МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Л. А. БОБЫЛЕВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — член-корреспондент АПН РСФСР, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА — 1964

Официальные оппоненты:

1. Профессор Б. В. БОЛГАРСКИЙ.

2. Доцент, кандидат педагогических наук Н. И. СЫРНЕВ.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской. Москва, ул. Радио, 10-а, «» 196 года.

Автореферат разослан 1964 года.

Задачи построения коммунистического общества, выдвинутые перед нашим народом XXII съездом КПСС требуют дальнейшего совершенствования обучения и воспитания в советской общеобразовательной школе. Основное направление такого совершенствования — тесная связь воспитания и обучения с жизнью, производством, с практикой коммунистического строительства.

В новых условиях работы школы преподавание одной из ведущих дисциплин—математики должно обеспечить не только прочное и сознательное овладение основными математическими знаниями, но и умение применять их в различных областях практической деятельности человека.

В связи с этим перед методикой преподавания математики возник ряд педагогических проблем, требующих быстрейшего разрешения. Система формирования у учащихся восьмилетней школы умения определять значения величин—качества, столь необходимого человеку для применения математических знаний в его практической деятельности — является одной из таких проблем.

По вопросу формирования умений вычислять значения величин написано немалое число работ, однако его нельзя считать полностью решенным. Об этом красноречиво свидетельствуют материалы дискуссии, которую проводил в 1964 году журнал «Математика в школе».

Целью нашей диссертации является отыскание путей совершенствования системы формирования у учащихся восьмилетней школы умения находить значения величин.

В диссертации использованы различные методы исследования:

1) изучение состояния знаний, умений и навыков вычисления значений величин у учащихся, восьмилетней школы путем проведения письменных работ, собеседований с учащимися, просмотра их тетрадей и т. д.;

2) критический анализ школьной программы по математике, учебной и методической литературы по исследуемому вопросу;

3) проведение опытной работы с целью проверки предложений по усовершенствованию системы обучения;

4) обсуждение предложений среди учителей и методистов. Диссертация состоит из введения, четырех глав и краткого заключения.

ВВЕДЕНИЕ

Во вводной части диссертации излагаются вопросы, связанные главным образом с выяснением особенностей определения числовых значений величин, выполняемых, как известно, измерениями.

Измерение — акт познания характеристики количественных отношений реального мира.

Различаются два вида измерений: прямые (непосредственные) и косвенные (апосредованные). Первые выполняется при помощи измерительных приборов или инструментов с участием органов чувств, что не позволяет получить абсолютные представления о количественных характеристиках реальности и дает лишь относительные (приближенные) их значения. Глубина познания значений величин при непосредственных измерениях оценивается точностью результатов измерений и находится в прямой зависимости от разрешающей способности применяемого измерительного прибора: нельзя получить данным прибором результат точнее, чем это допускается самим прибором.

Косвенное измерение величин на практике связано так же с проведением непосредственных измерений, в ходе которых добываются исходные данные для вычислительных операций. Это означает, что и косвенные измерения основываются на чувственных восприятиях и, следовательно, дают также относительные представления об искомых величинах. Очевидно, что граница познания количественной характеристики реальности через косвенные измерения должна соответствовать той глубине познания реальности, которая была достигнута при определении исходных данных. Поэтому округление результатов вычислений, выполняемых в ходе косвенного измерения, до точности исходных данных является общей особенностью применения математической теории на практике.

Оценка точности результата косвенного измерения в зависимости от точности исходных данных устанавливается теорией приближенных вычислений, следовательно, формирование навыков отыскания числовых значений величин не мыслимо без изучения вопросов этой теории.

В связи с этим в диссертации подчеркивается, что изучение элементов приближенных вычислений в школе должны способствовать:

а) формированию диалектико-материалистических взглядов на окружающий мир;

б) познанию особенностей применения математической теории на практике;

в) рационализации вычислительных работ в школе;

г) ознакомлению школьников с некоторыми вопросами и методами современной математики.

