АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

Н. П. БИБИКОВА

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В МАТЕМАТИКЕ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель проф. В. М. БРАДИС

МОСКВА — 1955

В деле подготовки школы к переходу на всеобщее политехническое обучение первой и основной задачей является всемерное улучшение преподавания в школе всех учебных дисциплин, в том числе и математики. Политехническое обучение в той его части, которая относится к математике, требует в первую очередь повышения идейно-теоретического уровня преподавания математики.

Существующая система преподавания математики в общем удовлетворяет требованиям подготовки к практической деятельности и к обучению в высшей школе. Однако в ней есть и ряд существенных недостатков. Одним из таких недостатков является отрыв школьного курса математики от математической науки; учащиеся не знакомятся с методами, имеющими большое значение в математике и ее приложениях. Одним из таких методов является метод последовательных приближений.

Этот метод применяется для решения численных алгебраических и трансцендентных уравнений, дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений, в геометрических построениях. Большую услугу оказывает он астрономии. Применяется метод последовательных приближений и в школьном курсе математики, правда в небольшом объеме. Метод последовательных приближений имеет следующие преимущества перед другими методами:

1) простота метода;

2) большая экономия в вычислительной работе;

3) общность метода.

В настоящей работе ставились две задачи: 1) выяснить, в чем состоит метод последовательных приближений в различных его видоизменениях в математике; 2) проследить, как этот метод используется и как может использоваться в средней школе.

Решая первую задачу, автор рассмотрел лишь некоторые примеры использования метода последовательных приближений в математике и ее приложениях, показывающие важность метода для решения многих задач алгебры, геометрии и анализа. Не претендуя на исчерпывающую полноту решения второй задачи, автор стремился в своей работе выяснить возможности использования метода последовательных приближений в школьном курсе математики в большем объеме, чем это делается в настоящее время.

В основу решения поставленных вопросов были положены труды классиков марксизма-ленинизма, постановления партии и правитель-

ства о школе; была использована разнообразная литература научно-методического характера, а также личный опыт работы со студентами педагогического института и с учащимися старших классов средней школы в городском математическом кружке и в математических кружках 8-й и 13-й школ г. Калинина. Работа состоит из введения и двух частей:

I. Некоторые применения метода последовательных приближений в математике и ее приложениях (главы 1—4) и

II. Некоторые применения метода последовательных приближений в школьном курсе математики (главы 5—7).

В конце работы имеется краткое «Заключение», приложен список использованной литературы, имеется приложение с описанием школьного эксперимента.

Введение. В § 1 введения делается попытка обосновать законность и необходимость приближенных математических методов с позиций марксистского философского материализма. В § 2 дается краткий исторический очерк развития метода последовательных приближений, подчеркивается роль русских и советских математиков, внесших свой вклад в развитие метода. В § 3 автор приводит свои соображения по поводу терминов «способ итерации» и «способ последовательных приближений».

Первая глава: «Решение численных алгебраических и трансцендентных уравнений по способу последовательных приближений» имеет целью выяснить сущность способа итерации в применении к решению алгебраических и трансцендентных уравнений с одним неизвестным. Изложение начинается с рассмотрения признака сходимости процесса итерации, затем дается геометрическая интерпретация итерации, выясняется, что способ итерации является «самоисправляющимся»: если при вычислении корня по способу итерации будет допущена ошибка, не выводящая очередного приближения из интервала, содержащего корень уравнения, то правильный результат все же будет получен (правда, не так скоро, как он получился бы без ошибки). Это характерное преимущество способа итерации.

В этой же главе рассматриваются способы повышения быстроты сходимости процесса итерации; выясняется, что способ Ньютона-Рефсона и прямолинейное интерполирование (способ ложного положения) являются итерационными; решено большое количество примеров.

Рассмотренные в настоящей главе три итерационных способа решения численных уравнений с одним неизвестным применимы и к алгебраическим и к трансцендентным уравнениям, т. к. при выводе этих способов учитываются общие функционные свойства левой части уравнения f(x)=0, не требуется, чтобы функция f(x) была целой рациональной.

Вторая глава: «Решение систем двух и трех уравнений соответственно с двумя и тремя неизвестными по методу последовательных приближений».

