МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

В. М. БОЦУ

К ВОПРОСУ О МОДЕРНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В V—VI КЛАССАХ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ

МОСКВА — 1966

Защита состоится в Московском Государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина 1966 г. Автореферат разослан 1966 г.

Вопросу согласования школьного курса математики с современной математической наукой уделяется в последнее время особое внимание как в нашей стране, так и за рубежом.

Поразительные успехи современной математики, все возрастающая роль математики во всех областях человеческой деятельности, требуют повышения математической культуры молодежи.

В программе КПСС, в Резолюции ХХIII съезда КПСС по отчетному докладу ЦК КПСС даются важные указания о необходимости соответствия уровня народного образования современным требованиям, современному уровню развития науки и техники. Эти указания относятся в большой степени к школьному курсу математики.

Естественно возникает вопрос о модернизации преподавания математики в нашей советской общеобразовательной средней школе.

Почти во всех школьных курсах учащихся в той или иной форме знакомят с новейшими достижениями соответствующих наук. В то же время в школьном курсе математики новые математические идеи, способствующие успехам математической науки, не находят должного отражения. Те изменения, которые вносились в программы по математике средней школы, не решали вопроса о переходе на новые более прогрессивные методы обучения.

Такое «постоянство» программы по математике объясняется целым комплексом обстоятельств:

Во-первых, программа школьного курса математики, слагавшаяся исторически, отражала определенный уровень развития общества; и в настоящее время изложение многих вопросов программы удовлетворяет нашим требованиям.

Во-вторых, всякое коренное изменение программы требует соответствующей подготовки общественного мнения, переподготовки основной массы учителей, разработки учебно-методической литературы и т. д., что связано с определенными трудностями. Однако, школьная программа по математике и методика ее преподавания не могут продолжительное время оставаться неизменными. Они должны отражать современные достижения науки и техники, отвечать запросам нашего социалистического общества.

Поиски новых путей преподавания школьного курса математики в свете современной науки, отражающей потребности социалистического строительства, определили тему наших педагогических исследований и тему данной диссертации.

Исходя из опыта работы с учащимися средней школы, студентами и учителями, мы пришли к выводу, что на данном этапе главное усилие для ликвидации несоответствия между школьным курсом математики и современным уровнем науки и техники должно быть направлено на модернизацию преподавания без коренного изменения содержания программы. Это дает возможность постепенно приучить и учителей и учащихся к новым математическим идеям, ввести в школьный курс математики основные математические понятия: множество, отношение, различные структуры, изоморфизм и другие понятия, изложить школьный курс математики с точки зрения этих понятий и идей.

На основании изучения учебно-методической и научной литературы, изданной в нашей стране и за рубежом, на основании собственного опыта работы, а также опыта передовых учителей, мы сделали попытку осветить вопрос о модернизации преподавания математики в школе и привели вариант изложения с этой точки зрения следующих основных тем: натуральные числа, делимость чисел, обыкновенные дроби и рациональные числа. В этом варианте изложение строится в основном на теоретико-множественной основе.

Как показывает опыт, такое изложение способствует улучшению математического воспитания учащихся и открывает путь для дальнейшего изучения математики в более современном аспекте.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и указателя литературы. В введении содержится краткая характеристика школьного курса математики и математической науки, связи между ними, приводятся мотивы, натолкнувшие на избрание темы диссертации.

Глава I. Проблема модернизации школьного курса математики

Эта глава содержит исторический обзор вопроса о модернизации школьного курса математики в нашей стране до Великой Октябрьской социалистической революции, после революции, а также состояние этого вопроса в некоторых зарубежных странах.

До Великой Октябрьской социалистической революции передовое русское учительство, русские ученые-математики были обеспокоены отставанием школьного курса математики от математической науки, ратовали за реформу преподавания математики.

