МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ УССР

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. М. ГОРЬКОГО

На правах рукописи

В. И. ЧЕРЕДНИЧЕНКО

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ИЗУЧЕНИЕ ИХ В КУРСЕ ПЛАНИМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

№ 733 (методика преподавания математики)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

КИЕВ — 1968

Работа выполнена в Киевском государственном педагогическом институте им. А. М. Горького.

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент А. С. БУГАЙ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. И. КОВАНЦОВ;

кандидат педагогических наук, в. о. профессора Д. Ф. НИКОЛЕНКО.

Внешний отзыв дан Научно-исследовательским институтом педагогики УССР.

Автореферат разослан « . . »...... 1968 года.

Защита диссертации состоится « . . » , . . 1968 года на заседании совета Киевского государственного педагогического института им. А. М. Горького (Киев-30, Бульвар Шевченко, 22/24).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь совета.

Практическое осуществление исторических решений XXIII съезда КПСС по вопросам народного образования и в частности о последовательном переходе нашей страны ко всеобщему среднему образованию связано с коренным пересмотром как содержания основ наук, изучаемых в школе, так и методики самого обучения. Важное место в этой перестройке принадлежит математике.

На протяжении всей истории школы общество выдвигало разные требования к математической подготовке молодого поколения. Они менялись под влиянием развития общественно-экономических условий, самой математики и смежных наук.

Возросшая роль математики, ее проникновение во все сферы производственной деятельности человека требует значительного повышения уровня общей математической культуры выпускников средней школы. В связи с этим подлежат пересмотру многие традиционные взгляды, касающиеся содержания и структуры школьного курса математики в целом и ее отдельных разделов, уровня строгости в изложении материала и использования соответствующего логического аппарата.

Особого внимания требует школьный курс геометрии, над которым более, чем над другими математическими предметами, довлеет традиция, ведущая свое начало от времен Евклида. Евклид создал первый систематический труд по геометрии — «Начала»; их влияние сказалось на всех учебниках геометрии, включая и современные. Переработкой «Начал» Евклида были «Элементы геометрии» Лежандра, опубликованные в 1794 году. Они прочно вошли в учебную практику. С тех пор все учебники геометрии, в том числе и наши отечественные, базируются на Лежандровых «Элементах геометрии». В частности, их использовали А. Ю. Давидов (1823—1886) и А. П. Киселев (1852—1940), создавая

учебники геометрии для школы. В свое время учебник А. Ю. Давидова завоевал высокую оценку и, переиздаваясь, оставался стабильным более 40 лет. В 1892 году вышла «Элементарная геометрия» А. П. Киселева, которая вступила в жизненное соревнование с трудами по геометрии А. Ю. Давидова и др.

XX век ставит вопрос о коренном изменении структуры школьных курсов. Научная и педагогическая общественность тридцатых годов работает над созданием новых учебников, которые отражали бы опыт советской школы, новые научные и методические идеи. Вследствие этого появились новые учебники по математике, в том числе и по геометрии. Неоднократные попытки совершенствования школьного курса геометрии в основном преследовали цель доступно изложить материал некоторых разделов и тем, в частности, дать более доступные доказательства теорем, обеспечить целесообразную последовательность в рассмотрении отдельных вопросов курса, приблизить теорию к практике и т. п. Это в некоторой степени реализовано авторами последующих учебников геометрии, хотя все-таки, начиная с 1934 года, стабильным оставался учебник А. П. Киселева.

Стремление создать новые учебники, которые содержали бы тот же объем материала и последовательность его изложения, в большинстве случаев не приносило успеха. Попытки сделать изложение более доступным и приблизить его к потребностям жизненной практики приводили к существенным логическим неточностям, иногда к грубым ошибкам. Вполне естественно, что такие школьные учебники геометрии (например, Н. А. Глаголева, Н. Н. Никитина) подвергались и подвергаются критике со стороны ученых—математиков. Прежде всего критические замечания относятся к вопросу введения понятий. Ведь строгость школьного курса геометрии и его доступность во многом зависит от выбора и правильного толкования геометрических понятий.

