МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А И. ГЕРЦЕНА

Кафедра методики преподавания физики

БАУЭР, Ф.

Тема диссертации

РОЛЬ МАТЕМАТИКИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ФИЗИКИ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доктор педагогических наук, чл. -корр. АПН РСФСР проф. П. А. ЗНАМЕНСКИЙ

ЛЕНИНГРАД 1963

Официальные оппоненты: профессор ДЕПМАН И. Я.,

кандидат физико-математических наук, доц. ИВАНОВ Г. А.

Защита состоится в Ленинградском Государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград, Мойка, 48

Автореферат разослан

Ответственный редактор доп. Е. В. САВЕЛОВА

М19919 25-XII-63 г. Тип. Окт. ж. л. зак. 3458 т. 150

1.

Математика становится все более важным средством познания природы. От сознательного ее применения в значительной мере зависит развитие современных производительных сил общества.

Это огромное значение математики заставляет нас уделять большое внимание изучению ее в школе, причем, не только непосредственно изучению самой математики, как учебного предмета, но и изучению применения математики при обучении другим дисциплинам, в первую очередь физике.

За последние годы в методической литературе часто говорится о межпредметных связях, в том числе и о связи преподавания физики и математики, но специально вопрос о роли математики при обучении физике до сих пор почти не рассматривается.

Круг вопросов, связанных с этой проблемой, очень широк. Поэтому оказалось необходимым ограничить тематику исследования. В нем рассматриваются прежде всего те вопросы, которые еще недостаточно разработаны или в разработке которых имеются недостатки общего характера, связанные с практикой преподавания.

Диссертация состоит из следующих разделов:

1. Введение.

2. Исторический обзор.

3. Процесс обучения и его особенности, вызванные математическим языком физики.

4. Математика — средство понимания физических закономерностей.

4. 1. Физическая величина и ее математическое выражение.

4. 2. Физическое явление и математическое уравнение.

4. 3. Дифференциальное и интегральное исчисление и физические проблемы в школьном курсе.

5. Заключение.

2.

В историческом обзоре автор показывает, что после периода переоценки (до начала XX века) и следующего периода недооценки роли математики мы пришли к более правильному пониманию значения математики в обучении физике. Все же методическая разработка этого вопроса в настоящее время неудовлетворительна. В современной методической литературе, за исключением некоторых общих руководств по методике преподавания физики, рассматривается связь математики и физики только с определенной точки зрения, с точки зрения согласования этих учебных предметов во (времени прохождения тем программ и согласования работы учителей физики и математики.

3.

Первым вопросом, рассмотренным нами в работе, является вопрос о возможных особенностях процесса обучения, вызванных математическим языком.

Основная проблема обучения — это способ передачи учебного материала. Учебный материал можно просто сообщить учащимся, т. е. передать полную данную информацию, или учащиеся могут самостоятельно разработать его, т. е. учитель дает учащимся лишь задачу и несколько элементов информации и заставляет учащихся разработать полную информацию самостоятельно. В последнем случае процесс обучения имеет характер процесса обратной- связи. Преимущества такого пути передачи учебного материала (при строгом руководстве учителя и в пределах возможностей задач школы) общеизвестны.

Путь передачи или возможности передачи учебного материала преимущественно тем или другим путем не зависит от математической доли данного раздела материала. Но неясное и небрежное (или даже неправильное) применение математических средств мешает развитию самостоятельного мышления учащихся и его использованию при изложений учебного материала.

«Математизация» меняет прежде всего характер учебного материала. Во-первых, учебный материал приобретает строго количественный характер, во-вторых, при этом материал более глубоко выражает сущность явления, в-третьих, материал сам выражается в наиболее сосредоточенной краткой форме.

Количественный вид информации требует добавочных мыслительных процессов:

1. Перехода от физического явления к математическим символам (выразить физическую проблему математическим языком).

2. Выполнения математических операций, (Их можно рассматривать как обычные логические операции только с математическими понятиями).

3. Перехода от математических символов к явлениям материального мира (интерпретация математических результатов).

Развитие способности выполнять логические операции с математическими символами является задачей преподавания математики. Но переход от физического явления к математическим символам и обратный переход являются весьма важными операциями самой физики, и поэтому им нужно уделять большое внимание в процессе обучения физике.

