АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. В. БАУМ

СИСТЕМА ИЗУЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ НА ВЕКТОРНОЙ ОСНОВЕ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. ЛЕВИН

Москва — 1965

Настоящее время характеризуется интенсивным проникновением методов математики во все отрасли наук и сферы материального производства. Поэтому можно смело утверждать, что высокая производительность труда и развитие наук, необходимые для построения коммунистического общества, в значительной степени зависят от уровня математических знаний советских людей.

Важность вопросов преподавания математики в средней школе становится вполне понятной, если учесть, что от постановки ее преподавания зависит как уровень преподавания в высшей школе, так и общая математическая культура широких слоев населения. Всякое снижение уровня математической культуры и математической подготовки выпускников средних школ отразится со временем на уровне всей нашей науки и всей нашей техники.

В последнее время, в связи с бурным развитием науки и техники и все возрастающими требованиями, предъявляемыми к работникам производства, уровень и качество математических знаний выпускников средних школ стали отставать от требований жизни. Перед школой встали новые ответственные задачи, решение которых осуществляется перестройкой системы народного образования.

Одним из наиболее слабых мест преподавания математики в средней школе является учение о функциях, в частности и тригонометрических.

Значительная часть учащихся обнаруживает слабое знание таких основных вопросов, какими являются: понятие функции, область определения, периодичность, монотонность, общность тригонометрических формул, графики, тригонометрические уравнения и неравенства.

Анализ традиционного преподавания тригонометрии дает основание сделать вывод, что слабая подготовка учащихся средней школы по этому предмету вызвана не отдельными методическими недочетами в преподавании конкретных вопросов программы, а порождается всей системой изучения теории тригонометрических функций.

Тригонометрия при сложившейся системе обучения рассматривается как собрание формул, почти не связанных между собой. Доказательства формул и свойств функций в большинстве случаев проводятся геометрически и притом только для острых углов. При изучении тригонометрии недостаточно используются тригонометрический аппарат и алгебраические методы доказательства. Многие вопросы тригонометрии рассматриваются изолированно друг от друга, не устанавливается связь между ними. Графики тригонометрических функций используются только как средство иллюстрации свойств функций и графических вычислений.

Общим недостатком рассмотренных программ по тригонометрии является их формально-оперативный характер, а также изолированность этого предмета от других математических предметов, изучаемых в средней школе. В процессе изучения тригонометрии неоправданно большое внимание уделяется приобретению навыков в преобразовании тригонометрических выроажений и недооценивается значение теории и ее приложений.

Чтобы повысить роль теории и связать воедино весь курс тригонометрии, достаточно выделить некоторые основные соотношения между тригонометрическими функциями, которые позволили бы алгебраическим путем из немногих исходных соотношений вывести все остальные свойства функций и формулы тригонометрии.

В диссертациях, посвященных вопросам преподавания тригонометрии, не было предложено аналитического построения теории тригонометрических функций, приемлемого для средней школы. Несмотря на несомненные преимущества и стройность аналитического способа построения теории тригонометрических функций, он неприменим в чистом виде в школьном курсе математики ввиду сложности аппарата, на котором он базируется.

Проблема настоящей диссертации состояла в следующем.

Научно-методически исследовать возможность и обосновать целесообразность аналитического построения теории тригонометрических функций на векторной основе и разработать методику преподавания тригонометрии на новой основе в курсе алгебры средней школы.

Исследование по общей проблеме предусматривало решение следующих частных задач:

1) выяснить причины слабых знаний по тригонометрии у выпускников средних школ;

2) определить содержание сведений из векторной алгебры, положенных в основу построения теории тригонометрических функций;

3) разработать методику изучения элементарных сведений из векторной алгебры;

4) разработать методику изучения теории тригонометрических функций в курсе алгебры средней школы;

5) определить роль и место графиков тригонометрических функций в системе их изучения.

Для решения этих задач использовались следующие методы исследования: анализ научной и методической литературы по тригонометрии, анализ учебников тригонометрии отечественных и зарубежных авторов, обобщение опыта работы учителей математики, наблюдение педагогического процесса преподавания тригонометрии, анализ педагогической экспериментальной проверки в школе.