В настоящее время осуществляется реформа всей системы школьного образования, в том числе образования математического. Важнейшим условием ее осуществления является устранение расхождений в толковании одного и того же вопроса в научных и школьных курсах. Модернизация школьного курса математики, в частности геометрии, до некоторой степени отражена в проекте новой программы. В этом проекте намечается уменьшение существующего разрыва между школьным и научным курсом математики, учтена важная

роль теории множеств в современной математике, предусматривается возможно раннее ознакомление учащихся с некоторыми понятиями и терминами современной математики: «множество», «соответствие», «векторы» и др.

Сейчас в математике все большее внимание уделяется теор:ии множеств, и вопрос введения общематематического понятия «множество» и элементов теории точечных множеств в школьный курс математики является особенно актуальным1. Изучение в школе вопросов, связанных с точечными множествами, в частности, трактовка геометрических понятий, на основании теории множеств дает экономию во времени, способствует созданию стройной логической системы математических знаний; а математика предстает таким образом с единой точки зрения. Это отметил и известный методист Ж. Папи (Бельгия) в своем докладе «Геометрия в современном преподавании математики», выступая на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году.

Ознакомление учащихся средних школ с идеями современной математики не только не устраняет необходимости улучшения качества , преподавания традиционных вопросов школьного курса математики, а, наоборот, повышает требования к его изложению.

В объяснительной записке к проекту новой программы по математике (окончательная редакция ее принадлежит А. Н. Колмогорову, А. И. Маркушевичу, И. М. Яглому) отмечается, что «основательность усвоения расширенного круга идей требует большой четкости логических формулировок...»2. Даже на ранних ступенях обучения математике надо стремиться к тому, чтобы изучаемые учениками математические определения были по возможности полными и строгими, а термины — краткими, однозначными и соответствовали принятым в математической науке. Эта мысль подтверждается многими учеными-математиками. «Наше желание — по мере возможности придать в школьном обучении каждому термину то значение, которое ему свойственно в современной науке, понятно и не нуждается в оправданиях»3. Если же уровень развития учащихся и их возрастные особенности не позволяют полностью, хотя бы в упрощенной форме, раскрыть им содержание нового поня-

1 См. журнал «Математика в школе», 1967, № 1, стр. 4, 39.

2 См. журнал «Математика в школе», 1967, № 1, стр. 6.

3 А. Я. Хинчин. О понятии отношения двух чисел. «Математика в школе», 1941, № 2, стр. 14.

тия, задача учителя заключается в том, чтобы создать у учеников правильное представление о нем.

Вопросам содержания математических понятий и усвоения (их школьниками уделялось много внимания на протяжении всей истории советской школы. Им посвящены специальные работы и отдельные статьи ученых-математиков, методистов, психологов, учителей. Этими вопросами занимались Н. И. Лобачевский, Д. Д. Мордухай-Болтовской, А. Я. Хинчин, А. М. Ястряб и др. Над разработкой данной проблемы на современном этапе работают И. К. Андронов, А. Н. Колмогоров, Н. А. Менчинская, А. И. Маркушевич, Н. И. Кованцов, И. Е. Шиманский, И. Ф. Тесленко, А. С. Бугай, Е. С. Дубинчук, Т. Я. Нестеренко, Н. М. Зыкова и др.

Формированию у учеников отдельных математических понятий, овладению ими соответствующей терминологией посвящены диссертации Н. И. Шевченко, М. О. Журбаса, М. В. Богдановича, М. А. Преображенского и др. Все эти работы раскрывают разные аспекты вопроса усвоения учениками математических понятий. Их авторы проделали содержательную работу, выяснили ряд важных методических вопросов. Однако в этих работах вопрос толкования геометрических понятий курса планиметрии восьмилетней школы на базе элементов теории точечных множеств с учетом проекта новой программы по математике еще не нашел своего полного освещения. Толкование ряда геометрических понятий еще недостаточно обосновано, оно требует соответствующего пересмотра.

