АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

М. А. БАНТОВА

РАБОТА НАД ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ВЕЛИЧИН В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ И ЕЕ ПЕРСПЕКТИВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент Н. С. Попова

Москва — 1962

Реализация Закона о связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР требует пересмотра как содержания материала по линии сближения его с жизнью, с практикой, так и методов преподавания. Эти требования направлены главным образом на обеспечение прочных знаний основ наук, трудовой и политехнической подготовки учащихся, усвоение ими принципов коммунистического мировоззрения.

Применительно к преподаванию арифметики в начальных классах школы уже сделаны первые шаги в отношении раскрытия и конкретизации основных положений Закона, но сисистемы такой работы в целом мы пока еще не имеем. В частности, не разрешен вопрос формирования у младших школьников математических понятий с точки зрения раскрытия их жизненного содержания во всей полноте и многообразии. Попыткой отыскать такой новый путь относительно формирования понятия пропорциональности, а также других понятий, связанных с функциональной зависимостью, и является данное исследование.

Понятие функции является одним из важнейших и ведущих понятий в школьном курсе математики. Общепризнано, что формированию у школьников этого понятия должно уделяться исключительное внимание. Однако реализация этого требования в школьной практике все еще неудовлетворительна. Одной из причин неудовлетворительного усвоения школьниками функциональной зависимости является отсутствие системы подготовительных упражнений, тесно связанных с изучаемым материалом, которые знакомили бы учащихся с многочисленными и разнообразными вариантами функциональной зависимости на конкретных жизненных примерах, и в дальнейшем подводили бы их к надлежащим обобщениям.

Вопрос о создании системы подготовительных упражнений к усвоению функциональной зависимости не является новым, ему посвящен ряд исследований, однако все они почти не затрагивают курса начальной школы. В программе же по ариф-

метике для начальных классов восьмилетней школы имеется целый ряд тем, при изучении которых может и должна раскрываться идея функциональной зависимости. Наибольшие возможности в этом отношении дает решение задач, связанных с пропорциональными величинами.

Главная задача данного исследования заключалась в создании и экспериментальной проверке системы работы, обеспечивающей усвоение учащимися начальной школы в доступной им форме понятия пропорционального изменения величин, а также ряда других понятий, связанных с функциональной зависимостью.

В этих целях было выполнено следующее:

Проанализированы программы по арифметике, учебники, сборники задач и методическая литература русских, советских и некоторых зарубежных авторов. Изучение этих источников позволило, прежде всего, вычленить тот материал, который имеет наибольшие возможности для раскрытия понятия пропорциональности. Оказалось, что уже во II классе можно вести подготовку к усвоению пропорциональности в связи с решением простых задач, связанных с понятием кратного отношения, и положить начало формированию понятия пропорциональности в работе над задачами на простое тройное правило; начиная с III класса продолжить эту работу в связи с решением задач на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям, на нахождение неизвестных по их сумме и кратному отношению. Особое место в формировании понятия пропорциональности играют задачи на простое тройное правило, решаемые способом отношений, поскольку в этом случае приходится непосредственно применять знания о пропорциональном изменении величин.

Изучение названных материалов позволило, с одной стороны, выделить то ценное, что можно использовать в работе над формированием понятия пропорциональности, а, с другой стороны, вскрыть пробелы и недочеты как в общей системе разработки данного вопроса, так и в ее деталях. Кроме того, изучение литературы дало возможность внести некоторые коррективы в теорию данного вопроса.

Во-первых, нами разработана с точки зрения операций над множествами новая классификация простых задач, связанных с понятиями разности и кратного отношения.

Во-вторых, уточнено общепринятое определение пропорциональной зависимости. Приводим наше определение.

Определение I. Если из нескольких величин, связанных между собой, две переменные (при остальных постоянных)

зависят одна от другой так, что увеличение (уменьшение) одной из них в несколько раз необходимо влечет за собой увеличение (уменьшение) другой во столько же раз, то такая зависимость величин называется прямо пропорциональной. Величины, находящиеся в такой зависимости, называются прямо пропорциональными.

