НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

На правах рукописи.

А. А. БОЦУ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель кандидат педагогических наук, доцент В. Г. ПРОЧУХАЕВ.

МОСКВА, 1968

Вторая половина текущего столетия характеризуется глубоким проникновением математики и ее методов в самые разнообразные области человеческой деятельности. Однако между современной математикой и математикой школьной существует значительный разрыв. В частности, мало применяется в школе такая отрасль современной математики, как векторная алгебра. Вопрос введения векторного исчисления в школу является частью более общего вопроса о модернизации школьного курса математики, обсуждение которого в последнее время ведется как внутри многих стран, так и на международных конференциях.

Элементы векторной алгебры введены в школьную программу некоторых стран. Так в ГДР векторы введены в программу с 1960—61 учебного года. В диссертации дается анализ вопроса об использовании векторной алгебры в некоторых зарубежных школах.

Автор приходит к выводу, что хотя вопрос о содержании элементов векторной алгебры в курсе математики школы в зарубежной методической литературе освещен довольно широко, однако методика преподавания векторной алгебры разработана далеко недостаточно.

В русской учебно-методической литературе в первой половине XX века появляется ряд учебников по тригонометрии, построенных на векторной основе. К ним относятся учебники Б. Б. Пиотровского, В. А. Крогиуса, А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника. Векторы используются в учебнике тригонометрии С. И. Новоселова, а также в учебнике «Алгебра и элементарные функции Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой при изучении тригонометрических функций.

В геометрии для средней школы векторы применяются в книге H. М. Фишмана. «Векторы на плоскости», а также в книгах В. Г. Болтянского и И. М. Яглом «Векторы в курсе геометрии средней школы» и «Преобразования. Векторы».

В последнее время вопросы, связанные с применением векторной алгебры в школьном курсе математики, привлекли внимание многих исследователей, учителей; получены определенные результаты в этом направлении. Однако еще многое следует выяснить как относительно объема сведений из векторной алгебры, необходимых для школы, так и относительно методики изложения вопросов программы по математике на векторной основе.

Будучи убежденными в доступности и эффективности векторной

алгебры при изучении математики в школе, мы и избрали эту тему для научного исследования.

Целью исследования является отбор материала по векторной алгебре, который следует ввести в школьный курс, разработка методики введения векторной алгебры в курс математики восьмилетней школы, экспериментальная проверка доступности и эффективности материала при изучении следующих тем школьного курса: рациональные числа, геометрические преобразования, тригонометрические функции и метрические соотношения в треугольнике.

Применение векторов при изучении рациональных чисел

Множество рациональных чисел для учащихся строится на основе изоморфизма между множеством векторов числовой оси с рациональными модулями и множеством рациональных чисел.

Осуществление этого плана потребовало определения содержания сведений о векторах, необходимых для изучения рациональных чисел. С этой целью вводится понятие о скользящем векторе на прямой, понятие модуля вектора, равенства векторов, определяются операции сложения и вычитания векторов, а также операция умножения вектора на число. Причем этот материал изучается не компактно, а вводится по мере изучения того или иного вопроса о рациональных числах.

Понятие скользящих векторов числовой оси и действия над ними ввиду геометрической наглядности вполне доступны усвоению учащимися и поэтому предварительное знакомство с ними облегчает как введение понятия рационального числа так и изучения действий над этими числами.

Для того чтобы ввести понятие о векторе рассматриваем задачи связанные с температурой, наличием товара на складе, высотой местности по отношению к уровню моря и т. д. На примере таких задач учащиеся приходят к выводу, что имеются величины, которые нельзя описать одним лишь известным им положительным числовым значением, а необходимо указать и направление изменения значений данной величины. Это приводит к понятию вектора, который мы определяем как направленный отрезок прямой. Под модулем вектора понимаем длину изображающего его отрезка.

Выясняем, что на прямой существует два направления. Одно направление, например, слева направо и другое справа налево. Уславливаемся векторы прямой, направленные слева направо, считать положительными, а векторы, направленные справа налево — отрицательными.

Вводим понятие равенства векторов прямой, как векторов имеющих одинаковые модули и однаковое направление.

