МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра педагогики начальной школы

Г. В. БЕЛЬТЮКОВА

ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук доцент Н. С. ПОПОВА

ЛЕНИНГРАД 1965

Официальные оппоненты; Доктор педагогических наук, профессор А. М. Леушина, кандидат педагогических наук, доцент Б. В. Журавлев.

Защита состоится в Ленинградском государственном педагогическом институте им. А. И. Герцена «.. 1965 г.

Автореферат разослан «15». октября 1965 г

Ответственный редактор — кандидат педагогических наук, доцент Н. С. Попова.

М48167 7-X-G5 р. Тип.. Nfe 7 VIIЛ зак. 3019 тир. 150

Необходимость улучшения математического образования в школе непосредственно вытекает из требований Программы КПСС и Закона об укреплении связи обучения с жизнью. Перед школой поставлены задачи повысить эффективность обучения, обеспечить сознательное усвоение учащимися знаний и умений по математике, а также более высокий уровень математического развития школьников. Одним из условий решения этих задач является улучшение математической подготовки учащихся в начальных классах школы. Дальнейшее совершенствование начального математического образования требует изменения не только методики обучения, но и содержания начального курса математики. Для научно обоснованного построения начального курса математики и методики его преподавания необходимо изучение вопросов формирования у младших школьников важнейших математических понятий, и в первую очередь, понятия натурального числа.

Формирование понятия натурального числа составляет одну из основных задач изучения математики в начальной школе. Поэтому в методической литературе издавна уделялось большое внимание данному вопросу; существовали различные точки зрения на усвоение понятия натурального числа младшими школьниками. Большинство педагогов и методистов прошлого (Г. Песталоцци, П. С. Гурьев, А. И. Гольденберг, В. А. Латышев, С. И. Шохор-Троцкий, Д. Д. Галанин) утверждало, что понятие числа «не образуется» само собою у детей, что его следует специально формировать в процессе изучения счета и измерения, в процессе работы над нумерацией и арифметическими действиями. В методических руководствах этих авторов имеется ряд ценных положений относительно формирования понятия натурального

числа: и сущности числовых представлений, о своевременных обобщениях знаний о числах, о соответствующем развитии связанных с числом математических «понятий и др. Однако эти теоретические положения не получили практического претворения в существовавших программах, учебниках и методических пособиях вследствие узко-практической направленности начального обучения и слабой разработки в психологии вопросов усвоения детьми отвлеченных понятий.

Значительный вклад в решение данной проблемы внесли советские психологи Н. А. Менчинская, Г. С. Костюк, А. М. Леушина, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и др. В их исследованиях раскрыт вопрос о генезисе числовых представлений; доказано, что систематическую работу по формированию у детей количественных представлений и понятия числа необходимо начинать в дошкольный период. Установлено, что наряду со счетом следует гораздо раньше, чем это принято сейчас, обучать детей измерению и формировать у них понятие величины. Весьма важной для разработки теории усвоения понятий является постановка в этих исследованиях проблемы соотношения слова, образа и действия на различных ступенях формирования у ребенка понятия числа.

Однако общепринятая методика преподавания арифметики, которая отражена в методических пособиях и учебниках для 1—IV классов, не уделяет должного внимания формированию понятия натурального числа. Практически имеет место такая точка зрения, что понятие числа дети усваивают в процессе овладения вычислительными навыками, теоретические же знания о числе, о натуральном ряде и системе счисления недоступны младшим школьникам. Психолого-педагогические исследования последних лет и опыт передовых учителей показывают, что данная точка зрения устарела и требует пересмотра. Учитывая результаты исследований по вопросам усвоения математических понятий (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Н. Ф. Талызина, Л. В. Занков, Н. А. Менчинская, М. И. Моро, М. А. Бантова, Ю. М. Колягин, А. М. Пышкало и др.), а также новые задачи, поставленные перед школой, следует изменить существующую методику формирования понятия числа у младших школьников. Целью настоящего исследования является теоретическое обоснование и экспериментальная проверка наиболее эффективной методики формирования у учащихся начальных классов понятия натурального числа.