Возможность этих переходов предполагает соответствие между физическими явлениями и математическими выражениями. Но это соответствие не означает, что математические преобразования, которые необходимы для решения физической проблемы, можно истолковать с точки зрения физики. Если возьмем такую физическую проблему, которую можно решить либо экспериментальным, либо математическим путем, то оказывается, что какого-либо внутреннего сходства между этими путями решения проблемы не имеется.

Основной способ перехода от физического явления к математическому символу — это непосредственное или опосредованное измерение. Наряду с этим в практике преподавания в школе часто встречается переход к математическому выражению путем «полуколичественного» соображения, т. е. путем такого простого высказывания, как «тем больше А, чем больше В». Такое высказывание важно тем, что оно дает первые наглядные представления о связи между физическими величинами. Но, если учитель не уточняет его, оно легко приводит учащихся к неправильному представлению о том, что

положение «тем больше А, чем больше В» тождественно с пропорциональностью: В—А.

Математические средства облегчают до некоторой степени изложение учебного материала дедуктивным путем, т. е. математика оказывает физике помощь при выводах частных закономерностей из общих. Эту важную сторону значения математики нужно показать учащимся на ряде ярких примеров.

Но следует иметь в виду, что вспомогательные средства могут стать в процессе обучения целью. Вместо физических рассуждений в центре внимания могут оказаться математические операции. Физические понятия могут превратиться в чисто математические символы, закономерная связь между физическими величинами — в чисто математическое уравнение. Однако на уроках физики математические понятия и преобразования должны лишь служить целям описания, объяснения и понимания физических явлений, а не становиться самоцелью.

Объем знаний с каждым годом увеличивается все быстрее. Поэтому все более важным становится вопрос, как нужно и, прежде всего, что нужно закреплять в памяти. Самая высшая сумма информации при описании физических явлений сосредоточивается в общих законах. Эта концентрация совершается с помощью математического аппарата. Поэтому в центре внимания при заучивании и запоминании должны стоять общие законы. Это позволяет обходиться минимумом формул, разгрузить память и использовать ее свойство закреплять в первую очередь те части информации, которые имеют наиболее важное и основное содержание. Одновременно с этим мы должны развивать мыслительные способности учащихся. Тогда математический способ описания физических явлений позволяет спокойно забыть отдельные факты, потому что с помощью некоторых общих законов можно всегда разработать и понять эти отдельные факты.

4.

Развитие самостоятельного мышления учащихся возможно в полной мере только с соответствующим сущности дела применением математических понятий. К сожалению, в практике преподавания и в методической литературе имеется ряд серьезных недостатков в вопросе о применении и роли математики в обучении физике. Это касается в первую очередь

основного звена — перехода от физического явления к математическому выражению, именно понятия физической величины.

4. 1. Физическая величина, характеризующая какое-то данное свойство материального мира, определяется правилом измерения (предписанием, как следует измерить величину) и в связи с этим—единицей измерения. Она состоит из двух неразравно связанных частей (если только она не является результатом деления двух однородных величин):

1. Численного значения (А), (одного у скаляров, нескольких у векторов и тензоров), и

2. Наименования [А] — единицы измерения. При этом

А= (А)-[А]

рассматривается, как обычное произведение. Такое выражение следует из самого простого соображения: s = 5* 1 м означает, что длина данного тела в 5 раз больше, чем 'выбранная нами единица измерения длины.

Так-как физическая величина представляет собой понятие, отличное от обычного числа, следует остановиться на вопросе об алгебраических действиях, производимых с физическими величинами.

Сложение и вычитание физических величин имеет смысл только при действиях с однородными величинами. Умножение и деление физических величин, как 1 м • 1 м и 1 час, имеют другой характер, чем операции 2 • 3 или 6 : 4 или 2 • 3 м или 6. Эти операции называются символическими. Они в физике необходимы для того, чтобы осознать понятие производной величины и понятие размерности. Математическое обоснование операциям над размерностями можно дать с помощью теории групп1. Эти символические действия по внешнему виду не отличаются от основных арифметических действий. Мы должны это сознательно и последовательно использовать в обучении физике.

