МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет психологии

На правах рукописи

Г. А. БУТКИН

ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ ОСУЩЕСТВЛЯТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Научный руководитель — доцент Н. Ф. Талызина

Москва — 1967

Ученый Совет факультета психологии МГУ им. М. В. Ломоносова направляет автореферат кандидатской диссертации на тему:

«Формирование умения осуществлять геометрическое доказательство», представляемой на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии).

Просим Ваши замечания выслать Ученому Совету.

О дне защиты диссертации будет объявлено в печати

Автореферат разослан с { f У 1967 г.

Ученый секретарь Совета О. К. Тихомиров

Формирование полноценных знаний является одной из важнейших задач советской школы. Не менее важное значение имеет вооружение учащихся рациональными приемами мыслительной деятельности.

Как и знания, эти приемы составляют опыт предшествующих поколений и выступают перед учащимися в качестве особого объекта усвоения. Их формирование придает обучению развивающий эффект, обеспечивая учащемуся возможность самостоятельного подхода к решению новых для него задач.

Особенно остро необходимость формирования приемов мышления ощущается при изучении учащимися математических дисциплин. Говоря о содержании программы школьного курса математики, А. Н. Колмогоров и И. М. Яглом отмечают, что «создание твердо усвоенных «умений» является одной из центральных задач обучения в школе вообще, а преподавания математики в особенности»1.

Отдавая должное требованиям о необходимости развивать математическое мышление учащихся, вооружать их умением решать задачи и т. д., необходимо отметить, что в большинстве случаев эти требования носят характер самых общих пожеланий и являются совершенно недостаточными для Целенаправленного формирования приемов математического мышления. Так, усвоение геометрии предполагает наряду, с овладением системой геометрических понятий, усвоение целого ряда различных умений, среди которых наиболее важным является умение осуществлять геометрическое доказательство.

1 Колмогоров А. Н. и Яглом И. М. О содержании школьного курса математики. Журн. «Математика в школе», № 4, 1965 г. стр: 55.

Однако, формирование данного умения требует точного знания его состава. Без этого учитель не имеет того, чему конкретно надо учить школьника, чтобы впоследствии он оказался способным самостоятельно доказывать теоремы и решать задачи на доказательство.

Проблеме доказательства посвящено большое количество методических исследований. По признанию большинства их авторов, доказательство теорем и решение задач на доказательство — одно из наиболее узких мест овладения учащимися курсом геометрии. Однако до настоящего времени не раскрыт объективный состав умения доказывать. Это, естественно, тормозит разработку методики обучения учащихся самостоятельному выполнению геометрического доказательства. Отсутствие такой методики — следствие недостаточной изученности психологического содержания данной проблемы. Психология должна дать ответ, какие умственные действия составляют содержание умения доказывать и при каких условиях они могут быть сформированы.

Мышление учащихся в процессе геометрического доказательства было предметом специального исследования ряда советских психологов (Е. Н. Кабанова-Меллер, В. И. Зыкова, Ф. Н. Гоноболин и др.), результаты этих работ представляют большой интерес. Однако, в этих исследованиях изучались лишь отдельные стороны процесса доказательства, в них не были выделены умственные процессы, составляющие его содержание.

Указанные обстоятельства побудили нас предпринять исследование, направленное на выяснение, с одной стороны, объективного состава (содержания) умения доказывать, с другой — условий, обеспечивающих формирование данного умения с теми качествами, которые заранее предусмотрены.

Настоящая работа принадлежит к циклу исследований, проведенных на основе методических принципов теории формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина.

Диссертация состоит из пяти глав.

Глава I. Обзор методической и психологической литературы по проблеме геометрического доказательства

Мы остановимся лишь на основных группах психологических и методических работ, посвященных геометрическому доказательству,

Одним из условий успешного выполнения геометрического доказательства является .владение некоторой предварительной системой геометрических знаний и умений. По мнению целого ряда методистов (А. А. Глаголев, Я. С. Дубнов, А. И. Фетисов и др.), затруднения учащихся в процессе доказательства связаны с отсутствием у них тех или иных предварительных знаний, а также необходимого запаса геометрических представлений. Зависимость умения доказывать от качества усвоения предварительной системы знаний была подвергнута специальному исследованию в работах В. И. Зыковой и Е. Н. Кабановой-Меллер и др. Они показали, что затруднения учащихся в ходе доказательства определяются тем, что в учебниках геометрии теоремы иллюстрируются обычно лишь одним шаблонным чертежом. В результате теорема усваивается не в обобщенной форме, а лишь как частный случай, соответствующий данному в учебнике чертежу.

Для достижения обобщенного усвоения теоремы авторы рекомендуют варьировать чертеж к ней по форме и положению. Наряду с этим, авторы предлагают давать учащимся системы упражнений, развивающие умение анализировать чертеж (Г. А. Владимирский, Б. Б. Журавлев, И. С. Якиманская).

