Министерство просвещения РСФСР Московский Областной педагогический институт

На правах рукописи

В. Д. ЧИСТЯКОВ

ДВИЖЕНИЕ ЗА ПОВЫШЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО УРОВНЯ В МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ В РУССКОЙ ШКОЛЕ XIX и начала XX века

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва —1952

I.

В историй просвещения русская методическая мысль не стояла в стороне от реформы преподавания математики в средней школе. Требования русских ученых (Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского, Н. В. Шкляревича и др.) на мною лет предвосхитили идеи запада и шли значительно дальше требований, выдвинутых в Западной Европе Клейном и Рике.

Характерной особенностью русской реформистской мысли является требование таких реформ, которые не только не снижают общий уровень преподавания математики, но наоборот, способствуют его повышению.

Согласно с этим теоретический уровень элементарной геометрии как предмета преподавания в средней школе должен все время возрастать, отражая в доступной форме для учащихся значительные достижения геометрии, как науки.

Вот почему движение за повышение теоретического уровня в методике преподавания элементарной геометрии в средней школе находит большое место в истории отечественной методической мысли. Работа в этом направлении далеко не закончена и ведется в настоящее время.

Целью диссертации является:

1. Показать прогрессивный характер русской методической мысли, который сказался в научной постановке преподавания геометрии в средней школе.

В диссертации показана плодотворная работа в этом направлении таких замечательных ученых-методистов, как С. Е, Гурьев, Т. Ф. Осиповский, В. Я. Буняковский, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев и др.

Этому вопросу посвящается первая глава.

2. Дать характеристику научному перевороту, совершенному Н. И. Лобачевским в геометрии, и дать анализ той идейно-политической борьбы, которая развернулась в связи о установлением приоритета Н. И. Лобачевского на открытую им геометрию.

Этому вопросу «посвящается вторая глава.

3. Показать плодотворное влияние величайших открытий Н. И. Лобачевского на русскую методическую мысль и ту борьбу, которая велась и ведется за проникновение их в среднюю школу.

Этому вопросу посвящаются третья и пятая главы.

4. Показать развитие аксиоматического метода в русской науке и ту борьбу, которая велась и ведется за отражение аксиоматического метода в школьном курсе геометрии.

Этому вопросу посвящена четвертая глава.

И, наконец, исходя из классической работы товарища Сталина «Марксизм и вопросы языкознания», опираясь на лучшие достижения отечественной методики, поставить на обсуждение (в связи с необходимостью повышения теоретического уровня) некоторые вопросы методики преподавания геометрии в советской школе.

Этому посвящается шестая глава (последняя).

Предлагаемая диссертация является итогом 20-летней педагогической практики автора, из которых 18 лет в качестве старшего преподавателя математики педагогического института.

Многолетний опыт чтения лекций по основаниям геометрии и методике математики, а также тесная связь автора с разными школами г. Витебска и Витебской области послужили стимулом для написания данной работы и дали ценный фактический материал для ее практического осуществления.

Основными источниками настоящей работы были:

1. Труды классиков марксизма-ленинизма, в особенностей работа И. В. Сталина «Марксизм и вопросы языкознания».

2. Педагогическая и методическая литература XIX и начала XX века.

3. Опыт русской школы, освещенный в исторических и научных трудах.

4. Современная педагогическая и методическая литература.

5. Опыт работы автора в школе и педагогическом институте.

6. Школьный эксперимент, наблюдения и беседы.

Методический материал, послуживший основой для написания диссертации, в том или ином виде излагался и проверялся автором:

1. Дважды в июле—августе месяце 1949 и 1950 гг. на курсах повышения квалификации учителей средних школ Витебской области, имеющих высшее педагогическое образование.

2. В 1949/1950 уч. году на кружке по математике для учащихся 10-х классов средних школ, организованном при кафедре математики Витебского государственного педагогического института имени С. М. Кирова.

3. В течение ряда лет на лекциях по основаниям геометрии на 4-м курсе пединститута.

4. На лекциях по элементарной геометрии учительского института.

5. На ежегодно проводимой педагогической практике со студентами учительского и педагогического институтов.

6. На городских и областных методических совещаниях учителей, проводимых по линии Витебского института усовершенствования учителей.

