АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

ЧИРКИНА З. П.

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат к диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

1950 г.

ЦЕЛЬ, ЗАДАЧИ И ЗНАЧЕНИЕ РАБОТЫ

Нет сомнения в том, что, как правило, средняя школа выпускает учащихся, вполне подготовленных к дальнейшей учебе, вполне овладевших основами наук. Но еще не единичны случаи, свидетельствующие о значительных недостатках в знаниях и умениях учащихся. Эти недостатки сводятся к трем основным:

1) Формализм в знаниях учащихся.

2) Слабое пространственное представление.

3) Недостатки логического мышления.

Практика работы в школе дает многочисленные примеры того, как некоторые учащиеся могут не останавливаясь провести «доказательство» теоремы в полном соответствии с изложением его в учебнике. Но изменение буквенных обозначений, изменение расположения чертежа, вопросы обоснования утверждений доказательства — ставят учащегося в безвыходное положение.

Например, учитель на предыдущем уроке изложил теорему о свойствах диагоналей ромба. На следующем уроке вызванный ученик «доказал» ее, копируя учебник Киселева, но не сумел сказать, что «дано» и что «требуется доказать», почему, например, из равенства треугольников следует равенство одних углов, а не других. Усвоив лишь внешнюю форму выражения знаний, но не поняв сущности доказательств и содержания теоремы, ученик затрудняется в решении задач.

Поэтому формальные знания бессодержательны и являются мертвыми, недейственными, бесполезными.

На основе имеющейся литературы, из наблюдений работы отдельных школ и из ряда специально нами проведенных контрольных работ, можно сделать вывод о наличии слабого пространственного представления у многих учащихся. Например, в качестве контрольной работы была предложена задача: «Дан трехгранный угол S ABC, у которого все три плоские углы прямые. На его ребрах отложены длины: SA=a; SB=b; SC=c. Через точки А, В, С проведена плоскость. Определить объем пирамиды SABC. Из 16 учащихся ее решили только двое.

Некоторые из учащихся опускали высоту из вершины S' на плоскость Д ABC — другие из вершины А, и занимались алгебраическими вычислениями.

Или, например, задача определения кратчайшего расстояния стороны основания до пересекающей ее диагонали (Рыбкин, II ч., § 7, № 26), вызвала затруднение у всего класса.

Недостатки логического мышления, чаще всего выражаются в следующем:

1) нет ясного понимания цели доказательства;

2) нет ясного понимания основ доказательства.

В результате этого, такие учащиеся пользуются в доказательстве доказываемым тезисом или следствиями, из него вытекающими; пользуются необоснованными утверждениями, наглядностью по чертежу, вместо общих положений, о которых говорится в формулировке теоремы, ограничиваются доказательством частного случая.

Например, ученик VI класса «доказывал теорему: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую»,— таким рассуждением: если прямая MN пересекает прямую AB, то она пересечет и прямую СД вот здесь» — (продолжает MN до пересечения с СД и показывает точку пересечения).

В борьбе с вышеуказанными недостатками большое значение имеет решение задач на доказательство. При решении задач на доказательство, ученик не имеет готового чертежа и доказательства, т. е. не имеет того, что можно было бы выучить на память. Перед ним только условие теоремы. Ему надо разобраться в составных частях теоремы, построить чертеж, отвечающий задаче, установить зависимость между условиями и заключением теоремы (отыскать доказательство), суметь применить изученные теоремы в данных условиях. Значит, решая задачу, ученик будет самостоятельно делать логические выводы, обосновывать их, сознательно пользоваться изученным материалом. Отсюда ясно, что при таком, самостоятельно выполненном комплексе, работы, не может быть места формализму в знаниях.

Чтобы отыскать и изложить доказательство теоремы, учащийся должен правильно мыслить: невозможно отыскать истинную связь условий и заключения задачи-теоремы, если не быть последовательным в суждении, делать необоснованные выводы, проходить мимо противоречий в выводах и т. д. Поэтому, решая задачи на доказательство, учащийся неизбежно должен научиться правильно мыслить.