Геометрия, как и каждая наука, базируется на классических законах логики (закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего, закон достаточного обоснования). В ней больше, чем в других науках, отражаются все эти законы. Они проявляются при введении понятий, формулировке определений, теорем, в ходе рассуждений. От степени проявления законов логики при построении геометрической системы во многом зависит уровень ее логической строгости. Все это по мере возможности должно отразиться и на построении школьного учебника геометрии.

Следует отметить, что геометрия как наука представляет собой абстрактно-логическую систему, в которой геометрическим понятиям не ставятся в соответствие конкретные прообразы и отношения между ними. Это говорит не об отсутствии у этой науки реальной «базы», а о том, что геометрии подлежат объекты и отношения разные по своей природе,

Вообще одна и та же абстрактно-логическая система евклидовой геометрии может иметь разные конкретные интерпретации, но в школе изучается только одна из ее возможных реализаций, в основе которой лежат классические «Начала» Евклида. Вследствие этого в школьном курсе геометрии терминам «точка», «прямая», «плоскость» и т. д. ставятся в соответствие определенные объекты и рассматриваются определенные отношения между ними. Например, точка характеризуется как не имеющий никаких размеров объект, прямая характеризуется бесконечной одномерной протяженностью и мыслится без толщины и т. д.

Проведенный анализ существующих толкований содержания геометрических понятий в школьной практике с учетом: а) интерпретации евклидовой геометрии, которая изучается в школе; б) требований законов логики; в) современной перестройки всей системы школьного математического образования; г) проекта новой программы по математике дает основание утверждать, что в школьном курсе геометрии еще имеют место неполные, нечеткие определения.

В связи с этим мы ставим перед собой задачу: попытаться приблизить толкование ряда геометрических понятий курса планиметрии восьмилетней школы к их современному научному толкованию на базе элементов теории точечных множеств, согласуя с требованиями логики мышления и с учетом требований дидактики.

Исследования по данной теме осуществлялись путем:

1. Наблюдения над усвоением учениками геометрических понятий:

а) во время непосредственного преподавания геометрии в школе;

б) при посещении уроков и в процессе изучения передового опыта учителей школ гг. Киева, Кировограда, Кремгэса;

в) во время руководства педагогической практикой студентов-математиков, которая проходила в городских и сельских школах (Киевской, Кировоградской, Днепропетровской областей).

2. Изучения научных курсов геометрии, школьных программ, учебников геометрии (украинских, русских, а также некоторых чешских, румынских, польских), методической литературы по геометрии, соответствующей литературы по философии, логике, психологии; критического анализа содержа-

ния геометрических понятий в научной и учебной литературе по геометрии.

3. Анализа:

а) материалов, полученных в результате бесед с учениками, учителями, студентами;

б) письменных ответов на вопросы специальных анкет, предложенных ученикам школ гг. Киева, Кировограда;

в) результатов усвоения учащимися геометрических понятий, содержание которых раскрывалось в соответствии с предложенной нами методикой.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении обосновывается мотив выбора темы настоящей работы, рассматривается ее актуальность, ставится задача и намечаются пути исследования.

В первой главе — «Понятия, определения, терминология и символика в математике как средства научного познания» — отмечается, что решение проблем, связанных с толкованием содержания математических понятий и усвоением их учениками, невозможно без учета данных философии, логики, математики, психологии, методики.

В связи с тем, что исследовался вопрос изучения геометрических понятий, в процессе его решения возникла необходимость выяснить содержание терминов «понятие», «определение» и других, связанных с ними. Изучение качества усвоения геометрических понятий учащимися показало, что многие из них не осознают, а поэтому и не различают смысла таких терминов, как «понятие» и «представление», «определение» и «правило». Это свидетельствует о том, что в школах не уделяется достаточно внимания этим, вопросам, хотя осознание и дифференциация их способствует развитию логического мышления школьников. В диссертации проанализированы толкования терминов «понятие», «определение» в логике, психологии, математике и установлено, что в соответствующей литературе неоднозначно раскрывается содержание термина «понятие» и, тем более, «определение». В процессе последующих исследований в основу было положено толкование содержания термина «понятие», данное в «Психологии» Г. С. Костюка, сформулированное несколько иначе, а именно: «Понятие — это форма мышления, с помощью которой осуществляется отображение в мозгу человека наиболее существенных признаков объектов, отношений между ними и процессов». В отличие от формулировки, данной

Г. С. Костюком, в которой говорится о понятиях объектов, здесь идет речь и о понятиях отношений между объектами, и о понятиях процессов. Это важно для математики, в частности для геометрии, которая оперирует понятиями объектов (например, «точка», «прямая»), понятиями отношений, (например, «параллельный», «равный»), понятиями процессов (например, «наложение», «совпадение»).