Диссертация состоит из введения, заключения и следующих глав:

Глава I. Анализ традиционного преподавания тригонометрии в средней школе.

Глава II. Векторные основы построения теории тригонометрических функций.

Глава III. Система построения и методика преподавания тригонометрии на векторной основе.

Анализ традиционного преподавания тригонометрии в средней школе

Огромное значение в истории тригонометрии и ее преподавания имело и не потеряло своего значения в настоящее время творчество Леонарда Эйлера. Он впервые разработал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных. Ранее каждая теорема выводилась отдельно и записывалась словами или в форме пропорций. Л. Эйлер получил ряд новых соотношений, окончательно решил вопрос о знаках тригонометрических функций во всех четвертях, дал вывод формул приведения для общего случая и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики (знаки функций в различных четвертях, тупые углы не имеют тригонометрических функций и т. п.). Важнейшей заслугой Эйлера является мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих тригонометрических линий к радиусу, то есть как числа. До него синус, косинус и т. д. были ничем иным, как отрезками.

Аналитическое построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, было завершено в работах Лобачевского, Гаусса, Коши, Фурье и др.

В диссертации дан анализ только узловых вопросов методики преподавания тригонометрии. Такими вопросами являются определения тригонометрических функций и доказательства теоремы сложения, так как они в большинстве случаев оказывали решающее влияние на построение всего курса тригонометрии.

Первые русские школы, в программу которых были введены некоторые сведения из тригонометрии, возникли в начале XVIII века при Петре I. Это были специальные школы, подготовлявшие нужных государству специалистов по морскому, инженерному и военному делу.

В первых русских учебниках математики синус и косинус рассматривались как определенные отрезки круга или прямоугольного треугольника. Поэтому значения синуса и косинуса становились зависящими не только от угла (или дуги), но и от радиуса круга. Это обстоятельство создавало большие трудности даже при решении прямоугольных треугольников.

Во второй половине XVIII века, под влиянием работ Л. Эйлера, появились учебники тригонометрии, отражающие новые идеи того времени. Это учебники С. Румовского, М. Е. Головина, А. Г. Кестнера. Характерной чертой этих учебников является то, что синус и косинус определяются как отрезки в круге с радиусом равным единице.

Начиная с первой половины XIX века в учебной и методической литературе синус и косинус определяются как отношения соответствующих тригонометрических линий к радиусу. Определение тригонометрических функций с помощью тригонометрических линий обладает наглядностью при изучении некоторых свойств функций. Однако такое определение имеет существенные недостатки. Само определение тригонометрических линий искусственно и громоздко. Приходится вводить специальные соглашения о знаках, приписываемых длинам тригонометрических линий. Доказательства теоремы сложения при таком определении не являются общими и требуют дальнейшего обобщения на произвольные углы. Авторы современных учебников тригонометрии отказались от такого определения тригонометрических функций.

В настоящее время в отечественной и зарубежной учебно-методической литературе наибольшее распространение получили координатный и векторный способы определения тригонометрических функций. Координатный способ определения вполне корректен. Он использует хорошо известный учащимся аппарат — прямоугольную систему координат на плоскости. Основные свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии доказываются сравнительно просто и получают хорошую геометрическую иллюстрацию. Доказательства тео-

ремы сложения являются общими и не нуждаются в дальнейшем обобщении на произвольные углы.

Сочетание координатного метода с векторным аппаратом позволяет дать более стройное построение теории тригонометрических функций. При геометрических определениях тригонометрических функций пользуются (в явном или неявном виде) отрезками определенной длины и направления, т. е. направленными отрезками. Но оба качества направленного отрезка составляют существо вектора.

Векторный способ определения тригонометрических функций обладает рядом несомненных преимуществ по сравнению с другими способами. Применение сведений о векторах позволяет упростить и обобщить доказательства формул и свойств тригонометрических функций. Значительно расширяется и упрощается применение тригонометрии при решении многих теоретических и практических задач. Это имеет место во всех приложениях, где рассматриваются направленные величины. При построении тригонометрии на векторной основе появляется взаимная связь между аппаратом векторной алгебры и тригонометрическими функциями. С помощью тригонометрических функций устанавливается зависимость между модулем вектора и его координатами. Эта зависимость позволяет заменить геометрические операции над векторами соответствующими действиями над их координатами.

