ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра элементарной математики

Аспирантка З. Г. БОРЧУГОВА

НЕРАВЕНСТВА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доцент С. Е. ЛЯПИН.

ЛЕНИНГРАД 1955

Ответственный редактор доцент С. Е. Ляпин М44177 10-IX-55 г. Тип. «Сталинец» зак. 3668 т. 100

XIX съезд партии в директивах по пятому пятилетнему плану развития ССОР поставил перед школой большую и ответственную задачу: «...приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению»1.

Одним из основных принципов политехнического обучения является требование систематического изучения основ наук. В связи с этим -внимание учителя должно быть направлено на то, чтобы обеспечить сознательное и глубокое усвоение учащимися теоретического курса каждой дисциплины, изучаемой в школе.

Необходимо отметить, что высокий уровень теоретической подготовки учащихся связан с умением применять полученные знания на практике, с умением решать практические задачи. «Ничего не стоит никакая школа, никакой университет, если нет практического умения»2.

Особенно большое значение в осуществлении задач политехнического обучения имеет повышение уровня математической подготовки учащихся, т. к. для дальнейшего роста нашей страны с её высокоразвитой промышленностью и крупнейшим в мире сельским хозяйством, оснащённым передовой техникой, сознательное и прочное усвоение математики играет особо важную роль.

В методическом письме о преподавании математики в 5—10-м классах, в статьях журнала «Математика в школе» о приёмных испытаниях по математике в высшие учебные заведения, в отчетах учителей о выпускных экзаменах по математике в школах указывается, что программный материал учащимися с каждым годом усваивается все более сознательно и прочно. Однако ещё имеются некоторые разделы программы по мате-

1 Директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951-1955 г., стр. 28

2 В. И. Ленин, Соч., т. 31, стр. 427.

матике (учение о числе, пределы, неравенства и др.), по которым учащиеся обнаруживают слабые знания, а часто и формальное усвоение их.

Советский учитель не может мириться с неполноценными знаниями учащихся. Он постоянно ведёт борьбу за изжитие имеющихся недостатков в знаниях учащихся, тем самым поднимает качество преподавания математики на ту высоту, какой она заслуживает по своему удельному весу в деле подготовки строителей коммунистического общества.

Темой своего исследования автор выбрал один из указанных выше разделов программы, по которому учащиеся имеют недостаточные знания, а именно, раздел «Неравенства» и поставил перед собой цель показать, как может быть построено изучение неравенств в курсе алгебры средней школы, в результате которого качество знаний учащихся раздела «Неравенства» значительно повышается.

Таким образом, данная работа по своему содержанию и характеру изложения предназначается преподавателям математики средней школы и имеет в виду оказать им некоторую помощь в преподавании раздела «Неравенства».

Разрабатывая данную тему в соответствии с указанной целью, автор поставил перед собой следующие задачи:

1) Показать недостатки в знаниях учащихся по теме «Неравенства» и вскрыть основные причины их.

2) На конкретном материале показать, что понятие неравенства первоначально должно формироваться на уроках арифметики 5-го класса. В дальнейшем, на протяжении всего курса алгебры, с 6-го по 9-й класс, знания учащихся о неравенствах могут постепенно расширяться и углубляться.

3) Показать, как может быть построено систематическое изучение неравенств в 7-м и 10-м классах.

В связи с поставленными задачами работа состоит из трёх глав.

* * *

В главе 1 — «Недостатки в знаниях учащихся по разделу «Неравенства» и их основные причины» — автор прежде всего останавливается на большом значении неравенств для практической деятельности человека, для изучения курса алгебры средней школы и смежных дисциплин, для развития математического мышления учащихся, сообразительности и находчивости.

Приводится конкретный материал, характеризующий знания учащихся, окончивших среднюю школу, по разделу «Hepa-

венства», а также знания неравенств учащихся 7, 8, 9-го классов. Анализ собранного материала показывает, что к числу недостатков в подготовке учащихся по математике, которые продолжают оставаться неизжитыми, относится также и неудовлетворительное знание неравенств. Приведённые недостатки свидетельствуют ещё раз о том, что с преподаванием раздела «Неравенства» в средней школе до настоящего времени неблагополучно.