Собственный опыт работы в начальной школе, а также изучение математической, методической и психологической литературы убедили нас в том, что для формирования отвлеченного понятия числа наряду с выработкой различных практических навыков оперирования числами необходимо обеспечить усвоение учащимися системы теоретических знаний о числе, натуральном ряде, системе счисления. При этом возникнут предпосылки для более глубокого усвоения других математических понятий.

Приступая к разработке проблемы исследования, надо было прежде всего отобрать материал, при изучении которого протекает процесс формирования у детей понятия натурального числа. Для начала были взяты следующие разделы начального курса арифметики: 1 десяток (счет и измерение, нумерация, сложение и вычитание), а также нумерация чисел всех последующих концентров, включая многозначные числа. Далее следовало ознакомиться с постановкой вопроса формирования понятия числа в практике школы. С этой целью в течение 1959/60 и 1960/61 уч. гг. велись систематические наблюдения уроков по намеченным разделам курса в пяти школах г. Ленинграда (№ № 209, 210, 217, 218, 476). Кроме наблюдения уроков проводились фронтальные и индивидуальные беседы с учениками, письменные контрольные работы, беседы с учителями. Всего на данном этапе исследования (диагностирующий эксперимент) было запротоколировано и проанализировано около 100 уроков, в индивидуальных беседах опрошено около 50 учащихся и проанализировано более 250 контрольных работ. Изучив собранный теоретический и практический материал, мы приступили к экспериментальной работе в школе.

Экспериментальное обучение проводилось в течение четырех лет (с 1961/62 по 1964/65 уч. гг.) в 10 начальных (I—III) классах ленинградских школ в содружестве с учителями Н. Л. Шарыженко, К. Д. Зайцевой, Р. М. Измайловой, Б. Ф. Иоффе, В. А. Моревой (210 школа), А. С. Ратнер (217 школа), В. А. Самариной (476 школа), И. А. Семеновой (69 школа), О. М. Хохловой (396 школа), Г. Ф. Бойцовой (104 школа). Методика изучения каждого раздела проверена не менее трех раз. Эксперимент повторялся с целью проверки и сопоставления различных вариантов разрабатываемой системы. В процессе исследования имел место констатирующий, обучающий и контрольный эксперимент. Соответствующая работа, как правило, проводилась и в контроль-

ных классах. При проведении заключительного контрольного эксперимента привлекались, кроме того, классы, работавшие по общепринятой методике (так называемые «фоновые» классы). Это позволяло с большей объективностью судить о результатах экспериментального обучения.

Основными способами выявления уровня усвоения понятия числа служили наблюдения уроков, опрос учащихся, индивидуальные занятия с детьми и контрольные работы. Всего в процессе эксперимента запротоколировано более 250 уроков, проведено и записано около 100 бесед с отдельными учениками, проанализировано более 1500 контрольных работ.

Внедрению в практику школы разработанных методических рекомендаций способствовала публикация в журнале «Начальная школа» основных результатов исследования, а также работа с учителями (лекции, консультации, занятия на курсах в городском институте усовершенствования учителей, руководство семинарами учителей). В комплексном исследовании, проводимом коллективом преподавателей кафедры педагогики начальной школы института им. А. И. Герцена (зав. кафедрой проф. А. А. Люблинская) в содружестве с учителями I—III классов ленинградских школ, разработанная нами методическая система изучения 1 десятка и нумерации натуральных чисел получила широкое применение. Исследование по проблеме формирования понятия числа продолжается.

* * *

Настоящая диссертация состоит из пяти глав и заключения:

Глава I. Задачи и методика исследования.

Глава II. Теоретические основы формирования понятия натурального числа.

Глава III. Постановка вопроса о формировании понятия натурального числа в методической литературе и практике школы.

Глава IV. Формирование понятия натурального числа в процессе изучения 1 десятка по экспериментальной системе.

Глава V. Формирование понятия натурального числа в процессе изучения нумерации.

Заключение.

Содержание I главы раскрыто выше.

