МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

В. И. БЕЛЯЕВ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ В УЧЕБНОМ ПРЕДМЕТЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В СВЯЗИ С ЕГО РАЗВИТИЕМ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель профессор И. К. Андронов.

Москва — 1953

Советский народ проявляет глубокий интерес к истории науки и техники в нашей стране. Вполне естественным является интерес советских учителей к истории развития отечественной методики преподаваемых ими учебных предметов.

Критический анализ учебников в историческом плане является одним из важнейших средств познания пути развития методики преподавания соответствующего учебного предмета. Излагая основы науки, учебник сообщает преподаванию определенную педагогическую и методическую направленность, соответствующую взглядам его автора.

Критический анализ учебников для изучения истории развития частной методики может дать в некотором отношении больше, чем разбор специальных методических работ и журнальных статей, так как реализуемые авторами учебников методические идеи часто не высказываются ими явно. Кроме этого, для историко-методических исследований периода, предшествующего появлению периодической педагогической печати, анализ учебников является часто единственным источником.

Анализ учебников в историческом плане создает ясную картину развития того или иного учебного предмета: его содержания, системы, глубины изучения отдельных вопросов, методов и приемов изложения. Представляется необходимым в руководствах по методике алгебры в средней школе, изложению методики преподавания этого учебного предмета предпослать исторический очерк его развития. Это даст возможность сознательно и критически оценить значение и место вопросов, составляющих его содержание, сознательно и критически воспринять рекомендуемые методы, творчески применять их. Однако в методических руководствах такой очерк отсутствует. Это побудило нас к работе над созданием такого очерка, который и представлен в первой части диссертации.

Вторая часть посвящена методике преподавания одного из основных разделов учебного, предмета алгебры, а именно: методике тождественных преобразований. На этом вопросе мы остановились потому, что тождественным преобразованиям, имеющим большой удельный вес в курсе алгебры, мало уделено внимания в методической литературе, гораздо меньше, чем другим разделам курса, хотя потребность в этом имеется большая. Большинство работ по этому вопросу носит характер методических разработок отдельных тем. В них главный упор делается на выработку технических навыков и мало внимания уделяется идейной стороне вопроса. По-

следнее относится также к изложению методики тождественных преобразований в общих руководствах по методике алгебры.

* * *

Очерк «Учебный предмет алгебры в русской средней школе в процессе его развития», составляющий содержание первой части, состоит из трех глав:

1-я глава — Учебники алгебры XIX века,

2-я глава— Учебники алгебры начала XX века (1900—1917 гг.),

3-я глава — Учебники алгебры советской школы.

Рассматривая учебники алгебры, мы обращали внимание прежде всего на эволюцию содержания и системы этого учебного предмета, на трактовку основных понятий и подход к их выяснению, на характер изложения центральных вопросов курса и доступность этого изложения. Характеризуя тот или иной учебник, мы старались отметить только наиболее существенные особенности, отличающие его от предшествующих ему учебников, отвлекаясь от отдельных недочетов непринципиального характера.

Первая глава начинается анализом «Универсальной арифметики» знаменитого математика, русского академика Леонарда Эйлера, впервые изданной в Петербурге в 1767—68 гг. Эта книга имеет особое значение в истории учебного предмета алгебры — так называемой начальной или элементарной алгебры. Она явилась прототипом позднейших учебников по этому предмету.

Эйлер определил основное содержание и систему учебного предмета алгебры. Он искусно отобрал материал для начального изучения (кроме общего решения уравнений 3-й и 4-й степени и большого раздела, посвященного неопределенному анализу), учитывая его практическую приложимость и возможность понимания, базируясь на знание обычной арифметики. Материал курса преподнесен так, что является непосредственным продолжением курса арифметики и начальной ступенью к изучению как высшей алгебры, так и анализа.

Чтобы придать анализу учебников алгебры целеустремленность, мы из большого числа учебников XIX века берем немногие — такие, по которым можно проследить прогрессивную линию развития отечественной методики алгебры в борьбе с реакционными влияниями, такие, которые были популярны в свое время и появление которых знаменовало определенный этап в истории учебного предмета алгебры в русской школе.

Из учебников XIX века с большими или меньшими подробностями рассмотрены учебники Н. И. Фусса, С. Лакруа, П. Н. Погорельского, Н. И. Лобачевского, Д. М. Перевощикова, А. Н. Тихомандрицкого, Н. А. Шапошникова, А. П. Киселева.

Прослеживая эволюцию содержания учебного предмета алгебры средней школы, начиная с «Универсальной арифметики» Эйлера, видим, что этот предмет уже в учебнике Погорельского (1825 г.) принял по содержанию тот вид, какой он имел в даль-

нейшем вплоть до начала XX века. «Алгебра» Погорельского знаменовала собой окончательное разделение алгебры в преподавании на «элементарную» — учебный предмет средней школы и «высшую», преподаваемую в университетах и в высших технических школах.

