МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

БАРИГААГИЙН БАТЖАРГАЛ

МАТЕРИАЛЫ К ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В МОНГОЛИИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель член-корреспондент Академии педагогических наук проф. И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА — 1961

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Доктор физ.-мат. наук, проф. Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД.

2. Доктор физ.-мат. наук, проф. А. П. ЮШКЕВИЧ.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, Москва, ул. Радио, д. 10а,

Автореферат разослан

Ученый секретарь.

Причины, вызвавшие написание диссертации

История развития и формирования математики в Монголии является неотъемлемой частью истории культуры монгольского народа.

Многовековая культура Монголии, ее история, природные богатства давно привлекали внимание ученых путешественников других стран, и не один десяток томов написан о Монголии.

В некоторых из этих исследований указывалось на существование еще в XIV веке «Монгольской астрономической школы».1

Но до середины XX века в Монголии не было ни одной работы по истории математики2, хотя совершенно очевидно, что астрономия не могла достичь расцвета без достаточно высокого уровня математических знаний.

Монгольская Народно-революционная партия и правительство МНР поставили перед работниками просвещения весьма ответственные задачи, заключающиеся в творческом применении передового опыта советской науки и глубоком научении богатства древней культуры своей страны.

Исходя из изложенного, автор при выполнении данной работы поставил перед собой задачу ознакомить молодое поколение и учителей математики с историей математической культуры древней Монголии, чтобы это помогло им оживить урок введением народных задач и повысить интерес учащихся к математике.

Автора заинтересовало развитие математической мысли у древних монголов, своеобразие применявшихся ими методов решения задач и богатое наследие древней культуры математики в Монголии.

Как велось исследование

а) Еще в студенческие годы (1942—1946 гг.) автор начал собирать народные устные задачи путем бесед со стариками и при поездках по районам.

б) Продолжительную работу автор провел в Государственной библиотеке г. Улан-Батора, где им были изучены некоторые рукописи и ксилографы, а именно:

1 Delambre, Historie de l'astronomie de moyen âge, Paris, 1819, p. 204.

2 Л. С. Барановская, Первая работа по математике на монгольском языке, Изд. АН СССР, М., 1954.

1) «Солибцан барих бодорол бичиг» (книга: «Вычисление при помощи взаимосвязанных величин»);

2) «Мэргэд гарахын орон» (рукопись: «Колыбель древних мудрецов») ;

3) «Элдэв хэрэгт хаш хайрцаг нэрт бичиг» (книга: «Халцедоновая шкатулка»);

4) «Бодлогын бичиг» (запись задач) и др.

Из этих ценнейших рукописей и ксилографов -видно, что монголы на протяжении столетий разрабатывали различные -математические вопросы и способствовали их дальнейшему развитию.

Изучение рукописей и ксилографов было очень трудным делом, так как они написаны на старомонгольском языке, который отличается от современного. Кроме того, применялись термины, взятые из китайского, тибетского, индийского языков. Изложен материал очень кратко, неясно, так что иногда приходилось разгадывать смысл.

В Государственной библиотеке СССР им. В. И. Ленина, Ленинградской библиотеке им. Салтыкова-Щедрина, библиотеке Института народов Азии и ряде отделений древних архивных рукописных уникальных материалов я сталкивался с ранними весьма интересными работами по математике Монголии.

Кроме изучения материалов, хранящихся в Улан-Баторе, автор выезжал в Москву для ознакомления с литературой по истории математики Египта, Вавилона, Греции, Китая, Индии, народов Средней Азии, Армении, Грузии и в Ленинград — для изучения монгольских рукописей и ксилографов.

Только после ознакомления с указанной выше литературой автору стали ясны пути развития монгольской математики и методы обработки собранных материалов.

Параллельно с историей математики Монголии автор считает необходимым осветить соответствие математического аппарата практическим потребностям монгольского народа, применявшихся на практике способов вычисления, удобство их употребления, а также степень их ценности с современной точки зрения.