В §§ 1—2 главы рассматривается обобщение итерационного процесса на случай системы двух уравнений с двумя неизвестными; излагается вывод условий сходимости процесса итерации, выясняется, что общеупотребительный критерий сходимости процесса итерации практически мало удобен:

1) этот критерий слишком узкий (он дает только достаточный, но не необходимый признак);

2) для решения системы вида

(1)

методом итерации ее уравнения представляются в виде

(2)

Критерий ничего не говорит о том, из какого уравнения следует выражать X и из какого — У, а это существенно. Иногда выражения для частных производных функций Fi(x, у) и F2(x, у), которые фигурируют в критерии, могут оказаться сравнительно сложными и для проверки критерия придется производить громоздкие вычисления;

3) критерий не дает способов повышения быстроты сходимости процесса итерации.

В поисках практически удобного критерия сходимости итерационного процесса автор ставит и решает следующую задачу: Даны две прямые у = kjx и у = к2х и точка M на первой из них. Из т. M проведена ломаная с вершинами на этих двух прямых, звенья ломаной параллельны поочередно оси X и оси У. Выяснить, при каких условиях эта ломаная будет асимптотически приближаться к началу координат (ломаная может быть проведена в двух направлениях от точки М).

Решение этой задачи равносильно решению методом итерации системы двух уравнений с двумя неизвестными

(3)

при условии, что процесс начинается в точке M (точку M можно взять произвольно). Автор доказывает, что процесс итерации, примененный к уравнениям системы (3), всегда будет сходящимся (ломаная будет асимптотически приближаться к началу координат), если выражать У из того из уравнений (3), которое имеет меньший

по абсолютной величине угловой коэффициент, причем вычисления производятся по формулам

Так как кривые fi (х, у) = 0 и f2(x, у) = 0 в окрестности точки их пересечения можно заменить с некоторым приближением касательными, проведенными через точку пересечения кривых, то мы получаем следующее, очень удобное для практики, правило: при решении методом итерации системы (1) У нужно выражать из того уравнения, которое представляет кривую с меньшим наклоном к оси X.

В §§ 3—4 рассмотрено решение систем трех уравнений с тремя неизвестными, в § 5 — решение систем уравнений методом Ньютона.

Третья глава: «Решение систем п линейных уравнений с п неизвестными».

В небольшом вступлении выясняются неудобства решения систем линейных уравнений со многими неизвестными по формулам теории определителей (сложность, большая затрата времени, большая потеря точности, невозможность установления на счетной машине чисел с большим числом знаков). §§ 1—4 главы посвящены решению систем линейных уравнений методом простой итерации предложенным Д. Ю. Пановым*. §§ 5—7 — методом итерации Зейделя. В обоих случаях рассмотрены необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации. В § 7 проведено сравнение процессов простой итерации и итерации Зейделя. Изложение сопровождается решением примеров.

Четвертая глава: «Некоторые другие применения метода последовательных приближений в математике и ее приложениях».

В этой главе рассмотрены некоторые вопросы, имеющие ближайшее отношение к методу последовательных приближений, а именно:

1) задача обращения степенных рядов (§ 1);

2) численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка (§§ 2—5);

3) применение метода итерации в астрономии.

Пятая глава: «Применение метода последовательных приближений в школьном курсе математики в настоящее время».

V глава имеет целью выяснить значение метода последовательных приближений в школьном курсе математики. Глава состоит из четырех параграфов.

В § 1 рассмотрен вопрос о делении чисел и извлечении корней из чисел. Самым естественным, примитивным способом нахождения приближенных значений корней (из чисел) любой степени является

* Дополнение I к книге Дж. Скарборо «Численные методы мат. анализа», ГТТИ, М.-Л., 1934.

способ систематических проб. Усвоение этого способа не представляет труда для учащихся. Идея нахождения последовательных десятичных знаков числа должна быть краеугольным камнем весьма многих числовых расчетов в преподавании математики.

В § 2 рассмотрено приближенное деление отрезка прямой, окружности и дуги окружности на данное число равных частей. Этот вопрос исключительно важен для преподавания математики.