В обстановке борьбы мнений по вопросу о математическом воспитании молодежи проходили I и II Всероссийские съезды преподавателей математики (1911, 1913 гг.). Тематика докладов, прочитанных на этих съездах свидетельствует о том, что русское учительство с интересом следило за всем прогрессивным в области математики и методики ее преподавания и боролась за внедрение в школу передовых математических и методических идей.

Русские ученые математики принимали активное участие в обсуждении вопроса о реформе преподавания математики. Так Д. Д. Мордухай-Болтовский в книге «О первом Всероссийском съезде преподавателей математики» (Варшава, 1912) формулирует сущ-

ность разрыва между школьным курсом математики и курсом математики высших учебных заведений. Он считал, что для уменьшения этого разрыва необходимо осуществить модернизацию обоих курсов. По его мнению, их сближению может способствовать введение в преподавание таких понятий как множество и соответствие, изоморфизм, группа и другие.

Д. Д. Мордухай-Болтовский считал, что не следует полностью изменять программу средней школы. Реформа должна главным образом состоять в том, чтобы старые «и вместе с тем вечно новые» математические истины, содержащиеся в программе, были изложены по-новому.

Другой видный математик нашей страны В. Ф. Каган своей деятельностью способствовал распространению в России передовых идей в области методики математики. Будучи сторонником реформы преподавания математики, он все же предостерегал от крайностей и рекомендовал относиться с осторожностью к замене традиционных вопросов школьной программы новыми.

Известный математик, создатель киевской алгебраической школы, Д. А. Граве (1863—1939), видел задачу реформы школьного курса математики в основном во введении общих алгебраических понятий. В его книге «Начала алгебры» (Петроград, 1915), предназначенной для средних школ, вводится понятие числового поля и даже абстрактного поля.

Изучение вопроса о реформе преподавания математики в средних школах дореволюционной России показывает, что основные идеи этой реформы явились плодом большой творческой работы учителей и ученых того времени.

После Великсй Октябрьской социалистической революции открылись широкие возможности применения передовых идей в преподавании математики. В основу школьного курса математики была положена идея функциональной зависимости. Однако в программах не отражалась в должной мере связь этого курса с достижениями науки. Это не могло не волновать ученых и передовых учителей. Советские ученые высказывались за перестройку преподавания математики. Так в 1935 году на совещании преподавателей математики средней школы, организованном Управлением начальной и средней школы НКП РСФСР, академик П. С. Александров в своем докладе «О некоторых направлениях в развитии математики и их значении для преподавания» указывает на необходимость и возможность введения в курс математики средней школы современных математических идей, без существенного изменения программы. На этом же совещании проф. Б. Н. Делоне призывал к введению в школу элементов теории групп, как могучего средства познания действительности.

В последующее время все больше математиков и методистов включаются в движение за модернизацию преподавания математики. Появляется ряд статей и книг для учителей и учащихся. Изданная в 1958 году замечательная книга академика П. С.

Александрова «Введение в теорию групп», рассчитанная на учащихся старших классов, переиздается вновь.

В книге «Методика арифметики» Е. С. Березанской имеется указание на изучение понятия функции с помощью соответствия между элементами двух множеств. В другой работе «Сборник вопросов и упражнений по алгебре и тригонометрии» Е. С. Березанская вместе с Ф. Ф. Нагибиным приводят ряд задач и упражнений по ознакомлению учащихся с понятиями множества, кольца, поля и др.

Большую роль в деле ознакомления учителей и учащихся с идеями современной математики призваны сыграть книги из серии «Библиотека математического кружка», новая серия популярной литературы «Современная математика» и другие.

Журнал «Математика в школе» в последние годы регулярно помещает статьи, в которых в доступной форме излагаются вопросы современной математики.

Все же литературы, в которой конкретно указывалось бы, как можно применить современные идеи математики в школьном преподавании, явно недостаточно. Недостаточно издается и книг, по которым учитель и ученик в доступной форме могли бы ознакомиться с современными направлениями в математической науке.

Имеются диссертации, в которых рассматриваются вопросы модернизации при изложении отдельных тем школьного курса математики, но таких диссертаций еще мало.