Содержание диссертации

Автор выбрал тему «Материалы к истории развития математики в Монголии», которая охватывает следующие две части:

I. Народная устная математика в Монголии.

II. Письменная математика, составленная учеными Монголии.

Первая часть диссертации состоит из пяти глав:

I. Устная и инструментальная нумерация натуральных чисел.

II. Устные и инструментальные действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

III. Измерение величин.

IV. Дробные числа.

V. Народные загадки, задачи, пословицы и поговорки.

В I части излагается устная народная математика, в которой раскрыты некоторые элементы монгольской истории математики:

а) система счисления целых чисел в Монголии;

б) монгольские названия и обозначения целых чисел;

в) возникновение монгольских имен числительных;

г) о «больших числах» в древней Монголии;

д) о монгольской математической доске;

е) различные своеобразные способы арифметических вычислений (четыре действия и аннулирование);

ж) старые и новые монгольские меры;

з) о двенадцатилетнем животном цикле;

и) денежная система;

к) дробные числа;

л) народные загадки, задачи, пословицы-поговорки математического содержания.

Каждая глава и раздел заканчиваются краткими выводами.

Народная устная математика Монголии имеет целый ряд характерных черт. В первой главе дается понятие о числе, о разрядах чисел и о монгольской математической доске.

Древние монголы широко применяли термин «Олонлиг» (множество), умело сравнивали два множества и находили различные средства для установления численности двух множеств, когда еще не был известен счет.

Сопоставление монгольских названий чисел натуральной последовательности с названиями имен числительных соседних азиатских народов показывает, что монгольские названия чисел ни в какой мере не похожи на названия тех же чисел других азиатских народов.

В монгольском языке установлены 17 основных названий: «нэг» (1), «хоер» (2),«гурав» (3),«дорвв» (4),«тав» (5), «зургаа» (6), «долоо» (7), «наим» (8), «ее» (9), «аран» (10), «зуу» (100), «мянга» (1000), «тум» (10 000), «бум» (100 000), «сая» (1 000 000), «живаа» (10 000 000), «дучуур» (100 000 000); остальные числа строятся с помощью этих 17.

Монгольские цифры не имеют ничего общего с написанием цифр у китайцев, хотя Китай и Монголия составляли долгое время одно государство. Они писались так:

Цифры, аналогичные монгольским, имелись у других народов, но надо сказать, что такие сходные цифры очень редко встречаются; кроме того, эти цифры часто обозначали другие числа.

В монгольском языке имеется единый и очень удобный принцип записи и чтения чисел, который относится к любому числу. Запись и чтение в интервале от 11 по 19 по-монгольски более совершенны, чем по-русски. В монгольском языке (никогда низший разряд не читается раньше высшего.

В начале XVIII века монголы употребляли числа 64 разрядов, каждое со своим названием. В этой связи напомним слова знаменитого древнегреческого математика Архимеда, что можно назвать, написать число, большее, чем количество песчинок на земном шаре, 1063 или большее, чем число 63 разряда. Оказывается, монголы применяли числа на один разряд больше, чем было указано Архимедом.

Монголы производили вычисления при помощи математической доски (зурхайн самбар), на которой был насыпан песок; этот метод решения вполне удовлетворял повседневную потребность монголов. Цифры писались особым пером с металлическим наконечником длиною 32 см. При решении все вспомогательные цифры последовательно стирались, и на доске оставался лишь ответ.

Во второй главе излагается монгольский математический способ вычисления, т. е. 4 действия и аннулирование.

В седой древности монголы решали задачи и примеры на математической доске способом, который назывался «зурхай» (математические вычисления). «Зурхай» включал в себе четыре арифметических действия и очень своеобразные способы, называемые «Ес арилгах» (аннулирование девятки), «Хорин долоо арилгах» (аннулирование двадцати семи) и «Жиран долоо арилгах» (аннулирование шестидесяти семи). Практика «аннулирования» дает большие навыки в усвоении таблицы умножения.

Характерной чертой «аннулирования девятки» является умножение чисел: 123 456 789 на одно из натуральных чисел: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 и обратное действие, при помощи которого находят первоначальное (данное) число. Это делается девятью способами, каждый из которых называется «аннулированием девятки». Аналогично выполняется действие аннулирования чисел 27, 67 и т. д.

В третьей главе излагается вопрос «об измерении величин». Сведения о системе мер, употреблявшихся в Монголии с древних времен, имеются в монгольских математических и астрономических рукописях, летописях, различных словарях и в работах наших и зарубежных ученых.

