АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

На правах рукописи

М. Э. БОЦМАНОВА

ПСИХОЛОГИЯ ОВЛАДЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ АНАЛИЗА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Научный руководитель — член-корреспондент АПН СССР, доктор педагогических наук (по психологии) Н. А. МЕНЧИНСКАЯ

Москва — 1967

Защита состоится в Научно-исследовательском институте психологии Академии педагогических наук СССР (Москва, К-9, проспект Маркса, 20, корпус «В»).

« » 1967 г.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

П. М. ЯКОБСОН — доктор педагогических наук (по психологии).

М. И. МОРО — кандидат педагогических наук. Автореферат разослан « » 1967 г.

В современной педагогической науке проблема повышения уровня знаний учащихся тесно связана с одним из наиболее актуальных практических вопросов нашей школы — вопросом об устранении перегрузки учащихся. Найти пути повышения уровня знаний при устранении перегрузки — вот та реальная задача, которая ждет еще своего решения.

Практика показывает, что бесчисленные попытки сокращения материала школьных программ не являются наилучшим выходом из положения. Ускорение и улучшение обучения в значительной мере зависят от изыскания психологических возможностей, которые сделают доступным для учащихся усвоение учебного материала при затрате меньшего, чем обычно времени. Одним из путей освоения этих «психологических ресурсов» является формирование у школьников обобщенных методов анализа и синтеза учебного материала. Цель нашего исследования — изучить формирование у школьников одного из таких методов — метода графического анализа и синтеза. В качестве материала были избраны арифметические задачи.

Любое графическое выражение является обобщенным и абстрагированным выражением зависимостей. В то же время оно является наглядным средством, переводящим решение задачи из абстрактно-словесного в конкретный план. Уже сам наглядный образ в мышлении претерпевает определенную схематизацию. В чертеже или графической схеме эта схематизация наглядного образа получает наиболее полное завершение, однако черты конкретности при этом не снимаются.

Трудности при решении задач, и, прежде всего, трудности анализа и синтеза, как показывают исследования Н. А. Менчинской, 3. И. Калмыковой, В. И. Зыковой, в большой мере обусловлены тем, что разрыв между конкретной ситуацией, отраженной в сюжете задачи, и ее абстрактно-математической структурой является слишком значительным для учащихся.

Следует предположить, что графика, как форма наглядности, объединяющая в сложном взаимодействии черты абстрактного и конкретного, может при определенной организа-

ции педагогического процесса стать средством устранения этого разрыва.

Прием графического анализа при решении математических задач в современной методической литературе, как в советской, так и в зарубежной, освещен главным образом как педагогический прием учителя, т. е. рассматриваются готовые чертежи и схемы, данные ученику извне. Вопрос об использовании графика самими учащимися как средства решения задачи до последнего времени (1965—66 гг.) очень слабо освещался в методической литературе (А. С. Пчелко, А. Н. Скаткин, Г. Б. Поляк и др.). В то же время в советской педагогической литературе достаточно ясно сформулирован принцип активности учащегося в использовании различных средств наглядности (Л. В. Занков, Н. П. Конобеевский). Нельзя не отметить и работы тех немногих методистов, которые придавали большое значение графическому анализу как приему самостоятельного решения задач учащимися (в дореволюционной литературе — Е. Шпитальский, среди советских методистов — Я. А. Шор).

В ряде зарубежных психолого-педагогических работ подчеркивается общее значение графики для развития мышления и для ориентировки учащихся в различных областях жизни (Л. Бланк, К. Фуллер, Дж. Нюберг, Дж. Сохилл и др.).. В исследованиях Н. Пикар описывается применение графики всех видов — картинок, чертежей, диаграмм и графиков на самых ранних этапах обучения. Н. Пикар указывает на двойственную природу графики, сочетающей в себе возможность как абстрактных умственных, так и конкретных материальных действий.

В нашем исследовании поставлены две задачи: 1) изучить психологические функции основных форм графической наглядности, применяющихся в школьной практике; 2) выяснить, как овладевают учащиеся самостоятельным построением схемы в процессе решения задачи, через какие этапы проходит формирование схемы как средства нахождения путей решения, какова эффективность овладения умением самостоятельно строить схему для решения задач.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе изложены состояние вопроса, задачи и методы исследования.