Отметим, что исследования, проведенные позже, показали недостаточность для обобщения одного лишь наличия общего в предъявляемом материале. Необходимо, чтобы это общее входило в ориентировочную основу деятельности учащихся (И. Ф. Талызина, Е. В. Константинова, X. М. Тепленькая).

Что касается правильной ориентировки в чертежах, то она составляет необходимую, но далеко недостаточную предпосылку умения доказывать. Есть основание полагать, что правильное чтение чертежа — лишь частное умение, формирование которого в значительной степени зависит от сформированности более общих компонентов умения доказывать, в частности, умения правильно анализировать условия.

Отмечая неумение учащихся самостоятельно доказывать теоремы, целый рад авторов считает это следствием непонимания логического смысла их доказательства (К. С. Богушевский, А. Голубовская, С. Е. Ляпин и др.) и рекомендует обучать учащихся умению доказывать через разбор с ними уже полученных доказательств. Не отрицая полезности таких разборов, отметим, однако, что они представляют собой ана-

лиз уже «конечного продукта», а путь, ведущий к нему, остается для учащихся скрытым.

Важное условие успешного обучения учащихся геометрическому доказательству подчеркивается в исследовании Ф. Н. Гоноболина. Автор предлагает излагать доказательства теорем в два этапа: сначала в развернутом виде, затем — в сокращенном. Давая возможность ученику разобраться в цепи отдельных звеньев доказательства, такое изложение позволяет ему обозреть доказательство в целом и понять основную его идею.

В рассмотренных группах исследований лишь выделяются некоторые условия, способствующие в той или иной мере овладению учащимися умением доказывать. Однако, содержание самого умения доказывать в них осталось не раскрытым. Ближе к этому подходят исследователи, которые выделяют некоторые конкретные приемы доказательства (А. К. Артемов, М. С. Бернштейн, В. А. Юнг).

Большого внимания заслуживает высказанная рядом авторов идея о регулировании мыслительной деятельности в процессе доказательства посредством системы правил, указаний, советов и т. д. (Ж. Адамар, H. Н. Иовлев, Д. Пойа, А. Сонцов, Л. Н. Ланда и др.). Наиболее полное отражение указанная точка зрения нашла в исследовании Л. Н. Ланды. Успешность проведения геометрического доказательства автор ставит в зависимость от умения учащихся правильно анализировать условие теорем и задач на доказательство. В связи с этим он предлагает вооружать учащихся «методом рассуждения» в процессе осуществления доказательства. Для формирования такого метода автор предлагает учащимся руководствоваться специальным правилом, раскрывающим содержание и последовательность анализа условий задач. Говоря о -содержании отдельных пунктов данного правила, необходимо, однако, отметить, что учащимся в них рекомендуется выполнять действия, представляющие довольно сложные умения, которые сами должны быть сформированы.

Авторы же указанной группы работ исходят из того, что соответствующие мыслительные действия у учащихся уже сформированы. А это не так: приступая к изучению геометрии, учащиеся не владеют теми действиями и операциями, которые необходимы для применения подобного рода указаний и правил. Таким образом, действия, составляющие содержание умения доказывать, в названных работах или вообще не выделяются или же частично выделяются, но при

этом не выступают в качестве специального предмета усвоения. Что касается самого процесса усвоения, то он не находит содержательной характеристики ни в одном из этих, исследований.

Глава II. Постановка проблемы.

Геометрическая теорема (как и задача на доказательство) состоит из условия и заключения. Содержание большинства геометрических теорем сводится к требованию: обосновать наличие в условиях теоремы того или иного геометрического понятия, т. е. доказательство теоремы требует подведения заданных в ее условии геометрических явлений, под определенное понятие. Таким образом, действие подведения под понятие (действие распознавания) выступает в качестве одного из необходимых компонентов умения доказывать.

Но геометрические понятия могут иметь не одну, а несколько эквивалентных систем необходимых и достаточных признаков, поэтому знание их — одно из необходимых условий выполнения действия подведения, а следовательно, и осуществления самого геометрического доказательства. С другой стороны, чтобы осуществить подведение под понятие по одной из систем этих признаков необходимо предварительно определить, какую из них следует использовать в данном конкретном случае. Действие подведения, таким образом, должно быть опосредовано действием выбора, которое также является одним из компонентов умения доказывать.

Признаки геометрических понятий, указанных в заключении, в условиях теорем или задач на доказательство содержатся обычно в «скрытом», опосредованном виде, т. е. заданы через системы других понятий. Это означает, что выполнение геометрического доказательства предполагает умение «развертывать» условие, т. е. выводить из него все необходимые следствия с целью обнаружения признаков понятия, указанного в заключении. Путем последовательного выведения всех возможных следствий из условия можно, в принципе, осуществить любое доказательство. Однако, такой путь является очень громоздким. Более того, строгое его проведение возможно скорее теоретически, чем практически, так как следствий из условия можно вывести очень много.