Монгольский народ выработал свою собственную самостоятельную метрологию и тем самым сделал первый шаг к созданию своей математики.

Основные монгольские единицы мер: мера длины — алд; мера веса — жин; мера объема — суулга; мера площади — дорволжин алд; мера времени — хоног.

Автор систематизировал единицы мер длины, бывшие раньше в употреблении у монголов, а в некоторых случаях и поныне употребляемые в аратском -обиходе, и разделил единицы измерения длины на следующие группы:

а) мелкие длины,

б) средние длины.,

в) крупные длины.

С древних Бремен в Монголии были как свои, так и заимствованные у других народов меры веса, жидкостей, сыпучих тел. В Монголки до Народной революции (1921 г.) и на первых порах после революции (1921—1932 гг.) пользовались (монгольскими и китайскими мерами веса.

В мелкой торговле была единица веса «чимх будаа» (щепотка зерен), равная примерно 4,1 г, а самыми крупными мерами веса были: «ин» (119,36 кг), «дан» (59,68 кг), «жин» (596,82 г), «лан» (37,3 г). Для измерения сыпучих тел применялись разные посуды: «цар» (поднос), «хувин» (ведро), «тулам» (бурдюк), «шуудай» (мешок), «богц» (седельная кобура), «хуудий» (небольшой мешок), «сав»(любой мешок), «алчуур» и «ваадан» (сверток), «хормой» (охапка), «араг» (корзина), «хайрцаг» (ящик) и др.

Единицей измерения площадей у монголов был «гонзгой дорволжин» — прямоугольник с соотношением сторон 2 : 1, а половина этого прямоугольника называлась «уудэн ам» или «тэг дорволжин» (квадрат). Кроме того, для измерения площади применялись еще 17 различных единиц (см. в диссертации табл. 12). Для измерения больших земельных участков использовались единицы: «урэ» (0,0992 га), «хувиар» (9,92 га).

Реформа была проведена только после провозглашения МНР. С 1 января 1924 г. старые монгольские меры были заменены новыми: «жин» (0,6 кг), «алд» (1,6 м), «дервелжин алд» (2,56 м2) и «суулга» (16,5 л).

Для измерения времени в Монголии с самой седой древности установилась одна основная мера «хоног» (сутки). Монгольский народ каждые 7 суток называет «долоон хоног», что соответствует русской неделе. Дни недели в различные времена у монголов назывались по-разному (см. в диссерт. табл. 13). Сначала употреблялись индийские названия, а теперь пользуются двумя категориями слов: собственно монгольскими и тибетскими. Для обозначения седьмого дня (воскресенья) в старомонгольском языке имелось особое название «хишит едер» (день господен), а в современном — «сайн едер» (хороший день).

«Сар» (месяц) у монголов рассматривался как два полумесяца (по две недели). Первый (второй) полумесяц считали как первую, вторую (третью, четвертую) недели или промежуток времени, когда лунный серп обращен выпуклостью вправо (влево). Установление такой меры времени для наблюдения легче, чем установление семидневной лунной четверти.

«Сар» (месяц) —промежуток времени, в течение которого луна делает один оборот вокруг земли.

Год начинался в первое новолуние после зимнего солнцестояния (февраль — март). Монгольский год состоит из 12 месяцев, но через каждые несколько лет прибавляется 13-й месяц (илуу сар).

На монгольском языке до сих пор употребляются старинные названия месяцев по временам года. Например: «хаварын» (весенний), тэргуун буюу эхин» (первый), «дунд» (средний), «адаг буюу суул» (последний) и т. д. (см. в диссерт. табл. 14).

Кроме того, существуют еще следующие единицы времени: «уе» (эра), «зуун» (век).

Единицей измерения времени служит «мөч» (24 минуты). Сутки равны 60 мэчам. Вместе с тем сутки делятся на 22 отрезка. Продолжительность дня и ночи (в мөчах) различается по временам года (см. в диссерт. табл. 15).

Надо отметить, что некоторые меры времени и углов у монголов построены на основании 60.