С целью установления взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством векторов числовой прямой, договариваемся строить на этой прямой векторы таким образом, чтобы начало их совпадало с точкой отсчета. Строим по-

ложительный вектор OA, модуль которого равен единице, а на числовой прямой под точкой А пишем число 1. Затем строим положительный вектор OB длиной две единицы и внизу пишем число 2 и т. д. Строим отрицательный вектор OA' длиной в единицу и внизу записываем число единицу со знаком «—» впереди, т. е. —1 и т. д. Договариваемся числа—1,—2 . . . , которые соответствуют отрицательным векторам, назвать отрицательными числами, а числа 1,2, . . , соответствующие положительным векторам, назвать положительными. Таким образом строится множество рациональных чисел.

Даем определение противоположных векторов и соответственно этому определение противоположных чисел.

При сравнении рациональных чисел считаем равными такие числа, которые изображаются равными векторами числовой прямой. Отсюда делаем вывод, что равные числа должны иметь равные модули и одинаковые знаки. При выяснении какое из двух рациональных чисел является большим и какое меньшим в основу ставим принцип, что большему рациональному числу должен соответствовать вектор числовой прямой, конец которого находится правее, чем конец вектора соответствующего меньшему рациональному числу, при условии что векторы соответствующие числам, будем располагать так, чтобы они исходили из точки отсчета.

Так как числу нуль соответствует точка отсчета на числовой прямой, а она располагается правее конца любого отрицательного вектора и левее конца любого положительного вектора, то число О больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа.

Изучению действий над рациональными числами также предшествует знакомство учащихся с действиями над векторами. Такой порядок изучения принят .ввиду того, что правила действий над векторами не сложно формулируются и воспринимаются учащимися без особого труда также ввиду их геометрической наглядности, а затем используются во всех случаях, независимо от конкретного расположения векторов на числовой прямой. На первых порах изучение сложения рациональных чисел рекомендуется сопровождать выполнением сложения соответствующих векторов. Это способствует осознанному усвоению правил сложения рациональных чисел. Применение векторов особенно хорошо помогает при сложении рациональных чисел с противоположными знаками, между тем как обычно это правило вызывает затруднения у учащихся, а также и при выполнении других действий над рациональными числами.

Действие вычитания векторов определяем как действие, обратное сложению. Используя понятие противоположного и нулевого вектора находим решение уравнения в + х = а.

Устанавливаем, что для того чтобы из вектора а вычесть вектор в достаточно к вектору а прибавить вектор, противоположный вектору в. На основании такого определения вычитания векторов

определяем вычитание рациональных чисел: «Чтобы вычесть какое-либо число, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому».

Операция умножения вектора на число вводится в качестве вспомогательного аппарата для изучения умножения рациональных чисел. Мы не рекомендуем дать учащимся сразу определение умножения вектора на число. Этому должна предшествовать определенная методическая работа. Сначала надо повторить умножение отрезка на натуральное число, а затем перейти к умножению вектора на натуральное число. При умножении вектора на отрицательное число поступаем вначале точно также как при умножении на положительное число, а затем направление полученного вектора меняем на противоположное. Мы не требуем, чтобы учащиеся запоминали дословно определение умножения вектора на число, но смысл его они должны знать и это достигается упражнениями.

Переходя к умножению рациональных чисел перемножаем вначале два положительных числа, два отрицательных числа, а затем положительное и отрицательное число. Умножим, например, +2 на —3. Числу +2 поставим в соответствие положительный вектор, модуль которого равен двум. При умножении этого вектора на число —3 получим отрицательный вектор, модуль которого равен 6.

Следовательно, (+2) (—3) = —6.

В итоге дается правило умножения двух рациональных чисел и законы умножения.

Деление (рациональных чисел вводится как действие обратное умножению. Подчеркиваем существование единичного элемента + 1, при умножении которого на рациональное число рациональное число не меняется, т. е. а • 1 = 1 • а = а. Следующее понятие, которое помогает вычислению частного, является понятие числа, обратного данному.

Чтобы дать это понятие для рационального числа, повторили с учащимися взаимно обратные дроби и ввели определения:

Рациональное число в называется обратным по отношению к данному рациональному числу а ф О, если произведение а • в равно единице.

Разделить рациональное число а на рациональное число в ф О, значит найти такое число с, которое при умножении на в дает число а. Другими словами, для того чтобы разделить число а на число в ф О достаточно решить уравнение хв = а. В процессе решения уравнения находим, что х = а- — • Отсюда делаем вывод:

Для того чтобы найти частное от деления числа а на число в ф О, достаточно умножить число а на число, обратное числу в. При таком изложении действие деления сводится к умножению рациональных чисел и легко выводится обычное правило деления рациональных чисел.

