МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Г. И. БРЖОЗОВСКИЙ

ПРОВЕРКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ И ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук доцент Б. В. ЖУРАВЛЕВ

ЛЕНИНГРАД 1967

Работа выполнена при кафедре элементарной математики и методики математики Ленинградского ордена Трудового Красного знамени государственного педагогического института имени А. И. Герцена.

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор ЛЕВИН Виктор Иосифович (Московский педагогический институт им. В. И. Ленина), Кандидат педагогических наук, доцент РЫМКЕВИЧ Андрей Павлович (Ленинградский педагогический институт имени А. И. Герцена).

Внешний отзыв — Ярославский Государственный педагогический институт.

Защита состоится в Ленинградском педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград, Д-186, Мойка, 48 « » 1967 года.

Реферат разослан « » 1967 года.

Ответственный редактор — доцент Баранова И. В.

Средняя школа призвана вооружить учащихся прочными не формальными знаниями основ наук, в частности, математики. С этой целью непрерывно совершенствуются школьные программы по математике, учебники и учебные пособия, создается новая методическая литература. В процессе переработки программ претерпевало изменение и школьное учение о функциях, в частности, о тригонометрических функциях и их приложениях. Особое место среди этих приложений занимает тема «Тригонометрические уравнения». Назначение этой темы обусловлено многочисленными приложениями тригонометрических уравнений в практике обучения математике, физике и астрономии. Тригонометрические уравнения применяются также при решении некоторых задач практической геодезии, астрономии и механики.

Закономерным является требование безошибочного и полного решения разнообразных тригонометрических уравнений.

К сожалению, в этом отношении и учебники и методическая литература дают учителям и учащимся мало достаточно четких и вместе с тем простых рекомендаций по исчерпывающему решению тригонометрических уравнений. Кроме того, наблюдения за работой школы показывают, что с каждым годом решению тригонометрических уравнений уделяется все меньше и меньше внимания.

Необходимо отметить, что в некоторой перестройке нуждается весь курс гониометрии средней школы. Как уже сказано выше, учебники не дают достаточно материала для вполне строгого изучения многих тем и отдельных теорем. Так, например, вопросы существования тех или иных тригонометрических формул, справедливости тригонометрических тождеств, условий применения преобразований, не нарушающих равносильности уравнений, явно недостаточно рассматриваются в них. По нашему мнению, до сих пор в преподавании математи-

ки в средней школе существует известная диспропорция между необходимым требованием строгости в рассуждениях, доказательствах, решениях и его практическим применением.

Действительно, учащиеся, начиная с первого класса, приучаются к мысли, что всякая задача может считаться решенной, когда выполнены следующие условия: решение проведено наиболее простым путем, безошибочно, полно, осмысленно. В дальнейшем, в старших классах, к этим условиям добавляется требование исследования полученных результатов. Все эти условия и требования выполняются по мере их посильности при изучении большинства тем арифметики, алгебры и геометрии. Но как только начинают рассматриваться задачи и примеры, иллюстрирующие некоторые положения школьного курса тригонометрии, отдельные преподаватели необоснованно отказываются от необходимой строгости в практической работе по тригонометрии.

Систематические наблюдения за работой учителей, опытная работа в школе и педвузе, изучение учебной и методической литературы дают нам возможность утверждать, что:

1) учащиеся большинства средних школ не получают достаточных знаний для безошибочного и полного решения тригонометрических уравнений;

2) многие учителя недостаточно подготовлены к изложению элементов теории, связанной с решением тригонометрических уравнений;

3) учебники, учебные пособия и методическая литература, за редкими исключениями, обращают мало внимания на связь между изучением тригонометрических уравнений и общей теорией уравнений;

4) многие задачники, используемые в средней школе, недостаточно выверены, о чем свидетельствуют ошибочные, неполные или неполноценные ответы, которые приводятся их авторами.

В данной работе ставятся и решаются следующие вопросы методики изучения тригонометрических уравнений:

а) Теория и практика проверки корней тригонометрических уравнений, с обоснованием наиболее целесообразной последовательности операций и ряда относящихся к ним приемов.

б) Тригонометрические тождества как особый вид уравнений. Их роль и значение в процессе решения тригонометрического уравнения.

в) Некоторые особенности решения и проверки корней три-

гонометрических уравнений с параметрами; приемы исследования полученных формул для множества корней.

