ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

А. Ф. БЕДРИНА

СИСТЕМА РАБОТЫ НАД УРАВНЕНИЯМИ В ШЕСТОМ КЛАССЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

ЛЕНИНГРАД 1953

M3626I 7/VII-53 г. Тип. «Сталинец» зак. 3109 т. 100

Под руководством Коммунистической партии советский народ закрепил основы социалистического строя и осуществляет постепенный переход советского общества от социализма к коммунизму.

Научные труды И. В. Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР», «Марксизм и вопросы языкознания» открыли новые пути в развитии наук.

В труде «Экономические проблемы социализма в СССР» И. В. Сталин разработал основные вопросы экономики социализма и указал условия постепенного перехода от социализма к коммунизму. И. В. Сталин учит, что одним из основных предварительных условий перехода от социализма к коммунизму является необходимость такого культурного роста общества, «который бы обеспечил всем членам общества всестороннее развитие их физических и умственных способностей, чтобы члены общества имели возможность ...свободно выбирать профессию, а не быть прикованным на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, к одной какой-либо профессии».1)

Величественные перспективы дальнейшего движения к коммунизму наметил XIX съезд КПСС. Решения съезда являются боевой программой действий партии и всего народа.

Пятый пятилетний план развития СССР, принятый на съезде, определил пути дальнейшего подъема народного хозяйства страны, роста материального и культурного уровня народа. Новые задачи поставлены и в области народного образования. В директивах XIX съезда КПСС намечено: «Завершить к концу пятилетки переход от семилетнего образования на всеобщее среднее образование (десятилетка) в столицах республик, городах республиканского подчинения,

1) И. В. Сталин, Экономические проблемы социализма в СССР, Госполитиздат, 1952 г., стр. 68—69.

в областных, краевых и крупнейших промышленных центрах. Подготовить условия для полного осуществления в следующей пятилетке всеобщего среднего образования (десятилетка) в остальных городах и сельских местностях».1)

Директивы по пятому пятилетнему плану развития СССР вдохновляют советских людей на новые трудовые подвиги во имя процветания нашей родины.

В современных условиях исключительное значение имеет учебно-воспитательная работа советского учительства.

В отчетном докладе на XIX съезде КПСС тов. Маленков говорил: «Надо и впредь развивать в массах высокое сознание общественного долга, воспитывать трудящихся в духе советского патриотизма и дружбы народов, в духе заботы об интересах государства, совершенствовать лучшие качества советских людей — уверенность в победе нашего дела, готовность и умение преодолевать любые трудности».2) Воспитывать в учащихся перечисленные тов. Маленковым качества, вести борьбу за высокую успеваемость, работать так, чтобы каждый ученик глубоко, прочно, сознательно усваивал основы наук, чтобы не было в практике учителя ни одного плохого урока — вот задача, которая стоит теперь перед педагогическими кадрами советской школы. Перед советской общеобразовательной школой стоит задача не только вооружить учащихся систематическими и прочными знаниями основ наук, но и научить применять полученные теоретические знания на практике. В резолюциях XIX съезда КПСС по пятому пятилетнему плану поставлена задача: «В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора, профессий приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».3)

Переход ко всеобщему политехническому обучению возможен лишь при условии прочного усвоения учащимися основ наук.

1) Резолюции XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза, Госполитиздат, 1953 г., стр. 129.

2) Г. М. Маленков. Отчетный доклад XIX съезду партии о работе Центрального (Комитета ВКПб), Госполитиздат, 1952 г., стр. 96.

3) Резолюции XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза, 5—14 октября 1952 г., Госполитиздат, 1953 г., стр. 29.

Одним из важных звеньев политехнического обучения учащихся должно быть преподавание алгебры в школе. В плане политехнического обучения учащихся на уроках алгебры большое значение имеет вопрос о решении задач при помощи уравнений.

Обучение решению задач при помощи уравнений способствует, подготовке учащихся к их практической деятельности, поднимает их общую математическую культуру, развивает мышление, речь учащихся и самостоятельность в работе. Таким образом, помогает решать основную задачу школы — всестороннее развитие учащихся.

Особенно трудными в деле обучения учащихся решению задач при помощи уравнений являются первые шаги. Однако вопрос о методике преподавания пропедевтического курса уравнений еще слабо разработан в методической литературе.