После изучения рациональных чисел у учащихся накапливаются некоторые знания, связанные с числовыми и нечисловыми мно-

жествами (например, множество векторов числовой прямой), с действиями над элементами множеств и эти знания следует систематизировать и обобщать, что мы и делали в практике преподавания в школе, проводя так называемые обзорные занятия по изученной теме.

На этих занятиях учащиеся знакомились с такими важными понятиями современной математики как понятие множества, соответствия, алгебраической операции и алгебраического строения (поле, группы) множества относительно операции, определенной на нем. Например, в порядке беседы устанавливаем, что на множестве рациональных чисел определены две основные операции: операция сложения и операция умножения. Выясняем какими свойствами обладают заданные операции и результаты рассуждений заносим в следующую таблицу.

Множество рациональных чисел

Название операции

свойства операций

Переместительное

Сочетательное

Распределительное

1. Сложение

Да

Да

Нет

2. Умножение

Да

Да

Да

Таким образом мы подготовляем учащихся к одному из важнейших понятий современной алгебры — понятию поля.

Обзорные занятия строятся таким образом, что учащиеся повторяют изученный материал, но повторение ведется на более высоком математическом уровне. Учащиеся обогащают свои знания новыми понятиями. Например, в V классе после изучения рациональных чисел ввели понятие множества. Вначале говорили о конечных нечисловых множествах, примеры которых учащиеся сами приводят в достаточном числе. (Предметы, из которых составлено множество, назвали элементами множества. Для удобства записи ввели знаки принадлежности, включения, кванторы общности и существования.

Прежде чем дать понятие группы приводим примеры множеств, в которых определена лишь одна алгебраическая операция. Примером такого множества является множество векторов числовой прямой.

1. Проверяем, что на этом множестве задана операция сложения. Для чего показываем, что любым двум векторам числовой прямой по правилу сложения соответствует вектор той же прямой.

2. Подчеркиваем, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойством.

3. Вспоминаем, что на множестве векторов числовой прямой есть вектор, модуль которого равен нулю и который при сложении с любым вектором не изменяет этого слагаемого. Ввиду такого особого свойства нуль — вектор называется нейтральным элементом.

4. Для любого вектора числовой прямой а существует на этой прямой противоположный вектор —а, причем а +' (—а) =7Г

Множество с операцией, обладающей перечисленным четырьмя свойствами называем группой. Обозначаем множество векторов числовой прямой буквой V и записываем перечисленные свойства группы при помощи кванторов. Запись с помощью кванторов способствует запоминанию свойств группы. Закрепление этого нового понятия осуществляется при решении упражнений.

В диссертации предлагается изучение этих понятий проводить в течение ряда лет; первое знакомство с ними осуществляется при изучении рациональных чисел, а затем при изучении параллельного переноса и гомотетии. Все это способствует лучшему усвоению этих новых понятий современной математики и позволяет преодолевать разрыв между математикой как наукой и математикой — школьным предметом. Кроме того введение этих понятий в курс школьной математики может помочь выявлению наиболее одаренных в математическом отношении детей. Если же класс слабый по математической подготовке, то можно не проводить обзорные занятия по названной теме в основном курсе, а сделать это на школьном математическом кружке с учащимися, проявляющими склонность к математике.

Изучение параллельного переноса и гомотетии при помощи векторов

В диссертации разработана тема о параллельном переносе и гомотетии, при изложении которых успешно применяется алгебра векторов. Все сведения о векторах, необходимые для изучения темы, даются перед изучением геометрических преобразований.

В связи с этим дается расширение понятия вектора, а именно, после рассмотрения скользящих векторов числовой прямой, рассматриваются свободные векторы плоскости и связные векторы, исходящие из начала координат. Обобщаются действия сложения и вычитания векторов. В качестве упражнений доказывается ряд теорем, например, «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник есть параллелограмм», или «Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник есть параллелограмм». Теоремы доказываются при помощи векторов с использованием операций сложения и вычитания.

Изучение преобразований начинаем с параллельного переноса, однако рассмотрению этого вопроса предшествуют введение общего понятия о преобразовании как о взаимно однозначном соответствии между точками плоскости. Вводим понятие образа и прообраза точки, фигуры при геометрическом преобразовании.