Определение II. Если из нескольких величин, связанных между собой, две переменные (при остальных постоянных) зависят одна от другой так, что отношение двух любых значений одной из них равно отношению соответствующих значений другой, то такая зависимость величин называется прямо пропорциональной.

В течение 1957—1958 учебного года был проведен диагностирующий эксперимент, который имел целью выявить состояние преподавания и знаний учащихся по интересующему нас вопросу. Методика эксперимента на данном этапе состояла в наблюдениях на уроках, в проведении и анализе контрольных работ со II по VIII класс включительно, а также в индивидуальном опросе учащихся этих же классов. Всего было просмотрено, запротоколировано и проанализировано около 150 уроков, проведено и проанализировано около 1000 контрольных работ и опрошено около 200 учащихся (школы №№ 5, 19, 24, 46, 104, 123, 261).

Полученные материалы дали возможность разработать программу обучающего эксперимента, который состоял в создании разнообразных систем работы и проверке их эффективности. При этом мы стремились по возможности учесть все факторы математического, психологического, педагогического и логического порядка, влияющие на усвоение понятия пропорциональности. При создании экспериментальных систем работы нами использовался прием варьирования, который имел целью выяснить преимущества и недостатки той или другой экспериментальной системы. Варьировались следующие факторы: 1) порядок расположения материала, 2) объем материала, 3) сроки начала работы по той или другой экспериментальной системе и 4) наглядные пособия. При этом в каждом случае сравнивалось от четырех до двух вариантов, один из которых был контрольным (система работы в массовой школе), а другие — экспериментальными. Экспериментальные варианты сравнивались также и между собой.

Оценка эффективности той или другой экспериментальной системы сводилась в основном к сравнению уровня знаний, умений и способности к обобщению у детей, обучающихся по экспериментальной и контрольной системам.

Назовем основные экспериментальные приемы, с помощью которых выяснялось влияние многообразных факторов на уровень знаний и умений учащихся.

1) Прием «занижения» программных требований использовался в тех случаях, когда надо было выяснить степень усвоения давно изученного материала.

2) Прием «завышения» программных требований использовался при выяснении доступности учащимся того или другого материала, а также в целях выработки гибких систем связей.

3) Прием «определения потолка» применялся для установления уровня усвоения того или иного понятия; в этом случае задания располагались в порядке от более трудного к более простому.

4) «Контрольный прием» имел место в тех случаях, когда требовалось выяснить влияние различных факторов предшествующего опыта на усвоение новых знаний, в этом случае соответствующим подбором материала создавались условия для неправильного переноса знаний и тем самым для допущения ошибок.

Названные приемы использовались как в экспериментальных классах, так и в контрольных.

Основными способами проверки знаний учащихся служили контрольные работы, опрос учащихся (индивидуальные беседы) и наблюдения на уроках. Всего в процессе проведения эксперимента просмотрено, запротоколировано и проанализировано более 500 уроков, опрошено в индивидуальном порядке 250 учащихся, проведено, проверено и проанализировано около 2000 контрольных работ.

Исследование имело место в 12 экспериментальных классах, причем в четырех из них в течение трех лет, а в остальных в течение двух и одного года или только при изучении отдельных тем (210 школа — учителя Р. М. Измайлова, Ф. Б. Иоффе, Н. Л. Шарыженко, В. В. Андриевская, А. Н. Данилова, 104 школа — Л. В. Расторгуева, Е. В. Сафонова, Т. И. Елесина, 118 школа — Л. Б. Ячник, 24 школа — Лебедева, 19 школа — К. И. Кашина, 476 школа — В. А. Самарина).

Выводы и рекомендации, сделанные в результате исследования, были проверены в ряде школ (№№ 5, 80, 115, 142, 151, 244, 261 и др) в течение 1959/60 и 1960/61 учебных лет, что способствовало внедрению нашего метода в массовую школу.

Содержание материала и методика исследования определили структуру диссертации. Диссертация состоит из предисловия, введения, трех глав и заключения. В каждой главе да-

ется обзор литературы, рассматривается постановка преподавания и состояние знаний учащихся по данному вопросу, а также излагается работа по экспериментальным системам.