При делении физических величин может появиться особый случай. Если делят однородные величины, то единицы измерения сокращаются и получается отвлеченное число. Это

1 R. Fleischmann, Physikalisches Begriffssystem und Dimensionen Phys. Bl., 1953, Jg. 9, Nr. 7, 301-313.

единственный случай, когда отвлеченное число имеет определенное физическое значение. Например, выражение «величина плоского угла 2» вполне понятно, так как оно выражает отношение — ==— • Между тем такое же выражение «сила F равна 2» не имеет смысла.

Основные методические преимущества выражения физической величины, как произведения отвлеченного числа на единицу измерения, состоят в следующем:

1. Такая трактовка наглядно отражает связь между физическим явлением и математическим описанием. Она предотвращает полный отрыв от физической действительности, не допускает, чтобы физическая величина превращалась в отвлеченное математическое понятие.

2. Приведенное выше выражение физической величины помогает вскрыть диалектическое единство ее количественной и качественной стороны, препятствуя уравниванию различных физических величин. (Подобные уравнения, как со = ф1, В = F2, не только неправильны с точки зрения математики и физики, но и путают школьников, так как учащиеся не осознают качественного различия между разными величинами).

3. Все формулы получают вид, независимый от выбора единиц. (Предполагается, конечно, что не изменяется число основных величин).

4. Такая трактовка позволяет хорошо понять разницу между размерными и безразмерными величинами. (Размерными величинами являются, во-первых, все основные величины и, во-вторых, все производные, при образовании которых нельзя сократить единицы измерения. Безразмерными величинами могут быть только производные. Они появляются в случае сравнения двух однородных величин, т. е. если мы образуем их отношение).

5. Проверяя в процессе самого вычисления размерность, или вернее, наименование полученной величины, мы получим подтверждение правильности решения.

6. Получается облегчение при переходе от одной единицы измерения к другой. Можно сказать, что этот переход становится в определенной мере автоматическим, не требует

1 Перышкин А. В. Курс физики, III часть, 1960, стр. 10.

2 Резников Л. И. и др., Методика преподавания физики в средней школе, том III, М„ 1961, стр. 197.

дополнительных рассуждений для второстепенных в физическом смысле вопросов.

7. Получается возможность использовать некоторые внесистемные единицы (кГ, кал, и т. д.) без (возникновения особых трудностей. Положение «При измерении силы в килопондах (кГ) нужно измерять массу в технических единицах массы»1 неверно.

8. От учащихся требуется постоянное повторение основных формул, с помощью которых образуются производные единицы, и которые дают важнейшие соотношения между величинами, как например,

В дальнейшем рассматривается вопрос об изложении системы единиц. Важным является при этом разграничение следующих трех вопросов.

1. Сколько основных величин нужно выбрать для изложения определенной области физики?

2. Какие именно основные величины выбираются?

3. Какие выбираются основные единицы измерения?

Выбор количества основных величин является сложным вопросом в электричестве. Он имеет здесь физическое значение в том смысле, признаем ли мы, что электрические явления отличны от механических, и нужно ли поэтому вводить одну основную электрическую величину. Меньшее значение с точки зрения физики имеет второй вопрос, и только второстепенное— третий, хотя в третьем вопросе отражаются два первых.

В связи с рассмотрением построения систем единиц автор показывает, как излагать раздел «Электрическое поле», используя международную систему единиц измерения. Этот вопрос был одним из самых трудных при введении международной системы единиц измерения.

Последним вопросом раздела о физической величине является вопрос о ее векторном характере. Нужно согласиться с тем, что уже сказано в методической литературе по данному вопросу. Единственное, что удивляет, это отсутствие особого символа для векторов для отличия их от скаляров в практике преподавания, в методической литературе и в учеб-

1 А. Хендель. Основные законы физики, Москва, 1963, стр. 49.

никах (Советского Союза и ГДР). С точки же зрения методики нужно признать, что введение различия по внешнему виду векторов и скаляров облегчает преподавание, помогает учащимся лучше их усвоить.