г) Решение и исследование тригонометрических уравнений, полученных в результате решения задач геометрии и механики.

Все выводы в данной работе подтверждаются результатами эксперимента, который проводился свыше десяти лет в массовых и вечерних школах, школе юных математиков, педвузах, курсах подготовки в ВУЗы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения с выводами и перечня литературы.

Во введении дается краткий анализ решений тригонометрических уравнений в отдельных задачниках и учебных пособиях. Указано на почти полное отсутствие необходимой литературы по рассматриваемым вопросам. Приведены примеры задач, неверно или с недочетами решенных авторами. Во введении отмечается, что существенные недостатки, имеющиеся в учебной и методической литературе, посвященной тригонометрическим уравнениям, приводят к тому, что учителю математики нечем руководствоваться в своей повседневной работе, а это в свою очередь приводит к неудовлетворительной постановке работы с учащимися.

Отмечается, что вследствие неполноценности методической литературы по этому вопросу ни учащиеся, ни даже сам учитель во многих случаях не могут дать удовлетворительных ответов на следующие вопросы, возникающие при решении тригонометрических уравнений:

1) Являются ли полученные в результате решения уравнений— следствий множества чисел корнями заданного тригонометрического уравнения?

2) Все ли корни данного тригонометрического уравнения являются элементами найденных множеств?

3) Не содержат ли эти множества повторяющиеся элементы?

Умение ответить на эти вопросы и характеризует подготовленность ученика или студента к решению тригонометрического уравнения.

I глава называется «Анализ наблюдений практической работы в школе». В ней дается подробное описание наблюдений за преподаванием темы «Тригонометрические уравнения» в некоторых школах г.г. Орска и Ленинграда. Анализируются знания учащихся школ по материалам вступительных экзаменов в ЛГПИ им. А. И. Герцена. Отмечаются недостатки в

системе работы отдельных учителей и знаниях учащихся. В процессе анализа работы по изучению вышеуказанного материала не только вскрываются отдельные недостатки, но и указываются источники их возникновения.

На основании анализа экзаменационных письменных работ, а также ответов выпускников средних школ на вступительных экзаменах по математике раскрывается общая картина состояния знаний учащихся по рассматриваемой теме. В качестве основных недостатков, выявленных в результате этой работы, можно указать следующие.

а) Многие учителя вообще не считаются с возможностью нарушения равносильности исходного уравнения и уравнений-следствий в процессе тождественных преобразований.

б) Отсутствие достаточно полной методики проверки корней вынуждает учителей отказываться от решения уравнений, в которых область допустимых значений неизвестного является собственным подмножеством множества действительных чисел.

в) В тех случаях, когда учителя считаются с возможностью потери корней, а также приобретения «посторонних» или повторяющихся корней, работа по отысканию первых (утерянных) или исключению вторых («посторонних» или повторяющихся) ведется без должного учета основных положений общей теории уравнений.

г) Во многих случаях нарушаются требования безошибочности и полноты решения тригонометрического уравнения. У учащихся не выработаны умения и навыки наиболее рационального выбора способа решения, полной и быстрой проверки корней уравнений-следствий.

Одной из причин этих недостатков является отсутствие достаточно полной методики решения тригонометрических уравнений.

Во второй главе «Обоснование способов проверки и исследования корней тригонометрических уравнений» рассматривается приложение общей теории уравнений к исчерпывающему решению тригонометрических уравнений. В качестве приема отыскания «посторонних» корней берется решение систем сравнений. Обосновывается рекомендуемый прием исключения «посторонних» корней из множества решений выводных уравнений-следствий. Указываются пути восстановления корней, «утерянных» в процессе тождественных преобразований. Рассмотрен вопрос о проверке корней с помощью понятия «период уравнения». Приводятся необходимые теоре-

тические соображения по этому поводу. В частности, под «периодом уравнения» f\(x) =f2(x), где f\ и /2 знаки тригонометрических функций понимается период функции F(x) = = f\{x)—/2(*).Вэтом случае все ограничения и все корни уравнений-следствий рассматриваются только в пределах одного периода (L) уравнения, «посторонние» и повторяющиеся корни отделяются обычным сопоставлением и результат решения записывается в виде x = L-k + Xi, где xt С [О, L)—корень уравнения, i пробегает значения от 1 до /г, a k — множество всех целых чисел.