Вопрос о формировании обобщенных методов анализа и синтеза имеет тесную связь с некоторыми общими вопросами психологии мышления. Обширная литература посвящена

вопросу об анализе и синтезе как основных процессах мышления. Это исследования С. Л. Рубинштейна и его школы (Л. И. Анцыферова, А. В. Брушлинский, И. М. Жукова, Н. С. Мансурова, А. М. Матюшкин, К. А. Славская); работы Н. А. Менчинской, Д. Н. Богоявленского, А. А. Люблинской и др. Целый ряд исследователей, помимо указанных выше, разрабатывал проблему приемов умственной деятельности в процессе обучения. Это нашло отражение в работах Е. Н. Кабановой-Меллер, H. М. Решетникова и в той группе исследований, которые были направлены на изучение процесса применения знаний к решению учебных задач. При этом внимание было направлено на изучение обобщенных (или «широких», по терминологии Е. Н. Кабановой-Меллер) приемов, применяемых в различных видах деятельности к различным видам задач. (3. И. Калмыкова, В. И. Зыкова, Е. М. Кудрявцев и др.).

Одна из наиболее серьезных проблем в обучении решению задач — проблема освобождения детей от связанности типом задачи. Прикованность учащихся к известному типу задачи и неумение решать задачи, несколько отличающиеся от известного типа — одно из проявлений того самого формализма математических знаний, о котором известный советский математик и педагог А. Л. Хинчин писал: «Для всех проявлений формализма характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащегося привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта».

В работах целого ряда математиков, психологов и методистов исследуются источники этих трудностей и пути их преодоления (Д. Юнг, Д. Пойа, А. Л. Хинчин, В. Л. Ярощук, Л. Л. Гурова, Л. С. Славина, О. Г. Бочковская, М. И. Моро, Я. А. Шор, А. Н. Скаткин и др.).

В исследованиях, посвященных решению задач (В. И. Зыкова, 3. И. Калмыкова, Э. А. Флешнер, П. М. Якобсон и др.) установлено, что нередко задачи более абстрактного характера решаются учащимися на более высоком уровне анализа и синтеза, чем задачи с конкретным содержанием. Этот факт объясняется трудностями перехода от абстрактного мышления к конкретному, связанному для учащихся с необходимостью самостоятельно выполнить абстракцию, отвлекаясь от несущественных черт новой конкретной ситуации.

Теоретически возможный путь преодоления этого разрыва заключается, очевидно, в том, чтобы найти такой способ ана-

лиза условия задачи, который с необходимостью заставил бы учащихся пользоваться в анализе одной и той же структуры категориями как абстрактного, так и конкретного плана, максимально сблизив таким образом эти категории, как бы столкнув их в одной точке — в приложении к одной и той же задаче. Необходимо выявить собственно математический скелет задачи, освободить его от сюжетных наслоений, тем самым как бы «подняв» структуру задачи на «поверхность» сюжета.

В нашей работе рассматривается один из возможных способов такого анализа — графический анализ, т. е. выявление математических отношений в графической форме — в форме графической схемы. Мы подвергли изучению ту форму схемы, которая до сих пор реже всего применяется в школьной практике: схема, отражающая не пространственные отношения (например, в задачах, где требуется установление скорости, расстояния и т. д.), а собственно математическую структуру задачи. Графическая схема такого рода выступает как пространственная схема непространственных отношений.

Именно такого рода схема, по нашему предположению, может в наибольшей степени способствовать вынесению структуры на поверхность задачи. Процесс этого вынесения является своеобразной материализацией структуры. Обнажение структуры, выявление отношений между искомым и данными, отражая процесс решения задачи, в ряде случаев может выразить и результат его.

Но прежде чем исследовать процесс создания графической схемы, необходимо было выяснить, как обстоит дело с использованием различных форм графики в практике современной школы. В этих целях нужно прежде всего проанализировать учебники для начальных классов, используемые в настоящее время в школе.

Во второй главе изложены результаты экспериментального анализа основных форм графического материала, представленного в учебниках для начальных классов (авторы А. С. Пчелко и Г. Б. Поляк). В результате анализа были выделены следующие основные формы наглядности:

1. Иллюстративная наглядность («картинки»). Сюда относятся: 1) Картинки, изображающие отдельные предметы, о которых говорится в задаче, а также иллюстрирующие сюжет задачи («предметно-иллюстративные»). Картинки такого рода не отражают математической структуры задачи. 2) Картинки, изображающие отдельные предметы, о которых говорится в задаче, и отражающие при помощи этих изображений

количественные соотношения между данными задачи в обобщенном виде («предметно-аналитические»). Такие картинки, вычленяя существенные данные и отвлекаясь от несущественных, отражают математическую структуру задачи.

