Министерство просвещения РСФСР

Казанский государственный педагогический институт

На правах рукописи

В. М. Чернов

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИН НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — заслуженный деятель науки РСФСР член-корреспондент АПН РСФСР, доктор педагогических наук, профессор В. М. БРАДИС

Казань—1964

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Б. В. Болгарский — профессор, доктор педагогических наук.

Б. Г. Газизов — доцент, кандидат физико-математических наук.

Защита диссертации состоится в Казанском гос. педагогическом институте г. Казани (Лево-Булачная, 44).

„_“__ 1964 г.

Автореферат разослан „_“__1964 г.

Функциональная зависимость есть одна из форм существования объективных связей между величинами действительного мира, поэтому понятие функции является одним из главных понятий школьного курса математики. В диссертации исследовано состояние вопроса об изучении функций в школе, которое сложилось в настоящее время, и разработана система более глубокого и полного изучения функций в свете Закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР».

При изучении функций учащимся сообщается, что понятие функции очень богато содержанием, но часто богатство это не раскрывается полностью. Говорят о функциональной зависимости в арифметике, алгебре, а затем в тригонометрии, но почти не касаются изучения функций в геометрии. Недостаточно используется геометрический материал при изучении функций в курсе алгебры.

В школе уделяется явно недостаточное внимание установлению функциональной зависимости между элементами геометрических фигур, различным, доступным для школы, видам геометрических преобразований, изменению всей фигуры при изменении отдельных элементов ее. Такое изучение теории затрудняет учащихся при решений и исследовании решений задач на построение, при установлении множества допустимых значений параметров при решении задач на вычисление. Одной из основных задач преподавания геометрии в школе является создание в сознании учащихся правильных представлений о геометрических фигурах на плоскости и в пространстве. Глубоко же раскрыть содержание геометрической фигуры невозможно, если рассматривать ее как неподвижную.

Наряду с изучением идей преобразования и соответствия школьная геометрия представляет большие возможности для изучения функций. Для этого могут быть использованы все теоремы, устанавливающие качественные и количественные соотношения между элементами фигур. Решение планиметрических и стереометрических задач представляет исключительно благоприятные возможности для изучения функций, так как зависимость между величинами здесь выступает наиболее ярко и выразительно.

Вопросы функциональной зависимости находят органическую связь с изучаемым в школе геометрическим материалом. Использование геометрического материала при изучении функций будет способствовать более глубокому и сознательному усвоению как алгебры, так и геометрии.

Для различных областей математики характерно взаимное проникновение идей и методов. Привлечение геометрии значительно расширит круг изучаемых функций, позволит соединить абстрактность понятий с наглядностью, использовать силу аналитического аппарата алгебры для изучения геометрических фактов, показать жизненную пользу изучения функций. Поэтому настоятельно необходимо шире использовать геометрический материал при изучении функций в курсе геометрии.

В диссертации автор ставит перед собой такие задачи:

1) критически рассмотреть учение о функциях в педагогической литературе и состояние изучения функций в школе в настоящее время;

2) показать целесообразность и практическую ценность изучения функций на геометрическом материале в курсе алгебры, пользу изучения функций в курсе геометрии;

3) разработать методику использования геометрического материала при изучении отдельных видов функций в курсе алгебры, выявить те разделы из курса геометрии, где следует изучать функции;

4) разработать методику изучения функций при решении геометрических задач;

5) разработать предложения об изменении самого содержания школьного математического образования, в частности, о соединении учения о преобразованиях в курсе геометрии с изучением свойств функций и геометрическим преобразованием графиков их в курсе алгебры; об использовании некоторых теорем при частичном исследовании функций двух и более переменных; о расширении круга вопросов из аналитической геометрии, подлежащих изуче-

нию в средней школе; об изучении максимальных и минимальных свойств геометрических фигур; о более широком использовании графических методов решения и исследования решений геометрических задач;

6) подвести итоги многолетней личной практики работы в школе по изучению функций.

Диссертация состоит из семи глав и введения.

Введение. В §§ 1—2 введения автор обосновывает целесообразность и полезность использования геометрического материала при изучении функций в курсе алгебры и указывает возможности, которые представляет школьный курс геометрии для изучения функций. В § 3 сформулированы задачи диссертации, а в § 4 дано ее краткое содержание.