В процессе развития учебного предмета алгебры изменяется и его система. Вместо последовательного изложения сначала развития понятия о числе, затем тождественных преобразований и, наконец, уравнений, как это имеет место в «Универсальной арифметике» Эйлера, эти вопросы взаимно переплетаются. Но в отличие, например, от французского педагога-математика С. Лакруа, который в своем учебнике, стремясь удовлетворить психологическим запросам учащихся, выдвигает на первый план решение уравнений и тем самым нарушает логическую систему предмета и сильно принижает его арифметическую часть, русские авторы стремились к основательному изложению, наряду с разделом уравнений, также разделов учения о числе и тождественных преобразований и к такой системе курса, которая бы сочетала логический и психологический элементы в обучении. Изменения в системе расположения материала шли в направлении разрешения противоречия между научной последовательностью и дидактичностью.

Учебники алгебры первой половины XIX века и в значительной степени более позднего времени отличались индуктивным характером изложения, отсутствием логической строгости. Такой характер изложения относится прежде всего к вопросам развития понятия о числе, лежащих в основе дальнейших построений и, в частности, в основе тождественных преобразований. Отсутствие логической строгости особенно ярко обнаруживается при введении отрицательных чисел. Отрицательные числа и другие вновь вводимые числа по существу не определялись.

В этом отношении среди учебников алгебры резко выделяется учебник алгебры для гимназий, написанный в 1825 г. великим русским математиком Н. И. Лобачевским. Правда, этот учебник не был издан, но в 1834 г. он вошел как составная часть в изданную Лобачевским в Казани книгу «Алгебра или вычисление конечных», которая предназначалась в качестве «руководства для учителей и учебной книги для слушателей в университете».

Лобачевский большое значение придавал арифметической части курса. И именно в этой части он видел недостатки «Алгебры» Лакруа, указывая, что она «требует дополнения в алгебраической арифметике»1. Создавая учебник алгебры для гимназий, Лобачевский как раз и поднял на значительную высоту арифметические вопросы.

По содержанию гимназический курс алгебры Лобачевского отличается от других учебников главным образом тем, что

1 Н. Лобачевский. Наставления учителям математики в гимназиях, «Труды института истории естествознания Академии Наук СССР», 1948, т. II, стр. 559.

включает теорию арифметических операций над натуральными и дробными числами, причём здесь дается именно теория, обоснование этих операций и считается, что соответствующими навыками учащиеся овладели в курсе арифметики. На основе указанной теории строится учение об отрицательных числах.

Н. И. Лобачевский один из первых понял тот факт, что, только установив определения арифметических действий, можно считать определенными вновь вводимые числа. Он сделал одну из первых попыток построения теории арифметических операций над натуральными и рациональными числами на строго логических основаниях, предвосхитил аксиоматический метод введения различных категорий чисел, получивший развитие в 50-х годах XIX века.

Основательное изложение теории арифметических операций над рациональными числами, внимание к свойствам этих операций дали возможность. Лобачевскому с большой строгостью и обоснованностью изложить тождественные преобразования рациональных выражений.

После Лобачевского достаточное внимание к логической стороне в изложении учения о числе мы встречаем лишь в учебниках алгебры последней четверти XIX века и, прежде всего, в учебнике Н. А. Шапошникова (1876), хотя некоторый шаг вперед в изложении этих вопросов, по сравнению со своими предшественниками (не считая Лобачевского), делает А. Н. Тихомандрицкий (1853) в учебнике, написанном под идейным влиянием М. В. Остроградского.

Анализ учебников алгебры XIX века обнаруживает два противоположных направления в изложении вопросов, связанных с развитием понятия о числе. Одно из этих направлений (Погорельский, Перевощиков, Киселев в 1-м — 22-м изданиях, Билибин и др.) проводило так называемый «условный метод» в изложении указанных вопросов. Характерным для этого метода является введение новых чисел и установление правил действий над нами путем принятия ряда произвольных условий, подчиненных лишь формальным целям, в отрыве от реальных, конкретных представлений, являющихся источником вводимых понятий. Представители «условного» направления рассматривали отрицательные числа, не говоря уж о мнимых, как условные символы, знаки, не имеющие реального смысла.

Другое направление — «реальное». Авторы учебников этого направления (Тихомандрицкий, Давидов, Шапошников и др.), учитывая в какой-то степени психологические особенности восприятия учащихся, при расширении понятия числа стремились к выяснению реального смысла новой категории чисел, опираясь при этом на конкретные представления.

При условном методе изложения учения об отрицательных числах последние рассматривались лишь как аппарат, облегчающий приемы преобразований, и вводились в связи с преобразо-

ваниями целых рациональных выражений (Киселев). Это накладывало на изложение тождественных преобразований отпечаток необоснованности и формализма, создавало впечатление, что преобразования производятся по каким-то особым предписанным правилам, независимым от свойств арифметических действий над числами.

Условный метод изложения пользовался в конце XIX века и в начале XX века поддержкой Ученого комитета МНП, но был подвергнут острой критике со стороны передовых педагогов-математиков (Н. Нечаев, Н. А. Шапошников, Б. Герн, А. Н. Шапошников, А. Д. Агура, Е. Е. Кедрин). Однако критики условного метода указывали лишь на методическую непригодность этого метода и не могли вскрыть его методологической основы. Опираясь на характеристику, данную В. И. Лениным философским взглядам А. Пуанкаре1 и, в частности, его взглядам на сущность и природу математики (конвенционализм)2, сопоставляя их со взглядами сторонников условного направления, мы устанавливаем полную идентичность этих методологически порочных взглядов. Таким образом, расхождение между условным и реальным направлением в преподавании алгебры является не просто методическим, это расхождение отражало борьбу материализма и идеализма в математике.