II. Схематическая наглядность («схемы»). Сюда относятся: 1) Пространственные чертежи, изображающие отрезки пути в задачах на движение и расстояние и участки (в задачах на определение площадей). 2) Отвлеченные пространственные схемы и чертежи, отражающие абстрагированные количественные соотношения между данными.

Основное место в учебниках арифметики среди различных форм наглядности во всех классах отведено предметно-иллюстративной картинке. Значительно меньшую роль играет предметно-анатилическая картинка. Схемы и чертежи в учебниках применяются в основном для изображения отрезков пути в задачах на движение и расстояние, а также участков в задачах на определение площадей.

Возникла необходимость выяснить, в какой мере правомерно такое распределение форм наглядности в учебниках. С этой целью были проведены три серии экспериментов с учащимися I—IV классов. Проводились как индивидуальные, так и коллективные эксперименты.

В I серии экспериментов сравнивались предметно-иллюстративные и предметно-аналитические картинки. Учащимся предлагалось решать задачи, сопровождаемые той или иной картинкой. После того, как задачи были решены, испытуемым — неожиданно для них — предлагалось нарисовать или описать картинку, которая была дана в учебнике. Мы исходили из предположения, что если в процессе решения задачи картинка играла какую-то роль, то ученик сможет воспроизвести или описать ее после решения. В опытах принимали участие 137 школьников I—IV классов.

При анализе полученного материала было установлено следующее:

В группе, решавшей задачи с иллюстративными картинками, отказались от воспроизведения картинок 47% учащихся в I классе, 10%—во II классе и 18%—в III классе. В группе, решавшей задачи с аналитическими картинками, отказов было в I классе всего 7%, в III классе — 10%; во II и IV классах отказов не было.

Лучшее запоминание иллюстративных картинок свидетельствует, по-видимому, о том, что школьники больше пользуются ими в процессе решения. Этот вывод основан на уста-

новленном в психологии памяти факте лучшего запоминания объекта активной деятельности (А. А. Смирнов, П. И. Зинченко) .

Значительное количество изображений как в той, так и в другой группе было воспроизведено учащимися адекватно, т. е. с сохранением структуры и основных деталей данного изображения. Но если воспроизведение картинок предметно-иллюстративного типа, являясь привычным учебным действием для учащихся, не может указывать на то, была ли использована данная картинка в процессе решения, то сохранение сложной структуры предметно-аналитической картинки (с которой учащиеся работали очень мало), является несомненным свидетельством использования этой картинки в решении задачи.

В ряде случаев изображение, воспроизведенное детьми, значительно отличалось от данного в учебнике. Происходила своеобразная трансформация функциональной характеристики изображения. При этом иллюстративная картинка трансформировалась в направлении усложнения структуры — при помощи пространственного распределения изображений предметов, а иногда при помощи математических знаков. Эти случаи свидетельствуют о том, что иллюстративная картинка иногда все же используется в процессе решения, но, по-видимому, лишь в роли материала, из которого дети сами строят структурированное изображение, выражающее математические отношения.

Во II серии показателем использования в процессе решения того или иного вида картинки было избрано время решения. Каждому из испытуемых в индивидуальном порядке предлагались задачи и картинки к ним на отдельных карточках (иллюстративные и аналитические). Время решения фиксировалось при помощи секундомера, скрытого от учащихся. В эксперименте принимали участие 48 школьников II—IV классов. Как показали данные, предъявление предметно-аналитической картинки заметно сокращало время решения у основной массы учащихся всех классов (выигрыш по времени составлял во II классе от 37% до 85%, в III классе — от 14% до 82%, в IV классе — от 10% до 77%).

В III серии мы сравнивали особенности процесса решения при использовании предметно-аналитической картинки и графической схемы. При этом мы применяли пространственную схему непространственных отношений — схематический рисунок, вычленяющий основные данные задачи и их отношения.

т. е. отражающий в абстрагированном и обобщенном виде математическую структуру задачи.

В экспериментах (индивидуальных) принимали участие 12 учащихся III и IV классов.

В экспериментах не обнаружилось существенной разницы в применении предметно-аналитической картинки и схемы. Как предметно-аналитическая картинка, так и абстрактная схема для учащихся, не имевших почти никакого опыта в их самостоятельном использовании, не оказались действенными. Абстрактная схема представляла собой готовый результат процесса, скрытого от учащихся; в таких условиях она не могла служить действенным орудием анализа и синтеза.

Резюмируя результаты всех этих серий, мы можем отметить, что если предметно-иллюстративная картинка оказывается в любых случаях безразличной для нахождения путей решения, то предметно-аналитическая картинка оказывает необходимую помощь, когда дается относительно нетрудная задача. Но при анализе новых, более трудных задач, как предметно-аналитическая картинка, так и графическая схема не стали действенными средствами, что объясняется отсутствием необходимой подготовки учащихся.