Все главы диссертации были предметом детального обсуждения на заседаниях кафедры математики Витебского государственного педагогического института им. С. М. Кирова, а также на совещаниях городского методического объединения учителей математики гор. Витебска.

В своей работе автор использует опыт передовых учителей Советского Союза по материалам печати, а также опыт лучших учителей гор. Витебска (А. Г. Блау, А. И. Багреевой, В. У. Авсеева, А. А. Скляр, З. М. Бумагина и др.) по материалам собственных наблюдений.

Огромную методическую помощь автору оказали труды классиков марксизма-ленинизма. Работа И. В. Сталина «Марксизм и вопросы языкознания» в этом отношении была руководящей, она определяла направление и характер выполненной диссертации.

II.

Традиционная система изложения геометрии по Евклиду, основанная на догматическом сообщении чисто формальных доказательств заранее сформулированных теорем, исходя из ранее предпосланных аксиом и постулатов, не могла полностью на всех этапах обучения отвечать потребностям школы, а потому с давних пор вызывала известное недовольство в педагогических кругах и становилась предметом настойчивой и временами очень резкой критики. Стремление не только «обновить», но совсем заменить «Начала» Евклида как учебник, особенно сильно сказались накануне Французской буржуазной революции в знаменитом «плане Даламбера».

У нас в России с критикой традиционной системы преподавания геометрии выступил С. Е. Гурьев, явившийся сторонником повышения теоретического уровня в методике преподавания элементарной геометрии. Лейт-мотивом его выступлений является не снижение научно-теоретического уровня, установленного в «Началах» Евклида, а всемерное повышение его. Поэтому он выступал против всех научных авторитетов, которые под видом критики традиционного метода Евклида старались снизить теоретический уровень геометрии, как учебного предмета. С. Е. Гурьев критически отнесся к плану Даламбера и первый в мировой литературе выступил с резкой критикой Лежандра, претендовавшего своей научной строгостью превзойти Евклида и Архимеда.

Значение С. Е. Гурьева в изучаемом вопросе заключается

В ТОМ, ЧТО ОН:

1) исходя из научных достижений своего времени, возглавил движение за повышение теоретического уровня в методике преподавания геометрии;

2) своей критикой способствовал укреплению оппозиции против «Элементов» Лежандр а и постепенному их вытеснению;

3) явился энтузиастом в создании национального русского учебника по геометрии.

В движении за повышение теоретического уровня в методике преподавания геометрии в начале XIX века заметно выделяются два течения.

Первое течение («академическое») возглавляется С. Е. Гурьевым и Петрушевским, известным переводчиком «Начал» Евклида. Характерная особенность этого течения — тяготение к «усовершенствованному» Евклиду с сохранением в основных чертах его требования: «геометрия должна излагаться только геометрически». Стремясь к более совершенной научной строгости в изложении геометрического материала, представители этого течения часто забывали самые простые дидактические требования и писали учебные руководства для школы, не учитывая возрастных особенностей учащихся.

Второе течение («дидактическое») шляется прямой противоположностью первого. Представителем (Второго течения является математик-методист Рохманов, известный издатель «Военного журнала». На страницах своего журнала Рохманов выступил против учебника геометрии С. Е. Гурьева и подверг его резкой критике. Это течение наиболее массовое. К нему, повидимому, принадлежало подавляющее большинство учителей. Из крупных ученых к этому течению можно отнести Н. И. Фусса и Т. Ф. Осиповского. Характерной особенностью этого течения является тяготение к метрической геометрии, с отказом от традиционного требования «геометрия должна излагаться только геометрически». На первом плане — дидактические требования, определяющие отбор и содержание геометрического материала, характер и степень научной строгости его изложения.

Движение за повышение теоретического уровня в методике преподавания геометрии в русской школе в XIX веке тесно переплетается с борьбой за создание (Полноценного национального учебника по геометрии. После попыток ряда ученых (С. Е. Гурьев, Н. И. Фусс, Т. Ф. Осиповский) проблема создания национального русского руководства по геометрии на весьма оригинальных началах была решена гениальным Н. И. Лобачевским в его курсе «Геометрия». Этот курс отвечает материалистическим воззрениям автора. Здесь математическая строгость не является, как у Евклида и его сторонников, самоцелью, а является надежным средством для изучения окружающей материальной действительности.

