АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

О. А. БОКОВНЕВ

СИСТЕМА ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА СПЕЦИАЛЬНОМ ФАКУЛЬТАТИВНОМ КУРСЕ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

(№ 731 —методика математики)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1969 г.

Работа выполнена в НИИ общего и политехнического образования Академии педагогических наук СССР.

Научный руководитель — член-корреспондент Академии педагогических наук СССР, профессор В. Г. Болтянский.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор И. М. Яглом.

2. Кандидат педагогических наук В. Е. Гмурман.

Ведущее учреждение: Смоленский Государственный педагогический институт.

Автореферат разослан « » 1969 г.

Защита диссертации состоится « » 1969 г.

на заседании Совета НИИ общего и политехнического образования Академии педагогических наук СССР.

Отзыв направить по адресу: Москва, К-62, ул. Макаренко, д. 5/16, НИИ общего и политехнического образования, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь совета.

Современный этап развития математики характеризуется расширением содержания предмета математики. В математике, наряду с усложнением ее структуры и усилением требований математической строгости, происходит значительное расширение области приложений. Математическое моделирование проникает в такие отрасли знаний, которые по традиции считались далекими от математики. К ним относятся биология, психология, медицина, педагогика и многие другие.

В связи с этим в методической науке приобретают особый интерес вопросы более полного отражения в школьном курсе математики основных идей современной математики и ее приложений.

Раскрытие содержания математики в ее приложениях для средней школы имеет и другое значение, связанное с профессиональной ориентацией учащихся. В самом деле, математика теперь нужна не только инженерам, физикам, астрономам. Ее должны знать и будущие биологи, медики, языковеды, социологи, экономисты, педагоги.

В новой программе средней школы по математике осуществляется один из основных общеобразовательных принципов — принцип выявления в школьном курсе ведущих идей, отражающих состояние и основные тенденции развития математической науки. В школьном курсе математики сняты искусственные разграничения арифметики и алгебры, осуществлен последовательный переход к изучению материала, значительное место отведено вопросам, способствующим овладению понятиями и методами, имеющими наибольшее значение в естествознании и технике (векторы, метод координат, производная, интеграл и т. д.).

Содержание новой программы уже сейчас позволяет, помимо формирования твердых навыков логико-математического и вычислительно-алгоритмического характера, формировать у учащихся навыки составления и использования логико-математических моделей. Материалом формирования таких моделей могут служить, например, задачи оптимального математического программирования и, в частности, задачи линейного программирования.

Решение этих вопросов в современных методических исследованиях носит случайный односторонний характер. Внимание концентрируется лишь на механизме решения задач. Основные

теоретические положения в методическом отношении не обосновываются. В частности, не рассматриваются вопросы теории векторных пространств как математического аппарата линейного программирования.

В методической науке не сложились принципы построения факультативных курсов по математике, хотя в этом уже возникла практическая потребность. Поэтому возникает задача выявления основных принципов построения специальных факультативных курсов по математике. В диссертации это сделано на примере темы «Векторные пространства и линейное программирование».

В основу проведенного исследования была моложена следующая гипотеза: использование математических знаний в приложениях современной математики активизирует мышление, формирует у школьников умение самостоятельно и творчески применять полученные знания, позволяет шире и полнее знакомить учащихся с основными понятиями математики, воспитывает интерес к математике, играет существенную роль в профессиональной ориентации учащихся.

Проблема диссертации состояла в изучении общеобразовательного содержания теории векторных пространств, линейного программирования и разработке факультативного курса, раскрывающего приложение математики в задачах экономического содержания.

В процессе исследования общей проблемы предусматривалось решение следующих частных задач:

1) выявление особенностей системы построения специальных факультативных курсов по математике в средней школе;

2) определение содержания теории векторных пространств и линейного программирования, доступного учащимся старших классов, проявляющим повышенный интерес к математике;

3) выделение общеобразовательного математического содержания симплексного и распределительного методов линейного программирования;

4) определение системы формирования вычислительных алгоритмов методов линейного программирования;

5) выявление связи между понятиями геометрии и обобщающим понятием векторного пространства;

6) выяснение роли обобщения в процессе формирования некоторых понятий многомерной геометрии.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Глава 1. Принципы и методика изложения свойств векторных пространств и линейного программирования в старших классах средней школы.