В предисловии раскрывается значение нашего исследования с точки зрения реализации закона о связи школы с жизнью.

Введение посвящено обоснованию выбора темы, постановке проблемы исследования и методике исследования.

В первой главе излагается часть исследования, которая относится к работе во II и III классах школы над группой простых задач, связанных с понятиями разности и кратного отношения, и является подготовительной ступенью к усвоению пропорционального изменения величин.

Во второй главе рассматривается часть исследования, направленная на раскрытие пропорционального изменения величин в связи с работой над типовыми задачами в III и IV классах.

В третьей главе раскрывается часть исследования, посвященная формированию понятия пропорциональности посредством работы по таблицам.

В заключении намечены ступени формирования понятия пропорциональности у школьников II—VI классов.

* * *

Переходя к краткому изложению содержания диссертации, остановимся прежде всего на подготовительном этапе к усвоению пропорциональности (глава I).

Изучение состояния знаний учащихся со II по VII класс включительно обнаружило низкий уровень умений в решении задач, связанных с понятием кратного отношения. При этом ошибки обусловливались главным образом двумя факторами: непониманием учащимися взаимообратности отношений а>в и в<а (если первое число больше второго на несколько единиц или в несколько раз, то второе число меньше первого на столько же единиц или во столько же раз) и смешением понятий разности и кратного отношения. Кроме того, изучение методической литературы и наблюдения за работой учителей показали, что недооценивается роль простых задач данной группы, сформулированных в «косвенной» форме; не учитывается связь между решением задач данной группы и изучением табличных действий второй ступени; недостаточно разработан вопрос о линиях связи и дифференциации задач данной группы.

Исходя из результатов наблюдений, мы сформулировали следующие гипотезы, которые легли в основу исследования по данному вопросу:

1) раздельное изучение табличных действий второй ступени должно способствовать лучшему усвоению простых задач, связанных с понятием кратного отношения;

2) основой в работе над задачами, связанными с понятиями разности и кратного отношения, должно быть понимание учащимися взаимообратности отношений а>в и в<а;

3) задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в «косвенной» форме следует вводить уже во II классе до решения задач на нахождение разности и кратного отношения;

4) наилучшего усвоения всех видов простых задач данной группы можно добиться в том случае, если будет обеспечено должное варьирование таких задач, как основа их обобщения и систематизации.

Для подтверждения первой гипотезы мы провели эксперимент, который выражался в варьировании систем работы над табличными действиями. Первый вариант предусматривал совместное изучение табличных случаев умножения и деления (по этой системе работает преобладающее большинство учителей), второй — раздельное (по этой системе работают учителя 210 школы под руководством Н. С. Поповой в течение последних 10 лет).

Наблюдения за работой по той и другой системе, а также сопоставление результатов контрольных работ, которые проводились на разных этапах исследования, показало, что раздельное изучение табличных случаев умножения и деления наиболее целесообразно с точки зрения усвоения задач, связанных с понятием кратного отношения. В этом случае внимание учащихся в течение некоторого времени направлено на одно и то же действие, с которым связан соответствующий вид задач: изучая умножение, дети усваивают выражение «больше во столько-то раз», изучая деление на равные части — выражение «меньше во столько-то раз», наконец, в связи с делением по содержанию вводится кратное сравнение. Совместное изучение таблиц умножения и двух видов деления затрудняет дифференциацию задач, связанных с понятием кратного отношения, что в диссертации подтверждено соответствующими фактами.

Для подтверждения трех остальных гипотез мы также применили прием варьирования системы изучения данного учебного материала. При этом основным изменяющимся компонентом было место включения задач на увеличение и умень-

шение числа на несколько единиц и в несколько раз, выраженных в «косвенной» форме. Всего было разработано и проведено в течение 1958/59 учебного года четыре варианта изучения данного вопроса: 1) задачи, сформулированные в «косвенной» форме, вводились соответственно до решения задач на нахождение разности и кратного отношения; 2) задачи, сформулированные в «косвенной» форме, изучались соответственно после решения задач на нахождение разности и кратного отношения; 3) эти задачи впервые вводились в III классе; 4) система определялась учебниками по арифметике и служила в качестве контрольной.