В этой же главе рассмотрены вопросы исследования корней тригонометрических уравнений с параметрами. Этот материал раскрывается в основном при решении общих задач и поэтому имеет, с нашей точки зрения, практическую ценность и может быть непосредственно использован в школе и педагогическом институте.

Так, например, исследуются простейшие уравнения с параметрами, однородные тригонометрические уравнения, линейные (по отношению к синусу и косинусу) уравнения вида:

a sin x + b cos х = с.

Исследуются уравнения, полученные в результате решения текстовых задач по геометрии и механике. В главе высказано наше отношение к условиям и возможностям применения тождественных преобразований в процессе решения тригонометрических уравнений.

Все положения, высказанные в этой главе, подробно иллюстрированы решением конкретных задач.

Глава III — «Рекомендуемая система работы при решении тригонометрических уравнений» — разбита на три параграфа.

Во вводной части главы формулируются задачи исследования и проверки корней. К ним мы относим задачу отыскания и исключения посторонних корней, задачу восстановления утерянных корней, задачу устранения повторяемости в формулах корней, задачу объединения и преобразования множеств корней. В первом параграфе вначале рассматривается вопрос об установлении области существования функции, образованной из элементарных тригонометрических функций. Одновременно решается вопрос об отыскании области допустимых значений неизвестного в тригонометрическом уравнении. Учитывая, что область допустимых значений неизвестного задается однократными элементами, мы ставим вопрос о

недопустимости кратных ограничений. В связи с этим необходимо научить учащихся сравнивать между собой полученные множества (ограничения). Вопрос сравнения множеств играет в работе первостепенное значение для выполнения всех поставленных задач. Для целей сравнения множеств с целочисленными элементами, к которым мы относим: 1) отыскание и устранение повторений в ограничениях; 2) отыскание и исключение «посторонних» корней; 3) отыскание и устранение повторений во множествах корней, в начале параграфа приводятся таблицы преобразования множеств. Таблицы составлены по принципу разбиения множества целых чисел на попарно непересекающиеся подмножества. В качестве примера приведем таблицу 1.

Таблица типа 1 составляется по единому закону k~>nk + ay где а = 0, 1,2, ..., /г— 1, или k-+nk + a (О, 1,2,..., п—1).

На первом этапе работы с аналогичными таблицами учащимся рекомендуется четыре типа упражнений:

а) установить область допустимых значений неизвестного в уравнении;

б) исключить повторяющиеся множества;

в) объединить данные множества;

г) данную совокупность множеств А представить в виде совокупности других множеств В.

Рассматривается вопрос об установлении периода уравнения f\(x)=f2(x) как периода функции F{x)=f\(x)—Ы*)-

Приводятся упражнения и рассматриваются характерные примеры, способствующие приобретению необходимых умений. Особое внимание уделено тождественным преобразованиям и условиям их применения при решении уравнений. Проводится классификация тождеств. По этой классификации тождества делятся на три группы: а) тождества, применение которых не ведет к изменениям о. д. з. X, б) тождества, приводящие к сужению о. д. з. X, в) тождества, приводящие к расширению о. д. з. X. Приведены и проанализированы различные примеры применения тождественных преобразований всех трех типов.

Параграф 2 этой же главы носит название «Основная работа». Основным содержанием его являются вопросы проверки и исследования корней тригонометрических уравнений. Намечены два различных пути выполнения этой работы, а также раскрывается возможность комбинирования их. Первый путь основан на методе отыскания пересечения множеств. Второй — на понятии периода уравнения. Анализируются условия, при которых происходит нарушение равносильности уравнений. Вводится понятие пересечения множеств и знак пересечения «X» вместо традиционного „ГГ. Наблюдения показали, что знак «X» легче запоминается учащимися и напоминает геометрическое пересечение двух прямых. В дальнейшем вводится также знак исключения „\w и соответствующая система записей.

