АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

А. Н. ЧАЛОВ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ И ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ ПРОФЕССОР — М. П. ЧЕРНЯЕВ

Москва 1960

I. ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ

Важным началом в преподавании математики в средней школе в соответствии с «Законом об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» служит осуществление связи с жизнью, трудом, практикой коммунистического строительства.

При решении этой проблемы необходимо в преподавании стереометрии улучшить обучение учащихся решению задач на построение, играющих важную роль в подготовке молодежи к практической деятельности и продолжению образования в высшей школе. Обучение решению задач на построение имеет важное значение для развития пространственного воображения учащихся. Хорошо развитое пространственное воображение необходимо для успешного овладения почти всеми профессиями. Оно нужно новатору производства и изобретателю, технику и инженеру, врачу, строителю — всякому человеку, как при выполнении производственных обязанностей, так и в повседневной жизни.

Изучение уровня развития пространственного воображения учащихся, умения увязывать изучаемый теоретический материал с практическими вопросами обнаруживает серьезные недостатки в знаниях учащихся.

Отметим некоторые из них, имеющие непосредственное отношение к проблеме диссертации.

В преподавании стереометрии не в полную меру используются навыки и знания, которые приобретают ученики на уроках черчения.

Чаще всего используется умение выполнять наглядное изображение. В курсе стереометрии для решения задач на вычисление и на построение почти не применяется чертеж, который рассматривается на уроках черчения, построение сечений. Некоторые вопросы, имеющие важное значение как для изучения черчения, так и стереометрии рассматриваются изолированно.

Известное представление об отмеченных недостатках могут дать материалы с экзаменов в ВУЗы.

Так, ни один из абитуриентов поступавших на физико-математический факультет Ростовского-на-Дону пединститута в 1956—1960 годах на экзаменах по математике не дал исчерпывающего ответа на вопрос о том, какие фигуры можно получить в сечени куба, цилиндра, конуса плоскостями, -в то время как эти вопросы изучались на уроках черчения и на уроках геометрии.

На уроках черчения ученики строили развертки. Однако при решении задачи, предложенной на вступительных экзаменах в 1958 году, в которой требовалось свернуть из полукруга боковую поверхность конуса большинство решавших считали, что в основании конической поверхности будет окружность, длина кторой равна длине диаметра полукруга.

При решении задачи о шаре вписанном в куб так, что поверхность его. касается середин всех ребер куба большинство абитуриентов неправильно построили изображение и не решили задачу. В то время ка использование ортогональных проекций, применяемых в черчении, приводит к простому решению.

Из 180 абитуриентов сдававших письменные экзамены по математике 96 не смогли правильно решить задачи по геометрии. В 18 работах решение отсутствовало совсем. В других 54 работах были допущены ошибки, свидетельствующие о плохом развитии пространственного воображения абитуриентов.

Одной из причин сложившегося положения служит недостаточно правильное отношение к обучению учащихся решению задач на построение.

В проекте новых программ по математике в свете новых задач средней школы предусматривается усиление внимания к обучению учащихся решению задач на построение. В объяснительной записке указывается, что обучение решению задач на построение должно проводиться систематически, на протяжении изучения всего курса стереометрии.

Последнее время в методической и учебной литературе много внимания уделяется разработке теории и методики обучения решению задач на построение.

Эта проблема поставлена проф. Н. Ф. Четверухиным в его работах «Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии», «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии», «Стереометрические задачи на проекционном чертеже». В них дано глубокое обоснование вопроса геометрических построений. Методы решения

задач на построение разделены на воображаемые и эффективные. Разработан новый метод эффективного решения задач на построение — на проекционном чертеже.

Решению некоторых вопросов этой проблемы посвящены диссертации и работы Н. П. Ирошникова, А. А. Панкратова, А. Д. Семушина, Е. С. Кочетковой, A .М. Лоповок, Н. В. Наумович и др. Ни в одной из этих работ систематически не рассматривалась идея применения канонических проекций*), выдвинутая проф. Н. Ф. Четверухиным.

Под каноническими проекциями понимают изображения геометрических тел в ортогональной проекции на одну плоскость. Причем, геометрический образ располагается относительно плоскости проекций так, чтобы получить наиболее простое, в смысле техники выполнения, изображение, как это обычно делают в черчении.