Условный символизм в учебниках алгебры конца XIX и начала XX вв. (Билибин, Киселев), как и в более ранних учебниках (Погорельский), имел своим источником иностранные, а именно французские учебники (Беллявен, Бертран), учебники же реального направления продолжали лучшие традиции русской учебной литературы, восходящие к Л. Эйлеру, Н. И. Лобачевскому, М. В. Остроградскому, П. Л. Чебышеву.

Учебный предмет алгебры средней школы на протяжении XIX века не оставался неизменным: повышался его научный уровень, изменялась система в сторону большего приспособления для целей обучения в школе. Однако эти изменения не затрагивали основного содержания предмета. Основные идеи, положенные в основу «Универсальной арифметики» Эйлера, — развитие понятия числа, тождественные преобразования и уравнения — оставались центральными вопросами курса.

Уже со второй половины XIX века передовые русские ученые-математики и педагоги обращали внимание на чрезвычайную отсталость учебного предмета математики, в частности алгебры, от уровня развития математики-науки, на оторванность школьного курса от запросов практики. С другой стороны, развитие естествознания и техники предъявляло более высокие требования к математической подготовке, даваемой средней школой. В связи с этим выдвигаются предложения о реформе курса математики средней школы как со стороны содержания, так и со стороны методов

1 В. И. Ленин. Соч., т. 14, изд. 4-е, стр. 152.

2 В. И. Ленин. Философские тетради. Госполитиздат, 1938, стр. 347.

преподавания. Возникает прогрессивное педагогическое движение за реформу преподавания математики, истоки которого восходят к выдающемуся русскому математику М. В. Остроградскому и относятся к 50-м годам XIX века.

Показу передовой роли в возникновении и развитии этого движения русских педагогов В. Н. Шкларевича, С. И. Шохор-Троцкого, В. Е. Сердобинского, В. П. Шереметевского мы посвящаем приложение «К вопросу о возникновении и развитии движения за реформу преподавания математики в России в XIX веке», написанное на основании изучения нами этого вопроса в 1947—48 гг.

Центр тяжести реформы преподавания математики передовые русские педагоги видели в преобразовании на основе понятия функции обычного курса математики средней школы и, прежде всего, алгебры, а не в дополнении его элементами высшей математики. Ставится также вопрос об общем повышении научного уровня преподавания математики, о разработке таких методов, которые, учитывая возраст учащихся, обеспечивали бы вместе с тем сознательное и действенное усвоение материала.

Требование преобразования курса математики поставило ряд дидактических задач: в каком объеме ввести новые понятия, как эти понятия должны развиваться в процессе обучения, в каком взаимоотношении они должны быть со старым материалом, какими вопросами традиционного курса можно пожертвовать ради введения новых идей. Лучшим, более конкретным, решением этих вопросов могло быть создание учебников. Условия для появления учебников, отражающих идеи реформы, в царской России были неблагоприятны. Вплоть до 1917 г. эти идеи не находили по существу никакого отражения в программах МНП. Более того, официальные представители Ученого комитета МНП неоднократно высказывали отрицательное отношение к основной идее реформы — введению понятия функции и ее графического изображения. Однако, несмотря на это, такие учебники появлялись. Можно сказать, что почти все авторы учебников алгебры, вышедших в начале XX века, в той или иной степени стремились к преобразованию этого учебного предмета.

Из учебников начала XX века (1900—1917 гг.) мы рассматриваем учебники А. Н. Глаголева, К. Ф. Лебединцева, А. П. Киселева (23-е — 29-е издания), Д. М. Левитуса, В. Г. Фридмана, В. В. Лермантова, П. А. Долгушина, Д. А. Граве и из переводных — учебник Э. Бореля-П. Штеккеля. Пионером реализации в учебнике алгебры требований движения за реформу преподавания математики явился в нашей стране А. Н. Глаголев. Особенно много сделал в этом направлении К. Ф. Лебединцев.

Оценивая значение учебно-творческой работы К. Ф. Лебединцева, можно сказать, что он в условиях царской школы с ее консервативными программами создал контуры нового учебника алгебры, отразив прогрессивные требования о преобразовании содер-

жания школьного курса математики и методов его преподавания, сочетая это с общим повышением научного уровня учебного предмета. К. Ф. Лебединцев в противовес абстрактно-дедуктивному методу преподавания, господствовавшему в школе, выдвигает метод конкретно-индуктивный, который является дальнейшим развитием реального направления в преподавании алгебры. Проводимые Лебединцевым взгляды на содержание и метод преподавания алгебры явились для своего времени большим достижением русской методической мысли.

В настоящее время решение Лебединцевым вопроса о введении понятия функции в курс элементарной алгебры не может удовлетворить советскую школу прежде всего потому, что овладение этим понятием у него ограничивается лишь изучением небольшого числа конкретных функций и не ориентирует преподавание на исследование других простейших элементарных функций. Не может удовлетворить нас также метафизическое противопоставление Лебединценым конкретно-индуктивного и абстрактно-дедуктивного методов. Эти методы у него взаимно исключают друг друга. Нужен более гибкий подход к определению метода изложения на каждой ступени обучения.