Геометрия является наукой, которая по классическому опре-

делению Энгельса «имеет своим предметом пространственные формы материального мира». В силу этого ей отводится главная роль в развитии пространственного представления и воображения учащихся.

Систематическое решение задач геометрического содержания и, в частности, решение задач на доказательство развивают пространственное представление. В самом деле, решая задачу на доказательство, необходимо:

1. Представить фигуру со всеми элементами, о которых идет речь в формулировке задачи-теоремы.

2. Изобразить эту фигуру на чертеже, чтобы нагляднее видеть те действия, которые надо произвести для решения задачи.

3. Так как чертеж не моделирует фигуру, то надо выполненное на чертеже представлять в пространстве. Для этого сам чертеж должен быть построен наглядно, по правилам проекции, ибо не всякий чертеж одной и той же фигуры способен в одинаковой мере вызвать ее пространственное представление.

4. В результате решения учащийся познает новые пространственные соотношения.

В основном причины недостатков в знаниях учащихся по геометрии объясняются несовершенством программ, учебников, задачников и отдельными недостатками в методике преподавания геометрии.

С геометрическими понятиями учащиеся встречаются только в IV классе. К VI классу учащиеся должны знать: вычисление периметров простейших геометрических фигур, площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма и треугольника; поверхность и объем куба и прямоугольного параллелепипеда. В VI классе сразу начинается изучение формально-логического курса геометрии. К усвоению его учащиеся не подготовлены. В слабом развитии пространственного представления также есть доля вины программы: изучение стереометрии начинается со 2-ой половины IX класса, а в десятом классе большая часть времени идет на вывод формул для вычисления объемов и поверхностей пространственных фигур. Если учесть, что большую часть решаемых задач составляют задачи на вычисление, то будет понятна одна из причин недостатка пространственного представления.

Учебник геометрии Киселева не удовлетворяет требованиям, которые предъявляются к учебникам по геометрии в настоящее время:

1. Идея преобразования, которая является одной из важнейших в современной математике, — в учебнике не получила какого либо значения и применения.

2. Язык книги не всегда соответствует возрастным особенностям учащихся.

3. Отсутствуют теоремы с отысканием доказательства.

4. Первые определения, аксиомы, теоремы и их доказательства даны без достаточного разъяснения и примеров.

Стабильным задачником является задачник Рыбкина. Б этом задачнике особенно ярко выражено преобладание вычислительных задач над задачами на доказательство.

В процентном отношении к вычислительным задачам, задачи на доказательство составляют:

по VI классу—11%, по VII классу —9,2%, по VIII—IX (планиметрия)—7,9%; по IX классу (стереометрия)—8,1%, по X классу — 3,7%.

Отсюда видно, что учащиеся не приучаются самостоятельно доказывать: как правило, при объяснении им преподносится готовое доказательство, в закреплении и на дом — задача на вычисление. Привыкнув к изучению изложенных доказательств, учащиеся часто не видят простоты геометрических соотношений и решение задачи стараются свести к алгебраическим вычислениям. Особенно это заметно при решении стереометрических задач.

Изучение геометрии в школе имеет три основных цели:

1. Достигнуть ясного представления основных пространственных образов, их важнейших свойств и взаимоотношений,

2. Научить учащихся правильно мыслить и логически рассуждать,

3. Научить применять добытые знания к решению геометрических задач, в связи с этим для каждой из этих проблем, (как мы видели) решение задач на доказательство играет огромную роль.

Изложенным выше определяется цель настоящей работы:

1) Дать характеристику и структуру задач;

2) Изложить логическую сущность доказательства;

3) Дать указания к подбору задач с точки зрения их педагогической ценности.

4) Показать опыт решения задач на доказательство по всем классам средней школы.