Осуществление геометрического доказательства предполагает, таким образом, овладение не только умением «раз-

вертывать» все подряд, но и вести поиск в определенном направлении, которое определяется спецификой содержания заключения задачи или теоремы.

Такое избирательное выведение следствий из условия предполагает умение использовать в ходе «развертывания» не все данные условия, а только некоторую их часть, т. е. выделять в условиях соответствующие «поисковые области».

Итак, анализ позволяет нам говорить о следующих компонентах умения доказывать:

1. Действие подведения под понятие.

2. Знание систем необходимых и достаточных признаков геометрических понятий.

3. Действие выбора системы признаков, соответствующей конкретным условиям теоремы или задачи на доказательство.

4. Действие «развертывания» условий.

5. Действие выделения в условии «поисковых областей».

Выделенные компоненты — результат логического анализа умения доказывать, а также учета некоторых данных, полученных в исследованиях по формированию начальных геометрических понятий (Н. Ф. Талызина, К. А. Степанова, Г. А. Буткин). Поскольку в умении доказывать эта компоненты связаны между собой определенными отношениями, определяющими, в частности, порядок их применения к условиям конкретных теорем и задач на доказательство, усвоение данного умения требует, наряду с компонентами, усвоения также и определенного предписания (алгоритма), определяющего последовательность применения данных действий при анализе условий теорем и задач на доказательство.

Обеспечение полноценного усвоения выделенных нами компонентов, а также выяснение. достаточности овладения ими для последующего самостоятельного осуществления .геометрического доказательства составляет содержание экспериментальной части исследования.

Глава III. Методика исследования

В процессе исследования были проведены три серии опытов: обучающая, контрольная и сравнительная. Испытуемыми в обучающей и контрольной сериях были 20 учащихся 5-х классов средней школы (не знакомых с геометрией). По успеваемости состав испытуемых был следующим: 18 среднеуспевающих, один слабоуспевающий и один отличник.

Сравнительная серия была проведена на 20-ти учащихся б и 7 классов.

В качестве экспериментального материала были взяты начальные геометрические теоремы и задачи на доказательство (на равенство и параллельность).

Содержание обучающей части эксперимента состояло в формировании выделенных нами компонентов умения доказывать. Обучение велось индивидуально. Длительность каждого занятия не превышала 45—50 минут. Чтобы подойти к формированию указанных компонентов, необходимо было предварительно сформировать у испытуемых строго определенную систему знаний и умений, на которых основывалось содержание выбранных нами теорем и задач на доказательство. Система предварительных знаний и умений отрабатывалась у испытуемых также по методике формирования умственных действий и понятий.

Кроме системы начальных геометрических понятий, у испытуемых отрабатывался целый ряд действий собственно геометрического, арифметического и общематематического характера: наложение, приложение, сравнение, измерение, а также сложение и вычитание отрезков и углов.

После отработки системы предварительных геометрических знаний и действий, мы приступали к формированию основных компонентов умения доказывать. Каждый из них мы сделали специальным объектом усвоения. Не все компоненты, однако, отрабатывались отдельно. Действие подведения (первый компонент) формировалось как в ходе отработки предварительной системы начальных геометрических понятий, так и при формировании понятия геометрического равенства. Усвоение данного понятия обеспечивало также усвоение систем признаков равенства (второй компонент). В качестве признаков равенства были взяты следующие:

1) Две фигуры равные между собой, если при наложении они могут быть полностью совмещены.

2) Две фигуры, состоящие из равного количества отрезков, равны между собой, если при наложении концы отрезков фигур могут быть попарно совмещены.

3) Две фигуры равны между собой, если каждая из них равна третьей геометрической фигуре.

4) Если из двух равных отрезков (или углов) вычесть по равному отрезку (или углу), то получатся два равных отрезка (или угла).

5) Если к двум равным отрезкам (или углам) прибавить по равному отрезку (или углу), то и получатся два равных отрезка (или угла).

Следует отметить, что в школьных учебниках геометрии большинство указанных нами признаков равенства не содержится, в то же время доказательство многих теорем начального курса геометрии требует, их знания и применения1.

Признаки равенства мы задавали по возможности в наиболее общей форме. Это исключало необходимость запоминания учащимися большого количества конкретных признаков равенства, а также позволяло им использовать эти признаки для доказательства разных по своему содержанию теорем, относящихся к совершенно различным разделам курса геометрии.