Глава 1. Состояние культуры приближенных вычислений в восьмилетней школе и проблемы диссертации

В первой главе диссертации дается характеристика знаний, умений и навыков приближенных вычислений, приобретаемых учащимися в VI—VIII классах. При этом отмечается (§ 1), что в шестом классе учащиеся вполне осваивают несложные обоснования изучаемого здесь метода приближения вычислений (правила подсчета цифр) и получают некоторые навыки выполнения отдельно взятых арифметических операций над отвлеченными приближенными числами.

Значительно хуже обстоит дело с применением правил подсчета цифр при выполнении ряда последовательных арифметических действий и решении текстовых задач: учащиеся либо допускают ошибки в округлении результатов промежуточных действий, либо вовсе не пользуются правилами подсчета цифр даже при решении тех задач, в которых данные получаются самими школьниками через непосредственные измерения.

Навыки приближенных вычислений весьма скоро уступают место привычным вычислениям с далинным хвостом не нужных цифр (академик А. Н. Крылов весьма удачно назвал такие вычисления ложными) и уже в VII классе около 95% учащихся не применяют правила подсчета цифр, хотя, как показывают наблюдения, они помнят эти правила. Естественно, что ложные вычислительные навыки, выработанные в I—V классах (здесь не проводятся различия между точными и приближенными значениями величин) и доведенные до автоматизма, оказываются более устойчивыми, чем навыки, полученные при изучении приближенных вычислений.

Таким образом, учащиеся восьмилетней школы в настоящее время фактически не учитывают особенностей применения математики к решению практических задач и продолжают соответствующие вычисления без необходимых округлений как окончательного результата вычислений, так и результатов промежуточных действий.

Отдельный параграф главы посвящается критическому анализу программы восьмилетней школы по математике (1960 г.) в части приближенных вычислений. Включением приближенных вычислений в курс арифметики сделан большой шаг на пути осуществления связи обучения с практикой.

Однако программа 1960 г. не учитывает особенностей работы по преодолению ложных вычислительных навыков. В объяснительной записке к ней, во-первых, отсутствуют конкретные указания о месте и времени работы над первоначальными представлениями о приближенных величинах; во-вторых, не указываются конкретные меры по совершенствованию и развитию навыка приближенных вычислений в тех разделах школьного курса, которые следуют за специальным разделом, а также в алгебре и геометрии; в-третьих, не обеспечивается тесная связь приближенных вычислений с практикой измерения величин, что сводит всю работу начала VI класса к формальному изучению вопросов теории.

Критический анализ методической литературы (§ 3) позволяет объяснить причины пробелов в учебной работе, связанной с привитием навыков приближенных вычислений.

В методической литературе почти единодушно признавалась целесообразность изучения в восьмилетней школе лишь одного из методов приближенных вычислений — правил подсчета цифр, сформулированных советским педагогом — математиком профессором В. М. Брадисом.

Лишь последнее время (1964 г.), в связи с неудовлетворительным состоянием умений и навыков приближенных вычислений в школе, метод подсчета цифр подвергся некоторой критике, в частности доцентом С. В. Смирновым, который считает, что строгие обоснования правил подсчета цифр в школе дать нельзя и поэтому их изучение нецелесообразно. Точку зрения С. В. Смирнова разделяет лишь небольшая часть авторов, выступивших в дискуссии, проводимой журналом «Математика в школе».

В диссертации приводятся соображения в пользу метода подсчета цифр как наиболее доступного для учащихся и обеспечивающего нужную оценку точности результатов косвенных измерений в технических и бытовых расчетах. Вместе с тем, подвергаются критике пути введения метода подсчета цифр в школе, рекомендуемые авторами большинства методических работ по исследуемому вопросу.

В методической литературе, как и в программе 1960 г., считается, что для успешного внедрения метода подсчета цифр в школе достаточно принять следующие меры: во-первых, дополнить традиционный курс арифметики соответствующим учебным материалом, изложенным в доступной для учащихся V класса форме и, во-вторых, увеличить число упражнений с приближенными значениями величин.