Подлинным борцом за повышение теоретического уровня в методике преподавания элементарной геометрии явился прославленный ученый и талантливый педагог акад. М. В. Остроградский.

В своем учебнике «Руководство начальной геометрии» (1855—1860) М. В. Остроградский выдвигает и защищает следующие принципы:

1) Изложение геометрии необходимо начинать с подробных объяснений оснований, на которых она строится (анализ предположений и начальных истин).

2) При рассмотрении геометрическою вопроса надо исходить из более общей его постановки, из которой он вытекал бы как частный случай.

3) Запрещается подменять доказательство ссылкой на чертеж. Всякое доказательство в геометрии должно состоять из логических, рассуждений, в которых роль наших наглядных представлений исключительно вспомогательная.

4) Изложение метрической геометрии, «по возможности, должно быть аналитическим (алгебраическим), в котором чертежи не обязательны.

Учебник геометрии М. В. Остроградского и выдвинутые им положения были предметом горячей дискуссии (выступления Чернышевского, Воленса и Латышева), в результате которой намечался путь к построению русского учебника, отвечающего всем необходимым научным и педагогическим требованиям.

В диссертации показана большая роль крупнейшего математика мирового значения акад. П. Л. Чебышева в развитии геометрии как учебного предмета преподавания. Хотя П. Л. Чебышев и не работал в средней школе и не писал для нее учебников, тем не менее его методические идеи в 60-х годах прошлого века были руководящими при написании многих русских учебников по математике. Эти идеи не потеряли своего значения и для нашего времени.

В качестве рецензента П. Л. Чебышев проанализировал свыше 200 учебников, на которые он дал исключительно строгие и содержательные отзывы. Требования к учебнику, предъявляемые П. Л. Чебышевым, сводятся в основном к следующему:

1) Все объяснения должны быть вполне строги и с крайне осмотрительным употреблением слов «очевидно», «само по себе», «понятно», и т. п., которые нередко употребляются авторами там, где доказательство составляет особые затруднения.

2) Особое внимание должно быть обращено на ясность и определенность выражений (формулировок), не допускающих оборотов речи с различным пониманием смысла.

3) Нельзя из геометрии делать описательную науку. Наглядность в геометрии не должна служить самоцелью и ни в коем случае не может служить основанием для снижения требований научной строгости.

4) Необходимо приветствовать всякое мероприятие, если оно направлено на улучшение преподавания математики в средней школе и способствует поднятию теоретического уровня преподавания математики на более высокую ступень.

5) «Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты» (Чебышев). Поэтому большое место в геометрии средней школы должно быть отведено упражнениям и задачам, которые должны способствовать закреплению теории и придать ей практическую ценность.

III.

Общественный подъем и развитие культуры первой трети XIX века, пробужденные народной войной против Наполеона, сказались в многогранном творчестве великого русскою математика и мыслителя, создателя неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского. Эпоха, выдвинувшая декабристов и революционных демократов, выдвинула в науке гениального Лобачевского. Н. И. Лобачевский не только величайший геометр, но он также выдающийся философ-материалист. Он умножил славные материалистические традиции Ломоносова в естествознании. Наряду с Ломоносовым, Радищевым, Герценом, Белинским, Чернышевским и Добролюбовым Н. И. Лобачевский является классиком русской материалистической философии. Вопрос об отношении мышления к бытию — основной вопрос философии — Лобачевский решал материалистически. Он считал, что мир материален и существует вне нашего сознания. Через все работы Лобачевского проходят идеи, чуждые агностицизму, и полная убежденность в возможности познания действительного мира.

Лобачевский правильно разобрался в эмпиризме Бэкона и рационализме Декарта и считал, что познание должно включать в себя эмпирические и рациональные моменты. В своих работах он старался подчеркнуть, что процесс познания должен включать в себя не только опыт и чувственное восприятие, но и мышление. Имея в виду опытные данные и наши чувственные восприятия, Лобачевский писал:

«Ум может и должен их приводить к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке»1.

Материалистическая теория познания Лобачевского явилась надежной философской основой всех его научных и научно-педагогических работ, в частности и в созданной им новой геометрии.

Смелая и мужественная борьба Н. И. Лобачевского с кантианством явилась крупнейшей победой материализма в науке.