В быту для определения суточного времени монголы пользовались также понятиями юрты, освещенной солнцем, и расширенного зрачка у кошки. Часы обозначались не именами числительными, а названиями двенадцати животных.

Суровый зимний период монголы называют «есон ес» (девятью девять) (81 сутки). Этот период подразделяется на 3 группы по 9 суток, каждая из которых имеет свое название: «юные три девятки», «задорные три девятки», «преклонные три девятки».

Для исчисления времени в обиходе монголов применялся двеиадцатилетний цикл. Каждый входящий в этот цикл год обозначался названием животного: «хулгана» (мышь), «ухэр» (бык), «бар» (тигр), «туулай» (заяц), «луу» (дракон), «могой» (змея), «морь» (лошадь), «хонь» (овца), «бич» (обезьяна), «тахиа» (курица), «нохой» (собака), «гахай» (свинья).

Изучая устные предания и письменные источники, мы узнаем о денежном счете и о денежных единицах старой Монголии. Монгольский народ в прошлом оценивал вещи не деньгами, а шкурами, мясом скота и зверей, скотом, чаем и хадагом (кусок шелковой ткани), которые и выполняли функции денег. Одним из ходких предметов обмена, заменявших деньги, являлся скот. Денежными единицами были «морь» (конь), «гуу» (кобыла), «хонь» (баран), «төлег» (яловая овца), «эр ухэр» (бык-кастрат), «унээ» (корова), «атан тэмээ» (верблюд), «инге» (верблюдица), «эр ямаа» (козел), «зм ямаа» (коза), причем на ценности отражался также и возраст животного. Таким образом скот у монголов был не только «натура», но и деньги. В домашнем хозяйстве единицей обмена служил чай. Курс денег зависел от курса стоимости чая. Не менее важное значение имели хадаг, табаки, далимба (кусок хлотгчато-бумажной ткани длиной 3,5 м) и др.

Из трех нам известных денежных систем старой Монголии: денег — скота, денег — мехов, металлических денег — серебряных украшений-вещей, одновременно обращавшихся среди населения, первые две постепенно исчезли, уступив место третьей.

До начала XIX века в Монголии обращались русские — золотые и серебряные и китайские серебряные монеты. В связи с этим в ряде китайских городов богатыми китайскими купцами специально изготовлялись фальшивые китайские деньги, которые и завозились в Монголию с целью причинить ущерб монгольскому хозяйству.

В XV веке серебро было на 10% дешевле золота, а в XIX веке—на 35—40%.

До Народной революции Монголия была экономически отсталой страной, изнывавшей под гнетом иностранных государств. Она не имела собственной денежной единицы, и в ее пределах обращались китайские, русские, английские, американские и другие монеты.

После победы Народной революции, народное правительство МНР вынесло в 1926 г. решение о введении национальных банкнот и о реорганизации деятельности монгольского промышленного банка. С 1925 г. были введены монгольские деньги: «тегрвг» (круглый) и монго (серебро).

В IV главе даются сведения о дробных числах. Дробные числа возникли в Монголии в глубокой древности в связи с требованиями жизни. Рассматривая монгольские рукописи, можно сделать вывод, что уже при первобытно-общинном строе в Монголии существовало понятие о дробях. Это объяснялась, видимо, тем, что в те времена люди охотились или трудились коллективно и добычу или приплод им приходилось делить на части; деление вещей на выбранную единицу и привело к понятию дроби. Другой причиной возникновения дробных чисел явилась потребность людей в измерении различных величин в выбранных единицах.

В быту монголов издавна применялись «хувь» (доля), как единичная дробь, и дроби общего вида, причем названия долей брались из названий порядковых числительных.

Монгольский народ сначала имел дело с долями, а позднее перешел к понятию суммы равных долей, что и представляет сабой обыкновенную дробь.

Систематические дроби появились в форме шестидесятичных,, поскольку число 60 имело особое значение в монгольском исчислении времени. Например, монгольское летоисчисление, введенное в 1027 году, имело шестидесятиричный цикл, т. е. оно было составлено на основе систематической дроби, знаменателем которой служит число 60 в n-й степени.

Из дробей в Монголии преимущественно употреблялись дроби с числителем, равным единице, и знаменателем 2, 4, 8, 16, 3, 5, 7Г 6, 12, 60, т. е. V2, V4, Ve, Vie, Vs, Vs, Vt, Ve, V12, Veo.

