МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР

АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

А. П. БАЙРАМЯН

ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В МЫШЛЕНИИ УЧАЩИХСЯ I—V КЛАССОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук, по специальности «Методика преподавания математики»

БАКУ—1967

Специализированный совет по присуждению ученых степеней по специальностям: «Физика», «Математика» и «Методика преподавания физики и математики» при Азербайджанском Государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина направляет Вам для ознакомления автореферат диссертационной работы А. П. Байрамян «Пути формирования понятия функциональной зависимости в мышлении учащихся I—V классов в процессе обучения арифметике» и просит сообщить Ваши отзывы и замечания о данной работе ученому совету (Баку, ул. Уз. Гаджибекова, 34).

Работа выполнена в Ереванском Армянском государственном пединституте им. Х. Абовяна.

Решением ученого совета Азербайджанского Государственного педагогического института им. В. И. Ленина официальными оппонентами назначены:

1. Мазманян Мкртыч Арамович — зав. кафедрой психологии Ереванского Арм. пед. института им. Х. Абовяна, заслуженный деятель науки, доктор педагогических наук, профессор.

2. Карташян Асканаз Акопович — кандидат педагогических наук, доцент кафедры элементарной математики и методики математики АПИ им. В. И. Ленина.

Автореферат разослан « » 1967 г.

Защита состоится « » 1967 г.

Ученый секретарь Совета Доцент Б. А. Шафи-заде.

В решениях XXIII съезда КПСС и в постановлении «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» (решение, принятое 10 ноября 1966 гоца ЦК КПСС и Советом Министров СССР) ярко выражена забота нашей партии об улучшении образования и воспитания подрастающего поколения. Это постановление указывает новые пути для совершенствования среднего образования, последовательного осуществления принципа политехнического обучения и трудового воспитания учащихся.

Фактически наступил новый этап развития советской школы — обучать и воспитывать активных строителей коммунизма. Достижение этой грандиозной цели немыслимо без овладения научно-техническими и, в частности, математическими знаниями, так как круг использования математики расширяется все больше и больше. Математика и математические машины применяются не только в технике, но и в медицине, в сельском хозяйстве, языковедении и т. д. Охватывая все новые отрасли деятельности, математика становится могучим рычагом продвижения человечества к светлому будущему.

Таким образом, для развития науки и техники требуется все больше и больше специалистов, знающих математику. Это требование нашей жизни можно удовлетворить только развитием математического отвлеченно-обобщающего мышления у основного состава учащихся.

Одним из путей увязки математики с практикой и развития отвлеченно-обобщающего логического мышления учащихся является систематическое внедрение идеи функциональной зависимости, которая математическими формулами выражает закономерности, изменения и взаимосвязи величин, т. е. диалектику природы.

Идея функциональной зависимости является основой современной математики, и в настоящее время общепризнана необходимость воспитания мышления учащихся в направлении овладения ими понятиями и закономерностями в области функциональной взаимосвязи величин.

Не случайно, что эта идея доминирует в экспериментах, организованных за последние годы видными учеными в целях перестройки математического образования в советской школе.

Обучение арифметике, начиная с I класса, на фоне функциональных зависимостей величин, дает возможность отражать реальные факторы в математических задачах и формулах, в их динамике, создает основу для материалистического миропонимания.

Профессор А. Я. Хинчин, по этому вопросу писал: «Совершенно непринужденно, исподволь, не обременяя детского сознания непосильными ему абстракциями, и в то же время— настойчиво, планомерно и повседневно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке — в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдется материал, направляющий внимание учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее осознают как функциональную связь между величинами». (А. Я. Хинчин. Основные понятия математики и математические определения. Учпедгиз, 1940, М. стр.37).

Вопросу об изучении функциональной зависимости величии в школе посвящено много статей, книг и диссертаций. Почти в каждой из них констатируется, что учащиеся плохо представляют функциональную зависимость, не умеют изучать свойства функций по заданным аналитическим, графическим или табличным их выражениям.

Имеется ряд причин, мешающих лучшему усвоению этого материала со стороны учащихся. Некоторые из них, как нам кажется, заключаются в следующем:

Во-первых, несмотря на важность и актуальность этого вопроса, пока еще не разработана такая методика, при-

менением которой педагог-практик смог бы повседневно развивать функциональное мышление учащихся, начиная с первых уроков арифметики.

Во-вторых, по действующим программам, задачникам и большинству методических пособий в школе в течение первых пяти лет в большинстве случаев арифметику преподают без регулярного, планомерного изучения функциональных взаимосвязей величин.

В-третьих, идея функциональной зависимости величин не применяется при объяснении новых для учащихся тем арифметики, не способствует облегчению усвоения изучаемых тем, не становится необходимым элементом методики преподавания арифметики.

В-четвертых, в программах, задачниках и даже в тех методических пособиях, где дан раздел об идее функции, связь с другими темами арифметики совсем не разработана. Изменяемость и взаимосвязь величин изучается как отдельная независимая тема, т. е. изучение всего курса школьной арифметики не построено на фоне изменяемости и взаимосвязи величин.

В-пятых, для формирования у учащихся понятия функциональной зависимости величин разные авторы используют разные пути; или таблицы, или устный счет, или решение простых задач с изменяющимися данными вне зависимости друг от друга, разрозненно, иногда без учета возрастных особенностей учащихся.

В-шестых, для выявления динамики функциональных взаимосвязей величин, совсем мало используется тот потенциал, который содержится в арифметических задачах.

Указанные недостатки в методике арифметики мешают глубокому, всестороннему изучению взаимосвязей величин и подготовке учащихся для восприятия отвлеченного понятия функции.

В диссертации делается попытка хотя бы частично восполнить указанные пробелы и разработать конкретные методы преподавания основных тем арифметики (в I—V классах) в духе раскрытия диалектики изменения величин.

СТРУКТУРА И КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа состоит из трех глав и 21 параграфа.

В первой главе дано обоснование выбора темы, краткая история развития идеи функциональной зависимости, критический обзор работ передовых методистов-математиков; излагается история вопроса в области преподавания арифметики в дореволюционный и советский период по материалам, имеющимся как в советской, так и в зарубежной учебно-методической литературе, в задачниках и учебниках. Кроме того, в этой же главе даются результаты изучения состояния знаний учащихся, организация школьного эксперимента и выводы.

В диссертации дается краткий обзор исторического развития идеи функции, эволюции ее определения начиная от П. Ферма и Р. Декарта, которые ввели в математику идею изменяемости. Впервые термин «функция» использовал Г. В. Лейбниц. Определение понятия функции развивается в работах Г. Лопиталя, И. Бернулли, А. П. Эйлера, Н. И. Лобачевского и Л. Дирихле.

Несмотря на развитие идеи функциональной зависимости в математических науках, в школе она долгое время не изучалась. Первыми поборниками введения этой идеи в школьный курс в России были В. Н. Шкларевич, Н. В. Бугаев, С. И. Шохор-Троцкий и другие ученые-методисты, которые организовали устную и письменную пропаганду для введения идеи функциональной зависимости в курс математики средней школы. Особые заслуги в этом деле имеют I и II Всероссийские съезды преподавателей математики в России. В диссертационной работе анализируются некоторые выступления по этому вопросу участников съезда.