Важное место в тригонометрии занимает известная теорема сложения, которая позволяет по тригонометрическим функциям данных двух углов вычислить тригонометрическую функцию суммы или разности этих углов. Впервые эту задачу сформулировал и решил Клавдий Птолемей (II в. н. э.). В настоящее время известно много способов доказательства этой теоремы, отличающихся как по построению, так и по полноте.

В диссертации дан анализ научной и методической ценности различных способов доказательства теоремы сложения, которые в разное время предлагались отечественными и зарубежными авторами. Основным недостатком большинства рассмотренных доказательств является их неполнота. Как известно, теорема сложения верна для произвольных углов. Поэтому для установления общности теоремы приходится проводить дополнительные рассуждения, которые в большинстве случаев громоздки и не связаны общей идеей с самим доказательством. Наиболее простым и в то же время общим является доказательство теоремы сложения, использующее скалярное произведение векторов.

Новая программа по математике предусматривает изложение теории тригонометрических функций на основе сведе-

нии из векторной алгебры, которые будут изучены к этому времени в геометрии. В связи с изучением теории тригонометрических функций в учебном предмете «Алгебра и элементарные функции», особое значение приобретает систематически проводимая точка зрения на тригонометрические функции как функции числового аргумента. По отношению к тригонометрическим функциям предлагается поставить и решить те же вопросы, которые рассматривались при изучении других функций: область определения, область изменения, корни функций, четность и нечетность, знаки функций, возрастание и убывание, наибольшие и наименьшие значения. При этом особо должно быть отмечено новое свойство, которым не обладают изучавшиеся ранее элементарные функции, — периодичность тригонометрических функций.

Векторные основы построения теории тригонометрических функций

До настоящего времени в школьном курсе математики элементарные сведения о векторах не изучались. С этим математическим аппаратом учащиеся знакомились в школьном курсе физики. Однако те отрывочные сведения о векторах, которые получают учащиеся на уроках физики, явно недостаточны для применения векторного аппарата в математике и смежных дисциплинах.

Векторный аппарат в настоящее время занял в математике важное место как средство изложения теории и решения ряда практических вопросов. Он нашел широкое применение в аналитической геометрии, линейной алгебре и линейном программировании. Особенное развитие он получил в высшей математике и математической физике. Векторный аппарат постепенно проникал и продолжает проникать в элементарную математику. Это касается в первую очередь геометрии и теории комплексных чисел.

Векторы и операции над ними хорошо приспособлены для изучения тех геометрических, механических и физических явлений, в которых участвуют направленные величины. Применение векторного аппарата для изучения таких явлений упрощает исследование и делает его более естественным и наглядным.

Введение элементарных сведений из векторной алгебры в курс математики средней школы позволяет построить теорию тригонометрических функций на векторной основе.

Представляется целесообразным, чтобы в учебном предмете «Алгебра и элементарные функции» была дана приведенная в систему элементарная теория векторов, которая

могла бы быть использована на уроках математики, физики, астрономии и при дальнейшем изучении высшей математики, в вузе. Таким требованиям наиболее удовлетворяет теория векторов в координатной форме, которая явится обобщением сведений о векторах, полученных ранее учащимися на уроках физики и геометрии. При ознакомлении с этой теорией векторов выясняется, что для выполнения действий над векторами можно выполнять соответствующие им действия над координатами векторов. Знакомство с ней оправдано еще и потому, что она находит большое применение при решении практических задач с помощью современных машиносчетных устройств.

Аналитическая форма изложения вносит значительные упрощения в теорию векторов, так как она освобождает от необходимости рассмотрения «теории проекций» и содействует достижению большей общности. В средней школе достаточно ограничиться рассмотрением плоской системы векторов, но изложение должно носить такой характер, чтобы в дальнейшем, при изучении разделов высшей математики, его можно было легко обобщить на векторы, расположенные в трехмерном и n-мерном пространствах.

Из векторной алгебры рассматриваются следующие элементарные сведения: скаляры и векторы, координаты вектора, модуль вектора и его связь с координатами вектора, равенство векторов, скалярное произведение векторов. Отобраны только те сведения, которые позволяют определить косинус и синус произвольного угла и вывести основные соотношения между этими функциями, в частности формулу косинуса разности двух углов.