В первой главе — «Вопрос об изучении функций в школе и его отражение в школьных программах» — исследуется вопрос о введении понятия функции в программы по математике русской дореволюционной, немецкой, французской и австрийской средних школ. Рассмотрены программы по математике советской средней школы 1918, 1920, 1921, 1923, 1931, 1948, 1954 годов и новые программы для восьмилетней и средней школ 1960 и 1961 годов.

Исследование показало, что:

1) идеи об использовании геометрического материала при изучении функций в школе в России высказывались еще в прошлом веке. Были указания и на те разделы геометрии, при изучении которых следует осуществлять эти идеи. Среди них: теоремы, устанавливающие метрические соотношения между элементами фигур; учение о площадях и объемах; приложение анализа к геометрии;

2) в отдельных странах Западной Европы: Германии (довоенной), ГДР, Франции (до и после 2-й мировой войны) и других — геометрический материал при изучении функций используется широко;

3) требования программы советской средней школы по изучению функций были неодинаковыми. В частности, в программах до 1923 года определенное внимание уделялось задачам на наибольшее и наименьшее значения геометрических величин. В комплексных программах деформация фигур рассматривалась как метод для формулирования новых гипотез; площади фигур и объемы тел — как функции числовых значений. В 1932—47 годах программа

требовала изучения функций лишь в отдельных темах алгебры и в тригонометрии. Новые программы уделяют серьезное внимание изучению функций, в том числе и на геометрическом материале.

Глава II: «Использование геометрического материала в учебной литературе при изложении учения о функциях». Не претендуя на исчерпывающую полноту обзора большой литературы об изучении функций, автор рассматривает важнейшие учебные руководства по алгебре и выясняет, в какой мере в них используется геометрический материал при изложении учения о функциях, как обстоит дело с изучением функций в курсе геометрии. Поскольку геометрическая интерпретация тригонометрических функций является единственно возможной для школы, то руководства по тригонометрии в данный обзор не вошли.

В §§ 1—2 главы рассмотрены учебники и задачники по алгебре и геометрии русской дореволюционной средней школы. В §§ 3—4 дан обзор учебников и задачников по алгебре и геометрии советской средней школы. В пятом параграфе рассмотрена методическая и другая учебная литература. В шестом параграфе дан краткий обзор некоторых учебников немецкой средней школы.

В результате обзора автор пришел к выводам, которые кратко могут быть сформулированы так:

1) в большинстве рассмотренных книг признается полезность использования геометрического материала при изучении функций в школе, однако это признание, вообще говоря, не идет дальше общих пожеланий;

2) многие авторы учебников алгебры при изложении учения о функциях в какой-то степени используют геометрический материал. Чаще всего это простое указание на отдельные примеры при первоначальном ознакомлении учащихся с понятием функции, причем одни и те же примеры переходят из одного учебника в другой;

3) все авторы учебников и задачников при изложении учения о функциях в большей или меньшей степени используют графики. Почти все графики строятся по аналитическим выражениям, взятым из алгебры и физики, очень редко используется геометрия. Приятное исключение составляют учебники Д. Левитуса, Д. Д. Галанина и пробный учебник алгебры под редакцией А. И. Маркушевича;

4) в учебниках и задачниках алгебры, вышедших в свет после Великой Отечественной войны, все отчетливее про-

является тенденция более широкого использования геометрического материала при изучении функций;

5) в учебниках геометрии явно о функциональной зависимости не говорится даже при изучении таких вопросов, как зависимость между дугами, хордами и расстояниями их от центра, как метрические соотношения в треугольнике и круге; учение о площадях; пропорциональность отрезков и подобие фигур и других. Решение геометрических задач слабо связывается с изучением функций. Недостаточно используется функциональная терминология при изучении геометрии:

6) при изучении функций в школе нет тесной связи между алгеброй и геометрией;

7) в школах ГДР при изучении функций шире, чем у нас, используется геометрический материал. Очень широко применяются графики, которые нередко подменяют собой строгие логические рассуждения, особенно в младших классах средней школы.

В главах III—VII автором решается задача использования геометрического материала при изучении функций в школе.

Третья глава: «Использование геометрического материала при изучении функций в курсе алгебры средней школы».

В § 1 главы подведены итоги неоднократной проверки применения различных определений понятия функции в школе, в § 2 показано, как в курсе алгебры VI—VII классов можно проводить подготовку учащихся к изучению функций при решении задач с геометрическим содержанием посредством уравнений. Здесь учащиеся знакомятся с изменяющимися и постоянными (данными) геометрическими величинами; с выражением формулой зависимости между элементами фигур; с установлением допустимых значений букв, входящих в формулу, и записью этих значений посредством неравенств. В VII классе автор вводит термины «аргумент», «функция», «ограниченная и неограниченная величина» при рассмотрении конкретных зависимостей. Общие определения этих понятий даются в VIII классе.