В диссертации показано, что этих мер недостаточно для преодоления ложных вычислительных навыков и замены их устойчивыми навыками приближенных вычислений: требуется тщательная и длительная психологическая подготовка школьников, в ходе которой у них должна быть создана уве-

ренность в необходимости округления результатов вычислений с приближенными значениями величин.

В том же (третьем) параграфе анализируется постановка приближенных вычислений в школьной учебной литературе. При этом выделяются следующие моменты:

1) Включение вопросов приближенных вычислений в школьный курс математики в 1960 году сопровождалось спешной переработкой школьных учебников и сборников задач, которая фактически свелась к простому дополнению их специальными разделами и небольшим числом упражнений с приближенными данными.

2) Применение правил подсчета цифр ставится в зависимость от желаний составителя сборника задач: только в задачах, где имеются указания о приближенности числовых данных, допускается округление результатов вычислений, хотя в практической деятельности таких указаний ожидать не от кого.

Вопрос о том, при решении каких задач следует применять правила подсчета цифр, все еще не получил окончательного разрешения и в методической литературе, где высказываются различные точки зрения. Сопоставляя их, автор диссертации разделяет точку зрения профессора И. К. Андронова о необходимости применения правил приближенных вычислений во всех случаях, когда искомые значения величин предназначены не для усвоения той или иной новой математической теории, а для практики применения усвоенной теории.

В заключительном (четвертом) параграфе первой главы подводятся итоги наблюдения над состоянием обучения школьников приближенным вычислениям и отмечаются недостатки этой работы. Главные из них следующие:

1) при обучении приближенным вычислениям не учитываются трудности преодоления ложных вычислительных навыков, доведенных в I—V классах до автоматизма;

2) обучение проводится в отрыве от практики измерения величин и носит формальный характер; неудовлетворительно проводится формирование «работающих» в школе понятий теории приближенных вычислений;

3) не обеспечены условия для непрерывного применения метода подсчета цифр в процессе изучения всего курса математики в VI—VIII классах;

4) в одинаковых по содержанию задачах в одних случаях применяются точные числовые данные, в других — приближенные, причем число задач с точными числовыми данными значительно большее, чем с приближенными. Последнее способствует укреплению ложных вычислительных навыков и утрате навыка в культуре приближенных вычислений.

В заключительной части первой главы формулируется основная задача диссертации: разработка такой системы обуче-

ния школьников, которая обеспечит замену ложных вычислительных навыков навыком приближенных вычислений, столь необходимым для практического применения математики. Новая система должна удовлетворять следующим требованиям:

1) она не должна допускать перегрузки основного курса математики сведениями, без которых можно обойтись:

2) в процессе обучения приближенным вычислениям повысить уровень математической подготовки учащихся;

3) обучение приближенным вычислениям должно строится на признании необходимости округления результатов вычислений значений величин, используемых для познания количественных характеристик реального мира. При этом признается необходимым сохранить и в школе изучение способа подсчета цифр, использовав для построения системы обучения идею об оценке точности результатов измерения величин, высказанную в работах И. К. Андронова.

Глава II. Культура непосредственных и косвенных измерений в курсе арифметики восьмилетней школы

В этой главе дается описание системы учебной работы по привитию навыка непосредственных и косвенных измерений в курсе арифметики V—VI классов, разработанной автором и проверенной на практике в ряде школ г. Липецка (№ 3 и 28) и г. Москвы (№ 723 и 352).

В первом параграфе главы выясняется одна особенность измерения величины, которая в дальнейшем учитывается при определении содержания учебной работы. Имеется в виду, что точность результатов большинства непосредственных измерений, выполняемых на практике, обычно ограничивается получением двух—трех, но не более четырех значащих цифр, что объясняется техническими возможностями измерительных приборов, а так же, и другими факторами, ибо, как указывает И. К. Андронов, «... все зависит от того, что измеряют, чем измеряют, кто измеряет, для каких целей измеряют».1 Это означает, что результаты подавляющего числа косвенных измерений, могут быть получены с двумя, тремя значащими цифрами. Таким образом, на первоначальном этапе обучения имеется возможность оперировать с числовыми значениями величин, точность которых оценивается двумя—тремя значащими цифрами.

