АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

На правах рукописи

Ф. Г. БОДАНСКИЙ

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ПСИХОЛОГИЯ № 731

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Москва—1968

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте психологии АПН СССР

Научный руководитель—кандидат педагогических наук (по психологии), старший научный сотрудник Давыдов В. В.

Официальные оппоненты:

Доктор педагогических наук (по психологии), профессор Шеварев П. А.

Кандидат педагогических наук (по психологии) Сохина В. П.

Ведущее научно исследовательское учреждение—Институт психологии УССР.

Автореферат разослан « 4% . . 7~«* . . 1968 г.

Защита состоится « » . . И. ^"4^.^f^r. . . . 1968 г.

на заседании совета Научно-исследовательского института психологии Академии педагогических наук СССР, Москва, К-9, проспект Маркса, 20, корпус «В».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке.

Ученый секретарь совета.

ЗАДАЧИ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Традиционная система начального обучения ориентируется на такие особенности мышления младших школьников как его конкретность и наглядность. Содержание и методика обучения арифметике в I—IV классах, в частности, прививаемые детям арифметические приемы решения текстовых задач во многом обусловлены именно этими особенностями детского мышления.

Однако в настоящее время в связи с существенным повышением общих требований к школьному образованию по-иному встают те вопросы, которые, казалось бы, окончательно решены в традиционной психологии и дидактике применительно к обучению математике. Так, теперь стала почти общепризнанной целесообразность ликвидации разрыва между школьной арифметикой и школьной алгеброй. Это предполагает ту или иную степень алгебраизации начальной математики, введение элементов алгебры в курсы тех классов, где испокон веков изучались лишь конкретные приемы арифметических вычислений. Практическая реализация этой установки требует существенного пересмотра многих традиционных воззрений относительно мышления младших школьников. Известно, что принятое деление курса математики на арифметику и алгебру получало, в частности, обоснование в психологии. Согласно П. П. Блонскому, например, составление уравнений есть «максимум» мышления школьников-подростков, который, естественно, недоступен младшим школьникам.

В литературе все чаще рассматривается связь умственной деятельности учащихся с исторически складывающимися программами и методами преподавания (Л. В. Занков, Д. Б. Эльконин, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и др.). Все более утверждается мнение, что «ход формирования понятий в современном школьном обучении... нельзя рассматривать как нормативы психического развития и естественные границы обучения» (П. Я. Гальперин). Анализ этого вопроса, от правильного решения которого зависит и определение нового «максимума» развития мышления младших школьников, подводит нас к ряду более широких и сложных проблем, касающихся природы связи обучения и умственного раз-

вйтия. В этих проблемах наметились две основные позиции. Согласно первой из них (Э. Мейман, Ж. Пиаже и др.), умственное развитие, по сути дела, не зависит от обучения. Возраст ребенка определяет возможности возникновения у него новых форм мышления, и обучение ребенка должно опираться на эти предпосылки, следовать за ними. С этой точки зрения возможности изменять содержание обучения ограничены уже установившимися и выявленными особенностями мышления детей данного возраста. Другая позиция состоит в признании существенного и решающего значения обучения для темпов и уровня умственного развития (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, Л. В. Занков, Д. Б. Эльконин и др.). В этом случае возрастные возможности усвоения знаний оказываются не столь ограниченными, как это представлялось в традиционной психологии и дидактике. Они не абсолютны.

В ряде экспериментальных исследований показано, что при определенной организации обучения детям соответствующего (например, младшего школьного) возраста становятся доступными такие знания, усвоение которых обычно относят к более поздним этапам умственного развития. Конечно, необходимо различать непосредственный прямой эффект обучения (приобретение знаний, умений) и эффект общий, опосредствованный, сдвиги в умственных способностях (С. Л. Рубинштейн, Г. С. Костюк, Н. А. Менчинская и др.). Однако обучение и развитие нельзя противопоставить настолько, чтобы одно из них получало самодовлеющее значение.