Деление отрезка на равные части производится, как известно, с помощью угла, образуемого данным отрезком с произвольным лучом, проведенным из конца данного отрезка. Этот способ учащиеся изучают только в 7-м классе. Некоторые учителя уже в 5—6 классах знакомят учащихся с делением отрезка на равные части по способу последовательных приближений, который и рассмотрен в настоящем параграфе.

Разделить окружность с помощью циркуля и линейки можно, как известно, не на любое данное число равных частей. По способу последовательных приближений можно выполнять деление окружности и дуги окружности на любое число равных частей. Процесс последовательных приближений здесь всегда сходящийся.

§ 3 посвящен вопросу вычисления десятичных логарифмов.

С логарифмами учащиеся впервые встречаются в IX классе. Каждый учащийся девятых и десятых классов знаком с таблицей десятичных логарифмов. У учащихся, естественно, возникает вопрос: как составляются таблицы логарифмов?

Диссертантом рассмотрены два способа вычисления десятичных логарифмов, имеющих отношение к способу последовательных приближений. Первый способ основан на том, что уравнение 10х = b легко разрешимо с точностью до целых путем последовательных систематических проб. Второй способ основан на применении непрерывных дробей.

В § 4 рассмотрен вопрос о вычислении числа П.

Впервые учащиеся знакомятся с числом П в 5-м классе при прохождении темы «Решение задач с геометрическим содержанием». В 9-ом классе учащиеся вновь встречаются с числом П при изучении темы «Длина окружности». Обычно после вывода формул для вычисления длины окружности и ее дуги учителя дают учащимся понятие о вычислении числа П, но уделяют этому недостаточно внимания. Знакомство учащихся с вычислением числа П совершенно необходимо, ибо оно способствует уяснению вопроса о длине окружности и повышает прочность запоминания его. Как показывает опыт, учащиеся только тогда хорошо усваивают математический материал, когда они умеют ответить на вопросы: «Как построить?» и «Как вычислить?».

Наиболее распространенными способами вычисления числа П в элементарной математике являются архимедовский способ вычисле-

ния периметров и более поздний способ равных периметров. Другие способы вычисления числа П встречаются в учебниках геометрии весьма редко. Способ периметров получил особенно широкое распространение в нашей школе. Это можно объяснить тем, что в его основании лежат простые формулы удвоения числа сторон многоугольников и что он наиболее естественно связан с определением данных окружности. Правда, этот способ дает медленную сходимость, тогда как способ равных периметров дает более быструю сходимость.

В этом параграфе произведено вычисление числа П по архимедовскому способу периметров с точностью до тысячных и (для сравнения) с помощью тригонометрических функций с пятью верными десятичными знаками (последний способ не является способом последовательных приближений).

В главах VI—VII рассмотрены вопросы, предлагаемые автором для использования в средней школе. Автор сделал попытку дать разработку материала этих глав для школьного употребления.

Шестая глава: «Решение уравнений и систем уравнений с численными коэффициентами по способу последовательных приближений в школьном курсе математики».

Глава состоит из шести параграфов.

В § 1 рассмотрен вопрос о решении квадратного уравнения с очень малым коэффициентом при неизвестном во второй степени. В VIII классе средней школы учащимся дается вывод общей формы

(4)

корней полного квадратного уравнения вида

ах2 + Ьх + с = 0 (5)

Формула (5) мало пригодна для численных вычислений в том случае, когда коэффициент а при неизвестном во второй степени очень мал по сравнению с коэффициентами b и с. Действительно, вычислив приближенное значение У Ь2 — 4ас и разделив на 2а, мы разделим на 2а и ошибку, которую допускаем при вычислении }/“ Ь2 — 4ас, отчего эта ошибка значительно увеличится.

Квадратные уравнения с весьма малым коэффициентом при неизвестном во второй степени часто приходится решать, например, в физике. Во избежание большой потери точности при решении уравнения (4) по формуле (5) целесообразно уравнение (4) представить в виде

и решать его по способу последовательных приближений. Автор показывает, что процесс последовательных приближений здесь сходящийся.

Диссертантом рекомендуется познакомить учащихся с этим способом решения квадратного уравнения на занятиях школьного математического кружка или при повторении материала.

Если в уравнении (4) известный член С весьма мал по сравнению с коэффициентами а и Ь, то это уравнение удобнее всего решать тоже по способу последовательных приближений.