Большое внимание уделяется новой постановке математического воспитания молодежи в некоторых зарубежных странах (как в социалистических, так и капиталистических).

В диссертации исследуется этот вопрос на основании имеющейся литературы и личной переписки с зарубежными учителями и методистами. Возникновение вопроса о модернизации преподавания математики за рубежом относится к концу XIX и началу XX века. Наиболее выдающимся деятелем реформы преподавания математики был Феликс Клейн (1849—1925). Он возглавил это движение сначала в Германии, а затем и во всей Западной Европе. Основные требования реформы сводились к введению в школьный курс математики идеи функциональной зависимости, наглядного обучения и элементов математического анализа.

Большую роль в распространении этих идей сыграла созданная под руководством Ф. Клейна в 1908 году Международная Комиссия по математическому образованию (МКМО). В диссертации приводится краткий исторический обзор деятельности этой международной организации, в которой с самого начала участвовали и представители нашей страны.

В настоящее время большое внимание на постановку математического образования за рубежом оказывает коллектив французских математиков, издающий свои труды под псевдонимом Н. Бурбаки. Их положение о существовании основных математических структур нашло свое отражение в трудах видного швейцарского психолога Ж. Пиаже, нашедшего определенную связь между мате-

матическими структурами и структурами мышления. Это обстоятельство привело к интересным предложениям, сделанным математиками и педагогами Запада в отношении преподавания математики.

На основании изученной литературы мы пришли к выводу, что за рубежом сложились два течения по модернизации преподавания математики:

1) Некоторые авторы предлагают изменить не столько содержание программы по математике, сколько форму ее изложения. Имеется в виду изложить программу в духе современных математических идей (А. 3. Крыговская, Г. Курепа, А. Хаймович и др.);

2) Другие авторы считают, что надо коренным образом изменить как содержание программы, так и методы ее изложения (К. Гаттеньо, Ж. Папи).

В диссертации описываются опыты, проделанные представителями как одного, так и другого течения. Более подробно излагаются опыты, осуществленные в Социалистической Республике Румынии, в Федеративной Народной Республике Югославии, а также в Бельгии и Англии.

Рассматриваются опыты модернизации преподавания математики в средних школах США.

Глава II. Натуральные числа

Во второй главе обосновываются преимущества изложения темы «натуральные числа» на теоретико-множественной основе и дается вариант такого изложения. При этом анализируется освещение отдельных вопросов в отечественных и зарубежных учебниках и пособиях.

Мы исходили из того, что понятия множества и отношения, оказавшиеся столь плодотворными в математической науке, могут быть столь же плодотворно использованы для математического воспитания учащихся. В частности, на основе теоретико-множественных понятий можно построить преподавание натуральных чисел в V классе. Практика показывает, что даже слабые учащиеся V класса проявляют интерес к вопросам, связанным с теорией конечных множеств, и этот интерес может быть использован для ликвидации пробелов в их знаниях по курсу арифметики начальных классов.

Не только понятие множества, но и элементы алгебры множеств воспринимаются детьми без особых затруднений. Это можно объяснить неограниченными возможностями иллюстрировать доступными примерами как само понятие множества, так и действия над множествами, отношения между элементами множеств и отношения между множествами.

Из очевидных свойств действий над множествами вытекают законы действий над натуральными числами, а на основании этих законов выводятся правила выполнения действий над любыми натуральными числами.

Эта очевидность свойств действий над множествами с успехом может быть использована в преподавании. Имеется возможность построить преподавание темы «натуральные числа» более строго в теоретическом отношении без нарушения принципа доступности,

В диссертации исследуются основные два пути изложения натуральных чисел в современных советских и зарубежных учебниках и пособиях для V класса:

1) В некоторых учебниках и методических пособиях исходным понятием изучения арифметики является натуральное число, которое считается известным из курса арифметики начальных классов. Изложение состоит в основном из повторения уже известного учащимся материала. Это традиционный путь изучения арифметики натуральных чисел в V классе.