В первой главе рассматриваются, кроме того, следующие вопросы: а) пути введения геометрических понятий в научный и школьный курс геометрии; б) понятие определения, форма его изложения, требования к определениям в научных и школьных курсах геометрии; в) понятия «терминология», «математическая символика», место математической символики в школьном преподавании и ее роль в усвоении понятий учащимися.

В связи с разноречивым толкованием категории «определение» в диссертации анализируются разные подходы к раскрытию соответствующего содержания и подчеркивается целесообразность пользования следующей трактовкой этого понятия: «Определением данного понятия называется предложение, в котором указываются необходимые и достаточные признаки данного понятия, выделяющие это понятие из всего множества других понятий»1. Дать определение, например, геометрическому понятию — это значит подвести это понятие под другие, ранее введенные каким-то образом в геометрию: или с помощью неопределяемых понятий, или с помощью неопределяемых и определенных раньше, или с помощью только ранее определенных. Следует помнить, что выражение «понятие может быть определено» относится только к определяемым понятиям. Неопределяемые понятия вводятся в научном курсе геометрии с помощью аксиом, в школьном — с помощью аксиом и описаний.

Каждому понятию ставится в соответствие некоторое название— термин, который представляет собой звуковой симвод. Для однозначного толкования понятий и утверждений в каждой науке устанавливается своя специфическая терминология, которая представляет собой систему, совокупность терминов этой науки. Между терминами и соответствующими понятиями в каждой геометрической системе должно иметь место взаимно однозначное соответствие (на основании логического закона тождества). В работе рассмат-

1 См. И. К. Андронов. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами, М., 1959.

ривается вопрос обновления геометрической терминологии и указывается ряд случаев, в которых произошла не совсем удачная замена некоторых терминов новыми. На основании анализа старых и новых учебников геометрии приводится таблица терминов, подвергшихся замене.

Многим математическим понятиям ставятся в соответствие зрительные символы — математические знаки. Ценность математической символики в том, что с ее помощью в сокращенной форме можно передать длинные доказательства, их результаты. Символика является неотделимым спутником прогресса математики. С ее помощью легче усваиваются математические определения. Поэтому необходимо расширить использование ее в школе. Практика показывает, что в восьмилетней школе не только можно, но и, учитывая проект новой программы, надо ввести и пользоваться в школьном курсе математики, и в геометрии в частности, такими символическими обозначениями: знак „е“ („е“) сответственно обозначающий, что указанный элемент принадлежит (не принадлежит) рассматриваемому множеству1; знак „C“, обозначающий включение одного множества в другое; знак „ = “ обозначающий совпадение; знак "С" обозначающий, что одно множество включается в другое и совпадение может иметь место; знаки «=>>>, «<=> », соответственно обозначающие «следует», «равносильность высказываний»; #—обозначение одновременно равных и параллельных отрезков. Точку, как результат пересечения двух прямых, можно записать так: А = вХс.

Для обозначения угла используются разные знаки, а именно: ^, -4. ABС. Наиболее удачным является обозначение-4. В зарубежных учебниках, в частности, чешских, польских, румынских, не пользуются знаком «-^» для обозначения угла, который очень похож на «<»—знак меньше. В чешских, польских, немецких учебниках прямой угол на рисунке выделяется дугой с точкой в средине. Выделение прямого угла в виде \%t lu облегчает ориентировку ученика на рисунке во время доказательства теорем, решения задач, способствует направлению суждений по правильному руслу. Практика показывает, что ученики легко запоминают эти обозначения и охотно ими пользуются. Использование символики в школьном курсе ма-

1 При этом надо подчеркнуть, что геометрическая фигура — это любое множество точек.