В настоящее время показано, что уже учащиется I—II классов могут полноценно усвоить описание значения величин и чисел посредством буквенной символики (В. В. Давыдов, Т. А. Фролова, Г. И. Минская и др.). Но ядро школьной алгебры заключается не только и не столько в наличии буквенной символики, сколько в составлении и решении уравнений. Доступны ли они младшим школьникам? До сих пор психология фактически отвечала отрицательно на этот вопрос, отстаивая, со ссылкой на особенности мышления детей этого возраста, те приемы решения задач, которые требуют каждый раз рассуждения ad hoc (для этой цели), и записи решения в виде цепочки отдельных вопросов-действий. Возражая против этого, видный французский математик Ж. Дьедонне писал: «...Если признать доказанным, что ребенок 10 лет не может понять механизма уравнений первой степени с одним неизвестным, пусть подождут несколько лет, но не вдалбливают ему в голову множество ненужных приемов». Но где научно доказано, что ребенок до 10 лет «не может понять механизма уравнении»? И, главное, нельзя ли доказать обратное, т. е., что при определенных условиях обучения уравнения могут быть доступны детям этого возраста? От ответов на эти вопросы зависят и подлинные перспективы намечающейся алгебраизации курса начальной математики и пер-

спективы более глубокого проникновения в процессы развития детского мышления, в суть тех явлений, которые обозначаются как «абстракция», «обобщение». Как отмечено Н. А. Менчинской и М. И. Моро, алгебраический подход к решению задач предполагает более высокий уровень обобщения, чем арифметический.

Алгебраизация начальной математики требует от психологии исследования ряда вопросов: 1) могут ли понять младшие школьники механизм уравнений, 2) при какой системе учебной деятельности школьников становится возможным такое понимание, 3) как отражается такая учебная деятельность на общей сообразительности детей. В психологии уже имеются данные, показывающие принципиальную доступность уравнений учащимся II—III и даже I класса (А. В. Скрипченко, В. В. Давыдов, А. А. Кирюшкина). Но пока получено еще сравнительно мало данных, позволяющих всесторонне ответить на указанные вопросы. Кроме того, в самом подходе к их разработке существуют разные мнения. Поэтому необходимы специальные, психологические и дидактические исследования, раскрывающие, во-первых, место и роль алгебраических способов решения задач в развитии мышления младших школьников, и, во-вторых, пути и средства, обеспечивающие понимание ими механизма уравнений и его применение при решении задач.

Перед своей экспериментальной работой мы поставили следующие задачи. Во-первых, мы решили проверить возможность обучения младших школьников, начиная с I класса, решению задач только путем составления уравнений первой степени с одним неизвестным, т. е. без какого-либо обращения к обычному арифметическому способу. Этот вопрос до сих пор еще не изучали экспериментальным путем. Во-вторых, необходимо было выявить состав действий, выполнение которых лежит в основе составления уравнений, и психологические особенности их усвоения. В-третьих, необходимо было создать систему учебных задач, обеспечивающих усвоение детьми этих действий, и следовательно, алгебраического способа решения.

Основным звеном нашего исследования явилось экспериментальное обучение математике в I—IV классах школ № 62 и № 17 г. Харькова с 1963—1964 учебного года по настоящее время. Все классы формировались из контингента детей школьного микрорайона без предварительного отбора. Ход обучения фиксировался в протоколах уроков, а его результаты тщательно проверялись путем фронтальных контрольных работ и особых индивидуальных обследований.

Диссертация состоит из трех глав, заключения и приложения. В I главе выясняются психологические предпосылки обучения младших школьников алгебраическому способу решения задач в связи с проблемой развития интеллекта и возрастных возможностей усвоения знаний детьми и дается характеристика деятель-

нести и форм обобщения при различных способах решения задач. Во II главе излагается ход обучения детей составлению уравнений и дается психологический анализ каждого этапа обучения. В III главе подводятся .итоги обучения детей и даются данные об уровне их умственного развития. Выводы из работы даются в «Заключении». В «Приложении» собраны фотографии детских работ на всех этапах обучения.