Каноническим изображением куба, например, будет изображение, выполненное в ортогональной проекции, когда одна из его граней параллельна плоскости проекций.

Если в черчении берется изображение на 3 и более плоскости, то в геометрии часто можно ограничиваться изображением на одну плоскость.

Диссертация имеет целью разработать методы решения задач с применением канонических проекций и методику обучения учащихся решению таких задач в школе.

Одной из задач диссертации явилась задача разработки системы вопросов, упражнений и задач для средней школы, при решении которых целесообразно применять канонические проекции.

Материал диссертации изложен в шести главах.

I глава. Вводная.

II глава. Задачи на построение в русской учебной и методической литературе.

III глава. Методы и приемы решения задач на построение и графического решения вычислительных задач с применением канонических проекций.

IV глава. Примерный сборник задач.

V глава. Методика обучения учащихся решению задач на построение на канонических проекциях.

VI глава. Экспериментальная проверка основных положений диссертации. Выводы.

*) Несколько задач по геометрии с применением чертежей, используемых в черчении, приведено в -задачнике Квасникова З. Я. и др. Сборник задач по геометрии. М., 1957.

II. ИДЕЯ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В СТЕРЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Применение канонических проекций в курсе стереометрии дает возможность усовершенствовать методы решения многих задач на построение, в том числе метрических, упростить доказательство некоторых теорем, решать графически многие задачи, которые обычно решаются аналитическим путем.

Канонические проекции представляют собой проекционные, метрически определенные чертежи, причем определяют оригинал с точностью до размеров, в отличие от других метрически определенных чертежей, где оригинал определяется с точностью до подобия. Метрическая определенность достигается не только наличием чертежа, но и наложением- соответствующих условий. Например, изображение в виде прямоугольника будет представлять собой метрически определенный чертеж, если оговорить, что он является канонической проекцией параллелепипеда.

Отмеченные особенности используются при решении задач. В зависимости от задачи оригинал располагают относительно плоскости проекции так, чтобы получить в натуральную величину изображения тех элементов, которые необходимы для решения задачи. Дальнейшее решение задачи заключается в построении сечения (или ряда сечений) оригинала, которое содержит искомый элемент.

При этом используют методы начертательной геометрии. Плоскость нужного сечения поворачивают вокруг некоторой оси до совмещения с плоскостью проекций. Данные для построения сечений берут непосредственно из чертежа.

Если задача задана непосредственно на чертеже, то решающий восстанавливает в воображении оригинал, выделяет нужные сечения. Исходя из данных условия задачи и чертежа строит эти сечния и получает искомый элемент.

Во многих случаях при построении изображения оригинала в канонической проекции располагают геометрическое тело относительно плоскости проекций так, что непосредственно на изображении получают искомый элемент в натуральную величину.

Задача. Построить ребро и сторону основания правильной четырехугольной пирамиды с высотой n, вписанной в шар радиуса Р.

Для решения задачи строят каноническую проекцию комбинации геометрических тел, расположив их так что высота и одна из диагоналей основания параллельны плоскости проекций.

Решением задачи служит изображение ребра в натуральную величину.

Канонические проекции дают возможность упрощать решения задач методом последовательных сечений (по Адамару), сущность которого заключается в том, что в оригиннале выбирают ряд последовательных сечений, построение которых возможно, исходя из заданных или полученных при построении элементов, и приводит к получению искомого элемента.

Упрощение достигается за счет того, что при построении канонической проекции оригинал располагают так, чтобы получить в натуральную величину максимум элементов, необходимых для построения сечений.

Применяя канонические проекции, можно многие из задач, которые обычно решаются аналитически, быстро и с достаточной для практики степенью точности решать графическим путем, т. е. определять искомый элемент построением. Для этого поступают так же, как и при решении задач на построение. Численную величину искомого элемента определяют измерением.

В задачах, где требуется определить площадь, поверхность, объем необходимые для этого величины определяются измерением, а вычисления производятся обычным путем.

Если размеры фигуры, определяемые условием задачи, не позволяют построить ее изображение в натуральную величину, то используется масштаб измерения.

Ценность графического метода заключается в упрощении решения и в том, что чертеж используется как средство расчета, а не только как средство иллюстрации.

Канонические проекции используются часто как иллюстративный чертеж, что дает возможность в ряде случаев при решении задач и доказательстве теорем упростить построение чертежа, более четко выделить на чертеже необходимые элементы, упростить решение или доказательство.

III. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ КАНОНИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

В методической части диссертации основное внимание отведено разработке методики обучения учащихся решению задач на построение с применением канонических проекций, а также применения канонических проекций как иллюстративного чертежа при доказательстве теорем и решении вычислительных задач.

В целях простоты изложения ряда вопросов признано целесообразным ввести понятие высоты точки относительно плоскости и понятие совмещения плоскости с плоскостью проекций или ей параллельной.

Работе по овладению методами решения задач с применением канонических проекций предшествует работа пропедевтического характера:

а) практика построения изображений геометрических тел в канонических проекциях;

в) тренировка в воспроизведении формы оригинала по его канонической проекции;

Обучение учащихся построению канонических проекций геометрических тел и тренировка в чтении чертежей проводится на уроках геометрии и черчения.

На уроках черчения учащиеся строят ортогональные проекции геометрических тел на три плоскости. Построение ортогональных проекций на две, затем на одну плоскость подводит к понятию канонической проекции, прививает навыки в их построении. На уроках геометрии, при построении изображений наряду с другими методами применяется метод ортогонального проектирования. Путем выбора положения оригинала достигается переход к каноническим проекциям.

Обучение учащихся чтению чертежей вообще, по канонической проекции, представляющей часть комплексного чертежа применяемого в черчении в особенности, является важной задачей, так как способствует развитию пространственного воображения, более глубокому усвоению курса геометрии, успешному переходу к чтению технических чертежей. В работе устанавливается, что основное внимание при решении задач на чтение чертежей должно уделяться обучению учащихся различать взаимное расположение элементов фигуры и нахождению формы оригинала. При этом рекомендуется широко использовать анализ чертежа, демонстрацию соответствующих моделей. Разработана система упражнений на построение и чтение чертежей в курсе черчения и стереометрии. Содержание упражнений связано с практической деятельностью и отвечает целям и задачам преподавания геометрии и черчения.

Работа по обучению учащихся методам решения задач на построение с применением канонических проекций проходит через следующие этапы.

1. Первое знакомство с методами решения задач на построение с применением канонических проекций проводится в X классе при решении вычислительных задач графическим

путем. Подбирается метрическая задача с численными данными, которая легко решается графически с применением канонических проекций. Сначала решают ее обычным путем, определяя искомый элемент вычислением. При этом используется наглядное изображение оригинала в произвольной параллельной или другой проекции. После чего предлагается решить ту же задачу графически, т. е. определить искомый элемент построением.

При графическом решении внимание сосредотачивается:

а) на выборе метода проектирования, чтобы получить удобоизмеряемый чертеж;

б) на расположении оригинала относительно плоскости проекций, чтобы получить изображения как можно большего числа элементов, необходимых при решении задачи, в натуральную величину;

в) на отыскание плоской фигуры, построение которой приводит к построению искомого элемента;

г) построение фигуры, путем вращения плоскости сечения, совпадающей с плоскостью фигуры, до совмещения с плоскостью проекций или ей параллельной.

Предварительное решение задачи путем вычисления дает возможность учащимся, уяснить условие задачи, построить изображение и по нему четко представить оригинал, привычным для них методом получить решение. Приступая к графическому решению той же задачи, ученики концентрируют внимание на новом методе решения. Одновременно они учатся решать графически некоторые из тех задач, которые обычно решаются путем вычислений. Дальнейшее изучение методов проводится при решении вычислительных задач графическим путем без предварительного решения путем вычислений.

2. Решение задач на построение, заданных непосредственно на канонических проекциях.

Этим достигается:

а) закрепление полученных навыков;

б) концентрация внимания на методах решения.

Не отвлекается внимание на выбор проекции, расположение оригинала. Чертеж дан.

Решение задач на построение, заданных непосредственно на чертежах имеет большое теоретическое и практическое значение. Известно, что таким задачам в стереомтрии уделяется мало внимания, в то время, как в жизни (на производстве) приходится сталкиваться с ними часто. Применение канонических проекций расширяет круг стереометрических задач на построение заданных непосредственно на чертежах и дает воз-

можность прививать навыки учащимся в использований технических чертежей для решения практических вопросов.

3. Наряду с Задачами на построение, заданными непосредственно на чертежах, решаются задачи, заданные текстом.