Теоретическая значимость решения задач на доказательство показана выше и она бесспорна. Но так же бесспорна и трудность их решения в любом классе средней школы. После подбора задач и расположения их в порядке прохождения учебного материала и, по возможности, в порядке возрастающей трудности, нами было организовано систематическое решение этих задач по всем классам. Решение проходило в III женской и I мужской средних школах гор. Чебоксар; в женской школе в течение двух лет, в мужской — один год. Трудности в решении предложенных задач, ошибки, а иногда и весь ход доказательства, фискировались учителем. Многие из этих задач решались в присутствии автора.

Краткое изложение содержания диссертации.

Глава I (введение).

ХАРАКТЕРИСТИКА НЕДОСТАТКОВ В ЗНАНИЯХ ПО ГЕОМЕТРИИ.

§ 1. Формализм в знаниях по геометрии и значение решения задач на доказательство в борьбе с ним.

§ 2. Пространственное представление и роль задач на доказательство в развитии его.

§ 3. Логическое мышление и значение задач на доказательство в развитии его.

В каждом из указанных параграфов, на конкретных примерах, показано наличие соответствующего недостатка и роль решения задач на доказательство в борьбе с ним.

§ 4. Причины неудовлетворительного современного состояния знаний по геометрии.

Указаны те причины, о которых говорилось выше в вопросе о целях и задачах работы.

§ 5. Дан краткий обзор имеющейся литературы по вопросу решения задач на доказательство.

Глава II.

ХАРАКТЕРИСТИКА И СТРУКТУРА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

§ 1. Что такое задачи на доказательство?

1. Поскольку сложная геометрическая фигура состоит из нескольких элементов (сторон, углов, граней и т. д.), то по отношению к каждой фигуре существует несколько теорем, выражающих свойства этой фигуры. Например, о параллелограмме, кроме изучаемых теорем, можно указать следующие:

1) «Соединив последовательно середины сторон какого-нибудь четырехугольника, получим параллелорамм».

2) «Доказать, что в четырехугольнике АВСД, который не есть параллелограмм, отрезки прямых, соединяющих середины диагоналей АС и ВД, с серединами строи AB и СД, образуют параллелограмм KLMN».

2°. Теорем, дающих соотношение между фигурами, существует тоже значительно больше, чем они есть в стабильном учебнике Киселева. Например, кроме трех изучаемых признаков равенства треугольников, есть еще следующий: если две стороны и угол против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то треугольники равны.

3°. Слишком большое число сформулированных теорем и тех, которые могут быть сформулированы, объясняется именно тем, что объективно существует бесчисленное множество фигур, обладающих определенными свойствами, и существует бесчисленное множество соотношений между фигурами.

Следовательно, может существовать и бесчисленное множество теорем. Включить в программу все теоремы, касающиеся изучаемых фигур, невозможно, и нет в этом надобности так как изучение геометрии не сводится к «разучиванию» теорем.

Поэтому из существующих в настоящее время теорем о рассматриваемой фигуре выбираются для изучения те ведущие теоремы, без которых невозможно построение нормального курса геометрии. Из остальных теорем, согласно их педагогической ценности, отбираются теоремы для самостоятельного доказательства и помещаются в задачнике или учебнике. Это и будут задачи на доказательство теорем, или коротко — задачи на доказательство.

§ 2. Виды задач на доказательство.

В работе рассматриваются виды задач:

1) с точки зрения приема доказательства,

2) с точки зрения их педагогической ценности.

1°. С точки зрения приема доказательства — задачи могут иметь доказательство прямое или от противного.

Если анализ задачи привел к последовательности силлогизмов, построенной так, что ею утверждается сформулированное в задаче заключение, то доказательство называется прямым. Дан пример. Допустим, что трудно подобрать последовательность силлогизмов, подтверждающую теорему «Все S суть Р» (если теорема дана категорическим суждением). Предположим тогда, что «не все S суть Р» и в этом предположении будем вести доказательство. Если в процессе доказательства придем к суждению, противоречащему какому-нибудь истинному, то на основании соотношения противоречащих суждений, — суждение «не все S суть Р» — ложно, а «все S суть Р» — истинно. Даны примеры.

