АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

К. С. БАРЫБИН

МЕТОДЫ СИММЕТРИИ И ОДНОРОДНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Москва 1956

Явления симметрии, наблюдаемые в природе и технике, были отражены сначала в теории геометрических образов, а позже — в высшей алгебре в виде теории симметрических функций и их приложений.

Но в элементарной алгебре вопросу о симметрии уделено очень мало внимания.

Так же мало внимания уделено в элементарной алгебре и вопросу об однородности. Между тем все метрические соотношения в геометрии однородны и потому в тех случаях, когда алгебра применяется к решению вопросов геометрии, приходится иметь дело с однородными выражениями.

Симметрия и однородность имеют большое значение при решении систем нелинейных уравнений.

Изучению систем квадратных уравнений в VIII классе по программе 1955 г. отводится 18 часов, а в дальнейшем решение многих задач по алгебре и геометрии приводится к решению таких систем.

В учебниках элементарной алгебры для средних учебных заведений говорится, что решение системы двух квадратных уравнений с двумя неизвестными в общем случае приводится к решению полного уравнений 4-й степени, и что поэтому рассматриваются только частные случаи решения таких систем, в числе которых имеются системы симметрических и однородных уравнений. При этом системы, для которых можно указать общие приемы решения, решаются различными способами и применение их ничем не обосновывается; признака, на основании которого можно выбрать способ решения, не приводится, системы не классифицируются. Часто встает вопрос: «почему система решена так, а не иначе?».

Соответственно строится и преподавание темы в школе: сначала знакомят с решением способом подстановки, а затем переходят к искусственным приемам. Признака, на основании которого можно выбрать способ решения системы, учащиеся не получают, у них часто создается впечатление, что каждый раз надо догадываться, как решать, и придумывать способ решения. Поэтому учащиеся, когда способ подстановки не приводит к цели, часто не находят решения.

Между тем имеется полная возможность, после изучения решения системы квадратных уравнений способом подстановки и простейших замен, выделить из числа систем, не решаемых подстановкой, два обширных класса систем, содержащих симметрические и однородные уравнения, и дать для них определенные методы решения, при чем это выполняется на основании внешнего вида уравнений системы, так что учащиеся могут сразу отличить один класс систем от другого.

В основание изучения симметрических и однородных систем нами положены следующие установки:

Учащиеся должны уметь решать: 1) способом подстановки систему двух уравнений, из которых одно линейное; 2) способом подстановки систему двух квадратных уравнений, когда выводное уравнение разрешимо элементарно; 3) способами подстановки и замены систему двух уравнений, содержащих дробные выражения от неизвестных, которая приводится к одной из систем, перечисленным в рубриках 1 и 2.

После этого следует приступить к изложению двух обширных классов нелинейных систем: симметрических и однородных.

Цель здесь следующая: поскольку нельзя найти пригодный для школы общий метод решения всех нелинейных систем, надо указать общие методы решения для наиболее часто встречающихся классов систем.

Опыт работы показывает, что при такой постановке преподавания значительно увеличивается число систем уравнений, доступных для учащихся.

Не следует опасаться вводить в школу термины «однородность» и «симметрия»; они воспринимаются легко и дают твердое основание для решения ряда вопросов.

Внесение в школу понятия однородности, повидимому, не вызывает возражений; этот термин имеется и в «Сборнике задач по алгебре» П. А. Ларичева.

В отношении понятия симметричности дело обстоит так: практика, а именно наличие в задачниках задач на теорему Виета, решение которых связано с симметрическими функциями корней квадратного уравнения, а также симметрических систем и приводимых к ним задач обязывает искать твердую базу для их решения.

Использование понятия симметричности улучшит преподавание вопросов, связанных с теоремой Виета, даст возможность выделить обширный класс систем и вооружит учащихся методом для их решения.

В учебной литературе встречается термин «метод однородности». Аналогично можно говорить в элементарной алгебре и о «методе симметрии». Под ним в работе понимается метод, состоящий в том, что для решения вопросов алгебры используется симметричность алгебраических выражений.

Для решения поставленной задачи — сделать процесс обучения решения систем квадратных уравнений более сознательным, чем это установилось в традиции, автором было просмотрено большое количество учебной литературы, задачников, периодических изданий и выработана методика преподавания вопросов, связанных с однородностью и симметрией.