Введение особого символа для вектора не вызывает необходимость писать всегда и везде векторные уравнения. Но учащиеся должны хорошо понять, что мы имеем дело только с модулями, если мы пишем буквы без стрелок (а = |а|). Необходимым с точки зрения математической строгости оказывается векторное уравнение, если мы с помощью знака «минус» указываем на направление действия (Fi = — F2).

4. 2. Вторая часть главы IV носит название «Физическое явление и математическое уравнение» потому, «что конечным математическим выражением при исследовании физических явлений является математическое уравнение. Но в зависимости от того, имеем ли дело со свойством, или с правилом, или с законом, характер уравнения различен. В одном случае оно «определяющее» уравнение, в другом — математическое тождество (не физическое!), в третьем оно выражает функцию.

В практике преподавания и в методической литературе имеются неясности, которые обусловлены тем, что не ясно и недостаточно тщательно разграничиваются определения, законы и правила, что в свою очередь приводит к неправильному истолкованию математических выражений с точки зрения физики.

Законы и правила имеют то общее, что для их формулировки в процессе обучения принципиально достаточен один типичный для данного явления эксперимент. Методическая задача учителя, во-первых, состоит в том, чтобы выбрать такой частный случай, из которого можно однозначно и легко вывести общую закономерность, во-вторых, указать учащимся на то, что этим частным случаем выражается общий закон или общее правило.

Но в процессе изложения следует учитывать и такую разницу:

1. При исследовании законов имеем дело с множествами [U/в = (10, 20, 30...), 1/а= (0, 2; 0, 4;. 0, 6;...)], а при установлении правил сравниваются отдельные значения (Uo= 10 в, Ui = 4b, U2 = 6b).

2. Законы (и в конкретном случае) выражаются через математические функции (I~U), а правила (в конкретном слу-

чае) выражаются через математические тождества (Uo = Ui + U2, 10 в = 4 в + 6 в).

В методической литературе и в учебниках и, следовательно, в практике преподавания имеются логические ошибки, причина которых кроется в нетщательиом разграничении закона и определения.

Например, исследуется количественная зависимость между F, qi, q2 и г, и только после этого определяются единицы измерения q, т. е. говорится, как можно измерять q. Или определяется R через U и I : R = -у-, и после этого еще экспериментально исследуется зависимость между R и U или R и I.

Одно дело закон Ома: I —U. Он получается в результате опытов. Другое дело определение сопротивления R = у-. I при U = пост, и U ~R при I = пост. — это только следствие из определения. Бессмысленно устанавливать экспериментом I ~ -у^-при U = пост., если R измеряется отношением U/I (1~-б-=тг7 Œ const-1, т. е. оказывается, что Г~1!).

Подобное положение имеется в случае второй аксиомы (или второго закона) Ньютона.

Законы (за исключением законов сохранения) можно всегда вполне ясно и четко выразить с помощью пропорциональности (это делается в самом начале в процессе изложения):

закон Ома

закон всемирного тяготения

и т. д.

Определение же физических величин нельзя выражать через пропорциональность, необходимо сразу дать уравнение: определение сопротивления R =, определение скорости (в случае равномерного движения или средней скорости) V — у.

Следовательно, уравнения, выражающие законы, имеют коэффициент пропорциональности:

У определяющих уравнений коэффициент пропорциональности отсутствует. Он не возникает на основании произвольного выбора единиц измерения. (Предполагается, что для изложения физического материала используются шесть основных величин — длина, время, масса, сила тока, температура, сила света — и физическая величина выражается произведением числа на единицу измерения). Коэффициент пропорциональности имеет физическое значение. Он либо характеризует свойство вещества или явления, либо является универсальной постоянной.

Правильное применение математических средств помогает учащимся познать физическую сущность этих вопросов, препятствует появлению логических ошибок при изложении учебного материала.

Весьма важную роль при выражении и понимании физических явлений играет математическая функция. Но нужно иметь в виду, что математическое понятие функции можно применять и в тех случаях, когда нельзя говорить с точки зрения физики о функциональной зависимости. Математический язык помогает пониманию физических явлений, но математические операции не заменяют логического рассуждения в физических понятиях.

Общее математическое понятие функции не предполагает никакого условия выбора областей множеств величин и о их связи. В физике явления материального мира дают количества данных и их связь.