Если точка Ai является образом точки А при преобразовании а,

то условно записываем Ад = а (А). Даем понятие о тождественном и обратном преобразовании.

Введение преобразования параллельного переноса осуществляется опытным путем при помощи смещения чертежного треугольника вдоль линейки, после чего дается определение параллельного переноса, как преобразования плоскости, при котором точки смещаются на равные векторы. Доказываем основные свойства параллельного переноса:

1. При параллельном переносе отрезок преобразуется в равный и параллельный ему отрезок.

2. При параллельном переносе угол переходит в равный ему угол.

3. При параллельном переносе окружность переходит в равную ей окружность, причем центр преобразованной окружности получается из центра данной окружности в результате того же преобразования.

Названные свойства закрепляем в порядке решения специальных упражнений, а также при решении задач на построение с применением параллельного переноса.

С целью закрепления материала и повторения темы «Параллельный перенос» на более высоком математическом уровне в конце изучения этой темы проводим с учащимися VI класса обзорные занятия. Устанавливаем, что множество всех параллельных переносов образует группу относительно алгебраической операции, названной нами сложением. Уславливаемся группу всех параллельных переносов плоскости относительно операции сложения обозначать Т, + . Записываем при помощи символов, что Т, + есть группа. Рассматриваем примеры различных подмножеств множества всех параллельных переносов плоскости. Убеждаемся, что некоторые из них также являются группой относительно той же самой операции сложения. Вводим понятие подгруппы и рассматриваем различные примеры подгрупп.

Прежде чем рассмотреть преобразование гомотетии повторяем операцию умножения вектора на число, которую мы изучали, перед умножением рациональных чисел. Рассматриваем законы умножения вектора на число. Деление вектора на число определяем как операцию обратную умножению. Решаем упражнения на умножением вектора на число и на применение законов умножения. В частности, в качестве упражнения доказываем теорему о средней линии треугольника и трапеции. После этого переходим к определению гомотетии.

Точка Ai называется гомотетической точке А относительно некоторой точки О и выбранного коэффициента гомотетии «К», если М, = к ÖA.

Преобразование, при котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие точка Аь гомотетичная точке А относительно центра О и выбранного коэффициента гомотетии «К» называется преобразованием гомотетии плоскости.

Доказываем свойства преобразования гомотетии такие как:

1. Фигура гомотетичная отрезку представляет собой отрезок, параллельный первоначальному (либо расположенный с ним на одной прямой) и имеющий длину |К|Е, где Е длина первоначального отрезка и К — коэффициент гомотетии.

2. Углы между прямыми при преобразовании гомотетии сохраняют свою величину.

3. При гомотетии всякая окружность преобразуется в окружность: причем отношение радиуса этой окружности к радиусу данной равно коэффициенту гомотетии.

Метод гомотетии позволяет решать многие геометрические задачи на построение, которые без применения этого метода решаются значительно сложнее. При решении задач важным моментом является выбор центра и коэффициента гомотетии, не малую роль в решении задач этим методом играет использование того или другого свойства преобразования.

В обзорных занятиях по теме гомотетии рассматриваем множество всех гомотетий плоскости, имеющих общий центр гомотетии и отличающихся друг от друга коэффициентами гомотетии. Вводим понятие произведения двух таких гомотетий, как гомотетии, с тем же центром гомотетии и коэффициентом гомотетии, равным произведению коэффициентов перемножаемых гомотетий. Показываем, что множество всех гомотетий плоскости с заданным центром гомотетии и определенной таким образом алгебраической операцией представляет собой группы, которую мы обозначаем Г, •

Записываем при помощи символов, что Г, • есть группа. Показываем, что рассмотренная группа является коммутативной.

Помимо геометрических преобразований, векторы могут быть использованы в курсе геометрии восьмилетней школы при доказательстве ряда теорем и при решении задач.

Применение векторной алгебры при изучении тригонометрических функций

Для изучения тригонометрических функций потребуются некоторые дополнительные сведения из векторной алгебры такие как: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, а также понятие о проекции вектора на ось.

Чтобы избежать возможности смешания понятия проекции вектора на данную ось и вектора, полученного при проектировании концов данного вектора на ось, мы вводим понятие составляющей вектора по данной прямой. Проекция вектора на данную ось рассматривается как число, знак которого зависит от направления оси и направления составляющей вектора по данной оси, а модуль данного числа равен модулю составляющей.