тематики способствует развитию зрительной памяти учеников, облегчает усвоение геометрического материала и применение полученных знаний. Когда звуковой символ (термин) подкрепляется зрительным символом (математическим знаком), математическое понятие лучше усваивается. Поэтому математической символике в школе надо уделять большое внимание и, где возможно, чаще ею пользоваться.

В диссертации обращается внимание на то, что математические, в том числе и геометрические, понятия представляют собой абстракции, которые, как и другие научные абстракции, отражают материальный мир. Мы оперируем этими понятиями благодаря терминам, которые вводятся при помощи описаний, аксиом (в научном курсе при помощи аксиом) и определений. Некоторым понятиям соответствуют символы. Поэтому как понятия, так и определения, и терминология, и символика играют важную роль в познании реальной действительности.

Во второй главе — «Расхождения в толковании содержания отдельных понятий планиметрии и соответствующих терминов, их педагогическая недопустимость и пути ее устранения»— рассматриваются законы логики, основные принципы дидактики; на этом основании анализируется содержание геометрических понятий, имеющих разноречивое толкование и в научной, и в учебной литературе по геометрии, акцентируется внимание на определениях, которые не противоречат требованиям логики, соответствуют современным требованиям к преподаванию математики в школе.

На материалах, полученных в результате изучения состояния преподавания геометрии и усвоения учениками геометрических понятий в школах № 47, № 51, № 82 г. Киева, №№ 26, 19, 9, 34, 13 г. Кировограда и др., делается вывод, что ученики недостаточно осознают неопределяемые понятия школьного курса геометрии, их роль в геометрии, нечетко формулируют определения производных понятий. Одной из причин этого является то, что изложение материала в учебниках геометрии имеет значительные недостатки. Об этом говорит и А. Н. Колмогоров на страницах журнала «Математика в школе». Анализ толкования неопределяемых понятий в учебниках геометрии Н. Никитина1 и К. Барыбина2 показал, что в них поня-

1 Н. Н. Никитин. Геометрия. Учебник для 6—8 классов. М., 1966.

2 К. С. Барыбин. Геометрия. Для 6—8 классов сред. школы. М., 1966.

тия линии, точки вводятся при помощи частичных, односторонних описаний, например, «Граница поверхности — линия», «Граница линии — точка». Причем, эти утверждения выделены шрифтом, отличным от обычного, что наталкивает учеников на заучивание их напамять, как правила. Но после изучения понятий «плоскость», «прямая», которые являются соответственно частным случаем поверхности, линии, возникает у учащихся вопрос: где граница у прямой, у плоскости. Говорить о границе сферической поверхности тоже нет смысла.

Исследование вопроса, относящегося к введению неопределяемых (основных) понятий в школьный курс геометрии, показало, что школьной практике термин «основные понятия» употребляется не всегда в одном и том же смысле. Так, в программе по математике для V—VIII классов на 1967 год и стабильном учебнике Никитина Н. Н. по геометрии для VI— VIII классов к основным понятиям отнесены и такие понятия, как «луч», «отрезок», «ломаная линия», «угол», «окружность» и др. Но ведь этим понятиям можно дать строгие определения. К числу первых геометрических понятий, изучаемых в школе, относится понятие «фигура». В данной работе подчеркивается, что рассмотрение геометрических фигур как соответствующих множеств точек приближает школьный курс геометрии к геометрии как науке и помогает выяснить содержание ряда геометрических понятий с учетом требований проекта новой программы.

После неопределяемых1 понятий в геометрии вводятся определяемые. Определения некоторых понятий в учебной литературе по геометрии являются неточными. Например, в школьных учебниках геометрии А. Киселева, Н. Никитина, А. Глаголева, К. Барыбина в определении отрезка не указывается, что надо подразумевать под точками отрезка: множество, точек части прямой без крайних точек или включать и крайние точки. Ведь указание на то, что геометрическая фигура ограничена, еще не говорит, принадлежат ли ей эти ограничивающие точки или нет. Аналогичными с этой точки зрения являются определения луча, угла, треугольника. Это свидетельствует о нечеткости, неточности этих определений.