По каждой из трех названных экспериментальных систем табличные действия второй ступени изучались раздельно.

Наблюдения за работой по четырем системам и сравнение на разных этапах исследования уровня знаний и умений учащихся показало, что наиболее эффективной является первая экспериментальная система. Раскроем кратко ее содержание.

На первом этапе в связи с повторным решением в начале учебного года задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц учащимся предлагались упражнения, направленные на усвоение понятия взаимообратности разности при сравнении дискретных множеств (кружков, квадратов и др.)» а позже — непрерывных величин (отрезков). Сначала устанавливалась связь на конкретном материале: если в верхнем ряду на 2 кружка больше, чем в нижнем, то в нижнем на 2 кружка меньше, чем в верхнем; далее это же соотношение раскрывалось после решения той или иной задачи с выражением «больше или меньше на столько-то»; наконец, учащиеся отвечали на вопросы, подобные следующим: «Береза ниже ели на 3 м. Что можно сказать про высоту ели?».

На втором этапе проводилось обучение решению задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, сформулированных в «косвенной» форме, например: «Длина класса 8 м; она на 2 м больше ширины класса. Какова ширина класса?». Решение задач, выраженных в «косвенной» форме способствовало более глубокому усвоению понятия взаимообратности разности. В целях дифференциации и некоторых обобщений применялось решение пар задач, сходных в том или ином отношении, преобразование задач одного вида в другой, составление задач по краткой их записи, по данному примеру и т. д.

На третьем этапе дети обучались решению задач на нахождение разности. Отметим, что понимание учащимися взаимообратности отношений а>в и в<а устранило одну из главных трудностей, возникающих при решении задач на разно-

стное сравнение, — выбор одного и того же действия при решении двух разных вопросов. Школьники, обучавшиеся по первой экспериментальной системе, уже на первом уроке после решения задачи: «Справа 6 кружков, а слева 10. На сколько кружков больше слева, чем справа?» — сами указали: «... число 4 показывает, что слева на 4 кружка больше, чем справа; а еще 4 показывает, на сколько кружков справа меньше, чем слева».

В заключение на этом третьем этапе была проведена система упражнений, направленных на дифференциацию и обобщение шести видов задач, связанных с понятием разности.

Учащиеся экспериментального класса при решении задач на нахождение разности почти не допускали ошибок, тогда как в других экспериментальных классах и особенно в контрольных у значительной части детей при решении задач с вопросом «на сколько больше...» слово «больше» связывалось с действием сложения.

Работа над группой простых задач, связанных с понятием кратного отношения, проводилась по аналогии с описанной системой. Отметим, что в этом случае учащиеся перенесли ранее сделанный вывод о взаимообратности разности на кратное отношение, что облегчило решение задач данной группы.

В контрольной работе, проведенной в мае 1959 г., учащиеся экспериментальных классов допустили от 7 до 12 ошибок на класс, тогда как учащиеся контрольных классов — от 102 до 106 ошибок на класс.

Интересно отметить, что первичное знакомство с задачами, выраженными в «косвенной» форме, в III классе сопряжено с большими трудностями, чем во II классе, поскольку у учащихся III классов к этому времени уже выработались косные локальные связи: выражение выбор действия; эти связи надо было разрушать и создавать новые, что оказалось весьма болезненным процессом — учащиеся допускали самые различные смешения.

* * *

Раскроем кратко часть исследования, непосредственно относящуюся к формированию понятия пропорциональности, которое изложено во второй и третьей главах диссертации.

Поскольку формирование понятия пропорциональности у учащихся начальной школы может протекать только в тесной связи с работой над типовыми задачами, включающими про-

порциональные величины (задачи на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям, на нахождение неизвестных по их сумме и кратному отношению), требовалось пересмотреть с этих позиций всю систему работы над задачами данной группы.

