Академия педагогических наук РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

М. М. БОРОДАНОВ

На правах рукописи

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ УЧЕНИЯ О ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЯХ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — ст. научный сотрудник Института методов обучения АПН РСФСР И. А. Гибш

Москва 1959

XXI съезд КПСС предъявил к работникам просвещения требование «добиться того, чтобы советская школа, тесно увязывая обучение с производством, с практикой коммунистического строительства, готовила всесторонне образованных и сознательных граждан, специалистов средней и высшей квалификации».

Закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» намечает основные пути преодоления имеющих место в школе недостатков и решения задачи, поставленной XXI съездом перед советской школой.

В настоящее время советская средняя школа переживает важнейший этап в своей жизни, происходит коренная перестройка всей системы народного образования.

Как указывается в тезисах ЦК КПСС и Совета Министров СССР «в школах второго этапа среднего образования должен быть повышен уровень общего, политехнического образования, который в настоящее время установлен для 10-летней школы. Особое внимание нужно обратить на преподавание физики, математики, химии, черчения, биологии».

Вопрос, разработанный в настоящей диссертации, находится в соответствии с теми принципами, которые положены в основу построения проекта новой программы средней школы и направлены на решение проблемы связи обучения с производительным трудом.

Учение об уравнениях составляет одну из главных частей школьного курса алгебры, и этот факт является вполне оправданным. Трудно указать какую-либо отрасль математических, физических или технических знаний, в которой использование уравнений не имело бы самого существенного значения.

Учащиеся средней школы приступают к систематическому изучению сведений об уравнениях уже в VII классе, а затем постепенно расширяют и углубляют эти сведения на протяжении всех остальных лет обучения.

При этом основная часть времени, отводимого в школе на учение об уравнениях, посвящается алгебраическим уравнениям. Лишь в IX и X классах учащиеся знакомятся с элементарными трансцендентными уравнениями.

Элементарные трансцендентные уравнения вводятся в школьный курс математики в связи с изучением элементарных трансцендентных функций — показательной, логарифмической и тригонометрических.

Уже в середине XIX века в учебниках алгебры для средней школы в главе о логарифмах рассматривались примеры на решение показательных и логарифмических уравнений. В последующие периоды сведения о трансцендентных уравнениях включались в излагаемое в курсах алгебры учение о трансцендентных функциях.

Однако обычно изучение этого вида уравнений заключалось в рассмотрении небольшого числа отдельных приемов, с помощью которых находились корни заданного уравнения. Весьма немного изменилось это положение и в настоящее время. И теперь изучение темы «Показательные и логарифмические уравнения» в школе в основном состоит в том, что с помощью различных преобразований их сводят к алгебраическим, мало заботясь при этом о достаточном обосновании хода решения. Кроме того, нередко рассматриваются примеры, которые представляют собой искусственные уравнения, не имеющие никакого отношения к каким-либо приложениям и предлагаемые только в целях «тренировки» учащихся.

Именно этот установившийся формальный характер преподавания темы «Показательные и логарифмические уравнения» повлек за собой неправильное отношение к ней некоторой части учительства и неверное понимание с их стороны места, которое тема должна занимать в школьном курсе алгебры.

С полным основанием можно утверждать, что из разделов школьного курса алгебры менее всего разработанным по содержанию и в методическом отношении является раздел «Показательные и логарифмические уравнения».

Между тем при правильной методике преподавания теории и практики решения трансцендентных уравнений усвоение этого раздела, без сомнения, может содействовать более глубокому изучению свойств показательной и логарифмической функции, а также более прочному и сознательному усвоению теории и практики решения уравнений.

Вместе с тем включение в число основных приемов решения трансцендентных уравнений графического и приближенного способов имеет тот результат, что учащиеся приобретают прочные навыки в графическом и приближенном решении уравнений, особенно ценные в условиях политехнического обучения.