В основном решение проблемы свелось к применению свойств однородных и симметрических функций к решению систем нелинейных уравнений. При этом всюду, где это необходимо, обосновывается равносильность систем, получаемых в процессе решения и во многих случаях для иллюстрации используются графики.

Приблизительно три четверти материала, содержащегося в диссертации, может быть использовано при работе в классе.

Этот материал на протяжении 10 последних лет проверялся при работе в школах №№ 255, 248 Дзержинского района г. Москвы.

Диссертация содержит введение, 8 глав и краткое заключение.

Глава I. Теорема Виета

В главе I рассматривается теорема Виета, как первый шаг к изучению симметрии в элементарной алгебре, место и объем, занимаемые этой теоремой в программе и учебниках средней школы. Затем делается обзор учебников, которые служили основными гимназическими руководствами по алгебре. Обзор начат с книги Н. И. Фусса «Начальные основания чистой математики» (1814 г.) и продолжен до стабильного учебника А. П. Киселева «Алгебра» (1953 г.).

После этого рассматривается методика преподавания теоремы Виета. При этом дается анализ различных способов доказательства этой теоремы и делается вывод, что доказательство, данное в стабильном учебнике алгебры А. П. Киселева (оно приводится и в большинстве других учебников), наиболее приемлемо. Главное внимание обращается на то, чтобы дать критерий ее применимости в отдельных случаях и подобрать соответствующие упражнения на теорему Виета, имеющие целью выработать навыки, которые понадобятся в дальнейшем.

Для этого изучение теоремы Виета связывается с понятием симметрии. Поскольку это понятие для учащихся новое, вводится определение:

«Выражение называется симметрическим, если числовое значение его не меняется при любой перестановке входящих в него букв».

После этого даются упражнения, цель которых — научить учащихся отличать симметрическое выражение от несиммет-

рического, и в заключение указывается, что сумма и произведение корней квадратного уравнения — выражения, симметричные относительно этих корней.

При этом встает вопрос о возможности выразить в зависимости от суммы и произведения корней квадратного уравнения всякое выражение, симметричное относительно этих корней. Как известно, этот вопрос решается в высшей алгебре, но доказательство выходит за пределы программы средней школы. Поэтому в работе он не ставится во всей общности, а лишь иллюстрируется на примерах. Подбираются упражнения, в которых, во-первых, показывается, что в результате выполнения действий над симметрическими выражениями получается симметрическое выражение, и затем даются упражнения на то, чтобы из выражения, симметричного относительно Х\ и х2у выделить выражения Х\ -\- х2 и Х\Х2, называемые основными симметрическими выражениями.

Эти упражнения подготовляют учащихся к упражнениям на теорему Виета и, кроме того, вырабатывают навык, который в дальнейшем найдет применение при решении системы симметрических уравнений.

Глава II. Приложения теоремы Виета

В главе II приводятся различные упражнения, в которых находит применение теорема Виета, и устанавливается методика их решения. В VIII классе предлагаются упражнения:

1) на составление квадратного уравнения по данным корням его;

2) на нахождение числовых значений выражений, симметричных относительно корней квадратного уравнения;

3) на применение теоремы Виета к задачам на доказательство;

4) на исследование знаков корней квадратного уравнения.

В X классе теорема Виета находит применение при исследовании задач с параметрическими данными и при составлении квадратных неравенств по данным условиям.

Важную роль играют упражнения рубрики 2, так как они дают возможность: 1) выработать навык представления симметрического выражения в зависимости от основных симметрических выражений; 2) убедить, хотя бы на примерах, что всякое симметрическое выражение может быть так представлено.

Известно, какое большое значение для развития логического мышления учащихся имеют задачи на доказательство. В большинстве случаев задачам на доказательство в школьной практике, даже на уроках геометрии, уделяется недостаточно времени. Обоснование решения геометрической задачи часто ведется учащимися неудовлетворительно. Еще менее уделяют внимание в школе алгебраическим задачам на доказа-

тельство. Упражнения на применение теоремы Виета могут отчасти восполнить этот пробел, так как с ее помощью можно решить много задач на доказательство, вполне пригодных для работы в классе. В главе II приводится ряд таких задач.

В § 4 главы II рассматривается вопрос об исследовании знаков корней квадратного уравнения и решений задач с параметрическими данными, приводящих к квадратным уравнениям. На анализе задач, взятых из «Сборника задач по алгебре», ч. II, П. А. Ларичева, показывается, что в VIII и X классах при исследовании решений задач с параметрическими данными целесообразно применять теорему Виета.

