АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

В. М. БРАДИС

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ РАБОТА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук (по методике математики)

Москва 1957

1. Полвека тому назад профессор Киевского университета В. П. Ермаков писал: «Большой недостаток средних школ заключается в неумении производить вычисления. При всяком вычислении нужно ответить на вопрос: с какою точностью найден результат. Это основной вопрос. Далее нужно позаботиться, чтобы вычисления были возможно просты, чтобы не производить лишних действий, чтобы результат получался возможно быстрее. Для выполнения этой цели нужно знать решение следующей задачи: сколько в каждом из данных чисел удержать цифр, чтобы результат получился с должной точностью. О приближенном вычислении в средних школах ученики не имеют никакого представления. Это можно судить по тому, что ученик берет тг-3,14 и вычисляет окончательный результат при помощи семизначных логарифмов. Всякое дело нужно производить с толком и с разумением. Толковое вычисление в средних школах должно быть поставлено на первом плане. Сознательное вычисление по приближению особенно важно в высших технических училищах, так как оно дает возможность быстро получать правильный результат. Сочинения, трактующие о приближенном вычислении, довольно обширны; из них трудно извлечь простые правила, годные в практике. В виду сказанного я намерен здесь предложить самые краткие правила приближенного вычисления. При помощи этих правил, после немногих упражнений, можно сознательно производить, правильные вычисления»1.

Проф. Ермаков был одним из передовых работников русской высшей школы; он правильно понимал задачи математического образования как в высшей, так и в средней школе, знал постановку школьного курса математики и ту подготовку, какую получали выпускники средней школы. Его требование о сознательном отношении к точности получаемых результатов и о том, чтобы получать их с наименьшими затратами сил и времени, в настоящее время не только подтверждается жизнью, но и во много раз усилилось: преподавание математики в условиях политехнического обучения, отнюдь не снижая требований к глубине теоретической подготовки, наравне с ними ставит и требования овладения практическими применениями математики; одним из таких требований, и весьма серьезным, является повышение уровня вычислительной культуры учащихся.

1 В. П. Ермаков. Приближенное вычисление. «Вестник опытной физики и элементарных математик», 1905, № 388.

Однако за время, протекшее с 1905 года, когда писались приведенные выше строки, и до настоящего времени, несмотря на все грандиозные перемены в государственном и общественном строе, несмотря на радикальную перестройку нашей средней школы, вычислительная культура выпускников семилетней и средней школы продолжает оставаться недопустимо низкой. Математическая наука и практические ее приложения за полвека шагнули далеко вперед, а школьники знакомятся с вычислительной техникой и теоретическими ее основами по тем самым, лишь слегка переделанным руководствам, какие были составлены в последней четверти XIX века. Новые задачники по арифметике и алгебре, изданные в последние годы, делают по части вычислительной культуры столь робкие шаги, что никакого серьезного улучшения отметить нельзя.

2. В чем же причина такого застоя в деле улучшения вычислительной культуры учащихся средней школы? В Приложении к диссертации (стр. 314—342) дан далеко не полный список литературы как на русском, так и на других языках, рассматривающей положение с теорией и практикой вычислений. Через все эти работы, написанные учителями средней школы, работниками высшей технической и высшей педагогической школы, инженерами, красной нитью проходят две мысли, ясно выраженные и в приведенной выше цитате из статьи проф. В. П. Ермакова: 1) надо научить приемам вычислений с приближенными значениями, так как эти приемы имеют существенные особенности по сравнению с приемами обычных арифметических вычислений над числами, которые предполагаются точно выражающими значения соответствующих величин; 2) надо научить применять различные средства и способы, упрощающие и сокращающие выполнение расчетов всякого рода (как с точными, так и с приближенными значениями величин). Будем обозначать эти две стороны дела несколько условно терминами «рационализация» и «механизация» вычислительной работы.

Признание необходимости повышения вычислительной культуры учащихся средней школы в русскую методическую литературу по математике пришло давно, еще в середине XIX века, а образцы вполне рационального вычисления в научных исследованиях давались и раньше, например, в работах Н. И. Лобачевского. Все возрастающие требования к приложениям математики со стороны техники вызвали еще в пятидесятых годах прошлого века появление работ, посвященных рационализации вычислений в школе и прежде всего особенностям операций с приближенными значениями величин. Так, в 1857 году в типографии Петербургской Академии Наук была напечатана книга инженер-поручика Беренса «Теория численных приближений», следовавшая изложению французской книги M. J. Vieille «Théorie générale des approximations numériques»,

Paris, изданной в 1854 г. В том же 1857 году в Петербурге вышла книга «Вычисление по приближению» Франца Симашко, автора учебников для военно-учебных заведений, получивших значительное распространение, полнее и самостоятельнее рассматривавшая вопрос. В этой книге читаем: «В практике чаще встречаются приближения, нежели точные числа: действительно, нет измерения, в котором можно было бы избежать погрешностей... Конечно, погрешностями от измерений, по их малости, можно пренебрегать, но от действий над приближениями получаются новые приближения, иногда с такими большими погрешностями, которых нельзя оставлять без внимания... Даже вместо точных чисел берут иногда их приближения, для избежания продолжительных действий; точность этих приближений зависит от требований вопроса. По мнению сочинителя, вычисление по приближению должно войти в элементарный курс математики1 предпочтительно перед теми статьями, которые остаются без приложений, как, например, периодические дроби в арифметике, корни из многочленов, общий наибольший делитель многочленов, решение неопределенных уравнений в целых числах и др.».

Множество статей и книг, появившихся в течение последнего столетия как у нас, так и за рубежом, рассматривавших и теоретические основы вычислительной работы и методические вопросы, связанные с повышением вычислительной культуры учащихся, ясно показывает, что ответ на вопрос о причинах застоя в этом деле надо искать не в недостатке внимания к нему.

3. Естественно предположение, что причиной застоя в деле повышения вычислительной культуры учащихся является просто сила традиций, которые в практике преподавания, повидимому, сильнее, чем во многих других сторонах нашей жизни. Вот что говорит о силе традиций академик А. Н. Крылов, всю жизнь боровшийся за рациональные методы вычислительной работы в своей специальной области — в кораблестроении, и сделавший тем самым многое для улучшения всякой вычислительной работы. «Приступив в 1892 году к чтению курса теории корабля, я предпослал этому курсу основания о приближенных вычислениях вообще и в приложении к кораблю в частности, выставляя как принцип, что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки. Насколько практика этого дела была несовершенная, я показал на ряде примеров, где 90% было таких лишних цифр, которые без ущерба для точности результата могли быть отброшены, а в

1 Разрядка моя. — В. Б.