Выясняются причины слабых знаний учащихся по разделу «Неравенства». С этой целью рассматривается, как освещены вопросы, перечисленные в программе по неравенствам, в современной учебной и методической литературе отдельно по 7-му и 10-му классам (программа по математике 1955 года предусматривает изучение неравенств в 7-м и 10-м классах).

Из анализа содержания материала по неравенствам, имеющегося в современной учебной и методической литературе, сделан вывод, что одной из причин слабых знаний учащихся раздела неравенства является недостаточная разработка неравенств в учебной и методической литературе. Неравенства совсем не освещены в стабильном учебнике по алгебре А. П. Киселева «Алгебра. Часть 1». Этот вопрос программы алгебры 7-го класса не изложен и в новых учебниках по алгебре для семилетней школы П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова «Алгебра. Часть 1», В. Л. Гончарова «Алгебра. Часть 2», которые используются в ряде школ. В стабильном задачнике по алгебре П. А. Ларичева «Сборник задач по алгебре. Часть 1» на неравенства помещено недостаточное количество упражнений для классной и домашней работы.

В методической литературе авторы высказывают самые различные точки зрения по вопросу изучения неравенств в 7-м классе. Нет единой точки зрения на объём материала, подлежащего изучению, характер ряда предложений по решению неравенств в 7-м классе спорный.

Изложение раздела «Неравенства» в стабильном учебнике по алгебре для 10-го класса А. П. Киселева «Алгебра. Часть 2» не удовлетворяет в настоящее время учителей математики средней школы.

В большей части современной учебной и методической литературе:

1) нет чёткого разделения неравенств на арифметические, членами которых служат числа, и алгебраические, членами которых служат функции от одной и той же переменной,

2) не выделено, что свойство неравенств: «Если а—b > о, то а > Ь, если а—b < о, то а < Ь», является определением, .которым пользуются при доказательстве других свойств неравенств,

3) недостаточно упражнений на закрепление свойств числовых неравенств,

4) в 7-м классе предлагается решать неравенства по правилам, по которым решаются уравнения, не рассматривая свойств равносильности неравенств,

5) отсутствуют упражнения на закрепление понятия равносильности двух неравенств,

6) недостаточно упражнений на решение неравенств относительно абсолютных величин,

7) отсутствует графическая иллюстрация решения неравенств и графическое решение неравенств 1-й и 2-й степени с одним неизвестным.

Автор считает, что недостаточная разработка неравенств в учебной и методической литературе является не единственной причиной слабых знаний учащихся по данному разделу. Несмотря на то, что некоторые преподаватели математики очень тщательно разрабатывают тему «Неравенства» седьмого класса и мастерски её преподносят учащимся, учащиеся в следующих классах обнаруживают слабое знание этого вопроса. Это объясняется тем, что учащиеся, получив некоторые знания по неравенствам в течение 5—6 часов в седьмом классе, вскоре их теряют, т. к. после этого времени до 10-го класса учащиеся, как правило, неравенствами не занимаются. В 10-м классе приходится проходить тему «Неравенства» заново, вместо того чтобы систематизировать, углубить, пополнить полученные знания до 10-го класса по этой теме.

Основной причиной слабых знаний учащихся неравенств является то, что в практике массовой школы учащиеся до 10-го класса неравенствами занимаются только в 7-м классе в течение 5—6 уроков. В результате чего в 10-м классе приходится изучать большой раздел «Неравенства» заново. Как показал опыт, учащиеся 10-го класса в течение 10—12 часов не овладевают знаниями раздела «Неравенства», т. к. каждый из перечисленных в программе вопросов по этому разделу требует для своего изучения гораздо большего времени, чем предусмотрено программой.

Автор полагает, что время, отведенное программой на неравенства в 7-м и 10-м классах, рассчитано на систематизацию, обобщение и пополнение уже полученных знаний по неравен-

ствам в предшествующих классах. Однако в объяснительной записке к программе по математике средней школы нет никаких указаний относительно более раннего знакомства учащихся с неравенствами и об использовании их при изучении отдельных разделов математики средней школы.