2°. Виды задач на доказательство сточки зрения педагогического значения.

Естественно, что результаты решения задач на доказательство зависят не только от количества решенных задач, но и от их качества. Поэтому необходимо проводить отбор задач на доказательство согласно их педагогической ценности. Указываются следующие виды задач: 1. Задачи на развитие логического мышления;

2. Задачи на развитие пространственного воображения и представления.

3. Задачи на выбор рационального решения. В работе даны примеры таких задач.

3°. Задачи на доказательство, применяемые при решении задач на вычисление и построение.

Решая задачи любого вида (на вычисление, построение или доказательство) мы должны добиваться возможной простоты их решения. Некоторые задачи на вычисление и построение рационально решаются применением соответствующих задач на доказательство.

В работе даны некоторые из таких задач на доказательство и соответствующие задачи на вычисление и построение.

4°. Считая необходимым применение преобразований в изучении геометрии, даем примеры задач на доказательство и их решение с использованием преобразований.

Глава III.

ЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

§ 1. Понятия.

В результате воздействия внешнего мира на наши органы чувств создается ощущение. Оно представляет отражение отдельных чувственных качеств предмета в сознании человека, а с точки зрения познания — начальный его источник.

Ощущения дают материал для других познавательных процессов: воспринятий, представлений и т. д. Ленин писал: «иначе как через ощущения, мы ни о каких формах вещества, ни о каких формах движения ничего узнать не можем». (Ленин В. И., соч., т. 14, изд. 4, стр. 288). Ощущения, восприятия и даже представления в той или иной степени связаны с наглядными образами предметов. Образы накапливаются в нашем сознании. Нашей мыслью существенные признаки однородных предметов или явлений выделяются, и если отбросить не существенные, то образуется понятие. Таким образом понятие охватывает класс предметов или явлений, или соотношений, или качеств и т. д. Понятия являются элементами нашей мысли.

Определение понятий является существенным вопросом при изучении геометрии. В работе указаны логические правила, которые должны соблюдаться при определениях, и основные ошибки в определениях.

§ 2. Суждения.

Любая мысль выражается несколькими понятиями, между которыми установлена определенная связь. Всякое суждение что-то отрицает или утверждает о предметах или явлениях действительности, поэтому оно может быть истинным или ложным. Доказательство истинности или ложности простейших суждений и должно предшествовать формально логическому доказательству теоремы с тем, чтобы воспитывать у учащихся потребность в доказательствах.

В диссертации разработаны основные вопросы учения о суждениях: деление суждений по количеству, по качеству, по характеру связи между подлежащими и сказуемыми.

§ 3. Умозаключения.

1°. Правильное мышление и его законы.

Основной вопрос к мышлению — вопрос его правильности, так как правильное мышление приводит к правильным выводам, а последние — к правильным действиям.

Правильное или логическое мышление удовлетворяет законам формальной логики, которых четыре:

1) Закон тождества;

2) Закон противоречия;

3) Закон исключенного третьего;

4) Закон достаточного основания.

Эти законы характеризуют мышление определенное, последовательное, доказательное.

2°. Непосредственные умозаключения.

Если некоторое суждение получено из другого суждения, то соотношение между ними называется непосредственным умозаключением. Первое из них называется выводом, а второе — посылкой.

Непосредственные умозаключения могут быть получены: 1. Рассмотрением отношения истинности между видами суждений (А, Е, О, J); в этом случае для наглядности пользуются логическим квадратом;

2. Превращением данного суждения;

3. Обращением данного суждения.

Если к суждению, выражающему геометрическую теорему, применить превращения и обращения, то получим суждения, которые будут выражать теоремы прямую, обратную ей, противоположную прямой и противоположную обратной. На основании истинности указанных видов непосредственных умозаключений вытекает вывод об одновременной истинности теорем: прямой с обратной к противоположной и обратной с противоположной к прямой. Те же соотношения истинности не-

посредственных умозаключений обращения и превращения дают возможность сказать, когда верны все четыре вида теорем.