Ученики продолжают овладевать методами решения задач на построение с применением канонических проекций. Повышается роль самостоятельности:

а) в выборе метода проектирования;

б) в расположении оригинала относительно плоскости проекций;

в) в обосновании целесообразности применения канонических проекций.

При этом расширяется круг задач. Рассматриваются задачи:

а) решение которых получают непосредственно при построении канонической проекции;

б) при решении которых применяются методы решения конструктивных задач планиметрии;

в) которые решаются другими методами (в частности методом последовательных сечений), но применение канонических проекций упрощает их решение.

4. Решение с применением канонических проекций более сложных задач, требующих напряженного мышления и заданных, как непосредственно на чертежах, так и текстом.

Их назначение — способствовать развитию пространственного воображения учащихся, выработке способностей применять полученные знания при решении практических вопросов. Решать их рекомендуется после изучения определенной темы, при повторении курса стереометрии. Работа над ними представляет последующий, завершающий этап в деле развития пространственного воображения учащихся после изучения теоретического материала и решения задач на построение другими методами.

Соблюдением этапов достигается последовательность и доступность в изложении материала.

Навыки в применении канонических проекций как иллюстративного чертежа формируются у учащихся постепенно в процессе работы по обучению их методам решения задач на построение.

Методика изложения геометрических построений является важной задачей в преподавании геометрии вообще и стереометрии в особенности. До сих пор в школьной практике геометрические построения рассматриваются в отрыве от остального материала геометрии. В настоящей работе намечается методика применения геометрических построений при

изучении всего курса стереометрии, как материала способствующего более глубокому овладению знаниями. Одновременно решается вопрос о содержании материала геометрических построений. Уделено внимание подбору задач на построение, имеющих практическую ценность (задачи на чтение чертежей, задачи на построение заданные на чертежах и др.).

В диссертации приводится большое число упражнений и задач на построение, которые целесообразно решать с применением канонических проекций («Примерный сборник задач на построение») и решение которых способствует успешному овладению знаниями, развитию пространственного воображения учащихся, выработке умений применять полученные знания на практике.

С введением новых программ обучение решению задач на построение с применением канонических проекций будет значительно облегчено. Появится больше возможностей заниматься вопросами пропедевтики, так как программа предусматривает изучение некоторых вопросов стереометрии в VII и VIII классах. Там же можно будет заниматься решением наиболее простых задач на построение и, следовательно, работе над ними будет отведено более длительное время. Учащимися XI класса такие задачи будут восприниматься лучше. Это обусловливается их возрастом, более лучшей теоретической подготовкой, нежели теперь у учащихся X класса. Связь с производством, непосредственное общение с производственными чертежами будут создавать предпосылки для решения задач на построение на чертежах, близких к производственным. Кроме того, новая программа отводит значительное время для занятий по решению задач на построение.

IV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИЙ. ВЫВОДЫ.

Организация эксперимента преследовала целью проверить доступность для учащихся методов решения задач с применением канонических проекций, возможность их внедрения в практику школьного преподавания геометрии в рамках ныне действующей программы. Одновременно изучалось влияние применения канонических проекций на развитие пространственного воображения учащихся, овладение теоретическим материалом.

Экспериментальная работа проводилась в десятых классах школ города Ростова-на-Дону и Ростовской области с 1957 по 1960 год.

В 1957/58 учебном году работа по обучению учащихся решению задач с применением канонических проекций проводилась на занятиях математического кружка учащихся десятых классов школы № 65 города Ростова-на-Дону.

Работа в кружке показала, что методы решения задач с применением канонических проекций, изложенные в диссертации посильны для учащихся. Изучение их способствует более глубокому и прочному усвоению материала. Ученики, занимавшиеся в кружке, стали проявлять большую активность на уроках геометрии, стали критично относиться к расположению фигуры, выбору и метода проектирования при построении изображений.

Работа в кружке дала возможность усовершенствовать методику обучения учащихся решению задач и приступить к проведению эксперимента непосредственно в классе на уроках геометрии.

В. 1958/59 и 1959/60 гг. экспериментальная работа проводилась непосредственно в классе в школах города Ростова №№ 1, 60, 70, 12 и некоторых школах Ростовской области преподавателями математики и студентами Ростовского пединститута, проходившими педагогическую практику. Решение задач тесно увязывалось с изучаемым материалом. Некоторые вопросы, связанные с созданием в сознании учащихся необходимых пространственных представлений, рассматривались на уроках черчения.