Во второй главе диссертации рассматриваются теоретические основы формирования понятия натурального числа. Глава включает три параграфа:

1. Философские основы формирования понятия натурального числа.

2. Математические основы формирования понятия натурального числа.

3. Психология усвоения понятия натурального числа.

Понятие числа, как всякое отвелеченное понятие, представляет собою отражение общих и существенных признаков предметов и явлений окружающего мира. Понятие числа формируется у ребенка в основном так же, как и другие понятия. Отличительные черты этого процесса обуславливаются прежде всего спецификой объекта отражения — количества (С. А. Яновская, Э. Кольман). Выделение и оценка количественной стороны предметов и явлений возможны только в процессе выполнения определенной деятельности, направленной на установление отношения данного количества к другому количеству, принятому за единицу. Поэтому на первых этапах формирования понятия числа важно научить ребенка различным способам выделения и оценки количества, а также обеспечить достаточный опыт применения их к различным объектам.

На каждом этапе работы над понятием натурального числа необходимо правильно сочетать чувственные и логические элементы познания, учитывая их развитие. Так, вначале чувственную основу понятия числа должны составлять действия ребенка с предметами: сравнение совокупностей, счет, измерение. Позднее источником представлений и знаний о числе становится уже оперирование самими числами: запись, сравнение, образование и преобразование чисел, выполнение арифметических действий. Для восприятия и осмышления данных практического опыта на этой ступени требуются более совершенные приемы мыслительной деятельности (умение сравнивать, обобщать, конкретизировать, систематизировать, классифицировать и др.).

Формируя у учащихся понятие натурального числа, следует учитывать основные закономерности возникновения и развития данного понятия в филогенезе. Как показывают исторические исследования (Л. Леви-Брюль, И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич, Э. Кольман и др.), понятие числа складывалось у человека под влиянием практики, жизненной необходимости оценивать количественно окружающий мир.

Важнейшие этапы в развитии понятия натурального числа были связаны с овладением следующими операциями: установление взаимно однозначного соответствия, счет и измерение, запись чисел. Понятие числа развивалось в диалектической связи с такими понятиями, как нумерация, арифметические действия, величина.

Методика формирования понятия натурального числа должна отвечать ряду математических требований. Прежде всего, с первых шагов обучения необходимо раскрывать во взаимосвязи количественную и порядковую сторону натуральных чисел. С этой целью, наряду с рассмотрением различных множеств предметов (сравнение совокупностей, счет, объединение множеств и пр.), надо отводить большое место изучению натурального ряда чисел. Формирование полноценного понятия натурального числа предполагает осознание отношений между числами, усвоение некоторых знаний о самом множестве натуральных чисел (принцип построения натуральной последовательности, свойства натурального ряда).

Натуральные числа с самого начала должны выступать не только как результат счета, но и как результат измерения. Поэтому в начальных классах следует уделять больше внимания вопросам измерения величин и формированию понятий об отдельных величинах. На первых порах упражнения в измерении наряду с упражнениями в счете способствуют усвоению понятий об элементе множества и натуральном числе как инварианте класса равномощных множеств. В дальнейшем, в процессе изучения различных величин, нумерации отвлеченных и именованных чисел, сравнения и преобразования этих чисел должна быть раскрыта связь между понятиям и величины и числа. В этом плане также целесообразно в начальном курсе математики углубить работу над понятием отношения. Все это позднее, при расширении понятия числа поможет учащимся осознать натуральные числа как вид чисел более общего рода (рациональных чисел).

При разработке методики формирования понятия натурального числа должны учитываться психологические закономерности усвоения детьми данного понятия. Прежде всего, следует признать, что как бы мала ни была группа предметов, число их не воспринимается непосредственно, оно устанавливается с помощью счета, сложения или умножения. Поэтому числовое представление нельзя отожествлять с представлением самих предметов; оно всегда включает пред-

ставление действия по установлению, образованию или обозначению числа (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов). Следовательно, для формирования числовых представлений важно обучать детей этим действиям, а не сводить работу к запоминанию самих групп предметов (так называемых «числовых фигур»).