Так как каждый из признаков был достаточен для установления равенства (или неравенства) фигур, и все признаки предлагались испытуемым одновременно, то установлению равенства фигур по, тому или иному признаку должен был предшествовать его выбор. Действие выбора признаков равенства, соответствующих конкретным условиям теорем или задач на доказательство (третий компонент), отдельно не отрабатывалось. Оно формировалось в ходе усвоения понятия геометрического равенства. На применение каждого признака испытуемым было предложено в среднем 12—15 задач. Всего же в ходе формирования понятия «равенство» испытуемые решали до 72 задач.

Отработка понятия геометрического равенства имела своим результатом, таким образом, усвоение испытуемыми трех компонентов умения доказывать: действия подведения под понятие «равенство», знание признаков равенства геометрических фигур и действия выбора.

Действие «развертывание» условий (четвертый компонент) формировалось отдельно. Вначале оно отрабатывалось в общем виде, т. е. формировалось умение выводить все возможные следствия из условий. Испытуемые при этом получали карточку со следующим правилом выполнения данного действия:

1. Укажи фигуры, о которых говорится в условии явно («открыто»).

2. Перечисли все, что о них сказано.

1 См. Никитин Н. Н. Геометрия. Учпедгиз. 1964 г,

3. Укажи фигуры, которые «скрыты» в условии. Для этого:

а) Возьми карточку с перечнем известных тебе понятий и их свойств.

б) Назови первое понятие, указанное в карточке.

в) Перечисли его признаки.

г) Проверь, есть ли они в условии задачи, д) Укажи наличие или отсутствие данного понятия в условии задачи.

4. Проделай все, что указано в пункте 3 со всеми понятиями, указанными в карточке.

На этапе материализованного действия испытуемые пользовались карточкой с правилом, выполняя действие в строгом соответствии с расположением и содержанием каждого его пункта. В распоряжении испытуемых на данном этапе находилась также карточка с перечнем всех известных им фигур и отношений между ними. Процесс «развертывания» протекал в форме последовательной .проверки наличия (или отсутствия) в условии фигур и их свойств, указанных на карточке.

На этапе громкой речи действие приобретало форму громкоречевого рассуждения и выполнялось без опоры на карточки. На этапе «внешней речи про себя» экспериментатор называл номер очередного пункта правила, испытуемый вспоминал «про себя» его содержание, а затем «про себя» применял к условиям задания. Вслух назывался только результат применения. Этап «внутренней речи» характеризовался самостоятельным применением всех пунктов правила «про себя» и сообщением вслух лишь окончательного результата.

На всех этапах правильность выполнения действия контролировалась экспериментатором.

Для отработки данного действия были специально подобраны такие задания, в которых признаки искомых понятий задавались «скрыто», т. е. через систему других понятий («Из точки О исходят два луча: OB и ОС. Лучи пересечены прямой АД в точках Е и К. Что нам еще тем самым дано?») В качестве искомого выступали все известные испытуемым понятия и их свойства.

В процессе выполнения заданий на «развертывание» испытуемые должны были не только указать наличие «скрытых» в условии фигур (или их свойств), но и дать полное обоснование своего ответа. Последнее было одним из суще-

ственных критериев оценки степени правильности выполнения задания. В тех случаях, когда ответ был ошибочным, или же когда он был правильным, но полностью отсутствовала его аргументация, задание считалось выполненным неправильно. При наличии: а) частичного развертывания условий с аргументацией или б) полного развертывания с неполной аргументацией решение считалось неполным.

После (формирования действия «развертывания» в общем виде, мы переходили к обучению осуществлять «развертывание» дифференцированно, т. е. вести поиск избирательно, а не путем развертывания всего подряд. Такой поиск возможен лишь в том случае, когда испытуемые будут руководствоваться всякий раз некоторым представлением о том, где искать т. е. образом поисковой ситуации. Естественно, что подобного рода образы должны быть у испытуемых сформированы. Их формирование, а также отработка самого умения выделять в условии соответствующие «поисковые области), осуществлялась в ходе выполнения испытуемыми специальной системы задач-вопросов. Содержание этих задач сводилось к требованию задать ту или иную фигуру таким образом, чтобы названия этой фигуры в условии не было и чтобы явно ничего не говорилось о ее признаках (например, «Как можно задать угол так, чтобы в условиях не говорилось явно о признаках угла и отсутствовало бы слово «угол»). Каждый испытуемый решал 8—10 таких задач.

Их решение заключалось не в выведении следствий из заданных по условию понятий (как это было в заданиях на «развертывание»), а, наоборот, в выборе оснований, т. е. фигур, из которых заданные по условию фигуры вытекали бы в качестве их следствий. Принцип выбора был следующий: искать такую фигуру (или группу фигур, находящихся в определенном отношении), которая содержит в себе признаки искомой фигуры. Каждая «поисковая область» представляла собой, таким образом, некоторую «геометрическую ситуацию», «развертывание» которой обязательно приводит к выявлению признаков искомого понятия. Так, например, понятия «прямой угол», «равные смежные углы», «биссектриса развернутого угла» могут рассматриваться в качестве «поисковых областей» понятия «перпендикулярные прямые».