§ 2 посвящен решению алгебраического уравнения любой степени с численными коэффициентами.

В средней школе учащиеся знакомятся с решением только квадратных уравнений и некоторых уравнений высших степеней, приводимых к квадратным. В учебнике Киселева (ч. II, стр. 163, изд. 48 г.) говорится: «Уравнения с произвольными буквенными коэффициентами степени не выше четвертой разрешены алгебраически, т. е. для корней этих уравнений найдены общие формулы, составленные из коэффициентов уравнения посредством алгебраических действий.

В этом смысле уравнения с произвольными коэффициентами степени выше четвертой не могут быть разрешены алгебраически (теорема Абеля), однако, если коэффициенты уравнения какой угодно степени выражены числами, всегда есть возможность вычислить с желаемой степенью приближения все его корни как вещественные, так и мнимые. Способы такого вычисления излагаются в высшей алгебре».

Вот и все, что учащиеся узнают в средней школе о решении алгебраических уравнений любой степени. Как же найти с нужной точностью решение неразрешимого алгебраически уравнения, если нет сомнения в существовании решения? Этот вопрос нельзя оставить без ответа.

В «Алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, ч. II (пособие для учителей средней школы, Учпедгиз, Л., 1954) рассмотрен графический способ вычисления действительных корней уравнений с действительными коэффициентами. Для получения более точных результатов рекомендуется пользоваться приемом, указанным в гл. IV, § 7. Этот прием есть не что иное, как способ Ньютона.

Общим методом решения алгебраического уравнения любой степени с численными коэффициентами является метод последовательных приближений. Диссертант рекомендует этот метод в качестве темы для математического кружка учащихся 9-х классов средней школы. В X классе с этим методом можно ознакомить учащихся на уроке, при повторении алгебраических уравнений, с отведением для этой цели одного классного урока и двух домашних заданий. Для более углублённой проработки этот способ рекомендуется в качестве темы для математического кружка. Усвоение способа последовательных приближений для учащихся не представит особого труда, т. к. этот способ можно изложить в доступной для учащихся форме. Большое внимание следует уделить подбору примеров на вычисление корней уравнений методом итерации. Попутно с рассмотрением

примеров выясняется много полезного и интересного о функции; учащиеся овладевают навыками построения графиков функций, работы с таблицами.

Диссертация написана с учетом ныне действующей программы по математике для средней школы. Если в программу алгебры X класса будет введено понятие производной (см. «Программы средней школы. Математика V—X классы (Проект для обсуждения). АПН РСФСР, М., 1943), то возможности использования метода последовательных приближений в средней школе возрастут; учащимся можно будет дать аналитическое доказательство теоремы об условиях сходимости процесса итерации.

В § 3 рассмотрено извлечение квадратных корней и уточнение табличных значений квадратных корней по способу итерации.

Сперва автор доказывает равносильность уравнений

х2 = а (6)

(где а — любое положительное действительное число) и

(7)

затем дает доступное для учащихся IX—X классов доказательство возможности нахождения положительного корня уравнения (7) путем применения метода итерации к последовательности.

(8)

(n = 0, 1, 2, 3,...).

После теоретического обоснования сходимости последовательности (8) к у а дается геометрическая иллюстрация процесса итерации, затем устанавливается связь между относительными погрешностями двух последовательных приближений, выясняется, что процесс итерации сходится здесь очень быстро. Этим можно пользоваться для уточнения значений квадратных корней, найденных по четырехзначным таблицам (иногда в практике бывают нужны такие более точные значения корней). Если табличное значение j/~a (а заключено между 1 и 100) с четырьмя значащими цифрами (т. е. с тремя десятичными знаками) принять за исходное, то уже первое приближение дает в два раза больше верных десятичных знаков, чем исходное, т. е. шесть верных десятичных знаков. В диссертации разобран ряд примеров.

В конце параграфа проведено сравнение трех способов вычисления квадратных корней: обычного алгорифма, способа итерации и извлечения квадратных корней с помощью непрерывных дробей. Из этих способов самым практически удобным является способ итерации. Ряд получающихся по этому способу значений сходится во много раз быстрее, чем при обычном алгорифме.

Процедура извлечения квадратного корня по формуле (8) была известна еще древним грекам.