Из утверждения, что геометрическая фигура — это любое множество точек и из определения замкнутых точечных множеств2, следует, что отрезок3, окружность и многоуголь-

1 Необязательно все неопределяемые понятия вводить сразу.

2 См. Н. И. Лузин. Теория функций действ, перем., М., 1940.

3 Имеем ввиду отрезок — сегмент.

ник — замкнутые точечные множества. На этом основании определение окружности, как соответствующей кривой замкнутой линии, не является полным. Под такое определение подходит дуга, которая включает ограничивающие ее точки.

Толкуя угол как фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки, нельзя точно сказать, включается ли здесь и часть (множество точек) плоскости, что лежит между ними, или нет. Если в школе толковать угол как совокупность двух лучей, выходящих из общей точки (без части плоскости, лежащей между ними), ученикам трудно осмысливать операции над углами, например, деление угла на несколько частей и др.

Нечетко раскрыто содержание понятия треугольника в учебных пособиях. Из определения трудно выделить существенные признаки треугольника. Вследствие этого неясно: принадлежит ли к существенным признакам этого понятия наличие части (множества точек) плоскости, ограниченной соответствующей ломаной, или нет. Если рассматривать треугольник только как соответствующую линию (контур), то нельзя утверждать, что «точка пересечения медиан треугольника есть его центр тяжести»; и говорить о его площади равносильно тому, что говорить о площади окружности.

Важным, часто употребляемым является понятие перпендикуляра к определенному прямолинейному образу (прямой, лучу, отрезку). Это понятие в учебной литературе по геометрии вводится в смысле соответствующей прямой, луча или отрезка. Но позднее им пользуются в том смысле, который больше подходит в конкретных условиях. Например, после изучения теорем о свойстве перпендикуляра, проведенного к отрезку через его середину, и о свойстве биссектрисы угла можно утверждать, что в первой теореме идет речь о перпендикуляре в смысле прямой, а во второй — в смысле отрезка. Это приводит к нарушению закона тождества.

Исходя из законов логики и преимущества толкования содержания понятий на основании теории точечных множеств, учитывая требования дидактики, в диссертации делается вывод, что в школе целесообразнее раскрывать содержание рассмотренных геометрических понятий с помощью следующих определений.

Кривая линия на плоскости с совпадающими концами, все точки которой равно удалены от одной и той же точки этой плоскости, называется окружностью. Или: Множество всех точек плоскости, равно удаленных от одной и той же точки

этой плоскости, называется окружностью. Второе определение является более удачным.

Плоская ломаная линия с совпадающими концами называется контуром многоугольника.

Множество всех точек прямой, расположенных по одну и ту же сторону от данной точки этой прямой вместе с этой точкой, называется лучем.

Множество всех точек прямой, лежащих между двумя данными точками этой прямой вместе с ними, называется отрезком.

Фигура, состоящая из двух лучей с общим началом и одного из двух множеств точек, на которые эти лучи разбивают плоскость, называется углом.

Множество точек ломаной с совпадающими концами, состоящей из трех звеньев, вместе с точками плоскости, внутренними относительно этой ломаной, называется треугольником.

Понятие перпендикуляра к определенному прямолинейному образу целесообразно вводить в школе и дальше им оперировать только в понимании отрезка. Это упрощает формулировки многих определений, связанных с понятием перпендикуляра (например, высоты любой геометрической фигуры, расстояния точки от определенного прямолинейного образа, расстояния между параллельными прямолинейными образами), формулировки и доказательства теорем, решения задач и, вообще, оперирование этим понятием впоследствии. В диссертации обосновывается целесообразность введения следующего определения:

Отрезок, который имеет с прямолинейным образом (прямой, лучом, отрезком) только одну общую конечную точку и образует с ним прямой угол, называется перпендикуляром к нему.

Исходя из научно-правильного толкования понятия неограниченного множества1, из неограниченности плоскости и поверхности сферы2, в диссертации дается обоснование того, что прямая и окружность также представляют собой соответствующие бесконечные неограниченные множества точек, но прямая характеризуется бесконечной, а окружность — конечной одномерной протяженностью.