1 Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений по геометрии, т. I, Казань, 1883, стр. 231.

Лобачевский нанес сокрушительный удар философии, выражавшей идеологию трусливой немецкой буржуазии с ее пресмыкательством перед дворянством и прусской монархией, философии, которая всячески распространялась идеологами русского самодержавно-крепостнического строя, находившего в ней орудие борьбы против материализма и передовых идей того времени.

Величайшее открытие Лобачевского явилось поворотным пунктом в развитии геометрии, как науки, Под влиянием идей Н. И. Лобачевского был создан современный аксиоматический метод в науке. Идеи Лобачевского послужили отправной точкой для построения геометрии Римана и других геометрических систем. Развитие идей Лобачевского нашло широкое применение в современной физике (теория относительности).

Россия раньше, чем Запад, оценила гениальные творения Лобачевского в области геометрии. Еще при жизни Лобачевского русский ученый П. И. Котельников публично дал высокую оценку геометрии Лобачевского.

Труды Лобачевского вошли золотым фондом в нашу отечественную науку и вместе с их автором вызывают законную национальную гордость русского народа и всех народов Советского Союза.

IV.

В диссертации дается первый опыт освещения истории движения за проникновение идей Лобачевского в среднюю школу, как в советский, так и в досоветский периоды.

Педагогические воззрения самого Лобачевского глубоко самобытны. Лобачевский шляется одним из крупнейших педагогов, деятельность которого была направлена на развитие и укрепление материалистической традиции в русской педагогике и методике математики,

Являясь сторонником просвещения широких народных масс, Н. И. Лобачевский исключительное значение придавал школе, которая, по его мнению, должна семейное, индивидуальное образование заменить государственным, общественным, и учителю, который призван не только учить молодое поколение, но и воспитывать его, развивать в нем не только умственные способности, но и нравственные черты характера, где на первом месте стоит служение своему народу, преданность и любовь к родному отечеству.

Что касается методики преподавания геометрии, то Н. И. Лобачевский придерживался следующих взглядов:

1) Геометрия должна определяться как «часть чистой математики, в которой предписываются способы измерять пространство» (Лобачевский).

2) Главное внимание должно обращаться на первые основные понятия геометрии, которые получаются нашими чувствами прямо из природы. «От ясности первых понятий зависит успех всею учения» (Лобачевский).

3) Для того, чтобы добиться логической ясности при изложении учебного материала, требуется:

во-первых, чтобы изложение было систематическим;

во-вторых, чтобы новый материал сообщался при условии хорошего усвоения предшествующего;

в-третьих, чтобы сообщение геометрического материала состояло из ряда доказательств, щель которых не только изложить истину, но и убедить учащихся в ее «несомнительности» и «неоспоримости».

4) Обзорный курс геометрии, преследующий цель более углубленного изучения, должен строиться на -основу фузионизма планиметрии и стереометрии, с выделением на первый план предложений, независимых от постулата параллельных.

Неевклидова геометрия Лобачевского, совершившая подлинную революцию в математике, оказала и стала оказывать в дальнейшем огромное влияние на развитие методической мысли. Перед математиками всех стран встал вопрос о более строгом изложении теории параллельных прямых в учебной литературе и вопрос о возможности изложения геометрии Лобачевского в средней школе.

Особенно четко эти вопросы ставились отдельными русскими учеными-методистами и разрешались ими в положительном смысле (А. В. Летников, М. Е. Ващенко-Захарченко и др.). Так, проф. А. В. Летников специально для учителей средних школ в 1868 году на страницах «Математического сборника» публикует перевод с немецкого мемуара Н. И. Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий», а проф. М. Е. Ващенко-Захарченко в 1883 году издает учебник геометрии для гимназий с обстоятельным изложением новых идей Н. И. Лобачевского.

Однако эти идеи в то время настолько были новы и необычайны, что они не вошли в практику преподавания и не нашли сколько-нибудь заметного распространения в школах.

Особенно большое значение в истории борьбы за проникновение идей Н. И. Лобачевского в среднюю школу сыграли I и II Всероссийские съезды преподавателей математики (1911 и 1913 гг.).