В §§ 3—6 разработана методика использования геометрического материала при изучении функций в курсе алгебры VIII—IX классов. В частности, предложена наиболее рациональная схема изучения отдельных видов функ-

ций, методика применения учения о центральной и осевой симметрии к изучению свойств функций и построению графиков их, схема исследования функций по их графикам, методика изучения вопроса о геометрическом преобразовании графиков функций. Показано применение теоремы о наибольшем значении произведения нескольких положительных переменных сомножителей с постоянной суммой и ей обратной (теоремы 1 и 2) к исследованию функций, разработана подробная методика изучения обратной функции. Дан методический анализ ошибок, допускаемых при изучении обратной функции, приведен набор примеров для упражнений.

На примерах решения двух задач показано применение геометрического материала при повторении и систематизации знаний учащихся о функциях в выпускном классе, в том числе установление факта функциональной зависимости и выражение ее формулой, указание области определения формулы (функции) решения задачи, исходя из геометрических соображений, существование функций с различными аналитическими выражениями на разных участках области их определения, построение графика функции в результате аналитического исследования ее, определение условий существования и числа решений геометрических задач графическим путем, переход одного вида параллелограмма в другой при ортогональном проектировании.

Доказаны теоремы.

Теорема 3. Если периметр и площадь многоугольника рассматривать как функции радиуса вписанного круга, то периметр многоугольника есть производная по радиусу от его площади.

Теорема 4. Если объем и поверхность многогранника рассматривать как функции радиуса вписанного шара, то поверхность многогранника есть производная по радиусу от его объема.

Теоремы доказаны двумя способами: путем применения понятия предела и путем использования соотношений

при преобразовании подобия. Из теорем 3 и 4 вытекают следствия:

1) длина окружности есть производная по радиусу от площади круга;

2) поверхность шара есть производная по радиусу от его объема;

3) боковая поверхность цилиндра есть производная по радиусу от его объема и другие.

Показано применение этих теорем к решению задач.

В четвертой главе — «Изучение функций в курсе геометрии средней школы» — автор дает изложение методики изучения функций в теоретической части курса геометрии, а именно:

1) функциональная пропедевтика в курсе геометрии VI—VII классов (§ 1);

2) изучение функций в курсе геометрии VIII — XI классов (§§ 2-5).

Здесь выясняется, какие возможности представляют отдельные темы курса геометрии для изучения функций и как эти возможности следует реализовывать. На конкретном материале показано: 1) использование таблиц, линейчатых диаграмм и графиков при изучении геометрии; 2) установление геометрических фактов путем исследования функций, аналитическое выражение которых определяет зависимость между элементами фигур; 3) применение геометрических преобразований при отыскании экстремальных значений геометрических величин; 4) изучение геометрических мест точек с функциональных позиций; 5) использование теорем 1 и 2 в курсе геометрии; 6) применение подготовительных упражнений к использованию номограмм.

При таком подходе к изучению геометрии получают хорошее освещение идеи движения, изменения, соответствия. Все это способствует глубокому усвоению геометрических фактов.

Глава V: «Изучение функций при решении геометрических задач». В §§ 1—5 данной главы разработана методика изучения функций при решении задач в VI—IX классах. Решение геометрических задач дает возможность как подготовить изучение многих функциональных понятий, так и закрепить и углубить те сведения о функциях, которые сообщаются в курсах алгебры и геометрии.

На примерах отдельных задач показано, что иногда трудно провести исследование функции, показывающей

изменение геометрической фигуры в целом. Задача заметно упрощается, если исследовать изменение только некоторой части фигуры, и полученные результаты распространить на всю фигуру в целом.

В жизни нередки случаи, когда нас не интересует непрерывное изменение какой-нибудь величины. Практическую ценность представляют сведения о возможных крайних значениях ее. Примеры таких задач рассмотрены. Показано решение задач путем составления таблицы значений искомой величины, графическое решение и исследование решений по графику, различные приемы исследования функций элементарными средствами, как по частным (легко находимым) значениям функции контролировать правильность чертежа, применение последовательностей к решению задач, возможность приближенной замены более сложной функции менее сложной.