Существуют различные пути для изучения подготовительного (пропедевтического) курса уравнений. Однако «ни один метод не может быть признан основным и универсальным методом учебы».1)

Мы разработали и проверили на практике один из возможных путей обучения учащихся решению задач при помощи уравнений. В диссертации предлагается система проведения подготовительного курса уравнений в шестом классе. Данная система работы над уравнениями в шестом классе не является единственно возможной системой проведения пропедевтического курса уравнений. Она может быть заменена другой. Мы лишь считаем, что предлагаемая система является одной из возможных систем обучения учащихся решению задач при помощи уравнений. Практика показала, что она может с успехом применяться в школе и способствовать повышению общего уровня преподавания алгебры в шестом классе.

При разработке данной системы мы опирались на труды классиков марксизма-ленинизма, на труды классиков педагогики, на физиологическое учение И. П. Павлова.

Предварительно была изучена основная методическая, педагогическая и психологическая литература по данному вопросу.

Исследовательская работа основывалась на педагогической практике учителей: М. А. Скляр, В. С. Климашовой,

1) Сборник постановлений ЦК ВКП(б) и Совнаркома СССР и РСФСР за 1931—1939 гг., Государственное учебно-педагогическое издание Наркомпроса РСФСР, 1939 г., стр. 23.

А. И. Титовой, А. М. Ивановой, О. Я. Лихачёвой (221-я школа), Е. А. Филоненко (1в4-я школа), К. 3. Плоткиной (313-я школа), протекавшей в течение трех учебных лет: 1950/51, 1951/52, 1952/53 в школах г. Ленинграда. В 1951 —1952 учебном году автором настоящей работы был праведен эксперимент в шестом классе 210-й мужской средней школы г. Ленинграда.

По ходу проведения опытной работы результаты обсуждались .на заседаниях предметных комиссий в школах и на заседаниях кафедры математики в Ленинградском городском институте усовершенствования учителей. Протоколы заседаний и отзывы школ помещены в приложение 2.

Весь процесс решения задач при помощи уравнений мы разбили на семь этапов, которые охватывают и освещают детали решения задач с помощью уравнений. При разработке предлагаемой системы мы исходили из того, что составление уравнения для данной задачи представляет собой сложный мыслительный процесс, что основное затруднение в преподавании этого раздела заключается в том, что учащиеся ставятся перед необходимостью преодолеть сразу целый ряд трудностей. Для успешного обучения требуется расчленение этих трудностей на составные части с таким расчетом, чтобы каждая из этих частей легко преодолевалась учащимися и чтобы эти части в своей совокупности схватывали весь вопрос. Ф. Энгельс учит, что «мышление состоит столько же в разложении предметов на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство».1) Здесь необходимо принять также во внимание слова И. М. Сеченова о том, что наука «должна расчленить цельное явление до возможных пределов, свести сложные отношения на более простые, и если ей это удается..., тогда предчувствуемая непреложность превращается в научную очевидность».2)

Предлагаемая система открывает большие возможности для развития речи учащихся. И. В. Сталин, раскрывая роль языка в развитии общества, пишет: «Звуковой язык в истории человечества является одной из тех сил, которые помогли людям выделиться из животного мира, объединиться в общества, развить своё мышление, организовать общественное производство, вести успешную борьбу с силами природы и

1) Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, Государственное издательство политической литературы, 1950 г., стр. 40.

2) И. М. Сеченов, Как и кому разрабатывать психологию? Избранные философские и психологические произведения, 1947 г., стр. 224.

дойти до того прогресса, который мы имеем в настоящее время».1)

Самое важное значение речи заключается в том, что она закрепляет достижения человека в познавании объективной реальности.

Значит, человек может при помощи слова отвлекаться от действительной жизни, а при помощи абстракции человек проникает в сущность закономерностей мира, познает мир и активно изменяет его в нужных ему направлениях. Поэтому развитие речи учащихся является необходимым элементом всей системы обучения, что и учитывается предлагаемым пропедевтическим курсом уравнений.