Автор рекомендует извлечение квадратных корней по способу итерации в качестве темы для математического кружка учащихся IX—X классов.

§ 4 посвящен решению некоторых трансцендентных уравнений.

В общем случае трансцендентное уравнение не может быть решено элементарными средствами, т. е. нельзя установить правила, позволяющего получить каждое решение уравнения путем последовательного выполнения алгебраических действий над данными числами. Только в сравнительно немногих частных случаях общее решение трансцендентного уравнения можно получить в виде формулы (или нескольких формул), содержащей элементарные операции над известными числами. Элементарная математика ограничивается рассмотрением лишь весьма частных видов трансцендентных уравнений (и их систем), допускающих решение элементарными средствами. В школьном курсе алгебры и тригонометрии (IX—X классы) под названием показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений изучаются различные частные виды трансцендентных уравнений.

В тех случаях, когда трансцендентное уравнение не может быть решено с помощью элементарных действий, удобно пользоваться методом последовательных приближений.

Автор рекомендует познакомить учащихся с решением некоторых трансцендентных уравнений способом последовательных приближений на уроке: с решением показательных и логарифмических трансцендентных уравнений — в IX классе, при изучении темы «Показательные и логарифмические уравнения», с решением трансцендентных тригонометрических уравнений — в X классе, при изучении темы: «Тригонометрические уравнения». Для более углублённой проработки этот способ рекомендуется в качестве темы для математического кружка. В диссертации рассмотрено несколько примеров решения трансцендентных уравнений способом последовательных приближений.

В § 5 рассмотрено решение алгебраических уравнений любой степени с действительными коэффициентами по способу Н. И. Лобачевского.

Способ итерации годится для нахождения только действительных корней численных уравнений. Если данное уравнение алгебраическое и нужно знать и мнимые корни его, то выгодно пользоваться способом Н. И. Лобачевского.

В настоящее время способ Лобачевского является одним из самых эффективных способов приближенного вычисления корней алгебраического уравнения любой степени с действительными коэффициентами. По этому способу одновременно получаются и действи-

тельные и мнимые корни уравнения. Этот способ не требует предварительного отделения корней.

В начале параграфа автор коротко излагает вопрос о приоритете изобретения рассматриваемого способа Н. И. Лобачевским, затем рассматриваются (с примерами) наиболее простые случаи решения алгебраических уравнений по способу Лобачевского.

Способ Лобачевского может быть рассмотрен в средней школе только в его простейших случаях (в порядке кружковой работы). Для студентов же физико-математического факультета пединститутов этот способ вполне доступен, и представляется желательным ознакомление будущих учителей с этим способом.

Последний (6-й) параграф главы посвящен решению систем уравнений с численными коэффициентами по способу итерации.

Большое внимание следует уделить геометрической интерпретации процесса итерации. Сущность метода итерации лучше всего уясняется, если решить большое количество примеров; желательно использование настенных таблиц и графиков. Применение метода итерации способствует более прочному и глубокому усвоению понятия функции и приобретению вычислительных навыков. В диссертации автор подробно разбирает ряд примеров решения систем уравнений с численными коэффициентами способом итерации. Познакомить учащихся IX — X классов с этим способом автор рекомендует на занятиях школьного математического кружка: в IX классе — после изучения темы «Последовательности чисел» и знакомства с методом последовательных приближений, в X классе — при изучении темы «Уравнения высших степеней».

Седьмая глава: «Некоторые другие возможные применения метода последовательных приближений в школьном курсе математики».

Глава состоит из четырех параграфов.

В начале § 1 дается краткая историческая справка о числе П. Учащиеся всегда с большим интересом слушают и читают сведения из истории математики. В учебнике геометрии Киселева, ч. I (стр. 145—146 по изд. 1946) об истории вопроса о числе П написано всего две фразы, причем там сказано, что «английский математик Шенкс в 1873 г. нашел 707 десятичных знаков числа П» но не сказано, что эти знаки, начиная с 528-го, неверны.

Далее в диссертации рассмотрены следующие четыре способа вычисления числа П:

1) способ средних арифметических;

2) способ равных периметров;

3) способ Снеллия-Гюйгенса;

4) вычисление числа П с помощью рядов. (В главе V были рассмотрены два способа вычисления числа П, применяемые в школе: архимедовский способ периметров и вычисление с помощью тригонометрических функций).