Знание того, в каких «геометрических ситуациях» содержатся те или иные фигуры, делает эти ситуации своего рода признаками, по которым можно быстро устанавливать нали-

чие в условиях задания искомой геометрической фигуры, ход «развертывания» приобретает избирательный характер.

Для каждого понятия «поисковые области» выписывались на отдельных карточках. На этапе материализованного действия отработка умения выполнять избирательное «развертывание» осуществлялась с опорой на эти карточки.

Задания, на которых формировалось умение «развертывать» с опорой на «поисковые области» были несколько более сложными, по сравнению с теми, на которых отрабатывалось умение развертывать условия в общем виде. Осложнение было осуществлено не за счет увеличения степени опосредованности задания признаков, а за счет увеличения количества «скрытых» данных в условиях этих заданий. В ходе отработки действия «развертывания» с опорой на «поисковые области» испытуемые выполнили 10—12 заданий.

После формирования у испытуемых всех компонентов, входящих в умение доказывать, мы давали им общее правило доказательства. Оно состояло из следующих пунктов:

1. Отдели условие от заключения.

2. Укажи, что требуется доказать.

3. Назови все признаки, по которым можно доказать то, что требуется.

4. Укажи, как эти признаки могут быть заданы («скрыты») в условии.

5. Сравни по порядку каждый из признаков с условием и выбери тот из них, который будет использован при доказательстве.

6. Назови признак, который ты будешь использовать при доказательстве.

7. Укажи в условии то, что говорит о наличии в нем данного признака.

Правило усваивалось лишь на уровне материализованного действия, дальнейшей отработке не подвергалось. Что касается компонентов, то их отработка доводилась до уровня «умственного действия».

Компоненты умения доказывать формировались у всех 20-ти испытуемых. Однако в полном соответствии с описанной нами методикой их формирование имело место лишь при обучении 10-ти испытуемых (группа № 2). Другие 10 испытуемых (группа № 1) обучались по той же методике, но с неполной ее реализацией.. В частности, действие «развертывания» условий (четвертый компонент) у испытуемых данной группы формировалось только в общей недифференциро-

ванной форме, без опоры на правило развертывания, а также перечень известных испытуемым фигур, их свойств и отношений. Общее правило доказательства им не давалось.

Согласно предположению, усвоение выделенных нами компонентов вместе с общим правилом (алгоритмом) доказательства должно обеспечить самостоятельное доказательство испытуемыми теорем на равенство, а также решение задач на доказательство равенства фигур.

С целью проверки данного предположения в контрольной серии эксперимента испытуемым обеих групп для самостоятельного доказательства были предложены теоремы: а) о равенстве двух треугольников по двум сторонам и углу между ними; б) о равенстве углов с соответственно перпендикулярными сторонами; в) о равенстве вертикальных углов.

Кроме того, была предложена задача на доказательство, в которой равенство фигур было не целью доказательства, а средством его осуществления: «Даны смежные углы: АОВ и ВОС. Внутри угла ВОС проведена биссектриса ОН. Из вершины смежных углов к биссектрисе ОН восстановлен перпендикуляр ОК. Будет ли перпендикуляр OK биссектрисой угла АОВ?»

Испытуемым второй группы дополнительно были предложены еще две теоремы: а) о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней углам; б) о перпендикулярности биссектрис двух смежных углов.

Глава IV. Ход и результаты обучения

Как уже было сказано, формирование первых трех компонентов умения доказывать осуществлялось в ходе отработки понятия геометрического равенства. На этапе материализованного действия ход решения задач на равенство носил максимально развернутый характер. Он протекал в форме последовательной и систематической проверки условия задачи на наличие в нем хотя бы одного из необходимых и достаточных признаков равенства. Очень скоро, однако, (после решения трех-четырех задач) испытуемые запоминали признаки и усваивали принцип действия с ними. Процесс решения приобретал более самостоятельный, а главное, сокращенный характер. Сразу же после прочтения условий испытуемые указывали признак, по которому можно подвести под равенство, а затем следовало само подведение.

Отметим, что при переходе к сокращенным формам действия испытуемые иногда допускали ошибки в выборе необходимого для решения признака. Как правило, сделав попытку использовать выбранный признак, испытуемые самостоятельно обнаруживали ошибку, а затем переходили снова к развернутой форме действия с признаками, в результате чего признак выбирался правильно.

В большинстве случаев испытуемые не только сами обнаруживали ошибки в выборе признака, но и объясняли, почему они считают первоначально выбранный признак непригодным для использования при решении данной задачи.

Те случаи, когда допущенные ошибки исправлялись не самостоятельно, а с помощью экспериментатора, мы относили к неправильным решениям задач. Обычно они имели место тогда, когда испытуемые случайно упускали какие-либо из данных условий. Следует отметить, что подобного рода ошибки чаще всего возникали при решении задач с «неопределенным ответом» и на этапах речевого и умственного действия.