При изложении элементарных сведений векторной алгебры принят тот путь, при котором геометрические представления, имеющиеся у учащихся по урокам физики и геометрии, формализуются и доводятся до необходимой степени обобщения. Вначале путем рассмотрения конкретных примеров (в частности, из физики) формируется представление о новом понятии векторной алгебры, затем рассматривается соответствующий геометрический образ и в итоге дается аналитическое определение. Геометрические образы выступают при этом как средство конкретно-содержательной интерпретации изучаемых понятий. Для установления понятия вектора приводится достаточное число примеров из физики и геометрии. Учащиеся к тому времени уже ознакомлены с геометрической теорией векторов.

Академик Н. Е. Кочин в своей книге «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления» отметил, что точнее было бы определить вектор как величину, характеризуемую

своим числовым значением, своим направлением в пространстве и подчиняющуюся правилу геометрического сложения. В противном случае под определение вектора попадает также и тензор, связанный с направлением в пространстве, но по своей структуре более сложный, чем вектор. Несмотря на указанный недостаток, в средней школе достаточно сначала ограничиться определением вектора как направленного отрезка с последующим дополнением относительно сложения.

В диссертации элементарная теория векторов изложена в координатной форме. Координаты вектора определяются как разности одноименных координат конца и начала вектора. В этом случае отпадает необходимость в рассмотрении теории проекций. Модуль вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора. Векторы называются равными, если равны их одноименные координаты. Сумма векторов определяется как вектор, координаты которого равны соответственно суммам одноименных координат данных векторов. В диссертации доказана эквивалентность приведенных и геометрических определений равенства и суммы векторов.

При установлении зависимости между модулем вектора суммы и слагаемыми векторами получено равенство:

Это равенство напоминает известную формулу квадрата суммы двух чисел, где роль «произведения» выполняет сумма произведений одноименных координат векторов. Определение скалярного произведения векторов как суммы произведений одноименных координат данных векторов позволило дать его геометрическую интерпретацию, которая заключается в том, что удвоенное скалярное произведение векторов показывает, на сколько площадь квадрата, построенного на векторе суммы, больше (или меньше) суммы площадей квадратов, построенных на слагаемых векторах, т. е.

Полученное равенство позволяет одновременно сделать важный вывод, что скалярное произведение векторов зависит только от модулей данных векторов и модуля их суммы. Следовательно, при переходе от одной системы координат к другой, имеющей те же единичные отрезки, или при одновременном движении данных векторов, скалярное произведение векоторов не меняет своего

числового значения. Это свойство скалярного произведения позволяет дать простой вывод формулы косинуса разности двух углов.

Система построения и методика преподавания тригонометрии на векторной основе

В новой средней общеобразовательной школе курс математики старших классов состоит из двух учебных предметов, носящих названия: 1) Алгебра и элементарные функции и 2) Геометрия. Материал, составлявший ранее содержание курса тригонометрии, распределен между двумя указанными предметами. Изучение теории тригонометрических функций и их основных свойств включено в учебный предмет «Алгебра и элементарные функции». Вопросы, связанные с вычислением элементов геометрических фигур, отнесены к геометрии. Такое распределение тригонометрического материала лучше отражает современное положение в математике как науке и придает курсам алгебры и геометрии большую цельность и стройность. Изучение тригонометрических функций естественно связывается с изучением алгебраических и трансцендентных функций в алгебре, а тригонометрическое решение треугольников — с изучением метрических соотношений в геометрии. Ликвидацию тригонометрии как самостоятельного учебного предмета предлагали многие видные ученые, интересовавшиеся преподаванием математики в средней школе. Об этом в свое время писали А. Я. Хинчин, Я. С. Дубнов, А. И. Маркушевич, В. И. Левин, Н. Я. Виленкин и др.

В научной и учебно-методической литературе имеется много способов построения теории тригонометрических функций, в значительной мере обусловленные различными определениями этих функций. Подробно этот воспрос освещен в I главе диссертации.