3°. Опосредствованные умозаключения. А) Силлогизм.

Если два суждения находятся в таком сочетании, что из них выводится новое суждение, то сочетание таких суждений называется силлогизмом. Отсюда следует, что силлогизм есть опосредствованное умозаключение. Характерной чертой силлогизма является подведение частного случая под общий закон или правило. Вывод получается с необходимостью, если мышление правильно и не нарушены правила силлогизма. В зависимости от формы суждений, которыми выражаются посылки, силлогизмы бывают категорические, условные и разделительные.

Существуют фигуры и модусы категорического силлогизма, которыми можно пользоваться для анализа правильности умозаключения.

§ 4. Логическая сущность доказательства.

1°. Система аксиом.

В геометрии, как и во всякой науке, имеется ряд неопределимых понятий: точка, прямая, плоскость. Между этими понятиями установлен ряд взаимоотношений в виде суждений, которые и называются аксиомами. Аксиомы принимаются без доказательства, но не без основания. Условиями, необходимыми для принятия системы аксиом, является ее полнота, независимость, непротиворечивость.

2°. С логической точки зрения, задача всякого доказательства заключается в том, что для данного суждения надо подобрать ряд истинных суждений, из которых с необходимостью вытекает данное суждение. Сам процесс доказательства можно представить так: нам надо доказать суждение «А есть В». Суждение «А есть В» будет истинным только тогда, когда оно будет иметь достаточное основание С. Найдя достаточное основание С, можно утверждать, что «А есть В», потому что есть С. Но С, являясь достаточным основанием, должно быть истинным, т. е. само должно иметь достаточное основание Д и т. д. Если суждение «А есть В» истинно, то, продолжая предыдущий процесс, дойдем до аксиомы или до утверждений, истинность которых уже установлена. Следовательно доказательство представляет собой отыскание достаточного основания для нашего суждения. Логическое доказательство состоит из

трех частей: тезис, аргумент, демонстрация, то есть из доказываемого положения, основы доказательства и формы доказательства.

Рассматривая доказательства геометрических теорем, приходим к выводу, что процесс доказательства сводится к отысканию определенной последовательности силлогизмов. Но при обычном изложении доказательства используется сокращенная форма силлогизма.

3°. В суждениях, входящих в доказательство, мы опираемся на законы формальной логики, быть может и не сознавая этого. Нетрудно видеть, что без соблюдения закона тождества в доказательстве невозможно было бы усмотреть связь между понятиями, входящими в доказательство; без законов противоречия и исключенного третьего не было бы обязательством признать то, что следует из исходных истин.

Отсюда следует, что сам процесс доказательства требует правильного мышления, поэтому учиться правильно мыслить лучше всего на самостоятельных доказательствах теорем.

4°. Каждая теорема представляет собой суждение, устанавливающее определенную связь между геометрическими понятиями. Понятием охватывается целый класс предметов. Таким образом доказываемая связь геометрических понятий выражает свойство не одной, а целого класса фигур. Поэтому в рассуждении доказательства мы должны пользоваться общими свойствами тех понятий, которые нужны при доказательстве. В силу этого установленными на чертеже будут только те построения, которые вытекают из общих суждений, не основанных на индивидуальных особенностях чертежа. Эта всеобщность доказательства и является его смыслом. На основании доказательств мы изучаем свойства целого класса фигур. Постепенно наше познание о свойствах геометрических фигур расширяется.

5°. Нарушение правил логического доказательства влечет за собой ошибки в доказательствах. Правила логического доказательства следующие:

а) Тезис доказательства должен быть ясным и точно определенным;

в) Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства;

с) Аргументы должны быть суждениями истинными;

д) Аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса;

е) Тезис должен быть заключением, логически вытекающим из аргументов по общим правилам умозаключения.

В работе указаны эти правила, указаны ошибки, из них вытекающие, и даны примеры ошибочных доказательств, включая и примеры математических софизмов.