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ОБУЧЕНИЯ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

На основе ряда теоретических соображений, данных, полученных другими исследователями, а также опыта собственной экспериментальной работы мы наметили и реализовали в программе следующие основные этапы обучения детей умению составлять уравнения при решении задач (с I по IV класс). I этап (предварительный) состоял в формировании у детей некоторых начальных математических понятий (величина, сравнение величин, равенство, неравенство, уравнивание величин). II этап включал формирование умения анализировать условие задачи (выделение явных связей) и отображать его в виде краткой записи. На III этапе формировалось умение устанавливать явные и неявные зависимости между данными условия и отображать их в виде графической схемы. На IV этапе дети обучались выделению основных уравниваемых величин и выражению выявленных зависимостей в форме уравнения. V этап состоял в обучении решению уравнений, в развитии самостоятельности при решении задач.

На I (предварительном) этапе обучения, охватывающем первое полугодие I класса, мы руководствовались, в основном, программой и поурочными планами, разработанными и ранее проверенными В. В. Давыдовым. Согласно этой программе, еще до знакомства детей с числом вводится понятие о величине, о сравнении величин, запись их основных отношений формулами равенства— неравенства (в буквенном виде), изучаются свойства этих отношений. Наш опыт показал, что этот материал не только доступен первоклассникам, но создает предпосылки для дальнейшего формирования у них понятия уравнения. Особенно важным был тот раздел программы, при усвоении которого дети учились переходить от неравенства к равенству (фактически к простейшему уравнению). Так, переходя от неравенства типа а>b к уравнению à+x=b, дети усваивали способы «уравнивания» и соответствующую знаковую систему. На этом этапе обучения у детей возникало общее представление о решении уравнения как о нахождении такого значения при котором только и возможно равенство, т. е. возникало первое представление об отличии тождества от уравнения. Таким образом, уже в 1 классе дети могли моделировать в виде уравнения простые задачи, понимали необходимость нахождения

неизвестной величины и овладевали способами ее вычисления (например, x=à—b).

На следующем этапе обучения (второе полугодие первого класса и далее) учащиеся подводились к пониманию необходимости специального анализа текста задачи, который должен был выявить ее строение: условия и вопросы, известные и неизвестные величины. При этом у детей формировались действия, позволяющие им абстрагироваться от несущественных деталей условия, сохраняя в сознании лишь необходимые связи и отношения величин. Для этого мы использовали табличную форму краткой записи условия, позволяющую, как бы в «чистом виде», выделять эти отношения. Эта запись, на наш взгляд, является особым видом материализации выделеных отношений.

Характер краткой записи условия покажем на примере одной задачи (с буквенными и числовыми данными): «Ученики одного класса изготовили а (38) игрушек, a другого—на b(29) игрушек меньше. Сколько игрушек изготовили ученики третьего класса, если всего тремя классами было изготовлено с(78) игрушек?»Ее краткая запись была такой:

В зависимости от условия задачи записи меняли свою внешнюю форму, но сохраняли основную функцию—воспроизводили проблемную ситуацию задачи в ее главных компонентах. Первые такие записи делались учениками совместно с учителем, затем они составлялись самостоятельно с последующей проверкой. Заключительной формой работы по обучению краткой записи были своеобразные диктанты: учитель читал тексты задач (во втором классе это были нередко задачи из учебников для V—VIII классов), а ученики на слух записывали кратко их условия. Особую психологическую роль играли упражнения на преобразование краткой записи, т. е. на выражение одной и той же зависимости посредством разных математических операций. Целесообразными были также упражнения по составлению текста условия по заданной краткой записи.

В качестве второй материализованной формы анализа выступило составление графической схемы задачи. В шкальной практике различные схемы обычно используются для создания наглядных представлений о конкретном предметном содержании задачи. Однако применение готовых схем не может быть действенным средством формирования у детей обобщенных способов, а часто вообще не помогает в решении задач (М. Э. Боцманова). Некото-

рые психологи и методисты видят роль .схемы в наглядном представлении хода решения задачи, отражая в схеме деление сложной задачи на простые, структуру самого решения. Мы полагаем, что схема должна выступать прежде всего в функции модели зависимостей, связей между величинами, а действия по ее составлению — как способы выявления зависимостей, установления отношений, входящих в задачу величин1). Роль схемы заключается не столько в ее наглядности, сколько в действиях по построению схемы, раскрывающих существенные, часто неявно выраженные в условии зависимости величин. Если при краткой записи лишь воссоздается проблемная ситуация задачи, что способствует уяснению зависимостей, прямо выраженных в условии, то составление схемы должно обеспечить выявление скрытых связей между данными.