Так, например, утверждению: „пересечением множеств 4k—1 и 3&-J-1 является множество \2k— 5м — соответствовала следующая запись: 4k— 1ХЗ& + 1 = 12&— 5. Утверждению „исключив из множества 5ß-f-2 множество lOft-j-2, мы получим множество \0k — 3tf соответствовала запись 5ß + 2/ 10&-{-2 = I0k — 3. Обеим операциям предшествует операция разбиения множеств на непересекающиеся подмножества. Для разбиения множеств ограничений и множеств корней на подмножества вводится таблица — схема следующего вида:

ak -f- b ank + cl [b, b + a, b + 2a, ... , b + (n — 1 ) a]

Вводится следующее правило разбиения множества целых чисел на попарно-непересекающиеся подмножества по принципу равноостаточности. Для того чтобы множество ak + b разбить на п попарно-непересекающихся подмножеств, достаточно:

а) общий множитель а элементов множества ft умножить на п;

б) составить формулу подмножеств множества ak + b в виде ank + a; в) из вторых слагаемых формул подмножеств образовать арифметическую прогрессию с первым членом Ь, разностью а и количеством членов п.

Для исключения «посторонних» корней с помощью таблиц или с помощью таблицы-схемы находятся пересечения множеств ограничений с множествами корней уравнений-следствий и затем исключаются эти пересечения из множества корней уравнений-следствий. Так, например, пусть на некоторое тригонометрическое уравнение наложено ограничение лГт^-^-(3/г — 1), а корни уравнения-следствия суть х = -g-(2ft+ 1). Поставим задачу исключить посторонние корни. Имеем

и далее

где а=±1, 3, ±5, ±7,9. Здесь п (6ft — 1) — множество „посторонних" корней.

Рассматриваются различные формы ответа и вопросы объединения множеств корней. Одна из форм ответа предусматривает наложение ограничений на К. Так, в нашем примере ответ можно записать в виде х = (2ft + 1), где k^

=£9п — 2. Используя таблицы с целью объединения полученных множеств, приходим к следующему результату:

x = -^-(6k± 1), X = « (6ft + 1), X - тс (6ft + 3).

В этом же параграфе (2) дается описание процесса проверки корней с помощью понятия «периода уравнения». Для отыскания периода рекомендуется правило: а) Находим в градусной мере периоды всех тригонометрических функций, входящих в состав уравнения, б) Находим наименьшее общее кратное этих периодов.

Формулируется это же правило и для радианного измерения углов. Работа по решению и исследованию корней разбивается при этом методе на следующие этапы:

1) Находим период уравнения.

2) Устанавливаем область допустимых значений неизвестного в пределах полуинтервала [О, L). где L — период уравнения.

3) Находим корни уравнений-следствий в этом же полуинтервале [О, L).

4) Отбрасываем те из корней уравнений-следствий, которые либо повторяются, либо совпадают с ограничениями.

5) К каждому оставшемуся корню добавляем Lk.

6) Полученные множества корней объединяем, если это возможно и целесообразно.

Если в процессе решения уравнения обе части его умножались на какую-либо функцию или возводились в степень с натуральным четным показателем, то подставляем корни оставшиеся после операции 4 непосредственно в уравнение и отбрасываем те из них, которые уравнению не удовлетворяют.

Здесь же дается описание работы по проверке корней с помощью графика, сопровождающего аналитическое решение.

Третий параграф этой главы посвящен уравнениям, возникшим из условий различных геометрических (и физических) задач. Условия задачи здесь определяют те ограничения, которые накладываются на тригонометрическое уравнение. Поэтому решение и исследование корней таких уравнений имеет свои специфические особенности, которые и описаны в § 3. Здесь же приводится некоторая классификация задач по отношению к тригонометрическому уравнению.

После разработки основных методических положений и правил проверки и исследования корней тригонометрических уравнений была поставлена задача опытной проверки предложенной системы работы. Перед началом опытной работы были поставлены цели:

а) выяснить, какой из двух предложенных методов проверки корней тригонометрических уравнений является наиболее эффективным при соответствующей работе в школе и в педагогическом институте;

б) установить, с какими трудностями столкнется учитель или преподаватель педагогического института при использовании предложенной системы работы;

в) выяснить, насколько доступен этот материал для учащихся старших классов средней школы и студентов педагогических институтов;

г) усовершенствовать предлагаемую систему работы, используя результаты проведенной опытной работы.

В главе IV — «Опытная проверка предлагаемой системы работы» — дается описание педагогического эксперимента, который проводился в различных условиях, различных учебных заведениях и продолжался свыше 10 лет.