По учению И. П. Павлова, весь процесс обучения состоит из образования условных рефлексов: «Очевидно, наше воспитание, обучение, дисциплинирование всякого рода, всевозможные привычки представляют собой длинные ряды условных рефлексов».2)

Время, в течение которого вырабатывается навык в решении задач при помощи уравнений, является решающим фактором, так как для выработки условного рефлекса по учению Павлова требуется многократное повторение. Поэтому начинать эту работу следует с первых уроков алгебры и проводить в течение всего шестого года обучения в определенной системе. Великий русский педагог К. Д. Ушинский сказал: «Из характера привычки вытекает уже само собой, что для укоренения ее требуется время, как требуется оно для возрастания семени, посаженного в землю, и воспитатель, который торопится с укоренением привычек и навыков, рискует вовсе не укоренить их».3)

И. П. Павлов установил, что мышление рождается из маленьких ассоциаций, а затем эти связи растут, углубляются, т. е. вся работа мышления, вся деятельность коры больших полушарий состоит из образования простых временных связей, а затем по мере усложнения изучаемого материала, образования сложных связей. Так, И. П. Павлов говорит, что «все это «понимание», все это «мышление» (это одно и то же, ясно)

1) И. В. Сталин, Марксизм и вопросы языкознания, Госполитиздат, 1952 г., стр. 46.

2) И. П. Павлов, Полное собрание сочинений, т. 4, изд. АН СССР, 1951 г., стр. 415.

3) К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, Учпедгиз, 1945 г., стр. 405.

состоит насквозь «из ассоциаций, сперва элементарных, а потом из связей элементарных ассоциаций, т. е. из сложных ассоциаций».1)

Опираясь на высказывания И. П. Павлова, мы пропедевтический куре уравнений начинаем с простых задач на составление уравнений. По мере продвижения вперед, задачи постепенно усложняются. Выбираются задачи, в которых составление уравнения осуществляется путем более сложных рассуждений. Система упражнений подбирается таким образом, чтобы каждое из упражнений осветило учащимся определенный момент работы, которую нужно выполнить при решении задач на составление уравнения. Эти упражнения подбираются, кроме того так, что каждое следующее является развитием предыдущего. Эти упражнения должны помочь учащимся правильно понять все производимые операции при решении задач на составление уравнения. В процессе выполнения этих упражнений учащиеся должны освоить наиболее распространенные функциональные зависимости, существующие между величинами.

Разбивая весь сложный процесс решения задач при помощи уравнения на ряд этапов .и изучая их в течение всего шестого года обучения, мы достигаем в учебной работе лучших результатов. Это находится в полном соответствии со следующим высказыванием проф. М. H. Шардакова: «В самом деле, изучение учебного материала в несколько приемов дает школьнику возможность работать не торопясь, основательно и углублённо, а не поверхностно. При таком изучении у него имеется достаточно времени, чтобы осмыслить различные взаимосвязи между отдельными частями изучаемого материала. Это приводит к активной, сознательной работе школьника над учебным материалам. Кроме того, у школьника не обнаруживается такого утомления как это наблюдается при изучении в один приём, и это обеспечивает более высокий уровень его умственной деятельности».2)

При изучении материала в несколько приемов в промежутки, протекающие между этими приемами, происходит внутренняя работа сознания, в результате которой протекает осознание и закрепление изучаемого материала. Это явление И. П. Павлов объяснил с физиологической стороны: «...такой

1) Павловские среды, Изд. АН СССР, т. 2, 1949 г, стр. 582.

2) М. Н. Шардаков, Очерки психологии учения, Учпедгиз, 1951 г., стр. 71.

важный корковый акт, как синтезирование, может совершаться и в частях полушарий, находящихся в известной степени торможения под влиянием преобладающего в коре в данный момент сильного раздражителя. Пусть этот акт тогда не сознается, но он произошёл и при благоприятных условиях может обнаружиться в сознании готовым и представляться как возникший неизвестно как».1)

В свете учения И. П. Павлова, всякий творческий мыслительный процесс основан на ранее приобретенном опыте, т. е. на ранее полученных знаниях. Никакой новый мыслительный процесс не может быть осуществлен без определенной базы уже накопленного опыта. Воя предлагаемая нами система, учитывая сказанное выше, строится таким образом, что первый этап основывается на знаниях, полученных в арифметике, а каждый следующий этап не может быть изучен, пока не изучен предыдущий, причем каждый новый этап начинается с повторения предыдущих, т. е. каждый последующий включает в себя, как часть, предыдущий. Это находится в полном согласии с положением К. Д. Ушинского, который сказал: «Новый период учебы должен необходимо начинаться повторением пройденного и только при этом повторении учащийся овладевает, вполне изученным прежде и чувствует в себе накопление сил, дающих возможность итти дальше».2)

Таковы основные положения, которыми мы руководствовались при разработке системы.

Мы поставили своей целью разработать методику обучения учащихся решению задач при помощи уравнений. Исследование способов решения уравнений в шестом классе не входило в нашу задачу. Поэтому мы выбрали один из приемов решения уравнений в шестом классе, который рекомендован программой и оправдал себя на практике.