В методической литературе все чаще указывается на необходимость ознакомления учащихся с примерами применения показательной и логарифмической функции к решению практических вопросов из смежных дисципилин; это находится в соответствии с тем. что не мало процессов протекает по законам, выражаемым показательной

и логарифмической функциями. Для решения соответствующих задач приходится составлять показательные и логарифмические уравнения.

В курсах алгебры, употреблявшихся в дореволюционной русской школе, логарифмические вычисления применялись, главным образом, к решению задач на денежные расчеты, не имевших образовательной ценности.

Советская школа отказалась от этой традиции, в связи с чем из программы математики средней школы было изъято изучение формулы сложных процентов, но вместе с этим были исключены и задачи, приводящие к показательным и логарифмическим уравнениям.

Между тем, пользуясь формулой сложных процентов, можно ввести в курс алгебры весьма ценное понятие о законе органического роста и тесно связанное с этим законом понятие о числе е.

В настоящее время в физике и технических науках широко используются различные виды функциональной бумаги и, в частности, полулогарифмическая и логарифмическая.

В связи с изучением темы «Показательная и логарифмическая функция. Логарифмы» целесообразно познакомить учащихся с устройством и использованием этих видов бумаги. Учащиеся IX класса смогут с помощью логарифмической и полулогарифмической бумаги весьма легко решать показательные и логарифмические уравнения, строить простейшие номограммы, а также устанавливать во многих случаях общий вид закона, по которому протекает наблюдаемое ими явление.

Из сказанного следует, что раздел о трансцендентных уравнениях, изучаемый в школьном курсе алгебры, имеет достаточно богатое содержание и не только общеобразовательное, но и определенное практическое значение.

Диссертация имеет следующие цели:

1. Установить содержание раздела об элементарных трансцендентных уравнениях.

2. Разработать вопросы методики преподавания главы о трансцендентных уравнениях в курсе алгебры средней школы.

3. Показать, что при правильной постановке изучения этой главы учащиеся получат как полезные для них теоретические знания, так и важные практические навыки.

Это может быть достигнуто посредством:

а) повышения идейного содержания и научного уровня преподавания трансцендентных уравнений;

б) использования графического и приближенного метода для решения трансцендентных уравнений;

в) применения трансцендентных уравнений к решению задач из области физики, химии, биологии и техники.

В процессе работы над диссертацией автором использован опыт передовых учителей Российской федерации и личный опыт преподавания математики в средней школе и работы со студентами педагогического института, а также изучена постановка преподавания вопроса в дореволюционных школах России, в советских средних общеобразовательных и специальных учебных заведениях и в некоторых средних школах за рубежом.

Диссертационная работа состоит из 7 глав.

Рассмотрим содержание каждой из них.

Глава I. Изложение учения об элементарных трансцендентных уравнениях в учебной и методической литературе в дореволюционный и советский периоды

В главе I кратко изложено состояние преподавания учения о трансцендентных уравнениях в русских школах дореволюционного периода и в советской средней школе. На основе анализа содержания учебной и методической литературы этих периодов показано, что только на сравнительно недавнем этапе развития методической мысли было обращено внимание на неудовлетворительное состояние методики преподавания сведений о трансцендентных уравнениях в курсе алгебры средней школы.

В XX столетии новые идеи все глубже проникают в курс математики средней школы. Понятие функции становится основным во всех разделах элементарной алгебры и постепенно начинает внедряться и в раздел о логарифмах.

Уже в начале этого столетия появляются работы, в которых указывается на необходимость приблизить преподавание математики к решению практических вопросов (В. Шидловский, Д. М. Левитус, К. Ф. Лебединцев, Д. А. Граве).

На состоявшемся в 1911 —1912 гг. в Петербурге I Всероссийском съезде преподавателей математики было обращено внимание на то, что «школьная математика часто носит на себе отпечаток удаленности от жизни, в то время как приложения ее к практическим вопросам беспредельны», и что «в школе в подавляющем большинстве решаются задачи, не имеющие ничего общего с реальным миром».