Таким образом, эксперименты констатирующей части исследования дали возможность установить, что формы графической наглядности, применяемые в учебниках, а следовательно и в практике школьного обучения, не служат, как правило, средством решения арифметических задач. Делая этот вывод, мы не имеем в виду использование рисунков для раскрытия тех или иных терминов, часто имеющих место в практике школьного обучения и играющих определенную положительную роль; также не имеем в виду специфические схемы, успешно применяющиеся при решении задач на пространственные отношения.

Для того, чтобы выяснить роль графической структурированной наглядности как средства решения задачи в условиях соответствующей организации обучения был поставлен обучающий эксперимент.

Третья глава диссертации посвящена изложению хода и результатов экспериментального обучения методу графического анализа при решении новых задач.

В исследовании применялся как индивидуальный обучающий эксперимент, так и обучение в условиях работы класса, осуществляемое учителем. При организации обучения мы постепенно переходили от более конкретных форм наглядности

к более абстрактным. Предметно-аналитическая картинка в обучении предшествовала графической схеме. Именно предметно-аналитическая картинка являлась такой переходной формой, которая, изображая ситуацию задачи и, вместе с тем, вычленяя существенные отношения ее данных и искомых, могла заполнить разрыв между конкретностью содержания задачи и абстрактностью ее структуры.

Для индивидуального обучения были отобраны четыре среднеуспевающих по арифметике учащихся III класса. Обучение проводилось в течение трех месяцев, по 10 занятий с каждым школьником. Одновременно были организованы занятия с контрольной группой, состоящей также из четырех среднеуспевающих по арифметике учащихся. На этих занятиях решались те же задачи, также в индивидуальном порядке, но без какого бы то ни было применения графической наглядности (лишь с помощью наводящих вопросов). В дальнейшем эту группу мы будем называть 1 контрольной.

Методика обучения была следующей. В начале эксперимента учащимся предлагались для решения задачи, сопровождаемые предъявлением предметно-аналитической картинки; затем к той же самой задаче давалась схема (путем сопоставления с предметно-аналитической картинкой). Далее осуществлялся переход к самостоятельному созданию школьниками графической схемы и оперированию ею как средством нахождения путей решения.

После окончания обучения (и занятий с контрольной группой) были проведены контрольные эксперименты, для участия в которых была привлечена также дополнительная группа школьников, обучавшихся обычным методом в классе и не проходивших никакой специальной тренировки в решении задач (II контрольная группа).

Изложим полученные данные, подробно осветив первое занятие.

На первом этапе занятия схема вводится в тот момент, когда анализ предметно-аналитической картинки не дал результатов; снова и снова возникают ошибки, обусловленные хаотическим применением упроченных приемов решения. Предъявление в этот момент схемы и ее словесное описание учеником эффекта не дают; но решение наступает мгновенно, как только ученик производит (по предложению экспериментатора) сравнение картинки и схемы.

Такие образом, в качестве средства решения на первом этапе занятия выступало сопоставление двух форм выраже-

ния одних и тех же отношений: более конкретной, отягощенной предметными изображениями отдельных деталей, и более абстрактной, отражающей вычлененные отношения в обобщенном виде. Такое сопоставление привело как бы к «проявлению» скрытых до сих пор от учащихся зависимостей. Предметно-аналитическая картинка, тесно связанная с конкретным сюжетом задачи, еще не может помочь раскрыть ее. Для этого ей не хватает полноты абстракции и обобщения. С другой стороны, абстрактная схема не сразу дает эффект: для учащихся вначале еще существует разрыв между сюжетно-конкретным в задаче и ее абстрактной структурой, выраженной в схеме. И только сопоставление картинки и схемы дало возможность учащимся получить максимальную опору для процессов абстракции и обобщения; в рисунке они видят выраженные в нем абстрактные отношения, а абстрактная схема насыщается конкретным содержанием. Таким образом, эффект сопоставления картинки и схемы вскрывает для нас сложные и противоречивые взаимоотношения, в которые вступают в ходе экспериментального обучения конкретные и абстрактные компоненты мыслительной деятельности. Предметно-аналитическая картинка как бы создает мост между конкретной предметностью задачи и абстрактной «сеткой» взаимозависимостей; однако абстракция еще не может окончательно оформиться, пока учащийся не преодолеет связанность предметной отнесенностью, имеющейся в картинке. С одной стороны, конкретность нужна как необходимая опора для процессов абстракции, с другой стороны, ее надо преодолеть, чтобы прийти к более высоким формам абстракции.