После изложения истории развития идеи функциональной зависимости и ее места в школьном курсе математики, отдельным параграфом изгалается вопрос введения идеи функциональной зависимости в курс арифметики. Как от-

дельный самостоятельный вопрос с такой подробностью он, как нам кажется, изучается впервые.

В 1895 г. В. П. Шереметевский в журнале «Русская мысль» писал: «Если вся математика есть в сущности учение о функциях, то ясно, что и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости... Оно как бы напрашивается на внимание учащихся с первых же глав арифметики, когда приходится говорить об изменении результатов четырех действий, величин дроби в зависимости от изменения числителя и знаменателя, о прямой и обратной пропорциональности и т. д.» (стр. 118).

В этой статье Шереметьевский впервые указывает конкретные арифметические темы, которые содержат идею функциональной зависимости. В том же духе высказывались и другие математики-методисты того времени. Стремление ввести эту идею на уроках арифметики особенно ярко выразилось на I и II Всероссийских съездах педагогов-математиков.

Выступая на этих съездах, С. И. Шохор-Троцкий, Н. А. Томилин, Д. Д. Галанин и другие методисты, в основном, предлагали ввести в курс арифметики несколько тем: изменение результатов четырех арифметических действий, изменение величины дроби, прямая и обратная пропорциональность величин, графики, измерения. Всю эту работу они предлагали провести во время решения задач. Другие арифметические темы не затрагивались. Методической разработке этих тем, кроме С. И. Шохор-Троцкого, до революции методисты, вообще говоря, не уделяли внимания.

Некоторые темы арифметики с большой тщательностью разработаны в диссертационных работах В. И. Севбо (функциональная зависимость в школьной математике», 1949, М.) А. Д. Виноградовой, М. И. Добровольской, М. В. Даниловой, М. А. Преображенской и других. А. Д. Виноградова в своей диссертационной работе «Понимание и усвоение школьниками IV—VI классов математической функциональной зависимости» (1953 Л.) подвергает экспериментальному исследованию только две темы: зависимость меж-

ДУ результатами и компонентами арифметических действий и изменение площади геометрической фигуры при изменении одного или более компонентов, входящих в ее выражение. В работе М. И. Добровольской «Пропедевтика функциональной зависимости на уроках арифметики и алгебры в семилетней школе» (1951 М.) предлагается отвести отдельные уроки для намеченной цели. Методика прохождения таблиц и графиков разработана детально, ясно и доступно, однако, они выступают отдельно, обособленно.

Мы хотели бы указать еще на одно обстоятельство.

Представление графика, выражающего обратную пропорциональность, и вообще функции, сразу иллюстрировать в виде совокупности отдельных друг от друга точек плоскости менее наглядно, чем представление в виде легко сравнимых диаграмм, т. е. в этой последней сравниваемые величины выступают рядом в виде отрезков, легко воспринимаемых учащимися.

Быть может можно поспорить относительно некоторых сторон рассмотренных выше методических изысканий, но следует признать, что они внесли большой вклад в нашу методическую литературу. Ими разработаны: методика преподавания прямой и обратной пропорциональности, законы изменения результатов арифметических действий в зависимости от изменения компонентов, изменения дробей, изменение площади геометрической фигуры, решение простых задач с изменением одного из данных, решение задач с применением таблиц. Подробно и детально разработана методика работы с таблицей, начиная со второго класса. Даны методы работ составления и изучения таблиц, работа с готовой таблицей. Помимо этого, даны применения простейших формул и введено понятие множества.

Кроме диссертации, нами изучались и другие научно-методические труды.

Развитию идеи функциональной зависимости отводится определенное место в экспериментах, организованных в начальных классах видными советскими учеными Л. В. Занковым, В. В. Давыдовым и Д. Б. Эльконином, Н. А. Менчинской и М. А. Моро и другими.

Например, у Л. В. Занкова, начиная со II класса, ставятся наблюдение зависимостей и осмысление изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения компонентов. «Наблюдение упомянутых зависимостей дает пищу для размышлений о наличии сопряженных изменений чисел», — пишет он в монографии «О начальном обучении» (ИАПН РСФСР, 1963, М., стр. 122). «Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных (обобщение)» (Там же, стр. 134) дается в конце программы III класса, как завершающая тема. Таким образом, начиная со II класса, учащиеся на примерах наблюдают изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения данных, а потом эти наблюдения обобщаются в III классе.

Почти в таком же плане описывается эта работа в книге «Основы методики начального обучения математике» (под редакцией А. С. Пчелко, изд. «Просвещение», 1965, М., стр. 279—284). В обоих пособиях ставятся вопросы, которые концентрируют внимание учащихся на изменение и взаимосвязь компонентов и результатов арифметических действий. Надо отметить, что в действующих программах начальных классов, начиная с 1960 года даже в объяснительной записке не упоминается, как было до этого, что на уроках арифметики надо развивать идею функциональной зависимости величин, а в задачниках эта идея выступает до того тускло, что никакого качества не составляет для развития этой идеи. Между тем как в упомянутых книгах мы находим конкретные методические разработки, проникнутые более свежим содержанием.

Эти работы, безусловно, заслуживают внимания.

Изучение дореволюционных и советских учебников и задачников по арифметике привело к выводу, что вопрос развития функционального мышления учащихся в большинстве из них отражен, но в таком малом объеме, что не представляет ощутимых результатов для формирования функционального мышления учащихся. К такому же заключению приводит изучение зарубежной учебно-методической литературы.

В четвертом параграфе этой главы автор анализирует состояние знаний учащихся о функции в ряде школ. Сначала отмечаются заслуги советских ученых: Маркушевича А. И., Хинчина А. Я., Гончарова В. Л. и других в деле перестройки и оснащения программ математики идеей функциональной зависимости.

Далее автор на множестве конкретных фактов из наблюдений, показывает, что сущность понятия функциональной взаимосвязи в подавляющем большинстве случаев не доходит до убедительного сознания учащихся, вследствие чего оно не становится элементом самостоятельного мышления учащихся.

Наблюдения проведены автором совместно с преподавателями ряда школ Армении. В предлагаемой работе автора сделана попытка возможно полнее разработать такое изложение курса арифметики, которое могло бы в основном обеспечить усвоение учащимися идеи функции.

В этой разработке большую роль сыграли эксперименты, которые были организованы в трех пятых классах гор. Еревана и Эчмиадзина и в 27 начальных классах Аштаракского района, в течение трех лет. Кроме этого, до организации эксперимента у других педагогов, автор работы в школе преподавал в 5-х классах в течение 10 лет, где проводил эксперименты в своих классах. В неделю раз учителя экспериментальных классов совместно обсуждали результаты работы за истекшую неделю. Они рассказывали об успехах или изменениях, которые вносили в процесс преподавания материала. Тут же они получали материал для следующей недели. Для экспериментальных пятых классов, кроме этого, автором были составлены планы-конспекты 30 уроков. Отдельные темы, именно, решение задач с одним и двумя неизвестными, экспериментировались в школах №124 и им. Шаумяна гор. Еревана. Все уроки по этим двум темам велись с заранее составленными, подробными конспектами нод непосредственным наблюдением автора. О положительных результатах эксперимента дают наглядное представление диаграммы (черт. 1 и 2).