Заслуживает также внимания способ чтения дробей. Если в русском языке сначала читается числитель, а затем знаменатель, то по-монгольски — наоборот. Чтение дробей начиная со знаменателя удобнее для понимания. Запись смешанных чисел в далеком прошлом производилась так: сначала указывалось целое число, лотом знак «X» и внизу словами — название дроби. Например: 372 писалось так:*^- =3V2.

В десятичных дробях — вместо запятой, отделяющей целое число, ставилось слово

(и), например:

В V главе изложены монгольские народные устные загадки и задачи. Наши предки создали монгольскую математику во время утренней зари истории нашего народа и развивали ее на благо молодому поколению.

Монгольский народ, как и другие народы мира, для развития мышления и проверки талантов подрастающего поколения создал множество задач и загадок, решение и разгадка которых требуют острого ума и быстрой сообразительности.

В народной математике Монголии главное место занимают устные задачи, хранителем которых является старшее поколение.

В бытность мою студентом я очень заинтересовался этим разделом народной математики Монголии и с 1942 г. собрал около (250 задач из народного фонда математики. Из этих 250 задач я поместил в данную главу 100 задач и загадок. Из «их 54 задачи уже опубликовано в 1961 г. в моей работе «Народные задачи и монгольский зурхай». Для сбора этих задач и загадок я побывал в районах Архангай, Сухэ-Батор, Чойбалсан, Баян-Олгий, Улан-Батор и побеседовал с 38 стариками-аратами, членами сельхозобъединений и скотоводами.

Кроме того, для сбора народных задач мною был создан кружок из 120 учащихся средней школы и студентов, которые оказали мне огромную помощь в сборе этого материала. И, наконец, я с той же целью вел переписку с учителями математики окраинных районов Монголии.

За участие в сборе данного материала я очень благодарен: 83-летнему старцу т. Буяну из Сухэ-Баторского аймака, 54-летнему скотоводу Дорлиг, жителю г. Улан-Батора, гражданину Х. Бор — «члену объединения «Унэн», Тонхил сумана Говь-Алтайского аймака, ученице десятилетки № 2 г. Улан-Батор Ч. Оюунбилэг, студенту МГПИ Жамьянхорлоо, зурхайч — Доржжанцан и ряду других товарищей.

Некоторые из этих задач и загадок очень сходны с русскими, например: задача о «перстне» (см. в книге Г. И. Греголи «Фокусы», 1940 г.), и с китайскими задачами, например: задача о «количестве животных в клетке», составленная Кин Чангом 2600 л. д. н. э. Есть также задачи, аналогичные египетским задачам, например: задача о «хау», и греческим, например: задача о «возрасте Диофанта» и т. д.

Все это говорит о том, что монгольский народ с давних времен имел культурные связи с другими народами мира.

В конце данной главы я дал ответы на эти задачи, за исключением задач № 8, 16, 24, 25, 43, 47, 49, 65.

Среди указанных народных задач и загадок имеется ряд противоречивых и трудно объяснимых, но большинство из них имеет определенное решение, и они весьма поучительны.

Вторая часть диссертации состоит из шести глав.

I. Общая характеристика.

II. Астрономия, как основная физико-математическая дисциплина, потребовавшая развития математики.

III. Арифметика, как она представлена в рукописях и в первоначальных работах.

IV. Геометрия на задачах, какие встречаются в рукописях и в первых печатных работах.

V. Тригонометрия, как она представлена в зурхай.

VI. Сложные задачи, их решение методом явного и скрытого уравнения.

В I главе дается краткая характеристика связей монгольских ученых с учеными других стран и раскрывается содержание понятия зурхай, которое включает астрологию, астрономию, 'математику и математические вычисления.

Так как в древние времена математика служила основой астрономии, то монгольские астрономические и астрологические работы могут оказать существенную помощь в изучении истории развития монгольской математики.

В последнее время «зурхай» делят на два вида: «зурхайн тоо» (зурхайское число), содержащий методы математических вычислений, и «зурхай» (астрономические вычисления).