одном вычислении, исполненном в чертежной Морского технического комитета, такой напрасной работы было 97%... Затем долголетней практикой я убедился, что если какая-либо нелепость стала рутиной, то чем эта нелепость абсурднее, тем труднее ее уничтожить»1 (см. «Мои воспоминания» акад. А. Н. Крылова, АН СССР, 1942, стр. 83.

В деле школьного преподавания сила традиций чрезвычайно велика, притом даже больше среди методистов, чем среди массы учителей, и это, конечно, создает свои трудности в деле борьбы за рационализацию школьных вычислений. Но здесь имеет место другая сторона дела, имеющая еще большее значение,— недостаточная разработанность научной основы практических приемов вычислений с приближенными значениями. Это и есть главная причина отсутствия прогресса в школьных вычислениях: плохие старые традиции держатся потому, что им на смену не выдвигались приемлемые для школы простые правила производства вычислений с приближенными значениями.

Рассмотрим эту сторону дела несколько подробнее.

4. В обширной научной и методической литературе по вопросам теории приближенных вычислений ясно намечаются три основных направления. Первое, которое будем именовать «классическим», характеризуется стремлением указывать наибольшую возможную в данном случае или, иначе, предельную погрешность всякого приближенного числа, что в конце-концов сводится к указанию двух чисел, между которыми это приближенное число заключено (будем называть эти два числа «низшей» и «высшей» его границами). Делается это либо посредством указания границы погрешности, абсолютной или относительной, либо просто посредством указания этих двух границ приближенного числа. Вполне последовательно выдерживают это направление составители математических таблиц. Они ставят себе целью дать значение той или иной функции с погрешностями, не превосходящими половины единицы разряда последней цифры табличного значения. Из книг научного характера, вполне выдержанных в этом направлении, укажу книгу Lüroth'a «Vorlesungen über numerisehes Rechnen», выпущенную в Лейпциге в 1900 году, а также на переведенную на русский язык книгу Г. Шуберта, изданную у нас в 1906 году (Герман Шуберт, Элементарное вычисление логарифмов). Методическая литература в большей своей части относится к этому направлению, но ограничивается понятиями и теоремами, относящимися к границам абсолютной и относительной погрешностей, вовсе отказываясь от применения более простого по идее и более строгого по существу способа вычисле-

1 Разрядка моя. — В. Б.

ния высшей й низшей границ, хотя в научной литературе именно этот способ широко применяется, начиная с Архимеда.1

Лучшим учебником по приближенным вычислениям, выдержанным в духе этого направления и предназначенным для учителей и учащихся средней школы, является книга И. Н. Кавуна, вышедшая двумя изданиями в 1922 и 1923 годах2. После появления этой книги многим стало ясно, что искать путей улучшения повседневных вычислений учащихся средней школы надо не на этом пути: вычисление границ погрешностей, рекомендуемое этой книгой (и множеством других), является существенным осложнением всякого расчета, требует немалой дополнительной вычислительной работы, да и обоснование соответствующих теорем возможно лишь в старших классах школы (в то время как рационализация вычислений нужна уже с V класса).

Отказываться от «способа границ» и «способа границ погрешностей» в средней школе нельзя, но они должны занять, принимая во внимание их сравнительно малую доступность, только второе и третье места: на второе место надо поставить «способ границ», для понимания которого совершенно достаточно изучаемой в школьном курсе арифметики зависимости между данными и результатами четырех арифметических действий (в дальнейшем естественно используются более сложные функциональные зависимости, постепенно появляющиеся в школьном курсе математики); на третье место надо поставить способ границ погрешностей, требующий уже значительно более сложного обоснования. В то время как способ границ вполне доступен учащимся седьмого, даже шестого класса, способ границ погрешностей вряд ли можно давать раньше девятого, даже десятого класса. Разумеется, самые понятия «истинной абсолютной погрешности», «истинной относительной погрешности» и их границ можно дать значительно раньше, уже в VI классе, чтобы приучить учащихся к их использованию и постоянному применению, но теоремы о границах абсолютных и относительных погрешностей, если уж давать в школе, то значительно позже.

Объединяя способ вычисления границ и способ вычисления границ погрешностей, можно говорить о «строгом учете погрешностей». Ясно, что стать основным способом школьного вычисления ни тот, ни другой из способов строгого учета погрешностей не может.

Вопрос о том, какой же способ вычислений с приближен-

1 См. например, книгу: Архимед, Гюйгенс, Ламберт. Лежандр, Квадратура круга. С приложением истории вопроса, состав Ф. Рудио. ГТТИ, 1934.

2 И. Н. Кавун. Приближенные вычисления. Курс элементарный. ГИЗ, 1922 и 1923.

ными значениями надо поставить в школе на первое место, разрешается лишь при изучении других направлений в приближенных вычислениях.

5. Второе направление, которое можно назвать «техническим», характеризуется тем, что стремится обойтись без вычисления погрешностей, обращая внимание лишь на то, сколько цифр нужно для изображения числа с некоторой определенной точностью. Основной его принцип, известный у инженеров под названием «принципа Крылова», формулирован в книге академика А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях» (ряд изданий, начиная с 1907 года), следующим образом: «Результат всякого вычисления и измерения выражается числом; условимся писать эти числа так, чтобы по самому их начертанию можно было судить о степени точности; для этого стоит только принять за правило писать число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной и притом не более, как на одну единицу». Некоторые работы, кладущие в основу этот принцип или близкий к нему, стремятся буквально выполнять последнее его требование, сводящееся к тому, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. В таких работах мы в сущности опять возвращаемся к первому направлению, т. е. к строгому учету погрешностей. Другие же авторы, и прежде всего сам академик Крылов, не следят за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределенность границы погрешности последней сохраненной цифры результата. В одной работе1 прямо предлагается «выписывать все верные цифры и первую сомнительную». В этом допущении одной сомнительной цифры и заключается характерная особенность «технического» направления. Оно представлено, кроме упомянутых работ академика А. Н. Крылова и А. П. Фан-дер-Флита, книгой J. Bourget2, книгой С. В. и Ю. А. Шиманских3, докладом В. А. Крогиуса на 1-м съезде преподавателей математики4 и др. К этому же «техническому» направлению относятся многочисленные отдельные правила, встречающиеся в самых различных книгах, говорящих о применении математики, например в книге Г. Григорьев, П. Знаменский, И. Кавун, Практические занятия по физике, Петербург, 1912 г. В духе этого направления вы-

1 Фан-дер-Флит А. П. Арифметика приближенных чисел. Прага, 1922 г.

2 J. Bourget, Théorie élémentaire des approximations numériques. Paris, 1860.

3 С. В. и Ю. A. Шиманские. Принципы числовых расчетов, Петербург, 1909 г.