В 1911 г., в 23-м издании, А. П. Киселев подверг свой учебник основательной переработке. Автор под влиянием критики отказался от условного метода при введении отрицательных чисел. В результате этого принимает естественный характер взаимоотношение между учением об отрицательных числах и разделом тождественных преобразований целых рациональных выражений. Одновременно с выпуском переработанного издания Киселев выпускает в качестве дополнения к своему учебнику брошюру «Графические изображения некоторых функций, рассматриваемых в элементарной алгебре».

Факт переработки самого распространенного в русской школе учебника А. П. Киселева в направлений конкретизации изложения вопросов развития понятия о числе (отказ от условного метода) и попытка в рамках официальной программы решить вопрос о реформе содержания курса алгебры (выпуск вышеуказанной брошюры) свидетельствуют о силе новых взглядов на преподавание математики. А. П. Киселев, восприняв эти взгляды, творчески реализовал их, приложив к этому свое педагогическое мастерство. Изменения, произведенные автором в 23-м издании, вместе с сохранившимися достоинствами прежних изданий подняли пошатнувшийся было, в связи с критикой условного метода, авторитет этого учебника.

Для пропагандируемых в начале XX века на Западе взглядов на преобразование курса математики средней школы и, в частности, курса алгебры было характерно одностороннее увлечение понятием функциональной зависимости в ущерб другим основным вопросам, пренебрежительное, ликвидаторское отношение к исто-

рически сложившейся системе, узко практический подход к определению содержания этого курса и методов его преподавания. Указанные взгляды не пользовались успехом среди русских педагогов-математиков. Однако они нашли отражение в отдельных учебниках. Так, учебники алгебры Левитуса и Фридмана отличались увлечением идеей концентризма, приводящей к нарушению логической последовательности в расположении материала, к нарушению принципа систематичности в обучении. В учебнике Фридмана, кроме того, сознательно, в целях упрощения изложения, допускаются логические погрешности.

Отрицательным явлением является также выход «Курса применимой алгебры» В. В. Лермантова, характерной чертой содержания которого является узкий практицизм, утилитаризм, а характерной чертой метода изложения—возведенный в принцип догматизм. Автор «применимой алгебры» чрезвычайно принижает теорию. Сообщая догматически те или иные правила, он поучает учащихся меньше думать и рассуждать, применяя их.

Лермантов проводил в преподавании идеи реакционнейшей буржуазной философии прагматизма—разновидности субъективного идеализма. Эта философия, отождествляющая истинное с практически полезным и выгодным, получила в конце XIX — начале XX веков распространение в Англии и США. Ее отражением в преподавании математики было так называемое «движение Перри». Педагоги-прагматисты, выполняя социальный заказ, ставят целью школы воспитание послушных слуг империализма.

С удовлетворением отмечаем, что взгляды на преподавание математики, проводимые Лермантовым, не нашли поддержки в среде русских педагогов-математиков. Его учебник получил отрицательную оценку как со стороны противников реформы преподавания математики, так и со стороны ее сторонников.

В главе «Учебники советской школы» мы останавливаемся на характеристике программ по математике советского периода и положении алгебры в них, на вопросе об извращениях в области учебной литературы («рабочие книги»), рассматриваем учебники К. Ф. Лебедницева, А. П. Киселева, Н. А. Извольского, С. С. Державина и П. С. Александрова-A. Н. Колмогорова.

В отношении первых программ по математике 1918—1921 гг. отмечается, что, несмотря на многие недостатки их (перегруженность, тенденция к комплексной системе, принижение раздела тождественных преобразований и др.), им присуща общая положительная черта — введение в школьный курс понятия о функциональной зависимости, сближение преподавания с жизнью, с практикой. Таким образом, то, что в дореволюционное время пропагандировалось и отчасти проводилось (хотя бы в учебной литературе) вопреки воле царского министерства народного просвещения,— реализуется уже в первых советских программах.

Имеются положительные черты такого же характера и в программах 1924—1930 гг. Однако порочные методы преподавания, некритически заимствованные из арсенала буржуазной педагогики (комплексность, метод проектов, Дальтон-план и т. п.), положеные в основу структуры этих программ и проводимые на практике, не обеспечивали прочных знаний и навыков учащихся.

Из учебников алгебры 20-х годов с положительной стороны как по содержанию, так и по характеру изложения выделяются «Элементы алгебры» А. П. Киселева, изданные в 1925 г.1. Они представляют собой новый этап в истории учебника алгебры этого автора. Заметим, что как при радикальной переработке учебника в 1911 г., так и теперь решающую роль сыграла педагогическая критика. Автор, в частности, учел замечания, данные видным методистом-математиком Б. Б. Пиотровским в рецензии на 31-е (1-е советское) издание его «Элементарной алгебры» (1922), б отношении неудачного введения в курс вопросов, связанных с понятием функции.

Характерно также, что, создавая «Элементы алгебры», А. П. Киселев руководствовался программами по математике, изданными научно-методическим советом Ленинградского губОНО в противовес действовавшим в то время комплексным программам.