Во II главе даются сведения о строении вселенной по сохранившимся преданиям и по рукописи «Замбутивийн асуудал» (вопросы вселенной), а также некоторые сведения по астрономии и ориентировке на местности.

Автор подробно остановился на календарях — устном и письменном. Хотя письменных календарей много (они хранятся в библиотеке Института востоковедения в Ленинграде), автор проанализировал для примера календарь «Тумэн оны лит» (устный календарь на 10000 лет), составленый ученым Гушлинга в 1662 г. на 133 года, так как все другие календари составлены аналогично.

В III главе изложены, на основании рукописей «Колыбель древних мудрецов» и «Запись задач», сведения о развитии в Монголии арифметики — различные методы вычислений, способы решения задач общего типа, на проценты, на налоговые сборы и путем дополнения недостающих вещей.

В рукописи «Колыбель древних мудрецов» в весьма сокращенном виде даются правила решения основных действий, а о методе математических вычислений говорится в рукописи «Запись задач».

Монгольские математики для решения любой задачи пользовались своеобразными методами. Особенность их требования заключается в том, что для решения задачи необходимо знать:

1) «Эх тоо» —число «мать», т. е. даное число в задаче, например, цену приобретаемой вещи и т. д.;

2) «Хуу тоо» — число «сын», т. е. число, которое нужно найти, например, количество приобретаемых вещей;

3) единицы измерения;

4) владеть искусством вычислений.

Задачи группировались по типам, и для каждого типа давались соответствующие правила.

Кроме того, даются монгольские цифры и запись чисел. «Вычисление при помощи взаимосвязанных величин», рукопись «Колыбель древних мудрецов» и другие математические документы, относящиеся к XVII—XVIII вв., дают возможность выяснить некоторые особенности монгольской записи чисел при вычислениях. В начале XVII века у монголов числа записывались тремя способами:

а) словами «Нэг зуун тавин зургаа» (сто пятьдесят шесть);

б) перечислением цифр по порядку их расположения, слева направо: «Нэг доров хоер зургаа долоо, хоер» (один четыре два шесть семь два) = 142672;

в) значением восьми нитей (тригонометрических линий) было-написано в таблицах цифрами J *4L s =142672).

Отсюда можно сделать вывод, что монголы в математических и астрономических записях в конце XVI века уже применяли цифры, а в XVII—XVIII вв. имели развитую запись и даже производили действия над числами, записанными в позиционной системе. Следовательно, монголы применяли знаки-цифры весьма рано.

Для обозначения мер времени и углов не было особых знаков, наименования писались словами. Знаков действий (сложения, вы-

читания, умножнеия и деления) при вычислениях нет, а дается готозый ответ, так как вычисления осуществляли на инструменте.

Таким образом, установить, как производилось действие, в старомонгольских математических сочинениях очень трудно, но это дошло до нас в народных преданиях (см. ч. I).

В конце XVII — начале XVIII века монголы уже пользовались дробными числами, у которых числитель равен единице, а знаменатель—2, 4, 8, 16, 3, 5, 7, 6, 12, 60, 602, 10n, причем эти дробные числа записывались словами. В некоторых задачах обнаруживаются десятичные дроби, которые явно и отчетливо показывают, что в древние времена в Монголии были высоко развиты вычисления десятичными дробями, записанными как целые числа. При вычислении дробные числа округляются, и если последняя цифра пять или меньше пяти, то она отбрасывается и заменяется нулем.

В IV главе, на основании рукописи «Запись задач» и ксилографа «Вычисление при помощи взаимосвязанных величин», автор дает некоторые сведения по геометрии.

Монгольские математики при обозначении геометрических фигур не пользовались, как теперь, буквами того или иного алфавита, а применяли целые слова, обозначавшие пять основных цветов — два слова, одно мужского и одно женского рода, для обозначения каждого цвета, т. е. всего десять слов. Эти основные цвета означали также 5 элементов вселенной.

Установлено, что геометрическая точка, точка пересечения линии и отрезок прямой обозначались словом основного цвета, всякую кривую или прямую линии обозначали двумя словами, угол обозначали или одним словом или тремя словами, а треугольники — прямоугольные и сферические — обозначались тремя словами.