При решении задач иногда получаются интересные примеры функциональных зависимостей. Педагогически целесообразно изучать такие функции более подробно. Бывает, что широкому изучению этих функций препятствует узость областей их определения, порожденная условиями геометрической задачи. В таких случаях область определения функции расширялась, но сама функция уже не имела прежнего геометрического смысла. Иначе говоря, геометрическая задача являлась отправным моментом при изучении функций. При решении задач в курсе геометрии выпускного класса показано применение производной.

По вопросу исследования решений задач на построение сейчас существует единое мнение: такое исследование необходимо. Относительно исследования решений задач на вычисление с параметрами единого мнения еще нет. Автор высказывается за выполнение исследования, определяет объем такого исследования.

При решении задач на вычисление с параметрами искомая величина выражается в виде функции данных величин. Для каждой такой функции обязательно указывать область определения ее. Область определения этой функции, как правило, шире множества допустимых систем значений параметров задачи. Если функция задана аналитически, то при указании области ее определения достаточно обеспечить возможность выполнения математических действий. Но не при всяких системах значений параметров, удовлетворяющих области задания функции, определяю-

щей искомый элемент, существует геометрическая фигура. Таким образом, после получения формулы для вычисления искомого элемента нужно указать как область определения этой формулы (функции), так и область определения задачи, т. е. те значения параметров, при которых фигура существует. Никаких других исследований, если они не оговорены в условии задачи, делать не нужно. В противном случае исследование становится неопределенным и теряет свою образовательную ценность.

Автор предлагает такую схему исследования:

1) Для параметров указываются ограничения, непосредственно вытекающие из условия задачи. (Необходимые уточнения, сужения делаются затем в ходе решения).

2. Составляется формула для вычисления искомого элемента, т. е. получается некоторая функция.

3) Указывается область определения полученной функции.

4) Указывается область определения задачи.

5) Определяется число решений.

6) Записывается ответ в общем виде и его числовое значение.

Далее перечисляются требования, которые следует принимать во внимание при указании области определения задачи. Основные среди них: хорошее знание определений и свойств геометрических фигур, знание теорем, выражающих качественные и количественные соотношения между элементами фигур, умение переходить от словесной записи математических фактов к аналитической, использование кинематических моделей и т. д.

Глава VI: «Экстремальные свойства геометрических фигур». В первом параграфе главы дан набор решенных задач на установление границ изменения геометрических величин. Почти все эти задачи оригинальны. Крайние значения определялись двояко:

1) Путем рассмотрения непрерывного изменения искомой величины, т. е. путем исследования некоторой функции. Для этого предварительно составлялось аналитическое выражение такой функции.

2) Крайние значения устанавливались непосредственно через рассмотрение крайних значений тех величин, которые определяют искомую величину или чисто синтетическим путем. Очень широко использованы неравенства.

Как показал опыт работы автора в школе, задачи такого типа вызывают интерес у учащихся. Для них нова сама постановка таких задач.

Во втором параграфе разработана методика, изучения экстремальных свойств геометрических фигур. Вот некоторые из этих приемов:

1) с максимальными и минимальными свойствами фигур или элементов фигур учащиеся знакомятся при доказательстве некоторых теорем;

2) экстремальные свойства фигур, если последние обладают таковыми, формулируются в виде следствий при доказательстве теорем и решении задач;

3) экстремальные свойства фигур устанавливаются в результате исследования формул (функций) решения задач;

4) экстремальные свойства фигур сообщаются учащимся без строгого доказательства, с более или менее широким использованием интуиции и аналогии.

Здесь же автор дает примерную программу изучения вопросов изопериметрии в школьной геометрии.

Шестая глава заканчивается общим для III—VI глав заключением и предложениями, к которым пришел автор в результате исследования вопроса об использовании геометрического материала при изучении функций в школе. Вот некоторые из них:

1) изучение функций в школе нельзя ограничивать арифметикой, алгеброй, тригонометрией. Настоятельно необходимо изучать функции как в теоретической части геометрии, так и при решенеии геометрических задач.

Только с привлечением геометрии удается провести через весь школьный курс математики идею функции. Широкое использование геометрического материала при изучении функций в курсе алгебры позволяет педагогически грамотно построить индуктивный курс изучения функций, объединяет наглядность геометрии с силой аналитического аппарата алгебры, взаимно обогащает методами эти школьные предметы.