Когда, после постановления ЦК ВКП (б) «Об учебниках начальной и средней школы», встал вопрос об издании в кратчайший срок по всем предметам стабильных учебников, то в качестве такого учебника по алгебре издается «Алгебра» А. П. Киселева под «ред. А. Н. Барсукова. В основу этого учебника были положены «Элементы алгебры». Последние среди учебников алгебры, имеющихся к моменту исторических постановлений ЦК ВКП (б) о школе, в большей степени отвечали потребностям школы на новом этапе, хотя, конечно, не могли удовлетворить школу в полной мере.

Вопрос о создании учебника, полностью отвечающего научным и педагогическим требованиям, изданием учебника Киселева не был снят. Вместе с тем решение об его издании было правильным, так как для создания полноценного учебника необходимо было время. Это подтверждает неудачный опыт издания скороспелых учебников по арифметике и геометрии, в результате которого и по этим предметам пришлось обратиться к испытанным на практике руководствам А. П. Киселева.

Изменения в стабильном учебнике Киселева по сравнению с его «Элементами алгебры» заключаются, главным образом, в некотором изменении расположения материала, в исключении одних вопросов и сокращенном изложении других. Не все эти изменения были целесообразны. Некоторые из них (исключение про-

1 I—XII отделы книги «Элементы алгебры и анализа», выделенные позднее в отдельную книгу.

педевтики уравнений, идеи функциональной зависимости и неравенств в младших классах, отрыв исследования уравнений от их решения) были результатом превратно понимаемого принципа систематичности в обучении. Не было никаких изменений, направленных на повышение научно-идейного уровня, хотя ясно, что учебник, написанный в 80-х годах XIX века, несмотря на неоднократные переработки, все же значительно устарел. При основательных переработках учебника в 1911 и в 1925 гг. автор отразил идеи, выдвинутые передовыми педагогами еще в конце XIX — начале XX веков.

Со временем все более и более обнаруживается отсталость стабильного учебника алгебры от уровня развития математической науки, от непрерывно возрастающих требований советской школы. Анализируя этот учебник, мы отмечаем, что принципиальные недостатки научно-идейного порядка имеются в изложении всех основных вопросов курса алгебры, а также в общем характере изложения. Кроме того, стабильный учебник алгебры, как впрочем и другие школьные учебники математики, не содержит такого материала, который способствовал бы тому, чтобы учащиеся могли осознать культурно-историческую ценность математики, ее место в системе научных знаний, роль в развитии техники и в практике строительства коммунизма в нашей стране.

Сейчас, как никогда, остро встал вопрос о создании нового учебника алгебры. Полную неудовлетворенность стабильным учебником выражают учителя. Целесообразные изменения в программе и указания в объяснительной записке к ней, которые были сделаны в послевоенное время, трудно реализуемы в силу отсутствия соответствующих вопросов в учебнике или в силу неверной трактовки их.

С момента исторических постановлений ЦК ВКП (б) о школе уровень преподавания математики повысился, в значительной степени устранен «коренной недостаток» школы, на который указывал ЦК в 1931 г. В этом прежде всего заслуга советских учителей. Положительную роль сыграл также учебник алгебры А. П. Киселева и другие его учебники. Дальнейшее повышение качества знаний учащихся и идейно-теоретического уровня преподавания математики, реализация поставленной XIX съездом КПСС задачи осуществления политехнического обучения в средней школе требуют создания новых учебников для советской школы периода постепенного перехода от социализма к коммунизму. Конечно, требуется также и дальнейшее усовершенствование программы в направлении устранения разрыва между школьным курсом математики и современным уровнем развития математической науки, усиления связи теории с практикой, введения сведений из истории математики и в особенности освещения роли в развитии математики выдающихся ученых нашей Родины.

Заключительный параграф рассматриваемой главы посвящен анализу вышедшей в 1940 г. пробным изданием первой части учебника алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова и двух глав

его 2-й части, опубликованных в 1941 г. в журнале «Математика в школе». Этот анализ показывает, что использование учебника названных авторов в школьной практике может в значительной степени способствовать повышению уровня преподавания алгебры в школе как в методическом, так и особенно в научном отношении.

Выход этого учебника является первым и большим шагом в деле создания нового учебника алгебры, отвечающего высоким требованиям школы на современном этапе. К сожалению, мы не имеем продолжения этого учебника для старших классов средней школы.

Методические работы по алгебре последнего времени и новые пробные учебники алгебры во многом исходят из того ценного, что внесли в преподавание алгебры академик А. Н. Колмогоров и член-корреспондент АН СССР П. С. Александров — виднейшие представители математической науки в нашей стране.

* * *

«Тождественные преобразования алгебраических выражений в курсе алгебры средней школы» — так озаглавлена вторая часть диссертации.

Во «Введении», после выяснения значения и места тождественных преобразований в курсе алгебры, мы формулируем основные недостатки в преподавании этого раздела, на устранение которых направлена наша работа.

Эти недостатки следующие:

1. Изучение систематического курса арифметики (V и VI классы) и первых тем алгебры («Буквенные выражения» и «Отрицательные числа») недостаточно используется в целях подготовки учащихся к пониманию смысла и назначения тождественных преобразований, к применению свойств арифметических действий для преобразований.

2. Отсутствует целенаправленность в упражнениях на тождественные преобразования.

3. Совершенно недостаточно внимания уделяется обоснованию правил тождественных преобразований соответствующими свойствами действий над числами.