* * *

Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и заключения.

Глава I. Пропедевтический курс уравнений, постановка вопроса и цели исследования, теоретическое обоснование темы.

Глава 2. Обзор литературы, освещающей преподавание пропедевтического курса уравнений.

1) И. П. Павлов, Полное собрание сочинений, т. 4, изд. АН СССР, 1951 г., стр. 433.

2) К. Д. Ушинский, Избранные педагогические сочинения, Учпедгиз, 1945 г., стр. 495.

Глаза 3. Изложение опыта работы по предлагаемой системе.

В первой главе содержится рассмотрение вопроса о значении уравнений в школьном курсе алгебры, обосновывается необходимость начала изучения уравнений в шестом классе, освещается вопрос о предмете и цели исследования, даётся теоретическое обоснование темы, рассматриваются основные положения системы и дается краткое изложение её. Кроме того, в первой главе рассматривается вопрос о подборе задач. Мы придаем подбору задач серьезное значение особенно в начальный период работ над уравнениями. Подбор задач мы производим по принципу возрастания трудностей, возникающих в момент составления уравнения, а не их решения. Приложение 1 содержит задачи (120), расположенные соответственно пяти этапам системы и согласно нарастания трудности в процессе составления уравнения.

Во второй главе рассматриваются наиболее важные работы, освещающие преподавание пропедевтического курса уравнений, начиная с «Методики приготовительного курса алгебры» В. Евтушевского и А. Глазырина (1876 г.) и кончая современной литературой по этому вопросу.

Проведенный обзор литературы позволил сделать некоторые выводы:

1. В основе практикуемой в школе методики преподавания уравнений лежит система, разработанная К. Ф. Лебединцевым. Этой системы придерживаются все авторы изданных в советский период учебников, методик и методических статей.

2. Во многих работах, выпушенных в последние годы, система Лебединцева пополняется различного вида подготовительными упражнениями к обучению учащихся составлению уравнений.

3. В ином плане разработана система подготовительного курса уравнений в книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского «Алгебра», ч. I (Пособие для учителей, учпедгиз, 1951 г.).

В третьей главе излагаются результаты исследования. Изложение опыта работы по предложенной системе распределено в семи параграфах, соответствующих семи этапам работы. Начало каждого параграфа содержит изложение вопроса о том, как должно проходить изучение этапа, т. е. в чем состоит решение задач отдельного этапа. В протоколах отдельных уроков показано, как проходит каждый этап в классе. Подробно выясняется значение задач каждого этапа. В этой

главе приводятся самостоятельные работы учащихся, которые проводились как в урочное, так и во внеурочное время. По результатам этих самостоятельных работ, опроса учащихся в классе, проверки домашних заданий, контрольным работам и беседам с учащимися производилась оценка правильности системы при переходе от одного этапа к другому. В ходе исследования система изменялась, дополнялась.

В результате трехлетней опытной работы установлены средние сроки изучения каждого этапа, ка»кое количество задач в среднем можно решить на каждом этапе.

Кроме того, в этой главе рассматривается вопрос о том, где в литературе встречаются задачи различных видов, совпадающие с задачами отдельных этапов нашей системы. Так, например, задачам такого вида, как в первом этапе предлагаемой нами системы, придают большое значение многие авторы (Н. А. Шапошников и Н. К. Вальцов, П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, В. В. Репьев, В. Л. Гончаров, Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский, Я. С. Безикович и др.) и предлагают их, в основном, в самом начале обучения учащихся решению задач на составление уравнений. Небольшая разница наблюдается лишь в формулировке вопроса. Приведем различные формулировки вопросов, которые предлагаются к задачам данного вида:

1. Выразить зависимость между а, в, р.

2. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, в, t.

3. Выразить формулой зависимость, имеющуюся между данными числами.

4. Написать равенство, связывающее все данные величины.

5. Написать равенство, выражающее зависимость между этими числами.

6. Записать это соотношение в виде равенства.

7. Выразить зависимость между этими числами.

8. Напишите формулу для S.

Мы не настаиваем на постановке вопроса в предложенной нами форме (п. 2). Учитель может выбрать любую из вышеуказанных формулировок вопроса, но мы придаем большое значение решению задач данного вида в процессе подготовки учащихся к общему приёму решения задач при помощи уравнений и считаем, что начинать обучение учащихся решению задач на составление уравнений следует именно с таких задач. Точно так же поступают и все авторы, которые вводят задачи

данного вада, т. е. помещают эти задачи или в самом начале курса, или в начале обучения решению задач на составление уравнений. Второй и четвертый этапы содержатся в книге Д. К. Фаддеева и И. С. Соминского, а третий, пятый и шестой вообще являются новыми. Седьмой этап содержится в каждом учебнике алгебры, так как он представляет собой обычный способ решения задач при помощи уравнения.