Понятие об оценке точности непосредственных измерений величин первоначально формируется у учащихся V класса на основе правила записи результатов при отсчетах по школам

1 И. К. Андронов, Арифметика дробных чисел и основных величин, М., Учпедгиз, 1954, стр. 154.

приборов для измерения длины отрезков (принцип Крылова—Брадиса).

Это правило обязывает в каждом отдельном случае проводить линейную интерполяцию на глаз с целью определения одной не вполне надежной цифры, которая записывается в результате отсчета. Опытным путем устанавливается закономерность колебания на одну—две единицы. Цифры единиц не вполне надежной цифры изменяются при повторных независимых отсчетах. При этом в большинстве случаев наблюдается повторяемость этой цифры, в то время, как колебания на две единицы встречаются весьма редко.

Оценку точности результата отсчета, а затем и измерения, в данной работе рекомендуется (§ 2) проводить двумя способами: 1) указанием десятичного разряда, в котором записана не вполне надежная цифра, и 2) указанием числа значащих цифр.

В этом же параграфе дается описание работы с учащимися над применением оценки точности результатов отсчета при обработке результатов вычисления среднего арифметического и при проведении непосредственных измерений длин отрезков работниками различных профессий.

В параграфе 3 подробно освещается характер работы над развитием начальных представлений об оценке точности результатов косвенных измерений при изучении геометрического материала (площадь, объем) в курсе арифметики V класса. Она заключается в общих чертах в следующем:

а) рассматриваются приемы непосредственного измерения рулеткой площадей произвольных фигур;

б) при непосредственном измерении площади прямоугольника выясняется целесообразность применения косвенного измерения и устанавливается порядок его выполнения;

в) проводится лабораторная работа по косвенному измерению площади реального объекта, имеющего форму прямоугольника (земельный участок, кусок текстиля и т. п.). При этом создаются условия, в которых исключен обмен информацией между учащимися, проводящими измерения сторон прямоугольника до тех пор, пока не будет завершено вычисление площади;

г) результаты вычисления площади одного и того же объекта записываются на классной доске, после чего под руководством учителя школьники выясняют, с какого разряда (считая слева направо) полученные числа отличаются между собой и формулируется гипотеза о том, что точность результата косвенного измерения площади прямоугольной фигуры (по числу значащих цифр) не выше той точности, с которой измерены ее стороны;

д) справедливость гипотезы проверяется на частных случаях. Например, известны длины сторон прямоугольного уча-

стка земли: 67, 5 м и 45, 4 м. При измерениях их с меньшей точностью (до двух значащих цифр) вероятнее всего будут получены такие комбинации чисел, выражающих соответственно длину и ширину участка: 67 м и 45 ж, 67 м и 46 м, 68м и 45 м, 68 м и 46 м. Вероятные результаты вычислений площади (в ж2) 3015, 3082, 3060 и 3128. Колебание цифр начинается уже со второй (слева) значащей цифры, следовательно, результаты измерений следует округлить до двух значащих цифр, тогда они будут записаны в соответствии с принципом Крылова—Брадиса.

Аналогичная работа проводится при изучении объемов тел, где результаты косвенных измерений удобно проверить непосредственными измерениями искомых величин, используя для этого сыпучие или жидкие вещества.

В параграфе четвертом дается подробное описание опытной работы, проведенной в VI классе, где первоначальные навыки оценки точности результатов непосредственных и косвенных измерений отдельных величин (длина отрезка, площадь фигуры, объем тела) распространяются на другие величины (промежутки времени, вес тела, величины углов, скорость движения тела и т. д.). В основном эта работа сводится к следующему:

1) уточняются представления учащихся о величине и ее числовых значениях, способах нахождения числовых значений величин непосредственными и косвенными измерениями;

2) в связи с повторением принципа Крылова—Брадиса, уточняются простейшие приемы оценки точности результатов непосредственных измерений величин, изученных в V классе;

3) выясняются способы оценки точности косвенных измерений величин, выполняемых каждым из основных арифметических действий;

4) рассматривается способ уточнения не вполне надежной цифры путем повышения точности исходных данных (вычисления с «запасной» точностью).