Глава 2. Система изложения в старших классах средней школы векторных пространств и линейного программирования.

Глава 3. Организация и итоги эксперимента.

При работе над диссертацией изучалась научная, учебная и методическая литература, проводился поисковый эксперимент и разрабатывались учебные материалы, велась экспериментальная проверка основных положений диссертации.

Теоретическое и экспериментальное исследование по теме диссертации осуществлялось в соответствии с планом научно-исследовательской работы сектора обучения математике НИИ ОПО АПН СССР.

Принципы, определяющие содержание факультативного курса и методику его изложения

Разработка содержания курса «Векторные (пространства и линейное программирование» выявила следующие принципы, которые положены в основу отбора содержания факультативного курса и методики его изучения.

1) Понятие вектора широко используется в математике и ее приложениях. Векторный аппарат оказался эффективным не только в содержательном, но и методическом отношении. Новые программы учитывают большую общеобразовательную значимость понятия вектора. Это нашло отражение в рекомендациях— использовать векторные представления в физике и геометрии. Понятие вектора вводится в VII классе и широко употребляется в курсе физики VIII класса. Использование понятия вектора в IX классе позволяет дать более простое и законченное изложение курса стереометрии.

Однако эти рекомендации не исчерпывают возможности развития векторных представлений в средней школе. Понятие вектора может лежать в основе формирования важнейших понятий математики (числа, расстояния, фигуры) уже в начальной школе.

Широкие возможности по использованию векторного аппарата в школе открываются при изучении в школьном курсе различных приложений математики. Особенно хорошие условия появляются в связи с изучением таких приложений на факультативных занятиях. Здесь создаются благоприятные возможности расширить идейное содержание школьного курса математики, готовить и применять математический аппарат для решения практических задач.

Таким образом, учитывая большое общеобразовательное значение вектора, изучение векторного аппарата не следует ограничивать только курсом физики и геометрии.

Это приводит к необходимости расширить понятие вектора до n-мерного, рассмотреть решение систем линейных уравнений с выделением базисного решения системы, рассмотреть многомерные аналоги прямой и плоскости и, в частности, гиперплоскости.

Решение поставленных задач нашло отражение в методиче-

ской системе факультативного курса. В нем значительное внимание уделяется изучению групповых свойств и свойств линейности совокупности всех векторов плоскости и пространства, рассматривается метод Гаусса решения систем линейных уравнений, устанавливается связь между операциями над векторами и понятиями прямой и плоскости.

2) Изучение общеобразовательного содержания векторных пространств и линейного программирования выявило целесообразность введения в факультативный курс обобщений и геометрических аналогий. С учетом этого принципа строится следующая математическая и методическая система: а) двумерное векторное 'Пространство, б) трехмерное векторное пространство, в) n-мерное векторное пространство, г) математическое содержание методов линейного программирования.

Вместе с тем использование обобщений и геометрических аналогий способствует формированию понятий многомерной геометрии и вырабатывает у школьников многомерные геометрические представления.

В курсе геометрические аналогии используются при формировании линейных образов n-мерного пространства (прямой, плоскости, гиперплоскости), при формировании понятий выпуклого многогранного множества и, в частности, многогранника n-мерного пространства. Обобщения находят применение при формировании понятия n-мерного векторного пространства, решении систем линейных уравнений, выявлении свойств линейной формы, заданной на выпуклом многограннике.

3) Содержание теории n-мерного векторного пространства при п = 2 и п = 3 определяется геометрическими свойствами понятия вектора. Известно, что понятие вектора относится к геометрии группы параллельных переносов, а векторная алгебра является отделом этой геометрии. При решении задач с применением векторов это может явиться источником дополнительных трудностей.

В самом деле, при решении задач, условие, как правило, рассматривается в геометрии группы движений D (евклидовой геометрии), затем проводится некоторое рассуждение в геометрии группы параллельных переносов П и, наконец, полученный результат снова истолковывается в геометрии группы D. Здесь мы имеем следующую схему решения задачи: D—

В геометрии группы параллельных переносов (геометрия группы П), из «равенства» противоположных сторон четырехугольника ABCD следует, что «равны» и стороны AD и ВС и, что диагонали АС и BD четырехугольника в точке пересечения делятся пополам. В то же время в евклидовой геометрии соответствующая формулировка будет такова: если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то четырехугольник является параллелограммом.