4 В. А. Крогиус. Приближенные и сокращенные вычисления в средней школе. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики, том. II. СПБ, 1913 г.

держаны все вычисления в некоторых учебниках, например в книге R. М. Milne, Mensuration and elementary solid geometry for schools, Cambridge, 1923.

Среди методистов-математиков это «техническое» направление кредитом вовсе не пользуется: неопределенность последней цифры результатов, получаемых при применении правил, рекомендуемых в работах этого направления, делает эти правила весьма расплывчатыми, а результаты — крайне ненадежными. Является желание отбрасывать эту сомнительную последнюю цифру, а следствием этого является такое осложнение в работе, что нечего и думать о введении этих «усовершенствованных» правил в школу. Вот, в качестве примера, одно из таких правил: «Для вычисления произведения или частного двух приближенных чисел с m точными цифрами, достаточно в каждом из них взять по m + 1 точных цифр, если ни одно из них не начинается с единицы, и m + 2 точных цифр в том из них, которое начинается с единицы»1. Здесь, как и у большинства других авторов, приближенное число а считается имеющим m точных цифр, если абсолютная погрешность его не превышает одной единицы порядка т-ой слева цифры. Относительно всех правил этого рода следует заметить, что, согласно им, число точных цифр результатов всегда меньше числа точных цифр в компонентах, а потому после выполнения трех-четырех действий над данными, имеющими, как обыкновенно, три-четыре точных цифры, от этих данных ничего не остается (результат не будет иметь ни одной точной цифры). Практическая ценность правила такого рода сводится к нулю, на практике они никогда не употребляются.

Но некоторые из простых (не «усовершенствованных») правил технического направления получили широкое применение. Например, в Ленинградском астрономическом, бывшем вычислительном институте, было принято такое «основное положение»: «при (логарифмических) действиях умножения, деления, возведения в степень приближенных чисел из к цифр можно получить не более к цифр» (сообщено мне в 1924 году заместителем директора этого института Б. В. Нумеровым).

В то время как первое направление (вычисления со строгим учетом погрешностей) является вполне обоснованным, на практике оно применяется сравнительно редко, так как требует значительной дополнительной работы. Второе («техническое») направление, широко используемое на практике, не разработано теоретически и внушает большие сомнения. Подкупает простота правил, рекомендуемых этим направлением, но смущает неясность в вопросе о возможных ошибках результов. Например, при делении приближенных чисел, имеющих по три значащих цифры каждое, рекомендуется брать частное

1 В. Филиппов. Теория и практика элементарных приближенных вычислений Петербург, 1909, стр. 24.

с тремя значащими цифрами, но если, например, округлить до трех значащих цифр числа 100,499 и 0,100501, частное которых равно 999,980..., то получим числа 100 и 0,101, частное которых равно 990,099..., т. е. почти на 10 единиц меньше, чем надо. Это не противоречит правилу Б. В. Нумерова, но за что же можно ручаться при применении этого правила?

Недоверие к тем правилам, какие с успехом применялись в технике, надо признать вполне законным.

6. Отличительной особенностью третьего направления является то, что здесь интересуются не только предельными погрешностями приближенных значений, т. е. наибольшими возможными их отклонениями от истинных значений, но и вероятностями различных значений этих отклонений, и просто игнорируют такие погрешности, которые хотя и возможны, но весьма мало вероятны и встречаются поэтому очень редко. Это направление теории приближенных вычислений представляет собой целую разработанную науку, известную под разными названиями («теория ошибок», «теория уравновешивания», «Ausgleichungslehre», «теория уравнительных вычислений») и целиком основанную на теории вероятностей. Более всего приложений находит это направление в астрономических и геодезических работах, и потому будем называть его «геодезическим». Из книг на русском языке, изложенных в духе этого «геодезического» направления, укажем книги Хельмерта (217), Сопоцько (196), А. А. Иванова (119), В. И. Романовского (187). Особенно подробно правила действий над приближенными числами разработаны у А. С. Чеботарева (219)1.

Для работ этого направления характерным является использование не только предельных, т. е. наибольших возможных, но и средних квадратических погрешностей. Например, в книге (219) показано (на стр. 68—69), что, найдя сумму 5 слагаемых, каждое из которых округлено до сотых долей, надо сохранить все полученные цифры, а не округлять эту сумму до десятых, как часто рекомендуют.

Однако, в работах этого направления нет достаточно удобных общих правил, которые без какой бы то ни было дополнительной работы позволяли бы устанавливать, какие цифры в результате каждого действия над приближенными числами следует сохранить, какие отбрасывать. Например, на стр. 71—72 книги (219) рассмотрен пример: сколько цифр следует сохранить в произведении 4 сомножителей 84,18, 126,70, 6,858,928,3. После выкладок, занимающих почти страницу, получен ответ: произведение 67900249,097552840 надо округлить до тысяч, так как средняя квадратическая его погрешность составляет около 13900; в результате получается число 67900000, которое

1 Здесь и в дальнейшем числа в скобках указывают на номера работ, перечисленных в «Приложении» к диссертации (стр. 314—342).

лучше записать в виде 67,9-106. Если же применять то из «правил подсчета цифр», о которых сейчас будет речь, получаем последовательно 84,18.126,70 = 10,666.103, 10,666.103.6,858 = = 73,147.103, 73,147.103.928,3 = 6,790.107, и утверждаем, что ошибка в последней цифре (0) не может быть значительной. Проведя вычисление по способу границ, получаем, что искомое произведение больше, чем 6,788.107 и меньше 6,792.107, так что его можно записать в виде 6,790. (+ 0,002) десятков миллионов. Как видим, правила подсчета цифр дали без каких бы то ни было дополнительных выкладок оценку погрешности результата, более близкую к действительной, чем правила «геодезического» направления (конечно, так бывает не всегда).

7. Детальное изучение работ всех трех рассмотренных направлений показало с полной ясностью, что ни первое направление, требующее больших дополнительных вычислений для учета погрешностей результата, ни третье, требующее ряда сведений из теории вероятностей и тоже немалой дополнительной работы, чтобы дать характеристику точности получаемых в ответах чисел, не имеют и не могут иметь шансов стать основным, постоянно применяемым способом приближенного вычисления. Другая, не менее важная причина их неуспеха в школе — сложность рекомендуемых в обоих направлениях практических правил. Еще в 1860 г. упомянутый выше J. Bourget в своей книге «Théorie élémentaire des approximations numériques» писал: «Именно потому, что авторы делают из этих вопросов предмет весьма глубокого исследования, учащимся кажется столь трудным пользоваться методами приближенного вычисления. Краткость операций является целью, которую себе ставят; всякое более или менее сложное рассуждение должно быть из практических применений устранено: в этом основной принцип, который никогда нельзя упускать из вида, говоря о числовых выкладках».