В целом же испытуемые успешно справились с решением задач на определение равенства фигур: в 1371 случае из 1440 задачи были решены правильно и лишь в 69 случаях (4,8%) были допущены ошибки.

Успешное решение подавляющего большинства задач на определение равенства свидетельствует о том, что первые два компонента умения доказывать — действие подведения под понятие «равенство» и знание признаков равенства нашими испытуемыми усвоены. Что касается третьего компонента, — действия выбора, формирование которого являлось побочным результатом обработки понятия геометрического равенства, то и он испытуемыми был усвоен. Об этом свидетельствует, в частности, тот факт, что испытуемые сравнительно редко делали ошибки в выборе необходимого для решения признака. Следует, однако, отметить, что уровень усвоения данного компонента был значительно ниже того, на котором произошло усвоение первых двух компонентов. Объясняется это тем, что мы не выделяли критерии выбора признаков, а также не могли последовательно провести поэтапную отработку данного действия. В силу этого, выбирая правильно необходимый для решения задачи признак, испытуемые в ряде случаев не могли дать объяснения, почему они считают правильным использование выбранного признака в данном случае.

Что касается четвертого компонента — действия получения следствий (действия «развертывания» условий), то з первой группе, где не давались карточки с правилом «развертывания» и перечнем известных им фигур и их свойств, экспериментатору приходилось по ходу выполнения испытуемыми задания ставить им много дополнительных вопросов, Так, выявляя «скрытые» данные условий, испытуемые данной группы довольно часто забывали давать обоснование результатам «развертывания», делая это лишь после соответствующих напоминаний* со стороны экспериментатора. Иногда они вообще прекращали процесс выведения следствий из условий, продолжая его лишь после дополнительного вопроса экспериментатора типа: «Больше ничего нам не дано?». Правда, в дальнейшем, по мере усвоения принципов работы с материалом, ход выполнения заданий приобретал большую самостоятельность. Меньшая степень управляемости процессом формирования потребовала увеличения количества заданий, на которых отрабатывалось данное действие у испытуемых первой группы. Для формирования действия развертывания испытуемым данной группы потребовалось выполнить до 55 заданий.

Несмотря на известную нечеткость и растянутость во времени хода «развертывания», испытуемые в целом успешно справились с заданиями, которые им были предложены: в 499 случаям из 550 эти задания были выполнены правильно. Лишь в 51 случае (9,3%) задания были выполнены вначале неполно: «развертывание» условий доводилось до конца лишь после соответствующих разъяснений и указаний со стороны экспериментатора. Случаев неверного выполнения задания не было.

Во второй группе, где испытуемые пользовались правилом «развертывания», а также карточками с перечнем известных им фигур и их свойств, вмешательство экспериментатора в ход процесса «развертывания» условий было незначительным. Выполнение заданий испытуемыми данной группы было более самостоятельным, четким и последовательным.

Большая управляемость ходом выполнения задания испытуемыми второй группы (по сравнению с первой группой испытуемых) позволила ограничить количество заданий, необходимое для формирования умений осуществлять развертывание в общем виде. В ходе отработки данного умения каждый испытуемый выполнял до 12 заданий (в первой группе—

до 55). В 117 случаях из 120 задания были выполнены абсолютно правильно. Лишь в трех случаях (2,5%) выполнение задания было неполным. Не было ни одного случая, когда испытуемые вообще не справились бы с заданием.

Решение задач, в которых требовалось задать в «скрытой» форме ту или иную геометрическую фигуру, выделив ее «поисковые области», никаких затруднений у испытуемых не вызывало. Не было ни одного случая, когда испытуемые не могли бы дать обоснование, почему выделенные ими «геометрические ситуации» действительно содержат в себе признаки соответствующего понятия.

Правильные решения задач на выделение «поисковых областей» были даны в 95 случаях из 100. Лишь в 5 случаях (5%) испытуемые дали вначале ошибочное решение.

На основании анализа результатов решения испытуемыми задач на выделение поисковых областей экспериментатор вместе с испытуемыми составлял карточки «поисковых областей» для каждого из понятий. Их составлением и завершался первый этап отработки пятого компонента умения доказывать. Второй этап состоял в выполнении заданий на развертывание условий с ориентировкой на «поисковые области».

С заданиями данного вида испытуемые также справились успешно: в 98 случаях из 100 развертывание условий было выполнено правильно. Лишь в 2 случаях (этап громкой речи) было дано неполное развертывание условий. Случаев ошибочного выполнения задания не было.

Всего на формирование умения доказывать было затрачено 9—11 уроков. На формирование предварительной системы начальных геометрических понятий было затрачено 11—14 уроков.1

Каждый из наших испытуемых выполнил в ходе обучения 100—120 заданий. Из них правильно — от 97 до 115 (96—97%), неверное выполнение составляет всего 3—4% от общего количества предложенных заданий.