Помимо проводимых экспериментов автор в течение 13 лет, обсуждал и практически проверял свои методические мысли на семинарах и курсах повышения квалификации преподавателей г. Еревана и в районах Армении.

ДИАГРАММА

Успеваемости учащихся экспериментальных V классов*

Глава вторая: «Формирование функционального мышления учащихся при обучении арифметическим действиям» содержит 11 параграфов.

Следуя принятой нами основной установке, мы разрабатываем детально распланированную систему занятий, построенную на фоне изменяемости величин.

* На диаграмме тонкие линии показывают число учащихся до, а толстые — после эксперимента.

К примеру, возьмем получение числа 4 прибавлением 1 к имеющемуся числу 3.

Не ограничиваясь тем, что этот переход констатирует появление нового числа, мы считаем необходимым направить внимание учащихся на зависимость вновь полученного количества единиц как нового состояния, от исходного количества, как начального состояния. Сравнивая два состояния наличного набора, мы тем самым вызываем в мышлении незаметный штрих: наблюдение изменения.

ДИАГРАММА

Успеваемости учащихся III класса школы села Оганаван Аштаракского р-она Арм. ССР (1963—64 уч. г. Уч-ца Вартанян А.)

При счислении многозначных чисел добавляется также изучение зависимости величин числа от разряда, занимаемого данной цифрой. С изменением разряда меняется и величина числа. В связи с прохождением этой темы удобно применять предложенное автором наглядное пособие, при помощи которого можно установить взаимооднозначное соответствие между числом и выраженной им конкретной величиной. Мы называем это пособие «Квадратом счисления».

По действующей программе и задачнику зависимость изменений результатов арифметических действий от изменения компонентов изучается в пятом классе, в конце темы «Целые числа», только на примерах. Такой порядок не дает возможности применять законы изменения компонентов арифметических действий в процессе изучения темы.

Глубоко справедлив вывод профессора Л. В. Занкова о том, что «Наблюдение упомянутых зависимостей дает пищу для размышления о наличии сопряженных изменений чисел». Кроме того он пишет, что «...опыт показал, что наблюдение упомянутых зависимостей и их осмысление доступны детям уже во II классе» (Л. В. Занков «О начлаьном обучении», ИАПН РСФСР, 1963, М., стр. 122, 123).

В нашей работе мы пытались использовать эти зависимости для облегчения обучения арифметике и более эффективного использования их для развития отвлеченно-обобщающего мышления учащихся.

Вполне естественно, что наиболее целесообразным является подбор таких путей, приемов и методов, которые начиная с первого же класса, обеспечивают постепенное накопление и формирование у школьников представления об указанных закономерностях. Это лежит в основе методики перехода к более трудным применениям, как, например, если дано, что а + b = с то справедливо (а±т) + (b + m) = с.

Внедрение этих закономерностей в сознание учащихся является довольно кропотливой, повседневной работой. При изучении состава чисел от 2—10 в первом классе увеличиваем одно слагаемое на несколько единиц и одновременно уменьшаем на столько же другое слагаемое и при помощи наглядных пособий констатируем, что от этого действия

сумма не изменяется. При решении примеров в пределах десяти, эта закономерность формулируется и фиксируется. На примерах ставится вопрос: из сложения каких двух чисел получается данное число. На доске учитель пишет 4—5 примеров и сначала сам, а потом и ученики, показывают, как несмотря на изменение компонентов, сумма не меняется. Эта работа одновременно закрепляет программный материал и в течение первого месяца обучения все учащиеся безошибочно формулируют данное свойство.

При объяснении сложения в пределах двадцати и сотни, это свойство снова выступает, что облегчает работу учащихся и развивает их сообразительность.

Множество упражнений, посвященных выработке навыка в быстрой ориентировке и мысленному определению наиболее рационального метода подсчета сумм, и разности обеспечивают эту цель. Например, в примерах вида 7 + 5, 28 + 37, 93 + 48 и т. д. ученик должен замечать, что если от одного из слагаемых отнять столько единиц, сколько необходимо для дополнения другого слагаемого до ближайшего круглого числа, то сумма получится всего быстрее.

В существующей методической литературе для сложения двузначных чисел в основном рекомендуется сначала сложить круглые десятки обоих слагаемых, а потом числа их простых единиц, а затем — складывают полученное.

Нетрудно заметить, что указанный способ порождает целый ряд частных случаев, в которых проявляется громоздкость метода, особенно при сложении и вычитании двузначных чисел с переходом через десяток.

Между тем, преимущественное применение свойства инвариантности результатов действий значительно сокращает число случаев для запоминания и, наоборот, вырабатывает сообразительность и навык в устном счете.

Такими же методами организуется вычитание.

Подобные упражнения относятся и к действиям второй ступени, т. е. к умножению и делению.

Правда, здесь познавательная сторона содержит большие трудности, т. е. свойство инвариантности для случаев умножения и еще более для деления долгое время остается

вне ощутимости и наглядности для неопытного сознания учащегося.

Дело в том, что свойство

даже иллюстрированное на многих примерах, все же не доходит до личного убеждения; проще говоря, для ученика остаются неведомыми действующие секреты явления. Именно поэтому внешнее формальное восприятие указанного свойства оказывается недостаточно эффективным на деле.

Между тем можно построить определенную систему обучающей работы, которая постепенно доведет до сознания младшего школьника названное свойство; заручившись на каком-то шаге некоторой степени убедительности, в дальнейшем можно основываться на этом и получить намного более эффективные результаты.

Хотя бы, например, так. Пусть требуется перемножить 36 × 2. Мы исходим из представления, что имеется два набора по 36 единиц.

Первым шагом мы считаем разбиение этих наборов на равные части, например по 9 единиц.

Устный расчет: если 36 разбивается на 4 части по 9 единиц, то 2×36 разбивается на 8 частей по 9 единиц.

Записывается: 36×2= (9×4)×2= 9×8.

Далее идет тот момент урока, когда всеь класс под руководством учителя переходит к специальному наблюдению над тем, какое изменение произошло:

Учитель указывает: первый множитель уменьшился в 4 раза, второй множитель увеличился в 4 раза.

Результат остался прежний.

Учитель может еще на паре таких примеров довести до сознания учеников это свойство как общую закономерность:

«Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой — уменьшить ровно во столько же раз, то результат умножения не изменится».

Преимущество применения этого свойства в дальнейшем для быстрого счета несомненно.

Нам кажется, что свойство инвариантности частного, может быть доведено до сознания ученика аналогичным способом.

В процессе всей этой работы постигается и взаимосвязь, взаимоизменяемость, т. е. фактически — идея функционального взаимоопределения.

Отдельный параграф посвящен методам введения и использования буквенных выражений, начиная с первого класса. Здесь решаются примеры и простые задачи по наперед заданной схеме, т. е. по буквенному выражению составляются таблицы для каждого арифметического действия в отдельности и с их помощью снова отмечаются изменения результатов арифметических действий в зависимости от изменения компонентов. Этот процесс продолжается до III класса, где после длительной подготовительной работы формулируется общий результат наблюдений, который затем становится правилом для практики.

Вывод правил изменения результата арифметического действия в зависимости от изменения компонентов иллюстрируется на следующих наглядных пособиях, сконструированных автором:

Первым из этих пособий является «Ящик для изучения изменения слагаемых» (черт. 3).