Первый этап опирается на составление формул решения арифметических задач и состоит в составлении уравнения, выражающего зависимость между величинами, содержащимися в условии задачи. Предварительно вводим понятие об уравнении на задачах, рассматриваем вопрос о зависимых и независимых величинах. На первом этапе учащимся предлагается задача, в которой нет неизвестных величин. Все величины, входящие в условие задачи, обозначены буквами или часть этих величин обозначена буквами, а остальные имеют числовые значения. От учащихся требуется составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, входящими в условие задачи.

Вся работа по предлагаемой системе увязывается с текущим материалом. Например, на уроке, посвященном понятию о коэффициенте, решается такая задача:

На S руб. куплено 5 м сукна по а руб. за м и 7 м шелка по в руб. за м. Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, содержащимися в условии задачи.

Ответ: S = 5а + 7в.

На уроке, посвященном степени, можно решить, например, такую задачу:

Объем куба, ребро которого а см, в 3 раза меньше объема прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат со стороной в см, высота его h см. Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, данными в условии задачи.

Ответ: Зааа=ввЬ или За3 = в2Ь.

Задачи выбираются доступные для учащихся, но в то же время достаточно трудные. Мы возражаем как против слишком легких, так и против слишком трудных задач на данном периоде обучения. Задачи легкие бесполезны, так как решая их, ученик ничему не научится. Задачи трудные полезны, но в своё время. Здесь, в начале изучения уравнений, нужны задачи посильные, доступные для учащихся, но в то же время, содержащие в себе новые идеи, новые зависимости, способные развивать учащихся, обогащать их новыми знаниями.

В классной работе, когда учащиеся самостоятельно составляют уравнения, обычно возникают несколько видов уравнений, выражающих данную зависимость. Преподаватель должен разъяснить учащимся, что от них требуется составить одно уравнение, выражающее данную зависимость, но преподаватель должен поощрять изобретательность учащихся по отысканию других видов уравнений, выражающих эту же зависимость. Такая работа над уравнениями является хорошей подготовкой к изучению свойств уравнений. Интересно отметить, что учащиеся охотно отыскивают различные по виду уравнения, выражающие одну и ту же зависимость. Например, к задаче:

Киоск продал а учебников по русскому языку и в учебников по арифметике. Каждый учебник русского языка, равно как и каждый учебник арифметики, стоит с руб. Все проданные книги стоят t руб. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, в, с, t. Ответ: (а + в) с = t учащиеся составили 8 различных по виду уравнений:

Второй этап состоит в составлении уравнений, выражающих зависимость между величинами и в решении уравнений, выражающих зависимость между этими величинами, относительно одной из величин при частных значениях остальных величин. Значит, для решения задач второго этапа учащийся должен составить уравнение, выражающее зависимость между величинами, содержащимися в условии задачи (сделать работу первого этапа) и затем решить это уравнение относительно одной величины при частных значениях остальных (это делается как в частном, так и в общем виде).

На втором этапе учащимся предлагается, например, задача:

В 4-м классе а учащихся, в 6-м классе в учащихся. Оба класса вместе посадили S деревьев, причем каждый ученик 4-го класса посадил х деревьев, а каждый ученик 6-го класса посадил у деревьев.

1. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, в, x, у, S.

2. Найти а, если S = 295, х = 3, в = 40, у = 4. Решение:

2. Подставив в уравнение данные значения величин, решаем уравнение с одним неизвестным:

295 = За + 4 X 40

а-45

Возможен и другой вариант решения. Сначала уравнение решается в общем виде, а затем подставляются вместо букв числовые значения и находится «результат:

Второй вопрос к задаче можно предложить в виде требования заполнить таблицу:

а

в

X

У

S

I

34

4

6

376

2

36

3

4

266

3

36

39

ô

339

4

38

42

2

2124

5

41

37

3

5

При заполнении любой строки таблицы исходным будет одно и то же уравнение: S = ax + By, но это уравнение в каждом случае будет использовано в различных своих частных видах.