Решающим в формировании понятия натурального числа на первых порах является овладение детьми счетом и измерением. В процессе счета и измерения количественная сторона объектов абстрагируется от их качественных и пространственных признаков. Это происходит в процессе выделения элементов множества и отображения их на множество натуральных чисел. Умение выделять элементы множества (что будем считать) — начальный этап формирования понятия числа. Поскольку при счете отдельных предметов данное действие сливается с установлением взаимно однозначного соответствия, следует как можно раньше обучать детей счету групп предметов и измерению, где ребенку самому приходится предварительно образовывать элементы множества.

При формировании у детей знаний о числе и умений оперировать числами целесообразно опираться на теорию умственных действий (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов и др.), на поэтапную отработку знаний и умений: от развернутого рассуждения с опорой на предметные действия к свернутому быстрому действию в уме. При этом необходимо учитывать, что работа над отдельными понятиями и умениями будет способствовать формированию у учащихся общих методов умственной деятельности только в том случае, если предметные действия будут раскрывать не столько частные факты, сколько достаточно общие явления и закономерности, (например, не только количественные отношения последовательных чисел в натуральном ряду, но и принцип построения возрастающей и убывающей последовательности чисел; не только и не столько прием вычисления, сколько свойство арифметического действия и т. п.).

Наконец, в настоящее время, когда стоит задача повышения теоретического уровня знаний учащихся, чрезвычайно актуален вопрос о соотношении практических умений и теоретических знаний: должны ли теоретические знания предварять усвоение практических умений, а потому элементы алгебры предшествовать изучению арифметики натуральных чисел (В. В. Давыдов), или теоретические знания должны за-

вершать овладение практическими умениями, а потому в IV классе после изучения арифметики натуральных чисел следует рассматривать элементы теории множеств (Ю. М. Колягин)? С нашей точки зрения для начального курса математики необходима более тесная связь теории и практики, целесообразное сочетание индукции и дедукции

Раскрытые выше теоретические положения служили основой для анализа существующей методической системы и для разработки экспериментальной методики формирования понятия натурального числа.

В третьей главе диссертации анализируется общепринятая методика формирования понятия натурального числа, которая имеет место в современной методической литературе и в практике школы.

Прежде всего, приходится отметить, что в начальном курсе математики недостаточно раскрываются все стороны понятия натурального числа, а также его связи с другими понятиями. Это выражается в следующем: не уделяется внимания уточнению у детей некоторых теоретико-множественных понятий; изучение величин не занимает подобающего ему места в начальных классах; натуральный ряд и его свойства не являются еще предметом специального изучения с первых шагов обучения детей арифметике; у учащихся не формируется полноценного понятия о числе как объекте арифметических действий, поскольку свойства действий и связь между действиями не изучаются должным образом.

Далее, существующая методика изучения математики слабо реализует достижения современной психологии обучения. До настоящего времени в формировании понятия натурального числа часть методистов опирается на устаревшую трактовку числовых представлений, отожествляя их с предметными представлениями. В методике не разработана система упражнений, раскрывающая содержание понятия числа на отдельных ступенях его формирования. Кроме того, отсутствуют и специальные упражнения, которые способствовали бы выработке у детей умений сравнивать, анализировать, классифицировать, обобщать, конкретизировать, без чего невозможна серьезная работа над математическими понятиями. Не находит должного отражения требование психологии о правильном соотношении теоретических знаний и практических навыков при формировании понятий. Как уже отмечалось в литературе (Л. В. Занков, Н. А. Менчин-

екая и M. И. Моро и др.), основное внимание уделяется выработке навыков, которые формируются в процессе многократных повторений без достаточного осознания их математического содержания. Предполагается, что в процессе овладения вычислительными навыками у учащихся сами собою формируются понятия о натуральном числе, об арифметических действиях, о величинах. Такая методика наносит ущерб формированию как отвлеченных понятий, так и практических навыков.