§ 5. Индуктивные умозаключения.

1°. Неполная индукция.

Роль индуктивного умозаключения в познании действительности заключается в наведении» на возможные обобщения и выводы, на основании исследования отдельных частных случаев. Индуктивные умозаключения, являясь ключем к открытиям и обобщениям, бессильны установить истинность этих выводов, т. е. не могут самостоятельно решать вопросы познания. Добытые индуктивным умозаключением выводы должны быть исследованы дедукцией на их достоверность. Только единство индуктивных и дедуктивных умозаключений приводит к познанию действительности. В математике индуктивные умозаключения играют роль при установлении математических аксиом. Очевидно индукция так же должна играть роль в открытии теорем.

2°. Аналогия.

Аналогия относится к индуктивным умозаключениям. Как и индукция, она должна играть роль в открытии теорем, в «наведении» на их возможное существование. Всякое «наведение» может быть истинным, а может быть и ложным. В элементарной геометрии мы имеем примеры того и другого. В работе они указаны.

3°. Математическая индукция.

К числу аксиом математики относится принцип математической индукции. Доказательство методом математической индукции основано на подведении доказываемого под указанную аксиому. Следовательно этот метод является дедуктивным. Он весьма распространен в математике. В частности, в геометрии им доказываются некоторые из теорем (приведены примеры).

§ 6. Метод отыскания и изложения доказательств

1°. Метод отыскания доказательств есть анализ.

Пусть задача дана в форме условного суждения: «если А есть В», то «С есть Д». Не касаясь терминов логики, процесс анализа выглядит так: нам надо доказать справедливость заключения теоремы. Ставим вопрос: «Что надо доказать, чтобы заключение было верно?, из чего непосредственно следует доказываемое? Назовем найденное условие а. По отношению к а ставим тот же вопрос: чтобы а было доказанным, что должно быть известным? Находим а1 и т. д. Если теорема верна и нет ошибки в доказательстве, то, использовав в процессе указанного рассуждения ранее известные истины и ус-

ловие теоремы («А есть В»), придем к той истине, которая нужна для обоснования последнего (в нашем процессе) суждения.

Таким образом будет намечен путь от тезиса к аргументам. В работе даны отыскания доказательств некоторых задач на доказательство из планиметрии и стереометрии.

2°. Путь изложения доказательств есть синтез.

Если мы будем каждый раз требовать достаточности условий (а), (а1) ит. д., то можно установить справедливость теоремы, идя от данных в условии («А есть В») к ее заключению. В этом случае, доказательство, разбитое анализом на части, собирается в единое последовательное рассуждение, обосновывающее заключение теоремы. Это и есть синтез. В работе дано изложение доказательств, найденных анализом.

Глава IV.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Методика решения задач на доказательство складывается из следующих основных моментов:

1. Воспитание потребности в доказательствах;

2. Подход к решению задач на доказательство;

3. Подбор задач;

4. Место решения задач на доказательство.

§ 1. Воспитание потребности в доказательствах.

Воспитание потребности в доказательстве—один из основных вопросов, предшествующих формально-логическому курсу геометрии. Для этого необходимо:

1. Улучшить пропедевтический курс геометрии с тем, чтобы увеличить запас геометрических сведений, получаемых наглядным путем.

2. Подобрать ряд утверждений, истинность которых можно установить. Примеры таких утверждений могут быть взяты из окружающих предметов и явлений, из пройденного по арифметике и геометрии. Расположенные в порядке возрастающей трудности, они, кроме воспитания потребности в доказательстве, дадут навык в развитии логического мышления и речи.

3. После сообщения основных понятий геометрии (еще до перехода к доказательству теорем) включить решение нетекстовых задач на доказательство. На решениях таких задач можно с учащимися выяснить смысл и цель доказательств, роль чертежа. Кроме того учащиеся усваивают данные определения.

§ 2. Подход к решению задач на доказательство.