Успешное выполнение подавляющего большинства заданий дает основание полагать, что цель обучающей серии эксперимента достигнута: испытуемые усвоили все выделенные нами компоненты умения доказывать.

1 Отметим, что на овладение учащимися 6-го класса системой начальных геометрических понятий, а также умения доказывать теоремы и решать задачи на доказательство при обучении по обычной школьной методике затрачивается около 40 учебных часов, т. е. примерно в 2 раза больше.

Глава V. Результаты контрольной и сравнительной серий экспериментов

Контрольная серия экспериментов.

Испытуемым обеих групп контрольные задания предъявлялись вместе с готовыми чертежами. Это устраняло трудности, связанные с построением чертежа. В основе его построения лежат специальные умения, которые мы у наших испытуемых не формировали.

Испытуемые первой группы с контрольной серией заданий справились успешно: в 39 случаях из 40 ими были даны абсолютно правильные доказательства. Более того, самостоятельно или по просьбе экспериментатора, испытуемые давали не одно, а несколько вариантов доказательства.

Обычно к теоремам испытуемые подходили как к простым задачам на равенство: для них доказательство сводилось к подведению заданного в условиях геометрического явления под один из признаков равенства. Правда, в ряде случаев у испытуемых возникали некоторые затруднения. Так было, например, при решении задачи на доказательство. Последующий анализ этих затруднений показал, что они были вызваны недостаточным обобщением одного из признаков равенства, который использовался при решении данной задачи. Они полностью устранялись после дополнительной отработки данного признака.

При возникновении затруднений ход доказательства приобретал характер проб и ошибок. Это не были, однако, «слепые» пробы. Они всегда носили направленный характер, определяясь содержанием (выбранного признака. Наличие четкого критерия (признака) давало возможность испытуемым всякий раз сопоставлять с ним результат своих проб. Это привадило к осознанию ошибок и позволяло испытуемым своевременно принять меры, направленные на их исправление.

Усвоение основных компонентов умения доказывать позволило испытуемым самостоятельно контролировать ход доказательства, управлять им. Процесс доказательства проходил как целенаправленный поиск признаков соответствующего понятия, саморегулирующийся по механизму обратной связи.

Испытуемым первой группы контрольные теоремы предлагались в форме задач на доказательство, испытуемым вто-

рой группы — в их обычной форме. Надо сказать, что по сравнению с испытуемыми первой группы выполнение контрольных заданий испытуемыми второй группы протекало на более высоком уровне. Это нашло свое выражение в более уверенном и сознательном характере самого процесса доказательства, в значительно меньшем количестве ошибок, допущенных испытуемыми по ходу выполнения контрольных заданий. Наличие правила доказательства, а также овладение умением развертывать условия с опорой на поисковые области позволило испытуемым осуществлять еще более последовательный и планомерный анализ условий теорем и задач. При доказательстве некоторых теорем этот анализ носил очень развернутый характер. Испытуемые строго последовательно, в определенном порядке выполняли действия, указанные в пунктах правила. В отдельных случаях, однако, доказательство осуществлялось без опоры на карточку и в сокращенной форме: испытуемые сразу же после прочтения условий, не обращаясь к правилу, давали верные доказательства.

Процесс доказательства носил сознательный характер и на всех этапах протекал фактически безошибочно. В 60 случаях из 60 испытуемые дали правильные доказательства.

Отметим, что испытуемыми обеих групп доказательство во всех случаях осуществлялось по условию, чертеж использовался лишь как частная иллюстрация.

Изложенные результаты дают право считать, что выделенные нами компоненты, действительно, составляют содержание умения доказывать. Их усвоение достаточно для самостоятельного доказательства геометрического равенства. Важно было выяснить возможность переноса данного умения на теоремы и задачи другого вида.

Возможность такого переноса заключена в наличии у действий, входящих в умение доказывать, не только специфического, но и общелогического содержания. Последнее не зависит от конкретного вида материала и, следовательно, в принципе может быть применено к любому геометрическому содержанию. Разумеется, ожидаемый перенос может произойти лишь в том случае, если испытуемые будут располагать конкретной системой признаков выбранного понятия (специфическое содержание).

С целью проверки, испытуемым второй группы, без дополнительного обучения доказательству, были предложены следующие теоремы на параллельность: а) о равенстве острых

и тупых углов с соответственно параллельными сторонами, б) о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами 2d, если один из них острый, а другой тупой; в) о параллельности биссектрис двух острых углов с соответственно параллельными сторонами. Кроме этого, были предложены 4 задачи на доказательство, в которых установление параллельности было или целью решения, или его средством.