На втором этапе экспериментального занятия схема дается без опоры на картинку. Анализ схемы (к которому побуждает экспериментатор) приводит к быстрому вычленению нужных соотношений и правильному решению задачи. Таким образом, на втором этапе предъявление и анализ схемы играют положительную роль уже без опоры на предметно-аналитическую картинку.

На третьем этапе картинка служит опорой для самостоятельного построения схемы: схема уже является средством достаточно полного анализа новой трудной задачи.

На последнем этапе первого занятия детям предлагались структурно ясные задачи. Схема строилась без опоры на картинку.

Таким образом, на первом занятии схема сразу же вводилась как средство анализа новой задачи. Вначале она была

еще тесно связана с предметно-аналитической картинкой, которая дважды выступала в качестве опоры: в первый раз — в качестве опоры для понимания, во второй раз — в качестве опоры для самостоятельного построения схемы. Осознаваемая вначале только путем сопоставления с картинкой, схема очень скоро начинает играть самостоятельную и решающую роль в раскрытии основных взаимозависимостей задачи. Но на первом занятии учащиеся еще обращаются к схеме только по побуждению экспериментатора.

После ряда занятий, посвященных закреплению и упрочению навыка самостоятельного построения схемы, были проведены еще два занятия, целью которых было пробуждение у учащихся потребности в овладении графическим методом, осознания высокой практической эффективности применения графики. Учащимся предлагались задачи, которые решались либо при помощи громоздких вычислений (введение графики снимало необходимость этих вычислений), либо вообще не могли быть решены нашими испытуемыми (например, с применением дробей, не изучавшихся в III классе). В этом случае графический способ делал задачу решаемой. Введение схемы в этих опытах встречалось учащимися очень эмоционально: дети как бы воочию убеждались в эффективности применения схем. На последних занятиях экспериментатору уже не приходилось побуждать учеников рисовать схемы: они сами при малейшем затруднении брались за карандаш и самостоятельно создавали схематические изображения.

Контрольная серия состояла из трех экспериментов, в которых задания последовательно усложнялись. Предъявление задачи в первом эксперименте сопровождалось «подсказкой»-указанием на возможность использования графического метода решения: «Если вам будет нужно, можете рисовать». Во втором эксперименте не делалось никаких указаний на возможность использования графики. В третьем эксперименте задача сопровождалась готовой схемой. Очевидно, что «нулевая», инструкция по сравнению с «подсказывающей» более трудна; что же касается третьего эксперимента, то в нем была применена заранее данная готовая схема, использованию которой дети не обучались, что и создавало особую трудность.

В контрольных экспериментах давались сложные по структуре задачи, решение которых зависело от вычленения многих элементов и сложных отношений между ними.

В I контрольном эксперименте все испытуемые обучавшейся группы (4 чел.), используя графический прием, успешно

решили задачу с наименьшим количеством ложных проб (9 на всю группу). В контрольных группах ни один учащийся задачу не решил. В отобранных после 55 минут работы черновиках обнаружено 32 ложных пробы в I контрольной группе и 110 ложных проб во II контрольной группе (каждая группа включала по 4 человека). Таким образом, при инструкции, указывающей на возможность использования графического приема, преимущество обучавшейся группы оказалось очевидным.

Во II контрольном эксперименте, как уже отмечалось, учащимся предоставлялась полная свобода в использовании любых приемов решения. Все испытуемые обучавшейся группы успешно решили задачу, применив построение схемы; было сделано 9 ложных проб (на всю группу). Из 8 школьников двух контрольных групп задачу решили 5; при этом в I контрольной группе было сделано 45 ложных проб, а во II контрольной группе — 67 ложных проб. Таким образом, отсутствие «подсказывающей» инструкции не сказалось на результатах работы экспериментальной группы. Учащиеся этой группы по собственной инициативе использовали графический прием в решении задачи.

В III контрольном эксперименте задача, сопровождаемая готовой схемой, была решена всеми учащимися экспериментальной группы с минимальным количеством ложных проб — (5 на группу). В контрольных группах задачу решили лишь 4 человека; при этом в первой контрольной группе была сделана 71 ложная проба и во второй — 145. Таким образом, предъявление трудной задачи с заранее данной готовой схемой показало значительное преимущество обучавшейся группы; в то же время в контрольных группах применение готовой схемы заметно ухудшило результаты.