При построении теории тригонометрических функций на векторной основе основные свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии устанавливаются путем широкого использования векторного аппарата. Так, например, в диссертации Л. И. Жогиной «Построение изложения учения о тригонометрических функциях в курсе математики средней школы» векторный аппарат используется на протяжении всего курса при доказательстве всех основных свойств функций и формул тригонометрии. Четность и нечетность, формулы приведения, промежутки знакопостоянства, монотонность и некоторые другие свойства тригонометрических функций доказываются путем использования сведений из векторной алгебры. В этом случае недостаточно используются внутренние

связи в тригонометрии. Все перечисленные свойства могут быть доказаны алгебраически, путем применения средств школьной алгебры и тригонометрического аппарата.

Принципиальное отличие предлагаемого построения теории тригонометрических функций от существующих традиционных заключается в том, что векторный аппарат используется не в процессе изучения всего курса тригонометрии, а только при выводе основных (определяющих) свойств тригонометрических функций. Все дальнейшее изложение тригонометрии осуществляется алгебраически, без использования аппарата векторной алгебры.

Особое место в построении теории тригонометрических функций занимает известная формула косинуса разности двух углов. Из нее, чисто аналитически, путем алгебраических преобразований, могут быть получены все формулы тригонометрии и свойства тригонометрических функций. Поэтому целесообразно формулу косинуса разности двух углов получить как можно раньше. Это позволяет познакомить учащихся с аналитическим построением теории тригонометрических функций с помощью функциональных уравнений, определяющих свойства данных функций.

Приняв некоторые свойства тригонометрических функций в качестве основных, алгебраическим путем устанавливаются все прочие свойства функций, как следствия исходных.

В качестве основных свойств выбраны следующие:

Перечисленные свойства не являются независимыми. Их число может быть уменьшено. Однако введение равенства

позволяет легко переходить к изучению свойств функции y = sinx, если известны свойства функции y=cosx. Для этого достаточно синус заменить косинусом аргумента, уменьшенного на

Равенства, выражающие свойство I, приняты в качестве определений синуса и тангеса. Свойства II — IV доказываются геометрически, используя аппарат векторной алгебры.

В предлагаемой системе изучения теории тригонометрических функций большое внимание уделяется графикам функций. Использование графика функций как средства формирования понятий и как средства «открытия» свойств функций активизирует мыслительную деятельность учащихся и значительно облегчает усвоение. Первоначальные сведения об основных свойствах тригонометрических функций приобретаются учащимися при рассмотрении графиков. При этом график выступает как средство, позволяющее высказать гипотезу о наличии определенных свойств функции. Затем проводятся аналитические доказательства, которые способствуют закреплению знаний основных формул и свойств функций. Эти упражнения ценны в том отношении, что они позволяют учащимся видеть цель преобразований тригонометрических выражений. При таком изучении свойств функций устанавливается органическая связь теории тригонометрических функций с учебным материалом алге0ры.

В диссертации учение о тригонометрических функциях представлено в определенной системе. Рассмотрены все основные свойства этих функций, которые могут быть установлены элементарными средствами: область определения, область изменения (включая ограниченность и неограниченность), четность и нечетность, периодичность, промежутки знакопостоянства, корни функций, промежутки монотонности, наибольшие и наименьшие значения. В качестве основной функции выбран косинус. При доказательстве свойств синуса и тангенса используются их определения и соответствующие свойства косинуса.

Введение скалярного произведения векторов и использование его инвариантности позволило существенно упростить доказательство теоремы сложения для косинуса в самом общем виде. Схема этого доказательства такова: выразим скалярное произведение векторов а и b, образующих с положительным направлением оси Ou, соответственно углы а и ß, в тригонометрической форме:

Пользуясь тем, что при одновременном повороте векторов на угол —а скалярное произведение векторов не изменится, мы получим следующее равенство:

Следовательно

Предлагаемое построение тригонометрии охватывает весь традиционный материал; показывает происхождение понятий из задач практики и самой математики; представляет тригонометрию не только как совокупность математических предложений и формул, но и устанавливает тесные связи как внутри предмета, так и со всей школьной математикой; показывает применение тригонометрических функций при решении прикладных и теоретических задач.