Ящичек разделен промежуточной подвижной перегородкой, которая вставлена в досчатые пазы на боковых стенках, причем эту стенку можно перемещать вдоль ящичка для уменьшения одной части объема за счет другой. Одна из боковых стенок покрашена в черный цвет и служит для записи наличного состояния как слагаемых, так и суммы.

Вкладывая в первую и во вторую части ящичка какие-то наборы палочек (служащих слагаемыми), мелом записываем это исходное состояние на черной стенке.

Затем снимаем разделительную стенку и определяем суммарный набор. Эту сумму снова записываем на черной стенке под скобкой, снизу охватывающей записи слагаемых.

Далее, снова вставляем стенку и предлагаем добавить к первому слагаемому-набору еще несколько палочек. Эта добавка фиксируется в записи перечеркиванием исходного числа так:

Здесь наглядно виден переход от конкретного изменения суммы в зависимости от изменения слагаемых к абстрактному представлению.

Той же цели служат доски с подставками, сделанные из фанеры (черт. 3).

Изменение произведения и частного изучаются с помощью ящика, который подвижными стенками делится на несколько частей. Число отделений с помощью подвижных стенок можно увеличить или уменьшить в 2—3 раза (черт. 4).

Число отделений соответствует множителю, а содержимое каждого отделения—множимому; разумеется, во всех отделениях должны содержаться равные наборы.

Желая показать, что произведение прямо зависит от множителя, мы число отделений увеличиваем в нужное чис-

ло раз (напр., в 3 раза), указывая, однако, что число полочек в каждом отделении остается тем же. Наглядно замечаем, что первоначальное произведение увеличилось ровно во столько же раз (напр., в 3 раза).

Ряд подобных упражнений вырабатывают содержательное представление и сознательный навык. В мыслях учащихся оформляется представление закономерности.

Заметим, что в стабильных задачниках нет задач, решение которых основано на применении свойств результатов арифметических действий. Такие задачи мы находим в некоторых задачниках и методических пособиях по арифметике для V—VI классов.

Для восполнения этого пробела в работе нами рассмотрена серия таких задач и соответствующая их методика решения.

Не останавливаясь на детальном разборе этих задач, мы здесь очертим лишь контуры их типов.

В последовательном порядке нами сначала рассматриваются задачи, в которых действует вариация одного компонента действия сложения, а вслед за ними — задачи, в которых применяется свойство инвариантности результата действия (т. е. суммы).

Далее, аналогичная работа строится с задачами, решающим действием в которых явлется умножение.

Для действия вычитания и деления, мы разбираем задачи на инвариантность результата и на изменения уменьшаемого вместе с вариацией вычитаемого, или на изменение вычитаемого с вариацией уменьшаемого.

Помимо этого, мы широко применяем вариацию внутри заданного типа, с помощью добавления промежуточного действия, через которое выражается один из компонентов.

Подобная система задач нам представляется достаточной для намеченного развития третьеклассников.

Отдельный параграф посвящается вопросам использования диаграмм для развития функционального мышления учащихся. Диаграммы строятся, как ординаты функций. Такое построение диаграмм имеет ряд преимуществ. Принцип построения диаграмм не меняется, но одновременно, они

строятся подобно графикам. Это позволяет на диаграммах постепенно подготовить учащихся к осознаннму восприятию графиков функций.

Прежде чем построить диаграмму, составляется таблица. После построения диаграмм с ее помощью изучается изменение и взаимосвязь тех двух величин, которые фигурируют при построении данной диаграммы. В дальнейшем эти свойства изучаются на готовых диаграммах. Учащиеся привыкают «читать» диаграмму.

Приведенные в работе диаграммы использованы в различных направлениях.

1. Обучение построению диаграмм.

2. Исследование зависимости величин, входящих в диаграмму.

3. Диаграммы использованы и как наглядное пособие для прохождения некоторых арифметических тем и для иллюстрации достижений социалистического хозяйства:

4. Составление таблицы по готовой диаграмме и ее изучение в сопоставлении с диаграммой.

Диаграммами выражены также следующие зависимости:

1. Диаграммы однородных величин, которые не имеют аналитического выражения зависимости друг от друга.

2. Диаграммы прямо пропорциональных величин.

3. Диаграммы обратно пропорциональных величин.

4. Диаграммы зависимых, но не пропорциональных величин.

Переходя к следующему параграфу, отметим, что одним из разделов арифметики, доставляющих широкие возможности для применения различных обучающих средств, является тема о делимости чисел.

Обычно, в большинстве случаев школьной практики делимости чисел уделяется немного времени и быстро переходят к техническим вычислениям, например, для определения НОД и НОК.

Правда, обилие программного материала не позволяет более подробно останавливаться на подготовительных работах, имеющих целью довести до сознания учащихся применяемые способы вычислений, тем не менее это не снимает не-

обходимости построить всю работу с таким расчетом, чтобы в конце темы была достигнута эта цель.

Для этого возможно существует много различных путей.

В нашей работе выдвигается мысль о том, что устная работа при наличии вспомогательных технических средств (напр., специальных таблиц и пособий) вполне может обеспечить усвоение материала темы о делимости.

Нами построены некоторые такие специальные таблицы и пособия.

Приведем краткое описание некоторых из них. Первое наглядное пособие состоит из трех наложенных друг на друга кругов. На первом круге по окружности записываем числа от 2 до 30.

На втором, вдоль двух концентрических окружностей, записаны числа, подобранные так, что числа, расположенные на концах двух взаимноперпендикулярных диаметров, заведомо имеют общие делители.

Этот второй круг закрепляется концентрически на первый круг, причем специальные кнопки в центре позволяют вращать круги друг относительно друга.

Третий круг также закрепляемый концентрически с первыми двумя, имеет лишь окошечки на концах двух взаимноперпендикулярных диаметров, при этом на одном из концов оставляется три окошечка, из которых одно на уровне первого круга, а и а остальных концах диаметров сделаны по два окошечка, из которых одно на уровне первой окружности второго круга, а другое — на уровне второй окружности второго круга.

Принцип работы таков:

Пусть требуется найти общий делитель для чисель 6, 18, 24, 36; мы верхний диск вращаем так, чтобы на концах взаимноперпендикулярных диаметров были видны (сквозь окошечки) эти числа. На одном конце через верхнее единственное третье окошечко будет выглядывать их общий делитель.

Вторая окружность второго круга содержит добавочный набор чисел; это дает возможность увеличить число упражнений. (см. черт. 5).

Для больших чисел составляем таблицу, в которую входят числа и их сомножители, начиная от 1 до 480 (таблица 1).* Например, чтобы найти НОД 360 и 172 в таблице находим 360 = 2.2.2.3.3.5 172 = 2.2.43. Отсюда сразу видно, что НОД 2.2 = 4. Можно найти и НОК, это будет 360.43 или 172.2.3.3.5=1720.9=15480. Ответ во втором случае находим устно, что дает экономию времени.