Значительное место в системе развития навыка косвенных измерений величин отводится задачам на вычисления. В связи с этим, в следующем (пятом) параграфе, предлагается различать два вида вычислительных задал:

1) дидактические, решением которых достигается уяснение сущности математических понятий и их свойств, а также связей между величинами;

2) практические, при решении которых вырабатываются навыки применения математических знаний в трудовой деятельности человека.

Дидактические задачи, как правило, должны содержать числовые данные, допускающие проведение устных и полуписьменных вычислений без оценки точности получаемых результатов.

В практических задачах оценка точности результата вычислений является обязательной частью. Практический характер задачи определяется исключительно сюжетом условий или задаваемой ситуацией. Числовые данные практических задач должны быть приведены в соответствие с той точностью, которая применяется на практике (две—три и, редко, четыре значащие цифры).

В последней части параграфа приводятся соображения автора об изучении заключительных глав курса арифметики (отношение величин, процентные расчеты, пропорциональность величин), где в полной мере приемлема предлагаемая классификация вычислительных задач.

Ход и результаты опытной проверки рекомендаций освещаются в шестом параграфе главы. Здесь же приводятся цифровые данные, характеризующие состояние навыка приближенных вычислений у школьников, овладевавших (в порядке постановки эксперимента) методом подсчета цифр на базе понятия о косвенных измерениях.

В конце параграфа в сжатой форме повторяются основные предложения по проблеме:

Во-первых, в начальном курсе арифметики (I—IV класс), а также при повторении арифметики натуральных чисел (V класс), требовать округления результатов косвенных измерений площадей и объемов, оставляя в них не более трех значащих цифр;

Во-вторых, включить в тему «Десятичные дроби» следующие вопросы:

1) Шкалы масштабной линейки и выполнение отсчетов на них. Принцип Крылова—Брадиса. Надежные цифры. Оценка точности отсчета по разряду, в котором стоит не вполне надежная цифра.

2) Изменяющиеся конечные множества и подсчет числа их элементов. Среднее арифметическое и его обработка (округление) в соответствии с принципом Крылова—Брадиса;

3) Непосредственные измерения отрезков. Значащая часть результата измерения. Оценка точности результата измерения по числу значащих цифр. Факторы, влияющие на точность измерений.

В-четвертых, при изучении геометрического материала в теме «Десятичные дроби» ввести понятие о косвенном измерении и метод оценки точности результатов косвенных измерений величин площади реальных объектов, имеющих форму прямоугольника и треугольника, а также объемов тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.

В-пятых, изменить название и пересмотреть содержание специального раздела арифметики, изучаемого в настоящее время в VI классе, придав ему следующую редакцию:

Точность результатов измерения величин.

1. Величина и ее числовое значение. Способы нахождения числовых значений величин: непосредственные и косвенные измерения;

2. Оценка точности результатов непосредственных измерений величин и принцип Крылова—Брадиса.

3. Оценка точности результатов вычисления значений величин при выполнении арифметических действий. Основной принцип косвенных измерений.

Наконец, в объяснительной записке к программе по математике указать на необходимость разграничивать дидактические и практические задачи, включить обязательное требование оценки точности результатов вычислений при решении практических задач.

Глава III. Развитие знаний и закрепление навыков приближенных вычислений в курсе алгебры и геометрии восьмилетней школы.

В данной главе рассматривается ряд вопросов, имеющих непосредственное отношение к исследуемой проблеме, а именно:

1) в каком направлении должно вестись углубление и совершенствование знаний учащихся VI—VIII классов по теории приближенных вычислений;

2) как использовать изучение этих вопросов для повышения уровня вычислительной подготовки учащихся VI—VIII классов;

3) как осуществить взаимосвязь между содержанием учебного материала по алгебре и геометрии с вопросами теории приближенных вычислений.