В первом параграфе этой главы рассматривается опытная работа со студентами педагогического института. Решение уравнений и проверка их корней осуществляется только с помощью понятия периода уравнения, что соответствует одному из предложенных методов.

Проведенный эксперимент позволил сделать следующие выводы:

1. Предложенная система работы сравнительно легко воспринималась большинством студентов.

2. Студенты более глубоко познакомились с темой «Равносильность уравнений».

3. Работа, связанная с проверкой корней тригонометрических уравнений этим методом, во всех случаях давала хорошие результаты.

4. Контроль за правильностью решения тригонометрического уравнения воспринимался как необходимая часть решения.

Основным недостатком в предлагаемой системе является громоздкость предварительной работы и записей. Это обстоятельство вызывает сомнение относительно полезности применения такого рода методики изучения тригонометрических уравнений в средней школе. В то же время этот метод проверки корней является весьма простым, легко воспринимается и совершенно безотказен. Понятие периода уравнения дает возможность проверять корни не только в рассмотренных в параграфе случаях, но и при возвышении обеих частей уравнения в степень с натуральным четным показателем в процессе решения. В параграфе приведено большое количество примеров, решение которых сопровождается комментариями.

Во втором параграфе описывается 2-ой этап опытной работы. Эта работа проводилась в школах Ленинграда и Новгорода и преследовала следующие задачи:

1. Использовать тему «Тригонометрические уравнения» для попутного изучения различных вопросов равносильности уравнений.

2. Выяснить, какая предварительная работа по теме должна быть проведена в 9 и 10 классах для того, чтобы предлагаемая система работы воспринималась наиболее полно.

3. Установить, в какой мере эта работа может быть отнесена к 9 классу.

Во время эксперимента большое внимание было уделено таким важным понятием как функция и ее область существования, множество, виды множеств, подмножества. Особое внимание было уделено вопросам разбиения множества на попарно-непересекающиеся подмножества и составлению соответствующих таблиц. Таблицы составляли сами учащиеся и пользовались ими в качестве наглядных пособий на уроках и при выполнении домашних заданий.

Вначале использовались таблицы вида:

а затем таблица-схема вида:

ak-\-b -^/шЛ + а [Ь, Ь + а, (п — 1)а].

Таблицы использовались для отделения посторонних и повторяющихся корней, а также для объединения множеств корней. В конце параграфа приводятся результаты эксперимента и делаются выводы из них.

В последнем параграфе дано описание эксперимента, проведенного в Новгородской школе юных математиков. Здесь применялись оба метода, а также их комбинация. Метод отыскания пересечения множеств применялся и к некоторым задачам арифметики (задачи на делимость целых чисел).

Среди задач, приводящих к тригонометрическим уравнениям, наряду с геометрическими и физическими рассматривались иррациональные уравнения, сводящиеся к рациональным тригонометрическим уравнениям с помощью подстановок.

Учащиеся были весьма заинтересованы этим новым для них материалом и работали с увлечением. Много внимания уделялось графикам функций и геометрическому определению корней с дальнейшим точным их отысканием.

Вопросы, рассмотренные в настоящей работе, могут помочь учителям средних школ, преподавателям математики техникумов, а также самостоятельно изучающим элементарную математику глубже разобраться в решении тригонометрических уравнений. Эти вопросы помогут более осмысленно и

строго подходить к оценке полученных корней выводных уравнений.

Мы надеемся, что выполненная работа даст возможность подходить к решению тригонометрических уравнений и доказательству тригонометрических тождеств с более строгих научных позиций.

Главы II и III настоящей работы дают возможность преподавателю математики, с одной стороны, самому наиболее полно разобраться с вопросами, связанными с проверкой корней тригонометрических уравнений и, с другой стороны, изложить в доступной для учащихся форме (гл. III) строгие математические идеи (гл. II).

Так, теоретическая основа проверки корней уравнений-следствий, а именно идея сопоставления множеств, элементы которых целые числа, путем решения систем сравнений, выступает перед глазами учащихся в форме применения наглядных таблиц преобразования множества целых чисел. Работа по составлению таблиц полезна и сама по себе, т. к. дает возможность более глубоко изучить некоторые особенности множества целых чисел.

Применение таблиц при решении тригонометрических уравнений для сопоставления корней уравнений-следствий с множествами чисел, не вошедшими в о. д. з. X уравнения, значительно облегчает эту трудоемкую работу и тем самым повышает эффективность самого решения.