В ходе решения контрольных задач у испытуемых обучавшейся группы выявились следующие основные этапы самостоятельного построения схемы: 1) этап глобального отражения ситуации с вычленением одного-двух элементов;

2) этап «уточнения» — вычленение всех или почти всех основных элементов и отношений без завершающего синтеза;

3) этап адекватной схемы, отражающей полный анализ и синтез. Не у всех испытуемых наблюдаются все три этапа — опускается либо первый, либо третий. Очевидно, в первом этапе нет необходимости при достаточно высоком уровне анализа; завершающий синтез — основной для третьего этапа — нередко осуществляется во время числового решения.

Следует отметить, что переход от одного этапа к другому совершался учащимися самостоятельно, без побуждения со стороны экспериментатора.

Результаты контрольных опытов, проведенных после экспериментального обучения, показали, что дети, обученные методу графического анализа, значительно успешнее справлялись с решением новых и трудных задач, а также с «чтением» готовой схемы, чем школьники, обучавшиеся обычным способом.

В порядке обсуждения хода и результатов обучающего и контрольного экспериментов можно высказать некоторые соображения.

Условие задачи, представленное в абстрактно-словесном плане, в то же время имеет слишком значимую для учащегося конкретно-сюжетную отнесенность. Графическая схема выражает эти абстрактные отношения в конкретной пространственной форме и, вместе с тем, является обобщением, позволяющим учащемуся выйти за пределы данной задачи и получить обобщенное выражение для решения любых задач. Необходимость перевода абстрактных отношений в конкретно-пространственные формы стимулирует учащихся, с одной стороны, конкретиризовать те абстрактные отношения, которые даны в условии, путем анализа условия задачи, а с другой — отвлечься от имеющейся в нем сюжетной конкретности. Именно эта сложная двойственная природа графики и позволяет применить ее в качестве обобщенного метода решения.

Собственно графическая схема может выступать в процессе решения задачи в разных формах. В том случае, когда она дается извне, она является готовым продуктом уже произведенных (но еще не известных решающему) анализа и абстракции. Такая схема должна помочь учащимся «увидеть» математическую структуру задачи. Когда графическая схема создается в процессе решения, она отражает анализ и абстракцию, осуществляемые самим решающим, наглядно демонстрирует эти процессы в их возникновении и развитии. Знание, которое в извне данной готовой схеме содержится симультанно, в процессе построения схемы развертывается сукцессивно.

Как показали эксперименты, схема, предъявляемая в качестве готового абстракта, не используется учащимися начальных классов в качестве средства решения. В то же время схема, создаваемая в определенных педагогических условиях самим учеником в процессе решения, эффективно используется

в целях отвлечения от несущественных элементов и отношений, т. е. является средством анализа и абстракции.

В экспериментальном обучении оправдал себя прием сопоставления графической схемы и предметно-аналитической картинки. Предметно-аналитическая картинка, как и схема, является также своеобразным готовым продуктом произведенных за решающего мыслительных процессов. Как в том, так и в другом случае разрыв между абстрактной структурой задачи и ее конкретным содержанием на данном этапе развития детьми не преодолен. Сопоставление схемы и картинки к одной и той же задаче дает возможность учащемуся воссоединить все необходимые звенья одной цепи: конкретное в картинке становится достаточной опорой для понимания абстрактной схемы; эта конкретная опора, с одной стороны, использована, а с другой — преодолена. Абстрактная схема в дальнейшем уже не нуждается в особых конкретных опорах. Та степень конкретности, которая имеется в схеме, делая ее наглядным выражением процесса или результата решения задачи, оказывается достаточней. Абстрактная схема становится действенным орудием самостоятельного анализа.

Данные экспериментального обучения позволили наметить основные этапы формирования схемы в процессе ее самостоятельного построения: от первоначального глобального отражения ситуации (с вычленением одного-двух элементов) или своеобразного поспешного синтеза, произведенного без достаточно полной абстракции через вычленение существенных элементов и отношений, к окончательному завершающему синтезу. Следует отметить, что у отдельных учащихся этот процесс как бы редуцируется. При наличии у учащегося достаточно высокого уровня анализа и синтеза отсекается первый этап; в других случаях третий этап — завершающий синтез— осуществляется одновременно с числовым решением. Однако во всех случаях, когда схема действительно служила средством решения, сохраняется второй этап: вычленение существенных для решения элементов. Сказанное позволяет предположить, что основной рабочей функцией графической схемы в решении задачи является анализ, тесно связанный с абстракцией.

Результаты, полученные в нашем исследовании, позволяют также сделать некоторые выводы, касающиеся проблемы формирования интеллектуальных умений.