Ответы на первых два вопроса частично даны в параграфах первом и втором этой главы.

Для подготовки учащихся к практической деятельности необходимо резко увеличить число упражнений, в которых исходные данные соответствуют нормам практики, т. е. состоят из 2—4 значащих цифр вместо одно- и двух значных, применяемых теперь при изучении алгебры и геометрии. Выполнить это требование, не допуская возрастания расхода времени на вычисления, можно только за счет широкого применения средств, механизирующих вычислительные работы.

В настоящее время в восьмилетней школе учащиеся, в лучшем случае, получают лишь общее представление о некоторых средствах механизации вычислительных работ. Исключение составляет счетная логарифмическая линейка, для которой программой отводится роль основного вычислительного средства в VIII классе.

В работе проводится сравнение эффективности различных вычислительных средств в процессе их применения на всех уроках математики. Признается целесообразным в качестве основных вычислительных средств в VI—VII классах применять математические таблицы, в VIII классе — счетную линейку. В качестве дополнительных средств вычислений, проводимых при косвенном измерении некоторых величин, использовать номограммы (их перечень дан в диссертации).

Для осознанного применения названных вычислительных средств требуется знание особенностей вычислительных операций над десятичными приближениями точных действительных чисел и умение оценивать точность результатов таких вычислений. В связи с этим, в параграфе втором, выдвигается предложение об изучении в курсе начальной алгебры (VI класс) способа оценки результатов вычислений с десятичными приближениями действительных чисел по методу подсчета цифр. Одновременно высказывается отрицательное отношение к использованию в восьмилетней школе других методов приближенных вычислений (метод границ, способ учета границ погрешностей и т. д.), так как в практической деятельности людей, оканчивающих только восьмилетнюю школу, эти методы реже применяются; громоздкие вычисления, выполняемые при применении этих методов, затрудняют усвоение основного курса математики; невысокая разрешающая способность и несовершенство школьных учебных измерительных приборов делают бесполезной применение указанных методов для оценки точности результатов вычислений, выполняемых в процессе лабораторных работ по физике и химии.

Кроме изучения способа оценки точности результатов вычислений с десятичными приближениями, признается необходимым ознакомить учащихся VI—VIII классов;

1) с приближенными методами вычислений значений некоторых функций (приближенные формулы);

2) с графическим способом решения уравнений, как одним из видов приближенных методов;

3) с применением номограмм для выполнения ряда однотипных косвенных измерений некоторых величин.

В последующих параграфах главы III основное внимание уделяется вопросам естественного включения учебного материала по приближенным вычислениям в начальные курсы алгебры и геометрии.

Так, в параграфе третьем, дается описание опыта введения буквенной символики и понятия уравнения на основе представлений о косвенных измерениях. Сущность этой работы сводится в основном к следующему:

1) словесные формулировки правил, указывающих порядок выполнения вычислительных операций при косвенном из-

мерении величин, заменяются символической формой записи с помощью букв и знаков арифметических действий;

2) выполняется ряд упражнений на применение новой формы записи правил косвенных измерений;

3) выясняются преимущества символической формы записи правил при замене их более простыми путем проведения тождественных преобразований;

4) формируется представление об уравнении в связи с решением задач на косвенные измерения.

Раздел «Числовые значения алгебраических выражений» курса алгебры используется для изучения особенностей вычислительных операций над десятичными приближениями к рациональным числам. В параграфе четвертом главы предлагается следующий порядок изучения этого раздела программы:

1) представление обыкновенных дробей десятичными (повторение);

2) возможность представления любого рационального числа бесконечной периодической дробью;

3) приближенные значения рациональных чисел с недостатком и с избытком, наилучшие десятичные приближения с заданной точностью;

4) оценка точности результатов арифметических действий при вычислениях, когда точные компоненты заменяются их наилучшими десятичными приближениями (правила подсчета цифр).