В заключение в § 5 приводится метод получения результанта системы двух квадратных уравнений с двумя неизвестными при помощи теоремы Виета.

Глава III. Системы однородных уравнений

В этой главе вводятся понятие измерения алгебраического выражения и понятие однородности. Эти понятия можно использовать для качественной проверки решения: первое в геометрических задачах на вычисление с буквенными данными, второе при выполнении действий над однородными выражениями.

Затем дается определение однородного уравнения и начинается систематическое рассмотрение систем, содержащих однородные уравнения.

Основное внимание сосредоточено на системах двух квадратных уравнений с двумя неизвестными.

Сначала рассматриваются из них такие, в которых одно уравнение однородное, а другое любое квадратное уравнение с двумя неизвестными. Если решить однородное квадратное уравнение с двумя неизвестными относительно одного из них, то оно в общем случае распадается на два линейных уравнения, а потому и система двух квадратных уравнений в этом случае распадется на две системы, каждая из которых состоит из одного линейного и одного квадратного уравнения.

Наряду с этим приемом вводится замена у = kx, что сводится к тому же.

Затем следует решение системы двух квадратных уравнений, левые части которых — однородные многочлены второго измерения, а правые — содержат только свободные члены. Для решения этих систем исключают свободные члены в уравнениях системы и получают квадратное однородное уравнение, которое вместе с одним из уравнений данной системы составит новую систему, равносильную данной системе. Полученная же система имеет вид системы, в которой одно уравнение однородное.

Наряду с этим приемом вводится замена у = kx.

Затем рассматриваются различные варианты решения систем, содержащих уравнения, левые части которых имеют одно измерение, а правые другое.

Глава IV. Системы симметрических уравнений с двумя неизвестными

В главе IV рассматривается решение нелинейных симметрических систем двух уравнений с двумя неизвестными. Сначала делается краткий обзор учебной литературы по алгебре, в котором освещается состояние вопроса о симметрических системах и отмечается, что во многих учебниках алгебры в большом числе представлены симметрические системы, но общего метода решения их не дается. Для решения симметрических систем в книге «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач для гимназий» Л. Малинина и К. Буренина (1870 г.) была предложена (в русской литературе, повидимому, впервые) замена х + у = и, ху = v. Анализ учебников и задачников показывает, что симметрические системы, как правило, относят к системам, решаемым искусственно, в большинстве случаев с помощью различных преобразований уравнений. Поэтому целесообразно выделить обширный класс систем симметрических уравнений и, по возможности, установить общие и в то же время наиболее естественные способы их решения.

В данной главе вводятся два следующих определения:

1. Уравнение называется симметрическим, если оно не меняется при любой перестановке неизвестных, т. е. если при этом каждая часть уравнения переходит в тождественное ей выражение.

2. Система называется симметрической, если все уравнения системы симметрические.

После этого рассматривается решение симметрической системы двух квадратных уравнений с двумя неизвестными и делается заключение, что оно сводится в общем случае к решению систем вида х + у = а, ху — Ь. Последняя система называется основной симметрической системой. После этого делается заключение, что всякая симметрическая система двух квадратных уравнений с двумя неизвестными в общем случае распадается на основные симметрические системы.

В классе изучение симметрических систем уравнений целесообразно начать с решения задачи, приводящей к системе симметрических уравнений. Получив симметрическую систему, следует ввести определения: 1) симметрического уравнения; 2) симметрической системы; 3) основной симметрической системы.

Решение симметрических систем уравнений начинается с решения основной симметрической системы х + у = а, ху = Ь~

Решая эту систему способом подстановки, получаем выводное уравнение х2 — ах + b = о (или у2 — ау + Ь = о). Здесь целесообразно установить, что, если сумма двух чисел х и у равна числу а, а произведение равно числу Ь, то х и у — корни уравнения z2 — az + b = о, т. е. сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета. Затем переходят к решению симметрических систем в порядке нарастания трудности.

Сначала используется способ выделения выражений х + у и ху с дальнейшей необязательной заменой неизвестных посредством равенств х + У = и, ху = v. Так как этот метод применялся в школьной практике, то в работе многие системы взяты из «Сборника задач по алгебре», ч. II, П. А. Ларичева, в котором имеется хороший набор нетрудных симметрических систем. В диссертации наряду с употреблением замены X -\-у = и и ху = V многие из систем решаются непосредственно относительно х + У и ху, что несколько ускоряет процесс решения.