В этот, период знакомим учащихся с вопросами теории уравнений, которые необходимо дать в шестом классе. Даём определение уравнения с одним неизвестным, выясняем что значит решить уравнение с одним неизвестным, даем определение корня уравнения.

Третий этап приготовительного курса уравнений представляет собой развитие второго этапа. Задачи, которые предлагались на втором этапе, содержали два требования, а задачи третьего этапа содержат три требования:

1. Составить уравнение, выражающее зависимость между величинами.

2. Решить это уравнение относительно одной величины при заданных значениях других величин.

3. Составить условие задачи, которая решается в п. 2. Поясним выполнение только третьего требования, так как выполнение первых двух пояснены выше. Для краткости используем ту же задачу. Так, при заполнении третьей строки вышеприведенной таблицы решается задача:

В 4-м классе 36 учеников, в 6-м классе 39 учеников. Оба класса вместе высадили 339 деревьев. Каждый ученик 6-го класса посадил 5 деревьев. Сколько деревьев посадил каждый ученик 4-го класса?

Четвертый этап заключается в применении уравнения, выражающего зависимость между величинами, к решению данной конкретной задачи. Делается это так: пусть, например, имеем задачу:

На с руб. куплено а задачников по п руб. каждый и в учебников по* m руб. каждый.

1. Составить уравнение, выражающее зависимость между а, в, с. п, т.

2. Использовать данное уравнение для решения задачи: На 144 руб. куплено 40 задачников по 1,5 руб. каждый и 42 одинаковых учебника. Сколько руб. стоит каждый учебник? Решение:

Для решения этой задачи учащиеся сначала составляют уравнение, например, такого вида: с = an + тв, затем устанавливают, что с = 144, п = 1,5, в = 42, m = ? подставляют значения входящих в уравнение букв.

144 = 40. 1,5 +4flm и решают уравнение с одним неизвестным:

144 =60 +42т 42т = 84 m = 2 (руб.)

Здесь, конечно, возможны и другие задачи, которые могут быть решены на основе составленного уравнения с = an + вгп.

Пятый этап заключается в том, что в предлагаемой задаче неизвестная величина обозначена буквой, остальные же величины выражены числами. Кроме того, требуется составить условие задачи, которая при этом решается. Например, имеем задачу:

Кг конфет до снижения цен стоил а руб., после снижения он стал стоить на 4 руб. дешевле. За 15 кг по -прежней цене

заплатили на 20 руб. больше, чем за 17 кг по новой цене.

1. Чему равно а?

2. Составить условие этой задачи так, чтобы в него буква а не входила.

Решение:

Составляем уравнение и решаем его.

Условие задачи можно составить так:

Кг конфет в результате снижения цен стал дешевле на 4 руб. За 15 кг по прежней цене нужно было заплатить на 20 руб. больше, чем за 17 кг по новой цене. Сколько руб. стоил кг конфет до снижения цен?

Эта задача в первой своей части отличается от обычной задачи на составление уравнения тем, что здесь уже введена буква для обозначения неизвестной величины. Остается составить уравнение и решить его.

Шестой этап является естественным продолжением пятого этапа. Если в задачах пятого этапа неизвестная величина уже в самом условии была обозначена буквой, то здесь дается указание, какую величину и какой буквой обозначить. Приведем пример задачи шестого этапа:

За 3 книги заплачено 4 руб. 10 коп. Стоимость второй книги составляла 75% стоимости первой, а за третью книгу заплатили на 1 руб. 5 коп. меньше, чем за первые две книги шесте. Сколько руб. стоит каждая книга? Указание. Стоимость первой книги (в руб.) обозначить буквой с. Задачи для этого этапа можно брать из имеющихся сборников задач по алгебре. Учителю необходимо дать учащимся указание для каждой задачи. Практика показала, что довольно скоро появляются учащиеся, которые просят разрешения не записывать указаний и заявляют, что они и сами знают, какую величину надо обозначить буквой. В это же время другие учащиеся старательно записывают указания и ими пользуются. Учитель разрешает записывать указания только желающим. От урока к уроку таких желающих становится все меньше и меньше. Наконец, учитель объявляет, что давать указаний больше

не будет. Когда наступает этот момент, можно считать, что пропедевтический курс уравнений окончен.

Седьмой этап является завершением системы работ по обучению учащихся решению задач при помощи уравнений. Он состоит в обычном способе решения задач на составление уравнений. Затем, если позволит время, можно показать учащимся, что от удачного выбора неизвестного зависит простота решения задачи, можно рассмотреть задачи, не имеющие решения, вводить элементы исследования, иначе говоря, постепенно поднимать учащихся на более высокую ступень в процессе работы над уравнениями.