Детей 10—11 лет интересует также внешний вид употребляемого дидактического материала. Учитывая это обстоятельство, мы преобразовали данный дидактический материал. Таблицы в 2-х экз. пишем на лентах бумаги, шириной в 10 см (черт. 6). На чертеже видны остальные детали этой игрушки — помощницы, которую с особым интересом употребляют ученики. Сначала крутят палочки-оси, пока необходимые числа становятся видными, а потом оси двигают вправо или влево, чтобы эти числа расположились одно под другим, после чего ученики сразу находят необходимый ответ.

* Таблица 1 представлена черт. 6.

Большим успехом пользуется у учащихся и другой дидактический материал. Внешний вид его представлен на чертеже (черт. 7). Каждое кольцо с числами нанесено на отдельный бумажный круг, который вращается вокруг общей оси. Вращение этих кругов позволяет ставить необходимые числа вдоль одного радиуса.

Приведем некоторые таблицы, впервые примененные автором в работе по данной теме. Таковы таблицы для вывода правил делимости суммы и разности (табл. 2). Например числа 10 и 15 делятся на 5. Как видно из таблицы, сумма этих чисел, т. е. 25, также делится на 5.

В работе предложены также таблицы для вывода правил делимости на 2, на 9, таблица для определения простых и составных чисел, таблица делителей данных чисел.

Автор находит, что одной из весьма полезных является таблица простых сомножителей (черт. 6). Эта таблица используется при сокращении, приведении к общему знаменателю, сложении, вычитании, умножении, делении дробей, при нахождении НОД, НОК, ОД, OK, процентов, при превращении обыкновенных дробей в десятичные и наоборот, и при решении задач. Таблицу составляют ученики по указанию учителя, вкладывая в задачник, сохраняют для повседневного использования. Все прилагаемые в работе таблицы составлены автором.

В процессе составления и всей работы с таблицами изучаются и взаимосвязи величин, которые выражены таблицей.

Покажем эту работу в связи с разложением чисел на простые множители и нахождением наименьшего кратного двух чисел.

Обычная схема общеизвестна: числа разлагаются на простые множители в столбик, затем они используются для нахождения НОД и НОК.

Мы строим эту работу в следующем порядке: При разложении чисел на простые множители одновременно ведется изучение мультипликативной структуры чисел.

Табл. 2

Подвижные таблицы

Круговые таблицы

Например, пусть дано число 24. Разлагая на простые множители, пишем:

Выписываем в строчку произведения: 24 = 2. 12 = 4. 6=8.3 и обращаем внимание на то, что с увеличением первого сомножителя в несколько раз, другой сомножитель вынужденно уменьшается во столько же раз, так как произведение их должно оставаться постоянным.

Здесь же подчеркивается еще одно явление, которое содержится в знакомом учащимся определении понятия делителя. Именно, если выписать в ряд все делители данного числа, напр.,

то можно отметить, что произведение равноотстоящих от концов делителей дает число.

После этого наблюдения мы выдвигаем еще одно. Выпишем полученные произведения в след. порядке:

Из этого столбика усматриваем факт изменения второго сомножителя в зависимости от изменения первого, т. е. опять функциональную связь величин. Для группы чисел это сравнение углубляя и расширяя знания учащихся, одновременно, облегчает нахождение общего кратного, наибольшего общего делителя, а в дальнейшем и общего знаменателя. Например, выписываем из таблицы числа — 24 и 36

и записываем друг под другом ряды их делителей.

Таблица показывает, что 24 и 36 имеют общие делители 1, 2, 3, 4, 6, 12, из которых 12 является наибольшим. Аналогично конкретизируется и облегчается с помощью таблицы и нахождение НОК. Иногда, при нахождении общего знаменателя, произведение даже не вычисляется, т. е. деление выражения 12.2.3 на знаменатель облегчает работу.

Таким образом, при изучении этой темы, учащиеся получают навыки в использовании таблиц и возможность замечать изменения и взаимосвязи величин.

§ 15 второй главы посвящен постановке обучающей работы при изучении дробей.

Изучение дробей представляет для учащихся большую трудность, чем изучение целых чисел. Трудности, по Мнению автора, возникают вследствие несовершенности методики преподавания, отсутствия разнообразного интересного дидактического материала и, отчасти, отсутствия достаточно полной организации работы по устному счету. Все это мешает сознательному и глубокому усвоению материала и он легко забывается. Ученики не в состоянии замечать и воспринимать логическое развитие предмета. Но ведь обыкновенные дроби дают богатейший материал для развития логики учащихся, для применения всех пройденных правил арифметических действий.

В существующей методической литературе, по мнению автора, не много таких наглядных форм, которые способствовали бы более глубокому усвоению темы о дробях.

В работе сделана попытка устранить эти недостатки введением разнообразных наглядных пособий и лабораторных материалов. Вкратце опишем эти наглядные пособия.

Дробные счеты с горизонтальными осями (черт. 8). Конечно, дробные счеты не являются новостью для школ, но

Дробные счеты с горизонтальными осями

Дробные счеты с вертикальными осями

тем не менее нами введено небольшое техническое улучшение и мы уверены, что их более широкое применение может принести большую пользу.

В методической литературе известны и другие счеты (черт. 9), с вертикальными осями. Однако, они менее распространены. Они также подверглись небольшому усовершенствованию. Вертикальные оси можно снять и положить в ящик. В ящике имеются разные отделения для разных частей единицы. Трубочки, которыми иллюстрируем дробь, делаются из бумаги. Оба наглядных пособия способствуют развитию функционального мышления. Изменение и взаимосвязь дробей на этих наглядных пособиях видно очень хорошо.

При прохождении дробей одновременно применяются: числовой луч, диаграммы, таблицы, числовые или буквенные формулы, квадраты, круги и т. д. Очень удобно и полезно применение десятичных счетов, которые состоят из 10000 равных квадратов. В работе дано подробное описание всех дидактических материалов и справки об их применении.

После введения дробного числа как результата измерения и деления, автор выдвигает вопрос о выработке навыка в счислении с дробными единицами.

Выяснение смыслового и практического содержания понятия дробной единицы достигается примерно так.

Пусть требуется разделить 2 м на 5 равных частей, удобно метр раздробить на мелкие части (в дециметры), затем и выполнить деление. При этом ясно, что первоначальная единица измерения заменена новой, более мелкой единицей, представляющей долю первоначальной. Отсюда вывод о том, что часто вместо целой единицы измерения применяется дробная единица.

Одновременно наблюдается и тот факт, что числовое значение величины изменяется в зависимости от принятой единицы измерения.

Ряд наблюдений приводит к выводу, что единицу измерения, по необходимости, можно менять: уменьшать или увеличивать. Учитель, резюмируя наблюдения, сообщает уча-

ДИАГРАММА дробей с постоянным знаменателем

ДИАГРАММА дробей с постоянным числителем

щимся, что если мы умеем считать единицами, десятками, сотнями, двойками, пятерками, то сейчас научимся считать и долями единицы. Такое истолкование дает возможности весь курс дробей преподавать на фоне изменяемости и взаимосвязи величин.

Так, например, до введения терминов «правильные дроби» и «неправильные дроби» выполняется серия упражнений с применением счета дробных единиц и наблюдений над изменениями дробных чисел при изменении единиц счета.