4. Упражнения на тождественные преобразования носят исключительно отвлеченный характер. Почти нет упражнений, показывающих конкретный смысл тождественных преобразований, применение их к решению практических вопросов. Не всегда в достаточной мере указывается значение преобразований для вычислительных целей.

5. В изложении учения о тождественных преобразованиях игнорируются некоторые идейные моменты: не обращается внимание на множество допустимых значений входящих в выражения букв, на условия, при которых то или иное преобразование имеет место, определение понятия тождественного равенства отвечает лишь потребности преобразования целых рациональных выражений.

Основанием для заключения о наличии отмеченных недостатков являются наблюдения за преподаванием алгебры в школе, данные приемных экзаменов в техникумы и вузы и анализ специальной контрольной работы, проведенной нами в сентябре 1951 г. среди окончивших среднюю школу.

Чтобы на достаточно высоком научном уровне проводить преподавание раздела тождественных преобразований, как и всякого другого раздела, учитель должен представлять относящиеся сюда понятия с более высокой точки зрения, быть знакомым с обоснованием всех положений, устанавливаемых в школьном курсе на отдельных частных примерах или разумеющихся очевидными. Из книг, которыми может воспользоваться учитель, отдельные вопросы учения о тождественных преобразованиях хорошо даны в книгах И, А. Гибша («Элементарная математика», Учпедгиз, 1936) и С. И. Новоселова («Алгебра и элементарные функции», Учпедгиз, 1950; «Специальный курс элементарной алгебры», изд. «Советская наука», 1951). Особенно полезна для учителя статья проф. П. С. Александрова «Научное содержание школьного курса алгебры» («Математика в школе», 1946, №№ 4, 5—6). Однако мы не находим полностью удовлетворяющего потребностям учителя или студента, готовящегося стать учителем, изложения учения о тождественных преобразованиях. В связи с этим, вопросам методики мы предпосылаем главу, посвященную теории тождественных преобразований алгебраических выражений, излагая ее в таком виде, в каком нам представляется необходимым давать эту теорию в специальном курсе элементарной алгебры педагогического института.

В настоящее время специальный курс элементарной математики в педагогических институтах находится в процессе становления, поэтому наш опыт изложения теории тождественных преобразований алгебраических выражений, как нам кажется, может быть полезен.

Предварительное изложение теории тождественных преобразований дало возможность в следующей главе более компактно, не отвлекаясь теоретическими вопросами, изложить вопросы методики преподавания этого раздела в школе.

В первых двух параграфах этой главы рассматриваются вопросы о ступенях абстракции при изучении тождественных преобразований (§ 1) и о последовательности овладения ими в процессе преподавания (§2).

В § 3 разбирается вопрос о взаимоотношении раздела тождественных преобразований с курсом арифметики.

Для целей тождественных преобразований необходимо сознательное и прочное усвоение свойств арифметических действий. С этими свойствами учащиеся знакомятся еще в курсе арифметики. Применение их для упрощения арифметических вычислений могло бы исподволь подготавливать учащихся к пониманию смысла тождественных преобразований.

При обычных упражнениях на вычисление со скобками действия выполняются по порядку, указанному данным расположением скобок. Внимание учащихся не обращается на целесобразность, в иных случаях, применением известных им свойств действий изменить порядок действий. Например, 73/4 4- (З1/^ + 17з) = = (73/4 + 374) -г lVs, 473— (273 + 135) = (473 — 273) — 135, 4 X (250 + 25) = 4 X 250 + 4 X 25 и т. п. В результате многих упражнений учащиеся усваивают соглашения относительно порядка действий, приобретают соответствующий навык и слепо следуют этому порядку также в примерах, подобных вышеприведенным. Это, с другой стороны, мешает переходу к тождественным преобразованиям. Учащийся, приученный слепо следовать установленному порядку действий, испытывает психологическое сопротивление при переходе к тождественным преобразованиям.

В целях активного усвоения свойств арифметических действий и подготовки учащихся к пониманию смысла тождественных преобразований предлагается в курсе арифметики практиковать упражнения в применении этих свойств для рационализации вычислений.

В § 4, посвященном первым урокам алгебры — теме «Буквенные выражения», рассматривается вопрос о введении буквенного обозначения чисел, понятий алгебраического выражения и его числового значения, ставится вопрос о первых упражнениях в тождественных преобразованиях.

Для целей тождественных преобразований, в этой теме особое значение имеет проработка пункта программы «Основные свойства арифметических действий, их формулировка и буквенная запись».

Чтобы учащиеся осмыслили тождества, выражающие основные свойства арифметических действий, предлагается достаточное внимание уделить проверке их при различных значениях букв, а также конкретной, в частности геометрической, интерпретации, т. е. обратиться к представлениям, относящимся к низшим ступеням абстракции.

Здесь должны быть продолжены упражнения, о которых говорилось выше. Кроме того, следует практиковать выполнение простейших преобразований алгебраических выражений. В качестве первого повода для таких преобразований используются решаемые на первых уроках алгебры арифметические задачи с буквенными данными, в которых, чтобы более рациональным путем вычислять числовые значения выражения, полученного в результате, целесообразно, в иных случаях, предварительно это выражение преобразовать.