1 См. Ф. Хаусдорф. Теория множеств, пер. с нем., Н. Веденисова, М.— Л., 1937, стр. 52.

2 См. Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей ГТТИ, М.—Л., 1934, стр. 293.

Теоретические исследования и эксперимент, проведенные в процессе решения поставленной задачи, дают основание утверждать, что такие толкования рассмотренных понятий не противоречат научным и дают возможность сформулировать полные, законченные определения, доступные учащимся. В то же время они содействуют восприятию и твердому усвоению учениками выполнения операций (например, сложения, деления отрезков, углов) и облегчают понимание смысла терминов «площадь треугольника», «площадь многоугольника».

В третьей главе — «Вопросы методики изучения геометрических понятий в курсе планиметрии восьмилетней школы» — предложена следующая схематическая классификация геометрических понятий:

по способу их введения на

неопределяемые определяемые

по их роли в геометрии на

понятия объектов понятия отношений

понятия служебного характера

оперативные понятия

Классификация геометрических понятий по способу введения и по роли в геометрии отражается на специфике изучения их в школе

Неопределяемые понятия научного курса геометрии вводятся с помощью сответствующих групп аксиом, в школьном курсе — частично с помощью аксиом, а в основном — с помощью описаний.

Практика показала, что геометрия воспринимается учащимися с большими трудностями, чем арифметика и алгебра. Особенно это наблюдается на первых уроках изучения систематического курса геометрии, где, рассматривая понятия точки, прямой и т. п., ученикам объясняют, что геометрическим понятиям соответствуют идеальные образы и отношения между ними, которые существуют только в воображении. У учащихся возникает вопрос: для чего же тогда нужна геометрия, если она изучает несуществующие объекты и отношения между ними. Разработанная методика изучения неопределяемых геометрических понятий в школе и проведенный эксперимент показали, что трудности эти можно обойти в некоторой степени, если неопределяемые понятия, с которыми учащиеся встречаются в начале изучения систематического курса геометрии, описывать разносторонне, чтобы охватить побольше случаев, относящихся к вводимому понятию. После раскры-

тия содержания неопределяемых понятий необходимо дать примеры пользования этими понятиями на практике именно в геометрическом понимании. Такой подход к изучению первых геометрических понятий систематического курса геометрии не образуют у учащихся представления о геометрии, как о сухой, формальной, оторванной от практики науке.

Определяемые понятия школьного курса геометрии вводятся с помощью определений, но строгость их в некоторых случаях приходится понижать. Это объясняется необходимостью учета уровня мышления учащихся, ибо научный уровень, мера строгости изложения ставятся в соответствие с возрастными особенностями школьников. В данной работе подчеркивается, что изучение определений важно начинать с конкретных примеров, с указания роли и места каждого существенного признака, фигурирующего в определении, и последовательно подводить учеников к формулировке определения. Положительную роль в сознательном усвоении и изучении определений играют контрпримеры.

На основании результатов исследований, относящихся к вопросу методики изучения понятий каждой группы, в диссертации сделаны следующие выводы:

1. Для изучения понятий-объектов, к которым относятся, например, луч, окружность, треугольник, параллелограмм и др., характерно то, что их усвоение всегда можно облегчить апелляцией к примерам из жизненной практики, окружающей действительности, и формировать у учеников соответствующие понятия путем последовательного абстрагирования от свойств, которые геометрия не изучает. Особое внимание следует обратить на изучение понятий-объектов, которые мыслятся только во множественном числе (например, смежные углы, вертикальные углы, углы с общей вершиной), и на формулирование учениками соответствующих определений. Ведь часто в школьной практике учащиеся говорят: «Смежным углом называется...», «Вертикальным углом называется...». В таком случае ученику надо сразу же дать задание построить такой «смежный угол», «вертикальный угол», и он поймет свою ошибку.

2. В процессе формирования у учеников понятий-отношений (к ним принадлежат, например, параллельность, перпендикулярность, геометрическое равенство и др.) надо все время подчеркивать, что эти понятия сами по себе не мыслятся. Они относятся не менее, чем к двум объектам.

Следует отметить, что перед изложением определения па-

раллельных прямых учителю надо обратить внимание на то, что в учебнике геометрии А. Киселева оно сформулировано неточно. Здесь нарушен логический закон противоречия. Ведь на первых уроках геометрии четко указывается свойство неограниченности прямой, а в определении параллельных прямых А. П. Киселевым оно опровергается, когда говорится о продолжении прямых. Но кроме того, следует обратить внимание и на то, что такие формулировки, как «Две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются параллельными» и «Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными», не равноправные. Второе определение более общее, оно включает и слияние двух прямых в одну. На этом примере четко видно, что понятия «не иметь общих точек» и «не пересекаться» играют неодинаковую роль при рассмотрении параллельных прямых.

3. Для понятий служебного характера — общелогических свойственно то, что их надо формировать в пропедевтическом плане. Только после изучения нескольких утверждений, которые принимаются без доказательств, нескольких утверждений, которые доказываются, нескольких формулировок, с помощью которых раскрывается содержание новых понятий, совершив экскурс назад, можно дать им соответствующие названия, ввести соответствующие термины, а именно: «аксиома», «теорема», «определение». В доступной форме следует все время объяснять, что содержание геометрии создает стройная система аксиом, теорем, определений.

4. При изучении понятий оперативного характера (к ним принадлежат такие, как сложение, вычитание, деление на части отрезков, углов и др.) основное внимание надо обратить на то, чтобы четко раскрыть алгоритм выполнения определенной операции. От учеников не следует требовать заучивания его напамять. Достаточно, чтобы они поняли его и объяснили своими словами.

5. Большое значение в усвоении и сознательном оперировании понятиями имеют наглядные пособия, в частности, рисунки. Обучение учеников геометрии надо направлять так, чтобы постепенно приучать их автоматически находить на сложном рисунке нужную фигуру и переосмысливать ее в плане нужного понятия. Для этого надо с первых уроков варьировать форму и положение рисунка, что изображает нововведенное понятие, на доске, в тетрадях. Это содействует развитию воображения, представления, творческого мышле-

ния. Сознательная ориентировка на чертеже плоской фигуры готовит к восприятию сложных чертежей пространственных фигур.

7. Раскрытие зависимости между величинами в геометрии облегчает усвоение учащимися геометрических понятий, связей и зависимостей между ними. В то же время такой подход в пропедевтическом плане готовит учеников к изучению важного математического понятия функциональной зависимости.

В заключение отметим, что результаты, полученные в процессе исследований, позволяют сделать выводы: проделанная работа способствует сознательному усвоению геометрических понятий, сознательному оперированию соответствующей терминологией, развитию культуры математической речи и четкому выражению мыслей учащихся.

Материалы диссертации слушались и неоднократно обсуждались на заседаниях кафедр элементарной математики и методики математики в Киевском государственном педагогическом институте им. А. М. Горького и в Кировоградском государственном педагогическом институте им. А. С. Пушкина, на отчетных научных конференциях математических кафедр этих институтов в присутствии преподавателей, студентов, учителей. Результаты исследований по теме диссертации использовались при чтении лекций на Республиканских курсах учителей математики в Кировограде.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора:

1. Некоторые особенности усвоения учениками геометрических понятий, на укр. языке, Республиканский научно-методический сборник «Методика викладання математики», выпуск I, изд-во «Радянська школа», К., 1964.

2. Понятие о перпендикуляре и соответствующая терминология, на укр. языке, Республиканский научно-методический сборник «Методика викладання математики», выпуск 2, изд-во «Радянська школа», К., 1966.

3. Некоторые особенности введения понятия утла, на укр. языке, Республиканский научно-методический сборник «Методика викладання математики», выпуск II, изд-во «Радянська школа», К., 1966.

4. Первые геометрические понятия в систематическом курсе геометрии и особенности их введения, на укр языке, Тезисы докладов, Министерство просвещения УССР, Киевский государственный пединститут, Отчетно-научная конференция кафедр института, К., 1964.