В результате диагностирующего эксперимента, проведенного в III и IV классах школы, были вскрыты следующие ошибки в решении задач названной группы: ошибки, вызванные непониманием связей и зависимостей между пропорциональными величинами; ошибки, вызванные смешением различных типов задач, сходных в том или ином отношении; ошибки, связанные с неправильным переносом способа решения одной задачи на другую; ошибки, связанные с непониманием смысла приведения к единице. В результате опроса учащихся VI—VIII классов, мы обнаружили чрезвычайно низкий уровень их знаний и умений в отношении пропорциональной зависимости величин: непонимание сущности пропорционального изменения величин (отождествление пропорциональной зависимости с возрастающей или убывающей функциями вообще); слабая дифференциация понятий, относящихся к функциональной зависимости; неуменение применять знания о пропорциональной зависимости к решению задач и др.

Главной причиной низкого уровня знаний учащихся в первую очередь является слабая методическая разработка данной темы, а также некоторые недочеты в теории данного вопроса.

При разработке экспериментальной системы мы учли данные диагностирующего эксперимента и приняли за основу следующие гипотезы:

1) планомерная работа над простыми задачами, связанными пропорциональными величинами, обеспечивает понимание связей между ними и является подготовительным этапом к решению типовых задач, связанных с пропорциональными величинами;

2) раскрытие пропорциональной зависимости величин, входящих в задачи названной группы, обеспечивает необходимую сознательность при решении этих задач и вообще положительно влияет на математическое развитие учащихся;

3) рассмотрение задач каждого из названных типов в их тесной взаимосвязи, а также проведение специальных упражнений, направленных на их дифференциацию, является действенным средством как для формирования понятия о пропорциональном изменении величин, так и для умения пользоваться им при решении задач;

4) решению задач на простое тройное правило способом отношений должна предшествовать работа по таблицам, которая даст возможность пронаблюдать изменение данных пропорциональных величин и сделать соответствующие выводы;

5) в связи с работой по таблицам учащиеся должны усвоить не только идею пропорционального изменения величин, но и ряд понятий, связанных с функциональной зависимостью вообще, что явится важной предпосылкой к усвоению данной темы в систематическом курсе;

6) числовой материал таблиц должен послужить базой для обобщения всех предусмотренных программой типовых задач, связанных с пропорциональными величинами.

Для подтверждения выдвинутых гипотез нами опять-таки был применен экспериментальный прием варьирования системы изучения материала, при этом менялся в основном объем материала, порядок изучения отдельных вопросов и время их изучения, что подробно раскрыто в диссертации. Эксперимент был проведен в течение 1958/59 и 1959/60 учебных лет в III, IV и V классах школы.

Исследование (главы II и III) показало, что для усвоения учащимися сущности пропорционального изменения величин необходима планомерная работа над простыми задачами, связанными с пропорциональными величинами. Система работы по данному вопросу сводилась в основном к следующему: решение учащимися готовых простых задач, а также задач, составленных самими детьми (например, на взаимосвязь между ценой товара, количеством и его стоимостью), способствовало уяснению связей между пропорциональными величинами и усвоению соответствующей терминологии; составление и решение учащимися простых задач, обратных данной исходной, особенно помогло уяснению связей между пропорциональными величинами, а также между компонентами и результатами действий умножения и деления.

Усвоение простых задач послужило основой для решения задач на простое тройное правило способом приведения к единице и способом нахождения значения постоянной величины (название способа введено нами). Раскрытию сущности пропорционального изменения величин, входящих в эти задачи, способствовала следующая система упражнений:

1) задачи подбирались с таким расчетом, чтобы была обеспечена вариативность роли каждой величины, что обеспечило формирование понятий о постоянной и переменной величинах и их условном характере;

2) учащиеся обучались краткой записи задачи, а это помо-

гало вычленить значения одной из переменных величин и соответствующие значения другой;

3) после усвоения задачи дети должны были устанавливать границы ответа, что являлось первым шагом в усвоении сущности пропорционального изменения величин;