Испытуемым было дано определение параллельности и карточка с признаками данного понятия. Испытуемым была дана также карточка с правилом доказательства. Кроме того, предварительно у них формировались понятия о накрестлежащих, соответственных и односторонних углах.

В целом испытуемые довольно успешно справились с теоремами и задачами на установление параллельности: в 63 случаях из 70 были даны правильные доказательства. В процессе доказательства испытуемые все время ориентировались на признаки параллельности, используя их в качестве критерия наличия (или отсутствия) параллельных прямых. В ряде случаев испытуемые дали несколько вариантов доказательства.

Успешное выполнение заданий на параллельность — следствие переноса умения, сформированного в ходе выполнения заданий на равенство.

Следует отметить, однако, что выполнение контрольных заданий данного вида не всегда протекало легко и гладко. В ходе доказательства у отдельных испытуемых возникали различного рода затруднения, а в 7 случаях из 70 задания вообще выполнены не были. Анализ этих случаев показал, что причина неправильных доказательств связана с недоработкой в ходе обучения некоторых признаков равенства.

Сравнительная серия экспериментов

Контрольные задания на равенство и параллельность, для сравнения, были предложены 20-ти учащимся 6-го и 7-го классов (по 10 из каждого класса). Они обучались геометрии по обычной школьной методике и имели по данному предмету хорошие и отличные оценки1.

Теоремы и задачи на равенство были доказаны правильно только в 36 случаях из 120 (30% против 100% в экспериментальной группе). Существенного различия в успешности

1 Эксперимент проводился в конце учебного года и, следовательно, учащимся 6-го и 7-го классов были известны уже все теоремы, которые мы им предлагали.

между учащимися в и 7 классов не наблюдалось. При доказательстве теорем и задач на параллельность получены следующие результаты: правильные доказательства были даны в 67 случаях и 140 (48% против 90% в экспериментальной группе). С этими заданиями учащиеся сравнительной группы справились несколько успешнее, чем при доказательстве теорем и задач на равенство. Объяснить это можно тем, что признаки параллельности в курсе геометрии 6-го класса выделяются. И хотя специально они не отрабатываются, однако при доказательстве конкретных теорем и решении задач на параллельность используются. Отметим, что наши испытуемые проводили доказательства с опорой на условия, а чертеж использовали лишь как частную иллюстрацию его. Для учащихся же сравнительной группы было характерно стремление осуществлять доказательство, оперируя с чертежом и не используя при этом данных условия.

* * *

Проведенный эксперимент подтвердил гипотезу нашего исследования. Он показал, что усвоение выделенных нами компонентов умения доказывать, а также правила их применения достаточно для самостоятельной ориентировки учащихся в новых для них теоремах и задачах на доказательство. Объясняется это тем, что действие подведения под понятие, действие выбора и выведение следствий, а также правило анализа условий теорем и задач с логической стороны не зависят от конкретного содержания теорем и задач на доказательство, т. е. они входят в состав общего умения осуществлять доказательство.

В школьной практике эти действия не выступают как объекты специального усвоения. В результате учащиеся не видят ничего общего в доказательствах различных теорем курса геометрии. Каждая теорема воспринимается ими как новая, доказательство которой в большинстве случаев лишь заучивается. Обучение по нашей методике обеспечивает опору при доказательстве на действия мышления, составляющие общее умение осуществлять геометрическое доказательство.

Хотя исследование и носило индивидуальный характер, разработанная нами программа обучения доказательству может быть использована и в условиях классного обучения. Последнее требует, однако, применения средств автоматизи-

рованного контроля. Несомненно, что реализация ее в условиях класса позволит повысить уровень геометрического мышления учащихся, даст возможность получить больший эффект как в качестве обучения, так и в сокращении времени, необходимого для обучения геометрии.

Задачей дальнейшего исследования является более полное раскрытие содержания умения доказывать и, в частности, выделение условий формирования более общих приемов, обеспечивающих самостоятельный подход учащихся к более широким классам геометрических теорем и задач на доказательство.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

Талызина Н. Ф. и Буткин Г. А. К проблеме доказательства в начальном курсе геометрии. «Доклады АПН РСФСР», № 3, 1960.

Талызина Н. Ф. и Буткин Г. А. Опыт обучения геометрическому доказательству. «Новые исследования в педагогических науках». T. II, М., 1964.

Буткин Г. А. Управление формированием умения осуществлять геометрическое доказательство. Сб. Теория поэтапного формирования умственных действий и управление, процессом учения. Доклады научной конференции. М. 1967.

Буткин Г. А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства. Сб. Зависимость обучения от типов ориентировочной деятельности; под ред. П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной (в печати).

Л 102381. Подп. в печ. 26/V 1967 г. Объем 1,5 п. л. Зак. 370 Тир. 15Ö

Типография № 1 Росглавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров РСФСР, Москва, Садово-Самотечная, 1