После изучения свойств проекций вектора на данную ось естественно вводятся координаты вектора в прямоугольной системе

координат, а также действия над векторами, заданными своими координатами.

Для определения тригонометрических функций появляется необходимость дать понятие угла, образованного вектором с осью и обобщить понятие угла.

Тригонометрические функции определяются для любого угла в пределах от 0° до 360°.

Синус угла, образованного вектором с осью абсцисс, определяется как отношение проекции данного вектора на ось ординат к модулю вектора.

Косинус этого угла определяется как отношение проекции данного вектора на ось абсцисс к модулю этого же вектора.

Тангенс и котангенс данного угла определяется соответственно как отношение между синусом и косинусом, косинусом и синусом данного угла.

Изложение тригонометрических функций с помощью векторной алгебры облегчает изучение вопроса о знаке тригонометрической функции. Действительно, каждую из тригонометрических функций мы определили как отношение длины вектора и его проекций на координатные оси. Длина вектора есть величина всегда положительная, поэтому знак тригонометрической функции целиком зависит от знака проекции вектора на координатную ось.

В связи с этим приучаем учащихся, чтобы они всегда прибегали к геометрической интерпретации при определении знака тригонометрической функции, нарисовав или мысленно представив квадранты, вектор и его проекции на координатные оси.

Простейшее применение тригонометрические функции находят при решении прямоугольных треугольников, в связи с чем выводятся формулы: sin(90°—х) = cosx, eos(90°—х) = sinx, tg(90°—х) = = ctgx, ctg (90°—x) = tgx.

На основе свойств координат точек, симметричных относительно оси ОУ, выводятся формулы приведения sin (180°—х) = sinx, cos (180°—x) = —cosx.

Придавая большое значение понятию вектора и скалярного произведения в школьном курсе математики, мы на основе эксперимента пришли к выводу, что понятие скалярного произведения следует дать в VIII классе, когда учащиеся будут иметь уже определенные навыки работы с алгебраическими выражениями и определенные знания из геометрии. Мы вводим понятие скалярного произведения после изучения указанных выше вопросов о тригонометрических функциях. Это важное понятие применяется с большой пользой для доказательства метрических соотношений в треугольнике и параллелограмме, в частности, для доказательства теоремы Пифагора.

Одним из положительных факторов доказательства теорем с помощью векторов является то обстоятельство, что основные соотношения, с которыми оперирует векторная алгебра при доказательстве, берутся непосредственно с чертежа с редким привлечением

дополнительных построений. Сами доказательства отличаются, как правило, краткостью и довольно несложными рассуждениями, основанными на правилах алгебры векторов. Кроме того здесь намечается своего рода алгоритм, т. е. по существу одни и те же общие приемы, которые могут применяться при доказательстве целого ряда теорем.

Это достигается тем, что при своем углубленном развитии векторная алгебра, в сущности, располагает весьма небольшим числом основных операций. Из них основную роль играет скалярное умножение двух векторов. Если векторы равны, то скалярным произведением определяется квадрат их общей длины, а если известны длины обоих векторов, то скалярным произведением определяется образуемый ими угол. При доказательстве многих теорем используется необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов, а также теорема о единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.

В диссертации защищается точка зрения, что при помощи векторов не должны доказываться все без исключения теоремы, допускающие такое доказательство, ибо использование одного единственного способа доказательства в значительной мере снизило бы образовательное значение изучения геометрии, да попросту, было бы и не всегда возможным.

Следует не просто обучать учащихся элементам векторной алгебры, а использовать векторную алгебру при обучении в тех разделах, где удобно, где это дает наиболее эффективные результаты. Например, с помощью скалярного произведения векторов легко доказываются теорема косинусов, теорема синусов, а также теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и параллелограмме.

В качестве материала для дополнительных занятий предлагается изложение скалярного произведения векторов, заданных своими координатами и расстояние между двумя точками плоскости.

При помощи скалярного произведения решается довольно просто ряд задач элементарной гееметрии.

Итоги экспериментальной работы и общие выводы

Эксперимент по темам, изложенным в диссертации, был осуществлен в школах № 35 и № 101 г. Москвы и в школах №№ 1, 7, 12, 13 г. Бельцы (Молдавской ССР) в период с 1962 по 1968 гг.