Анализ работы над 1 десятком по общепринятой методике показывает, что сна не отвечает требованию преемственности обучения младших школьников и дошкольников, поскольку при изучении 1 десятка не учитываются в полной мере запас математических сведений у детей-семилеток, а также их интеллектуальные возможности. Вместе с тем недооценивается перспективное значение работы над понятиями числа, действия, величины. Так, при изучении нумерации чисел в пределах десяти большое место занимает изучение состава каждого числа из слагаемых, хотя само сложение предстоит еще изучать. В то же время не уделяется должного внимания раскрытию количественного и порядкового значения натурального числа, формированию понятия о начальном отрезке натурального ряда. Методика работы над арифметическими действиями в пределах 1 десятка построена так, чтобы добиться скорейшего запоминания детьми результатов сложения и вычитания. При этом не обеспечивается формирование понятий о действиях, их свойствах и взаимосвязи, не уделяется внимания выработке навыков на основе овладения рациональными вычислительными приемами. По ныне действующей программе рассмотрению величин в процессе работы над 1 десятком не придается должного значения. Как показало исследование, в данных условиях изучение 1 десятка лишь незначительно изменяет качество знаний и умений (относительно числа, счета, измерения, вычислений) у школьников по сравнению с дошкольниками (см. гл. III, $ 2).

Изучение методической литературы по вопросам работы над нумерацией чисел II десятка, 1 сотни, 1 тысячи и многозначных чисел, а также результаты наблюдений в школе дают основания утверждать, что познавательный уровень содержания этих разделов занижен. Задача изучения нумерации сведена до узко-практической, поэтому элементы теории отсутствуют; упражнения слишком упрощены и направлены

в основном на формирование навыков (запиши, прочитай, отложи на счетах такое-то число). Нумерация чисел изучается изолированно от других разделов курса, поэтому упражнения очень однообразны, бедны по содержанию. Имеются недочеты математического характера: во всех концентрах основное внимание уделяется изучению системы счисления и недостаточно раскрываются структура и свойства натурального ряда; изучение нумерации многозначных чисел фактически не опирается на понятие класса.

Все это является причиной неудовлетворительного качества знаний по нумерации у младших школьников, что неоднократно отмечалось в литературе (П. А. Компанийц, Б. В. Журавлев, А. Ф. Рымарев и др.). Проведенное нами обследование знаний учащихся IV классов (90 человек) показало, что пятая часть заданий по нумерации в объеме, предусмотренном программой, либо выполняется неправильно, либо не выполняется совсем, при этом ошибки допускают иногда до половины учащихся класса. Еще более показательно изучение знаний у пятиклассников (60 человек): вследствие низкого уровня обобщения понятий системы счисления, а также недостаточного осознания механизмов действий подавляющее большинство детей (до 80%) не опирается на знания по нумерации при объяснении вычислений. Понятно, что в этих условиях не приходится говорить о значении усвоения нумерации чисел для формирования отвлеченного понятия натурального числа.

* * *

Ход и результаты экспериментального обучения раскрываются в IV и V главах диссертации.

Целенаправленная работа по формированию понятия натурального числа начиналась с первых дней обучения детей в школе и строилась с учетом результатов констатирующего эксперимента, проведенного в каждом экспериментальном классе: 1-6 класс 210 шк., -- учительница К. Д. Зайцева (1961 г.), 1-а класс 69 шк. — И. А. Семенова (1962 г.), 1 класс 210 шк. — Н. Л. Шарыженко (1963).

В подготовительный период (первые 4—6 уроков) уточнялись и расширялись знания детей о счете: отрабатывалось умение устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами различных множеств, в том числе и таких, элементами которых служили группы предметов; раскрывалась аксиома счета; формировались понятия «больше»,

«меньше», «столько же», а также выявлялась связь арифметических действий с изменением количественных отношений (прибавили один — стало больше на один, чтобы стало меньше на 1 — надо отнять один и т. п.). Такого рода работа способствовала формированию числовых представлений, понятия элемента множества и понятия числа как общего свойства равномощных множеств.