4) после решения отдельных задач, учащимся предлагались вопросы, направленные на переосмысливание зависимости величин, данных в задаче, например, после решения задачи: «3 ящика груш весят 72 кг. Сколько будут весить 6 таких же по весу ящиков яблок?» — учащимся предлагались вопросы: «Могли ли яблоки весить столько же, сколько весили груши? При каких условиях?»;

5) числа в некоторых задачах подбирались так, чтобы в кратном отношении находились не только соответствующие значения, но и два значения одной и той же величины; после решения таких задач способом приведения к единице учащиеся сравнивали кратно два значения одной величины и соответствующие значения другой величины, после чего формулировали вывод, например: «Если ящиков яблок было в 2 раза больше, чем ящиков груш, то все яблоки весили в 2 раза больше, чем груши, при одинаковом весе одного ящика». В этом случае учащиеся непосредственно сталкивались с фактом пропорционального изменения величин;

6) проводилось сопоставление задач различных видов, связанных с одной и той же группой пропорциональных величин и задач одного вида, но связанных с различными группами пропорциональных величин; при этом широко использовался прием составления задач самими учащимися.

Такая система обеспечила глубокое понимание связей и зависимостей между пропорциональными величинами.

Наряду с работой над задачами на простое тройное правило в III классе проводилось решение задач на пропорциональное деление и несколько позднее — на нахождение неизвестных по двум разностям. В том и другом случаях оказалось целесообразным на первых порах исходить не из готовых задач, а составлять их в процессе фронтальной работы с классом из хорошо знакомых детям задач на простое тройное правило. Например, после решения задачи «3 м материи стоят 18 руб. Сколько стоят 5 м такой же материи?», — учащиеся находили сумму чисел 18 и 30 и самостоятельно составляли, а затем решали задачу на пропорциональное деление по условию:

Подобным образом составлялись задачи на пропорциональное деление второго вида (деление количества пропорционально стоимости) и два вида задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Использовался также прием вычленения двух задач на простое тройное правило из одной задачи на пропорциональное деление или из задач на нахождение) на задачи новой структуры.

Эффективность нашего метода заключалась в том, что учащиеся перенесли хорошо усвоенный ими способ решения задач на простое тройное правило (способ приведения к единице) на задачи новой структуры.

Прием преобразования задач одного типа в другой был использован в конце учебного года в целях обобщения и систематизации группы типовых задач, связанных с пропорциональными величинами. В этом случае учащиеся из одной задачи на простое тройное правило составляли два вида задач на пропорциональное деление и два вида задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Эти задачи сравнивались по различным линиям.

Особый интерес представляла работа над названными типами задач с группой величин: скорость, время, расстояние. В этом случае схематически записанное условие задачи учащиеся переносили в план жизненной ситуации и давали ему различную интерпретацию. Так, в экспериментальных классах по одному и тому же условию дети составляли до 5 вариантов задач, по разному истолковывая условие.

Таким образом, постепенный переход от простых задач, связанных с пропорциональными величинами к задачам на простое тройное правило и от них к задачам на пропорциональное деление обеспечил поступательное движение процесса формирования понятия пропорциональности.

* * *

Особую роль в процессе формирования понятия пропорциональности у школьников IV класса играют задачи на простое тройное правило, решаемые способом отношений, так как, применяя этот способ, учащиеся уже должны владеть идеей пропорциональности.

В нашем исследовании( III глава диссертации) с целью раскрытия понятия пропорциональности были использованы таблицы, включающие отдельные группы пропорциональных величин, работа по которым предваряла решение задач на простое тройное правило способом отношений.

Работа с таблицами проводилась по двум экспериментальным системам. По первому варианту работа начиналась во втором полугодии в III классе и заканчивалась в V классе. Второй вариант предусматривал проведение этой работы в IV и V классах. Объем упражнений по той и другой системе был одинаков. Наиболее удачной оказалась первая система, поскольку в этом случае учащиеся имели дело с пропорциональными величинами в течение более длительного промежутка времени. Изложим кратко эту систему.