В констатирующих экспериментах учащимся давались неоднократные указания на полезность использования графиче-

ских выражений (предметно-аналитических картинок и схем) для решения задач. Однако умение самостоятельно применять графику не вырабатывалось. Учащиеся попрежнему не умели увидеть в графических изображениях структуру задачи, вычленить с их помощью отношения между данными. Только в процессе систематического обучения, включающего одним из главных компонентов создание собственного практического опыта учащихся в их действиях с графическими изображениями, такие умения были сформированы. Это, в первую очередь, умение самостоятельно строить свои, хотя бы еще несовершенные, графические выражения, отражая в них свое понимание структуры решаемой задачи; это умение сопоставить первые варианты создаваемых схем с условием задачи, уточняя и совершенствуя их; это, наконец, умение «прочесть» заранее данную готовую схему.

Одним из важных условий формирования этих умений является пробуждение у учащихся потребности в овладении этим умением, убеждение в их практической эффективности.

В четвертой главе излагается опыт введения элементов графики при решении арифметических задач в условиях работы учителя с классом, а также даются некоторые методические рекомендации.

В целях изучения возможностей применения графических средств при работе учителя с классом был изучен опыт учительницы школы № 330 Бауманского района г. Москвы А. В. Олевановой в течение двух лет работавшей в контакте с нами. Работа А. В. Олевановой свидетельствует о том, что уже с первого года обучения может осуществляться некоторая подготовка учащихся к последующему введению графических схем.

При отборе наглядных пособий учительница, добиваясь максимальной самостоятельности учащихся, вела подготовку к пониманию ими более сложных форм графической наглядности. Такая предварительная подготовка учащихся позволила учительнице уже в первом классе ввести и отработать для задач определенного вида так называемые «схемы-трехчленки»: «цена — количество — стоимость» и «скорость — время — расстояние».

Результаты контрольных экспериментов показали, что большинство учащихся класса А. В. Олевановой легко справляются с решением новых задач; основная масса детей II класса свободно разбиралась в задачах, рекомендованных по программе III—IV класса (разумеется, с соответственно изме-

ненными числами), а отдельные учащиеся решали задачи и для V класса.

Необходимо отметить, что в контрольных экспериментах учащимся предлагались готовые схемы, не включенные в систему обучения (выражающие отношения между данными непространственных задач). Учащиеся также легко решали задачи с этими схемами. Более того, в ряде случаев, давая трудную задачу, мы задерживали введение схемы: предлагали учащимся решить задачу без всякой наглядности и только после того, как дети, испытывая затруднения, застревали на каком-то этапе решения, вводили схемы в качестве средства самостоятельного решения задачи. Введение схемы, как правило, резко изменяло характер процесса: ложные пробы прекращались, задача решалась быстро и четко.

Очевидно, той относительно небольшой организации графического опыта, которая проводилась учительницей л этом классе на первом и втором году обучения, оказалось достаточно для того, чтобы изменить уровень понимания извне данной готовой схемы (по сравнению с установленным в констатирующей части исследования); абстрактные графические схемы оказались доступными для понимания учащихся II класса.

Опыт А. В. Олевановой показал, что определенная подготовка учащихся к пониманию более абстрактных форм графической наглядности возможна уже с первого класса. Результаты контрольных экспериментов показали, что для учащихся, подготовленных таким образом, графические схемы выступали в качестве приема решения новых и трудных задач, в ряде случаев выходящих за пределы программы.

Некоторые из полученных нами данных позволяют пересмотреть ряд вопросов, касающихся практики школьного обучения решению задач. В первую очередь это относится к тем требованиям, которые необходимо предъявить к иллюстративному материалу учебников. Эксперименты показали, что предметно-иллюстративная картинка для нахождения путей решения задачи оказывается в любом случае безразличной. Предметно-аналитическая картинка как готовая, извне данная форма наглядности при определенном содействии учителя может оказать серьезную помощь учащимся в решении задач; однако при этом распределение изображений этого типа в учебниках также нуждается в пересмотре. Необходимо, на наш взгляд, смелее вводить предметно-аналитическую картинку на ранних этапах обучения, при решении менее грудных задач, в целях

создания определенного опыта учащихся в работе с графическими изображениями. При введении предметно-аналитических картинок следует обратить внимание учащихся на два основных момента, характеризующих эти картинки: это, во-первых, связь картинки с количеством и во-вторых, особое значение пространственного расположения изображений. Чрезвычайно важным представляется момент соучастия учащихся в создании таких изображений; следует рисовать их. хотя бы схематично, на доске, привлекая к этой работе учащихся. Предметно-аналитические картинки раскрывают математическую структуру задачи, готовят учащихся к пониманию абстрактных графических схем, помогают учителю формировать у школьников обобщенные методы решения задач. Наличие таких картинок на ранних ступенях обучения, позволит учителю значительно раньше ввести абстрактные графифеские выражения, наиболее продуктивные в качестве средства обучения самостоятельному анализированию при решении новых и трудных задач.