На том же съезде была решительно выдвинута мысль о необходимости дальнейшего усиления функционального начала в курсе математики.

В области преподавания трансцендентных уравнений произошли лишь незначительные изменения: они заключались в том, что почти во всех учебниках рассмотрению показательных и логарифмических уравнений начали посвящать особый раздел, в котором

делались попытки распределять эти уравнения в группы по различным признакам.

Появляются работы, в которых указывается, что способ графического решения можно распространить на трансцендентные уравнения, отличные от показательных и логарифмических (И. И. Чистяков, Д. А. Граве, А.П.Киселев), и имеет место тенденция связать теорию показательных и логарифмических уравнений с общей теорией уравнений (Г. И. Бархов). Иногда авторы приводят примеры задач, решение которых требует составления показательных и логарифмических уравнений.

Но в общем преподавание учения о показательных и логарифмических уравнениях все еще ведется в отрыве от общей теории уравнений, рассматриваемые примеры не имеют прикладного содержания, графическому решению уделяется слишком мало внимания.

Анализ учебной и методической литературы по алгебре, относящейся к советскому периоду, приводит к выводу, что идейно-теоретический уровень преподавания ряда разделов школьного курса алгебры в течение этого периода явно повышался: во всевозрастающей мере содержание и методика преподавания этого курса строились на функциональном начале, все большее внимание уделялось практическим приложениям алгебры и использованию графиков для достижения наглядности и для решения уравнений.

Однако эти изменения почти не оказали влияния на преподавание учения о логарифмах и, тем более, на содержание темы «Показательные и логарифмические уравнения».

Это положение объясняется, главным образом, тем, что авторы учебников, сборников задач и пособий не внесли в этот раздел тех имеющих большое образовательное значение элементов, которые вполне естественно должны были бы войти в него.

Глава II. Общие сведения из теории уравнений

В главе II рассматриваются те основные вопросы теории уравнений и систем уравнений, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации.

Основная часть главы II посвящена изложению сведений о равносильности уравнений и систем уравнений и об использовании понятия смешанной системы, причем сообщаемые теоретические сведения поясняются большим числом примеров.

При изложении других глав диссертации делаются ссылки на соответствующие теоретические положения, рассмотренные в главе II, и таким путем выявляется, как решение показательных и логарифмических уравнений может быть обосновано общей теорией уравнений.

Глава III. Решение показательных и логарифмических уравнений и их систем

В этой главе рассматриваются основные вопросы методики изложения учения о показательных и логарифмических уравнениях.

После критического анализа принятого в учебной и методической литературе определения показательных и логарифмических уравнений в диссертации приводится определение этого вида уравнений как трансцендентных уравнений, содержащих показательную или логарифмическую функцию. Характерной особенностью показательных и логарифмических уравнений является то, что каждое из них может быть сведено к алгебраическому или системе алгебраического и простейшего трансцендентного уравнения вида ах = в, loga х = в.

Общего метода замены данного трансцендентного уравнения равносильным ему алгебраическим не существует. Однако оказывается возможным и плодотворным выделить несколько групп показательных и логарифмических уравнений в результате объединения в одну группу уравнений, допускающих один и тот же способ решения.

Основными группами показательных и логарифмических уравнений, которые могут быть рассмотрены в школе, являются следующие:

1. Показательные уравнения:

где у(х), f(x), g(x) и F —алгебраические, а <о —показательная функция.

2. Логарифмические уравнения.

где g(x), f(x), ср[х] и F — алгебраические, а о> — логарифмическая функция.

При рассмотрении способов решения показательных и логарифмических уравнений там, где это необходимо, используется теория равносильности уравнений.

Уравнения решаются двумя способами, из которых один состоит в сведении данного уравнения к смешанной системе, а второй основан на использовании понятия об области определения уравнения.