2) Второй путь состоит в том, что курс арифметики начинается с изучения понятия множества. В этом случае изучаются сначала некоторые свойства конечных множеств, а затем переходят к изучению понятия натурального числа. Натуральное число рассматривается как характеристика класса равносильных конечных множеств. Так изложена тема о натуральных числах в книге профессора И. К. Андронова «Арифметика натуральных чисел». С использованием понятия множества излагается арифметический материал в учебнике для французских школ «Арифметика и алгебра» Бреара (Париж, 1960 г.).

Из двух подходов изложения арифметики в V классе второй путь представляется нам более целесообразным по следующим мотивам: начиная изучение арифметики с понятия множества, учащийся имеет возможность не просто повторить материал начальных классов, а смотреть на изученное с новой для него точки зрения. При таком изучении арифметики учащийся знакомится с основными понятиями современной математики, с понятиями множества, отношения, операции над множествами, отношения между элементами множества; развивается идея изоморфизма.

Понятие множества является неисчерпаемым для математического воспитания учащихся. Теоретико-множественные понятия можно непосредственно связать с логическими понятиями. Понятие множества может быть использовано во всех разделах школьного курса математики. С помощью теоретико-множественных понятий имеется возможность изложить с более современной точки зрения понятие функции, операции. Изучение свойств операции, определенных на множествах, естественно приводит к понятиям современной алгебры: группы, кольца, поля.

В итоге можно сделать вывод, что на основе понятия множества имеется возможность:

1) Строить школьный курс математики на уровне более близком к современной науке;

2) Использовать более полно жизненный опыт учащихся для их математического воспитания;

3) Усилить логические элементы в преподавании математики;

4) Правильно определить понятие функции и осуществить функциональное изложение математических дисциплин;

5) Ввести в школу понятия современной алгебры: группы, кольца, поля;

6) Создать у учащихся правильное представление о математике, как науке.

В диссертации приводятся основанные на опыте методические указания по введению понятия множества при изучении арифметики. Дается описание экспериментальных занятий по изучению понятия множества в V классе.

Сложение натуральных чисел предлагается изучить с помощью объединения конечных множеств. Рассматривается объединение множеств с общими элементами и без общих элементов. Сразу же обращается внимание на переместительное и сочетательное свойства объединения.

Объединение непересекающихся множеств приводит к сложению натуральных чисел. Свойства сложения естественно вытекают из соответствующих свойств объединения множеств.

В начальных классах многие вопросы арифметики изучаются без достаточного обоснования. Одним из таких вопросов является правило сложения многозначных чисел. Нельзя согласиться с тем, что в настоящее время ученики V класса принимают правило сложения готовым, без доступного для них вывода. Это приводит к формальному усвоению арифметики. У учащихся создается впечатление, что арифметика — это набор правил. Учащиеся не видят связи между этими правилами.

В диссертации излагается подробно методика изучения свойств сложения, следствий из свойств сложения и правила сложения. При соблюдении такой методики учащиеся приучаются к дедукции и видят логическую цельность всей темы сложения чисел.

Аналогично построено изучение вычитания натуральных чисел. При прохождении этого раздела появляется возможность углубить изучение множества. Здесь дается понятие о вычитании множеств, о дополнении данного подмножества. Эти понятия дают возможность изучить в более общем виде и в то же время наглядно свойства вычитания, из которых выводится правило вычитания многозначных чисел.

Умножение натуральных чисел обычно изучается как частный случай сложения. Этот путь имеет свои общеизвестные преимущества.

В последнее время за рубежом ставится вопрос об изучении умножения натуральных чисел на основе прямого произведения конечных множеств.

В диссертации дана методическая разработка изучения этой темы с помощью прямого произведения конечных множеств. Для этого решаются простые задачи, доступные учащимся V классов. При такой методике умножение с самого начала выступает как само-

стоятельная операция. Результат этой операции вычисляется простым счетом пар, а также с помощью сложения равных слагаемых. Отпадает необходимость определения частных случаев умножения: умножения на 0 и умножения на 1, так как прямое произведение любого множества и пустого множества дает пустое множество, а прямое произведение любого множества с одноэлементным множеством дает множество, равносильное первоначальному множеству.