Специальная диаграмма иллюстрирует обращение неправильной дроби в смешанное число (черт. 10). На этой диаграмме каждый вертикальный отрезок содержит 3 единицы. Для каждой точки с одной стороны написаны смешанные числа, а с другой — соответствующие неправильные дроби. Это не только диаграмма, но и таблица. С помощью таблицы выводится превращение смешанного числа в неправильную дробь и наоборот. Кроме изучения диаграммы-таблицы, составляется отдельная таблица, которая также используется для изучения взаимосвязи величин. Обычно законы превращения неправильной дроби с смешанное число и наоборот даются в готовом виде. У нас ученики сначала обучаются счету разными долями, одновременно показывая на диаграмме соответствующие точки. Следует заметить, что в процессе счета при помощи дробной единицы естественным образом встречаются как правильные, так и неправильные дроби, а также смешанные числа.

После такого счета замечают, что одна и та же величина выражается двумя способами — и 1; — и 1 1. и т. д. Эти числа представляют одну и ту же точку, значит они равны между собой. Далее следует логическое обоснование и вывод правил перехода от смешанного числа к неправильной дроби и наоборот.

Изучение темы «Сравнение величии дробей» также начинается с устного счета, где приводятся прямой и обратный счет долями, т. е. дробными единицами счета. Упражнения проводятся с помощью дробных счетов. После такой подго-

товки переходят к сравнению дробей. При этом употребляются отрезки прямой, таблицы, диаграммы и буквенные формулы для вычисления числовых значений. Первая диаграмма составлена для дробей с разными знаменателями и числителями (черт. 10), вторая — для дробей с постоянными знаменателями и третья — для дробей с постоянными числителями (черт. 11). Чертеж 10 показывает, что

На этих примерах учащиеся замечают основное свойство дроби. С помощью других диаграмм сравнивают дроби, у которых и знаменатели и числители разные. Эти диаграммы используются не только при выводе общих свойств, но также оказывают хорошую услугу и во время упражнений.

После сравнения конкретных дробей и получения ответа на диаграмме, учащиеся отвлеченными рассуждениями выясняют, почему получается такой ответ. При сравнении дробей часто путают прямо пропорциональное соответствие между дробью и ее числителем с обратной пропорциональностью между дробью и ее знаменателем. Для уяснения этих понятий также употребляют вышеприведенные диаграммы (черт. 10, 11). Усвоение темы достигается применением формул и таблиц. Множеством примеров одновременно подготавливается изучение следующей темы («Изменение дробей»).

В результате ряда упражнений, в которых учащиеся ведут счет то с помощью одной, то с помощью другой дробной единицы, на доске получается таблица, изучение которой показывает, что во всех случаях при постоянном знаменателе дроби увеличиваются во столько раз, во сколько раз увеличивается числитель. Изучая эту таблицу в обратном порядке, получают закон об уменьшении дроби при постоянном знаменателе.

Такими же методами объясняется изменение дроби с постоянным числителем.

После вывода этих двух правил, на их основе выводим правила отдельно как для увеличения дроби, так и для уменьшения дроби. Эти правила иллюстрируются на следующей таблице:

Для закрепления этого трудного материала использованы диаграммы, даны вопросы, которые развивают функциональное мышление учащихся, буквенные формулы для заполнения таблиц и методика работы с ней.

Такими же методами, с применением диаграмм, таблиц, формул, раскрывается функциональное содержание остальных тем в разделе обыкновенных дробей.

При изучении арифметических действий законы изменения результата, в зависимости от изменения компонентов, изучаются одновременно с изучением самого действия. Например, когда изучается сложение дробей с одинаковыми знаменателями, тут же примеры решаются с помощью таблиц, изучение которых показывает справедливость данного закона для данного случая. Закрепляется материал с помощью буквенных формул, куда вместо букв подставляются числовые значения и опять изучается изменение результата в зависимости от компонентов.

Автор сформулировал такое определение умножения дробей, которое предшествует понятию нахождения части. Это определение может применяться и для умножения целых чисел. Оно позволяет вдвое сокращать число определений и правил, которые сейчас в V классе изучают при прохождении темы об умножении и делении дробей. А этим сокращается и время, которое мы отводим для прохождения этих тем.

Это определение следующее:

Умножить на дробь, значит, изменить множимое, уменьшая ее во столько раз, сколько единиц содержит знаменатель множителя и полученное повторить как слагаемое столько раз, сколько единиц содержит числитель множителя.

Выражение одной единицы измерения другой единицей для учеников не представляет трудности, так как оно подготовлено всем предыдущим материалом и применено при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями. Чтобы подготовить учащихся для восприятия этого определения, мы предлагаем такие устные упражнения, где одну единицу измерения приходится выражать через другую единицу, потом решаем задачу, например: Поезд за час проходит 40 км. Сколько он пройдет за 2, 3, 4 часа? Начертить линейную диаграмму. После решения задачи, педагог особо отмечает, что для вычисления пройденного пути за 2, 3, 4 часа, нам пришлось пройденный за единицу времени путь повторить как слагаемое столько раз, сколько показывают число часов. В этой задаче единицей измерения явилось расстояние, пройденное за час; но эту единицу можно изменить, можем взять за единицу измерения тот путь, который поезд пройдет за ~ часа. Педагог предлагает принимая за единицу измерения пройденный за — часа путь, узнать сколько пройдет поезд за — ; —; —; —; —; —; — часа, и дополнить диаграмму соответствующими данными. Чтобы учащиеся осознали полученный результат, педагог ставит дополнительные вопросы, подчеркивает, что единицу измерения мы изменили. Сначала уменьшили в 2 раза, т. е. во столько раз, сколько единиц содержит знаменатель — -ой и эту единицу повторили как слагаемое сначала 2 раза, потом 3 раза и т. д.

Педагог спрашивает у класса, каким действием они нашли путь, пройденный за 3 часа; учащиеся отвечают, что они применили умножение. А какое действие применить,—

спрашивает педагог, — чтобы определить путь, пройденный за — часа? или за —часа? Так как задача не изменилась, то естественно, учащиеся приходят к выводу, что нужно и здесь умножить. На доске педагог пишет: 40х —и спрашивает, как они поступили, чтобы 40Х — (сначала 40 уменьшили в 2 раза, а в третьем случае—40 уменьшили в 4 раза полученные результаты брали слагаемыми 3 раза). Все это пишется на доске и получается запись:

По этой записи ученики легко приходят к вышеприведенному определению об умножении дробей.

Для вывода правил умножения обыкновенных дробей пишем на доске несколько примеров и решаем их пользуясь сложением обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Полученное правило применяем и при умножении дроби на целое и целого на дробь и дроби на дробь, так как число мы рассматриваем как меру измерения, а оно может быть и целое и дробное. Целое число рассматриваем как дробь со знаменателем 1, а смешанные числа превращаем в неправильную дробь. Сокращенные приемы проходим при применении свойств арифметических действий к обыкновенным дробям.

Нахождение части данного числа выводим на основании умножения. Найти

Сначала находим

Таких частей у нас не одна, а две, поэтому

увеличиваем в 2 раза, получаем

эту дробь можем написать и так:

Эти рассуждения позволяют сделать вывод, что для нахождения части должны умножить на дробь.

Изучение всех законов умножения и деления дано с помощью таблиц, которые одновременно с навыками обращения с таблицами и изучения взаимосвязи между величинами, очень сокращают время отведенное на этот материал.