На первых уроках алгебры проводятся упражнения в упрощении алгебраических выражений введением коэффициентов и показателей степени. Обычно при выполнении этих упражнений не обращается внимание учащихся на то, что при этом, кроме поня-

тия о целом коэффициенте и степени с натуральным показателем, используются те или иные свойства арифметических действий. Мы рекомендуем в упражнения на упрощение выражений введением коэффициентов и показателей степени внести некоторое разнообразие с тем, чтобы соответствующие преобразования достигались использованием важнейших свойств арифметических действий, при выполнении же упражнений фиксировать внимание учащихся на применении этих свойств.

Следующий этап в развитии навыков тождественных преобразований в подготовительном плане мы связываем с изучением темы «Отрицательные числа». Этому вопросу посвящен § 5. Здесь выделяются те свойства арифметических действий во множестве всех рациональных чисел, которые необходимы для обоснования тождественных преобразований целых рациональных выражений (следующей за отрицательными числами темы курса алгебры), рассматривается вопрос о путях установления этих свойств для шестиклассников.

В практике преподавания имеет место такое положение, что после того, как в первой теме курса алгебры введено обозначение чисел буквами, дано понятие алгебраического выражения, сделаны первые шаги в преобразованиях, все это вдруг обрывается при переходе к теме «Отрицательные числа». Это является ненормальным. Естественно было бы, в связи с установлением свойств арифметических действий во множестве всех рациональных чисел, развивать у учащихся умение использовать эти свойства для преобразований, продолжать линию, которая была начата на первых уроках алгебры.

Для этого необходимо предусмотреть упражнения в применении свойств действий для рационализации вычислений с отрицательными числами, а также упражнения в простейших тождественных преобразованиях как сами по себе, так и в связи с решением уравнений. В нашей работе приводятся примерные типы таких упражнений. Эти упражнения проводятся параллельно с усвоением правил действий с отрицательными числами. Тождественные преобразования выполняются здесь на основе непосредственного применения свойств действий. Преждевременным будет навязывание каких-либо специальных правил и стремление к автоматизму. Цель этих упражнений — активное усвоение свойств действий, а не приобретение навыков тождественных преобразований.

Далее рассматривается вопрос о целенаправленности тождественых преобразований рациональных выражений (§ 6).

Отсутствие целенаправленности тождественных преобразований является одним из существенных недостатков в преподавании. Отказ от традиционных определений понятий одночлена и многочлена, введение определений, отвечающих научному пониманию этих терминов, а также введение понятия рациональной дроби дают возможность устранить этот недостасток в случае преобразо-

ваний рациональных выражений, придать стройность, законченность, целеустремленность разделу тождественных преобразований рациональных выражений, представить этот раздел не как собрание разрозненных правил, а как систему правил, предназначенных для определенной цели.

В § 7 рассматривается вопрос об обосновании правил тождественных преобразований. Часто приходится наблюдать, как учитель стремится, установив на одном примере правило того или иного преобразования, быстрее перейти к тренировочным упражнениям, не заботясь о том, осмыслено ли учащимися это правило с точки зрения применения свойств арифметических действий. В результате образуются навыки неосознанные, формальные, в дальнейшем легко утрачиваемые. Правила должны устанавливаться под руководством учителя после того, как сделано достаточное количество примеров на основе непосредственного применения свойств арифметических действий.

Рассуждения при решении примеров, подводящих к установлению правил преобразований целых рациональных выражений, по существу не опираются ни на какие индивидуальные свойства преобразовываемых выражений, не зависят от них и поэтому имеют большое значение для развития логического мышления учащихся. Они имеют в этом отношении не меньшее значение, чем доказательства геометрических теорем, которые также, хотя и проводятся с помощью конкретной фигуры, но не зависят от ее индивидуальных свойств. Для целей развития логического мышления обоснование правил тождественных преобразований имеет на первых порах некоторое преимущество по сравнению с геометрическими доказательствами, так как в них более прозрачны рассуждения и опираются они на небольшое количество хорошо известных свойств действий. Умение обосновывать тождественные преобразования, опираясь на свойства арифметических действий, имеет, таким образом, значение не только для выработки сознательных навыков преобразований, но и для развития навыков математического доказательства.

Специальный параграф (§8) посвящен формулам сокращенного умножения. Применение этих формул, сокращая преобразования, требует от учащихся, по крайней мере сначала, больше умственного напряжения, чем применение общего правила. Здесь возможны ошибки, даже при знании самих формул. Вскрывая причины трудностей при применении к преобразованиям формул сокращенного умножения, мы делаем из этого некоторые методические выводы.

В этом же параграфе даны приемы ознакомления учащихся с геометрическим смыслом формул (а + в)2 = а2 + 2ав -f- в2, (а + в) (а — в) = а'2 — в2, (а + в)3 = а3 +, За2в + Зав2 + в3, (а ± в) (а2 + ав + в2) = а3 + в3.

Обращаясь к геометрическому толкованию различных тождеств (свойства арифметических действий, формулы сокращенного умно-

жения), мы исходим не только из того, что связь арифметических фактов с геометрическими представлениями учащихся способствует более прочному и сознательному усвоению этих фактов, но и из того, что установление такой связи дает возможность учащимся усмотреть реальный смысл в изучаемых ими числовых соотношениях.