После этого рассматривается решение этих систем с помощью замены х = w + v> У ~и — v- Существо ее заключается в том, что симметрическое квадратное уравнение с двумя неизвестными х и у можно выразить в зависимости от х + у и ху, но так как при указанной новой замене х + у = 2и, а ху = и2 — v2, то в этом случае уравнения системы будут содержать только и2, и и v2, а последнее неизвестное легко исключить, после чего и получается выводное уравнение, содержащее только одно известное и. В главе IV решение симметрических систем с помощью этой замены рассматривается на различных примерах, а затем делается сравнение способов: 1 ) выделения выражений х + у и ху; 2) замены х = и + v, y = u — v.

В заключение приводятся результаты контрольных работ и делается вывод, что в школьной практике для решения симметрических систем двух квадратных уравнений замена X = и + v, у — и — v наиболее приемлема.

Кроме симметрических систем двух квадратных уравнений с двумя неизвестными, в данной главе решаются симметрические системы уравнений с двумя неизвестными, из которых хотя бы одно имеет степень выше второй. При этом в большинстве случаев решение ведется параллельно: 1) способом выделения суммы и произведения неизвестных с дальнейшей возможною заменою х -\- у = и, ху = v\ 2) с помощью замены X = и + v, у= и — V.

В последнем случае решение с помощью замены х = и + v, у = и — v отличается простотою и естественностью, но степень выводного уравнения может оказаться выше второй, между тем способ выделения суммы и произведения неизвестных дает возможность избегнуть решения выводных уравнений степени выше второй; поэтому замена х = и-\- v и у = и — v для ре-

шения симметрических систем уравнений, из которых хотя бы одно степени выше второй, приемлема только для X класса.

В конце главы рассматривается решение задач с параметрическими данными, приводящих к решению симметрических систем квадратных уравнений с двумя неизвестными.

Глава V. Частные случаи симметрии системы уравнений; варианты замен

В главе V продолжается изучение решения некоторых систем квадратных уравнений, которые можно рассматривать как частные случаи симметрических систем.

В первую очередь приводятся системы уравнений, симметричных относительно х и — у. Это значительно расширяет область применения метода симметрии. Такие системы, аналогично предыдущему, после выделения выражений х — у и ху распадаются на системы вида х — у = а, ху = Ь.

После этого дается методика решения систем уравнений, симметричных относительно х и —у; особое внимание уделяется новой замене х = и + V, у = и — v и делаются выводы, аналогичные выводам, полученным в главе IV.

Затем в § 2 рассматриваются системы квадратных уравнений с двумя неизвестными, в которых одно уравнение системы получается из другого с помощью перестановки неизвестных и делается вывод, что после вычитания одного уравнения из другого и разложения левой части выводного уравнения на множители такая система в общем случае распадается на две системы, в каждой из которых одно из уравнений линейное, после чего обе системы легко решаются. Удобство предложенного метода иллюстрируется на различных примерах.

В конце главы рассматриваются варианты основных замен, с помощью которых в главах IV и V решались симметрические системы. Эти замены приходится вводить чаще всего, когда в систему входят иррациональные уравнения, а в некоторых случаях их применяют, чтобы получить выводное уравнение более низкой степени.

Глава VI. Симметрия, когда переменных больше двух

В отличие от предыдущих глав, в главе VI излагается материал преимущественно внепрограммный, предназначенный для внеклассной работы. Вначале рассматривается теорема Виета для алгебраического уравнения дг-ой степени; в практике можно ограничиться доказательством этой теоремы для кубического уравнения. Для закрепления проделывается ряд упражнений на применение теоремы Виета.

Упражнения и навыки, вырабатываемые ими, служат вспомогательным средством для решения основного вопроса: облегчить решение симметрических систем уравнений с тремя неизвестными, из которых хотя бы два нелинейные. С помощью этих навыков всякую такую систему уравнений после выделения основных симметрических выражений удается свести к системе вида х + у + z = а, ху + yz + zx = b, xyz = с, после чего по теореме, обратной теореме Виета, получают выводное уравнение и3 — au2 -{-bu — с — о, решив которое находят системы значений неизвестных х, у, z.

Таких систем в задачниках встречается незначительное число, но многие геометрические задачи приводятся к решению систем нелинейных уравнений с тремя неизвестными и именно симметрических.