Далее автор дает способы решения ряда древнемонгольских геометрических задач на вычисление площадей различных фигур: прямоугольника (удлиненного), квадрата (бубонного), треугольника (угольного), круга (круглого), неправильного четырехугольника (кособубонного) и так называемых зубообразных, рогообразных и др. фигур.

Кроме юго, приведено решение задач о числе монет, расставленных в виде треугольника, круга, квадрата.

Подготовка материала для этого раздела потребовала больших усилий, надо было найти способ, каким решается та или иная задача, а затем составить правила решения, так как в рукописях даются только ответы.

В V главе дается систематическое изложение о тригонеметрии.

Хотя у монголов не было термина «тригонеметрия», уровень знаний в этой области был высок.

«Найман утаены бодорол бичиг» (Запись о теории восьми нитей) объясняется в тетради № 2 (папка № 5) книги «Вычисление при помощи взаимосвязанных величин». В этой тетради изложены первоначальные сведения о тригонометрической функции и приме-

нении теории восьми нитей при вычислении тригонометрических и астрономических задач. Что такое «восемь нитей»? Сюда входят:

1. Две нити, называемые центральной и дополняющей хордами, т. е. синус и косинус;

2. Две нити, называемые центральным и дополняющим направлениями, т. е. косинус верзус, синус верзус;

3. Две нити, называемые центральной касательной (тангенс) и центральной секущей (котангенс);

4. Две нити, называемые дополняющей касательной (секанс) и дополняющей секущей (косеканс).

Каждая точка, лежащая на окружности, соответствует определенным восьми нитям, а каждая нить — это отрезок прямой, находящийся на одной из четвертей окружности. Каждая из 8 нитей соответствует также определенной части дуги.

Решение задач с помощью восьми нитей производится следующими тремя способами:

1) способом сравнения;

2) способом ориентировки;

3) способом настигания.

Эта ксилографированная тетрадь резко отличается от других своею самобытностью. Она состоит в основном из двух схем вычислений:

1) дает подробную таблицу восьми нитей и краткое объяснение их применения;

2) разъясняет способ нахождения величин сравнением на основе теории восьми нитей.

Значения «Тов чиг» (синус верзус) и «Олгуу чиг» (косинус верзус) не вошли в таблицы тригонометрических линий.

Все указанные выше тригонометрические величины даны для круга радиусом 100 000. В записях даются подробно объясненные правила пользования таблицами, сопровождаемые примерами.

Кроме того, в этой же тетради приводятся два случая решения прямоугольных треугольников:

а) нахождение катета по гипотенузе и другому катету (здесь рассмотрены два случая);

б) нахождение гипотенузы по двум катетам.

Решение косоугольных треугольников сводилось к решению прямоугольных треугольников. При их решении встречались и остальные два случая решения треугольников, т. е. нахождение катетов по гипотенузе и острому углу и гипотенузы по катету и одному из углов.

Во всех математических вопросах явно фигурирует функциональная зависимость, и, хотя термин «функция» нигде не упоминается, все задачи содержат взаимосвязанные величины.

Монгольские математики знали два способа задания функции: табличный и графический (широта, долгота солнца, луны).

В конце диссертации показано зарождение алгебры и приведены задачи, которые требовали некоторого знания алгебры.

Из изложенного видно, что уже в древности монголы были знакомы с математикой. При этом я убежден, что уровень их знаний математики был гораздо выше, чем это установлено нашим первым изысканием, так как изучены еще далеко не все математические монгольские рукописи, а часть материалов, очевидно, погибла во время войн между феодалами, часть же еще не обнаружена.

Я считаю, что выполненная мной работа это только начало соответствующих исследований по углубленному изучению монгольских рукописей и ксилолрафов. Такое изучение автором будет продолжено с привлечением к этому делу молодых монгольских специалистов-математиков.

Автор надеется, что материал, собранный им из устных народных преданий и разработанный по целому ряду исторических источников, внесет несомненный — пусть небольшой — вклад в дальнейшее изучение истории математики в Монголии, окажет помощь ученым-монголоведам и принесет пользу учителям математики Монгольской Народной Республики.

A 78315 от 15/XII—61 г. Зак. 3428. Тираж 200

Типография, пр. Сапунова, 2.