При доказательстве этого последнего утверждения может быть использована схема D-^F1->D. В самом деле, из AB||CD и AB = CD следует AB = DC (равенство в геометрии группы П), тогда AB + CD = 0, но АВ+ BC + CD + DA = 0, следовательно BC-bDA = 0 или BC = AD (все эти утверждения проведены в геометрии группы П). Но тогда BC||AD, следовательно четырехугольник есть параллелограмм (утверждение в геометрии группы D).

4) Содержание факультативного курса определяется соотношением теоретического материала и материала, составляющего его прикладную часть. В курсе теоретический материал играет не только образовательную роль, но является основой для понимания всех вопросов приложения.

В результате такого построения курса стало возможным изучить вопросы многомерной геометрии, теории систем линейных уравнений, теории выпуклых многогранных множеств, математические основы методов линейного программирования.

При изучении векторных пространств ученикам раскрываются вопросы приложений математики. Учащиеся приобретают навыки составления простейших логико-математических моделей. Материалом формирования таких моделей служат задачи линейного программирования.

Строя математическую модель, учащиеся конструируют некоторую математическую структуру из отдельных логически не зависимых положений теории и находят ей изоморфную структуру в экономической постановке задачи. Здесь они видят конкретное применение математики в ее современном и актуальном приложении — математической экономике. Это способствует активизации мыслительной деятельности учащихся и развивает их самостоятельность.

Решение прикладной задачи связано с применением вопросов теории, а в решенной задаче теория приобретает конкретный смысл. Например, теория указывает, что линейная форма не может принимать наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке многогранника. В простейшей задаче линейного программирования решение связано с выделением и перебором вершин многогранника. Здесь ученики имеют возможность видеть конкретный смысл совсем не простой теоремы.

5) Материал факультативного курса дополняет и расширяет основной школьный курс математики. Это определяет взаимосвязь курсов по: а) уровню изложения, б) отбираемому материалу, в) основным методическим приемам изучения.

Уровень изложения содержания факультативного курса регулируется уровнем изложения основных разделов математических дисциплин школьного курса. Это достигается тем, что отбираемый материал факультативного курса проходит соответствующую дидактическую обработку. Кроме того, некоторые раз-

делы курса расширяют или обобщают соответствующие разделы школьной математики. Сказанное относится, например, к теме «Решение систем линейных уравнений». Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными путем исключения неизвестных обобщается в методе исключения неизвестных (метод Гаусса) для системы с числом неизвестных больше двух, в методе полного исключения неизвестных и, наконец, в симплексном методе решения задач линейного программирования.

Изучение материала факультативного курса позволяет получить более глубокие знания основного школьного курса математики. Тем самым реализуется основная дидактическая цель факультативных занятий, — систематизация математических знаний школьника.

6) Для изучения элементов теории векторных пространств выявилась необходимость разработки дидактических задач.

Дидактическая система упражнений использовалась для формирования основных свойств векторов плоскости и трехмерного пространства. С ее помощью вырабатывались необходимые навыки решения простейших систем линейных уравнений и систем линейных неравенств.

Система упражнений строилась так, чтобы использовались основные положения теории. Например, утверждение, что любой вектор m плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и Ь, дает единообразный метод решения большого числа геометрических задач.

7) Система упражнений факультативного курса рассматривается как фактор подготовки учащихся к необходимой степени обобщения. Это относится как к теоретической, так и к прикладной части курса.

В диссертации предложена следующая система формирования математической модели задачи составления плана. В начале рассматривается экономическая формулировка задачи и составляется ее математическая модель. Если указанная модель есть частный случай задачи составления плана в двумерном пространстве, то, используя необходимые обобщения, переходят к математической модели задачи в том же пространстве в общем случае, а затем и для n-мерного пространства.

Система изучения векторных пространств, линейного программирования и их приложение к решению задач практического содержания

1. В современной математике векторное пространство определяется как математическая структура

£= (V, a+b, ка), где a, be=V, ke=R.