Чтобы сосредоточить внимание учащихся именно на действиях по составлению схемы, последние никогда не предъявлялись в готовом виде, а создавались учащимися самостоятельно либо совместно с учителем. Отношения, подлежащие моделированию при помощи схемы, постепенно усложнялись (например, к концу второго класса дети самостоятельно составляли схемы задач на нахождение чисел по их кратным и разностным отношениям).

Уравнение по своей сути представляет равенство некоторых двух величин. В их выделении мы видели главную цель анализа условий, достижение которой позволило сделать этот анализ независимым от знания отдельных типов задач, позволило детям найти общий подход к ним, отчетливо представить их структурную модель. Опираясь на опыт экспериментального обучения, мы выделили три решающих момента при переходе от графической схемы задачи к составлению уравнения: 1) выявление и фиксация на схеме равенства двух основных величин (в необходимых случаях путем специального преобразования схемы), 2) выявление неизвестной части какой-либо величины, которая в соотнесении с другими частями обеспечивает равенство основных величин (неизвестной величины, х), 3) составление уравнения, т. е. переход от графической модели задачи к ее знаковой (аналитической) форме. Указанные три момента, характеризующие переход к уравнению, напоминают элементарные операции процесса составления уравнения (Л. П. Доблаев), однако они отличаются порядком, что существенно меняет весь ход действия, создает возможность при выборе уравниваемых величин ориентироваться на их графическое представление, т. е. делает этот выбор сознательным. Это обеспечивается тем, что выделение уравниваемых величин предшествует выбору неизвестного.

1) Интересные исследования этой функции схем (в виде граф-схем) проводятся сейчас Л. М. Фридманом, Е. Н, Турецким, К. У. Асимовым и др.

С целью материализованного выражения выделенных основных величин дети записывали особую промежуточную формулу: 1в=Пв (первая величина равна второй величине), которая вплотную подводила к их уравнению. Действительно, определение состава 1в и IIв приводит к моделированию задачи в виде уравниваемых величин, и достаточно выбрать основную неизвестную и через нее выразить остальные, чтобы уравнение было составлено в обычной форме, необходимой для решения.

Специальная серия уроков отводилась для обучения детей выбору неизвестной величины. При этом обращалось внимание на возможность варьирования неизвестной и составления разных уравнений для решения одной задачи. В тех случаях, когда для составления уравнения в качестве х целесообразно или необходимо было принимать не искомую, а какую-то промежуточную величину, существенно возрастала роль схемы. На этом этапе одновременно с процессом совершенствования отдельных элементов анализа, его элементарных операций шел процесс свертывания, сокращения действий по анализу. Он все более приобретал форму внутреннего, умственного действия.

Простейшие уравнения решались детьми на каждом этапе обучения, но только после IV этапа стало возможным сосредоточить внимание на общих приемах решения. Недостаточное знание аппарата алгебраических преобразований и ограниченность используемой числовой области (неотрицательные числа) создавали необходимость опираться при решении уравнений на знания о зависимости между компонентами и результатами арифметических действий. (Заметим, что введение алгебраического способа решения задач ставит вопрос о необходимости дальнейшего расширения круга чисел и алгебраических преобразований, изучаемых в начальных классах. Изучение возможностей такого расширения должно стать предметом особого исследования).

На V этапе обучения (в III и IV классах) значительно усложнялись решаемые задачи, что обеспечивало совершенствование способов их решения. Мы использовали систему задач основного цикла обучения, предложенную А. Н. Барсуковым для седьмых классов и несколько измененную нами применительно к начальным классам. В ней фигурировали задачи с уравнениями типа àx+b=c до уравнений с умножением многочленов, приводящихся после взаимного уничтожения квадратных членов к линейным уравнениям. По характеристике А. Н. Барсукова, уже пропедевтический цикл в отношении техники решения уравнений по существу полностью обеспечивает уровень, который требуется от оканчивающих неполную среднюю школу. Так как в основном цикле этот уровень еще совершенствуется, то можно полагать, что в V (по усовершенствованному варианту нашей программы в IV) классе учащиеся овладеют решением задач, приводящихся к ли-

нейным уравнениям, и смогут приступить к решению уравнений высших (второй) степеней и систем уравнений.