Большое внимание уделено такому трудному для овладения соответствующими навыками преобразованию, каким является разложение многочленов на множители (§ 9).

Овладение преобразованиями, ведущими к разложению многочленов на множители, по сравнению с ранее рассматриваемыми преобразованиями — действиями над одночленами и многочленами, имеет свою особенность. Для последних имеется определенный алгорифм. При разложении же на множители все сводится к применению различных частных приемов. В более или менее сложных случаях требуется достаточный навык, чтобы из ряда, казалось бы, возможных путей выбрать путь, ведущий к цели. При овладении навыками в разложении на множители особо важное значение имеет продуманная система упражнений с постепенным введением новых, усложняющих элементов. Исходя из анализа трудностей, с которыми учащиеся встречаются при этих преобразованиях, мы приводим такую систему упражнений.

Далее ставится вопрос о характере упражнений на тождественные преобразования (§ 10).

Изучение тождественных преобразований, — этого наиболее абстрактного раздела курса алгебры, — падает, главным образом, на первые годы его изучения (VI класс, 1-я четверть VII класса). Многочисленные упражнения, которые выполняют учащиеся, отвлеченны и однообразны по цели: «выполнить указанные действия», «разложить на множители» и т. п. В практике преподавания эти упражнения часто бывают единственными упражнениями при изучении тождественных преобразований. В результате в сознании учащихся теряются приобретенные на первых уроках алгебры представления, связывающие алгебраические выражения с конкретными величинами и числами. Кроме того, упражнения в преобразованиях, практическое значение которых учащиеся не имеют возможности оценить, способны отбить интерес к предмету.

Помимо отвлеченных упражнений, имеющих своей целью исключительно привитие навыков, необходимы также упражнения, показывающие конкретный смысл тождественных преобразований и применение их к решению различного рода практических вопросов. Упражнения, преследующие эти цели, в основном могут быть следующих типов: 1) решение арифметических задач, в которых все или некоторые данные обозначены буквами, 2) преобразование выражений с целью упрощения вычисления числовых значений, 3) применение преобразований к доказательству некоторых свойств чисел, 4) применение преобразований к решению уравнений.

Мы даем характеристику упражнений каждого из отмеченных типов, иллюстрируя это большим количеством примеров. Эти упражнения, показывая учащимся применение преобразований, делают тем самым осмысленными обычные упражнения в преобразованиях. Они оживляют их, вносят в них разнообразие. Сознание учащимися практической полезности выполняемых упражнений явится стимулом для овладения соответствующими навыками.

В § 11 рассматривается вопрос о тождественных преобразованиях иррациональных выражений.

В практике преподавания тождественные преобразования иррациональных выражений проводятся формально, без внимания к множеству допустимых значений входящих в них букв. Соответствующие примеры решаются так, как будто иррациональные выражения рассматриваются во множестве неотрицательных чисел, хотя об этом ограничении нигде не говорится, да оно и нецелесообразно. Такое положение является следствием неудовлетворительной постановки вопроса о тождественных преобразованиях иррациональных выражений в стабильном учебнике Киселева и в бывшем до последнего времени стабильным задачнике Шапошникова и Вальцова.

Не решен этот вопрос по-настоящему и в новом стабильном задачнике П. А. Ларичева. Здесь перед упражнениями на преобразования иррациональных выражений имеется замечание автора о том, что ответы даны при условии, что буквы в подрадикальных выражениях обозначают положительные числа и разности вида m—п рассматриваются при m>n. Это замечание следует, нам кажется, рассматривать как рекомендацию автора проводить все преобразования при указанных ограничениях. При такой постановке зависимость тождественных преобразований иррациональных выражений от множества допустимых значений входящих в них букв не будет уяснена учащимися. Во всяком случае, если автор и не рекомендует всегда проводить преобразования с указанными ограничениями, то он и не дает такой системы упражнений, которая способствовала бы привитию навыка в преобразованиях иррациональных выражений с учетом допустимых значений входящих в них букв.

В нашей работе мы даем такую систему упражнений. Эта система упражнений сложилась в результате обсуждения вопроса о преобразованиях иррациональных выражений на семинаре, проводимом нами для учителей старших классов г. Коломны и Коломенского района.

В заключение (§ 12) главы, посвященной вопросам методики тождественных преобразований, ставится вопрос о развитии понятия тождественного равенства при переходе от преобразований целых рациональных выражений к дробным рациональным и далее к иррациональным и указывается возможный методический подход к его решению.

Выдвигаемые нами методы и приемы прохождения раздела тождественных преобразований в большинстве своем были предметом обсуждения на заседаниях секции учителей математики г. Коломны и Коломенского района и на методических объединениях учителей математики коломенских школ № 3 и № 22, подвергались проверке в практике работы учителями школы № 25 А. С. Галчинской (6-е классы) и Е. В. Митрофановой (8-е классы), а также во время руководимой нами педагогической практики студентов Коломенского учительского института.

Л 77740 Сдано в наб. 4/IV-53 г. Подп. к печ. 20/1V-53 г.

Объем 1,^5 п. л. Тираж 100. * Бесплатно. Заказ 906.

Типография ЦО МО СССР «Красная звезда», ул. Чехова, 16.