Известно значение прямого произведения в различных отраслях современной математики. Его изучение в школе, причем возможно раньше, послужит делу изложения многих вопросов школьного курса математики на более высоком научном уровне и в то же время более наглядно.

Как и в предыдущих разделах приводится вывод правила умножения натуральных чисел.

Мы рекомендуем с самого начала обратить внимание учащихся на аналогию, существующую между сложением и умножением, как в отношении их свойств, так и следствий из них.

В диссертации затрагивается вопрос об изучении степени натурального числа. Мы считаем, что этот вопрос, тесно связанный с умножением, должен изучаться сразу же после умножения, как частный случай умножения. Однако на внеклассных занятиях полезно ознакомить учащихся с теоретико-множественным истолкованием степени натурального числа с помощью простых задач. Методика такого изложения приводится в диссертации.

В изученной нами литературе встречаются два подхода к изучению деления натуральных чисел. Первый подход состоит в том, что деление с самого начала рассматривается как действие, обратное умножению (Э. Борель, Ж. Таннери, в школьном учебнике И. Н. Шевченко и др.).

Второй подход состоит в том, что деление вводится как самостоятельное действие с помощью разбиения множества. Мы считаем, что при делении надо рассматривать вопрос о разбиении множества на непересекающиеся подмножества, но деление все время следует рассматривать как действие, обратное умножению.

Для подготовки учащихся к более высоким абстракциям необходимо приучить их к сравнению свойств изученных операций. Так, например, можно сравнить деление, как обратную операцию по отношению к умножению, с вычитанием, как обратной операцией сложения.

В V классе почти не уделяется внимание делению с остатком. Мы считаем это положение ненормальным, так как при изучении этой темы имеется возможность ознакомить учащихся с многими важными вопросами современной математики. При решении задач учащиеся могут ознакомиться с случаями, где остаток от деления имеет важное значение, более важное, чем частное. К сожалению, таких задач в имеющихся задачниках для V класса очень мало.

Известно какую роль играет в современной математике арифметика вычетов по данному модулю. В диссертации описан опыт изу-

чения с учащимися V класса арифметики вычетов по модулю 2 и 3. Знание этой арифметики помогло дать учащимся на внеклассных занятиях некоторые элементы алгебры высказываний. Этот опыт также описан в нашей диссертации.

Глава заканчивается параграфом, в котором излагается методика изучения систем счисления с учащимися V класса. Применение систем счисления в современной вычислительной технике приводит к необходимости включения сведений о системах счисления в математический багаж современного культурного человека. Интересно отметить, что важность этой темы для воспитания мышления была со всей силой подчеркнута великим русским писателем Л. Н. Толстым в его книге «Арифметика». В основу нашей методической разработки мы положили методические рекомендации Е. С. Березанской, изложенные в ее книге «Методика арифметики», и собственный опыт работы с учащимися V класса. Подробно описывается дидактический материал для изучения этой темы: пособие Дьенеша, палочки Кюизенера и другие, а также методика их применения.

Глава заканчивается краткими выводами, в которых обращается внимание на то, что тема «Натуральные числа» является первой темой школьного курса математики и в зависимости от того, с какой точки зрения будет она изучена в школе, с такой точки зрения учащиеся подготовятся изучать все остальные вопросы математики. Изучение натуральных чисел с теоретико-множественной точки зрения даст возможность изучения и остальных тем по новому. А отсюда появляется возможность перестроить и осветить школьный курс математики так, чтобы он в большей степени соответствовал требованиям современной математики.

Глава III. Делимость чисел. Дробные числа.

Данная глава состоит из двух частей. В первой части излагается методика изучения делимости чисел, а во второй — методика изучения обыкновенных дробей. Эти темы тесно связаны между собой.

Как известно, в курсе арифметики V класса тема о делимости чисел имеет вспомогательный характер. Она находит свое приложение при сокращении обыкновенных дробей и приведения их к общему знаменателю.

Вопросы делимости чисел, включенные в школьный курс арифметики, имеют важное образовательное значение, так как при их изучении учащиеся знакомятся с новыми свойствами натуральных чисел, с новыми вопросами теории арифметики.

В диссертации предлагается изложить делимость чисел на теоретико-множественной основе. Такое изложение, как показывает опыт, обеспечивает важные навыки практического характера и очень важные навыки математического мышления.

Вычисление наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного производится на основе изоморфизма, который имеет место между натруальными числами с отношением делимости и

множествами их простых множителей с отношением включения. На основании этого изоморфизма наименьшее общее кратное двух чисел вычисляется с помощью объединения множеств простых множителей данных чисел. Это положение распространяется на любое конечное число натуральных чисел. Наибольший общий делитель двух или нескольких чисел вычисляется через пересечение множеств простых множителей данных чисел. Такое истолкование дает возможность наглядно изучить свойства НОК и НОД с помощью диаграмм Венна.

Во второй части третьей главы приводится проверенное опытом изложение темы «обыкновенные дроби» с применением теоретико-множественных понятий. Такое изложение позволяет более рационально расположить вопросы этой темы.

С самого начала используется числовая полуось, с помощью которой наглядно иллюстрируется разбиение множества дробных чисел на классы равных дробей. Закономерность получения дробей одного и того же класса, которая легко замечается учащимися, приводит к основному свойству дроби. При таком порядке изложения вопрос изменения значения дроби от увеличения числителя или знаменателя в несколько раз переносится к теме об уменьшении и делении дробей, где, по нашему мнению, его естественное место.

Сокращение дроби рассматривается как ее замена дробью того же класса, но с меньшими числителем и знаменателем. Аналогично, приведение дробей к общему знаменателю рассматривается как замена данных дробей дробями одних и тех же классов, но с одинаковыми знаменателями. Такое истолкование помогает сознательному использованию этих преобразований при выполнении арифметических действий над дробями.

В диссертации приводится методика изучения свойств арифметических действий над дробями. На примере доказательства законов действий учащиеся приучаются к доказательству математических утверждений, основанных на ранее известных математических истинах.

Умножение обыкновенных дробей является одной из самых трудных тем школьного курса арифметики, поэтому вполне объяснимо то обилие методических рекомендаций по методике преподавания этой темы в школе. В диссертации приводится анализ таких рекомендаций в отечественной и зарубежной литературе. В частности анализируется предложение современного английского математика проф. К. Гаттеньо об использовании палочек Кюизенера при изучении умножения дробей.

Существует предложение изучать умножение дробей на оперативней основе. По нашему мнению такое изучение умножения вызывает затруднения в виду абстрактности понятия оператора. Однако имеется возможность путем упражнений показать учащимся операторный смысл дроби. Такие упражнения приводятся в нашей диссертации.

В связи с действием деления изучается свойство плотности множества дробных чисел В конце темы с целью приучения учащихся к более высоким абстракциям рекомендуется составить таблицу сравнения свойств множества дробных чисел с множеством натуральных чисел.

Важность изучения дробных чисел в школе не может вызывать сомнения, так как при изучении этого множества у учащихся накапливаются математические факты, помогающие с одной стороны усвоению курса алгебры, а с другой — решению целого ряда практических задач. Имеется возможность приучать учащихся к некоторым элементарным доказательствам дедуктивным метолом. Кроме этого при изучении дробей учащиеся выполняют ряд обобщений: обобщение понятия числа, обобщение понятия операции и т. д.

Эти понятия, при умелом их использовании, обогащают знания, умения и помогают математическому воспитанию учащихся, готовят к дальнейшему активному изучению математики.

Глава IV. Множество рациональных чисел

В данной главе рассматриваются вопросы преподавания множества рациональных чисел с более современных позиций.

Методика изучения этого множества имеет свои особенности, связанные с тем, что множество рациональных чисел более богато по сравнению с множеством дробей как элементами, так и отношениями между элементами.

На этом множестве отношения и операции еще больше обобщаются. Такие отношения как «больше», «меньше», вполне понятные на множестве положительных чисел (они аналогичны этим же отношениям на множестве дробей), распространяются на множество отрицательных чисел, теряя конкретный смысл, известный из арифметики, и сохраняя лишь свойства, присущие этим отношениям.

Операции еще больше теряют конкретный смысл, который они имели первоначально на множестве натуральных чисел. Они сохраняют лишь основные свойства. Однако в обобщенном виде эти операции приобретают и новые качества. Так, например, сложение на новом множестве обратимо, что придает этому множеству новую структуру относительно сложения: структуру группы.

Все эти обстоятельства ставят перед методикой преподавания рациональных чисел важные задачи, а именно, чтобы не нарушались необходимые дидактические принципы, в частности, научность и доступность изложения.

Вопрос изучения рациональных чисел в школе вызывает до настоящего времени много споров. В диссертации приведены сведения из истории развития отрицательного числа. Анализируются основные два способа введения рациональных чисел в школу: формально-логический и генетически-индуктивный. Первый способ, хотя и имеет свои достоинства, мало нагляден и в V-VI классах его применение вызывает большие затруднения. Более приемлем второй способ.

В диссертации анализируется изложение этого вопроса в отечественных и зарубежных учебниках и пособиях как одним способом, так и другим. Опыт показывает, что большие возможности для модернизации изложения в школе темы «рациональные числа» открывает способ, предложенный академиками П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым в их книге «Алгебра» (Учпедгиз М., 1939), где рациональное число рассматривается как характеристика количественного изменения величин. В диссертации подробно изложена методика такого преподавания и опыт, проведенный нами по такой методике.

При изучении рациональных чисел в большой мере используется числовая ось. С помощью числовой оси показывается разбиение этого множества на классы равных рациональных чисел. Рассматривается также отношение противоположности, которое иллюстрируется графически на числовой оси. Подробно излагается вопрос о сравнении рациональных чисел, вызывающий затруднения, в особенности, когда речь идет о сравнении отрицательных чисел. Чтобы обеспечить осмысленное усвоение этого вопроса, в диссертации рекомендуется использовать изоморфизм между множеством рациональных положительных чисел с отношением «больше» и множеством рациональных точек правого луча числовой оси с отношением «правее». Рекомендуется остановиться на изучении свойств этих отношений порядка, показать их общие свойства, а затем распространить этот изоморфизм на все множество рациональных чисел и на всю рациональную числовую прямую. Дается ряд упражнений на сравнение рациональных чисел.

Изучение операций над рациональными числами проводится с помощью важного понятия современной математики — понятия вектора. Использование действий над коллинеарными векторами делает изложение действий над рациональными числами более наглядным.

Вычитание рассматривается как действие, обратное сложению. Существование разности доказывается на основании ассоциативного закона сложения нуля и числа противоположного данному. Такое доказательство дает и способ вычисления разности двух рациональных чисел: чтобы вычесть из числа а число b достаточно к а прибавить число, противоположное числу Ь.

В связи с существованием операции, обратной сложению, учащимся дается понятие группы. Приводится ряд упражнений по нахождению на данном множестве структуры группы относительно определенной на этом множестве операции.

Умножение рациональных чисел является одним из трудных в методическом отношении вопросов темы «рациональные числа». Операция умножения на множестве рациональных чисел выступает в более обобщенном виде, чем на множестве дробных положительных чисел, что ограничивает возможность ее конкретного истолкования на примерах, знакомых учащимся из их практики.

Существуют различные способы изучения операции умножения рациональных чисел в школе. Некоторые авторы (П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, С. С. Бронштейн, румынский методист А. Коллингер) вводят умножение рациональных чисел определением, перечисляя все частные случаи. Другие авторы (чехословацкие авторы учебника алгебры Ж. Кунет, Ш. Малина, Ж. Тайшль) вводят умножение рациональных чисел, определяя его как коммутативную, ассоциативную и дистрибутивную относительно сложения операцию.