В этой главе отдельным параграфом рассматриваются способы закрепления и повторения пройденного материала и вопрос о том, как использовать буквенные формулы и таблицы. Числовые данные для буквенных выражений взяты большей частью в виде десятичных дробей. С помощью таблиц изучаются и закрепляются все законы изменения результатов арифметических действий в зависимости от изменения компонентов, представляющих дробные числа.

В третьей главе изложены методы изучения задач с целью развития функционального мышления учащихся.

В первом параграфе изложены общие соображения о целях решения задач и о возможностях развития функционального мышления учащихся через их решение. Дано небольшое критическое обозрение. По мнению автора, на всех шагах по пути решения задачи, можно направлять внимание учащихся в сторону наблюдения над явлениями изменения и взаимозависимости величин.

При обучении решению простых задач возможно несколько видов работ, которые своим разнообразием возбуждают интерес у учащихся.

Сначала следует рассматривать несколько задач на одно и то же арифметическое действие с таким расчетом, чтобы в числовых формулах решения этих задач один из компонентов оставался без изменения, а другой изменялся. В зависимости от изменения второго компонента меняется

и результат, изучение чего закрепляет знания учащихся о зависимости результата от компонентов.

Прежде всего мы предлагаем серию задач, в которых последовательно, от задачи к задаче, наблюдается изменение одного из данных; затем составляем сводку полученных ответов, и сопоставляя последние, отмечаем ход изменения результата по ходу изменения данных.

Другой вид работы состоит в следующем.

В основу берем простую задачу и ее решение. Затем ставим цель — внести изменения в данные задачи. Эта работа проделывается сообща, с одновременным наблюдением над изменением решения.

Вариации задачи и соответствующих решений наносятся в табличку, по которой и проводятся все наблюдения, относящиеся к обнаружению взаимозависимости величин.

Следующим видом работы являются решение простой задачи с последующей записью на доске (и в тетрадях) формулы решения.

Формулы затем изучаются и в связи с этим предлагается учащимся изменить в задаче одно из данных. Разные ученики предлагают свои задачи. Получаем несколько задач, решение которых пишем в виде таблицы и изучаем изменение взаимосвязанных величин.

Далее переходим к такому виду работы.

На доске пишем числовую формулу и предлагаем составить задачу по данной формуле. Под этой формулой пишем вторую, третью формулу, и для каждой составляем задачи.

Числовые формулы пишутся так, чтобы в них было одно и то же арифметическое действие и один из компонентов не изменялся, например, 4.3=12, 4.5 = 20, 4.6 = 24 и т. д. и изучаем изменения компонентов и результатов данного действия.

Пятый вид работы следующий:

Дается таблица, по числовым данным которой составляются задачи. В таблицу вписываются ответы задач и изучаются изменения взаимосвязанных величин. Таких видов работ у нас указано всего семь.

Подобным образом отдельно изложено изучение задач с недостающим данным. Изучаются и такие простые задачи, в которых отсутствуют искомые. При рассмотрении таких задач, в процессе коллективного обсуждения, учащиеся выдвигают те или иные искомые. Получается несколько задач. Решения этих задач снова сводится в таблицу, которая затем становится предметом изучения с точки зрения функциональных взаимосвязей.

Двадцатый параграф работы посвящен изучению составных задач.

В первом пункте этого параграфа подробно с примерами даны подготовительные работы для обучения составной задачи. Прежде, чем приступить к изучению составной задачи, автор предлагает решить такие простые или составные с небольшими числовыми данными задачи, которые по типу одинаковы с некоторыми трудными или незнакомыми для учащихся зависимостями данной задачи. Простые задачи составляем с изменяющимися данными.

Например, для задачи «Один железнодорожный состав на 12 вагонов больше другого. Когда от каждого отцепили по 6 вагонов, то в первом составе осталось в 4 раза больше вагонов, чем в другом. Сколько вагонов было первоначально в каждом составе?» (Пономарев С. А., Сырнев Н. И. Задачник по ариф., 1958, № 121).

Прежде чем предлагать эту задачу, автор считает целесообразным решить с учениками следующие элементарные задачи.

1. Один состав железнодорожных вагонов больше другого на 5 вагонов. От обоих отцепили по 3 или 4 (5, 6, 7) вагонов. На сколько вагонов в первом составе больше, чем во втором после отцепления. Почему во всех случаях ответ остается без изменения? А как изменится разница в числе вагонов, если прицепить к составам по 3, 4, 5 вагонов? Почему не меняется ответ?

Здесь весьма поучительна наглядная иллюстрация, чертежом.

2. На железнодорожных путях стоят два состава вагонов. В первом составе вагонов в 3 раза больше, чем во вто-

ром составе. Всего в обоих составах содержится 32 вагона. Сколько вагонов в каждом составе?

В этой задаче можно вместо всего количества вагонов предложить разницу в числе вагонов.

Подготовительные задачи даются двух видов; в первом случае варьируем числовые данные, а во втором случае варьируем условие задачи так, что меняется арифметическое действие в решении задачи.

Эти задачи имеют очень большое значение для развития мышления, т. е. с их помощью учащиеся осознают какие функциональные связи возникают между величинами, как меняются эти связи в зависимости от изменения числа или условия, какое влияние имеют эти изменения на выбор решения. Необходимым моментом в этой работе является обобщенная формулировка задачи, именно такая, в которое данные и результаты носят общий характер.

В процессе осмысления решения этой задачи в неявном виде учащиеся пользуются тем представлением, что, если от двух неравных величин отнять одно и то же количество, их неравенство сохранится в исходном виде. Эта аксиома воспринята вообще говоря интуицией, выработанной предыдущим ходом развития учащегося.

В процессе мыслительной работы над освоением содержания задачи, развитие идеи функциональных взаимосвязей величин достигается с помощью наглядной графической иллюстрации данных. На множестве примеров показывается как то, что этот метод облегчает осознание содержания задачи, так и то, что он указывает путь к ее решению.

Графическая иллюстрация числовых данных и их соотношения даются двумя основными способами — полусимволическим и символическим.

Полусимволическими называются те чертежи, которые отображают данные в задаче величины с помощью контурных линий тех предметов, которые фигурируют в задаче. Если в содержании задачи речь идет о ящиках, бассейнах и тому подобных предметах, чертим прямоугольники, если о фруктах — круги и т. д. Такие чертежи напоминают учащимся те конкретные образы, о которых идет речь в задаче. С

их помощью фиксируются и взаимоотношения данных в задаче величин. Эти взаимоотношения более четко выражаются на символических чертежах. Символические чертежи представляют собою отрезки прямой, приблизительные величины которых соответствуют сравниваемым величинам данной задачи. Такие чертежи общеприняты для задач на движение, но их применение полезно для всех видов задач. Например, для вышеприведенной задачи № 121 чертеж имеет следующий вид:

При составлении чертежа коллективно анализируется содержание условия задачи.

