АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Беспамятных Н. Д.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика математики)

Научное и методическое значение алгебраических работ Н. И. Лобачевского

Если геометрические работы Н. И. Лобачевского изучены достаточно тщательно и давно получили достойную оценку, то этого нельзя сказать о других его исследованиях в области математики, имеющих также существенное значение для истории русской науки. Недостаточно выяснена роль Н. И. Лобачевского в развитии методических идей в России.

В освещении алгебраических исследований Н. И. Лобачевского пробел существенным образом был недавно восполнен обзорной статьей и комментариями проф. Н. Г. Чеботарева в вышедшем в этом году IV томе Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского; в небольшом ряде ранее опубликованных обзорных статей дана оценка исторического значения преимущественно частных результатов Лобачевского в области алгебры. Вопрос о методическом значении алгебраических сочинений Лобачевского, составляющих из трёх два учебных руководства, в этих работах не рассматривался. Элементарная часть «Алгебры» Лобачевского (формальная теория арифметических операций) не получила еще должной оценки. Вопрос о приоритете Лобачевского в отношении ряда его научных открытий в области алгебры требует уточнения. Изучение этих вопросов имеет то значение, что оно позволит полнее понять роль Лобачевского как русского учёного в развитии науки и оценить, его деятельность как просветителя.

Предлагаемая работа написана на основании анализа двух алгебраических сочинений Н. И. Лобачевского («Алгебра или вычисление конечных» и рукопись по алгебре), опубликованных конспектов Лобачевского по преподаванию математики, документов, воспоминаний, относящихся к его педагогической деятельности, русской и иностранной научной и учебной литературы первых десятилетий прошлого века; использованы также работы по истории Казанского университета и работы о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского.

1. В связи с ростом средних учебных заведений в России в начале прошлого столетия росла потребность в учебных руководствах, которую Министерство просвещения не могло удовлетворить Недостаток в учебниках остро ощущался повсюду, особенно в периферийных учебных округах. В связи с этим, в ряде университетов была сравнительно широко развернута деятельность попаданию учебников. В Казанском учебном округе к началу 1821 года в ведении Казанского университета находилось 10 гимназий и свыше сотни других училищ. Попечителем округа было предложено профессорам университета написать учебные руководства для средних учебных заведений. Лобачевский первый в этом плане подготовил к печати сначала курс элементарной геометрии, затем курс элементарной алгебры (1825 г.). Оба эти сочинения не были напечатаны. Курс алгебры со значительной переработкой был издан в 1834 году и рекомендован для студентов университета и учителей. Однако и первоначальный вариант обладал высокими научными и дидактическими достоинствами.

2. В первые десятилетия прошлого века в школьной практике продолжали пользоваться учебниками алгебры XVIII столетия; были в употреблении и новые учебники, но они носили на себе следы значительного влияния тех же учебников XVIII столетия. Независимо от большей или меньшей строгости в изложении частных вопросов, все эти учебники имели один существенный недостаток—отсутствие логической строгости в теории арифметических операций, составлявшей основную часть курса элементарной алгебры. В ряде иностранных руководств теория арифметических операции играет второстепенную роль. Она подчинена основной идее алгебры—решению уравнений (Лакруа).

К чести русских математиков и методистов следует отнести тот факт, что хотя многие из них и разделяли эту же точку зрения на предмет алгебры (фактически учебного предмета), но никогда не принижали роль её арифметической части и формальных преобразований. Недоставало, однако, строгости изложения этого раздели.

3. Методы преподавания были рассчитаны преимущественно на механическое заучивание материала, а не на его сознательное усвоение. Диктант и самостоятельное чтение учебника учащимися были преобладающими формами преподавания. Основное внимание обращалось на технику счета, алгорифмическую сторону алгебры, а не на её основные понятия. Математические понятия выяснялись на конкретных примерах и строго не определялись. Понятие математической строгости в должной мере не воспитывалось у учащихся (например, заключения делались оо неполной индукции).

4. Н. И. Лобачевский решительным образом порывает с традиционным методом изложения алгебры как в школьном преподавании, так и в учебниках. Построение курса алгебры, по мнению Лобачевского, должно быть систематическим, изложение—логически строгим, научным. Таково должно быть и преподавание этого предмета в гимназиях. Взгляд Лобачевского был передовым, прогрессивным, так как он соответствовал возраставшим требованиям к строгости в самой математике. В соответствии с этим взглядом Лобачевский построил свои курс элементарной алгебры.

Элементарный курс алгебры Лобачевского представляет собой одну из первых попыток в мировой литературе дедуктивного построения начал алгебры на строго логических основаниях.

Курс начинается с изложения основных понятий; первые б глав излагают формальную теорию основных арифметических операций, па которой строится дальнейший материал курса. В этом отношении рассматриваемая работа Н. И. Лобачевского знаменует переход от традиционных, ведущих начало от алгебры Эйлера и др. математиков XVIII столетия, не строгих, интуитивно-эмпирических методов изложения к логически строгой и последовательной форме изложения. Метод Лобачевского был апробирован им самим в педагогической практике, так как курс создавался из лекций, читанных в Казани в первые годы его преподавательской и научной деятельности. Кроме того, по учебникам Лобачевского и под его непосредственным руководством преподавалась алгебра в Казанской гимназии. Поэтому с полным правом можно сказать, что Лобачевский положил начало новому, дедуктивному направлению в области преподавания алгебры и в построении учебного курса по этому предмету.