В следующих двух параграфах речь идет в основном о методике обучения в VI—VII классе табличным вычислениям. Чтобы этот вид вычислений стал в VI—VII классах основным, требуется иметь специальные математические таблицы, которые должны:

1) быть простыми и удобными в их применении и обеспечить быстрое выполнение всех вычислительных операций с приближенными значениями величин, точность которых не превышает трех значащих цифр;

2) обеспечить подготовку учащихся к работе с другими таблицами, применяемыми в различных сферах практической деятельности.

Таким требованиям удовлетворяют таблицы, у которых аргументы — двухзначные числа, а значения функций берутся с тремя значащими цифрами. Для VI—VIII классов достаточно иметь таблицы: 1) обратных величин, 2) приближенных произведений двухзначных чисел, 3) значений степенной функции у =хп, где п = 2, 3, Щ, 7з (объединенная таблица), 4) значений тригонометрических функций.

В «Сборник таблиц» для VI—VIII целесообразно включить: а) различный справочный материал по физике, химии и

технике; б) чертежи графиков функций для графических решений уравнений; в) некоторые номограммы для выполнения однотипных косвенных измерений.

В диссертации рассматриваются примеры обучения школьников работе с отдельными таблицами.

В параграфе седьмом излагаются вопросы обучения учащихся VI—VIII классов умению пользоваться приближенными формулами в курсе алгебры и геометрии. Вся работа строится на основе выделения двух основных групп приближенных формул, отличающихся между собой областями применения:

а) формулы как средство рационализации некоторых вычислительных операций;

б) формулы для выполнения косвенных измерений с ограниченной точностью.

В начальном курсе алгебры, как показано в диссертации, нет необходимости вводить большое число приближенных формул первой группы и достаточно ограничиться рассмотрением таких формул, которые действительно найдут применение в повседневной практике школьников. К ним относятся следующие:

Дается подробное описание учебной работы, связанной с введением последней формулы, которая весьма часто применяется в VII—VIII классах.

Приближенные формулы второй группы вводятся на уроках геометрии одновременно с изучением точных соотношений между величинами. Так например, кроме точного соотношения s = ah, которое используется для вычисления площади параллелограмма, рассматривается возможность находить искомую величину с некоторой точностью вычислением произведения двух смежных сторон. В работе приводится перечень таких приближенных формул.

В общей системе учебной работы, связанной с развитием навыка вычислений приближенных значений величин, большое место отводятся графическим вычислениям.

В диссертации (параграф 8 главы III) отмечается, что в связи с принятием программы 1960 года, несколько улучшилась постановка графических вычислений в школе, однако эти вычисления все еще не подняты до того уровня, который они занимают в технической практике. В связи с этим в диссертации разработаны меры, позволяющие усилить внимание в школе графическому методу. Так, на первом этапе изучения курса алгебры, предлагается использовать графики для «моделирования» процессов реальности в целях: а) наблюдений за отклонением процесса от определенного режима и б) со-

поставления двух взаимосвязанных процессов. При этом основное внимание уделяется вопросам возрастания и убывания величин и, в редких случаях, грубой оценке их числовых значений.

В дальнейшем учащиеся знакомятся с применением «графических таблиц» для выполнения большого числа косвенных измерений одной и той же величины в одном и том же процессе (например, определение веса данного вещества по его объему, зная удельный вес).

На уроках геометрии в VII классе (в связи с измерением геометрических величин) вводятся соответствующие номограммы. Практика показала, что, имея в своем распоряжении печатные номограммы (в «Сборниках таблиц») учащиеся весьма охотно прибегают к ним при решении задач.

В заключительном параграфе главы третьей дано описание опыта работы, проведенной в VII—VIII классах в связи с применением графического метода решения уравнений и систем уравнений. В традиционном школьном курсе алгебры графический метод используется главным образом для иллюстрации решения уравнений и системы уравнений. В диссертации предлагается начинать изучение каждого вида уравнений в VII—VIII классах рассмотрением самого простейшего способа решения — графического, который дает всегда приближенный результат с некоторой точностью.