Одновременно мысль ученика старается проникнуть в функциональные взаимосвязи величин. При этой работе мысль ученика от конкретного неоднократно переходит к отвлеченному и наоборот. В самом деле, ученик читает первый абзац задачи и сталкивается с конкретными числовыми данными, которые он выражает с помощью отрезков прямой. В этот момент мысль ученика обобщает конкретное число в виде отрезка. Продолжая чтение задачи, ученик опять возвращается к конкретному значению следующего числового данного, отмечает взаимосвязи этих двух данных и, приступая к черчению следующего отрезка, опять переходит от конкретных числовых данных к отвлеченным. Отметим, что ученик на этом первом этапе пока что выделил указанные данные и наглядно представил себе какие функциональные взаимосвязи существуют между ними. Но этот процесс продолжается, пока не получится полная картина обстановки описываемой в задаче.

Надо отметить, что такая иллюстрация облегчает введение обозначения с помощью «X» при решении составных

задач, т. е. облегчают переход к более высокой ступени абстракции. Этот процесс происходит более гладко.

С целью более разностороннего изучения функциональных взаимосвязей величин, после решения составных задач даются следующие дополнительные работы: 1) изменяется одно из данных задачи; 2) изменяется условие задачи так, что получается обратное действие; 3) меняются места искомого и одного из данных.

Во всех случаях после видоизменений не только решаются полученные задачи, но и изучаются первоначальные и результативные изменения.

Третья глава заканчивается разработкой темы «Решение задач с помощью линейного уравнения, приспособленного к составным задачам».

Оформление линейного уравнения, соответствующего данной задаче, происходит у нас через последовательность ряда этапов.

Сначала отыскивается обычное решение задачи. После этого, в процессе отыскания решения, т. е. при анализе задачи, постепенно строится числовая формула решения.

При этом происходит сопоставление формулы с обычным решением и выясняется, что число и последовательность арифметических действий в обоих случаях одинаковые, только формула быстрее приводит к ответу.

Следующие задачи решаются без записи плана, составлением и решением числовой формулы. После того, как получено решение задачи и оно записано в виде формулы, внов обозревается структура формулы и повторяется смысловое содержание каждого входящего в формулу числа, и результаты каждого указанного в ней действия.

Когда учащиеся приобретают достаточно навыка, чтобы без особых усилий выполнить работу с задачами с 2—3 вопросами, то переходим к следующему виду работы. Именно, предлагается формула, отличающаяся от уже полученной одним компонентом.

Без введения числовой формулы эти изменения проследить не столь удобно.

Следующее звено в этой цепи работ является введение «X» для обозначения неизвестного. При решении простых и первых двухвопросных задач неизвестное ставится в левой части уравнения, выражающего зависимости между данными и искомыми. Прежде, чем оформить правую часть уравнения, повторяется еще раз — что надо найти и какие данные нужны для этого.

Прежде чем выяснять какие имеются данные в задаче, в правой части уравнения заранее скобками намечаем места, где должны быть записаны эти данные. После выяснения того, какие данные нужны для ответа, вкратце вписываем в скобки названия этих данных. Так как при решении составных задач одно из необходимых числовых данных пока неизвестно, то во время решения первых задач значение известного данного подставляется, а неизвестного пишется в словесной форме. Например, так:

Из этой формулы видно, что надо предварительно отыскать стоимость 1 тарелки, пользуясь имеющимися в условии задачи данными.

На следующем шаге внимание учащихся концентрируется на тот факт, что в этой формуле по существу имеются два неизвестных. Одно из них обозначим через X, а другое через у, как принято в математике. После введения этих букв формула примет такой вид:

Мы получим линейное уравнение. Чтобы определить у, надо по числовым данным отыскать значение X в виде числовой формулы, подставить ее в уравнение и определить выражение искомого.

При удобных значениях х и у даем разные значения х и получаем соответствующие значения для у. Составляем таблицу, которую изучаем. Эту работу начинаем в III классе. Таким образом, мы получаем составную задачу с изменяющимися данными.

Организуя эту работу, мы стремились сочетать два момента: использовать положительный, долголетний опыт школы в анализе, и наметить возможные формы введения буквенных выражений для подготовки учащихся начальных классов к дальнейшему осмысленному восприятию более трудных разделов курса математики.

Считаем необходимым отметить, что вопрос о методических путях введения алгебраической символики глубоко разрабатывается рядом советских методистов и психологов, и их эксперименты имеют несомненную ценность для нашей педагогической науки и дела обучения. Таковы, например, эксперименты, проводимые под руководством члена-корреспондента Академии педагогических наук СССР, профессора Н. А. Менчинской, М. И. Моро и др.

Что же касается нашего скромного опыта, то мы лишь указываем один прием, который, быть может, заслуживает внимания, как форма, вызывающая у учащихся более четкое представление хода отыскания ближайших к искомой величине необходимых данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Идея о том, что развитие математического мышления учащихся должно идти по пути овладения одним из самых коренных понятий современной математики — понятием функции, в настоящее время общепризнана. Речь может идти лишь о том, — в какой форме ее осуществить в практике обучения.

Одним из путей является путь постепенного накопления познавательных навыков в недрах программного курса школы. Эта мысль, четко сформулированная еще А. Я. Хинчиным, положена в основу предлагаемой работы автора.

2. Реализация указанной идеи требует конкрентного анализа всего процесса обучения математике, начиная с ранних пор — с первого класса. Автор сознает, что такая методическая работа зависит от творческой инициативы и живых усилий учителя.

Тем не менее, автор сделал попытку представить весь ход одной из возможных форм практического построения процесса внедрения идеи функциональной взаимосвязи величин в мышление учащихся на арифметическом материале (I—V классов).

3. На пути этого процесса автор нашел весьма целесообразным применение таблиц и графиков, активно составляемых самыми учащимися, специально приспособленных к проходимому материалу и охватывающих подчас ряд разделов курса.

4. Автор убежден, что каждый учитель имеет возможность разнообразить дидактический материал и конструкции автора — и в сочетании с живой и интересной для учащихся классной и домашней работой, добиться значительно эффективных учебных результатов.

В работе указано 10 дидактических учебных конструкций, принадлежащих автору.

5. Учебно-дидактические конструкции автора (таблицы, графики, приборы) подвергались ряду испытаний в экспериментах, проведенных в школах Армении под руководством автора. Удовлетворительный эффект этих конструкций отмечен положительными отзывами.

6. Автор в экспериментальных классах имел возможность убедиться, что раннее введение алгебраической символики в доступных формах легко воспринимается школьниками и развивает их обобщающую способность.

7. В то же время автор убежден, что указанная в работе кропотливая учебная работа содержит в себе перспективу рационального педагогического труда и экономии учебного времени.

Основное содержание настоящей диссертационной работы опубликовано в следующих изданиях:

1. Методика обучения арифметических задач с точки зрения развития функционального мышления учащихся, 2,5 п. л., Армучпедгиз, 1958, Ереван (на армянском языке).

2. Методы сознательного усвоения арифметических действий (с точки зрения идеи функциональной зависимости), Армучпедгиз, Ереван, 1962, 6 печатных листов (на армянском языке).

3. Составление линейного уравнения при решении арифметических задач, ж-л «Физикан ев математикан дпроцум», № 2, 1967, Ереван.

вф 04821 Заказ 1136 Тираж 150

Сдано в производство 16. V. 1967 г. Подписано к печати 20. V. 1967 г. Бумага 60 х 84, 2,7 печ. л.

Типография № 3 Главного управления полиграфической промышленности Комитета по печати при Совете Министров Армянской ССР, г. Ереван, ул. Налбандяна, 32