В диссертации приводится система упражнений по всему курсу тригонометрии. Специально разработанная система упражнений по решению тригонометрических уравнений позволяет осуществить повторение всего теоретического материала. Большое внимание уделено решнию тригономтрических неравенств.

Применению векторного аппарата и тригонометрических функций при дальнейшем изучении курса математики посвящен отдельный параграф диссертации. В нем рассмотрен предел отношения синуса к аргументу, стремящемуся к нулю. Этот предел позволяет получить формулы дифференцирования синуса и косинуса. Параболическая интерполяция косинуса и синуса знакомит учащихся с приближением тригонометрических функций многочленами. Ценность вывода приближенных формул состоит в том, что учащиеся видят при этом графическую связь тригонометрических функций с приближающими многочленами.

Аналитическое построение теории векторов позволяет значительно упростить изложение теории комплексных чисел. Для этого достаточно вектор, расположенный в плоскости, считать изображением комплексного числа, как это сделано, например, в учебном пособии «Алгебра» под редакцией А. И. Маркушевича. В этом случае сложение, вычитание и основные законы сложения комплексных чисел будут являться прямыми следствиями аналитической теории векторов.

Рекомендуемая в диссертации система изучения тригонометрии на векторной основе проверялась в течение 1959—1964 годов автором (школа № 204 г. Москвы, школа № 2

г. Глазова, Удм. АССР и ШРМ, пос. Теберда, Ставропольского края), а также некоторыми учителями (школа № 204, г. Москвы и ШРМ № 2 г. Глазова Удм. АССР).

В процессе эксперимента проводилось систематическое наблюдение за учащимися во время их работы в классе. Уровень теоретической и практической подготовки учащихся по тригонометрии выявлялся, главным образом, на основании анализа контрольных и самостоятельных письменных работ и устных ответов учащихся.

Приведем в качестве примера описание контрольной работы по теме: «Графики тригонометрических функций». Нужно было построить график одной из тригонометрических функций и установить ее основные свойства по графику. Все учащиеся экспериментальных классов правильно построили графики функций и почти без ошибок установили свойства функций. Ошибки носили случайный характер и были вызваны в основном отсутствием прочных навыков в записи неравенств. Большинство учащихся контрольных классов также правильно построили графики тригонометрических функций, но не сумели «прочесть» по графику известные им свойства функций. Наибольшее число ошибок было допущено при установлении промежутков знакопостоянства и промежутков монотонности функций. В большинстве случаев функция исследовалась в ограниченном промежутке, а не во всей области определения.

Особенно большие трудности испытывали учащиеся контрольных классов при доказательстве основных свойств функций, так как при традиционном изучении тригонометрии эти свойства доказываются геометрически, различными методами. Учащиеся экспериментальных классов без особых затруднений алгебраическим путем доказывали свойства косинуса, при доказательстве свойств синуса и тангенса они пользовались общими методами алгебры, решая соответствующие уравнения и неравенства,

Результаты экспериментальной проверки показали, что разработанная в диссертации система изучения тригонометрии на векторной основе вполне доступна для учащихся старших классов средней школы. Теория тригонометрических функций была воспринята учащимися как естественное продолжение изучения функций, рассматриваемых в курсе алгебры. Компактность предлагаемой системы построения теории тригонометрических функций позволила уделить больше внимания решению примеров на тождественные преобразования, решению тригонометрических уравнений и неравенств.

При решении тригонометрических уравнений учащиеся

экспериментальных классов не встретили затруднений, как это имело место в контрольных классах.

Методические рекомендации, изложенные в диссертации, а также вся система изучения тригонометрии на векторной основе была одобрительно принята учителями математики, которые вели преподавание по разработанной системе.

Проведенное исследование по теме диссертации позволяет сделать следующие выводы:

1) В связи с бурным развитием науки и техники и все возрастающими требованиями к уровню и качеству знаний выпускников средней школы традиционное преподавание тригонометрии перестало удовлетворять требованиям жизни. Слабая подготовка учащихся по этому предмету вызвана не отдельными недочетами в решении конкретных методических вопросов, а порождается всей системой изучения теории тригонометрических функций. В сложившейся системе изучения тригонометрии главное внимание уделяется развитию навыков в решении определенного типа упражнений и принижается роль теории. В процессе обучения не устанавливаются внутренние связи и отношения между отдельными изучаемыми вопросами. Тригонометрия рассматривается как совокупность отдельных формул, почти не связанных между собой.