Значение задач предлагаемой системы.

В первой теме «Буквенные выражения» учащиеся должны составлять алгебраические выражения. Решение задач первого этапа как раз и требует от учащихся составления алгебраических выражений.

При выполнении этой работы учащиеся неизбежно сталкиваются с необходимостью правильно, при помощи алгебраических выражений, записать свою мысль. Таким образом, здесь учащиеся в активной форме рассматривают структуру алгебраических выражений. Они должны сами указать, какие действия и в каком порядке должны быть проведены над буквами, чтобы построенные ими алгебраические выражения действительно описывали зависимость, которую они хотят выразить.

Решение задач данного вида устраняет разрыв между преподаванием арифметики и алгебры.

Решение задач на составление уравнений, выражающих зависимость между величинами, очень полезно при введении новых понятий. На этих задачах учащиеся знакомятся с новыми понятиями на практическом материале; на этих же задачах учащиеся активно применяют на практике сообщённые им новые понятия.

Решение задач на составление уравнений, выражающих зависимость между величинами, имеет очень большое значение и в деле развития у учащихся идеи функциональной зависимости. В каждой задаче речь идет о некоторых величинах, между которыми имеется та или другая зависимость. Учащиеся должны вскрыть эту зависимость, осознать её и выразить при помощи уравнения. Значит, они должны данную зависимость между величинами, которую они осознают, понимают по её существу, выразить в математической форме при помощи уравнения. Таким образом, они приучаются оформлять функ-

циональную зависимость, выраженную словами, посредством математических формул.

Составляя различные по виду уравнения, выражающие одну и ту же зависимость, учащиеся в активной форме проникают в различные свойства уравнений, практически составляют различные выражения, основанные на законах тождественного преобразования. Практика учащихся по составлению уравнений наталкивает их на простейшие тождественные преобразования, и при этом эти преобразования предстают перед учащимися не в теоретической, а в практической трактовке.

В составлении уравнений, выражающих зависимость между величинами, завершается работа, которую ведёт учитель в течение всего времени обучения, начиная с первого класса. Именно, решая арифметические задачи, учитель вместе с учениками приходит, например, к таким формулировкам: пройденный путь в км при равномерном движении равен произведению скорости в км в час на время в часах; стоимость купленного- товара в руб. равна произведению цены товара в руб. за м на количество товара в м и т. д. Такие формулировки возникают, при решении арифметических задач. Они произносятся в классе устно и обычно не записываются. На занятиях в шестом классе на уроках алгебры эти формулировки, выражающие функциональную зависимость между величинами, можно записывать в виде уравнения. Таким образом, работа на первом этапе завершает целый цикл проделанных ранее работ по арифметике.

На втором этапе продолжается обучение учащихся составлению уравнений, выражающих зависимость между величинами. Кроме того, задачи второго этапа дают возможность решать уравнения, в которых неизвестные выражают определенную величину, рассматриваемую в условии задачи.

Учащиеся знакомится с решением уравнения в общем и частном виде. Учащиеся видят, что одно и то же уравнение, выражающее зависимость между величинами, дает возможность решить несколько задач.

Углубляется идея функциональной зависимости. Учащиеся видят, что при изменении одних величин, находящихся в данной зависимости, изменяются и другие.

На задачах третьего этапа перед учащимися дальше раскрывается основная идея: уравнения представляют собой аппарат для решения задач. Особенно важное значение имеет тот факт, что самостоятельное составление и формулировка условия задачи способствует развитию речи учащихся.

На задачах четвёртого этапа учащиеся учатся отыскивать в условии задачи известные величины, находить неизвестную величину. Перед учащимися в наглядной форме выступает связь между составлением уравнения, выражающего зависимость между величинами, и решением данной конкретной задачи, выступает внутренняя связь между задачами, которые можно решить при помощи одного уравнения. При выполнении упражнений этого вида школьники учатся переходить от общего вида задачи к частному, конкретному, т. е. применять общую идею решения задач на составление уравнения в каждом частном случае. На задачах четвертого этапа у учащихся вырабатывается правильное понимание соотношения общего и частного, иначе говоря, здесь учащиеся видят, что если решена общая задача, то из ее решения получается решение частной задачи.