Прежде всего с помощью непосредственных наблюдений и рассмотрения таблиц была раскрыта зависимость между ценой товара, его количеством и стоимостью. Выбор этой группы был обусловлен ее практической значимостью и доступностью учащимся III класса. При этом были рассмотрены три варианта зависимости между этими величинами (постоянная цена, постоянное количество и постоянная стоимость), что отражалось соответственно в таблицах, помогая раскрыть относительный характер постоянных и переменных величин. В отличие от общепринятого оформления таблиц, которое предусматривает включение в таблицу только двух переменных величин, мы включали в таблицу и постоянную величину, что не давало возможности «исчезнуть» этой величине из поля зрения учащихся. По каждой из таблиц учащиеся формулировали четыре вывода, что помогало формированию о взаимообратности пропорциональной зависимости величин. Эти выводы сразу же применялись для обоснования выбора действий при решении задач на простое тройное правило способом отношений и при решении других задач.

Имея в виду расширение понятия пропорциональности, мы провели повторную работу по таблицам с группой величин: скорость, время, расстояние.

В целях дифференциации пропорциональной зависимости, с одной стороны, возрастающей и убывающей функций вообще, с другой стороны, была проведена работа с группой непропорциональных величин: основание прямоугольника, его высота и периметр.

Далее путем различных экспериментальных приемов мы выяснили, что учащиеся IV класса легко переносят знания и умения, полученные в результате рассмотрения двух групп пропорциональных величин, на ряд других групп (вес одного предмета, количество предметов, общий вес и др.), но затрудняются в этом при оперировании величинами: основание, высота и площадь прямоугольника. Работа по таблицам с этой группой величин была завершающей.

В середине четвертого года обучения выяснилось, что учащиеся овладели методом использования таблиц для установления зависимости между отдельными группами пропорциональных величин.

В V классе эти учащиеся самостоятельно пользовались данным методом при установлении изменения результатов действий от изменения компонентов и свободно переносили знания и умения относительно пропорциональности величин на любые новые группы.

Раскроем несколько подробнее работу над таблицами, включающими группу величин: цена, количество и стоимость товара, которая состояла из четырех этапов.

Первый этап работы предусматривал установление зависимости между количеством товара и его стоимостью при постоянной цене с последующим применением сделанных выводов к решению задач.

Учащимися под руководством учителя была заполнена таблица:

Цена за 1 м

Количество

Стоимость

1

5 руб.

2

10 руб.

2

не изменилась

4

20 руб.

3

"

6

30 руб.

4

"

10

50 руб.

5

"

30

150 руб.

6

"

60

800 руб.

Наблюдая за изменением величин, учащиеся сформулировали следующие выводы:

1) если количество товара увеличить в несколько раз, то и стоимость его увеличится во столько же раз при неизменной цене;

2) если количество товара уменьшить в несколько раз, то и стоимость его уменьшится во столько же раз при той же цене;

3) если стоимость товара увеличить в несколько раз, то его количество увеличится во столько же раз при неизменной цене;

4) если стоимость товара уменьшить в несколько раз, то его количество уменьшится во столько же раз при той же цене.

Вслед за формулировкой выводов учащиеся составляли задачи на простое тройное правило по краткой их записи; при этом числа брались из таблицы.

Например: 30 руб. — 6 м 150 руб. —?

Каждая задача, составленная детьми, решалась двумя способами: способом приведения к единице и способом отношений. В последнем случае при выборе действий учащиеся ссылались на соответствующий вывод.

Далее предлагались задачи на простое тройное правило, числовой материал которых не был включен в таблицу. При этом задачи варьировались так, чтобы при их решении можно было применить все четыре вывода.

Затем рассматривались простые задачи повышенной трудности, решение которых требовало понимания сущности пропорционального изменения. Например: «В понедельник в школьный буфет привезли 24 л молока. Сколько литров молока привезли во вторник, если денег за него уплатили в 2 раза больше, чем в понедельник?».