Эти съезды замечательны тем, что на них участниками были учителя, которые на своем опыте проверили возможность и полезность изучения неевклидовых геометрий в средней школе. Доклады П. А. Долгушина и Г. А. Грузинцева по этому поводу вызвали оживленную дискуссию, которая продолжалась и после съездов (например, выступление Д. Д. Мордухая-Болтовского).

Оба докладчика пришли к выводу, что, во-первых, геометрия Лобачевского в соответствующей обработке вполне доступна учащимся, во-вторых, ее изучение в школе не только желательно, но необходимо.

Дискуссия по затронутому вопросу показала, что в этом направлении нет единого мнения, что наряду с энтузиастами изучения геометрии Лобачевского в школе имеются и серьезные противники.

Исключительно большой размах работы, связанной с изучением жизни Н. И. Лобачевского и его идей, наблюдается у нас в советский период.

В этот период:

1) Создана научно-обоснованная биография Н. И. Лобачевского, отражающая все стороны его многогранной общественной, научной и педагогической деятельности.

2) Издается наиболее полное собрание сочинений Н. И. Лобачевского, снабженное подробными комментариями, историко-библиографическими и научными обзорами.

3) Для углубленного изучения оснований геометрии в 1949 г. вышел первый том «Оснований геометрии» В. Ф. Кагана и книга Н. В. Ефимова «Высшая геометрия» (два издания: 1945 и 1949). Для педагогических институтов издана книга В. И. Костина «Основания геометрии».

4) Создан сборник задач по геометрии Лобачевского (автор Н. М. Несторович), представляющий из себя первый опыт в этом направлении в мировой литературе.

5) Имеется попытка связать геометрию Лобачевского с вопросами материалистической философии. В этом направлении показательна работа С. А. Яновской: «Передовые идеи Н. И. Лобачевского— орудие борьбы против идеализма в математике» (1950).

6) Проведены празднования замечательных дат Н. И. Лобачевского (1926 и 1943) и присуждение премий имени Н. И. Лобачевского (1937 и 1951).

7) Издано большое число работ, посвященных Лобачевскому и его геометрии, причем много работ популярного характера, рассчитанных на массового читателя.

Упомянутое выше создает благоприятные условия и надежную основу проникновения идей Лобачевского в среднюю школу. На материале работы ряда школ г. Витебска в диссертации показывается, что в советской школе проводятся лекции и доклады, а также кружковые занятия, посвященные жизни и деятельности Лобачевского и его геометрии. На примере научного подвига Н. И. Лобачевского на уроке и на внеклассных занятиях советские педагоги воспитывают у учащихся любовь к нашей Родине и чувство национальной гордости за великий русский народ, за его передовую науку и культуру.

В диссертации показано, что стремление отразить идеи Лобачевского сильно сказалось в учебной и методической литературе, предназначенной для средней школы. В частности это нашло себе место и в стабильном учебнике геометрии А. П. Киселева, а также в известном школьном курсе элементарной геометрии видного советского педагога-геометра Н. А. Глаголева.

Прогрессивные требования советских, -математиков о -более смелом продвижении идей Лобачевского в среднюю школу нашли, хотя еще слабое, отражение в ныне действующей программе по математике средней школы. В объяснительной записке этой программы дается указание на то, чтобы учащиеся, выхода из школы, знали о Н. И. Лобачевском и имели представление о его гениальном открытии. Это же требование нашло свое отражение и в программе по математике для поступающих в высшие учебные заведения. От поступающих требуется знание и понимание роли русских и советских математиков в развитии математической науки, среди которых на первом месте стоит Н. И. Лобачевский.

V.

В диссертации дается первый опыт исторического освещения движения за проникновение аксиоматического метода в среднюю школу.

Современный аксиоматический метод в руках исследователя является не только методом обоснования геометрии, но вместе с тем .является методом развития геометрии, методом получения новых фактов, которые являются несомненным достижением науки.

Велика роль русской науки в создании современного аксиоматического метода. Возникновение аксиоматического метода является дальнейшим логическим развитием и обобщением гениальных идей Н. И. Лобачевского, совершивших в математике подлинную революцию.