При рассмотрении нумерации чисел в пределах десяти формировалось понятие числа как члена натурального ряда. С этой целью изучалось образование каждого натурального числа из предыдущего числа и единицы (например, 5=4+1), а также из последующего числа и единицы (5=^6—1); устанавливались количественные и порядковые отношения чисел в натуральном ряду (число 5 больше числа 4 на один, число 5 меньше числа 6 на один, число 5 называют при счете после числа 4 и перед числов 6). Данные упражнения проводились с опорой на действия с предметами и выполнялись как устно, так и с помощью разрезных цифр и знаков. Как показало экспериментальное обучение, на этом I этапе работы над нумерацией (до письма цифр) целесообразно рассматривать не каждое число в отдельности, а одновременно изучать отрезки натурального ряда: 1—3, 3—5, 1—5, 5—7, 7—9, 5—10. В этом случае создаются лучшие условия для изучения структуры натурального ряда, для обобщения принципа его построения.

При переходе к письму цифр (1—9) работа над натуральным рядом продолжалась. На это были направлены следующие упражнения: счет отдельных предметов и групп предметов; измерение способом откладывания «мерок» (метра, дециметра, сантиметра); черчение и сравнение отрезков; сравнение чисел (с использованием знаков «>», «<», « = :> ); устное и письменное решение примеров вида ail. В результате такой работы подавляющее большинство учащихся к концу изучения нумерации переходит от операции над множествами к простейшим вычислениям на основе знания структуры натурального ряда.

Дальнейшее формирование понятия числа у учащихся происходит в процессе овладения арифметическими действиями. При этом натуральное число должно постепенно осознаваться детьми как сумма отвлеченных единиц. Такое понимание числа не может возникнуть в результате заучивания состава каждого числа из слагаемых, —оно складывается у

детей в процессе активного оперирования числами при выполнении действий сложения и вычитания. Методика работы над сложением и вычитанием строилась нами так, чтобы создать наилучшие условия для формирования понятий о данных действиях, об их свойствах и взаимосвязи, а также для усвоения учащимися вычислительных приемов. В соответствии с этим был изменен порядок изучения сложения и вычитания. На первом этапе рассматривались те случаи сложения и вычитания, при решении которых используются приемы присчитывания и отсчитывания (а±2, а±3, а±4). На втором этапе изучения действий рассматривались те случаи сложения, когда для вычисления используется перестановка слагаемых (а+5, а+6 и т. д. а-Ь9). Третий этан работы составляло изучение тех случаев вычитания, когда требуется применение знания о взаимосвязи действий сложения и вычитания (а—5, а—6, и т. д. а—9).

Исследование показало, что на первом этапе работы надо выделить три ступени: а±2, а±3 и а±4, т. к. обобщение используемых свойств действий и вычислительных приемов для всех этих случаев еще недоступно детям. Хотя результаты вычитания здесь находятся с помощью отсчитывания, а не на основе соответствующего случая сложения, целесообразно все-таки рассматривать сложение и вычитание одновременно, так как при этом создаются лучшие условия для дифференциации данных действий и их вычислительных приемов. Кроме того появляется возможность начать подготовительную работу к изучению взаимосвязи между этими действиями. Позднее, когда сформированы первоначальные понятия о сложении и вычитании, и учащиеся уже перешли к выполнению этих действий над числами, — работа над свойствами и взаимосвязью действий углублялась: раскрывались и формулировались переместительное свойство суммы и зависимость между суммой и слагаемыми, лежащая в основе понимания вычитания как действия обратного сложению. В связи с этим стало возможным объединить в одну группу большое количество случаев, сходных по используемым свойствам и взаимосвязям, а также вычислительным приемам.

Подверглась перестройке также и методика работы над сложением и вычитанием. На каждом отдельном этапе работа начиналась не с составления и запоминания «таблиц», как это имеет место сейчас, а с раскрытия математического свойства или зависимости и установления самими учащими-

ся рациональных вычислительных приемов. Это осуществлялось с помощью системы специальных упражнений (на предметах и числах), основное назначение которых было не столько нахождение результатов, сколько анализ самого процесса вычисления, выявление различных приемов вычисления и выбор наиболее рационального из них. Далее отводилось специальное время на упражнения в вычислениях, которые не только формировали навыки, но и служили применением знаний о числе, о действиях, их свойствах и зависимостях. При этом постепенно запоминалась и таблица сложения (от 1+1 до 5+5, где I слагаемое равно или больше второго, — всего 25 случаев). Результаты всех остальных случаев сложения и результаты вычитания в пределах десяти учащиеся находили на основе знания таблицы сложения, а также знания переместительного свойства суммы и взаимосвязи действий сложения и вычитания.