Глава VII. Циклическая симметрия

В начале главы VII рассматривается циклическая (круговая) перестановка переменных х, у, г и параметров а, Ь, с, после чего вводится определение алгебраического выражения, циклически-симметричного относительно нескольких букв, как такого, которое переходит в тождественное ему при любых циклических перестановках этих букв.

Для того, чтобы ознакомить учащихся с циклической симметрией, надо проделать с ними ряд упражнений, имеющих целью: 1) научить делать циклическую перестановку; 2) умея делать циклическую перестановку, составлять циклически-симметричные выражения. Большой материал для этого дают алгебраические задачи с геометрическим содержанием, так как в геометрии многие формулы симметричны, а чаще циклически-симметричны. Во многих случаях применение циклических перестановок значительно упрощает и ускоряет решение задач. Это иллюстрируется на примерах.

После ознакомления с циклической симметрией вводится определение:

«Система называется циклически-симметричной, если (при рассмотрении уравнений в круговом порядке) каждое уравнение системы получается из другого с помощью циклической перестановки неизвестных и параметров».

В начале главы VII рассматривается решение линейных циклически-симметричных систем с двумя и более неизвестными. Объясняется, что характерной особенностью их решения является то, что значения неизвестных получаются одно из другого с помощью циклической перестановки параметров, а это можно использовать как для ускорения решения, так и для контроля его.

После этого в работе делается переход к нелинейным циклически-симметричным системам с тремя неизвестными. Преж-

де всего делается анализ задачников, имеющих сейчас наибольшее распространение, из которого видно, что эти системы имеются в них в значительном числе.

Для систем уравнений, в которых каждое уравнение получается из другого с помощью циклической перестановки одних только неизвестных, дается определенный метод решения. Эти системы, аналогично системам уравнений с двумя неизвестными, помещенным в § 2 главы V, распадаются на несколько систем, что показывается на ряде примеров.

Затем рассматриваются нелинейные циклически-симметричные системы, в каждой из которых одно уравнение системы получается из другого с помощью циклической перестановки и неизвестных, и параметров. На примерах показан прием получения выводного уравнения, симметричного относительно всех неизвестных системы и содержащего выражение, относительно которого можно решить уравнение. В простых случаях это быстро приводит к цели, а в более сложных приходится данную систему сводить к более простой, для которой можно получить нужное выводное уравнение (при этом в работе не утверждается, что этот прием всегда ведет к цели).

Кроме того, в главе VII указаны задачи, решение которых приводится к решению циклически-симметричных систем.

Глава VIII. Действия над симметрическими однородными выражениями

В последней главе рассматриваются сокращенные действия над симметрическими однородными выражениями. В основу операций над ними берутся два положения: 1) результат выполнения действий сложения, вычитания и умножения над однородными выражениями— выражение однородное; 2) результат выполнения тех же действий над симметрическими выражениями — выражение симметрическое. Это дает возможность быстрее находить результат действий над симметрическими однородными выражениями. В данной главе указывается ряд примеров выполнения действий над симметрическими однородными выражениями, в которых используется симметричность и однородность компонентов и результата и делается вывод, что этот метод упрощает действия; при достаточном навыке действия выполняются очень быстро.

В заключение предлагается как минимум для работы в классе:

1) изучение теоремы Виета в связи с симметричностью выражений, содержащих корни квадратного уравнения;

2) применение теоремы Виета к исследованию уравнений и решению алгебраических задач на доказательство;

3) применение понятий измерения и однородности для качественной проверки решения геометрических задач на вычис-

ление (с буквенными данными) и результатов действий над однородными выражениями;

4) решение нелинейных систем с однородными уравнениями;

5) решение нелинейных симметрических систем уравнений с двумя неизвестными; в этом случае учитель может выбрать:

а) метод выделения суммы и произведения неизвестных; тогда рекомендованное в пункте 1-м будет служить для подготовки к применению этого метода;

6) замену х = и-\- v, у — и — v\ тогда упражнения в пункте 1-м помогут ученику видеть симметричность систем;

б) решение частных случаев симметрических систем;

7) решение простейших циклически-симметричных систем.

При этом существенно то, что не надо подбирать специально упражнений и задач, так как нужного материала содержится в школьных задачниках и пособиях больше, чем достаточно, и речь идет только о применении метода решения.

Л 87415 25/1 1956 г._Заказ 86_Тираж 100

Типография изд-ва АПН РСФСР, Москва, Лобковский пер., д. 5/16