У учащихся создается уверенность в правильности решения уравнения, что в свою очередь способствует повышению интереса к изучаемой теме, к учебному предмету и математике вообще.

Мы считаем, что рекомендуемая система работы по решению тригонометрических уравнений имеет большое значение для математического развития учащихся средних учебных заведений, т. к. в процессе развития полезных навыков в проведении тригонометрических преобразований она дает возможность более глубоко изучить элементы общей теории уравнений, в частности, теорию равносильности уравнений. Учащиеся более глубоко знакомятся также с функциональной трактовкой уравнений.

Опытная работа позволяет сделать вывод, что излишнее увлечение решением тригонометрических уравнений, требующих громоздких преобразований, вряд ли целесообразно, т. к. ведет к нерациональной затрате учебного времени, порождает

у отдельных учащихся неверие в свои силы и тем самым не соответствует целям обучения.

Наблюдения показывают, что наибольшую пользу в смысле математического развития учащихся дает решение сравнительно простых по отношению к преобразованиям тригонометрических уравнений с последующим исследованием корней уравнений-следствий. Это исследование во всех случаях должно проводиться только при определенных заранее поставленных требованиях. Важнейшие из этих требований: выявление и отделение посторонних корней, освобождение результата от повторяющихся корней, определение условий, при которых могут быть потеряны некоторые корни, сопоставление различных результатов, отыскание возможности объединения формул корней.

После того, как указанная выше работа проведена, у учащихся создается должная уверенность в правильности решения, что в свою очередь способствует сознательному и наиболее прочному усвоению изучаемого материала.

Суммируя результаты опытной работы, мы можем высказать ряд выводов и соображений об изучении тригонометрии и в частности тригонометрических уравнений в школах и других учебных заведений.

1) Решению тригонометрических уравнений должна предшествовать предварительная работа, связанная с изучением общих свойств тригонометрических функций. Особое внимание следует уделять понятиям области существования функции, периода, а также условиям, при которых выполнимы те или иные преобразования.

2) При решении тригонометрических уравнений рекомендуется соблюдать следующую этапность работы.

а) Установление области допустимых значений неизвестного (о. д. з. X).

б) Отыскание периода уравнения.

в) Выполнение преобразований, сводящих данное уравнение к простейшим уравнениям-следствиям.

г) Сопоставление множества корней уравнений-следствий с множествами, не вошедшими в область допустимых значений неизвестного (исключение посторонних корней).

д) Сопоставление множеств корней уравнений-следствий между собой (исключение повторяющихся корней).

е) Отыскание корней, которые могли быть потеряны при решении.

ж) Запись ответа.

3) Доказательство тригонометрических тождеств не должно противопоставляться решению тригонометрических уравнений. Не отказываясь от традиционного доказательства, следует практиковать решение тригонометрических тождеств как уравнений, выделяя тем самым те множества значений неизвестного, для которых данное тождество справедливо. При этом особенно важно предупредить легко допускаемую потерю отдельных множеств корней. Решая уравнения-тождества указанным путем, можно опираться на известные основные тождества и их непосредственные следствия, учитывая одновременно изменения области допустимых значений неизвестного в процессе преобразований.

4) Наиболее продуктивным и обоснованным способом проверки следует считать сопоставление множества корней уравнений-следствий с множествами ограничений, путем использования таблиц преобразования множества целых чисел.

5) В случае, когда нарушение равносильности уравнений произошло за счет умножения обеих частей уравнения на некоторую функцию, область допустимых значений неизвестного в которой совпадает с областью допустимых значений неизвестного в уравнении, проверку следует проводить, как по способу сопоставления множеств, так и по способу, основанному на понятии периода уравнения.

6) Если уравнение-следствие получено в результате возвышения обеих частей данного уравнения в степень с четным показателем, то проверку следует проводить для каждого значения корня на полусегменте [О, L), где L — период уравнения. Такого рода проверка в отдельных случаях бывает весьма громоздкой и поэтому ее выгодно сочетать с сопутствующим графическим решением уравнения. Определение границ корней в этом случае дает возможность сразу же отбросить посторонние корни.

7) Следует чаще практиковать решение тригонометрических уравнений неравносильных уравнениям-следствиям, полученным из данного уравнения в результате преобразований, а также уравнений, множества корней которых пересекаются. Это даст возможность выработать у учащихся навык в сопоставлении множеств и приучить их к самостоятельным исследованиям, что повлечет за собой заметное повышение общей математической культуры учащихся.

8) При отыскании посторонних корней не следует удовлетворяться ссылками учащихся на соответствующую таблицу. Необходимо во всех случаях добиваться четкого, ясного

и обстоятельного рассуждения, подкрепленного осмысленным употреблением таблиц. Особенно важно, чтобы каждый из учащихся легко мог сам составить нужную таблицу при минутной затрате времени на эту работу. В классе должно быть вывешено ограниченное число наиболее часто употребляемых таблиц, которые и будут служить своего рода образцами для составления таблицы любого преобразования множества целых чисел. В противном случае, работа, связанная с проверкой корней тригонометрических уравнений, может принять формальный характер и свестись к бездумному, автоматическому употреблению таблиц.

9) Предусмотренный первым выводом учет изменений в области допустимых значений неизвестного следует проводить без излишних записей, устанавливая область допустимых значений неизвестного только для данного уравнения и заключительных уравнений-следствий, избегая тем самым загромождения решения ненужными подробностями и экономя учебное время.

10) Следует постепенно и осторожно внедрять понятие множества и наиболее употребительную терминологию с ним связанную, при этом нельзя забывать, что нежелательно слишком увлекаться элементами теории множеств, что приведет к расширению программного материала.

11) Решение тригонометрического уравнения следует считать законченным в том и только том случае, когда из множества корней выводных уравнений исключены корни, посторонние для данного тригонометрического уравнения, когда найдены все корни, потерянные в процессе преобразований, когда множество корней освобождено от повторяющихся корней и, наконец, когда полученные множества корней объединены, если это возможно, и записаны одной формулой. Учителю следует в отдельных случаях выяснять с учащимися вопросы возможности, условий и целесообразности такого объединения.

12) В случае, когда тригонометрическое уравнение содержит параметры, проверка корней должна заменяться их исследованием. Не следует рассматривать тригонометрические уравнения, содержащие более одного параметра, так как в этом случае достаточно полное и исчерпывающее исследование недоступно большинству учащихся.

13) Особое внимание следует обратить на решение геометрических задач, приводящих к тригонометрическим уравнениям. Помимо общего решения следует при этом рассмотреть и некоторые частные случаи решения при определенных зна-

чениях параметров. Решение задач можно начинать уже в 9 классе при завершении изучения планиметрии. Особое значение следует обратить на границы параметров и частные решения для этих границ.

14) Содержание текстовых задач, решение которых приводит к тригонометрическим уравнениям, не следует ограничивать только геометрическим материалом, всемерно подчеркивая, что тригонометрия имеет широкое применение при изучении физики, астрономии, техники и при решении задач практического характера, в частности, практических задач на местности.

Указатель литературы в диссертации содержит 47 названий.

Содержание диссертации докладывалось на научных конференциях Новгородского пединститута, а также на Первой научно-методической конференции математических кафедр педагогических институтов Северо-Западной зоны РСФСР.

По содержанию диссертации опубликованы следующие статьи:

1. Г. И. Бржозовский. «Применение общей теории уравнений в работе IX и X классов по тригонометрии». ЛГПИ им. А. И. Герцена. Ученые записки, т. 183. Ленинград. 1958 г.

2. Г. И. Бржозовский. «Решение задач, приводящихся к тригонометрическим уравнениям». НГПИ. Ученые записки, т. 9. Новгород. 1963 г.

3. Г. И. Бржозовский. «Методы проверки корней тригонометрических уравнений» (тезисы). Карельский пединститут. Петрозаводск. 1963 г.

4. Г. И. Бржозовский. «Об исчерпывающем решении тригонометрических уравнений». НГПИ. Ученые записки, т. III, выпуск I, г. Новгород, 1965 г.

5. Г. И. Бржозовский. «Исследование тригонометрических уравнений с параметрами» (находится в печати).

6. Г. И. Бржозовский. «Значения тригонометрических функций в радикалах» (находится в печати).

Тип. ЛОЛГУ. Зак. 527. Тир. 180. P/s п. л. М-44688. 24 VIII 1967 г.