МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи.

А. Д. ЧЕСНОКОВА

Методика образования геометрических понятий у учащихся средней школы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

(по методике математики)

Москва—1952

Под руководством коммунистической партии советская школа выполняет ответственную и почетную задачу в строительстве коммунистического общества—воспитание и обучение будущих строителей коммунизма. Она дает подрастающему поколению основы научных знаний и коммунистического мировоззрения, воспитывает пламенных советских патриотов, преданных делу партии Ленина-Сталина. Определяя задачи советской школы, В- И. Ленин говорил: «Наша школа должна давать молодежи основы знания, давать уменье вырабатывать самим коммунистические взгляды, должна делать из них образованных людей»1.

Овладеть основами научных знаний—значит прежде всего овладеть системой понятий той или иной науки. Поэтому проблема образования научных понятий у учащихся является одной из центральных проблем методики любого предмета, в том числе и методики геометрии.

В методической литературе вопрос об образовании геометрических понятий у школьников не получил не только разрешения, но и достаточно широкого освещения. До сих пор, как отмечает член корреспондент АН СССР А. Я. Хинчин, ни для одного конкретного геометрического понятия курса средней школы вопрос о наиболее действенном способе его введения не только не разрешен, но и не поставлен во всей его полноте2.

За последние годы вопрос образования понятий у учащихся в процессе обучения привлекает к себе внимание педагогической общественности. Появляются исследования, устанавливающие общие закономерности образования и развития научных понятий у школьников в процессе обучения3. Имеются работы, посвященные исследованию образования понятий у учащихся в процессе обучения их кон-

1 В. И. Ленин, Соч., т. 31, стр. 270, изд. 4-е,. ж. «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 10.

2 А. Я. Хинчин. Основные понятия математики и их определения в школе, ж. «Математика в школе», 1941, № 1, стр. 10.

3 А. А. Смирнов, Вопросы психологии усвоения понятий школьниками «Сов. педагогика», 1946, № 8—9.

кретным дисциплинам: арифметике, естествознанию, истории и др.1. Но по вопросу образования научных понятий у школьников в процессе обучения их геометрии таких исследований мы не знаем, кроме двух небольших журнальных статей, посвященных одному частному вопросу—оперированию понятиями при решении геометрических задач и доказательстве теорем. Авторы этих статей Н. Е. Кабанова—Меллер2 и В. И. Зыкова3 в своих исследованиях пришли к выводу, что основная причина затруднений учащихся при решении геометрических задач и при доказательстве теорем заключается в недостаточном усвоении школьниками содержания понятий, в неумении их отделить существенные признаки понятия от несущественных, в неумении видеть на чертеже нужную фигуру, в неумении устанавливать связи между отдельными понятиями.

Вопросы методики образования геометрических понятий у учащихся средней школы не получили достаточной разработки и в имеющихся учебниках по геометрии и в методических руководствах. Обычно имеющиеся руководства ориентируют учителя на введение геометрических понятий при помощи только словесного определения и часто, вследствие этого, обрекают учащихся на формальное усвоение понятий.

Анализ существующей практики обучения геометрии, наши наблюдения на выпускных и переводных экзаменах и в процессе преподавания геометрии в средней школе, а также опубликованные в печати отзывы комиссий по приему в высшие учебные заведения говорят о том, что наряду с большими достижениями советской школы; в области воспитания и обучения до сих пор еще не изжиты элементы формализма в знаниях учащихся по геометрии. Одной из основных причин указанного недочета является недостаточнее раскрытие содержания понятий в процессе обучения. Все вышеизложенное и определило выбор темы нашего исследования.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Целью нашего исследования является попытка» дать разработку методики образования определенных геометрических понятий у учащихся средней школы, а именно понятий:

1 Менчинская Н. А., Очерки психологии обучения арифметике, изд. АПН РСФСР, 1947.

Калмыкова З. Н., Психологический анализ формирования понятия о типе задач.

Скаткин М. П., Образование элементарных понятий в процессе обучения естествознанию, «Советская педагогика», 1944, № 4.

2 Кабанова—Меллер Е. Н., «Роль чертежа в применении геометрических теорем», Известия АПН РСФСР 28 М-1950.