В ходе экспериментальной проверки теоретических исследований мы пришли к следующим выводам:

1. Понятие вектора и простейших операций векторной алгебры легко усваиваются учащимися.

2. Применение векторов способствует лучшему усвоению многих вопросов школьной математики. Например:

а) понятие модуля числа при использовании векторов усваивается учащимися лучше, чем при изложении этого материала традиционно.

б) При помощи векторов учащиеся лучше запоминают правила действий над рациональными числами, т. к. прежде чем перейти к действиям над числами они работают с их геометрическими образами, выполняя над ними действия.

в) Определение преобразований параллельного переноса и гомотетии плоскости при помощи векторов дается в более компактной форме и лучше запоминается учащимися.

3. Мы считаем очень важным то обстоятельство, что учащиеся на таких сравнительно ранних этапах обучения знакомятся с одним из основных понятий современной математики — понятием изоморфизма.

4. В процессе изучения рациональных чисел, геометрических преобразований и тригонометрических функций на векторной основе имеется возможность показать учащимся как обобщается понятие операции.

Учащиеся видят, что некоторые свойства операций над числовыми множествами распространяются и на операции над элементами нечисловых множеств (множество векторов, множество геометрических преобразований). При проведении эксперимента подчеркивались эти общие свойства операций.

5. Ознакомление учащихся с элементами векторной алгебры в восьмилетней школе является первым этапом изучения векторных пространств. Так как в настоящее время ряд задач практического характера, среди которых содержатся и задачи линейного программирования, требующие знания свойств линейного пространства, становятся предметом изучения школьниками, сначала в порядке кружковой работы, а затем появится необходимость введения их в программу факультативных занятий.

6. Изучая вычитание векторов и рациональных чисел, учащиеся познакомились с операциями имеющими особые свойства. Как вычитание рациональных чисел, так и вычитание векторов плоскости имеют свои свойства, отличающие их от других операций. Так, вычитание на этих множествах некоммутативно, неассоциативно, но имеет обратную операцию, причем из-за некоммутативности, существуют две операции, обратные вычитанию: сложение справа и сложение слева.

Первая обратная операция позволяет решить уравнение X — в = а, а вторая позволяет решить уравнение в — у = а. Как известно, такая алгебраическая операция определяет на данном множестве структуру квазигруппы, так что множество рациональных чисел и множество векторов плоскости являются квазигруппами относительно вычитания.

В данном случае имеем пример неассоциативной квазигруппы. С этим понятием мы знакомили учащихся в основном на внеклассных занятиях, но как уже было сказано, элементы современной алгебры использовались и во время занятий.

7. Введение элементов векторной алгебры в восьмилетней школе позволяет применить этот аппарат в старших классах средней

школы. Целый ряд теорем стереометрии доказывается сжато и просто с помощью векторной алгебры.

С докладами по теме диссертации автор выступал:

1. На третьей научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья в г. Волгограде (1962 г.).

2. На научно-методическом семинаре при кафедре методики математики МГПИ им. В. И. Ленина (1962 г., 1963 г.).

3. На второй Республиканской конференции по политехническому обучению (г. Бельцы, 1964 г.).

4. На итоговых научных конференциях преподавательского состава института (г. Бельцы, 1965, 1966, 1967 гг.).

5. На районном семинаре учителей математики (Лазовск, МССР, 1966 г.).

6. На научно-методическом семинаре при кафедре математики Бельцкого госпединститута для учителей математики г. Бельцы и северных районов Молдавии (1963—1967 гг.).

По содержанию диссертации опубликованы следующие работы:

1. К вопросу о векторах в школьном курсе математики. Математика в школе, 1963, № 2.

2. Векторы .в курсе геометрии средней школы: «Вопросы введения современных идей математики в школу». («В помощь учителю математики»). Кишинев, 1966 г.

3. Это линия наименьшего сопротивления. Народное образование, 1962, №7.

4. Элементы векторной алгебры в курсе математики средней школы. Вторая республиканская конференция по политехническому обучению (тезисы докладов). Бельцы, 1964 г.

5. К вопросу о введении пропедевтического курса векторной алгебры в восьмилетней школе. Итоговая научная конференция преподавательского состава института за 1966 год (тезисы докладов), Бельцы, 1967.

Л-65247 от 10/Х-68 г._Тир. 200_Зак. 5286

Типография «Красная звезда», Хорошевское шоссе, 38.