АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. И. БАРБУЛ

НАЧАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент И. К. Парно

Москва — 1966

Обучение геометрии вооружает учащихся знаниями, умениями и навыками необходимыми для решения конкретных практических задач в соответствии с требованиями современного производства, развивает их мыслительные способности и творческое воображение. Без соответствующей геометрической подготовки уже на первой ступени обучения в школе невозможно сознательное усвоение таких предметов, как труд, рисование, природоведение, география и др. Поэтому очень важно знакомить учащихся с элементами геометрии, начиная с первого года пребывания их в школе.

Однако вопрос о начальном обучении геометрии1 не нашел еще до настоящего времени должного решения.

Объем геометрического материала, предлагаемый ныне действующей программой для изучения в I—V классах столь незначителен, что он не может оказывать серьезного влияния на геометрическое развитие учащихся. Развитие пространственных представлений, формирование геометрических понятий, приобретение учащимися I—V классов элементарных умений и навыков в черчении и измерении носят, в основном, случайный характер, так как школа не обеспечивает в достаточной мере целенаправленного руководства этим процессом. Преподавание геометрии начинается фактически в VI классе.

В практике работы школы имеет место недооценка возможностей усвоения элементов геометрии учащимися младшего школьного возраста и неоправданно низкое требование к отбору материала для начального обучения. Об этом свидетельствует уже тот факт, что ныне действующая програм-

1 Продолжительность обучения на первой ступени по различным предметам неодинакова. В отличие от других учебных предметов, систематическое изучение которых в настоящее время в нашей школе начинается в V классе, изучение систематического дедуктивного курса геометрии начинается в VI классе. Поэтому мы считаем, что продолжительность начального обучения геометрии в нашей школе составляет 5 лет (I—V классы).

ма предусматривает для знакомства учащихся первого класса геометрический материал в меньшем объеме и менее трудный, чем тот, с которым знакомятся дети в детских садах на 5-м году жизни, согласно «программе воспитания»1.

Не совсем удачен и порядок изучения геометрического материала по ныне действующим программам. Так, лишь в IV классе учащиеся знакомятся с фигурами трех измерений. Это снижает также и уровень обучения геометрии в целом, так как школа лишается возможности использовать предметы реального мира, в котором дети живут, учатся и творят, для формирования у них правильных пространственных представлений. А усвоение геометрических понятий без прочного фундамента пространственного воображения учащихся будет формальным и непрочным.

В настоящее время, в свете новых требований, предъявляемых к школе, продолжаются поиски путей совершенствования содержания и методики начального обучения математике, в частности, геометрии (см. работы профессоров А. И. Маркушевича, А. Н. Колмогорова, Л. В. Занкова, П. А. Компанийца, Н. А. Менчинской, Д. Б. Эльконина). Большая работа по определению содержания курса начального обучения геометрии и методов его изложения проводится различными научно-исследовательскими институтами, научными сотрудниками секторов математики и начального обучения Института общего и политехнического образования АПН РСФСР А. И. Фетисовым, А. Д. Семушиным, К. И. Нешковым, Г. Г. Масловой, М. И. Моро, А. С. Пчелко и др. Немалый вклад в разработку вопросов начального обучения геометрии вносят передовые учителя-практики и методисты.

Поиски новых путей в системе изложения геометрического материала в курсе начального обучения нашли наиболее полное отражение в работе сотрудника сектора математики Института общего и политехнического образования АПН РСФСР А. М. Пышкало «Геометрия в I—IV классах» (М., 1965).

Следует вместе с тем подчеркнуть, что многие вопросы этой сложной проблематики требуют дальнейшего исследования и глубокой экспериментальной проверки.

В частности, ждет своей разработки вопрос о необходимой преемственности между содержанием курса начального обучения геометрии и тем запасом пространственных представлений, умений и навыков, которые дети приобретают из своего жизненного опыта и в процессе воспитания в дошкольных учреждениях. Важно изучить также взаимосвязь:

1 Программа воспитания в детском саду, М., 1964 г.

а) между начальным обучением геометрии и другими разделами школьного курса математики (арифметикой, алгеброй);

б) между начальным обучением геометрии и другими учебными предметами.

Наконец, изменение содержания начального обучения геометрии и специфика психологического развития младшего школьника требует поисков новых методов и приемов обучения, составления специальных пособий и практических рекомендаций для учителя.

Исходя из вышеизложенного диссертант ставил перед собой следующие задачи:

1. Определить содержание и установить последовательность изучения геометрического материала. Выявить экспериментально его доступность и эффективность распределения по годам обучения.

2. Наметить пути систематизации, расширения и углубления того запаса пространственных представлений, умений и навыков, которые приобретаются детьми из жизненного опыта.

3. Наметить пути установления связи между геометрией и другими учебными предметами, обеспечивающие повышение эффективности их изучения.

4. Разработать различные варианты методов изучения отдельных тем курса и на основе экспериментальной проверки выявить наиболее эффективные из них.

Основополагающими в нашем исследовании были труды Маркса, Энгельса, Ленина, а также работы Крупской о воспитании и обучении подрастающего поколения, директивные документы нашей партии о школе, постановления съездов и пленумов ЦК КПСС; руководящие материалы министерства просвещения РСФСР и Молдавской ССР.

Основными методами исследования были:

I. Изучение и анализ литературы по теме исследования:

1) Математической.

2) Педагогической и психологической.

3) Программ по математике:

а) различных школ нашей страны дореволюционного и послереволюционного периодов: б) некоторых зарубежных стран (Франции, Германской Демократической Республики, Польской Народной Республики, Италии).

4) Программ восьмилетней школы по труду, рисованию, географии и природоведению.

5) Программ воспитания в детском саду.

II. Изучение и обобщение передового опыта учителей. (Посещение уроков учителей, участие в работе методических объединений, совещаний).

III. Изучение качества знаний, умений и навыков у учащихся по геометрии и анализ полученных данных.

IV. Педагогический эксперимент.

Первый этап экспериментальной работы проводился в период с 1959 по 1963 гг. За это время экспериментально проверялись на отдельных учениках и группах учеников усвояемость разработанных нами тем курса начального обучения геометрии. Эта работа помогала выявлять доступность новых (по сравнению с ныне действующей программой) тем, уточнять содержание курса и методы его изложения.

В 1964 г. проводился повторный эксперимент. На этот раз проверялась доступность отобранного нами на первом этапе эксперимента материала в условиях обучения всего класса. В ходе повторного эксперимента были выявлены вопросы, связанные с реализацией курса начального обучения, которые требовали дальнейшей доработки.

В 1964—1965 учебном году по разработанному нами плану (утвержденному Министерством просвещения Молдавской ССР) был поставлен широкий эксперимент одновременно в нескольких школах: в одной городской, двух пригородных и одной сельской.

Последний этап эксперимента был организован и проведен в I—V классах школ №№ 27, 31 и 8 г. Кишинева и в Яргаринской средней школе Леовского района. В проведении эксперимента, кроме автора, участвовали учителя Н. Н. Кайрак, Д. Ф. Балабан, Л. С. Гергележиу, Г. В. Гвоздинский, Л. Я. Гринберг, В. П. Нистряну, В. П. Ремаш, Л. З. Маламуд, Л. И. Цэрану и заслуженный учитель Молдавской ССР А. Г. Дроздов.

Структурно диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы по теме исследования и приложения.

Во введении дано обоснование темы, сформулированы основные задачи исследования, раскрыты методы исследования.

Первая глава посвящена анализу начального обучения геометрии в его историческом развитии.

С момента организации первых школ в России начальное обучение геометрии неизменно включается в учебные планы элементарных школ1. Необходимость начального обучения геометрии в элементарных школах была общепризнанной и споров вокруг этого вопроса не возникало.

1 Программы по геометрии для элементарных школ см. диссертацию, стр. 15—20.

Основной целью курсов, предназначенных для этих школ, было привитие учащимся умений и навыков в приложении геометрических знаний к решению практических задач. После окончания элементарной школы учащиеся должны были включиться в производственную деятельность в той или иной отрасли хозяйства.

Курс начального обучения геометрии излагается во многих работах предназначенных для элементарных школ1. Первой такой работой в России является «Краткое руководство по геометрии»2 М. Е. Головина, написанное им по поручению «Комиссии об учреждении училищ» (созданной в 1782 г.).

В средних общеобразовательных учебных заведениях, удельный вес которых в системе народного образования все время возрастал, изучался систематический дедуктивный курс геометрии. Так как этот курс учащимся младшего школьного возраста недоступен, то к его изучению они приступали лишь достигнув 13—14-летнего возраста. Как показал многолетний опыт работы школ, большинством учащихся и в этом возрасте дедуктивный курс геометрии не усваивается3. В поисках причин этого явления часть методистов пришла к выводу, что учащиеся не получают к изучению систематического дедуктивного курса геометрии достаточной подготовки. Геометрическое образование в средних общеобразовательных учебных заведениях можно улучшить, утверждали они, если ввести пропедевтический (подготовительный) курс геометрии. Пропедевтический курс геометрии, по мнению этих методистов, должен был знакомить с основными понятиями, с которыми учащиеся впоследствии встретятся при изучении систематического дедуктивного курса и с логическим его построением (знакомство с теоремой, определением); должен был научить учащихся строгим логическим доказательствам, строгим определениям. Длительное время велся спор вокруг вопроса о необходимости введения в средних общеобразовательных учебных заведениях пропедевтического курса геометрии.

1 Г. А. Демур. Концентрическая геометрия, Киев, 1891; В. П. Корнаков, Краткий практический курс геометрического черчения и землемерия, Спб., 1899; И. В. Попов, Практическая геометрия в задачах, курс одноклассных училищ, Павловск в/Дону, 1909; Ф. Х. Вольф, Практическая геометрия для школ первой ступени, М., Госиздат, 1924; Г. Кемпинский, жизненная геометрия, М., «Работник просвещения», 1925 и др.

2 Полное название этой работы: «Краткое руководство по геометрии издано для народных училищ Российской империи по высочайшему повелению царствующей императрицы Екатерины II», Спб., 1786.

3 См. З. В. Вулих, Приготовительный курс геометрии, Спб., 1873, стр. 2—3. «Труды I ВСПМ», т. 1—2. Спб., 1913, «доклады, читанные на II ВСПМ», М., 1915. Дубнов Я. С, Геометрия в семилетней школе. Известия АПН РСФСР, вып. 6, М., 1946 и др.

Противники введения пропедевтического курса геометрии утверждали, что всякий путь, лавирующий между практическим и теоретическим изложением геометрии, не будет образовательным. Отсюда они делают вывод, что надо выбрать одно из двух «или держаться курса чисто практического, имея в виду сообщить учащимся из геометрии нечто дельное, или держаться курса строго логического в каком бы то ни было малом объеме»1. Если приучим учеников к практическим доказательствам геометрических инстин. — утверждали они, — то потом нельзя будет навести их на мысль, что те же истины можно доказывать мышлением, так как развиваем у них неправильный взгляд на доказательство истин и приучаем глаз («самому неприятному помощнику при прохождении геометрии») верить самому себе.

В противовес этому сторонники введения в средних общеобразовательных учебных заведениях пропедевтических курсов геометрии утверждают, что наглядное доказательство, основанное на конкретных данных, есть необходимая ступень образования той самой способности, того самого свойства человеческого ума, которое дает ему возможность мыслить отвлеченно. «Не перейдя этой ступени мышления, ученик ни коим образом не может дойти до умозрительных доказательств»2.

С особой ясностью воспрос о необходимости пропедевтического курса геометрии в средних общеобразовательных учебных заведениях был поставлен на первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики (соответственно в декабре—январе 1911—1912 гг. и в декабре—январе 1913—1914 гг.3.

Начиная со второй половины XIX века, издается много работ с изложением пропедевтического курса геометрии. Но в средних общеобразовательных школах России пропедевтический курс геометрии так и не был введен. Изучение геометрии в этих школах начиналось сразу с систематического

1 Дискуссия по тезисам Е. Е. Волкова «О постановке преподавания геометрии, ж. «Семья и школа», № 7, 1873, стр. 107.

2 Там же, стр. 108.

3 См. Доклады: С. А. Богомолов, «Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания, Труды I Всероссийского съезда препод, матем., т. 1, Спб., 1913; А. Р. Кулишер, Начальный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и осуществление. Труды 1-го ВСПМ, т. 1, Спб., 1913; Н. А. Томамшева, О реформе преподавания математики. Общие положения и программы. Содержание курса математики за первые 6 лет обучения. Труды 1-го ВСПМ, т. 2. Спб., 1913; С. И. Шохор-Троцкий, Требования, предъявляемые психологией к математике, как учебному предмету, Труды 1-го ВСПМ, т. 1, Спб., 1913.

дедуктивного курса, когда учащиеся достигали 12—13-летнего возраста1.

Таким образом, дореволюционная школа, решая вопрос о начальном обучении геометрии, руководствовалась двумя основными факторами: 1) жизненной потребностью в приложении геометрических знаний к решению практических задач; 2) необходимостью подготовки учащихся к изучению систематического дедуктивного курса геометрии. Разделение курса начального обучения геометрии на практические и пропедевтические проистекало из социального положения школы и ее структуры.

В курсах начального обучения геометрии для современной школы должны найти отражение как потребности приложения геометрических знаний к решению практических задач, так и необходимость развития общеобразовательного уровня учащихся. Ни в коем случае нельзя умалять значение какого-либо одного из указанных выше факторов.

Историко-педагогический анализ литературы показывает, что в процессе развития методов начального обучения геометрии сложились два основных направления в изложении материала: 1) изложение начинается с рассмотрения фигур трех измерений, откуда выводятся все остальные геометрические понятия2, 2) изложение начинается с рассмотрения точки, затем линии, поверхности и, наконец, геометрических тел3. Первое направление в большей мере способствует развитию пространственных представлений учащихся, улучшает весь процесс обучения геометрии, но в то же время отодвигает на более поздний период измерения. Второе направление дает возможность быстро переходить к измерениям, дает богатый наглядный материал для изучения арифметики, но отодвигает рассмотрение фигур трех измерений на более поздний период, задерживая, тем самым, на некоторое время развитие пространственных представлений учащихся.

Каждый из авторов многочисленных работ выбирал одно из указанных выше направлений в изложении геометрического материала, включая в свой курс что-либо специфическое, что отличало его от остальных4.

Правильно построенный курс начального обучения геометрии должен пойти по линии сближения указанных выше

1 Исключение составляли военные гимназии (кадетские корпуса), в которых пропедевтический курс геометрии был введен еще в 1866 г.

2 Так излагается материал в «Наглядной геометрии» М. О. Косинского (Спб., 1871) в «Курсе опытной геометрии» А. М. Астряба, (М.—Л., Госиздат, 1926).

3 Так излагается материал в «Образовательном курсе наглядной геометрии», Е. Е. Волкова, (Спб, 1873).

4 См. диссертацию, стр. 44—45.

двух направлений с тем, чтобы обеспечить как развитие пространственных представлений у учащихся, так и изучение геометрического материала в тесной связи с арифметическим.

В послеоктябрьском периоде содержание геометрического материала в начальном обучении определяется едиными программами, обязательными для всех школ.

В течение 48 лет существования советской школы объем геометрического материала в курсе начального обучения неоднократно изменялся. Изменения эти носили в основном количественный характер, не всегда были достаточно обоснованы и происходили в сторону уменьшения объема геометрического материала1.

О необоснованных изменениях в начальном обучении геометрии, которые имели место в практике работы нашей школы, говорят и такие факты:

1. В 1919 году геометрический материал изучался в I—V классах, в 1938 году — в III и V классах, в 1948 году уже только в IV и V классах. Затем начался обратный процесс— в 1948 году геометрический материал был возвращен в III—V классах, в 1954 году он изучается уже с 1-го по V-й классы (включительно).

2. К изучению геометрии, в основном, приступали, начиная с темы «Отрезок и его измерение». Вследствие того, что изучение элементов геометрии в период с 1919 по 1954 гг. начиналось то в I-м, то во II-м, то в III-м, то в IV-M классах, эта тема без какого-либо научного обоснования переносилась из класса в класс. Вот как выглядит диаграмма перемещения из класса в класс темы «Отрезок и его измерение» в период с 1919 по 1954 гг. см. в приложении (стр. 11).

Рассмотренные в данной главе современные программы школ некоторых зарубежных стран содержат геометрический материал в большем объеме, чем ныне действующие программы нашей школы.

По программам французской начальной школы2 изучение геометрического материала начинается с рассмотрения форм фигур. В объяснительной записке к программе отмечается, что в элементарном курсе3 дети знакомятся с геометрически-

1 См. приложение к диссертации.

2 Programme et instructions commentés, Enseignement élémentaire (1-er degré), par M. Lebetre et L. Vernay, Paris, editions Bourrelier, 1962.

3 Структура начальной школы во Франции следующая: первый год обучения — приготовительный курс (cours préparatoire), второй и третий год обучения — элементарный курс (cours élementaire), четвертый и пятый год обучения — средний курс (cours moyen), шестой год обучения — высший курс (cours supérieur), седьмой и восьмой год обучения — класс завершающего обучения (classe de fin dêtudes).

ми формами практически, путем наблюдений не только на уроках математики, но и на уроках труда и рисования.

В программах школ Польской Народной Республики1, с целью математической подготовки учащихся к изучению физической географии, предусмотрено в V классе изучать шар и его элементы, сечение шара плоскостью.

Наибольший объем геометрического материала (из рассмотренных нами программ) содержат программы восьмилетней школы Германской Демократической Республики2.

В восьмилетних школах указанных выше стран систематический дедуктивный курс геометрии не изучается. Основное внимание в этих школах уделяется формированию у учащихся пространственных представлений, привитию им умений и навыков, необходимых при изучении других школьных предметов и в решении каких-либо конкретных практических задач.

Во Франции, в Польской Народной Республике, Германской Демократической Республике сейчас разрабатываются новые программы, так как ныне действующие имеют существенные недостатки.

Во второй главе диссертации рассматриваются принципы построения курса начального обучения геометрии и дается характеристика его содержания.

Основные дидактические принципы — наглядность, научность, единство теории и практики, систематичность и последовательность в изложении курса, доступность, сознательность и активность учащихся взяты нами в качестве исходных положений в разработке как содержания, так и методов начального обучения геометрии. На конкретных примерах раскрываются особенности в реализации каждого из указанных выше принципов при начальном обучении геометрии.

При определении содержания начального обучения геометрии мы преследовали следующие основные цели:

1. Систематизировать приобретенный учащимися на основе жизненного опыта запас представлений об элементарных пространственных формах, о размерах предметов и их взаимном положении.

2. Выработать у них правильное понимание некоторых свойств геометрических фигур и умение правильно выражать

1 Program nauczania ośmioklasowej szkoły podstawowej. Warszawa, Państwowe zakłady Wydawnictw szkolnych, 1963.

2 Zehrplan de Zehnklassigen Allgemeinbildenden polytechischen Oberschule, Berlin, 1959.

эти свойства постепенно во все более точной словесной форме.

Способствовать всестороннему развитию пространственных представлений учащихся.

3. Привить им умения и навыки: а) воспроизводить элементарные пространственные формы из бумаги, пластилина, гипса, палочек и т. д., б) изображать фигуры с помощью линейки, циркуля, транспортира и чертежного треугольника; в) производить различные измерения и практические работы по вычислению длин, площадей и объемов простейших геометрических фигур.

4. Постепенно развивать и воспитывать у учащихся способность логически связывать между собой добытые ими геометрические сведения.

5. Обеспечить необходимую связь: а) между геометрией и другими разделами математики, б) между геометрией и другими учебными предметами.

Учет межпредметных связей требует включения в содержание геометрического материала ряда вопросов, обеспечивающих математическую подготовку учащихся, необходимую для изучения других школьных предметов. Эта проблема более полно раскрывается нами на примере изучения физической географии в V классе, сознательное усвоение которой требует значительной математической подготовки учащихся.

На первой ступени обучения, когда учащиеся делают все новые и новые «открытия» в окружающем их мире, формирование у них правильных пространственных представлений должно носить целенаправленный характер не только на уроках математики, но и при изучении других предметов. Особого внимания заслуживают в этом отношении уроки труда и рисования. На уроках труда учащиеся лепят предметы различной формы, вырезают различные фигуры из бумаги, картона, обучаются основным элементам графической грамоты, умению использовать простейшую графическую документацию в процессе труда1.

В процессе обучения рисованию учащиеся знакомятся с «геометрической основой формы предметов», их пространственным положением, у них развивается умение наблюдать

1 Программа средней школы (проект), начальные классы, М., изд. «Просвещение», 1965, стр. 143. С. И. Шохор-Троцкий, Требования, предъявляемые психологией к математике, как учебному предмету. Доклад на 1-м Всеросийском съезде препод. математики, Труды 1-го ВСПМ, т. 1, Спб., 1913.

предметы, сравнивать и передавать в рисунке правильные пропорции их частей1.

Таким образом, содержание начального геометрического образования определялось нами с учетом целенаправленного формирования у учащихся пространственных представлений не только на уроках арифметики, но и на уроках труда и рисования.

В результате исследования, экспериментальной проверки по годам обучения геометрический материал нами распределен следующим образом:

I-й класс. 1. Знакомство с формами геометрических тел: кубом, прямоугольным параллелепипедом (брусом), шаром, цилиндром, пирамидой, конусом. Представление о плоской и круглой (кривой) поверхности. Знакомство с плоскими геометрическими фигурами: прямоугольником, квадратом, треугольником, трапецией, кругом. Рисование и черчение этих форм; вырезывание из бумаги, картона, складывание контуров фигур из палочек. Линейка. Представление о прямой, кривой и ломаной линиях. Угольник. Угол. Виды углов. Малка. Сравнение углов.

2. Отрезок прямой. Разностное сравнение отрезков (непосредственным наложением и с помощью циркуля). Сложение, вычитание, увеличение в несколько раз, уменьшение в 2 раза отрезков. Периметр ломаной линии2.

Классификация треугольников по отношению сторон и по величине углов.

3. Измерение отрезков масштабной линейкой (сантиметр, метр). Расстояние между двумя точками. Глазомерное определение расстояний в пределах 100 (с последующей проверкой). Выполнение простейших орнаментов из окружностей.

II-й класс. 1. Знакомство с гранями, ребрами и вершинами геометрических тел. Изготовление фигур различной геометрической формы (из глины или другого материала) с помощью матриц3. Равенство противоположных сторон, углов и диагоналей прямоугольника и квадрата.

2. Действия над отрезками (числами): сложение, вычитание, увеличение в несколько раз, уменьшение в несколько раз.

1 Программы восьмилетней школы (рисование), «Просвещение», 1964, стр. 4.

2 Нахождение периметра любого многоугольника сводится к определению длины ломаной линии.

3 Матрица представляет собой пособие, сделанное из пластмассы (или другого материала) с углублением, которое является обратной копией изучаемого геометрического тела.

3. Круг и его элементы: диаметр, радиус, дуга. Транспортир. Единица измерения углов — градус. Сложение и вычитание углов, деление углов пополам (конструктивное с последующей проверкой с помощью транспортира). Биссектриса. Построение квадрата, прямоугольника и треугольника.

4. Практичское знакомство с масштабом в пределах 1 :2 и 1 :4, 2: 1 и 4: 1. Простейшие столбчатые диаграммы.

5. Провешивание прямой. Разбивка на местности участков прямоугольной формы с помощью крестообразного эккера.

III-й класс. 1. Взаимное положение на плоскости точки и прямой. Луч. Отрезок. Знакомство с перпендикулярными, параллельными, наклонными прямыми и плоскостями.

2. Квадратный сантиметр. Палетка, ее использование для измерения площади прямоугольника и квадрата. Измерение площади поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда.

3. Съемка плана прямоугольного участка (в данном масштабе). Разбивка с плана (по данному масштабу) прямоугольного участка. Знакомство с подобием прямоугольников. Разбивка участка, ограниченного ломаной линией, на участки ранее изученных форм. Практическое превращение (сперва на чертеже, а потом вырезыванием из бумаги) параллелограмма, треугольника и трапеции в прямоугольник.

4. Положение точки на прямой. Деление плоскости на четверти (квадранты) двумя взаимоперпендикулярными прямыми. Положение фигуры на плоскости (относительно четвертей).

5. Первоначальные представления об осевой симметрии. Оси симметрии равнобедренного треугольника, прямоугольника и квадрата. Примеры осевой симметрии на предметах из окружающей среды.

IV-й класс. 1. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции:

Единицы объема. Измерение объема куба и прямоугольного параллелепипеда подсчетом единичных кубов, вмешивающихся в этот объем. Постепенное совершенствование подсчета единичных кубов вплоть до нахождения объема путем измерения длины, ширины и высоты тела: V=a.a.a = a3; V=a.b.c. Площадь поверхности куба и прямоугольного параллелепипеда, как сумма площадей всех их граней.

2. Определение расстояния между двумя точками по плану (по карте). Съемка плана участка земли треугольной формы с помощью астролябии. Подобие треугольников (на примере участка треугольной формы и его плана). Вычисление по плану действительных размеров площадей фигур сложной прямолинейной формы.

3. Координатная плоскость. Положение фигуры на координатной плоскости.

V-й класс. 1. Окружность. Центральный угол. Угловой и дуговой градус. Центральные углы и соответствующие им дуги. Длина окружности L = Д.П. Длина дуги. Площадь круга — С = R2.П (вывод формул — наглядный).

2. Шар. Диаметр (ось), радиус шара. Сечение шара плоскостью. Меридианы и параллели. Определение положения точки на поверхности шара.

3. Практическое построение фигуры, симметрично данной относительно оси. Проверка равенства симметричных фигур. Направленность симметричных фигур.

4. Определение положения отрезка и треугольника на координатной плоскости. Отрезки и треугольники, симметричные относительно осей координат. Построение диаграмм на координатной плоскости. Графики простейших зависимостей между величинами.

5. Признаки подобия треугольников (без доказательства). Опытное определение подобия треугольников (на основе знаний учащихся о масштабе). Мензуальная съемка планов с условными обозначениями.

Предлагаемое содержание геометрического материала в I—V классах определялось нами с учетом целей и задач курса. Включение новых вопросов в курс начального обучения геометрии диктуется, во-первых, их большой значимостью в обеспечении соответствующей геометрической подготовки к изучению других предметов, во-вторых, необходимостью установления связи между различными разделами математики и, в-третьих, потребностью повысить общую математическую культуру учащихся. К таким вопросам, в частности, относятся: числовая ось, положение точки на числовой оси; понятие осевой симметрии, свойства симметричных (относительно оси) фигур; координатная плоскость, положение точки, отрезка, треугольника на координатной плоскости; диаграммы; графики простейших зависимостей между величинами; шар, сечение шара плоскостью, меридианы и параллели, положение точки (по широте и долготе) на поверхности шара (на глобусе); понятие подобия фигур, подобие прямоугольников, подобие треугольников.

Геометрический материал на уроках математики изучается с учетом (и на основании) запаса пространственных представлений, приобретенных учащимися в процессе обучения на уроках других предметов, в частности на уроках труда и рисования. Геометрический материал изучается в тесной связи с арифметическим. Начиная с 3 класса выделяются также и отдельные уроки для изучения чисто-геометрического материала, который не может быть органически связан с материалом других предметов. Такие уроки выделяются из общего количества часов, отведенных ныне действующей программой для изучения математики.

Концентрическое расположение учебного материала учитывает уровни развития геометрического мышления1 учащихся, психологические особенности младшего школьника и специфику обучения их геометрии. Одни и те же темы курса повторяются в различных классах. На каждой новой ступени они освещаются более глубоко и требуют более сложной логической обработки. Степень трудности усвоения повторяющихся тем нарастает постепенно.

Знакомство, например, с масштабом начинается во втором классе. Учащиеся II-го класса должны научиться наносить отрезки данной длины в тетради в масштабе 1 :2 и 1:4, 2:1 и 4: 1 и по данному масштабу находить действительные размеры предметов. В III-м классе, учащиеся продолжают знакомство с масштабом, строят планы прямоугольных участков в масштабе 1 : 10, 1 : 100—1 : 100000. В IV-м классе учащиеся строят с плана по данному масштабу участки треугольной формы (с помощью астролябии), находят действительные расстояния между двумя точками по плану (по карте). В V-м классе, опираясь на ранее полученные знания о масштабе, учащиеся устанавливают (опытно) подобие треугольников.

Знакомство с координатной плоскостью начинается в III-м классе. Здесь учащиеся делят плоскость двумя взаимноперпендикулярными прямыми на четверти, усваивают название каждой, их расположение на плоскости, находят положение фигуры на плоскости относительной четвертей.

В IV классе положение точки на плоскости определяется двумя ее координатами, положение отрезка на плоскости определяется положением двух его крайних точек, положение треугольника определяется положением на координатной плоскости трех точек — вершин треугольника. Далее строятся отрезки и треугольники по данным координатам.

1 Об уровнях развития геометрического мышления см.: А. М. Пышкало, Геометрия в I—IV классах. М., изд. «Просвещение», 1965, стр. 6—9.

В V-м классе на координатной плоскости учащиеся строят диаграммы и графики простейших зависимостей между величинами.

Особенностью обучения геометрии по разработанному нами содержанию является использование, начиная с 1-го класса, буквенных обозначений и выражений, которые способствуют лучшему усвоению основного геометрического материала. Качественные операции предшествуют количественным; измерению отрезков предшествуют геометрические действия над ними. Буквенные обозначения отрезков в данном случае помогают выделить их из множества других.

В 1-м классе каждый отрезок обозначается одной маленькой буквой русского алфавита. Учащиеся записывают результаты сравнения отрезков и действий над ними: а<б,

Для успешного усвоения геометрических знаний недостаточно, чтобы учащиеся только рассуждали, доказывали, определяли, помнили правила и ряд слов, взятых в определенном порядке. Они должны еще действовать, выполнять какую-либо работу своими руками, должны проявлять интерес к изучаемому предмету1. Для этого необходимо вооружить учащихся знанием чертежных инструментов и измерительных приборов, умением пользоваться ими при выполнении различных практических работ.

Изучение геометрического материала начинается с рассмотрения трехмерных фигур, откуда выводятся основные геометрические понятия. Ценность такого метода объясняется тем, что объектами пространственных представлений служат вначале материальные предметы, которые ученик мог бы взять в руки и осязать2. Известный немецкий педагог М. Симон говорит, что начальное обучение геометрии постоянно должно будет исходить из наглядного представления. «Вместе с Аристотелем оно будет от тела обращаться к поверхности, затем к линии и к точке, чтобы лишь впоследствии проделать платоновский синтез от точки к линии и т. д.»3.

Кроме того, совместное изучение (где это возможно) планиметрического и стереометрического материала, как показал опыт, вполне оправдывает себя в условиях начального

1 С. И. Шохор-Троцкий, Требования, предъявляемые психологией к математике, Доклад, Труды 1-го ВСПМ, том. 1, Спб., 1913.

2 П. Трейтлейн, Методика геометрии, ч. II, Спб., 1913, стр. 2.

3 М. Симон, Дидактика и методика математики в средней школе, Спб., 1912, стр. 5.

обучения. Сопоставление сходных форм геометрических образов на плоскости и в пространстве дает возможность выделить именно те свойства, которые без такого сопоставления остаются учащимися незамеченными или воспринимаются ими весьма расплывчато.

В главе дана разработка методов и приемов изложения таких тем, как знакомство с формой геометрических фигур, прямая и отрезок, измерение отрезков, измерение площадей и объемов, чтение и построение столбчатых диаграмм, координатная плоскость (определение положения фигуры на координатной плоскости, диаграммы на координатной плоскости, графики простейшей зависимости между величинами), подобие фигур; шар, сечение шара плоскостью, экватор, меридианы и параллели, определение положения точки на поверхности шара.

Конкретно-индуктивный метод изложения, лабораторные работы с широким применением чертежных инструментов и измерительных приборов, отказ на первой стадии обучения от строгих определений способствуют повышению активности, самостоятельности учащихся, поддержанию у них неослабного интереса к изучаемому предмету, которые обеспечивают сознательное и прочное усвоение геометрического материала.

Третья глава диссертации посвящена вопросам организации и проведения педагогического эксперимента, его результатам.

Поставленный эксперимент преследовал следующие основные цели:

1. Определение доступности намеченного нами содержания курса начального обучения геометрии.

2. Выяснение эффективности разработанных нами методом изучения геометрического материала.

3. Проверка возможности реализовать предлагаемый курс начального обучения геометрии без выделения дополнительного (к предусмотренному ныне действующим учебным планом) времени.

4. Выяснение эффективности учета межпредметных взаимосвязей (между геометрией, трудом учащихся, рисованием, природоведением и географией) в обучении геометрии.

Проведению эксперимента предшествовала тщательная подготовительная работа. Изучение в экспериментальных классах новых (по сравнению с ныне действующей программой) тем потребовало тщательной разработки методики их изложения и подбора соответствующего дидактического материала. Нами был подготовлен учебный материал, который

обсуждался совместно с учителями, проводившими эксперимент.

В главе мы приводим примеры протоколов с записями экспериментальных уроков, которые подробно фиксировались автором и учителем. Записи этих уроков подвергались разбору и результаты его также фиксировались.

В соответствии с поставленными в эксперименте целям в записях и разборах уроков, отражающих результаты работы по нашим учебным материалам, основное внимание обращалось на: 1) доступность нового материала для учащихся, 2) эффективность методов его изучения, характерные для данного возраста умения и практические навыки, приобретаемые учащимися, 3) правильность распределения времени для изучения отобранного нами геометрического материала, 4) осуществление взаимосвязи между геометрией и другими школьными предметами. Влияние нового содержания геометрического материала на усвоение природоведения, географии, труда и рисования.

В диссертации даны отдельные контрольные работы, которые проводились в экспериментальных классах. Результаты этих работ тщательно анализировались.

Анализ протоколов экспериментальных уроков, результатов контрольных работ, сравнительного анализа итогов учебного года в экспериментальных и контрольных классах, позволили нам сделать соответствующие выводы.

В приложении к диссертации даны: 1) таблица, отражающая изменение объема и содержания геометрического материала в I—V классах нашей школы в период с 1919 по 1960 годы; 2) протоколы, которые показывают некоторые итоги обсуждения результатов нашего исследования.

Выводы и предложения

Тема нашего исследования является дальнейшей разработкой вопросов, связанных с содержанием, объемом и методами обучения геометрии в I—V классах.

Проведенная нами в этом направлении исследовательская работа позволяет сделать следующие выводы:

1. Предлагаемое нами содержание начального обучения геометрии доступно учащимся I—V классов и усваивается ими достаточно прочно.

2. Разработанные методы изложения геометрического материала содействуют лучшему усвоению начального курса математики в целом, о чем свидетельствуют приводимые в тексте данные сопоставления результатов обучения в экспериментальных и в контрольных классах.

3. Наиболее эффективными методами изучения геометрического материала оказались следующие:

а) наглядный, при котором знакомство с геометрическими образами начинается с рассмотрения реальных предметов. На этих предметах учащиеся выделяют фигуры на плоскости, учатся различать их и правильно называть.

Таким образом, у учащихся формируются правильные представления (пространственные) о геометрических образах — необходимая ступень к правильному усвоению геометрических понятий. Сравнительно легко учащиеся овладевают первичными понятиями — точка, прямая, плоскость. Фигура на плоскости при этом понимается не как ее контур, а как ограниченная часть плоскости. А для понимания учащимися формы геометрического тела, как ограниченной части пространства, широкие возможности открывает использование «матриц». При этом не требуется, как это обычно принято, говорить учащимся о материале, из которого изготовлены геометрические тела, чтобы тут же абстрагироваться от него, а также, показывать им тела различной окраски с тем, чтобы отвлечься от цвета1;

б) лабораторный метод, самостоятельное выполнение посильных практических работ, использование, начиная с 1-го класса, чертежных инструментов и измерительных приборов способствуют приобретению учащимися умений и навыков в измерении и черчении, в практическом применении геометрических знаний.

Специальное внимание уделялось развитию у учащихся способности логически связывать добытые ими геометрические сведения. На первом этапе обучения у учащихся воспитывается умение делать индуктивные умозаключения. Навыки дедуктивного мышления приобретаются ими постепенно.

4. Необходимым условием эффективного обучения геометрии является такой порядок изучения материала, при котором качественные операции предшествуют количественным и, следовательно, основное внимание обращается на геометрический смысл изучаемого вопроса.

5. Концентрическое расположение геометрического материала согласуется с психологическими особенностями младших школьников, спецификой обучения геометрии и содействует лучшему его усвоению.

6. Разработанные нами содержание курса начального обучения геометрии и методы его изложения создают благо-

1 Исследования показали, что представление о материале, из которого изготовлены предметы труднодоступно для учащихся младших классов. А показ разноцветных предметов мешает восприятию их формы.

приятные условия, как для успешного усвоения всего начального курса математики, так и для овладения знаниями по другим учебным предметам: черчению, рисованию, природоведению, географии, труду.

7. Дополнительного (к выделенному ныне действующей программой) времени для изучения предлагаемого нами геометрического материала не требуется. Оно экономится за счет более рационального использования уроков математики и осуществления двусторонней связи между учебными предметами. Данные из других областей знаний становятся исходными (но не повторяются) при изучении геометрического материала на уроках математики. С другой стороны, геометрические знания, умения и навыки, приобретенные учащимися при изучении математики, сразу же находят применение на уроках других предметов, где они закрепляются и совершенствуются.

Начиная с III-го класса, необходимо выделить также и отдельные уроки для изучения чисто геометрического материала, который нельзя увязывать органически с другими предметами.

8. Непрерывные и систематические упражнения в измерении геометрических величин, в ознакомлении с геометрическими фигурами и их свойствами обеспечивают овладение элементарными пространственными представлениями, умениями и выками, которые используются в повседневной деятельности и оказывают положительное влияние на трудовое воспитание, а также на общий уровень математической культуры учащихся.

9. Необходимым условием улучшения геометрического образования является издание методических пособий для учителей, расскрывающих содержание курса начального обучения геометрии и методы его изложения.

10. Хорошо было бы наладить массовое производство предлагаемых нами «матриц» и ввести их в обязательный список наглядных пособий для математического кабинета восьмилетней школы.

По материалам диссертации в течение шести лет автор прочитал ряд докладов на районном объединении учителей математики Резинского района, методическом республиканском семинаре, научной сессии профессорско-преподавательского состава Кишинеского государственного университета, на методических объединениях учителей начальных классов в школах №№ 27, 31 г. Кишинева.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Математическая подготовка учащихся к изучению ориентации по глобусу и по карте, журнал «Ынвэцэторул советик», № 1, Кишинев, Партиздат, 1966.

2. К вопросу о начальном обучении геометрии, Научная конференция по итогам научно-исследовательских работ за 1965 год, секция естественных наук, Сокращенные доклады, Кишинев, изд. КГУ, 1966.

3. О начальном обучении геометрии, Ученые записки Кишиневского государственного университета. Математический-педагогический сборник, т. 86, Кишинев, изд. КГУ, 1966.

Подписано в печать A 121013 22/VI 1966 г. Объем 1,5 п. л., тир. 200 экз., зак. 966, тип. МСП