3 Зыкова В. И., Оперирование понятиями при решении геометрических задач «Известия АПН РСФСР» 28 М-1950.

«Параллельные прямые» (в VI классе)

«Параллелограм» (в VII классе)

«Подобные многоугольники» и «Подобные треугольники» (в VIII классе)

и «Перпендикуляр к плоскости» (в IX классе)

Выбор именно этих понятий обусловлен тем, что каждое указанное понятие является одним из основных ведущих понятий в школьном курсе геометрии соответствующего класса а также и тем, что формирование и усвоение этих понятий, как показывают наши наблюдения уроков и личный опыт преподавания геометрии, вызывают большие затруднения у учителя и у учащихся. Поэтому разработка методики образования указанных понятий представляет не только теоретический, но и практический интерес.

Мы поставили своей задачей на основе обобщения опыта лучших учителей советской школы и личного опыта выявить и разработать некоторые наиболее эффективные методические приемы работы по образованию геометрических понятий у учащихся.

Исходя из поставленных перед диссертацией цели и задач, настоящую работу следует рассматривать как работу учителя предназначенную для учителя.

Методологической основой для разработки методики образования геометрических понятий у учащихся является марксистско-ленинская теория познания, обогащенная учением И. В. Сталина о связи языка и мышления, а также учение академика И. П. Павлова о двух сигнальных системах действительности.

Решая вопрос образования геометрических понятий у школьников на основе указаний классиков марксизма-ленинизма, учитель решает и вопросы воспитания материалистического мировоззрения учащихся.

ИСТОЧНИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Источниками исследования служили труды классиков марксизма-ленинизма, постановления партии и правительства о школе, труды классиков педагогики, научно-методическая литература и материалы педагогических чтений, а также наблюдения уроков лучших учителей математики школ города Новосибирска и Москвы и личный многолетний опыт преподавания математики в средней школе и методики математики в Педагогическом институте (г. Новосибирск) в течение двух лет.

Значительный материал для работы дал анализ 1000 контрольных письменных работ, проведенных в процессе эксперимента, и тетрадей учащихся 6—9-х классов по геометрии, наблюдение и анализ ответов учащихся на переводных и выпускных экзаменах по геометрии в средней школе, беседы с учителями математики г. Но-

восибирска и Москвы. Учтены в работе высказывания учителей по докладу на тему «Теоремы существования в курсе геометрии средней школы», прочитанному нами в Институте усовершенствования учителей гор. Новосибирска.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Во введении дано обоснование выбора темы диссертации, определены задачи ее, указаны источники и методика исследования.

Глава I.

Методологическая основа методики образования геометрических понятий у учащихся средней школы

В целях разработки методики образования геометрических понятий у учащихся на правильней методологической основе нами изучены высказывания классиков марксизма-ленинизма по исследуемому вопросу.

В I главе приведены конкретные указания классиков марксизма по вопросу образования научных понятий, раскрывающие процесс образования понятия, сущность, содержание и критерий истинности понятия, связь языка с мышлением и с трудовой деятельностью человека.

В письме к Ф. Энгельсу К. Маркс раскрывает процесс образования научных понятий, подчеркивая диалектико-материалистический характер его. Он указывает, что образование понятий основой своей имеет наблюдение предметов реального мира. Ф. Энгельс устанавливает основные методы образования научных понятий: сравнение, сопоставление, анализ и синтез.

В. И. Лен(ин, поднявший марксизм на новую высшую ступень, дает диалектико-материалистическую теорию познания, теорию отражения объективно существующего мира в сознании человека. В. И. Ленин указывает, что наши восприятия и представления являются отражением предметов реального мира в сознании человека: «...вне нас существуют вещи, говорит В. И. Ленин, наши восприятия, представления, образы их. Проверка этих образов, отделение истинных от ложных дается практикой»1. В. И. Ленин подчеркивает, что отражаемое может существовать и существует независимо от отражающего его сознания, что сознание есть особое свойства высокоорганизованной материи отражать внешний мир.

В. И. Ленин учит, что в понятиях отражаются общие внутренние существенные свойства предметов, явлений и процессов реального мира, что в процессе образования научных понятий осуществляется переход от «Живого созерцания к абстрактному мышлению», переход от единичного ко всеобщему.