Готовая графическая схема при существующих условиях обучения не является эффективным средством помощи в решении задач. Однако, как показало экспериментальное обучение, при соответствующем изменении педагогического про-, цесса графическая схема может служить не только методическим средством, облегчающим решение, но и эффективным обобщенным приемом самостоятельного решения новых трудных задач. Подготовку к введению схемы необходимо начинать уже с первого класса.

Важно подчеркнуть, что указанные требования к иллюстративному материалу учебников, которые вытекают из полученных в нашем исследовании экспериментальных данных, в значительной мере совпадают с теми выводами, к которым пришли некоторые методисты при построении экспериментальных учебников. Так, в вышедшем в 1966 г. экспериментальном учебнике «Математика для 1-го класса», ч. I и II (авторы М. И. Моро, М. А. Бантова, при участии Г. В. Бельтюковой, Н. Л Шарыженко) математически безразличные картинки отсутствуют вовсе, а применяющиеся в начале I части сюжетные изображения несут определенную математическую нагрузку, предъявляющую требования к самостоятельной работе учащихся. Широко применяются иллюстрации предметно-аналитического типа для педагогически чрезвычайно эффектного вида работы — составления задач «по картинке». Работа с такими формами графики подготавливает учащихся

к введению графических схем уже на ранних этапах обучения. В экспериментальных учебниках схемы введены уже в I части. Во II части учебника схемы применяются как для составления задач по данной схеме, так и в качестве схематического выражения структуры предложенной учащимся задачи. Такой подбор различного графического материала в экспериментальных учебниках представляется, с точки зрения полученных нами данных, весьма целесообразным. Однако необходимо, чтобы работа с этими графическими изображениями не стала только методическим средством учителя, а позволила ему формировать умение учащихся самостоятельно применять графический метод при решении новых задач.

Некоторые рекомендации могут быть даны относительно методики введения графических схем. Необходимо соблюдать определенную последовательность введения: вначале вводить схему вместе с предметно-аналитической картинкой к той же задаче. В дальнейшем учащимся можно предложить самостоятельно начертить схему к данной задаче, используя картинку в качестве опоры. и только после этого можно использовать в качестве средства решения самостоятельное построение схемы.

В целях закрепления и упрочения навыков работы со схемой учитель может широко использовать разнообразные стимулирующие приемы. К ним относятся графическое решение задачи (без вычислений), придумывание учащимися задачи по данной схеме, показ единства математической структуры различных по сюжетно-числовому оформлению задач, демонстрация графического решения арифметических нерешаемых задач и т. д.

Указанные рекомендации, несомненно, нуждаются в более глубокой проверке в условиях практической работы учителя с классом. Такая работа уже начала осуществляться. В ряде статей, опубликованных за последние годы, изложены результаты экспериментального обучения, проведенного с применением приемов графического анализа. Так, в работе Т. К. Жикалкиной описывается опыт использования приемов графического изображения условия задачи. Группой учителей школы памяти В. И. Ленина — Т. И. Шаркуковой и Н. М. Кузнецовой, А. П. Вороновой было предпринято под руководством Н. А. Менчинской и М. И. Моро тщательное изучение вопроса о роли и месте схем в обучении решению задач. Результаты, полученные ими, подтверждают и в известной мере расширяют наши выводы.

Следует отметить, что результаты проведенных работ нашли отражение в рекомендациях, которые даются в опубликованных в 1965—66 гг. методических руководствах (А, С. Пчелко, Л. Н. Скаткин).

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях автора:

1. О формах графической наглядности в обучении решению арифметических задач. «Доклады АПН», № 5, 1960.

2. О роли, графического анализа в решении арифметических задач. «Доклады АПН», № 6, 1960.

3. Психологические вопросы применения графических схем учащимися начальных классов. «Вопросы психологии», № 5, 1960.

4. Психологические вопросы применения графических схем учащимися начальных классов в процессе решения арифметических задач. Сборник «Применение знаний в учебкой практике школьников». М., 1961.

Л-79056 от 27/1-67 г. Об'ем 1,25 п. л. Тир. 150 Зак. 2179

Типография «На боетом посту». Павловская, 8.