В главе III диссертации подробно излагается содержание, ход, результаты и индивидуальные особенности выполнения проверочных работ, проводимых на всех этапах обучения. В качестве проверочных работ обычно использовались задачи неизвестного детям типа.

Уже на предварительном этапе обучения (в первом классе) дети успешно справились с «косвенными» задачами с буквенными данными. Из четырех таких задач было получено в среднем 3,48 правильных решений на ученика. В конце первого года обучения в экспериментальном первом классе и контрольных первых и вторых (по 3 класса) давалась задача на нахождение третьего слагаемого (обычно решаемая в три вопроса). Все (31) учащиеся экспериментального класса правильно составили уравнение, и лишь двое из них не смогли его решить (6,4%). В контрольных классах не решили задачу от 8% (в одном II) до 26% (в одном I). При этом числовые данные в первом экспериментальном классе давались в пределах программы второго класса (до 100).

Во втором классе после первоначального ознакомления детей с действиями умножения и деления была дана задача на нахождение двух чисел по кратному отношению и сумме (она же давалась в четырех обычных II классах). Из 30 учащихся экспериментального класса 25(83,6%) правильно составили уравнение и нашли неизвестное. В контрольных классах правильно решили задачу только 46% учеников. Специальные контрольные работы во II классе проверяли умение составлять и преобразовывать краткую запись и понимание детьми разностных и кратных отношений. Уже после первоначального обучения дети правильно выразили 84,2% кратных и 85,7% разностных отношений, а после некоторой тренировки качество выполнения заданий еще повысилось (90 и 91,7%). В конце учебного года во II классе для проверки усвоения всех действий по решению задачи были даны задачи на кратные и разностные отношения. Результаты показали, что большинство учащихся II класса овладело основными приемами составления уравнения. Невыполненных заданий не было, из 28 решавших правильно выполнили (указано абсолютное число учащихся соответственно при решении задач на разностные и на кратные отношения) краткую запись—22 и 27, схему—26 и 24, выделение основных величин—26 и 28, уравнение—26 и 28, решение—22 и 24. Отдельные ошибки как по количеству, так и по характеру не выходят за пределы обычных случайных ошибок или связанных с недостаточной сформированностью навыков у отдельных детей.

Для выявления «зоны» самостоятельного применения способа решения задач была дана задача, приводящаяся к квадратному

уравнению (III класс, 1965-66 уч. г.). Естественно, в ней требовалось лишь составление уравнения, а не его решение. Все учащиеся смогли составить краткую запись и схему и лишь два ученика не составили уравнения.

Проводились специальные контрольные работы для проверки степени овладения учащимися III—IV классов алгебраическим способом решения задач. Для сравнения возможностей решения задач при разных способах решения, положенных в основу обучения, они проводились также в обычных четвертых, шестых и седьмых классах. Во всех случаях проверок учащиеся III—IV экспериментальных классов решали задачи не хуже, чем ученики старших классов, где алгебраический способ формировался на основе арифметического. Так, в работе, проведенной в декабре 1966 г. в IV экспериментальном и двух VII контрольных классах (задача на встречное движение) составление уравнения характеризуется такими данными: IV экспериментальный—93,1%, VIIa—85,7%, VIIб—74%. Для сравнения в III и IV экспериментальных классах давалась задача, ранее предложенная В. Л. Гончаровым в VI классах. Если в VI классах количество решивших составило в среднем 80,2% (с колебаниями в 24 классах от 35% до 100%), то в III экспериментальном классе задачу решило 98,6%, а в IV—92,9% учащихся.

В конце 1966-67 учебного года в III и IV экспериментальных классах были даны задачи повышенной трудности, требующие построения нестандартной схемы и рассуждений, связанных с пониманием метрических соотношений геометрических фигур, приводящиеся к уравнению с нелинейными (уничтожающимися) членами и довольно сложными тождественными преобразованиями. Приведем текст одной задачи: «Если сторону квадрата увеличить на 7 см, а другую его сторону—на 8 см, то получится прямоугольник, площадь которого на 131 см2 больше площади квадрата. Найти площадь и периметр этого прямоугольника». В IV классе правильно решили задачу 22 ученика (из 27). 5 учеников, хотя и составили уравнение, не смогли выполнить необходимые преобразования. В III классе из 32 учеников 4 не смогли составить уравнение, 8 допустили существенные ошибки, 20 решили задачу. Эта задача одновременно давалась в контрольном VI классе, где ее правильно решили 13 учеников (из 27), 11 допустили существенные ошибки, а 3 вообще не смогли справиться с ней.