Однако для факультативного курса принята несколько иная система изучения векторных пространств. Эта система включает: двумерное векторное пространство, трехмерное векторное пространство, n-мерное векторное пространство.

Двумерное векторное пространство V2 рассматривается как модель n-мерного векторного пространства при п = 2. Векторы этой модели есть классы эквивалентных ориентированных отрезков обычного пространства. В силу того, что каждый вектор а полностью определяется одним представителем AB данного класса, все операции над векторами определяются для его представителей — направленных отрезков.

Такая система введения вектора требует установления однозначности вводимых операций. Например, однозначность операции сложения векторов устанавливается следующим образом. Отложим от точки О' вектор 0'М' = а, а от полученной точки М' вектор M'N' = b. Так как 0'М' = ОМ, то 00' = ММ'. Аналогично из равенства M'N' = MN следует, что MM'=NN'. Таким образом, OO^MM^NN'. Из равенства 00' = NN' следует, что O'N^ON. Независимость суммы а + Ь от выбора точки О установлена.

Для рассматриваемой совокупности векторов устанавливаются следующие свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число:

1) Множество векторов относительно сложения является абелевой группой.

2) Для любой пары а и ß действительных чисел и любого вектора а:

(aß)a = a(ßa), (a + ß)a = aa+ßa.

3) Для любого вектора а, 1 • а=а.

4) Для любого действительного числа а и любой пары векторов а и Ь:

a(a + b) =aa-f ab.

Следующая теорема указывает на основное свойство векторов V2. Любой вектор с плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов а и Ь: c = aa+ßb. Говорят, что вектор с разложен по векторам а и Ь.

Разложение вектора с по двум неколлинеарным векторам

единственно. В самом деле, пусть вектор с иным образом представлен в виде линейной комбинации неколлинеарных векторов а и b:c = a'a + ß'b. Так как c = aa+ßb, то (а — а/)а= (ß' — ß)b. Но векторы а и b неколлинеарны, значит последнее равенство возможно лишь при а — а' = 0, ß — ß' = 0, т. е. а = а', ß'=ß.

В силу основной теоремы можно записать с = хе! + уе2. Пару неколлинеарных векторов еь е2 называют базисом. В базисе еь е2 коэффициенты разложения х, у называются координатами вектора с. Это обозначается как с= (х, у).

Координаты вектора обладают следующим свойством: вектор с однозначно определяет свои координаты х и у, а числа X и у однозначно определяют вектор с, координатами которого они являются.

Аналогично V2 рассматривается трехмерное векторное пространство V3. В V3 сохраняется определение вектора и свойства 1)—4) из V2. Дополнительно вводится понятие линейной зависимости векторов. Векторы аь а2, а3,ап называются линейно зависимыми, если существуют такие числа, ai, a2,an, по крайней мере одно из которых отлично от нуля, что aia! + a2a2+ ... +anan = o.

Устанавливается, что три вектора а, b и с компланарны в том и только в том случае, если они линейно зависимые.

Следующее утверждение указывает на основное свойство совокупности векторов V3. Любой вектор m пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации трех базисных векторов еь е2, е3 этого пространства. Для совокупности V3 справедливо также, что любые четыре вектора линейно зависимы. Обозначим данные четыре вектора через еь е2, е3, т. Если три вектора еь е2, е3 компланарны, то aiei + + a2e2 + a3e3 = o, где какое-нибудь из ai, a2, a3 отлично от нуля. Следовательно, полагая а4 = 0, мы получим линейную зависимость aiei + a2e2 + a3e3-f a4m = o, т. е. векторы еь е2, е3, m линейно зависимые.

Пусть теперь векторы еь е2, е3 не компланарны, т. е. линейно независимы. Тогда в силу теоремы о разложении вектора имеем m = aiei + a2e2 + a3e3 или (—1 ) m + aiei + a2e2 + a3e3 = о. Следовательно, векторы еь e2, e3, m и в этом случае линейно зависимы.

Таким образом, в V3 существуют три линейно независимых вектора, а четыре вектора всегда линейно зависимы. Аналогично и для V2, но здесь существует только два линейно независимых вектора, а любые три линейно зависимы. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов определяет размерность: плоскость двумерна, а пространство трехмерно.

2. Множество векторов V3 обладает тем свойством, что любая линейная комбинация векторов, принадлежащих этому множеству, также принадлежит ему. Однако среди множества векторов V3 можно указать и другие совокупности векторов, для

которых любая линейная комбинация векторов данной совокупности есть вектор, принадлежащий этой же совокупности.

Непустое множество я векторов пространства V3 называется подпространством (пространства V3), если оно вместе с любым вектором содержит также все, коллинеарные ему, а вместе с любыми двумя векторами — их сумму. Любое подпространство содержит нулевой вектор. В самом деле, наряду с вектором а подпространство содержит и вектор Оа = о.

Совокупность всех векторов, коллинеарных данному вектору а, является подпространством. Множество п\ называется одномерным подпространством, порожденным вектором а. Аналогично, совокупность Л2 векторов aa+ßb, являющихся линейными комбинациями двух данных неколлинеарных векторов а и Ь, есть подпространство. Множество яг называется двумерным подпространством.

3. Если условиться рассматривать только векторы, откладываемые от начала координат, то одномерное подпространство есть прямая, проходящая через начало координат, а двумерное подпространство есть плоскость, проходящая через начало координат.

Пусть А и В — два множества векторов в пространстве. Тогда множество M векторов, которые могут быть представлены в виде суммы а0 + Ь, где а0еА, bŒB, мы будем называть суммой множеств А и В и обозначать А + В. В частности, одно из данных множеств, например А, может состоять только из одного вектора а0. В таком случае мы говорим о сумме вектора а0 и множества В.

Сумма вектора а0 и одномерного подпространства п\ называется прямой. Таким образом, прямая по определению есть совокупность всех векторов (или точек), которые могут быть представлены в виде а0 + А,е, где а0 данный вектор, а е — какой-нибудь вектор, принадлежащий данному одномерному подпространству.

Аналогично, плоскостью называется сумма вектора ао и двумерного подпространства яг, ao + aia! + a2a2, Где а0 — данный вектор, ai и а2 — два неколлинеарных вектора, принадлежащие двумерному подпространству 712.

4. Рассмотрим некоторое множество V (элементы этого множества будем называть векторами), удовлетворяющее следующим группам аксиом.

I. Групповые свойства.

Для каждых двух векторов a, b (т. е. для каждых 2-х элементов множества V) определен вектор а + Ь, называемый их суммой. Эта операция сложения обладает следующими тремя свойствами:

1) (а+Ь)+с = а+(Ь + с) для любых трех векторов а, Ь, с.

2) а+Ь=Ь+а для любых двух векторов а и Ь.

3) Для любых векторов a, b уравнение а+х=Ь имеет решение.

2. Свойства линейности.

Для каждого вектора а и каждого действительного числа к определен вектор Яа, называемый произведением вектора а на число к. Эта операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

4) 1 • а = а для любого а.

5) (k + \x)a = ka.+ \ia.

6) x(a+b)=Àa+Àb.

7) k(\xb) = (k\i)b.

Здесь а и b — произвольные векторы, а к, jli — действителы ные числа.

Всякое множество V, удовлетворяющее аксиомам 1—7, называется векторным пространством.

3. Свойство размерности.

8) Существует (в множестве V) п-линейно независимых векторов.

9) Всякие п + 1 векторов из V линейно зависимы.

Всякое множество V, удовлетворяющее аксиомам 1—8 называется n-мерным векторным пространством. Примером множества, удовлетворяющего аксиомам 1—8 может служить «арифметическая» модель. В этой модели векторами служат наборы хь х2,хп, состоящие из п действительный чисел. Сложение двух векторов а=(хь х2, ...,хп) и Ь=(уь у2, ...,уп) определяется следующим образом:

a + b=(xi + yi, Х2 + У2, ...,Хп + Уп).

Произведение вектора а=(хь х2,...,хп) на число к определяется так

Àa= (кхи кх2у ...Дхп).

Аксиомам n-мерного векторного пространства при п = 3 удовлетворяют векторы — классы эквивалентных ориентированных отрезков. Поэтому трехмерное векторное пространство обладает моделью. Другую геометрическую модель трехмерного векторного пространства составляют ориентированные отрезки обычного пространства с общим началом.

