Изучение элементов математического анализа в средних школах должно показать учащимся силу математического анализа, его теоретическое и практическое значение для человечества, при помощи которого разрешаются задачи, возникающие в жизни и на производстве, какие в большинстве случаев не под силу аппарату элементарной математики.

9. Обучение основным элементам математического анализа и строгость передачи не должны быть ниже научного уровня проработки какой-либо математической темы средней школы.

Сила математического анализа должна быть выявлена при решении задач из области производства, жизни, техники и при изучении смежных математике предметов (физики, химии).

10. Те элементы математического анализа, которые входят в программу, согласно проведенному нами эксперименту, вполне можно изучить в пределах отведенных уроков.

11. В связи с включением элементов высшей математики в программу средних школ необходимо создать для обучения этим новым вопросам пособия методического характера.

Настоящий труд как раз и служит этой цели и мы полагаем, что он хотя бы частично окажет помощь как учителям-практикам, так и студентам педагогического института, вовлеченным в очное и заочное обучение.

Подписано в печать 9/VIII-65 г. Формат бумаги — 60X92/Vie-Печатных листов — 1,5. Учетно-изд. листов — 1.

Заказ 1461 УЭ 00120 Тираж 180

Типография Тбилисского университета, Тбилиси, пр. И. Чавчавадзе, 1.