В задачах пятого этапа раскрывается другая сторона отношения общего к частному. Здесь выясняется, что частное решение может быть непосредственно получено и притом тем же способом, каким может быть получено общее решение. Учащиеся на задачах пятого этапа видят, что для решения данной задачи вовсе не является необходимым решение этой задачи в общем виде, а достаточно общие методы приложить к частной задаче.

Учащиеся видят, что неизвестная величина может быть обозначена различными буквами, а это очень важно для изучения физики, химии, геометрии, тригонометрии.

Задачи пятого этапа также представляют хороший материал для развития речи учащихся.

Таким образом, мы видим, что система составлена так, что каждый этап освещает учащимся определенную сторону той сложной работы, которую нужно выполнять при решении задачи с помощью уравнения. При этом в предлагаемой системе пропедевтического курса уравнений уделено достаточное внимание каждой составной части этой работы. При переходе к обычному способу решения задач при помощи уравнений учителю ничего нового объяснять не приходится. Учащиеся в доступной форме и на доступном материале уже подготовлены к решению задач при помощи уравнений. Кроме того, каждый этап имеет и громадное самостоятельное значение.

Таким образом, в диссертации раскрываются основные положения предлагаемой системы:

1. Пропедевтический курс уравнений разбивается на семь этапов.

2. Каждый этап не вызывает затруднений, если предварительно пройдены предыдущие этапы.

3. Эти этапы между собой связаны так, что каждый следующий содержит в себе предыдущий, являясь его усложнением.

4. Все этапы вместе охватывают весь вопрос.

5. Каждый этап посвящается преодолению одной из трудностей, на которые можно разбить весь ряд трудностей, возникающих при решении задач с помощью уравнений.

6. На каждом этапе работа над уравнениями может быть и должна быть увязана с материалом изучаемого курса алгебры.

7. Каждый этап имеет особое и самостоятельное значение в процессе обучения и воспитания учащихся.

8. Работа на каждом этапе ведётся на материале посильном и полностью понятном для учащихся.

9. Работа на каждом этапе интересна для учащихся и способствует развитию их творческой инициативы и сообразительности.

10. Время, которое преподаватель отводит данному этапу, полностью определяется подготовкой класса, его развитием. Не следует спешить при переходе от одного этапа к другому. Учитель переходит к следующему этапу только тогда, когда увидит, что класс легко справляется с задачами данного этапа. В распоряжении преподавателя весь шестой год обучения и первая четверть седьмого года. Этого времени для проведения всей работы по пропедевтическому курсу уравнений достаточно.

11. Работа над уравнениями должна пронизывать весь курс алгебры шестого класса. Специально уравнениям нужно отвести только один—два урока в начале шестого класса. Во всей дальнейшей работе специальных уроков больше отводить не надо, так как работа над уравнениями органически связывается с материалом курса алгебры шестого класса. Само собой разумеется, что работа над уравнениями не может понизить темп изучения программного материала.

12. Связь работы над уравнениями с материалом курса алгебры способствует более глубокому усвоению курса алгебры, так как сразу показывает учащимся, как знание того или другого правила облегчает и упрощает решение конкретных задач. Работая над уравнениями, учащиеся активно применяют знание алгебры.

13. Работа по этой системе предоставляет широкие воз-

можности для решения ряда методических и педагогических задач. Сюда относятся:

а) Политехнизация обучения.

б) Коммунистическое воспитание на уроках математики.

в) Развитие функционального мышления учащихся.

г) Развитие речи учащихся.

д) Развитие самостоятельности учащихся.

е) Развитие творческой инициативы и сообразительности учащихся.

ж) Развитие умения прилагать теоретические знания на практике.

з) Развитие понимания внутренней связи алгебры с другими математическими дисциплинами—арифметикой и геометрией, а также с физикой.

14. Опыт работы по этой системе показал, что все учащиеся к концу года овладевают умением решать при помощи уравнений задачи, отнесённые стабильным задачником к курсу седьмого класса.

15. Опыт также показал, что система может с успехом применяться и к учащимся седьмого класса, не изучавшим в шестом классе пропедевтического курса уравнений. Опытом установлено, что такие учащиеся седьмого класса, работая по этой системе в ускоренном темпе, могут в часы, отведённые программой на изучение алгебраических дробей и пропорций, овладеть умением решать задачи при помощи уравнений.

16. Как показывает опыт, навык, приобретённый учащимися в шестом классе, в решении задач на составление уравнений, обладает прочностью. Учащиеся, приступившие после летних каникул к работе в седьмом классе, на первых же уроках показали, что этот навык не был ими утерян в период каникул.