Этому важному требованию простоты практических правил вполне удовлетворяет второе направление, связанное с именем академика А. Н. Крылова, которое мы назвали «техническим». Сопоставление широкого успешного его применения на практике, ярко показанного в многочисленных и часто весьма сложных вычислениях, какие мы находим в работах как самого А. Н. Крылова, так и ряда других математиков, доводивших свои исследования до получения числовых результатов, привело меня к мысли, что правила этого направления могут быть убедительно обоснованы, и я еще в 1922 году занялся поисками такого обоснования. Надо было выяснить, каковы предельные, т. е. наибольшие возможные погрешности результатов отдельных действий над приближенными значениями, данными с определенным числом цифр, и каково распределение фактических его погрешностей, т. е. какова вероятность того, что действительная погрешность результата заключается в таких-то

границах. Первый толчок в этом направлении, полностью оправдавший себя в дальнейшем, был дан книгой академика А. Н. Крылова (139), где на стр. 182—189 (по изданию 1911 г.) приведено решение по Лапласу (246) следующей задачи: Какова вероятность того, что ошибка в сумме Е, составленной из s слагаемых, в каждом из которых может быть с одинаковой вероятностью ошибка, равная одному из чисел ряда:

-n-(n-l), -(п-2), -2, -1, 0, +1, +2,..., + (n+l),-f-n, заключается между —h и + h, причем h<ns?

Если ошибка каждого слагаемого не превосходит п, то ошибка суммы s слагаемых не превосходит ns. Но какова вероятность получить ошибку суммы, близкую к этой предельной? Ведь совершенно невероятно, чтобы без специального подбора слагаемых все они имели максимально возможную ошибку, притом одного знака! По мере увеличения числа слагаемых, взятых с одним и тем же числом десятичных знаков, происходит не только накопление погрешностей, но и частичная их компенсация: погрешности со знаком плюс и минус, встречаясь примерно одинаково часто, должны компенсировать друг друга, сумма должна иметь в подавляющем большинстве случаев погрешность, значительно меньшую, чем предельная. Это — факт, давно известный в работах геодезического направления, где считают допустимой погрешность суммы, возрастающую пропорционально не числу слагаемых, а квадратному корню из этого числа; если, например, угломерный прибор дает отсчеты со средней квадратической погрешностью в а минут дуги, то допустимо расхождение между суммой измеренных внутренних углов п-угольника и теоретическим значением 180°. (п — 2) этой суммы, не превосходящее числа а ]/п. На практике относятся с полным доверием к суммам целого ряда слагаемых, взятых с одним и тем же числом десятичных знаков, хотя погрешность, например, суммы 8 пятизначных логарифмов может доходить до 4 единиц разряда последней цифры.

8. Первые результаты, найденные мною в этом направлении, были опубликованы в 1923 году (2). Здесь было выяснено преимущество способа границ перед способом границ погрешностей, были даны теоремы о предельных погрешностях в результатах отдельных действий, были приведены результаты небольшого статистического исследования, относящегося к распределению погрешностей произведения: хотя произведение двух приближенных значений, взятых каждое с k значащими цифрами, может иметь погрешность до 6 единиц разряда &-ой значащей цифры, но погрешности, близкие к этому предельному значению, встречаются очень редко. В дальнейшем картина распределения погрешностей была

уточнена и оказались еще более благоприятной для обоснования правил, которые я назвал «правилами подсчета цифр». Первый их вариант был дан в этой работе 1923 года, и было выяснено, что их применение на практике, вполне приемлемое для учащихся средней школы, полностью ликвидирует те «нелепые хвосты ненужных цифр», которые так часто встречаются в школьных вычислениях.

Более глубокое исследование вопроса о предельных погрешностях и о распределении фактических погрешностей результатов отдельных действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в квадрат и куб, извлечения квадратного и кубического корня) было дано в двух теоретических моих работах в 1925 году (6) и в 1927 году (11). Они вполне подтвердили целесообразность «правил подсчета цифр», формулированных в статье (2). Печатных откликов эти мои работы не получили, но в беседах с рядом лиц, имеющих постоянно дело с вычислениями, я установил, что отношение к ним со стороны специалистов вполне благоприятное. Из этих лиц назову астронома М. Ф. Субботина; покойного академика В. И. Романовского, специалиста по теории вероятностей и математической статистике; профессора Ленинградского электротехнического -института А. Ф. Гаврилова. Академик А. Н. Крылов, получив оттиск моей работы (11), откликнулся на нее письмом, фотокопия которого воспроизводится в диссертации на стр. 16 (в нем по ошибке указана дата 1923 года, когда надо было указать 1928 год).

9. Выяснив теоретическую основу правил подсчета цифр и их применение на практике, я занялся в дальнейшем их пропагандой в докладах, статьях, книгах для учителей, в учебниках для студентов педагогических институтов и для учащихся средней школы. Список опубликованных моих работ, относящихся к этому вопросу, дан в Приложении к настоящей диссертации (№№ 1—48). Составленный мною сборник «Четырехзначные математические таблицы», выпускаемый как учебник для старших классов средней школы с 1928 года и вышедший в 1955 году 27-ым изданием на русском языке, а кроме того рядом изданий на языках Советских Республик и в некоторых странах народной демократии, содержит текст восьми правил подсчета цифр (начиная с II издания 1930 года).

Пропагандируя правила подсчета цифр как основные для обычных школьных вычислений, я всегда подчеркивал, что последняя цифра получаемых при их применении результатов может иметь погрешность, и довольно значительную. Но вероятность больших значений этой погрешности мала: чем больше погрешность, тем реже она встречается. Если по характеру вопроса такая неопределенность недопустима, надо провести вычисление низшей и высшей границы.

10. Моя пропаганда правил подсчета цифр, проводимая

свыше чем 30 лет, получила немало откликов в учебной, методической, справочной литературе. Это можно видеть по Приложению к диссертации (стр. 314—342), в котором дан перечень работ, вышедших на русском языке и относящихся к теме диссертации, причем работы, содержащие положительный отклик на мои предложения, отмечены звездочкой (*). Привожу примеры:

а) О. А. Вольберг выяснил, применяя теорию вероятностей, как влияет на распределение погрешностей в результатах действий над приближенными числами то округление этих результатов, какое рекомендуется правилами подсчета цифр, и подтвердил тем самым целесообразность этих правил (90). Его популярная статья по тому же вопросу напечатана в журнале для учителей (91).

б) В работах В. У. Грибанова (104) дается методическая разработка идей, предложенных мною и полностью им воспринятых, применительно к школьному курсу математики.

в) В книге для студентов вузов, вышедшей под редакцией проф. А. Я. Хинчина в 1930 году и повторно в 1931 году (218), полностью приведены и систематически применяются предложенные мною правила подсчета цифр.

г) Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, составленный И. Н. Бронштейном и К- А. Семендяевым и вышедший в 1955 году пятым изданием (73), содержит (на стр. 117—118) мои 8 правил подсчета цифр.

д) «Курс алгебры для техникумов» Р. А. Калнина (129) на стр. 51—52 содержит 6 правил подсчета цифр в несколько измененной редакции (без ссылки на мои работы).

е) Я. И. Перельман в книге (175а) дает такие правила: «Результат сложения или вычитания не должен заканчиваться значащими цифрами в тех разрядах, которых нет хотя бы в одном из данных чисел. Если такие цифры получаются, их следует заменить нулями (нули, стоящие между значащими цифрами, также считаются значащими). Результат умножения и деления не должен состоять из большего числа значащих цифр, чем их имеется в том из данных чисел, которое содержит наименьшее число значащих цифр. Число значащих цифр степени или корня не должно превышать числа их в основании или в подкоренном количестве. Указанные правила действий относятся только к окончательным результатам выкладок. Если же выполняемое действие не окончательное, т. е. если с полученным результатом предстоит выполнять еще и другие действия, то в результате оставляют одною цифрой больше, чем указано в предыдущих правилах».

ж) В 1937 году в США был опубликован «Двенадцатый ежегодник национального совета учителей математики» на английском языке, содержащий обширную работу А. Бакста под заглавием «Приближенное исчисление» (233). Здесь по-

дробно разработаны (со ссылками на мои статьи и книги на русском языке), пропагандируемые мною метод границ и метод подсчета цифр. В Предисловии на стр. X—XI указаны три следующих направления в деле разрешения проблемы приближенного исчисления. Первое, именуемое классическим, основывается на анализе погрешностей приближенных чисел и их влияния на результаты численных операций; как наиболее известные представители этого направления, указаны Fassbinder (240), Lüroth (249), Кавун (128). Второе направление — то самое, которое выше я назвал «техническим»; в качестве его представителей названы Bourget (235), Крылов (139), Фан-дер-Флит (207), Селиванов (190). Третье характеризуется использованием теории вероятностей; отмечается, что в этом направлении многое еще надо сделать; в качестве представителей этого направления указаны Брадис (в перечне литературы упомянуты 6 моих публикаций), Stadthagen (246), Вольберг (90, 91).

11. Несмотря на пропаганду правил подсчета цифр, которую я вел с 1923 года и которая имела некоторый успех (целесообразность этих правил никем не оспаривалась), основной своей цели — обеспечить широкое применение этих правил в школьном преподавании — я еще не добился. В книге (181), представляющей собой официальное издание Народного Комиссариата Просвещения РСФСР (1927 г.), для V класса были рекомендованы (на стр. 117—119) три следующих правила подсчета цифр: 1) При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном компоненте с наименьшим числом десятичных знаков. 2) При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет компонент с наименьшим числом значащих цифр. 3) Если некоторые данные при сложении и вычитании имеют больше десятичных знаков или при умножении и делении больше значащих цифр, чем другие, их предварительно можно округлить, сохраняя одну лишнюю цифру. Но в дальнейшем всякое явное указание на правила подсчета цифр из программы для средней школы было устранено. Некоторое время в программе V класса был пункт: «Округление данных и результатов действий», который многие учителя толковали в смысле указания на необходимость знакомства учащихся с правилами, говорящими о рациональном округлении результатов действий над приближенными числами, то есть с правилами подсчета цифр. Но потом, в новых изданиях программ средней школы, возможность этого толкования была устранена следующим разъяснением (см. 182, стр. 8): «Состоящие в программе слова «Округление данных и результатов действий» следует понимать в том смысле, что учащийся должен уметь данное или полученное в результате вычислений многозначное число или

десятичную дробь заменить округлением «до ближайшей тысячи», «до ближайшей единицы», «до ближайшей сотни» и т. д.— в любом назначенном разряде». Таким образом, учащиеся должны согласно программе ожидать в каждом отдельном случае указания учителя (или задачника) о том, до какого разряда производить округление, или же производить его как попало. Как показывает опыт, учащиеся предпочитают, если таких указаний нет, вовсе результаты не округлять, а следствием этого являются «нелепые хвосты ненужных цифр». Составители программы не замечают или не хотят замечать, в каком вопиющем противоречии находится этот отказ от округления с провозглашаемым из года в год (в самом начале «Объяснительной записки» к программе маметатики) правильным призывом: учить учащихся применять полученные знания к решению задач и выполнению простейших расчетов практического характера.

Положение не улучшилось и с переходом на новую программу математики, введенную в V классе в 1954—55 году, в VI классе — в 1955—56 году (185). Приближенным вычислением уделено внимание лишь в следующих двух пукнтах: «Округление целых чисел с точностью до 10, 100, 1000 и т. д.» в теме «Целые числа» и «Приближенные значения периодических дробей с точностью до 0,1, 0,01, 0,001 и т. д.». Практические работы, в частности работы геодезического характера, сделавшиеся теперь обязательными, учащиеся должны выполнять, имея дело исключительно с приближенными результатами их собственных измерений, но никаких знаний об особенностях работы с приближенными числами им иметь не положено.

12. Значительно лучше, чем в средней общеобразовательной школе, обстоит дело с приближенными вычислениями в средних технических учебных заведениях. Уже учебник математики для индустриальных техникумов (75), изданный в 1932 году, содержал солидную главу «Практика вычислений», где были даны и правила подсчета цифр. В настоящее время в техникумах применяется программа по математике, предусматривающая серьезные меры по поднятию вычислительной культуры учащихся (приближенные вычисления, счетная линейка). Эти требования программы отражены и в упомянутом выше учебнике алгебры (129).

Правила подсчета цифр со ссылкой на меня, но в редакции, существенно отличной от данной мною, имеются и в книге (147), предназначенной для студентов высших технических учебных заведений.

В учебном плане физико-математических факультетов педагогических институтов в течение нескольких последних лет имеется курс элементарной математики, раньше именовавшийся «специальным курсом элементарной математики»; один из

разделов его программы, изучаемый на 1-м курсе, носит название «Теория и практика вычислений» и содержит сведения как о вычислениях со строгим учетом погрешностей (способ границ и способ границ погрешностей), так и о вычислениях без строгого учета погрешностей, но с применением правил подсчета цифр, а также некоторые другие вопросы, относящиеся к рационализации и механизации вычислений. Вот этот раздел программы, изданной в 1950 году.

1. ТОЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Устные вычисления: общие и особые приемы устного счета. Письменные вычисления; рациональная запись и рациональный ход письменного вычисления; проверка. Сочетание устных и письменных вычислений. Инструментальные вычисления: русские счеты, арифмометр, таблицы произведений.