Подход к решению задач на доказательство осуществляется путем рассмотрения доказательства теорем. После понятия теоремы и небольшого навыка в переводе теоремы на язык геометрической символики, учащихся следует подвести к понятию задач на доказательство. Тогда в число решаемых задач могут быть включены задачи, данные символической записью и чертежом, для которых кроме решения требуется дать формулировку.

Если решение задач на доказательство начинается только в VII или в VIII классах, то первая задача на доказательство должна решаться в классе, после объяснения смысла и значения этого вида задач. К решению ее привлекается весь класс. В первых домашних заданиях и самостоятельных доказательствах можно указывать тот раздел, на применение которого дана задача.

§ 3. Подбор задач на доказательство.

Подбор задач является одним из основных вопросов правильной постановки решения задач. Подбор задач должен удовлетворять определенным требованиям.

1°. Первым и основным из них является посильность предложенной задачи. Задача должна быть посильной для среднего ученика, т. е. должна представлять такую трудность, с которой он мог бы справиться после некоторого умственного напряжения.

2°. Каждая следующая задача, вообще говоря, должна представлять некоторую трудность в сравнении с предыдущей, с тем, чтобы не ослабить умственного напряжения и заинтересованности в решении задач.

3°. Следующее требование заключается в целенаправленности предлагаемых задач, т. е. предлагаемая задача должна быть целесообразна с точки зрения ее педагогического назначения. В работе дан подбор задач, согласно их назначению. Большинство из них было решено в порядке эксперимента.

§ 4. Место решения задач на доказательство.

Задачи на доказательство должны решаться систематически. Они должны быть включены в число задач, решаемых в классе и дома и в контрольные работы. Объем их определяется требованиями к подбору задач и правильным соотношением с другими видами задач.

1°. Работа в классе.

В классе проходит основная часть работы учащихся. Здесь они знакомятся: с понятием задач на доказательство, с методами отыскания и изложения доказательств, получают указа-

ния о чтении формулировки задачи, о выделении условий и заключения ее, о правилах выполнения чертежа, об оформлении доказательств.

В § 2 настоящей главы дан подход и методика решения первых задач на доказательство. Останавливаемся на остальных затронутых здесь вопросах.

а) Выделение условна и заключения теоремы.

Этот вопрос является исходным в доказательстве теоремы. Учащиеся из понятия теорем знают, что условие и заключение содержатся в формулировке теоремы. Чтобы научить правильно выделять условия и заключения теоремы, необходимо научить их переходу от формулировки теоремы, данной категорическим суждением, к формулировке, данной условным суждением. Надо научить и обратному переходу, с тем, чтобы мысль выражалась суждением в такой форме, которая наиболее ясно и просто выражает ее содержание. Поскольку затруднение в отделении условий от заключения часто бывает вызвано неправильным чтением формулировки задачи, то надо приучить читать задачу медленно, четко, ясно и вдумчиво, предлагая повторить прочитанное.

Символическая запись условий и заключения теоремы должна проводиться в форме геометрических соотношений, т. е. с заменой определимых понятий их определениями.

в) Требование к чертежу и его роль в решении задач.

Чертеж должен быть:

1) подвижным, 2) верным, 3) наглядным, 4) аккуратно выполненным.

В этом случае он дает правильное направление мысли в отыскании доказательств.

На плоскости правильность чертежа зависит от аккуратности его выполнения и от математической грамотности учащегося. Наглядность и красота — от расположения на чертеже тех элементов, положение которых не определяется задачей, и от рельефности одних линий в сравнении с другими.

Требуя верного, наглядного и аккуратного построения чертежа, надо требовать правильного понимания роли его в доказательстве. А именно: мы доказываем не соотношения только той фигуры, которая получилась на чертеже, а свойства, справедливые для целого класса фигур, имеющих общими признаками те, что указаны в теореме; а данный чертеж изображает только одну из таких фигур. В этой фигуре некоторые соотношения могут быть характерными только для нее. В силу этого, полученные соотношения на чертеже, если они не определяются условиями задачи, должны быть доказаны, исходя из общих положений теоремы.