Широкое применение графического метода приближенных решений уравнений связано с выполнением довольно громозмоздких построений чертежа. Поэтому в диссертации предлагается снабдить учащихся целым рядом графиков функций, выполненных печатным способом на прозрачной и миллиметровой бумаге. Набор таких чертежей, помещенный в «Сборнике математических таблиц», так показал опыт, в значительной мере способствует более успешному внедрению в практику, школы рассматриваемого метода решения уравнений.

Глава IV. Изучение счетной (логарифмической) линейки в VIII классе.

В этой небольшой главе рассмотрены вопросы, связанные с первым ознакомлением учащихся со счетной линейкой.

Известно, что в VIII классе применять теорию логарифмов для упрощенного обоснования устройства этого счетного прибора нельзя. В связи с этим в диссертации предлагается рассматривать счетную линейку, как моделирующее устройство, автоматически выполняющее обработку результатов вычислений над десятичными приближениями по методу подсчета цифр.

При работе со счетной линейкой отсчеты выполняются в соответствии с принципом Крылова—Брадиса. Величина от-

носительной погрешности при этом для каждого типа линеек колеблется в определенных границах. Так, например, на осноновной шкале 250 мм линейки относительная погрешность отсчетов изменяется в пределах от 0, 25% до 0, 63%. Это значит, что точность десятичных приближений компонентов и результатов действий в среднем дает 3 или 2 значащих цифры.

Опытная работа, связанная с введением счетной линейки в VIII классе (ее описание дается в параграфе втором) строилась по следующему плану:

1) повторение сведений о числовых шкалах и порядке выполнения отсчетов по ним в соответствии с принципом Крылова—Брадиса особо выделяются виды вспомогательных меток, облегчающих проведение линейной интерполяции на глаз.

2) тренировка в установке меток на шкалах, допускающих выполнение отсчетов с точностью в три значащие цифры; / 3) изучение графического способа сложения и вычитания чисел и создание моделирующего устройства, позволяющего выполнять эти операции с точностью в три значащие цифры;

4) создание моделирующего устройства для выполнения действий второй ступени с точность в три значащие цифры;

5) изучение фабричных моделирующих устройств (счетной линейки).

В этом же параграфе приводится пример использования специальных карточек, разработанных автором, позволяющих без особого труда проводить контроль за правильностью вычислений, выполняемых школьниками на счетной линейке.

Заключение

В заключительной части диссертации подведены итоги исследования и делается вывод о том, что система обучения школьников умению вычислять значение величин на основе понятия об оценке точности результатов непосредственных и косвенных измерениях:

а) развивает у учащихся диалектико-материалистические взгляды на характер познания реального мира;

6) раскрывает общую особенность применения математических теорий при решении практических задач;

в) учит школьников критически оценивать результаты вычисления значений величин и обеспечивает преодоление ложных вычислительных навыков, приобретенных в первом—четвертом классах;

г) обеспечивает естественное вхождение элементов приближенных вычислений в школьный курс математики;

д) создает предпосылки для изучения в старших классах других способов оценки точности результатов с приближенными значениями;

е) приучает школьников принимать действенные меры по рационализации вычислительных операций в процессе изучения математики в VI—VIII классах.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Косвенные измерения величин и приближенные вычисления в курсе арифметики V—VI классов. Ученые записки МОПИ им. Н. К. Крупской, т. СХХШ, вып. 3, М., 1963 (один печ. лист).

2. Приближенные вычисления в VI классе. Сборник «Приближенные вычисления в школе» под ред. И. Н. Шевченко и К. И. Нешкова, изд. АПН РСФСР, М., 1963 г. (два печатных листа).

3. Об изучении приближенных вычислений. — «Математика в школе», 1964 г., № 6.

Л -27889 Подп. к печ. 16. 12. 64 Объем 1 печ. л. Тир. 200 экз.

Типография ВАХЗ Зак. 1361