В главе III приводится большое число примеров, которые решаются и сопровождаются подробными методическими указаниями.

В диссертации показано, что для обоснования решения трансцендентных уравнений, принадлежащих к перечисленным группам, достаточны те сведения о равносильности уравнений, которые обычно используются при решении алгебраических уравнений.

Кроме показательных и логарифмических уравнений в средней школе могут быть рассмотрены такие трансцендентные уравнения, которые не являются по своей форме ни показательными, ни логарифмическими, но близки к ним по методу решения и, как правило, могут быть сведены к показательным или к логарифмическим уравнениям. В диссертации приведены примеры такого вида уравнений.

Определенные системы трансцендентных уравнений могут быть решены аналитически посредством сведения их к алгебраическим и элементарным трансцендентным уравнениям. Однако класс таких систем уравнений довольно узок, причем указать какие-либо общие методы их решения не представляется возможным. Практическое, а также образовательное значение решения таких систем уравнений невелико; поэтому в школьном преподавании можно ограничиться решением небольшого числа систем трансцендентных уравнений.

Глава IV. Графические и приближенные способы решения трансцендентных уравнений

Аналитическое решение трансцендентных уравнений применимо к сравнительно узкому классу этих уравнений, а именно только к показательным и логарифмическим уравнениям. Между тем наибольшую образовательную и практическую ценность имеет решение таких трансцендентных уравнений, которые не могут быть заменены алгебраическими уравнениями- Например, уравнения вида ах =f(x), logg x = f(x), где f(x) —алгебраическая функция, вообще не могут быть решены аналитически.

Для решения таких уравнений может быть использован графический способ, имеющий широкое применение в математике и особенно большое в различных прикладных областях.

Обучение учащихся употреблению графического способа для решения трансцендентных уравнений весьма полезно, так как, расширяя теоретический кругозор учащихся, этот способ содействует вместе с тем приобретению ряда важных практических навыков. Хотя точность результата, найденного графическим путем, невелика, но получаемая при нахождении этого результата погрешность в большинстве случаев вполне допустима, тем более, что существует ряд приемов, с помощью которых можно повысить точность полученного результата.

Уточнение корней выполняется с помощью построения в более крупном масштабе только некоторой части кривой для значений

аргумента, расположенных в окрестности корня. В этих случаях нередко оказывается возможным вместо кривой строить даже отрезки прямых.

Другим способом уточнения найденных корней является метод проб, подробно рассмотренный в диссертации.

Сущность графического способа решения уравнений настолько проста, что легко усваивается учащимися средной школы.

Одним из условий успешного применения графического способа решения уравнений является умение быстро и с достаточной степенью точности строить графики функций, входящих в уравнение. Для построения графиков показательных и логарифмических функций можно воспользоваться некоторым конструктивным (геометрическим) способом, подробно рассмотренным в диссертации. Этот способ построения позволяет избегнуть тех затруднений, которые обычно имеют место, если основанием показательной или логарифмической функции является дробное число.

Конструктивный способ построения графиков показательной и логарифмической функции (в диссертации называемый просто геометрическим) дает возможность строить точки, принадлежащие графикам функций у = ах и y = \ogax, не выполняя вычислений значений функций, принимаемых за ординаты точек графика. Построение точек графика сводится к построению параллельных прямых, а при использовании миллиметровой бумаги, без ущерба для точности получаемого результата, к проведению прямых с помощью линейки.

В целях обучения графическому способу решения трансцендентных уравнений представляется удобным предлагать примеры в такой последовательности: сначала рассматривают уравнения вида а х = f(x), где f(x)—постоянное число, линейная функция, степенная функция, целая рациональная функция степени выше первой, функция вида ~ , Ух ; затем переходят к уравнениям вида logax = f(x), где f(x) есть одна из функций, перечисленных в предыдущем случае.

В диссертации показано, как в условиях школы при обучении графическому решению трансцендентных уравнений можно привести доступное для учащихся обоснование некоторых возникающих при этом фактов. Например, надо показать, что кривые у = а* и у = х2 имеют 3 точки пересечения; аналогично требуется обоснование того факта, что кривые у = logax и у = у х имеют 2 точки пересечения. Ознакомление учащихся с указанным свойством показательной и логарифмической функции дает им возможность судить о числе корней заданного трансцендентного уравнения.

Для обоснования этих фактов служат теоремы о сравнительном росте показательной и степенной функции и о сравнительном рос-

те логарифмической и степенной функции. В диссертации предлагаются такие их доказательства, которые доступны учащимся.

В диссертации сообщается графический способ нахождения корней уравнений и для тех случаев, когда графики функций, входящих в уравнение, пересекаются вне пределов чертежа.

Ныне действующая программа средней школы по математике очень мало внимания уделяет вопросам приближенных вычислений и совершенно не предусматривает изучения способов приближенного решения уравнений. Между тем вопрос о приближенном решении уравнений является очень важным в условиях осуществления политехнического обучения в школе.

Поскольку общих методов аналитического решения трансцендентных уравнений не существует, приближенные способы решения данных уравнений представляют одно из возможных средств для достижения этой цели.

В разделе о решении трансцендентных уравнений указывается, как можно ознакомить учащихся со способом приближенного решения уравнений, известным под названием способа подбора или способа проб. Он допускает геометрическую иллюстрацию процесса приближенного нахождения корней трансцендентных уравнений.

Глава V. Применение логарифмической и полулогарифмической бумаги для решения показательных и логарифмических уравнений.

При решении прикладных вопросов математики широкое применение получила логарифмическая и полулогарифмическая бумага, а также бумаги, использующие другие функциональные шкалы.

На логарифмической бумаге по двум взаимно перпендикулярным направлениям нанесены деления, которые соответствуют числам X и У, определяемым из уравнений X — m\gx и У = k\gy, т. е. каждое число X изображается на оси ОХ отрезком, длина которого равна mlgx, а каждое число У изображается на оси ОУ отрезком, длина которого равна klgy; числа m и k соответствуют длинам отрезков, принятым за единицу масштаба по оси ОХ и ОУ. В диссертации используется логарифмическая бумага, для которой m = k = 1.

В системе декартовых координат с логарифмическими шкалами графиком степенной функции у =схп , где х>0, будет служить прямая линия.

На полулогарифмической бумаге отсчет по осям координат выполняется по уравнениям

(1) у = m\gy, X = kx

или по уравнениям

(2) У = ту, X = k\gx.

Если принять m = k= 1, то уравнения примут вид y = \gy> X = X или У = у, Х= \gx.

В системе координат, использующей логарифмическую бумагу (1), графиком функции у = С будет служить прямая линия. Точно так же в системе координат, использующей бумагу (2), графиком функции у — \gx будет служить прямая линия.

Ознакомление учащихся школы с этими видами бумаг облегчает понимание ими устройства и употребления логарифмической линейки и содействует сообщению им сведений о некоторых практических методах, используемых в физике и технике.

Полулогарифмическая бумага может быть использована для решения простых логарифмических и показательных уравнений и для ознакомления учащихся с устройством простейших номограмм, с помощью которых решаются уравнения вида а* « 6*, )oga X — ь, ха =в.

Вместе с тем использование простейших видов функциональной бумаги представляет собой весьма поучительный пример геометрических преобразований.

Глава VI. Задачи из физики, химии, биологии и техники, приводящие к трансцендентным уравнениям

Ко времени изучения свойств показательной и логарифмической функции, а также показательных и логарифмических уравнений учащиеся располагают уже достаточными сведениями из различных наук естественного цикла, позволяющими познакомить их с зависимостями, которые выражаются с помощью показательных и логарифмических уравнений. К этим же уравнениям часто приводят явления, связанные с некоторыми производственными процессами. Это дает возможность рассмотреть в качестве упражнений ряд технических задач, условия которых облекаются в несложные трансцендентные уравнения.

В книге «Логарифмы в курсе элементарной алгебры» И. В. Арнольд* по этому вопросу говорит: «Если стандартный арифметический материал и не дает достаточного простора для составления текстовых задач (раньше излюбленной темой были задачи на исчисление сложных процентов, которым в настоящее время трудно приписать практическое значение), то естественно поставить вопрос о соответствующем расширении тематики задач с тем, чтобы включить в рассмотрение и часто встречающиеся зависимости, характеризуемые показательной и логарифмической функциями.

Не следует забывать, что ко времени прохождения этого раздела курса алгебры учащиеся уже располагают достаточными сведениями из области физики и химии, и здесь можно предложить им ряд задач, в которых математическая формулировка зависи-

* И. В. Арнольд «Логарифмы в курсе элементарной алгебры», изд. АПН Москва, 1949, стр. 237.

мости между величинами не требует слишком пространных и специализированных предварительных объяснений».

В диссертации рассмотрена методика ознакомления учащихся IX класса с рядом задач из физики, химии, биологии и техники, которые приводят к показательным и логарифмическим уравнениям.

Зависимости между физическими величинами, приведенные в данной работе, чаще всего требуют для своего выражения введения числа е. Несмотря на то, что программа средней школы пока не предусматривает ознакомления учащихся с этим числом, учитель без особых затруднений, но зато с большой пользой для дела, может его ввести.

Вопрос о различных возможных способах введения в курс алгебры понятия о числе е находит специальное освещение в §5 главы VI. В частности, в диссертации указывается, что один из способов введения числа е можно построить на том факте, что е есть основание такой показательной функции у = ах, для которой угол наклона касательной к ней в точке (0,1) равен 45°.

Ознакомление учащихся хотя бы с небольшим числом задач, приводящих к простейшим трансцендентным уравнениям, будет сильно содействовать повышению их интереса к изучаемому разделу.

Глава VII. Описание школьного эксперимента. Выводы

Основные положения, рассматриваемые в диссертации, проверялись автором в процессе его практической работы в школе и педагогическом институте.

В период с 1955 года по 1957 год проводилась специальная экспериментальная проверка основных положений диссертации.

В осуществлении эксперимента принимали участие, кроме автора работы, некоторые передовые учителя математики средних школ Горно-Алтайской области.

Эксперимент имел следующие цели:

1) Проверить, как учащиеся IX класса усваивают материал темы «Показательные и логарифмические уравнения» в том изложении, которое предлагается в диссертации.

2) Выяснить возможность изложения всех вопросов, рассматриваемых в диссертации, в период изучения темы «Показательная и логарифмическая функция. Логарифмы».

3) Проверить, насколько повышается идейно-теоретический уровень учащихся при изучении этой темы по тому плану, который предлагается диссертантом, по сравнению с тем, который имеет место при обычном порядке изучения.

4) Проверить, как учащиеся приобретают навыки в решении задач практического характера и в построении графиков в процессе изучения рассматриваемой темы.

Проведение эксперимента было организовано следующим образом:

1) В 1955—1956 учебном году в двух девятых классах базовой школы Горно-Алтайского педагогического института занятия по теме «Показательные и логарифмические уравнения» проводил автор работы, причем он полностью придерживался того плана, который предлагается в диссертации.

2) В 1955—56 и 1956—57 учебных годах эксперимент проводился в базовой школе Горно-Алтайского педагогического института: в 1955—56 учебном году в одном девятом классе и в 1956—57 учебном году в трех девятых классах.

Преподавание велось по плану, предлагаемому в диссертации.

3) В 1956—57 учебном году в средней школе № 12 г. Горно-Алтайска экспериментальной проверке подвергалась возможность осуществить с учащимися изучение графических способов решения уравнений и решения задач практического содержания.

4) В 1956—57 учебном году в областной национальной школе г. Горно-Алтайска в трех девятых классах проверялась методическая целесообразность такого деления на группы показательных и логарифмических уравнений, какое дается в диссертации.

В этой же школе учащиеся были ознакомлены с устройством и использованием логарифмической и полулогарифмической бумаги.

5) В средней школе с. Шебалино Горно-Алтайской автономной области при работе над темой «Показательные и логарифмические уравнения» использовался имеющийся в диссертации материал, излагающий способы графического и приближенного решения трансцендентных уравнений.

6) В школьных математических кружках школ № 13, № 12, № 6 г. Горно-Алтайска проводились занятия, на которых учащиеся были ознакомлены с числом е и с устройством и применением логарифмической и полулогарифмической бумаги для решения трансцендентных уравнений.

Проверка позволила установить, что методика преподавания учения о трансцендентных уравнениях, описанная в диссертации, дает возможность достигнуть в этой области указанных выше целей.

В результате всей работы по изучению, исследованию и решению поставленной в диссертации проблемы автор может сформулировать следующие выводы:

1) Распределение трансцендентных уравнений на группы по способам решения облегчает выбор учащимися пути решения и уже намечает его ход.

2) Учащиеся приобретают прочные знания и умения в области применения графического и приближенного способов решения простейших трансцендентных уравнений и на этом материале знакомятся с методами, которые широко употребляются в математике при решении прикладных вопросов.

С точки зрения политехнического обучения большое значение имеет ознакомление учащихся с использованием логарифмической и полулогарифмической бумаги для решения трансцендентных уравнений и построения номограмм, а также для обработки экспериментально полученных результатов.

3) Ознакомление учащихся с задачами из физики, химии, техники и естествознания, приводящими к составлению трансцендентных уравнений, позволяет им правильно оценить этот вид уравнений, которые теперь получают применения, столь свойственные алгебраическим уравнениям, и вызывают у них интерес к изучению этой темы.

4) Использование теории равносильности уравнений при решении трансцендентных уравнений дает возможность так же сопровождать это решение обоснованием, как это делается по отношению к алгебраическим уравнениям, что создает одинаковую практику в процессе решения тех и других уравнений.

5) Введение рассмотрения и использования числа е в курс алгебры средней школы вполне осуществимо и не потребует большой затраты времени. Зато ознакомление с этим числом устранит необходимость обходить изучение зависимости между величинами, выражающейся показательной функцией, а также позволит дать учащимся представление о натуральных логарифмах, а в дальнейшем вывести формулы для нахождения производных показательной и логарифмической функции.

6) Для осуществления указанных задач необходимо приступить к введению понятия о трансцендентных уравнениях уже в самом начале изучения темы «Показательная функция. Логарифмы». Такая постановка работы по этой теме увеличит ее общеобразовательную ценность и даст возможность ознакомить учащихся с понятиями, идеями и навыками, приобретающими особенное значение в условиях политехнического обучения.

7) Изучение главы о трансцендентных уравнениях в том плане, который дается в диссертации, положительно сказывается на общем математическом развитии учащихся и оказывает хорошее влияние на изучение других тем по математике.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. «Задачи практического содержания, приводящие к показательным и логарифмическим уравнениям». Сборник методических статей, выпуск первый, Горно-Алтайск, 1958, стр. 55—76.

2. «Элементарные трансцендентные уравнения и способы их решения», Ученые записки Горно-Алтайского педагогического института, выпуск третий, т. II, Горно-Алтайск, 1958, стр. 126—157.

3. «Использование логарифмической и полулогарифмической бумаги для графического решения показательных и логарифмических уравнений», Ученые записки Горно-Алтайского педагогического института, выпуск третий, т. П, Горно-Алтайск, 1958,. стр. 174—196.

Л 43510 от 13/1V-59 г.

За к. 1025 Тир.. 150

Московская тип. изд-ва «Советский композитор»