5. Н. И. Лобачевский проявлял глубокий интерес к вопросам преподавания математики. В вопросе о целях среднего математического образования (основном вопросе общей методики) Лобачевский расходился с официальным, н существе своем реакционным, направ-

лением, принятым реформой 1828 года. Единство формального и материального образования составляет, по Лобачевскому, основное содержание математического образования в гимназиях. Трудности усвоения математики обуславливаются отвлеченностью ее понятий. Эти трудности могут быть преодолены искусством преподавания. Слабый успех в изучении математики Лобачевский приписывал недостаткам методики преподавания. Содержательное, а не формальное, преподавание, сознательное, а не механическое заучивание, облегчают усвоение математики, воспитывают способность суждения, отвлеченного мышления. Преподавание в старших классах гимназий должно быть систематическим, логически строгим. Строгость и систематичность начинаются с преподавания алгебры. Лобачевский дал исключительно тонкий логический анализ причин специфических трудностей усвоения математики (особенно на первых порах её изучения) который и теперь может служить образцом для решения методических вопросов.

6. Биографы Лобачевского обычно утверждают, что он в шкале Бартельса имел возможность получить разносторонние и глубокие знания в области математических наук. Однако, нет данных утверждать, что Лобачевский мог получить у Бартельса сколько-нибудь значительной подготовки по алгебре (как и геометрии). Бартельс не оказал влияния ни на характер, ни на развитие творчества Лобачевского. Курс алгебры Лобачевского совершенно оригинальный и не нуждается в гипотезе о чьём-либо влиянии.

7. Курс Лобачевского отражает идею развития понятия о числе. Вводя тем или иным способом операции для новых категорий чисел, Лобачевский прежде всего изучает свойства этих операций— единственность и коммутативность; рассмотрен дистрибутивный закон. Кроме того, Лобачевский всегда подчеркивает ту основную мысль, что операции для новой категории чисел остаются справедливыми для прежней. Для степени и логарифма решается вопрос об единственности. Эта логическая схема Лобачевского явилась основой для формально-логического построения арифметики. В ряде случаев изложение приближается к аксиоматическому. В этом смысле его справедливо назвать не только предшественником, но и родоначальником аксиоматического метода в арифметике. В этом состоит основное ваучное значение элементарной части его курса Между формальной теорией арифметических операций Лобачевского и той же теорией Гельыь гольца имеется определенная связь.

8. Развитое аксиоматического направления в арифметике и алгебре связывается обычно с именами таких математиков, как М. Ом Пикок, Гамильтон, Де-Морган, Грассман, Гвльмгольц и т. д. (Кэджори, Клейн, Бархов) Имя Лобачевского в этом ряду не упоминается, имя же Ома значатся в числе первых. Однако, первую работу М. Ома (1822 г.) нельзя ставить в один рад с рукописью Н. Лобачевского. Рукопись Лобачевского стоит неизмеримо выше в научном и методическом отношениях. Заслуживают внимания лишь последующие, радикально переработанные издания книги М. Ома, но они относятся уже к 1837 году. Поэтому Лобачевский должен быть отмечен в числе первых математиков, сыгравших роль в развитии аксиоматики в XIX столетии.

9. Из всей обширной алгебраической литературы рассматриваемого периода нельзя указать курса, который отвечал бы в полной мере, требованиям учителей, т. е. отличался бы от гимназического более высоким научным уровнем изложения и большей полнотой сосодержания и в то же время приносил бы пользу учителю в его практической работе. Лобачевский заполнил этот пробел: его курс, изданный в 1831 году, вполне отвечал высоким требованиям руководства для учителей.

10. Курсы Лобачевского имели большое значение в деле алгебраического образования в Казанском университете и Казанской гимназии.

11. В изданном в 1834 году курсе алгебры Лобачевский дал ряд результатов собственных исследований. К ним относятся: теория детерминантов, способ решения двучленных уравнений и метод численного решения уравнений высших степеней. Метод решения двухчленных уравнений Лобачевского с исчерпывающей полнотой изложен в упомянутой выше работе проф. Н. Г. Чеботарева.

В теории детерминантов «представительные выражения» Лобачевского являются усовершенствованием общих выражений для неизвестных системы, полученных Коши. В учении о детерминантах ход идей Коши и Лобачевского различный. Коши рассматривает детерминанты как особый вид симметрических функций и находит их приложение к решению линейных уравнений; Лобачевский же рассматривает их как самостоятельный математический об'ект, но полученный в результате решения линейных уравнений. Кроме того, Лобачевский дал «метод общих собственных выражений» (теория определителей). Эти заслуги Лобачевского в развитии детерминантов должны быть отмечены в курсах но истории математики. Имеющиеся по это у вопросу работы требуют корректива1).

Лобачевский построил общую теорию численного решения уравнений высших степеней посредством образования вспомогательного уравнения, корни которого равны н-ым степеням корней данного и отсюда, как частный случай, получил метод квадрирования. Этот метод является основным в работах Данделена и Греффе, посвященных этому вопросу. Создание эффективного метода численного решения уравнений, каким оказался метод Лобачевского, являлось актуальной задачей алгебры.

12. Лобачевский первый дал систематическое изложение аналитической теории тригонометрических функций,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На фоне алгебраической и методической мысли начала XIX века великий русский геометр Н. И. Лобачевский выступает перед нами как методист —новатор в преподавании алгебры; порвавши с изжившей себя традиционной методикой, он дал ей новое, дедуктивное направление; как пионер в развитии формально-логического направления и как алгебраист, внесший определенный вклад в развитие алгебраической науки.

Его работа „Алгебра или исчисление конечных“ является одним из классических произведений русской математической мысли.

1) Ни в капитальной работе Муира по истории детерминантов, ни в соответствующих статьях энциклопедий имя Лобачевского не встречается.

19904 Гродно 2«я тип. жСталинский маршрут 3» 363 т. 100 -27.4.49 г.