Работа проводилась следующим образом: подбирались два X класса, в которых уроки математики вел один и тот же учитель. В одном классе преподавание велось обычным путем, в параллельном классе рассматривалось решение задач с применением канонических проекций. Результаты работы в том и другом классах сравнивались. В некоторых школах проводилось сравнение результатов работы не всего класса, а групп учащихся. В том и другом классе выделялись группы учащихся в 12—15 человек примерно с одинаковым уровнем знаний и велось наблюдение за развитием знаний этих учащихся.

Наблюдения за работой учащихся, анализы устных ответов, письменных работ говорят о том, что задачи на построение на чертежах в канонической проекции посильны для учащихся. Методы их решения легко усваиваются. На протяжении всего учебного года задачи на построение и упражнения, связанные с каноническими проекциями занимали твер-

дое место наряду с задачами, решаемыми аналитическим путем. Решение их способствовало более глубокому и прочному усвоению знаний, развитию пространственного воображения. Очень важно отметить то обстоятельство, что учащиеся экспериментальных классов при решении вычислительных задач больше внимания обращали на геометрическую сущность задачи. Ученики параллеьных классов больше внимания обращали на аналитическую часть решения задачи, геометрическая сторона отодвигалась на второй план. Поэтому часто допускали ошибки при построении изображений, анализе чертежа. Для них важно было не потерять цепочку аналитических преобразований. Об этом говорит характерный пример.

Выполняя контрольную работу, ученики экспериментального и параллельного класса школы № 60 г. Ростова-на-Дону решали задачу: «В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 3 см и ребром 4 см вписан полушар так, что касается ее боковых ребер. Определить объем полушара». Многие ученики параллельного класса построили изображение, вписав основание полушара в основание пирамиды. Не заметили они своей ошибки и тогда, когда при решении получили длину диаметра полушара, явно не равную стороне основания пирамиды. Ученики экспериментального класса этой ошибки не допустили.

Особый интерес проявляют учащиеся к графическому методу решения задач. Использование этого метода часто давало учащимся возможность найти пути аналитического решения задачи. Очень часто (особенно при выполнении контрольных работ) ученики использовали графическое решение как контроль аналитического решения.

Решение задач на построение, графическое решение вычислительных задач способствовало развитию конструктивных навыков учащихся. Изменилось к лучшему отношение к урокам черчения со стороны учеников экспериментальных классов.

Важность предлагаемых в диссертации методов решения задач признавалась учителями школ города Ростова-на-Дону перед которыми автор неоднократно выступал с докладами на совещаниях и методических семинарах.

Идея использования канонических проекций для решения геометрических задач нашла одобрение и среди работников математических кафедр институтов центрально-черноземной полосы и юга РСФСР перд которыми автор выступал с докладами на межвузовских конференциях в г. Воронеже в феврале 1959 года и в г. Ростове-на-Дону в июне 1960 года.

На основании проведенного исследования и опытной проверки основных положений диссертации можно сделать следующие выводы:

1) Рекомендуемые в диссертации методы решения задач способствуют осуществлению перестройки школы, установлению более тесной связи преподавания геометрии с жизнью, а так же обогащают научно-практическое значение раздела геометрических построений.

2) Предлагаемые методы решения задач на построение посильны для учащихся, содействуют глубокому и прочному усвоению материала геометрии, пополнению запаса пространственных представлений, развитию их пространственного воображения.

3) Канонические проекции представляют собой часть комплексного чертежа применяемого на уроках черчения и в технике. Использование их способствует установлению более тесной связи в преподавании геометрии и черчения, связи с производственным обучением и трудом.

4) В процессе применения канонических проекций, учащиеся знакомятся с элементами начертательной геометрии, что способствует успешному восприятию в ВУЗах геометрических курсов (черчение, начертательная геометрия и т. п.).

Основные положения диссертации опубликованы в «Сборнике статей в помощь учителю» (выпуск 31 г. Ростов-на-Дону, 1958 г.) и в Ученых записках Ростовского-на-Дону педагогического института (выпуск 5(42) 1960 г.).

A 21/XI 1960 г. Тт. Госкомитета по судостроению, зак. 2528