2) Упразднение тригонометрии как самостоятельного учебного предмета в средней школе лучше отражает структуру математики как науки, а также придает курсам алгебры и геометрии большую цельность и стройность: изучение тригонометрических функций связывается с изучением других функций (алгебраических и трансцендентных), а тригонометрическое решение треугольников — с изучением метрических соотношений в геометрии. Кроме того, это содействует устранению многопредметности в старших классах средней школы.

3) В настоящее время векторный аппарат занял в математике весьма важное место как средство изложения теории и решения ряда практических задач. Построение теории тригонометрических функций на векторной основе обладает рядом несомненных преимуществ. Представляется целесообразным, чтобы в учебном предмете «Алгебра и элементарные функции» была дана приведенная в систему элементарная аналитическая теория векторов, которая явится обобщением сведений о векторах, полученных учащимися ранее на уроках физики и геометрии. Аналитическое изложение сблизит элементарную теорию векторов с курсом алгебры, так как выявится связь этой теории с математическим аппаратом алгебры. Знакомство с аналитической теорией векторов оправдано еще и потому, что она находит в настоящее время большое применение при решении практических задач линейного

программирования с помощью современных машиносчетных устройств.

4) Векторный способ построения теории тригонометрических функций более современен в научном отношении. Он значительно расширяет и упрощает применение тригонометрии при решении многих теоретических и практических задач геометрии, физики, астрономии и других наук. Учение о векторах позволяет упростить и обобщить доказательства формул и теорем тригонометрии.

5) Векторный аппарат необходим в начале тригонометрии до тех пор, пока не получены отличительные свойства тригонометрических функций. Все дальнейшее изложение тригонометрии может быть проведено независимо от геометрии, чисто аналитическим путем. Чтобы повысить роль теории и связать воедино весь курс тригонометрии, достаточно выделить основные (определяющие) соотношения, которые позволяют алгебраическим путем вывести все остальные формулы и свойства тригонометрических функций. Это позволяет познакомить учащихся с аналитическим построением теории тригонометрических функций на основании некоторых характеристических функциональных свойств. Теория тригонометрических функций при таком изложении значительно сближается и органически связывается с учебным предметом «Алгебра и элементарные функции», так как в тригонометрии широко используются методы, применяемые в алгебре.

6) Экспериментальная проверка показала эффективность метода, при котором геометрические представления, сложившиеся у учащихся при рассмотрении графиков тригонометрических функций, формализуются и доказываются аналитически. При этом график выступает как средство, позволяющее высказать гипотезу о наличии определенных свойств функции, которые в дальнейшем подлежат аналитическому обоснованию. Выработанная у учащихся схема исследования функций облегчает изучение свойств функций. Аналитические доказательства содействуют закреплению знаний основных формул и свойств функций. Эти упражнения ценны также в том отношении, что они позволяют учащимся видеть цель преобразований, совершаемых над тригонометрическими выражениями.

7) Система изучения тригонометрии на векторной основе вполне доступна учащимся старших классов. Она способствует развитию интереса к изучению математики, позволяет выработать у учащихся глубокие и прочные знания, содействует их математическому развитию. Разработанная система изучения тригонометрии может быть использована при обу-

чении математике в классах с физико-математической специализацией.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих статьях автора:

1) «Об элементах векторной алгебры в средней школе», журнал Математика в школе», № 2, 1963.

2) «Построение теории тригонометрических функций на векторной основе в курсе алгебры», Изд-во АПН, 1963, (3,5 печатн. листа).

3) «О параболической интерполяции тригонометрической функции», журнал «Математика в школе», № 1, 1964.

4) «Доказательство общности теорем сложения тригонометрии», журнал «Математика в школе», № 2, 1964.

5) «Об элементах векторной алгебры в средней школе», (в сокращении), Чехословацкий журнал «Математика в школе», № 1, 1963 (стр. 59—60),

Подписано в печать A 27281 13/II 1965 г. Объем 1,25 п. л., тир. 200 экз., зак. 342, тип. ГКС