Нашему советскому ученому проф. В. Ф. Кагану принадлежит приоритет наиболее полного аксиоматического изложения евклидовой геометрии, в основе которой положена оригинальная система аксиом, разработанная самим автором. Большая заслуга в формировании современного аксиоматического метода принадлежит также С. О. Шатуновскому, А. Н. Колмогорову, Н. Ф. Четверухину и ряду других ученых нашей страны.

Представители математического идеализма из лагеря буржуазных ученых старались и стараются использовать аксиоматический метод для обоснования своих идеалистических, концепций на происхождение и природу аксиом, рассматривая их как чисто условные соглашения, не связанные с нашим опытом и реальной действительностью.

В противоположность идеалистическому воззрению материалистическая философия рассматривает аксиомы гометрии как результат длительной и абстрагирующей работы человеческого мышления, как отражение реальной действительности в нашем сознании, связанном с практической деятельностью человека.

«Практическая деятельность человека, — писал В. И. Ленин, — миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»1.

Попытки Гильберта сделать аксиоматический метод универсальным средством обоснования математики, годным для всех времен и всех этапов ее дальнейшего развития, противоречат развитию математики как науки.

Формализм Гильберта, объявляющий классическую математику бессодержательной и не имеющей прямого отношения к действительному миру, убедительно опровергается самим ходом развития математики, а также повседневной практикой математических исследований.

В свете аксиоматического метода совершенно изменился взгляд на характер и содержание аксиом, а также на их роль и значение при построении геометрии. Стало совершенно ясно, что старый взгляд на аксиомы как на положения очевидные и, в силу своей очевидности, не нуждающиеся в доказательстве, является антинаучным и в школе применяться не может.

Стали считать, что геометрическое изложение тем строже, чем ближе оно подходит к аксиоматическому. Движение за повышение теоретического уровня в методике преподавания элементарной математики в русской школе в начале XX века начинает принимать форму борьбы за проникновение новых идей геометрии в среднюю школу, в том числе идей аксиоматического метода.

Ярким подтверждением этого является дискуссия, прошедшая в этом направлении на I и II Всероссийским съездах преподавателей математики (выступления П. А. Долгушина, С. А. Богомолова, Г. А. Грузинцева и др.)» а также в тогдашней методической печати (дискуссионные статьи В. Ф. Кагана, Н. А. Извольского, С. А. Богомолова и т. д.).

Попытка, предпринятая проф. С. А. Богомоловым, механического переноса системы Гильберта в среднюю школу не нашла себе сторонников. От идеи систематического курса, как логической системы, Богомолову пришлось отказаться, а объявленный им факультативный курс по избранным вопросам оснований геометрии для старших классов успеха не имел.

Теперь, когда в СССР наблюдается небывалый подъем культуры вообще, а математической культуры в частности, теперь, после гениальных указаний товарища Сталина о единстве языка

1 В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 164.

и мышления, а также об абстрактном характере геометрии, созданы все предпосылки и условия известного отражения аксиоматического метода в курсе геометрии средней школы.

В этом направлении имеются положительные заявления авторитетных ученых математиков и методистов нашей страны, а также известный опыт передовых учителей.

Конкретная разработка аксиом школьной геометрии и дедуктивное изложение на их основе какого-нибудь определенного раздела школьной программы для старших классов несомненно будет способствовать дальнейшему повышению теоретического уровня в методике преподавания элементарной геометрии в советской школе.

VI.

В связи с постановкой вопроса о повышении теоретического уровня в методике преподавания элементарной геометрии в средней школе автор приходит к выводу о необходимости активизировать работу школьных математических кружков и повысить логику дедуктивных доказательств по геометрии, в особенности в старших классах.

Для этой цели:

1) Автор .предлагает свои соображения относительно методики более широкого толкования элементов пространства: точки, прямой и плоскости (в основном для кружка и частично для уроков повторения в 8 и 9 классах).

2) Автор останавливается на работе над определениями геометрических понятий в советской школе. Наряду о общими положениями в диссертации даются методически разработанные вопросы и упражнения (на кружке и на уроке), вошедшие в настоящее время в практику преподавания средних школ г. Витебска (13 СШ, 20 СШ и др.).

3) Даны соображения о прохождении первых глав стереометрии (прямые и плоскости).

4) Освещен опыт работы автора о первом знакомстве учащихся с Лобачевским и его геометрией в классе и на кружке.