При такой методике работы над арифметическими действиями у учащихся успешно формируется понятие числа как результата сложения: число начинает выступать в виде суммы -чисел, усваивается состав числа из различных пар слагаемых (6 — это 5 и 1, 4 и 2, 3 и 3). Проведенное исследование подтверждает положение, высказанное Н. С. Поповой, — исходным моментом в работе над 1 десятком должно быть изучение действий, а завершающим — знание наизусть состава чисел. Свободное воспроизведение состава чисел — это показатель усвоения понятия числа как результата действия сложения, а также овладения вычислительными навыками и усвоения некоторых свойств и зависимостей сложения и вычитания.

Результаты обучения, приведенные в IV главе диссертации, показывают, что уровень овладения вычислительными навыками у учащихся экспериментальных классов гораздо выше, чем у учащихся контрольных классов: при выполнении самостоятельных и проверочных работ они допускают в 1, 5—2 раза меньше ошибок в вычислениях. Кроме того, дети, обучавшиеся по экспериментальной системе, усвоили больше знаний о счете и измерении, о натуральном ряде чисел, об арифметических действиях. Все это подтверждает преимущество нашей методики изучения 1 десятка.

При изучении нумерации чисел за пределами 1 десятка (II десяток, I сотня, 1 тысяча, многозначные числа), проис-

ходит дальнейшее формирование отвлеченного понятия натурального числа. Понятие числа, которое в процессе овладения счетом, измерением и арифметическими действиями абстрагировалось от качественных признаков предметов, чтобы стать «чистейшим количественным определением», теперь обогащается «качественными различиями» (Ф. Энгельс), которые обуславливаются, в первую очередь, той или иной системой счисления (разрядные и алгоритмические числа, однозначные и многозначные, наименьшее и наибольшее число в ряду однозначных, двухзначных и т. д.).

Экспериментальное обучение строилось таким образом, чтобы учащиеся ясно осознавали сущность десятичной системы счисления, и это служило бы основой для овладения практическими навыками. С этой целью были внесены следующие изменения в методику работы над нумерацией: а) усилены элементы теории; своевременно вводились соответствующие термины, относящиеся к системе счисления и натуральному ряду; б) нумерация отвлеченных чисел изучалась в тесной связи с нумерацией соответствующих именованных чисел: разрядные единицы сопоставлялись с единицами измерения, образование разрядных и алгоритмических чисел сравнивалось с образованием простых и составных именованных чисел; в) наряду с упражнениями, требующими простого воспроизведения знаний по нумерации, вводились упражнения на применение знаний в новых условиях: сравнение и преобразования отвлеченных и именованных чисел, простейшие вычисления (вида: 5 сот + 3 сот, 10 сот: 2; 300 + 20, 320—300; 289+1, 390—1 — при изучении 1000, аналогично в других концентрах); г) нумерация чисел каждого концентра рассматривалась в течение более продолжительного периода: заблаговременно начиналась подготовительная работа к изучению нумерации чисел, при изучении других разделов систематически повторялись вопросы нумерации.

Как показало исследование, в целях создания наилучших условий для усвоения десятичной системы счисления, а также во избежание излишнего концентризма вполне возможно не выделять в отдельный концентр изучение нумерации и арифметических действий в пределах 20. Однако при изучении нумерации чисел I сотни необходимо специально остановиться на нумерации чисел II десятка. Включение II десятка в I сотню создает также благоприятные условия для усвоения таблицы сложения, поскольку здесь открываются бо-

лее широкие возможности для выработки вычислительных навыков (7 + 8, 17 + 8, 47+8, 57 + 18, 57 + 28 и т. п.).