Изложенные требования и роль чертежа применимы к решению задач на плоскости и в пространстве. При этом: пространственный чертеж верен, если он представляет одну из проекций изображаемой фигуры, нагляден, — если создает пространственное изображение оригинала.

С. Ведение записей решения задач на доказательство в ученических тетрадях.

Здесь указывается расположение записи решения задачи в классе. Рекомендуется записывать текст решаемых задач в VI и VII классах ив старших классах при изменении формулировки задачи, проведенной с методической целью.

2°. Домашние задания.

а) Подбор задач к домашнему заданию должен удовлетворять общепринятым требованиям (гл. IV § 2), с учетом самостоятельного его выполнения. Особенно ценны задачи, решаемые несколькими способами: они вызывают своего рода соревнование по количеству способов решения, а последующая проверка решений в классе дает учителю много материала для соответствующих выводов.

При задании стереометрических задач следует требовать от учащихся объяснения к чертежу.

в) Проверка выполнения домашнего задания имеет несколько форм: 1) проверка тетрадей учителем дома; 2) фронтальная проверка в классе; 3) проверка с места; 4) решение у доски; 5) решение в классе аналогичной задачи в течение 15—20 минут.

3°. Контрольные задания.

Известно, что контрольные задания имеют целью выяснить степень подготовки учащихся по пройденному материалу. Задачи на доказательство, включенные в контрольные работы, показывают вместе с тем и навыки в самостоятельном доказательстве теорем. А это крайне важно. Если учащийся умеет решать задачи на доказательство, то он умеет логически мыслить, строить правильно чертежи, отыскивать доказательство, следовательно, он сумеет решить задачу и на вычисление. Р силу этого задачи на доказательство должны быть включены в контрольные работы. При этом к оформлению выполнения работ должны быть предъявлены соответствующие требования.

§ 5. Эксперимент проведения решения задач на доказательство по классам.

Приводимые в работе задачи на доказательство от VI до X класса включительно, были предложены учащимся в каче-

стве эксперимента. К каждой задаче дано решение ее учащимся, и если оно не рационально, то указан следуемый способ решения. Просмотр этих решений укажет учителю, кроме примерного подбора задач, на те трудности и ошибки, которые наблюдались в решении предлагаемых задач.

Выводы.

Проведенный эксперимент решения задач на доказательство позволяет сделать следующие выводы:

1°. Значительно улучшится навык в отыскании доказательств: если при первых доказательствах учащиеся часто заявляли, что «не знают с чего начать», то потом это повторялось редко. Наоборот, приходилось нередко наблюдать довольно оригинальные и рациональные самостоятельные доказательства, выполняемые как в классе, так и дома. (см. Решение задач по классам, отмеченные звездочкой и приложение № 1 к диссертации).

2°. Большинство задач, предложенных учащимся, решалось несколькими возможными спсобами. При этом сами же учащиеся давали оценку разбираемых в классе решений. Это говорит о возросшей заинтересованности учащихся к изучению геометрии, о приобретенных навыках в творческом комбинировании знаний и умений.

3°. Как правило выполненный чертеж стал верным, довольно наглядным, аккуратным, а доказательство — хорошо оформленным и обоснованным.

Этот вывод говорит о некотором достижении в развитии пространственного представления и привитии точности и аккуратности в работе учащихся.

Особенно этот вывод будет наглядным, если сравнить выполнение тех же задач учащимися, которые не решали систематически задач на доказательство.

(см. приложение № 2 и № 3).

4°. Весенние экзамены по геометрии в 1950 г. показали, что учащиеся значительно лучше стали справляться с доказательством теорем учебника и с решением задач на вычисление, (вывод сделан на основе личного наблюдения и со слов учителей школы).

Нам кажется, что полученных выводов достаточно для того, чтобы сделать из них заключение о необходимости систематического решения задач на доказательство.

Зак. 1269

А 09870 17/XII-1950 г.

Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковский пер., 5/16

Тир. 100