В самом простом случае эксперимент дает два множества физических величин. Какое из них является зависимым от другого, это определяется не человеком, а самим исследуемым явлением природы. Только в том случае, когда физический процесс проходит через состояние равновесия (идеальный случай), можно выбрать как независимую один раз одну величину, другой раз — другую (pV. = const.). Во всех других случаях имеется однозначное определение того, какая величина зависимая и какая независимая и место этих величин менять нельзя.

Функция в физике выражает либо зависимость какой-то физической величины от времени и положения в пространству, либо причинно-следственную связь между величинами.

Математически можно преобразовать C=f (П) (С= следствие, II = причина) в II = g (С). Но из этого не следует и не может следовать изменение физической зависимости между II и С

В практике преподавания эта зависимость часто рассматривается чисто математически. V учащихся, как показали опросы, господствует формальное математическое истолкование формул. Даже известный методист Л. И. Резников пишет, истолковывая формулу R=-r-: «Здесь R является функцией двух переменных U и I»1. Определяющее уравнение дает возможность вычисления сопротивления для данного напряжения и данной силы тока. Но сопротивление при данном материале зависит от длины проводника и его поперечного сечения (R = p-f), оно не зависит от напряжения и силы тока (предполагается, что р = const.).

Особым умственным упражнением для учащихся является вывод закона из ряда опытов. Переход от измеренных данных к конечной формуле должен быть разработан подробно и ясно. При этом нужно учитывать разницу между пропорцией и пропорциональностью (нельзя делать вывод из одной пропорции ai:Bi=a2:B2, что ак-^вк), нужно уделять внимание определению численного значения и размерности коэффициента пропорциональности и его физическому содержанию.

Нахождению аналитической формы функциональной зависимости помогают графики. Они наглядно отражают эту связь и в нескольких случаях даже заменяют аналитическую форму. Они являются большим вспомогательным средством в обучении.

Имеются трудности в практике преподавания физики при использовании функций нескольких аргументов. Они не рассматриваются на уроках математики, но на уроках физики их нельзя обойти. Трудности будут особенно заметны в том случае, когда между переменными х, у, z функции î = f (х, у, z) существует еще дополнительная связь.

В этих случаях физическое содержание рассматривается недостаточно, учащимся не показывается, как из математических формул следует правильный ответ. (Fu^r только при со = const, и т. д.).

1 Резников Л. И. Графический метод в преподавании физики, М, 1960, стр. 65.

4. 3. В разделе о дифференциальном и интегральном исчислении сопоставляются мнения различных методистов, критикуются попытки некоторых учителей и методистов, которые вычисляют такие выражения, как 1 —g- и —— в элементарном виде на уроках физики.

Нам кажется очень важным, чтобы у учащихся возникло представление о том, как математические выражения и физические явления связаны друг с другом, чтобы ученики понимали, как описание особых физических явлений требует особых математических понятий и как, наоборот, эти математические понятия помогают уяснить и охватить физические явления.

Поэтому, несмотря на то, дано ли на уроках математики понятие производной и интеграла, мы должны на уроках физики (в старших классах) познакомить учащихся на наглядных конкретных физических примерах с предельным процессом и смело вводить соответствующие знаки во всех тех случаях, где этого требует суть физической проблемы. Искусственными, не соответствующими сущности вопроса рассуждениями мы нарушаем внутреннюю логику физики. При этом, конечно, нельзя скрывать, что мы даем только первые представления. Строго научное определение производной и интеграла, выводы соответствующих законов и правил интегрального и дифференциального исчисления — это задача преподавания математики.

5.

В основе диссертации лежит практика преподавания в школе. Делаются попытки раскрыть особенности процесса обучения, вызванные математическим языком физики. Важной задачей явилось тщательное исследование связи между физическим явлением и математическим выражением. Основная методическая проблема — это не расширение доли математики в обучении физике, а правильное, соответствующее сущности дела, применение математических средств. Мы указали на ряд еще имеющихся неясностей и ошибок в практике преподавания1 и на недостаточно разработанные методические вопросы и показали пути их исправления.

1 Распространенность критикуемых нами небрежностей подтверждается и тем, что они допускаются в учебниках физики не только средней, но и высшей школы.