В n-мерном векторном пространстве Vn совокупность линейно независимых векторов называется базисом этого пространства. Следующее утверждение обобщает уже известные в V2 и V3 факты. Если еь е2, ...,еп базис n-мерного векторного пространства, то любой вектор р из этого пространства единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации p = Xiei + x2e2+ ... +xnen базисных векторов еь е2, ...,еп.

Коэффициенты хь х2, ...,хп линейной комбинации p = xiei-f

+ х2е2+ ... +xnen называются координатами вектора р в базисе еь е2,еп.

5. Пусть M—любая точка плоскости. Ей однозначно отвечает вектор ОМ, где О — начало координат. Вектор ОМ имеет координаты хь х2, что следует из OM = xiei + x2e2, но теми же координатами обладает точка М. Также будет и в трехмерном пространстве. Поэтому обычно не различают векторы и точки.

Сохраняя эту традицию и для n-мерного пространства, будем векторы называть также «точками». Пусть N и M — две точки (т. е. два вектора), то будем вектор N — M обозначать через MN и называть его вектором, идущим из M в N. Если координаты точки М— (хь х2,хп), а координаты точки N— (уь У*-. ..-.УпЬ то такие же координаты имеют и векторы ОМ и ON. Но так как ON = OM + MN, то yi = Xi + Zi. Таким образом, координаты вектора MN есть Zi = y* — хг-.

6. Приложением многомерных геометрических представлений в экономике является оптимальное математическое программирование и, в частности, линейное программирование. Задача линейного программирования есть задача нахождения такого решения системы линейных неравенств, при котором рассматриваемая линейная форма принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Линейное программирование особенно большое значение имеет в технико-экономических расчетах, так как позволяет здесь использовать электронно вычислительные машины.

Система изучения линейного программирования в средней школе, разработанная в диссертации, включает общеобразовательные основы теории систем линейных уравнений и неравенств, выпуклых множеств и математическое содержание методов линейного программирования.

В диссертации используется общепринятая классификация экономических задач: а) составление плана, б) составление смеси, в) транспортная задача. Для решения этих задач рассматривается универсальный метод решения — симплексный метод и один из специальных методов — распределительный метод для решения транспортной задачи.

Теоретической основой методов линейного программирования в факультативном курсе является теорема об экстремуме линейной формы на выпуклом многограннике. При этом выявляется четкая геометрическая интерпретация задачи линейного программирования, связанная с перебором вершин многогранника. Каждой вершине многогранника можно поставить в соответствие некоторое базисное решение системы линейных уравнений.

Решение задачи симплексным методом состоит в том, чтобы на множестве базисных решений системы линейных уравнений при Xj^O найти наименьшее значение линейной формы f = = CiXi + c2x2+ ... +cnxn. Практически симплексный метод исполь-

зовался в задачах с известным исходным базисным решением. Следующие этапы решения связаны с выделением вектора, исключаемого из базиса и нахождением вектора, вводимого в базис. После этого система преобразуется по методу полного исключения неизвестных.

Алгоритм симплексного метода выделяется в связи с формальным решением задачи с применением симплексных таблиц.

В качестве специального метода решения транспортной задачи в диссертации рассматривается распределительный метод. Этот метод дает возможность получить решение практической задачи небольшого объема ручным способом, который и применяется в практике работы небольших предприятий. Для нахождения первого базисного решения использовалось правило северо-западного угла.

Экспериментальная проверка основных положений диссертации проводилась автором в течение 1964—1969 гг. (школы №№ 315, 710, 715 г. Москвы) и учителями Т. С. Смирновой (школа № 157 г. Ленинграда), В. И. Колобовым (школа № 15 г. Электростали).

В ходе эксперимента необходимо было выяснить: а) удовлетворяет ли разработанная система изложения материала требованиям доступности и тому научному уровню, который предлагается в диссертации; б) влияет ли изучение факультативного курса на общематематическую подготовку учащихся.

Эксперимент проводился в три этапа.

На первом этапе осуществлялся поисковый эксперимент, в процессе которого отбирался необходимый материал, определялась структура и объем учебных материалов.

В ходе поискового эксперимента было установлено, что содержание материала в основном является доступным учащимся. Вместе с тем выяснилось, что при изучении выпуклого множества точек плоскости, подпространства векторного пространства, распределительного метода решения задач линейного программирования учащиеся встречали затруднения. Это привело к необходимости изменения структуры содержания всего курса и отдельных его тем.