Экспериментальное обучение, проведенное в различных по уровню успеваемости и развития классах (школы № № 210, 217, 476, 396 и 104), подтвердило необходимость целенаправленной работы по формированию у учащихся I—III классов понятий, относящихся к нумерации (с введением соответствующей терминологии): число, цифра, разрядное и неразрядное число, сумма раздрядных слагаемых, однозначное, двузначное и т. д. число, натуральный ряд и др. В этом случае повышается образовательный уровень изучения данного раздела, что сказывает положительное влияние на овладение навыками чтения и записи чисел, а также навыками вычислений.

При соответствующей методике оказывается возможным в рамках начального курса арифметики завершить работу над нумерацией натуральных чисел на третьем году обучения: опираясь на понятие класса, следует познакомить учащихся с нумерацией многозначных чисел (включая классы миллионов и миллиардов), но особое внимание надо уделить нумерации чисел в пределах миллиона. При этом целесообразно обобщить знания детей о натуральном ряде, о системе счисления, о позиционном принципе записи чисел, сопоставив десятичную систему счисления с непозиционной римской нумерацией и пятеричной системой счисления. Систематизации знаний по нумерации способствовало составление самими учащимися и применение ими в дальнейшем следующей схемы разбора числа:

1. Прочитай (запиши) число.

2. Назови число единиц каждого разряда и класса в отдельности.

3. Назови общее число единиц каждого разряда и класса.

4. Назови число, предшествующее при счете данному и следующее за ним.

5. Сосчитай, сколько всего цифр потребовалось для записи данного числа, назови эти цифры.

6. Назови наибольшее и наименьшее числа, которые имеют столько же разрядов, что и данное число.

7. Назови наибольшее и наименьшее числа, записанные всеми цифрами данного числа.

8. Замени данное число суммой разрядных слагаемых.

Результаты исследования показывают, что учащиеся экспериментальных классов обнаруживают высокий уровень обобщения понятий числа, натурального ряда и системы счисления, а также приобретают прочные навыки по нумерации, допуская в 2—3 раза меньше ошибок по сравнению с контрольными классами.

Проведенное исследование позволило наметить следующие ступени формирования понятия натурального числа у младших школьников (см. «Заключение»):

На первой ступени, в процессе овладения счетом и измерением, при изучении нумерации чисел I десятка у учащихся формируется понятие числа как общего свойства равномощных множеств и вместе с тем как члена натурального ряда, связанного с другими числами определенными количественными и порядковыми отношениями.

На второй ступени, в процессе изучения сложения и вычитания в пределах десяти, формируется понятие числа как суммы отвлеченных единиц, что выражается в свободной замене любого данного числа суммой различных слагаемых. Это предполагает усвоение целого комплекса знаний об арифметических действиях и овладение соответствующими вычислительными навыками.

На третьей ступени в процессе изучения нумерации и арифметических действий за пределами I десятка обогащаются знания учащихся о числе и натуральном ряде, углубляются наметившиеся связи с другими математическими понятиями, осознаются сложные связи каждого числа с другими числами натурального ряда, устанавливаются отношения к различным счетным единицам, а также к другим числам — число начинает рассматриваться не только как сумма, но и как произведение чисел.

На четвертой ступени, в результате изучения величин и обобщения знаний о нумерации отвлеченных и именованных чисел, а также действий над ними, натуральное число начинает выступать как отношение одного значения величины к другому значению, принятому за единицу. На данном этапе ученик понимает относительность численной характеристики

множества или значения величины в зависимости от выбора единицы счета (единицы измерения) и равенство различных чисел, характеризующих одно и то же множество или значение величины. Становится возможным перенос знаний о числе, о натуральном ряде и об арифметических действиях на числа, выраженные з другой системе счисления или измерения.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Изучение нумерации многозначных чисел в III классе. «Начальная школа», 1961, № 9.

2. Изучение первого десятка. «Начальная школа», 1962, № 7.

3. Формирование понятия длины у учащихся I —II классов. «Начальная школа», 1963, № 12.

4. Методика работы над усвоением понятия натурального числа учащимися I —IV классов. «Ученые записки Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена», т. 264, 1963.