2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СО СТРОГИМ УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Приближенное значение величины, как результат измерения. Характеристика точности данного приближенного значения посредством указания его низшей и высшей границы, границы абсолютной погрешности, границы относительной погрешности. Вычисление низшей и высшей границы приближенного значения, определяемого формулой. Вычисление отношения длины окружности к длине ее диаметра, как пример более сложного вычисления по способу границ. Теоремы о границах абсолютной и относительной погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени, корня и их практические применения.

3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ БЕЗ СТРОГОГО УЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕЙ

Принцип академика А. Н. Крылова. Число десятичных знаков и его связь с границей абсолютной погрешности. Число значащих цифр и его связь с границей относительной погрешности. Правила округления результатов действий над приближенными числами (правила подсчета цифр). Понятие о простейших способах обработки результатов измерений: вычисление арифметического среднего, взвешенного среднего, среднего уклонения.

4. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Математические таблицы, их устройство и употребление. Линейная интерполяция и условия ее допустимости. Табличка пропорциональных частей.

Счетная логарифмическая линейка. Логарифмические шкалы. Принцип счетной линейки. Устройство счетной линейки и ее употребление для умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня, вычисления значений, прямо и обратнопропорциональных данным. Понятие о других вычислениях, выполняемых с помощью счетной линейки.

Важнейшие приближенные формулы.

Понятие о графических методах вычисления, включая знакомство с простейшими номограммами.

Эта программа, впервые утвержденная и опубликованная (57) в 1950 году, в дальнейшем переиздавалась несколько раз, подвергаясь частичным изменениям.

13. Настоящая диссертация имеет целью подвести некоторые итоги той работы, которая проводилась за последние десятилетия по поднятию вычислительной культуры учащихся советской средней школы. Диссертация состоит из двух частей; в первой рассматривается содержание школьных вычислений, причем изложение расчитано на учителя математики, изучившего математические курсы в объеме программы педагогического института (особо оговорены некоторые сведения по теории вероятностей, которых пединститут в настоящее время не дает), вторая часть говорит о методике вычислительной работы в разных классах средней школы и тоже адресуется учителю математики. Автор надеется, что выводы этой диссертации в какой-то мере повлияют на составление программ и учебников для средней школы.

Основная мысль диссертации — без серьезных мер по рационализации и механизации школьных вычислений невозможен переход к политехническому обучению в школьном курсе математики. Надо когда-нибудь положить конец тем вычислениям с искусственно подобранными числовыми данными, при которых все проходит как нельзя более гладко: деления совершаются без остатка, корни извлекаются нацело, ответы выражаются однозначными натуральными числами. Потратив в школе много времени на усвоение теории и навыков вычислительной работы согласно действующей программе, учащийся в вузе или в практической работе убеждается, что ему надо учиться многому заново, чтобы с достаточной для практических целей точностью и без излишней затраты времени выполнять нужные ему расчеты.

14. Диссертация содержит всего 11 глав. Часть 1, под заглавием «Содержание школьных вычислений», состоит из 7 глав:

Глава 1. Общие сведения о числовых расчетах (стр. 26— 46).

Глава II. Вспомогательные средства вычислений (стр. 46-73).

Глава III. Приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей по способу границ и по способу границ погрешностей (стр. 73—109).

Глава IV. Предельные погрешности результатов действий над приближенными значениями, заданными с определенным числом знаков (стр. 109—130).

Глава V. Средние погрешности результатов действий над приближенными значениями, заданными с определенным числом знаков (стр. 130—153).

Глава VI. Распределение погрешностей в результатах действий над приближенными значениями (стр. 154—173).

Глава VII. Правила подсчета цифр в результатах действий над приближенными значениями (стр. 173—200).

Часть II, имеющая заголовок «Методика школьных вычислений», содержит 4 главы.

Глава VIII. Вычислительная работа учащихся средней школы в условиях политехнического обучения, (стр. 200—231).

Глава IX. Приближенные вычисления в V, VI классах (первый круг сведений по приближенным вычислениям) (стр. 231—269).

Глава X. Второй круг сведений по приближенным вычислениям (VI и VII классы) (стр. 270—284).

Глава XI. Третий круг сведений по приближенным вычислениям (VIII—X классы) (стр. 284—310).

Стр. 310—313 занимают следующее «Заключение»:

1. Советская политехническая школа, стремясь к связи между изучением математики и производительным трудом, должна усилить внимание к вычислительной математике, а именно к рационализации и механизации школьных вычислений.

2. В работах старых русских и советских математиков-методистов, а также инженеров, занимающихся вопросами преподавания математики, вопросы содержания и методы преподавания тех разделов школьного курса математики, которые относятся к вычислительной работе, разработаны весьма подробно.

3. Новая программа математики для средней школы, утвержденная в 1954 году, делает некоторые шаги в сторону обеспечения более высокого уровня вычислительной культуры школьников. Но шаги эти слишком робки и недостаточны для серьезного прогресса в этом направлении. Необходимо уже в V классе ввести некоторые простейшие правила сознательного обращения с приближенными значениями, неукоснительно применять их во всем дальнейшем, в VII классе ввести понятие о строгом учете погрешностей по способу границ, уточ-

нить требования к более полному использованию математических таблиц и счетных приборов.

4. Особое внимание надо уделить счетной логарифмической линейке: а) обеспечить всех учащихся IX и X классов недорогими счетными линейками упрощенной конструкции, б) уточнить программные требования (в IX классе действия умножения и деления, возведения в квадрат и в куб, вычисление значений, прямо и обратно пропорциональных данным, в X классе— вычисления с тригонометрическими шкалами), различая общие требования для всех учащихся и несколько повышенные требования для тех, кто предполагает поступать в технические вузы.

5. Включить в программу ознакомление с устройством и употреблением простейших номограмм, дающих возможность удобного графического решения некоторых задач геометрии и физики.

6. При переработке существующих учебников (руководств и задачников) по математике и при написании новых усилить внимание к вычислительным операциям, имея в виду прежде всего .те расчеты, какие приходится выполнять в смежных школьных дисциплинах (физике, химии, астрономии, географии, Черчении) и в инженерно-технической практике.

7. Улучшить подготовку учителей математики и физики на физико-математических факультетах педагогических институтов в области вычислительных методов, а для этого увеличить число часов лекций и практических занятий на 1 году обучения по разделу «Теория и практика вычислений», восстановив этот раздел, вовсе в настоящее время выпавший из математической подготовки студентов-физиков. Требовать рационализации и механизации в вычислениях, проводимых студентами по всем математическим дисциплинам учебного плана физмата.

8. В план работы институтов усовершенствования учителей включить изучение учителями математики и физики, проходящими переподготовку на летних курсах, двух частей краткого курса «Теории и практики вычислений», состоящего из лекций и практических занятий. Учителя V—VII классов должны изучить только часть 1, учителя VIII—X классов — часть I и II.

9. Судя по имеющейся у нас зарубежной литературе, теоретическая разработка вопросов содержания и методики элементарных школьных вычислений находится в странах Западной Европы и в США на меньшей высоте, чем у нас. Об этом ясно говорит, например, книга (233), вышедшая в 1937 году и являющаяся XII ежегодником Национального Совета учителей математики США. Она в значительной мере построена на дальнейшей разработке идей, высказанных в СССР. Статья видного работника геодезической службы Англии (257), опубликованная в 1953 году, показывает, что там открывают как

новинки теоремы и практические правила элементарных вычислений, давно известные и широко применяемые у нас (см. в «Реферативном журнале Математика» за 1954 год рефераты №№ 1820 и 1821). Однако необходимо тщательное изучение зарубежного опыта, притом не только отраженного в учебной и методической литературе, с целью учета отдельных достижений по школьным вычислениям. Таковыми являются, например, номограммы для решения квадратного и кубического уравнений в школьном сборнике математических таблиц (226), применяемом в Германской Демократической Республике, весьма богатый содержанием справочник в чешском школьном сборнике математических таблиц (254) и др. Лучше всего, конечно, было бы командирование в ГДР и другие страны специального лица для изучения этой стороны школьного курса математики непосредственно на месте.

Настоящая диссертация представляет собой подведение итогов работы, которую автор вел в течение свыше 30 лет и которая освещена в перечисленных ниже его статьях и книгах.

СПИСОК печатных работ В. М. Брадиса (звездочкой отмечены работы, имеющие отношение к теме диссертации).

1. Перевод монографии Н. Г. Абеля «Исследование ряда 1 + — x-f-m (m — 1)+-TT— x2.... «Журнал «Математика», 1912 г., № 5 (стр. 8—14) и № 6 (стр. 1—16).

* 2. Таблица четырехзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин. ГИЗ, Тверское отделение, 1921 год, стр. 1—8.

3. Как найти площадь фигуры с произвольным контуром? Журнал «Знамя рабфаковца», 1923 г. №№ с 3—5, стр. 61—68.

4. Как облегчить переход к обозначению чисел буквами? Журнал «Знамя рабфаковцев», 1923 г. №№ 8—9, стр. 77—84.

* 5. Как вычисляют посредством таблицы логарифмов с десятичными знаками? ГИЗ, Ленинградское отделение, 1926 г., стр. 1—40.

* 6. Приближенные вычисления в школьном курсе математики. Статья в сборнике «Вопросы математики и ее преподавания», под. ред. И. И. Чистякова и Н. М. Соловьева, ГИЗ, 1923 г., стр. 20—40.

* 7. Разыскание наивыгоднейших значений. Журнал «Математика в школе», Ленинград, 1926 год, № 6, стр. с 3 по 20.

* 8. Умножение приближенных чисел. Журнал «Известия физико-математического общества при Казанском Университете», т. 25, серия 2, 1925, стр. 56—85.

*9. Теория и практика приближенных вычислений в школе II ступени. Статья в сборнике «Вопросы преподавания математики» под редакцией И. А. Сигова и И. С. Симонова, изд. Брокгауз — Ефрон, 1925, стр. 68—82.

* 10. Арифметика приближенных вычислений. ГИЗ, Ленинградское отд. 1930 г., стр. 1—256. Издание II, 1931. В 1934 году 3-е издание под названием «Теория и практика вычислений», выпуск I. В 1935 году издание IV (Учпедгиз), в 1937 году издание V Учпедгиза.

* 11. Четырехзначные математические таблицы. ГИЗ, 1928, стр. 1—42. Был ряд переизданий Учпедгиза. В 1956 году издание 27, стр. 1—64. Есть ряд изданий на языках Советских Республик и за рубежом.

* 12. Школьная замена счетной линейки. Статья в «Известиях Тверского Педагогического Института», вып. 1, 1926, стр. 39—41.

* 13. Приближенные вычисления. Статья в сборнике «На путях математики», под ред. М. И. Рубинштейна, изд. «МИР», 1926 г., стр. 88—112.

* 14. Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближенными числами. «Известия Тверского пединститута», вып. III, 1927 г., стр. 103—140.

* 15. Правила подсчета цифр. Статья в журнале «Математическое образование», 1928, № 1, стр. 40—44, № 2, стр. 71—82.

* 16. О предельной погрешности произведения нескольких приближенных сомножителей. Статья в «Известиях Тверского Педагогического Института», 1928 г, вып. IV, стр. 5—14.

* 17. Математические таблицы в школе. Журнал «Физика, химия, математика, техника в трудовой школе», 1920, № 3, стр. 38—58.

118. Программа-минимум для повышения квалификации работников социального воспитания, вып. VII. Математика. Изд. «Работник просвещения», 1929, стр. 1—84. Написана совместно с П. И. Поповым.

* 19. Рецензия на книгу F. Klein, Approximations und Präzisions mathematik. Журнал «Математическое образование», 1928, № 4, стр. 179— 180.

* 20. Решение численных уравнений по способу итерации. Журнал «Математическое образование», 1928. № 7, стр. 288—292.

*21. Приближенные вычисления в педвузе. Журнал «Математическое образование», 1929 № 1, стр. 1—9.

* 22. Вычислительная работа в курсе математики в школах II ступени, Журнал «Просвещение», 1928 г., № 12, стр. 23—42.

23. Профессор И. И. Чистяков. К 35-летнему юбилею научной и преподавательской работы. «Известия Тверского Педагогического Института», выпуск 5, стр. 210—214.

* 24. Как надо вычислять? Приближенные вычисления на пятом году обучения. ГИЗ, 1929 г., стр. 1—80. Издание II в 1930 г., Издание III в 1932 г. (Учпедгиз).

* 25. Обзор книг по приближенным вычислениям. Журнал «Физика, химия, техника и математика в трудовой школе», 1929 г., № 2.

*2б. Об одном забытом счетном приборе. Журнал «Физика, химия, техника и математика в трудовой школе», 1930, № 2, стр. 70—73.

* 27. Рецензия на таблицы Л. Г. Асатиани. Журнал «Математическое образование», 1929, № 7—8, стр. 347—349.

* 28. Рецензия на книгу В. П. Фармаковского «Техника выполнения графических расчетов». Журнал «Математическое образование, 1929 г., № 7—8, стр. 345—346.

* 29. Графические вычисления. Статья в «Большой Советской Энциклопедии», том. 18, издание 1, 1930, стр. 844—852. Написана совместно с Н. И. Идельсоном.

* 30. Как надо вычислять? Выпуск второй. Приближенные вычисления на VI году обучения. ГИЗ, 1931, стр. 1—83. Издание II в 1932 г. Учпедгиз.

*31. О выводе формулы V а2+©2 ^ 0,960а+0,398в. Журнал «Математическое образование», 1930, № 7—8.

* 32. Разыскание радиуса круга по сторонам вписанного в него неправильного многоугольника. Журнал «Математические науки пролетарским кадрам», 1931, том I, стр. 12—19. Написана совместно с И. К. Андроновым.

* 33. Перевод и переработка книги Зандена «Практический анализ» (Н. Sanden, Praktische Anclysis). Выпущена ГТТИ под заглавием «Элементы прикладного анализа»; 1932 г., стр. 1—204. Написана в сотрудничестве с Д. Ю. Пановым и К- А. Семендяевым.

*34. Трехзначные математические таблицы. Учпедгиз, 1932, стр. 1—34.

* 35. Как надо вычислять? Выпуск третий. Вычисления посредством логарифмов и счетной логарифмической линейки. Учпедгиз, 1934, стр. 1-136.

36. Аналитическая геометрия. Учебник для высших педагогических учебных заведений. Учпедгиз, 1934, стр. 1—296. Издание II в 1935 г., издание III в 1936, издание IV в 1937.

* 37. Элементарные сведения по технике вычислений. Раздел книги И. А. Гибша «Методические указания для заочников к программе по элементарной математике», выпуск 13. Издание Научно-методического кабинета по заочному обучению учителей, 1936, стр. 47—52.

38. Ошибки в математических рассуждениях. Учпедгиз, 1938, стр. Написана в сотрудничестке с А. К.. Харчевой,

39. Элементы теории чисел. Пособие для студентов пединститута. Литографированное издание Калининского гос. пед. института, 1943, стр. 1—192.

* 40. Приближенные вычисления. Статья в «Большой Советской Энциклопедии», издание 1, том. 46, стр. 786—789.

41. Математические задачи в школе. Статья в журнале «Математика в школе», 1946 г., № 1, стр. 33—39.

42. Формализм в школьном курсе математики и борьба с ним. Статья в журнале «Математика в школе», 1946 г., № 3, стр. 17—23.

*43. Средства и способы элементарных вычислений. Изд-во АПН, 1948 г., стр. 1—196. Издание второе, там же, 1951 г. Издание III, Учпедгиз, 1954 г. Есть издание на украинском языке.

*44. Методика преподавания математики в средней школе. Учебное пособие для педагогических институтов. Учпедгиз, 1949, стр. 1—472. Второе издание в 1951 г., третье издание в 1954 г. Есть издания на украинском, латышском молдавском, болгарском, чешском, белорусском, немецком, китайском языках.

* 45. Программа раздела «Арифметика» в брошюре «Программы учительских институтов». Элементарная математика, высшая математика черчение. Учпедгиз, 1949 г., стр. 3—5 и 11—13.

*46. Программа по курсу «Элементарная математика» для физико-математических факультетов пед. институтов по специальности физика. Министерство высшего образования СССР, отдел педвузов, 1951 г., стр. 1—11. Написана совместно с И. К. Андроновым.

* 47. Программа специального курса элементарной математики для физико-математических факультетов пед. институтов. Министерство высшего образования СССР, отдел педвузов, 1950 г., стр. 1—20, были переиздания. Написана совместно с И. К. Андроновым.

*48. О чем не должен забывать преподаватель математики. Статья в «Учительской газете», 9 декабря 1950 г. Написана совместно с И. К. Андроновым.

49. Линейные многообразия четырех измерений и их истолкование в системе пространство—время. Статья в «Трудах физико-математического факультета Калининского гос. лед. института», том. XII, вып. И, 1950 г., стр. 3—12.

50. Эвклидова геометрия в аксиоматическом изложении. Статья в «Трудах физико-математического факультета Калининского гос. пед. института», том. XII, вып. 1, стр. 13—86.

*51. Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений. Статья в книге 1 «Энциклопедии элементарной математики» ГТТИ, 1951 г., стр. 357—441. Есть издание на немецком языке в ГДР.

52. Величина и ее значение. Одна из глав учебника по арифметике Для V и VI классов, Журнал «Математика в школе», 1951 г., № 2, стр. 51—69. Написана совместно с И. К- Андроновым.

53. Улучшить преподавание общенаучных дисциплин в педагогических институтах. Математика. Статья в журнале «Вестник высшей школы», 1951 г., № 4, стр. 41—43.

* 54. За высокую вычислительную культуру. Статья в «Учительской газете» от 24 декабря. 1952 г.

55. Воспитания логических навыков при изучении математики. Статья в журнале «Математика в школе», 1953 г., № 1, стр. 20—24.

* 56. Контрольные работы по специальному курсу элементарной математики. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей, 1953 г., стр. 1.—53. Написана совместно с М. В. Даниловой.

57. Курсовые работы по математике и методике ее преподавания. Одобрено Ученой комиссией по математике при Главном Управлении подготовки учителей Министерства просвещения РСФСР в качестве учебного пособия. Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей. 1953 г., стр. 1-136; второе издание в 1955 году.

*58. Контрольные работы по специальному курсу элементарной мате-

матики (теория и практика вычислений, учение о числе). Научно-методический кабинет по заочному обучению учителей, 1954 г.. стр. 1—23. Написана совместно с Е. К. Нечаевым.

*59. Методические указания к программе специального курса элементарной математики (раздел «Арифметика»). Научно-методический кабинт по заочному обучению учителей. 1954 г., стр. Г—43.

60. Теоретическая арифметика. Учпедгиз, 1954 г., стр. 1—203.

61. Математика в школе. Статья во II издании «Большой Советской Энциклопедии», том. 26, стр. 483—484, 1954 г.

*62. Округление. Статья в БСЭ, II издание, том 30, стр. 609, 1954 г.

* 63. Приближенные вычисления. Статья в БСЭ, II издание, том. 34, стр. 471—472, 1955 г.

* 64. Приближенные формулы. Статья в БСЭ, II издание, том. 34, стр. 472, 1955 г.

* 65. Арифметика. Учебник для V и VI классов средней школы. Напечатано для обсуждения как макет № 5. Учпедгиз, 1955 г. Стр. 1—256. Написано совместно с И. К. Андроновым.

66. Рецензия на книгу И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел». Журнал «Математика в школе», 1956 г., № 2, стр. 76—77.

67. Статья «Эмпирические формулы» (принята в БСЭ, II издание).

Л 105115 237V 1957 г.

Зак. 333

Тир. 100

Типография изд-ва АПН РСФСР, Москва, Лобковский пер., 5/16.