5) Приводятся опытные данные о понимании роли Лобачевского в развитии математической науки учащимися 10-х классов ряда школ г. Витебска.

6) Разработана тематика школьного математического кружка по изучению геометрии Лобачевского, в основу которой положена тематика математического кружка для учащихся 9-х и 10-х классов, организованного при кафедре математики Витебского государственного пединститута им. С. М. Кирова и работающего под руководством автора.

Таким образом, автор приходит к заключению, что хотя и невозможно в условиях средней школы систематическое развитие аксиоматического метода как абсолютной геометрии, так и отно-

сительных геометрий (Евклида и Лобачевского), тем не менее эпизодическое знакомство с ним в виде известного отражения на уроке и в большем виде на кружке вполне реально и выполнимо.

В условиях, средней школы вполне возможно:

1) Изложение идей интерпретаций основных элементов пространства: точки, прямой и плоскости.

2) Сообщение системы аксиом сочетания и порядка на первых уроках стереометрии.

3) Повышение логики дедуктивных доказательств на уроках стереометрии.

4) Ознакомление с современным положением неопределяемых понятий и истинной роли аксиом.

Несмотря на то, что в ныне действующих программах не имеется темы, посвященной Лобачевскому и его геометрии, тем не менее с этим вопросом ознакомить учащихся целесообразно и необходимо.

На уроках геометрии в 6 классе учитель, выполняя требование программы, обязан указать учащимся, что кроме евклидовой геометрии, изучаемой в школе, есть еще другая геометрия — неевклидова, создателем которой является великий русский ученый Николай Иванович Лобачевский и которая носит его имя.

На уроках повторения в 6—7 классах надо познакомить учащихся с жизнью Н. И. Лобачевского и дать о нем краткую биографическую оправку (подробный рассказ о Н. И. Лобачевском дается на кружке). Далее без развития идей Лобачевского сообщить, что Н. И. Лобачевский был первым, кто доказал недоказуемость аксиомы параллельных прямых и положил конец разного рода попыткам доказательств. При этом надо подчеркнуть, что Н. И. Лобачевский решил задачу, над которой ученые бились безуспешно в течение более двух тысяч лет.

На уроках, повторения в 10-м классе надо снова вернуться к геометрии Лобачевского и более подробно рассказать о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского и, опираясь на интерпретацию Миндинга-Бельтрами (используя для этой цели специально изготовленную модель (псевдосферы, на которой можно мелом наносить геодезические линии), дать известное представление о его геометрии (опыт работы автора и преподавателя математики 20 СШ З. М. Бумагина).

Более подробное изучение учащимися 10-го класса геометрии Лобачевского и истории, связанной с ней, проходится в тематическом кружке, специально организованном для этой цели.

Отрадно отметить (и материалы исследования, собранные автором по ряду Витебских средних школ, подтверждают это), что вопросу ознакомления учащихся с великим русским математиком Н. И. Лобачевским школы начинают уделять самое серьезное внимание, а следствием этого является повышенный интерес к личности Н. И. Лобачевского и его гениальному открытию.

Автор высказывает мысль о включении в программу средней школы специальной темы «Великий русский ученый Н. И. Лобачевский и его геометрия». Лучше всего эту тему отнести к материалу 10-го класса, в конец программы по геометрии (после темы «Тела вращения»). Примерное число часов, отводимых новой теме, должно колебаться от 6 до 10-ти.

Вводимая тема, помимо научно-познавательного значения, имеет еще и большое воспитательное значение. Эта тема содержит богатый материал для осуществления общих задач коммунистического воспитания на уроках геометрии. Несомненно, что материал новой темы будет способствовать формированию марксистско-ленинского мировоззрения учащихся, будет содействовать воспитанию в них советского патриотизма и советской национальной гордости. Смелая и мужественная натура Н. И. Лобачевского послужит хорошим примером выработки воли и характера учащихся.

Введение новой темы значительно повысит ответственность учителей за ее прохождение и ликвидирует тот разнобой, который по данному вопросу имеется до настоящего времени. Кроме того, это мероприятие мобилизует методическую мысль на лучшую разработку этого вопроса.

Л 122867 16/V-52 г._Зак. 2558_Объем 1 п. л. Тир. 100

Типография Углетехиздата. Москва, Давыдовский пер., 4.