Наконец, учащимся предлагались задачи, которые можно решить одним действием, исходя из пропорциональной зависимости величин, или тремя действиями, не пользуясь последней. Например: «Мальчик купил 6 одинаковых перьев и заплатил за них 30 коп., а его сестра купила таких же перьев в 2 раза больше. Сколько денег уплатила сестра?.

Второй этап включал работу над задачами на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям. При этом задачи предлагались не в готовом виде, а предварительно составлялись по числовому материалу таблицы, что помогало вскрыть пропорциональную зависимость величин, входящих в задачи.

На третьем этапе работы устанавливалась зависимость между ценой товара и его стоимостью при постоянном количестве, для чего была составлена соответствующая таблица. В результате наблюдений за изменением величин, учащиеся и для этого случая сформулировали четыре вывода и далее самостоятельно применяли их по мере надобности.

На четвертом этапе работы (IV класс) была установлена обратно пропорциональная зависимость между ценой товара и его количеством при постоянной стоимости. Работа проводилась по аналогии с первым этапом.

Что касается работы с другими группами пропорциональных величин, то она была по структуре сходна с описанной, но имела и свою специфику. Так, рассматривая группу вели-

чин: время, скорость, расстояние, мы широко применяли графическую иллюстрацию, а при работе с группой величин: основание, высота и площадь прямоугольника, пользовались фигурами, вырезанными из бумаги, измерения и площади которых сравнивались при помощи наложения.

На разных этапах работы с таблицами с целью дифференциации и обобщения проводилось сравнение характера изменения величин как одной группы, так и различных. При этом учащиеся уже в IV классе самостоятельно «открывали» свойства пропорциональных величин, которые на уроках не рассматривались. Например, они подметили, что в случае прямой пропорциональности значение постоянной величины находится действием деления, а в случае обратной пропорциональности — умножением соответствующих значений переменных величин.

Усвоение сущности пропорционального изменения величин обеспечило сознательное решение многих практических задач.

Результаты исследования показали, что работу над таблицами следует начинать во втором полугодии третьего года обучения. Работа над таблицами должна предварять решение задач на простое тройное правило способом отношений и тесно с ним переплетаться.

Разработанный нами метод заложил основу для формирования таких понятий, как величина, значение величины, свойство величины принимать множество значений, постоянная величина, переменная величина, относительный характер понятий переменная и постоянная величина, взаимообратность пропорциональной зависимости и ряд других. Кроме того, неоднократное использование таблиц привело учащихся к овладению табличным методом, что дало им возможность делать самостоятельно «открытия», т. е. проявлять подлинно творческую активность.

Проведенное нами исследование позволило наметить ступени формирования понятия пропорциональности у учащихся начальной и средней школы, что изложено в заключении.

На первой ступени учащиеся II класса овладевают понятием кратного отношения, что служит надежной подготовкой к пониманию сущности пропорциональной зависимости.

На второй ступени в связи с решением типовых задач, связанных с пропорциональными величинами, учащиеся III и IV классов подводятся к пониманию сущности пропорциональной зависимости отдельных групп пропорциональных величин. На данной ступени происходит выделение существенных признаков пропорционального изменения отдельных

групп пропорциональных величин, что является необходимым условием для дальнейшего их синтезирования и обобщения.

На третьей ступени в результате работы по таблицам учащиеся III и IV классов глубже познают существенные признаки и свойства отдельных групп пропорциональных величин, что непосредственно приводит к их обобщению. На этой ступени формируется ряд других важнейших понятий (величина, значение величины и т. д.).

На четвертой ступени учащиеся IV и V классов анализируют и сравнивают между собой отдельные группы пропорциональных и непропорциональных величин без использования таблиц, в результате чего происходит отбор общих и существенных свойств этих групп величин.

На пятой ступени учащиеся VI класса овладевают научным понятием пропорциональности, усвоение которого подготовлено всей предшествующей работой.

* * *

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. Решение во II классе задач, связанных с понятием разности и кратного отношения. «Начальная школа», № 3, 1961.

2. Работа над пропорциональной зависимостью величин в начальной школе и ее перспективное значение. «Ученые записки Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена», т. 209, 1961.

A 70351 20/11 1962 г.

Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 362