1 В. И. Ленин, Соч., т. 32, изд. 4-е, стр. 72.

И. В. Сталин глубоко раскрывает значение абстрагирующей деятельности человеческого сознания в процессе образования научных понятий. Он указывает, что выработка геометрических понятий, как и грамматических правил, происходит путем отвлечения от конкретных частных свойств единичных предметов,

«...грамматика напоминает геометрию, которая дает свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишенные конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то предметов, а как отношения тел вообще, лишенные конкретности»1.

И. В. Сталин своей гениальной работой «Марксизм и вопросы языкознания» обогатил ленинскую теорию отражения указанием на неразрывную связь мышления и языка, на связь понятия со словом, на роль и значение трудовой деятельности человека в образовании понятий. С гениальной простотой и ясностью И. В. Сталиным указаны роль и место словесных определений в процессе образования научных понятий: «...Язык регистрирует и закрепляет в словах в соединении слов, в предложениях, результаты работы мышления, успехи познавательной работы человека»2. Тов. Сталин учит, что определение понятия не является началом образования понятия, что оно закрепляет результаты мышления.

В 1-ой главе рассматриваются также высказывания классиков педагогики и виднейших русских математиков по вопросу образования научных понятий у учащихся в процессе обучения.

Русская педагогическая мысль опережала развитие западноевропейской педагогики по многим вопросам, в том числе и по вопросу образования научных понятий у школьников. Так еще автором известного учебника арифметики в России Л. Ф. Магницким (начало XVIII в.) была поставлена задача развития познавательных способностей учащихся в процессе обучения. Великий русский ученый М. В. Ломоносов выступал против догматизма в обучении и предлагал делать выводы и обобщения на основе наблюдения окружающих предметов. Глубже, чем широко известными классиками педагогики (А. Коменским, Песталоцци, Дистервегом), вопрос образования понятий у учащихся рассматривается русским педагогом-классиком К. Д. Ушинским. Им были подвергнуты острой критике ограниченность и реакционность взглядов немецких педагогов (Гербарта и др.).

Педагогические взгляды русских философов-материалистов революционных демократов В. Г. Белинского, А. И. Герцена. Н. Г. Чернышевского и Н. А. Добролюбова составляют одну из самых важных и содержательных страниц в истории развития русской педагогической мысли. Эти глубокие мыслители XIX в. подняли на

1 И. Сталин, «Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1950 г., стр. 24.

2 И. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания. Госполитиздат 1951, стр. 22.

более высокую ступень решение многих педагогических вопросов, в том числе и решение вопроса образования научных понятий у учащихся. Будучи выразителями прогрессивных идей в мировой педагогике, они оказали большое влияние на развитие русской оригинальной педагогической мысли.

Далее в работе приведены некоторые педагогические высказывания гениального русского геометра и педагога Н. И. Лобачевского и известных русских математиков С. Н. Гурьева, Т. Ф. Осиповского, И. В. Остроградского, оказавших большое влияние на развитие методики геометрии, на решение вопроса образования геометрических понятий у учащихся.

В выводах по 1-ой главе указывается, что как ни велики были заслуги классиков педагогики и передовых русских педагогов домарксовского периода, как ни велик был их вклад в педагогическую науку, все же ими не дано и не могло быть дано полного решения вопроса образования научных понятий у школьников. В силу ограниченности их мировоззрения, а также в силу состояния наук того времени, они метафизически рассматривали процесс образования научных понятий, обособляя этапы его, совсем не устанавливали или неправильно устанавливали критерий истинности понятий.

Истинно-научное единственно правильное последовательно материалистическое решение вопроса образования научных понятий было дано классиками марксизма-ленинизма.

Глава II,

Психологические и логические моменты в процессе образования геометрических понятий

Во второй главе на основе указаний классиков марксизма-ленинизма об образовании научных понятий и учения И. П. Павлова о I и II сигнальных системах действительности освещены сущность геометрических понятий и их особенности, логические и психологические моменты образования этих понятий у учащихся. В этой главе рассмотрены следующие вопросы:

1) содержание геометрических понятий и раскрытие их для. учащихся;

2) необходимые и достаточные признаки понятия;

3) доказательство существования определяемых объектов.