На втором этапе эксперимента уточнялось содержание учебных материалов и совершенствовалась структура программы курса в целом. Была выработана окончательная структура факультативного курса: а) двумерное пространство; б) трехмерное пространство; в) системы линейных уравнений; г) n-мерное векторное пространство; д) математическое содержание методов линейного программирования.

Результаты контрольных работ показали, что учащиеся сознательно усваивают предлагаемый им материал. Было отмечено значительное повышение математической культуры учащихся, что положительно сказывалось на усвоении общего курса ма-

тематики. Например, в курсе геометрии при решении задач учащиеся по собственной инициативе использовали векторный подход. При изучении тригонометрических функций (вывод-формул приведения и теорем сложения) использовалось свойство единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам. В исследовании систем линейных уравнений помимо традиционного метода применялся и векторный подход.

Заметно изменилось и общее математическое развитие учащихся. Так например, все без исключения учащиеся могли объяснить решение симплексным методом следующей задачи: «Составить план, обеспечивающий наивысшую рентабельность мастерской, изготовляющей столы и шкафы при известном расходе на каждую единицу изделия двух видов древесины. Известны стоимость каждого вида изделий и общие запасы имеющейся в мастерской древесины».

Проверочный эксперимент по учебным материалам составил содержание третьего этапа эксперимента, цель которого состояла в уточнении полученных выводов и оформлении программы специального факультативного курса «Векторные пространства и линейное программирование».

* * *

Проведенное по теме диссертации исследование и итоги экспериментальной работы позволяют сделать следующие выводы:

1) Построенная на основе сформулированных принципов система изучения векторных пространств и линейного программирования является доступной для учащихся старших классов средней школы, развивает интерес к математике, позволяет выработать у учащихся глубокие и прочные знания, содействует их математическому развитию.

2) Факультативный курс «Векторные пространства и линейное программирование» раскрывает существенные стороны связи обучения математике с жизнью, и тем самым готовит учащихся к практической деятельности на производстве.

Изучение вопросов линейного программирования раскрывает приложения математики в математической экономике. Соединение в едином курсе общеобразовательных вопросов современной математики и специальных приложений математики, решает основную педагогическую задачу использования теоретических сведений для решения практических задач в экономике и других приложениях.

3) Овладение понятием векторного пространства способствует развитию многомерных геометрических представлений, необходимых для понимания приложений в алгебре, геометрии, анализе.

Понятие векторного пространства развивает современную

концепцию построения евклидовой геометрии, аффинной геометрии, проективной геометрии.

4) Изучением векторных пространств закладывается основа формирования дедуктивного подхода в математике. Знакомство учащихся с дедуктивными системами показывает логику строения математической науки и ее идейную целостность.

В разработанном курсе аксиомы векторного пространства показывают роль аксиоматического метода как инструмента конкретного математического исследования.

5) Система изучения векторных пространств и линейного программирования создает условия для возможности успешного продолжения образования в высшей школе.

* * *

Основные положения диссертации содержатся в следующих опубликованных работах автора:

1. «Векторные пространства и решение задач линейного программирования». Факультативный курс для IX класса, Выпуск I, Знание, М., 1967 г.

2. «Векторные пространства и решение задач линейного программирования». Учебные материалы по факультативному курсу для IX класса. Выпуск 2, Знание, М., 1967 г.

3. «Векторы на плоскости и в пространстве». В сб.: «Линейная алгебра и геометрия», Просвещение, М., 1967 г. (совместно с В. Г. Ашкинузе).

4. «Факультативные занятия по математике». Журнал «Советская педагогика» № 4, 1967 г. (совместно с В. М. Монаховым).

5. «Система построения специальных факультативных курсов по математике на примере курса «Векторные пространства и линейное программирование» (Тезисы докладов на Всесоюзном научном совещании по опыту углубленного изучения отдельных предметов по выбору учащихся). Факультативные занятия, специальные классы и школы. Секция математики, М., 1968 г. (совместно с В. М. Монаховым).

Л 80011 от 20/VIII—69 г. Зак. 4504 Тир. 200

Московская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Хохловский пер., 7.