2). Изучение геометрических преобразований графиков функций позволяет связать учение о симметрии и параллельном переносе в курсе геометрии с изучением свойств функций, глубже изучить свойства последних и метод координат вообще, раскрыть перед учащимися идею взаимно однозначного соответствия между точками двух геометрических образов и элементами двух множеств.

3) Разработанная методика более раннего использования функциональной терминологии при рассмотрении конкретных зависимостей, предложенная схема изучения отдельных видов функций, графического исследования функций и другое дает возможность прочно и глубоко усвоить программный материал, активизировать методы обучения, решить многие задачи политехнизации обучения.

4) Изучение функций в курсе геометрии позволяет полнее раскрыть содержание геометрической фигуры, готовит учащихся к решению и исследованию решений задач, развивает конструктивные навыки, обогащает память учащихся различными видами функциональных зависимостей — все это готовит почву для изучения функций в общем виде.

5) При решении геометрических задач на вычисление с параметрами каждый раз следует устанавливать область определения задачи. Этим самым учащиеся будут избавлены от ошибок, которые они допускают, вычисляя элементы несуществующих фигур.

6) Необходимо разнообразить методы решения задач, в частности: определять искомые величины путем исследования формулы решения, путем составления таблицы значений, графически и номографически, особенно в прикладных задачах, графически исследовать решения задач. Графическое решение, графическое исследование решений геометрических задач является хорошим средством изучения свойств фигур, обеспечивает наглядность в обучении, воспитывает культуру зрительной памяти учащихся, обеспечивает непрерывность работы с графиками. Графики должны строиться не только по точкам, координаты которых получаются расчетами по формуле решения или непосредственным снятием с чертежа, но и с использованием свойств функций.

7) Изучение максимальных и минимальных свойств фигур имеет большое практическое значение в условиях политехнического обучения, и этому вопросу следует уделить должное внимание.

Глава VII — «Практическая работа по изучению функций на геометрическом материале» — содержит описание различных видов экспериментальной работы, целью которой было установить:

1) объем и содержание геометрического материала, который может быть использован при изучении функций в

курсах алгебры и геометрии; 2) наиболее эффективные методы изучения функций, на геометрическом материале и влияние такого подхода к изучению функций на общематематическую подготовку учащихся средней школы; 3) доступность отобранного материала; 4) пользу от изучения функций на геометрическом материале; 5) мнение и отношение учителей-практиков к более широкому, чем это делается сейчас, использованию геометрического материала при изучении функций.

Значительная часть предложений, разработанных в диссертации, является обобщением результатов личной практики работы автора в школе.

Экспериментальная работа проводилась в несколько этапов. Основные из них: 1) многолетняя (16 лет) личная практика работы в школе (описана в §1); 2) работа в математических кружках учащихся школ города Калинина (описана в § 2); 3) работа учителей математики разных школ по методическим разработкам автора, целью которой, кроме указанных ранее, было: установить с возможно большей степенью объективности эффективность использования геометрического материала при изучении функций в классах с различной подготовкой. И работа в семинарах учителей математики школ города Магнитогорска при МГПИ (описана в §§ 2—3); работа в математическом кружке студентов и ЮМШ при МГПИ (описана в § 4).

Различные виды экспериментальной проверки показали, что все выводы, данные в заключении предыдущей главы, достаточно обоснованы. Отзывы учителей и Магнитогорского гороно приложены к диссертации.

Кроме того, прилагается выписка из протокола заседания секции методики преподавания математики в средней школе XVIII конференции математических кафедр педвузов Уральской зоны по докладу автора по теме диссертации. Конференция одобрила работу автора.

Основные положения диссертации опубликованы:

1) Задачи на установление границ изменения геометрических величин, «Математика в школе», № 3, 1958, стр. 91—95.

2) Использование геометрического материала при изучении функций в школе. Ученые записи Магнитогорского государственного педагогического института, стр. 5—52, выпуск XII (I), Магнитогорск, 1961.

8) Об изучении функций в школе. Тезисы докладов IV научной конференции Магнитогорского государственного педагогического института, Магнитогорск, 1962, стр. 91—93.

4) Изучение функциональной зависимости на геометрическом материале в курсе математики средней школы. Ученые записки Калининского государственного педагогического института им. М. И. Калинина, Калинин, 1959.

ФБ15569. Подписано к печати 4/VI-64 г. Бумага 60×1/16. Печ. лист. 1. Заказ № 6092. Тираж 150. Бесплатно

Магнитогорская типография Челябоблуправления по печати.