Итальянский методист Эмма Кастелнуово предлагает изложить умножение рациональных чисел на основании вычисления площади направленного прямоугольника. В принятом в советской школе учебнике алгебры А. Н. Барсукова, а также в учебнике А. П. Киселева, изложение вопроса об умножении начинается с задачи на равномерное изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Задача решается для положительных значений величин умножением. Величинам, входящим в задачу, придаются положительные и отрицательные значения. В зависимости от них произведение также получается в конкретном истолковании положительным или отрицательным. Из этого конкретного истолкования формулируется правило умножения рациональных чисел.

Все эти способы введения умножения рациональных чисел в школе имеют свои преимущества и недостатки, которые указываются в диссертации.

В диссертации предлагается вариант изложения операции умножения рациональных чисел на основе умножения вектора на скаляр. Такой способ изложения обладает и общностью и наглядностью, что в большой степени помогает пониманию операции умножения рациональных чисел.

Операция деления рассматривается как операция, обратная умножению. При изучении деления рассматриваются три важных вопроса:

1) Устанавливается, что множество рациональных чисел (исключая 0) составляет группу относительно умножения;

2) Устанавливается, что любое рациональное число может быть записано в виде отношения двух целых чисел (откуда и происходит название «рациональные числа») ;

3) Устанавливается, что множество рациональных чисел обладает свойством плотности.

В качестве материалов для внеклассных занятий приводится методика ознакомления учащихся со свойством счетности множества рациональных чисел с помощью изображения этих чисел точками на плоскости.

В заключение темы о рациональных числах проводится сравнение изученных числовых множеств.

В этой же главе описываются занятия, проведенные с учащимися VI класса, по обобщению понятия числа и операции с использованием современной математической символики.

На этих занятиях была поставлена задача построения операции на каком либо множестве. В виде игры на внимание были построены операции на конечных множествах. Одна из построенных операций была неассоциативной, но коммутативной, другая операция оказалась также неассоциативной, коммутативной, с нейтральным (единичным) элементом.

Так учащиеся были ознакомлены с операциями, отличными от изученных до сих пор, и с множествами с новым строением (квазигруппа и лупа).

В приложении к диссертации дается программа по темам: натуральные числа, делимость чисел, обыкновенные дроби и рациональные числа, а также 26 самостоятельных и контрольных работ по данным темам.

По теме диссертации напечатаны следующие статьи:

1. О некоторых опытах по введению современных идей математики в школу, «Труды второй научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья», выпуск II, Куйбышев, 1962.

2. Относительно изучения темы «Натуральные числа» в V классе (Введение понятия множества). «Ынвэцэторул Советик» (Советский Учитель), Кишинев. 1962, № 10.

3. Обзор журнала «Gazeta matematicä $i lizicä» (Математический и Физический журнал) за 1961—62 учебный год, «Математика в школе», 1962, № 6.

4. Об одном наглядном пособии (Палочки Кюизенера) «Математика в школе», 1963, № 1.

5. Международная Комиссия по математическому образованию. «Математика в школе», 1964, № 1.

6. Изучение систем счисления в V классе. «Ынвэцэторул Советик» (Советский учитель), Кишинев, 1964, №9.

7. Из опыта введения понятия множества в V—VI классах (тезисы). «Вторая республиканская конференция по политехническому обучению». Бельцы, издание Бельцкого Госпединститута им. Алеку Руссо, 1964.

8. К вопросу о признаках делимости (тезисы) «Итоговая научная конференция преподавательского состава института за 1964 год», Бельцы, Издание Бельцкого Госпединститута им. Алеку Руссо, 1965.

Л 29105 от П/Х-66 г. Тир. 150. Зак. 5301.

Типография «Красная звезда», Хорошевское шоссе, 38.