С целью проверки уровня развития учащихся давались задачи на сообразительность, не требующие специальных знаний. Они давались во II и III экспериментальных, в III, IV, V обычных классах. По среднему количеству правильных решений экспериментальные классы не уступают III, IV и отчасти V классам.

* * *

Изложенные в диссертации материалы экспериментального обучения показывают, что младшие школьники (дети 7—11 лет) при соответствующем содержании и организации обучения могут понять и полноценно усвоить механизм уравнения и самостоятельно применять его при решении задач. Созданная и проверенная нами система учебной работы с I по IV класс обеспечивает усвоение алгебраического способа и формирование действий, составляющих его основу, главными из которых являются выявление пары уравниваемых величин, выбор неизвестной, составление уравнения. В нашем опыте конечной умственной форме выполнения этих действий предшествовало их развернутое выполнение в материализованном виде.

Систематическое обучение составлению уравнений как единственному способу решения задач не снижает, по нашим данным, той общей сообразительности учащихся, которую призвано воспитывать преподавание начальной математики. Более того, можно предполагать, что такое обучение расширяет горизонт умственных возможностей ребенка.

Разработка и широкая проверка системы работы по обучению алгебраическому способу решения задач составляет особую научно-практическую задачу. Главная цель нашей работы состояла в исследовании психологических особенностей обучения младших школьников уравнениям, выработка в ходе экспериментального обучения такой системы учебных заданий, которая реализовала бы перспективные теоретические положения современной психологии и новый подход к механизмам обобщения и построения ориентировочной основы действий (Д. Б. Эльконин, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и др.).

Именно в этом плане операция выделения уравниваемых величин выступает в нашем обучении в роли предельно общей, простой и генетически исходной операции, на основе которой развертываются остальные действия по составлению уравнения.

Результаты нашего исследования, как и материалы других авторов, расширяют основания для пересмотра и существенного изменения того «максимума», который установлен для умственного развития младших школьников традиционной психологией, что применительно к математике открывает широкие перспективы подлинной алгебраизации начального курса математики и ликвидации в ней излишнего концентризма.

Проведенное исследование и его результаты являются лишь одним из первых шагов в разработке столь сложной проблемы, при самой постановке и при решении которой сталкиваются разные и порой противоположные точки зрения. Предстоит еще боль-

шая совместная работа психологов и методистов, чтобы полнее, точнее и глубже раскрыть пути алгебраизации начальной математики, чтобы разработать оптимальную систему обучения младших школьников алгебраическим понятиям вообще, умению составлять и решать уравнения, в частности.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ:

1. Значение введения элементов алгебры для повышения качества усвоения знаний и развития метаматического мышления первоклассников, «Тези доповідей зональної звітно-наукової конференції з педагогіки та психології», Харьков, 1964 (совм. с Г. П. Григоренко, на укр. яз.).

2. Опыт введения элементов алгебры в первом классе, «Психологія навчання і виховання», Киев, изд. «Радянська школа», 1964 (совм. с Г. П. Григоренко, на укр. яз.).

3. Опыт формирования обобщенного метода решения задач у первоклассников, «Психологія», вып. I, Киев, изд. «Радянська школа», 1965 (на укр. яз.).

4. Обучение общему методу решения арифметических задач как средство развития логического мышления, «XVIII Международный психологический конгресс. Тезисы сообщений. Вып. III. Проблемы психологического развития и социальной психологии», М., 1966.

5. Учить обобщенному способу решения задач, «Радянська школа», 1967, № 6 (на укр. яз.).

6. О возможности усвоения алгебраического способа решения задач младшими школьниками, «Вопросы психологии», 1967, № 3.

БЦ 31071 22.IV-68 г. Объем 1 и. л. 1,17 усл. п. л. Зак. 2169. Тир. 1?0 Харьковская тип. № 18, Красноармейская, 7.