Автор считает, что для устранения недостатков в знаниях учащихся по разделу «Неравенства» необходимо более раннее знакомство учащихся средней школы с неравенствами и постоянное внимание к неравенствам на протяжении всего курса алгебры средней школы. Неравенства относятся к такому разделу курса алгебры средней школы, который связан со многими другими разделами этой дисциплины. Неравенства тесно соприкасаются с ведущими идеями, положенными в основу алгебры—учебного предмета: идеей развития понятия числа, учения о функциях, об уравнениях. Эти идеи развиваются на протяжении всего курса алгебры средней школы. Связь раздела «Неравенства» с вопросами, которые рассматриваются на протяжении всего курса алгебры средней школы, обусловливает возможность постоянного внимания к неравенствам также на протяжении всего курса алгебры средней школы. Расширение понятия числа, функциональная пропедевтика и пропедевтика решений уравнений начинаются на уроках арифметики, поэтому естественно на уроках арифметики в связи с прохождением программного материала познакомить учащихся и с неравенствами.

В конце первой главы излагаются основные принципы построения работы по изучению неравенств в курсе алгебры средней школы. Автор считает, что при систематическом изучении курса арифметики в 5-м классе, учащиеся должны приобрести прочный навык в употреблении знаков неравенства > и < для записи соотношения «больше», «меньше» между числами, в связи с чем они и получат понятие числового неравенства. Изучение алгебраических неравенств следует проводить параллельно с изучением уравнений. Наряду с решением уравнений на основании определения и свойств арифметических действий следует предлагать решать и неравенства также на основании свойств арифметических действий. При решении большей части неравенств следует использовать выводы об изменении результата действий в связи с изменением компонентов действий; при решении других — использовать знание соотношения результата и компонентов действий умножения и деления дробных чисел, понятие правильной и неправильной дроби. При решении неравенств необходимо добиться

понимания, что решением неравенств является множество чисел. В 5-м классе следует предлагать упражнения с целыми и дробными числами, которые познакомили бы учащихся с содержанием следующих основных свойств числовых неравенств:

1) Если одно число больше (меньше) второго, а второе число больше (меньше) третьего, то первое число больше (меньше) третьего.

2) Если одно число больше второго и к каждому из них прибавить одно и то же число, то первая сумма будет больше второй.

3) Если одно число больше второго и из каждого из них вычтено одно и то же число, то первая разность больше второй разности.

4) Если одно число больше второго и каждое из них умножено (разделено) на одно и то же число, отличное от нуля1, то первое произведение (частное) больше второго произведения (частного).

При формировании понятия неравенства, а также и в дальнейшем, следует придавать большое значение геометрической иллюстрации понятий «больше» и «меньше», а также геометрической иллюстрации решения неравенств. Использование наглядного образа расположения на оси точек поможет учащимся выяснить область чисел, удовлетворяющую данному неравенству, сделает наглядным решение неравенств.

Геометрическая иллюстрация натуральных и дробных чисел с помощью точек числового луча, как подтверждает опыт, вполне возможна в 5-м классе. Знакомство с геометрической иллюстрацией чисел на числовой оси, начиная с пятого класса, дает возможность учащимся проследить, как попутно с последовательными стадиями расширения числа шло постепенное «заселение» числовой оси. Кроме того, геометрическая иллюстрация чисел на числовой оси станет привычной для учащихся, что будет иметь большое значение для усвоения дробных и особенно рациональных чисел.

После того, как учащиеся в 5-м классе овладеют понятием числового неравенства на примерах целых и дробных чисел, им нетрудно будет в 6-м классе понять смысл неравенств, в которых числа обозначены буквами.

Изучение неравенств следует продолжать на протяжении всего курса алгебры средней школы. Некоторые сведения о

1 Учащиеся в 5-м классе изучают только положительные числа.

неравенствах сообщаются учащимся параллельно с изучением отдельных вопросов программы.

В 6-м классе основные свойства числовых неравенств устанавливаются на частных примерах; дается запись свойств на буквах. По мере развития понятия о числе следует проверять, какие известные учащимся свойства неравенств сохраняются, какие нет. Кроме того, количество свойств неравенств, сообщенных учащимся, должно постепенно увеличиваться.

В шестом классе, так же как и в 5-м классе, параллельно с решением простейших уравнений следует решать и простейшие неравенства на основании свойств арифметических действий. До изучения рациональных чисел предлагаем решать неравенства на основании тех же свойств арифметических действий, на основании которых они решали неравенства в 5-м классе.