Способ средних арифметических предложен А. К. Власовым в ст. «Квадратура круга и циркулятура квадрата» (Ж. «Матообразование», 1912, №№ 1, 7) для учащихся средней школы. Это элементарный способ, но нельзя сказать, что он прост для учеников IX — X классов. Вывод формул, с помощью которых вычисляется число П, и оценка погрешности при вычислении числа П для учащихся затруднительны. Этот способ можно рекомендовать для изучения только более сильным учащимся старших классов, а также студентам физико-математического факультета пединститутов.

Метод равных периметров вполне доступен для учащихся IX класса, и желательно познакомить их с этим методом (наряду с методом периметров). Это можно сделать на уроке. Полезно сопоставить оба этих метода. Это и сделано в диссертации.

Способ Снеллия-Гюйгенса для учащихся IX — X классов затруднителен. Его можно рекомендовать только более сильным учащимся (в порядке индивидуальных заданий как для рассмотрения в математическом кружке). Представляется полезным также ознакомление с этим способом студентов физико-математического факультета пединститутов (в студенческом математическом кружке, в порядке кружковой или самостоятельной работы).

В конце параграфа проведено сравнение рассмотренных способов вычисления числа П.

Для учащихся средней школы наиболее приемлемыми являются способы периметров и равных периметров. Автор предполагает познакомить учащихся с этими способами на уроке. Желательно познакомить учащихся и с другими, рассмотренными в диссертации, способами (в порядке кружковой работы или индивидуальных заданий особо успевающим).

§ 2 главы посвящен решению некоторых геометрических задач на построение методом последовательных приближений.

Геометрические задачи на построение являются важным фактором математического образования. Они развивают активность учащихся, пробуждают их творческие силы, инициативу. Ряд геометрических задач на построение неразрешимы точно циркулем и линейкой. Вопрос о разрешимости геометрических задач на построение циркулем и линейкой является не элементарным и в средней школе не рассматривается. Но часто учащиеся в средней школе узнают о «неразрешимых» задачах (квадратура круга, трисекция угла и др.). но не получают в средней школе исчерпывающих объяснений по этим вопросам. У учащихся создается впечатление, что эти задачи действительно неразрешимы никаким способом. В тех случаях, когда задача неразрешима точно с помощью циркуля и линейки или когда не удается найти решение ее элементарным путем, большую услугу оказывает метод последовательных приближений.

Автор рекомендует познакомить учащихся IX — X классов с этим методом решения геометрических задач на построение в школьном математическом кружке. В диссертации рассмотрено несколько примеров применения метода к решению геометрических задач на построение, выяснено, что этот метод вполне доступен учащимся IX — X классов.

В § 3 рассмотрено решение косоугольных треугольников посредством логарифмической линейки с помощью метода последовательных приближений.

Учащиеся средней школы, кроме глубоких и прочных знаний в объеме, определяемом программой, должны овладеть рядом умений и навыков, в том числе умением пользоваться счетными приборами. Одним из таких приборов является счетная логарифмическая линейка. В настоящее время уже признана необходимость изучения логарифмической линейки в школе. В настоящем параграфе рассмотрены два случая решения косоугольных треугольников посредством логарифмической линейки с помощью метода последовательных приближений:

1) даны две стороны треугольника и угол между ними. Найти третью сторону и два других угла;

2) даны три стороны треугольника. Найти его углы.

В последнем (4-м) параграфе рассмотрено одно курьезное применение способа последовательных приближений в практике счетовода. Следует отметить, что счетные работники очень часто пользуются способом последовательных приближений. Приведем еще один пример. Одной из артелей г. Калинина поступил заказ: изготовить 8603 штуки некоторых изделий, из них часть по 4 руб. 10 коп. и часть по 33 руб. за штуку, а всего на сумму 53797 руб. 20 коп. В заказе не было указано, сколько тех и других изделий нужно изготовить.

Эту простую задачу легко можно решить арифметически (задача на предположение) или путем составления линейного уравнения с одним неизвестным. Однако счетные работники артели смогли решить эту задачу только по способу последовательных приближений (вычисления производились с помощью арифмометра), указанные выше способы ими забыты.