В диссертации дается марксистско-ленинская трактовка понятия существования и подвергаются критике идеалистические толкования этого понятия. Современные идеалисты, выполняя заказ своих хозяев, угодливо поставляют аргументацию в защиту идеализма. Так, выступая против материализма, они пытаются утверждать, что понятие существования в смысле соответствия с действи-

тельностью к математике не применимо, ибо современная математика, говорят они, меньше всего связана с действительностью.

Советские математики, вооруженные диалектико-материалистическим методом познания, разоблачают реакционные замыслы презренных лакеев империализма и убедительно доказывают, что в математике имеет право на существование только то, что правильно отражает количественные отношения и пространственные формы реального мира.

Далее в данной главе рассматривается вопрос о необходимых и достаточных условиях или признаках и о возможности изложения их учащимся средней школы.

В курсе геометрии средней школы не всегда учащиеся слышат от своего учителя о необходимых и достаточных признаках понятия. Между тем знание этого вопроса содействует сознательному усвоению учащимися геометрических понятий и развитию их логического мышления, а также повышает качество подготовки их для поступления в высшие учебные заведения.

В высшей школе при изучении математики знание необходимых и достаточных признаков требуется от студентов на каждом шагу, поэтому соответствующее требование—иметь представление о необходимых и достаточных признаках—предъявляется к учащимся средней школы при поступлении в высшие учебные заведения.

В этой же главе освещен вопрос о месте и значении определения в процессе образования понятий и о логических требованиях к формулировке определения.

В выводах по второй главе указано:

1. Определению понятия необходимо предпосылать наблюдение учащимися объектов, накопление представлений, выявление существенных признаков предметов.

2. Доказательство существования определяемых объектов является необходимым моментом в процессе образования геометрических понятий у учащихся. Подчеркивание этого вопроса как в учебнике, так и при изложении материала учителем, имеет большое познавательное и воспитательное значение.

3. Для более глубокого и сознательного усвоения учащимися геометрических понятий, для развития логического мышления учащихся следует постепенно формировать у них понятие необходимых и достаточных признаков.

Глава III.

Геометрические понятия в учебно-методической литературе

В III главе ставится задача проследить изложение в учебно-методической литературе вопросов образования исследуемых нами геометрических понятий, выявить, какое развитие в учебно-методи-

ческой литературе получило изложение указанных понятий под влиянием прогрессивных педагогических идей и обосновать необходимость разработки методики образования этих понятий у учащихся средней школы.

Для рассмотрения взяты учебники, отражающие развитие методических идей и прогрессивное направление научно-педагогической мысли в преподавании геометрии. Рассмотрены в диссертации те учебники геометрии, которые имели наибольшее распространение и оказали значительное влияние на содержание и структуру современного стабильного учебника, на изложение в нем исследуемых нами понятий.

Обзор учебно-методической литературы показал, что

1. До XVIII века учебники преимущественно ориентировали учителя на введение геометрических понятий посредством словесного определения. Начиная с XVIII века, в некоторых учебниках определения уже не рассматриваются как единственное средство образования понятий у школьников. Однако, в силу традиций, во многих учебниках, в том числе и в стабильном учебнике «Геометрия» А. П. Киселева и методических руководствах по геометрий, тенденция вводить понятия только на основе определения держится и до сих пор.

2. Под влиянием «Начал» Евклида в учебниках, излагающих систематический школьный курс геометрии, главное внимание обращается на доказательство теорем, а не на изучение свойств окружающего пространства, отражающихся в понятиях.

3. Теоремы существования во всех учебниках школьною курса геометрии хотя и излагаются, но их роль и значение авторами не подчеркиваются.

Глава IV

Методика образования геометрических понятий

В четвертой главе на основе указаний классиков марксизма об образовании научных понятий, изучения математической и научно-педагогической литературы, на основе изучения состояния преподавания и знаний учащихся, связанных с исследуемыми нами геометрическими понятиями, на основании личного педагогического опыта дается методика образования вышеуказанных понятий у учащихся средней школы.

Первый параграф содержит описание методики проведения эксперимента, анализ результатов и методическую разработку уроков, посвященных образованию и усвоению понятия «Параллельные прямые» у учащихся VI класса.

Целью проведения экспериментальных уроков была проверка выдвигаемых в диссертации предложений, направленных на улуч-

шение методики преподавания исследуемых геометрических понятий.

Второй параграф посвящен описанию методики проведения экспериментальных уроков, анализу результатов и изложению методики образования и усвоения понятия «Параллелограм» учащимися VII классов.

Третий и четвертый параграфы содержат также описание методики проведения педагогического эксперимента, анализ результатов и методические разработки уроков образования и усвоения учащимися VIII и IX классов понятий «Подобные многоугольники», «Подобные треугольники» и «Перпендикуляр к плоскости».

В методических разработках экспериментальных уроков в соответствии с возрастными особенностями учащихся VI, VII, VIII и IX классов раскрыты следующие вопросы:

1. Выявление существенных признаков понятия.

2. Доказательство существования определяемых объектов.

3. Методика приведения доказательства методом от противного.

4. Методика формирования понятия необходимых и достаточных признаков.

5. Прямая и обратная теоремы и их роль в установлении необходимых и достаточных признаков.

Так, например, при образовании понятия «Параллелограм» в VII классе учитель обеспечивает сначала необходимые для этого предпосылки, а именно: повторяет ранее усвоенные понятия (многоугольники, четырехугольники, параллельные прямые), оживляет в памяти учащихся представления, необходимые для установления указанного понятия (различные виды четырехугольников, охватываемых понятием параллелограм: прямоугольник, квадрат и параллелограм). Учитель организует наблюдение, подготовив чертеж-плакат с изображением на нем соответствующих четырехугольников, руководит наблюдением, направляя внимание учащихся на те стороны наблюдаемых объектов, которые должны быть лучше восприняты. Учитель показывает предметы, имеющие форму параллелограма, предлагает учащимся указать эту форму на окружающих предметах, абстрагировать ее от других качеств предмета и изобразить посредством чертежа. На первом этапе образования понятия учитель обеспечивает «живое созерцание», которое воспитывает у учащихся материалистический взгляд на содержание геометрии. Учащиеся при этом активны, они наблюдают, припоминают, представляют, подмечают, создают или уточняют представления о четырехугольниках, охватываемых понятием «Параллелограм». На следующем этапе образования понятия «Параллелограм» учащиеся под руководством учителя совершают переход к «абстрактному мышлению». Наглядность на этом этапе несколько отступает на задний план. Учитель обращается к имеющимся у учащихся и созданным в процессе наблюдения представлениям. Он ставит вопросы, требую-

щие выявления сходства и различия между наблюдавшимися четырехугольниками (сравнение и сопоставление), выделения общих признаков (анализ). Чтобы помочь учащимся уловить важные существенные признаки параллелограма, учитель прибегает к дополнительным демонстрациям: на шарнирном параллелограме меняет положение, размеры элементов параллелограма. Учащиеся активны и на этом этапе образования указанного понятия. Они отделяют существенные признаки (параллельность противоположных сторон) от несущественных (величина углов, длина сторон), обобщают их в понятие, выражаемое словом «Параллелограм». Понятие неразрывно связывается со словом.

Далее учащиеся строят четырехугольник, обладающий обобщенными в понятии признаками. Пересекая две параллельные прямые двумя другими параллельными прямыми, учащиеся убеждаются в существовании, в истинности понятия «параллелограм», устанавливают связь общего с единичным.

Затем учитель ставит вопрос, требующий формулировки определения параллелограма. Определение подытоживает мыслительную работу учащихся. Поставив вопрос, учитель не торопит учащихся с ответом, дает им возможность построить определение. Определение, данное учащимся, обсуждается всем классом под руководством учителя, оно изменяется, дополняется, уточняется. И, разбирая неправильные определения, учащиеся вырабатывают умение правильно определять, умение кратко и точно выражать свои мысли. Окончательно сформулированное определение повторяется учащимся хорошей, средней и слабой успеваемости. Выявленные существенные признаки параллелограма записываются в таблицу, куда записывается также и определение параллелограма.

Дальнейшая работа идет по линии углубления понятия «параллелограм». Изучаются другие существенные, т. е. необходимые и достаточные признаки параллелограма, а именно:

1) Если противоположные стороны в выпуклом четырехугольнике равны, то такой четырехугольник—параллелограм;

2) Если в выпуклом четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то такой четырехугольник—параллелограм;

3) Если в выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник—параллелограм.

При этом у учащихся постепенно формируется понятие необходимых и достаточных признаков и выясняется роль прямой и обратной теорем. Под руководством учителя учащиеся учатся применять понятие «параллелограм» при решении задач на вычисление и на построение.

Экспериментальные уроки проводились автором в присутствии учителя, или учителем в присутствии автора.

Проверка эффективности предлагаемой методики образования геометрических понятий у учащихся проводилась путем наблюдения, устного опроса и письменных контрольных работ.

Для сравнения проверялось усвоение этого же программного материала учащимися параллельного класса, где уроки проводились по урочным планам учителя. Анализ устных ответов и письменных работ учащихся, а также отзывы и замечания учителей, принимавших участие в проведении эксперимента, говорят за эффективность предлагаемой методики. Во всех классах, где проводились экспериментальные уроки, было достигнуто сознательное усвоение учащимися соответствующих понятий, тогда как усвоение их учащимися параллельных классов оказывалось значительно ниже как в количественном, так и в качественном отношениях: от 10% до 15% учащихся параллельных классов формально усваивали понятия, заучивая определения по учебнику. Они не могли привести конкретного примера определяемого понятия, не осознавали сущности доказательства существования, хотя и доказывали теоремы существования, не понимали роли прямой и обратной теорем, затруднялись в доказательстве теорем и решении задач на измененном чертеже. Они испытывали большие затруднения, нежели учащиеся экспериментальных классов, в решении геометрических задач на вычисление и на построение. Учащиеся экспериментальных классов свободнее оперировали изученными понятиями, опираясь при решении задач на знание существенных признаков понятия, были менее связаны, стандартными чертежами учебника.

В выводах по IV главе отмечается, что для глубокого сознательного усвоения учащимися геометрических понятий недостаточно введения их только лишь через определение. Образование у учащихся средней школы геометрических понятий как обобщенного знания, отражающего в сознании школьника существенные стороны материальных предметов, требует раскрытия содержания этих понятий на конкретном материале.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении диссертации даются общие выводы по проведенному исследованию:

1. Образование геометрических понятий у учащихся как содержательных понятий, как отражений общих существенных признаков предметов реальной действительности, возможно во всех классах средней школы и имеет большое познавательное и воспитательное значение.

2. Накопление геометрических представлений у учащихся в процессе обучения их геометрии является необходимой предпосылкой образования у них геометрических понятий.

3. Доказательство существования определяемых объектов, по-

нимаемое не как доказательство лишь формально-логической правильности определения, а как соответствие определяемого понятия предметам реальной действительности, является необходимым моментом в процессе образования геометрических понятий в сознании учащихся средней школы. Оно способствует более глубокому усвоению геометрического понятия, воспитывает у учащихся правильный материалистический взгляд на содержание геометрии, повышает у них интерес к изучению ее, повышая тем самым качество знаний учащихся по геометрии.

4. Формулирование определения учащимися под руководством учителя после того, как выявлены существенные признаки определяемого понятия, является средством глубокого осознания изучаемого понятия, средством прочного усвоения его. Этот методический прием, кроме того, воспитывает у учащихся критическое мышление и повышает культуру речи.

5. В целях более глубокого и сознательного усвоения геометрических понятий, а также в целях развития логического мышления учащихся, целесообразно формировать у них понятие необходимых и достаточных условий или признаков. Понятие необходимых и достаточных признаков формируется у учащихся медленно и постепенно в процессе изучения всего курса геометрии при условии постоянной систематической работы учителя над формированием этого понятия.

Опытная проверка подтвердила правильность, целесообразность и эффективность предлагаемой методики образования геометрических понятий у учащихся средней школы.

Л 170447 25.Х-52 р.

МГПИ 94-52

Бесплатно Заказ 2183. Тираж 140

Типография Метроснаба, Бакунинская, 3.