После того как учащиеся познакомятся с отрицательными числами, овладеют понятиями «больше», «меньше» для рациональных чисел, следует использовать для решения неравенств такие свойства арифметических действий, как:

1) при прибавлении к числу положительного числа—число увеличивается, при прибавлении отрицательного числа—число уменьшается,

2) если вычитаемое число положительное, то разность меньше уменьшаемого, если вычитаемое число отрицательное, то разность больше уменьшаемого,

3) если одно число больше другого, то разность между большим числом и меньшим положительна, разность между меньшим и большим числом отрицательна,

4) если разность положительна, то уменьшаемое больше вычитаемого, если разность отрицательна, то уменьшаемое меньше вычитаемого,

5) произведение двух чисел положительно, если оба сомножителя одного знака, отрицательно, если сомножители противоположного знака,

6) частное двух чисел положительно, если делимое и делитель одного знака, отрицательно, если делимое и делитель имеют противоположные знаки.

Начиная с 6-го класса, следует проводить работу по усвоению учащимися неравенств относительно абсолютных величин чисел. При этом большую помощь может оказать графическая иллюстрация понятий больше и меньше на числовой оси.

В 7-м классе до систематического изучения неравенств предлагаем закрепить навык в решении простейших неравенств

на основании свойств арифметических действий. В теме «Алгебраические дроби» следует большое внимание обратить на решение простейших дробных неравенств на основании свойств разности и частного.

При систематическом изучении неравенств в 7-м классе систематизируются все полученные знания о неравенствах в 5-м и 6-м классах. Изучаются свойства числовых неравенств, предусмотренные программой, с доказательством их. Дается определение понятиям «Неравенство», «Числовое неравенство», «Алгебраическое неравенство». Вводится понятие «Равносильные неравенства». Учащиеся знакомятся на частных примерах с теоремами о равносильности двух неравенств. Получают навык в решении неравенств 1-й степени с одним неизвестным на основании теорем о равносильности двух неравенств и следствий из них. Знакомятся с графическим решением неравенств 1-й степени с одним неизвестным.

После изучения системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными следует на частных примерах познакомить учащихся с решением системы двух неравенств вида:

( X > 2 ( х<3 (х>4

I X > 5 I х<6 I х<9 и др.

С решением системы неравенств учащиеся встретятся в 8-м классе при определении области допустимых значений иррационального выражения, а также при определении области допустимых значений неизвестной в иррациональном уравнении.

В восьмом классе следует познакомить учащихся со свойствами числовых неравенств, членами которых являются степени и корни, познакомить с решением простейших неравенств 2-й степени с одним неизвестным, с графической иллюстрацией решений.

В 9-м классе следует познакомить с решением простейших показательных и логарифмических неравенств. В 10-м классе полученные ранее знания о неравенствах систематизируются, расширяются, углубляются.

В области формирования понятий алгебры большое место принадлежит упражнениям. Так как автор предлагает включать вопрос о неравенствах в другие вопросы программы, начиная с 5-го класса, то существенное значение приобретает характер упражнений на неравенства. Система упражнений на неравенства, связанная с проходимым материалом на уроках арифметики (5-й класс) и уроках алгебры, приводится по темам

каждого класса во 2 и 3 главах. Необходимым элементом упражнений на неравенства является геометрическая иллюстрация чисел сначала на числовом луче, а затем на числовой оси.

* * *

Учитель средней школы при рассмотрении какого-либо вопроса программы то математике в школе должен иметь в виду теоретический материал, касающийся этого вопроса, поэтому автор в начале второй главы «Неравенства в курсе семилетней школы» напоминает, как рассматривается вопрос о неравенствах в теориях натуральных, дробных и рациональных чисел, в начале третьей главы «Неравенства в курсе алгебры 8—10-го классов» — в теории действительных чисел.

* * *

Во второй главе на конкретном материале показывается, как в связи с программным материалом может проходить изучение неравенств в 5-м классе на уроках арифметики и в 6—7-м классах на уроках алгебры, как можно в 7-м классе на уроках, специально отведенных теме «Неравенства», систематизировать, обобщить и расширить имеющиеся у учащихся знания по неравенствам. При этом большое внимание уделено системе упражнений. При составлении системы упражнений на неравенства в 5—7-м классах постоянно имелось в виду, что упражнения должны быть доступны для учащихся, иметь связь с изучаемым материалом и быть разнообразными по своему содержанию.

Опыт показал, что в результате изучения неравенств в 5, 6, 7-м классах по предлагаемой системе учащиеся могут прочно овладеть понятиями больше, меньше для дробных и рациональных чисел; получить прочный навык в употреблении знаков неравенств для записи числовых и алгебраических неравенств; получить навык в решении неравенств на основании свойств арифметических действий, а затем и на основании теорем о равносильности двух неравенств; познакомиться с некоторыми свойствами числовых неравенств, с доказательством их; познакомиться с некоторыми приемами доказательства неравенств, с решением простейших систем неравенств, с графическим решением неравенств.

Опыт показал, что предлагаемое изучение неравенств оказывает положительное влияние на усвоение отдельных тем арифметики и алгебры. Так, например, учащиеся пятого класса более сознательно и прочно усваивают такие трудные для

них вопросы, как изменение результата действий в связи с изменением компонентов действий, нахождение части числа и всего числа по данной величине его дроби; учащиеся шестого класса более сознательно усваивают тему «Буквенные выражения», т. к. упражнения на неравенства «заставляют учащихся глубже почувствовать, осознать «числовую сущность» каждой буквы», более сознательно выполняют действия над рациональными числами; упражнения на неравенства, связанные с абсолютной величиной, помогают овладеть трудным для учащихся шестого класса понятием «абсолютная величина числа»; учащиеся седьмого класса лучше усваивают тему «Алгебраические дроби», овладевают чтением графиков у=ах, у=ах+Ь; исследуя полученный ответ при решении задач с буквенными данными, не затрудняются в решении неравенств.

* * *

В третьей главе показано, что знания о неравенствах, полученные в семилетней школе, учащимся постоянно приходится применять при изучении программного материала 8—9-х классов. Особенно в таких вопросах, как «Иррациональные числа», «Решение иррациональных уравнений», «Предел последовательностей». Кроме того, показано, как «можно на уроках алгебры 8—9-го классов, в связи с прохождением программного материала, знания учащихся о неравенствах, полученные в семилетней школе, расширить; как может быть построено систематическое изучение неравенств в 10-м классе. В связи с тем, что программа по алгебре 8—10-х классов большое внимание уделяет изучению функций и их графической иллюстрации, в системе упражнений на неравенства 8—10-х классов большее место, по сравнению с системой упражнений на неравенства в семилетней школе, занимают упражнения на графическое решение неравенств.

* * *

Опыт работы в школе подтвердил основные положения диссертации. При более раннем знакомстве учащихся средней школы с неравенствами и при постоянном внимании к неравенствам на протяжении всего курса алгебры средней школы учащиеся, кончающие семь классов, получат основные сведения о неравенствах. Знание основных сведений о неравенствах имеет большое значение для общего математического развития, кроме того, знание неравенств важно для дальнейшей практической работы учащихся, идущих на производство,

а также для тех учащихся, которые будут продолжать свое обучение в школе.

Изучение неравенств на протяжении 5—7-х классов дает возможность уже в 6-м классе включать элементы исследования, а в седьмом классе проводить исследование решения уравнений и задач с параметрическими данными. Исследование способствует сознательному усвоению разделов курса алгебры, математическому развитию учащихся и значительно повышает их математическую культуру.

Знакомство со свойствами числовых неравенств в 5—7-х классах способствует сознательному усвоению алгебраического материала, а также материала геометрии и тригонометрии, опирающегося на свойства неравенств.

При постоянном внимании к неравенствам в курсе алгебры средней школы учащиеся будут подготовлены к усвоению тем: «Иррациональные числа», «Предел последовательности». В 10-м классе изучение неравенств будет действительно углублением и обобщением пройденного о неравенствах в предшествующих классах.

В свою очередь изучение неравенств в связи с прохождением программного материала будет способствовать более глубокому и сознательному усвоению соответствующих разделов.

При написании диссертации широко был использован личный опыт работы в школе с 1942—1954 гг. и опыт работы многих преподавателей школ города Ленинграда и Ленинградской области. В течение 1952—1954 гг. проводилась опытная проверка материала диссертации при непрерывной работе в школе. Экспериментальная работа сыграла большую роль в структуре работы. Изложение работы носит характер обобщенных выводов, полученных в результате личного опыта автора и опыта учителей математики ряда школ города Ленинграда и Ленинградской области.