В «Приложении» описан эксперимент, целью которого было установить:

1) объем и содержание материала, который может быть изучен учащимися средней школы по методу последовательных приближений;

2) приемы знакомства учащихся с методом последовательных приближений;

3) доступность метода последовательных приближений для учащихся средней школы;

4) пользу от изучения метода последовательных приближений.

Вся экспериментальная работа проводилась в три этапа.

Первый этап. В 1950 — 51 и 1951 —52 уч. гг. при Калининском Государственном пединституте им. М. И. Калинина работал городской математический кружок учащихся старших классов средних школ г. Калинина и Калининского Суворовского училища. Автором было проведено несколько занятий математического кружка, посвященных способу последовательных приближений. На занятиях учащиеся ознакомились с делением отрезка прямой, окружности и дуги окружности на данное число равных частей, с решением алгебраических и некоторых трансцендентных уравнений, с извлечением квадратных корней по способу последовательных приближений, а также с некоторыми применениями способа последовательных приближений в практике счетных работников. Учащиеся с интересом изучали новый для них метод. Занятия показали, что изучение некоторых применений способа последовательных приближений вполне доступно учащимся старших классов средней школы.

Второй этап. В 1953 — 54 уч. г. автор предложил способ последовательных приближений в качестве темы для студенческого научного общества при Калининском пединституте (секция физико-математического факультета). Работать над этой темой изъявила желание студентка III курса Тетерина Г. М. Ею же в декабре 1953 г. написана курсовая работа на тему: «Некоторые применения метода итерации в школьном курсе математики». (Курсовая работа приложена к диссертации), а в апреле 1954 г .т. Тетерина выступила с докладом на эту же тему на конференции научного студенческого общества (секция физикоматематического факультета), посвященной итогам работы общества за 1953 — 54 уч. г. Доклад был выслушан участниками конференции с большим интересом.

Третий этап. В феврале—марте 1954—55 уч. г. автором проводились занятия математических кружков учащихся IX классов средних школ № 8 и № 13 г. Калинина, на которых учащиеся знакомились с некоторыми применениями способа последовательных приближений. В кружки входили учащиеся различной успеваемости.

По словам учителей математики 3. А. Плотниковой (СШ № 13) и А. П. Филипповой (СШ № 8) некоторые члены кружков повысили в третьей четверти успеваемость по математике. Учащиеся стали больше интересоваться математикой. Хотя посещение занятий кружка было добровольным и свободным, отсева не было, наоборот, в кружок вливались новые члены. Работа автора в упомянутых кружках продолжается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенного исследования автор пришел к следующим выводам:

1) изучение способа последовательных приближений содействует устранению разрыва между школьной математикой и современным состоянием математических наук;

2) этот способ позволяет объединить ряд разрозненных вопросов курса одной общей идеей — идеей последовательных приближений.

3) в настоящее время в школе слишком мало внимания уделяется функциям и графикам. Способ последовательных приближений способствует лучшему усвоению понятия функциональной зависимости, т. к. при решении задач этим способом графики функций в большинстве случаев являются отправным, исходным моментом. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений способом итерации помогает учащимся осознать роль графического изображения функций.

Научить учащихся свободно строить графики и пользоваться ими — одна из важных задач в преподавании математики.

4) способ последовательных приближений способствует более прочному и глубокому усвоению понятия предела, т. к. этот способ является хорошей иллюстрацией применения понятия предела и теорем о пределах;

5) решение геометрических задач на построение методом последовательных приближений усиливает связь между математикой и черчением;

6) в приложениях математики обычно требуется довести задачу до числового результата. Одной из задач школьного курса математики является выработка у учащихся сознательных и прочных умений и навыков в выполнении различных числовых расчетов. Способ последовательных приближений способствует повышению вычислительной культуры учащихся;

7) численные способы решения, к которым относится и способ последовательных приближений, приучают к пользованию различными таблицами. Весьма полезными оказываются также такие приборы, как русские счеты, логарифмическая линейка и арифмометр. Способ последовательных приближений будет содействовать их популяризации в школе.

Способ последовательных приближений заслушивает того, чтобы его использовали в средней школе больше, чем это делается сейчас.

Л 101321. Объем 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ 2919.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР