ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

И. В. БАРАНОВА

Задачи на доказательство в школьном курсе алгебры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ЛЕНИНГРАД 1953

M2>5?78 7-IV-63 г. Тип. «Сталинец» зак. 1802 т. 100

Гениальная работа товарища Сталина «Экономические проблемы социализма в СССР» и XIX съезд Коммунистической партии Советскою Союза поставили перед советской школой задачи громадной «важности.

Эти задачи определяются одним из основных предварительных условий перехода к коммунизму, указанных товарищем Сталиным:

«...добиться такого культурного роста общества, который бы обеспечил всем членам общества всестороннее развитие их «физических и умственных способностей, чтобы члены общества имели возможность получить образование, достаточное для того, чтобы стать .активными деятелями общественного развития...»*).

Заключаются эти задачи в осуществлении политехнического обучения в средней школе и в постепенном переходе к всеобщему десятилетнему «политехническому обучению.

Политехническое обучение является одним из средств воспитания всесторонне развитого человека, оно позволит членам общества успешно овладеть техникой производства и иметь «...возможность свободно выбирать профессию, а не быть прикованными на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, к одной «какой-либо профессии»**).

Воспитать всесторонне развитого человека на основе политехнического обучения возможно только при наличии достаточно широкого общего образования и культуры, прочного фундамента знаний общеобразовательных предметов, среди которых одно из важнейших мест занимает математика и ее составная часть — алгебра.

ЦК ВКП(б) в постановлении от 5 сентября 1931 года

*) И. В. Сталин, «Экономические проблемы социализма в СССР» Госполитиздат, 1952 г., стр. 68.

**) Там же, стр. 68.

«О начальной и средней школе» указал, что отрыв политехнизации школы от систематического и прочного усвоения наук является грубым нарушением идеи политехнической школы.

Таким образом, одной из задач политехнического обучения при изучении школьного курса алгебры является обеспечение систематического и прочного усвоения основ этой науки, так как успешное овладение техникой современного производства невозможно без знания основных законов алгебры.

Обучение должно быть воспитывающим. При обучении алгебре вырабатываются практические навыки, умения, а также черты характера, необходимые для -многих профессий. «Математика, — говорит М. И. Калинин, — дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению...»*).

При изучении алгебры в школе, таким образом, имеется в виду: изучение идейно-теоретических основ курса, приобретение твердых навыков в выполнении алгебраических преобразований и применение их к решению практических задач; осуществление на основе этого общих задач коммунистическою воспитания — воспитание всесторонне развитых членов советского общества, формирование марксистско-ленинского мировоззрения, воспитание советскою патриотизма, советской национальной гордости, выработка воли, характера, развитие инициативы и творчества.

* * *

Наша школа добилась значительных успехов в деле обучения и воспитания молодою поколения. Качество знаний учащихся нашей страны по школьным предметам вообще и по алгебре в частности из года в год повышается. Однако, в знаниях учащихся все еще мною крупных недостатков и серьезных пробелов.

Задача учителей математики и органов, призванных руководить и помогать учителю, заключается в преодолении недостатков в знаниях учащихся по математике.

Автор настоящей работы поставил перед собой цель рассмотреть одно из средств повышения качества знаний учащихся по алгебре.

В связи с этим вначале автор останавливается на целях изучения алгебры в школе, рассматривает наиболее существенные недостатки в знаниях учащихся по алгебре и их причины.

*) М. И. Калинин, «О коммунистическом воспитании», стр. 128, 1948 г.

Затем выясняет роль и виды упражнений, используемых при изучении алгебры в школе, и отмечает, что задачи на доказательство, задачи с логическим содержанием мало применяются «на уроках алгебры, хотя роль их в процессе изучения алгебры не меньше, чем других видов упражнений.

Далее автор анализирует причины малого использования этого вида упражнений при изучении алгебры в школе и считает одной из них — недостаточное внимание к задачам на доказательство по алгебре в учебной и методической литературе.

Этим положением автор определяет цель своей работы — обосновать целесообразность введения в школьную практику решения задач на доказательство по алгебре, дать учителю систематически подобранные задачи на доказательство по основным темам школьного курса алгебры и рядом методических указаний облегчить использование этих задач в практической работе.

В соответствии с этим вначале в диссертаций устанавливается, что понимается под задачей на доказательство в алгебре, рассматривается ряд задач, анализируются методы их решения и результаты, которые достигаются при решении подобные задач.

Затем определяются основные положений о задачах на доказательство по алгебре и их роль при изучении алгебры.

Далее приводится система задач на доказательство (775), сгруппированных по основным линиям развития школьного курса алгебры. Задачи располагаются по степени трудности, снабжены указаниями о методе решения, степень подробности которых зависит от характера задачи.

Среди задач, приведенных автором, имеются простые, доступные для решения ©сем учащимся. Кроме того, помещены задачи более трудные, для решения которых учащимся необходимы указания учителя. Ряд задач с успехом может быть использован при внеклассной работе по математике — на математических олимпиадах, в математических кружках и т. д., а также дан для самостоятельной работы учащимся, наиболее интересующимся математикой.

Для большинства задач указано наиболее целесообразное место решения их как по расположению программного материала, так и по виду занятий — в классе, дома, на внеклассных занятиях.

Чтобы облегчить использование материала диссертации в практической работе, задачи, которые могут быть предложены в математическом кружке или на математической олимпиаде,

отмечены знаком (*), наиболее трудные задачи отмечены (**).

Перед каждым параграфом и группой задач даны методические указания о том, какие цели имеет изучение данного вопроса в школе, какие трудности обычно встречаются при этом, как задачи на доказательство могут облегчить эти трудности, а также какие задачи следует предложить учащимся, чтобы дать им более глубокое представление об изучаемом вопросе.

В диссертации помещены также некоторые теоретические замечания о логических доказательствах и требованиях к ним. Эти замечания имеют целью помочь учителю использовать материал диссертации с большей пользой.

Кроме задач, в данной работе помещены вопросы-задачи, составленные так, чтобы определить, насколько сознательно учащиеся усвоили основные положения теории по данной теме. Обычно эти вопросы-задачи помещаются в начале параграфа и определяют те положения, которые будут необходимы для решения последующих задач. Количество этих вопросов можно было бы увеличить и характер их разнообразить, но, имея в виду, что детальная разработка системы таких вопросов может служить темой специальной научной работы и что за последнее время в учебной и методической литературе появился ряд работ, затрагивающих эти вопросы, автор ограничился приведением только тех вопросов, которые выясняют знания учащихся по теории.

Диссертация состоит из введения, 9 глав и заключения. Размещение материала в диссертации произведено в линейной последовательности по вопросам: тождественные преобразования целых и дробных рациональных выражений, развитие понятия о числе и тождественные преобразования, связанные с ним, уравнения, неравенства, прогрессии, логарифмы, соединения и бином Ньютона. Завершается работа главами о методе математической индукции и об элементарных функциях.

* * *

В главе о тождественных преобразованиях целых и дробных рациональных выражений подробно проанализированы цель, место и решения 175 задач на доказательство и вопросов-задач для основных разделов программы по математике по 1, 3 и 4-й темам курса алгебры 6 класса, 1-й теме 7 класса и последней теме 10 класса (теорема Безу).

Особое внимание уделено следующему: уяснению смысла введения буквенной символики, выяснению принципов, на которых основаны тождественные преобразования одночленов и

многочленов, и выработке на.выков в выполнений этих преобразований.

При этом постоянно проводится аналогия с арифметикой и дается большое количество -материала по вопросам арифметики (теория делимости, приемы быстрого умножения, приближенные вычисления, числовые загадки). Выясняются основные положения теоремы Безу и даются примеры конкретного использования ее.

Завершается глава материалом, который имеет целью помочь учащимся получить ясное представление о смысле и правилах тождественных преобразований дробных рациональных выражений. Поэтому среди разбираемых в этом параграфе задач (№№ 146—175) имеются задачи двух основных типов: задачи на доказательство некоторых свойств обыкновенных дробей и задачи на доказательство тождеств. Первая группа задач, кроме того, знакомит учащихся с некоторыми основными методами доказательства — методом предположения, рассуждением «от противного»; во второй группе задач иллюстрируются некоторые искусственные преобразовния: круговая перестановка, представление одной дроби в виде суммы нескольких слагаемых более простого вида и др. Особое внимание в этих задачах уделено условиям, допустимым для данных тождеств.

* * *

Вторая глава затрагивает вопросы, связанные с развитием понятия числа.

В начале главы даются общие замечания о значении, характере и методике изучения этого вопроса в школе. Затем для каждого из расширений понятия числа — отрицательных, иррациональных и мнимых чисел, указываются вопросы, наиболее трудные в теоретическом и методическом отношении и приводится система задач и вопросов, которые могут помочь в устранении этих трудностей.

Всего в главе имеется 110 «вопросов и задач на доказательство, в конце главы помещен материал, относящийся к необходимым и достаточным условиям.

В параграфе, посвященном введению «отрицательных чисел и образованию области рациональных чисел, основное место принадлежит, вопросам, так как задачи на доказательство, соответствующие знаниям учащихся 6 класса, были помещены в первой главе.

Вопросы, относящиеся к отрицательным числам (№№ 1— 32), помотают учителю выяснить, насколько учащиеся усвоили

основные положения этой темы, а именно: реальный смысл вновь вводимых отрицательных чисел, истолкование в этой связи ранее известных положительных чисел; причины введения отрицательных чисел (№№ 6—11), смысл правил действий над рациональными числами (№№ 12—25); сохранение и нарушение свойств действий, известных из арифметики 26—32). Четкое представление учащимися материала, затронутого в указанных вопросах, в значительной степени облегчит дальнейшее изучение алгебры.

Из материала, относящегося к введению иррациональных чисел и образованию области вещественных чисел, автор обратил внимание, главным образом, на следующие вопросы: причины), которые вызвали введение иррациональных чисел; возможность представить иррациональные числа в виде бесконечной непериодической десятичной дроби; принципы выполнения над иррациональными числами арифметических действий; тождественные преобразования выражений, содержащих радикалы. В последнем вопросе особенно тщательно выясняется понятие арифметического корня, даются иные, чем в учебнике, доказательства правил извлечения арифметического корня из произведения, степени и т. д. Рассматривается формула сложного радикала.

Часть задач этого параграфа может служить материалом для работы математических кружков, проведения математических олимпиад и других внеклассных мероприятий по математике.

В параграфе, относящемся к введению мнимых чисел и образованию области комплексных чисел, выясняется смысл комплексных чисел, взаимоотношение мнимых, вещественных и комплексных чисел, целессобразность принятых определений суммы, произведения комплексных чисел, а также обращено внимание на выработку навыков в выполнении тождественных преобразований, возникающих в связи с рассмотрением Y ~ 1

Во многих задачах этого и последующих параграфов возникает вопрос о необходимых и достаточных условиях, поэтому в конце параграфа помещено несколько указаний теоретического и методического характера об этих логических категориях.

Считая, что для части учащихся, оканчивающих среднюю школу, необходимо более подробное знакомство с тригонометрической формой комплексного числа, автор останавливается на этом вопросе и приводит ряд задач на доказательство, ре-

шение которых значительно упрощается при использовании тригонометрической формы комплексного числа.

Имея б виду, что вопрос о комплексных числах изучается в 10 классе, задачи подобраны так, чтобы прохождение этой темы можно было увязать с повторением ряда вопросов школьного курса алгебры.

* * *

В главе «Уравнения» основное вникание уделено уравнениям первой степени с одним неизвестным, системам 2-х линейный уравнений с двумя неизвестными и квадратным уравнениям. В начале главы помещены методические указания по наиболее трудным для учащихся вопросам (равносильность уравнений, совместность и несовместность систем уравнений, исследование уравнений и их систем).

Материал, относящийся к линейным уравнениям, имеет целью помочь учащимся усвоить небольшую теорию уравнении, предусмотренную программой, главным образом по вопросам исследования.

В параграфе, посвященном квадратным уравнениям», речь идет о теоретических вопросах этой темы, отчетливое знание которых несомненно будет способствовать выработке твердых технических навыков в решении уравнений. К этим вопросам относятся: выражение суммы и произведения корней квадратного уравнения через его коэфициенты, преобразования уравнений, приводящие к равносильным уравнениям, исследование уравнений.

В конце главы затрагиваются вопросы уравнений высших степеней и общей теории алгебраических уравнений.

* * *

Глава «Неравенства» посвящена, главным образом, -вопросу доказательства неравенств и содержит следующий материал: -анализ основных методов доказательства неравенств, примеры задач на каждый из методов и методические указания о том, как добиться усвоения учащимися этих основных методов.

Основное внимание обращено на следующее: преобразование данного неравенства в очевидное неравенство при обязательном соблюдении принципа обратимости (последнее обстоятельство тщательно выяснено и подчеркнуто), преобразование некоторого очевидного неравенства к виду доказываемого неравенства, использование некоторых замечательных нера-

веиств (зависимость между средним геометрическим и средним арифметическим нескольких неотрицательных чисел и следствия из нею, неравенство Бернулли, неравенство Буняковского и др.).

Приведенные 86 задач представляют собой материал, который может быть использован как в урочное, так и во внеурочное время. По своему характеру он затрагивает вопросы различных тем арифметики (приближенные вычисления), алгебры, геометрии, тригонометрии, практической жизни.

Кроме усвоения методов доказательства неравенств, помещенные задачи способствуют повышению общего математического развития учащихся, облегчая решение многих вопросов, с которыми можно встретиться в практической работе и дальнейшей учебе.

Многие из задач этой главы могут являться хорошим материалом для работы математического кружка.

* * *

Материал главы «Прогрессии» имеет целью помочь учащимся усвоить основные положения данной темы, показать ее применение к решению ряда практических и теоретических вопросов, а также способствует углублению некоторых вопросов теории (задачи о неограниченном росте членов всякой возрастающей арифметической прогрессии, о неограниченном росте по абсолютной величине членов всякой возрастающей геометрической прогрессии; задачи на гармоническую прогрессию и др.).

Задачи (80), помещенные в этой главе, интересны тем, что многие из них при вдумчивом отношении приводят к очень простым решениям, а, кроме того, представляют собой небольшие проблемы, решение которых позволяет выдвинуть еще ряд положений. Таким образом, эти задачи ставят учащихся в положение «делающих открытия», учащиеся познают приемы исследовательской работы.

* * *

Глава «Логарифмы» построена так, чтобы добиться от учащихся усвоения принципиальных положений теории логарифмов и сознательного применения их к решению практических вопросов.

Поэтому «вначале помещен материал (№№ 1—23), относящийся к общим положениям темы; затем даны задачи и вопросы, имеющие целью добиться от учащихся сознательного

усвоения смысла, заключенного в определении логарифма, и умения этот смысл выразить в алгебраической форме a logaN = N (№№ 24—31); завершается глава вопросом о различных системах логарифмов (№№ 32—49). Действующая программа по математике для средней школы не предусматривает изучение вопроса о различных системах логарифмов. Однако, с этими вопросами учащимся приходится встречаться в практической жизни и при последующем обучении, автор считает, что хотя бы на математическом кружке следует разобрать несколько задач, связанных с различными системами логарифмов тем более, что эти задачи представляют собой полезные упражнения для усвоения общей теории логарифмов.

* * *

В главе «Соединения и бином Ньютона» материал расположен таким образом, чтобы предупредить возможное формальное запоминание отдельных положений темы без сознательного усвоения их.

Задачи этой главы (56) содержат требования: доказать некоторые свойства отдельных видов соединений, выраженных в форме тождеств или в форме проблем; определить зависимости между различными видами соединений; установить условия, при которых данные соотношения «между отдельными видами соединений могут иметь место, а также решить несколько проблемных вопросов при использовании формулы бинома Ньютона. Методы доказательства приведенных комбинаторных тождеств (тождеств, выражающих соотношения между формулами для определения числа различного вида соединений) и других задач на доказательство различны: непосредственное применение формул для «определения числа соединений, использование тождественных преобразований, применение свойств многочленов (формула бинома Ньютона), использование специальных методов математического доказательства и др.

Цели, которые достигаются при решении задач данной главы, определяются следующим: добиться сознательного усвоения характерных свойств каждого из видов соединений—перестановок, размещений, сочетаний — и показать практическое значение этих видов соединений и их свойств, выраженных алгебраически, для решения некоторых практических и теоретических вопросов; обеспечить сознательное усвоение формулы бинома Ньютона и ее свойств и показать практическое значение ее для решения некоторых вопросов теории и практики; повысить общую математическую культуру учащихся и при-

вить им навыки проведения математических исследований и обоснований справедливости полученных результатов.

Причем каждая из предложенных задач представляет собой требование решить определенную проблему, что показывает практическое значение полученных в теории определений, правил, формул и свойств.

* * *

В главе о методе математической индукции дается анализ сущности этого метода математического доказательства; приводятся примеры нелепых заключений, получаемых при несоблюдении одного из этапов этого метода; иллюстрируется возможность использования метода математической индукции, начиная с отдельных тем программы 9 класса, причем как для теоретических выводов, так и для решения задач; обосновывается целесообразность возможно более раннего знакомства учащихся с этим методом и как можно большее применение его в процессе изучения алгебры в школе.

Задачи (50) позволяют учителю найти материал, необходимый как для учебных, так и для внеклассных занятий по математике.

* * *

В главе об элементарных функциях затронуты вопросы об аналитическом выражении функций, о графике функций, об области задания и изменения функций, об ограниченности функций, о четности и нечетности функций, а также вопросы периодичности функций, возрастания и убывания функций, непрерывности некоторых функций. Характер приводимых 56 задач на доказательство делает их вполне доступными для учащихся средней школы, а знакомство с ними подготовит учащихся к усвоению курса математики в высшей школе.

* * *

В заключительной главе автор указывает, что в диссертации использованы труды основоположников марксизма-ленинизма по вопросам обучения и воспитания, руководящие материалы Партии и Правительства Советскою Союза о школе, а также учебная и методическая литература по алгебре с 1861 года по настоящее время.

Автор отмечает, что в диссертации использован опыт его педагогической работы (свыше 10 лет), а также его личный опыт применения задач на доказательство при преподавании алгебры в школе. Кроме этого, принят во внимание опыт учителей математики ряда школ г. Ленинграда, Ленинградской об-

ласти, г. В. Луки по использованию этого вида упражнений при преподавании алгебры в школе.

Опыт показал, что при решении задач на доказательство при изучении алгебры в школе значительно поднималась математическая культура учащихся, воспитывалось умение применить знания к решению проблемных вопросов, учащиеся приучались к самостоятельному мышлению, вырабатывалось критическое отношение к полученным выводам и методам рассуждения, расширялся общий кругозор и развитие учащихся. Эти задачи дают интересный материал для внеклассной работы по математике.

Практическое использование задач на доказательство при изучении алгебры в школе позволило подтвердить справедливость следующих основных положений, высказанных автором в диссертации:

1. Задачи на доказательство — вид упражнений по алгебре, который может быть использован в любой теме алгебры. Как вид упражнений эти задачи способствуют сознательному усвоению вопросов теории школьного курса алгебры, выработке навыков в выполнении алгебраических преобразований, развитию логического мышления и расширению общего кругозора учащихся.

2. По своему содержанию задачи на доказательство представляют собой требование обосновать справедливость некоторою положения или исследовать некоторую проблему. Решение этих задач заключается в проведении цепи логических умозаключений при использовании знаний, полученных в теоретической части курса алгебры.

3. Задачи на доказательство позволяют выработку навыков совмещать с осмысливанием и углублением вопросов теории, так как доя их решения необходимо не механическое использование правил, сообщенных учителем или прочитанных в учебнике, а фактическое знание вопросов, составляющих идейную сторону алгебры. Они являются эффективным средством борьбы с формализмом в знаниях учащихся.

4. Задачи на доказательство показывают роль практики в развитии теории, взаимную связь и взаимодействие теории и практики и совершенствование при помощи этого взаимодействия и теории и практики. При решении задач на доказательство учащиеся получают представление о том, какими путями идет развитие математики как науки. Эти задачи не только помогают усвоить теорию алгебры и применение ее к решению

практических задач, но и способствуют углублению ее, более критическому отношению к методам рассуждения и получаемым выводам.

б. Задачи на доказательство устраняют основной недостаток большинства упражнений по алгебре — неясность цели выполнения тою или иного преобразования, решения того или иного примера, так как в них тождественные преобразования служат средством для ответа на теоретический или практический вопрос.

6. Задачи на доказательство являются хорошим материалом доя проведения повторения ранее пройденною материала, так как обычно связывают несколько положений алгебры, причем позволяют проводить повторение не как простое воспроизведение ранее изученного, а как повторение, развивающее и обогащающее знания учащихся.

7. Задачи на доказательство имеют большое воспитательное значение. В процессе решения этих задач у учащихся развивается логическое мышление, воспитывается внимательность, вдумчивость, настойчивость в достижении цели, целеустремленность, а также навыки отыскания более коротких и рациональных решений поставленного вопроса. Задачи подобного характера являются хорошим материалам для самостоятельной работы учащихся, для внеклассной работы по математике.